Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Podobné dokumenty
Lineární stabilita a teorie II. řádu

Literatura: Text o lineární algebře na webových stránkách přednášejícího (pro opakování). Kapitoly 4 a 5 ze skript Ondřej Zindulka: Matematika 3,

Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Co jsme udělali: Au = f, u D(A)

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)

Diferenciální rovnice 1

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Autor: Vladimír Švehla

Literatura: O. Zindulka: Matematika 3 (kapitola 4, kapitola 5)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Diferenciální rovnice

8. Okrajový problém pro LODR2

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Únosnost kompozitních konstrukcí

Extrémy funkce dvou proměnných

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Diferenciální rovnice 3

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

1. Řešená konstrukce Statické řešení Výpočet průhybové čáry Dynamika Vlastní netlumené kmitání...

2 Odvození pomocí rovnováhy sil

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

Numerické integrace některých nediferencovatelných funkcí

Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Lineární algebra : Metrická geometrie

Příklad 7 Průhyb nosníku - složitější případ

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

Vlastní čísla a vlastní vektory

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Ztráta stability tenkých přímých prutů - vzpěr

5.3. Implicitní funkce a její derivace

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky

PRUŽNOST A PLASTICITA I

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

1 Polynomiální interpolace

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

Základy matematické analýzy

α = 210 A x =... kn A y =... kn A M =... knm

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

6 Samodružné body a směry afinity

Aplikovaná numerická matematika

9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)

Derivace a monotónnost funkce

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Obyčejné diferenciální rovnice

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

INTEGRÁLY S PARAMETREM

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty. kunck6am

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Diskrétní řešení vzpěru prutu

Klasifikace rámů a složitějších patrových konstrukcí

Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)

em do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Co je obsahem numerických metod?

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

14. přednáška. Přímka

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

Soustavy linea rnı ch rovnic

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

Transkript:

1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D., doc. RNDr. Jan Chleboun, CSc.

2 / 40 Zadání Úkolem této práce bylo řešení vzpěru jednoduchého rámu a dále využití diferenciálních operátorů při řešení úloh stability centricky tlačeného nosníku o jednom a dvou polích.

3 / 40 Diferenciální rovnice tlačeného prutu F F L Obr.: Prostý, centricky tlačený nosník Po zavedení F k = EI, EI = konst., má diferenciální rovnice průhybu, platná pro každý centricky tlačený homogenní prut bez ohledu na způsob podepření, tvar w (4) (x) + k 2 w (x) = 0.

4 / 40 Diferenciální rovnice tlačeného prutu Pomocí substituce p(x) = w (x) převedeme na diferenciální rovnici 2. řádu p (x) + k 2 p(x) = 0, s obecným řešením ve tvaru p(x) = C 1 cos(kx) + C 2 sin(kx).

5 / 40 Přehled získaných vztahů Dvojím integrováním, resp. dvojím derivováním obecného řešení získáme tyto vztahy: w = 1 k 2 C 1 cos(kx) 1 k 2 C 2 sin(kx) + C 3 x + C 4, w = 1 k C 1 sin(kx) 1 k C 2 cos(kx) + C 3, w = C 1 cos(kx) + C 2 sin(kx), w = kc 1 sin(kx) + kc 2 sin(kx), w (4) = k 2 C 1 cos(kx) k 2 C 2 sin(kx),

6 / 40 Přehled získaných vztahů a pro substituovanou rovnici p = C 1 cos(kx) + C 2 sin(kx), p = k C 1 sin(kx) + k C 2 sin(kx), p = k 2 C 1 cos(kx) k 2 C 2 sin(kx).

7 / 40 Okrajová úloha prostě podepřeného nosníku Pro základní diferenciální rovnici 4. řádu: w (4) (x) + k 2 w (x) = 0, podmínky: w(0) = 0, w(l) = 0, w (0)=0, w (L) = 0. Pro substituovanou rovnici 2. řádu: p (x) + k 2 p(x) = 0, podmínky: p(0) = 0, p(l) = 0.

8 / 40 Operátorový tvar Vyjdeme z diferenciální rovnice 2. řádu, navíc zavedeme λ = k 2, p (x) + λp(x) = 0. Využijeme lineární diferenciální operátor daný předpisem s definičním oborem A = D 2, D A = {p C 2 ([0, L]) : p(0) = p(l) = 0}. Příslušná operátorová rovnice Ap = λp.

9 / 40 Specifikace problému Řešíme otázku, pro která λ má úloha doplněná o okrajové podmínky nenulové řešení na intervalu [0, L]. Jde tedy o hledání vlastních čísel λ a příslušných vlastních funkcí. Nejprve dokážeme, že zvolený operátor je symetrický a pozitivní a následně využijeme větu o vlastních číslech (Věta 5.7, (iii), O. Zindulka - Matematika 3), která říká, že pokud je symetrický operátor A pozitivní, pak všechna vlastní čísla jsou kladná a nula tedy není vlastním číslem.

10 / 40 Důkaz symetrie a pozitivnosti Oba důkazy jsou pro tento případ snadné, jsou založeny na integraci per partes a následném využití okrajových podmínek. Symetrie: p, q D A (Ap, q)=( p, q)= (Aq, p)=( q, p)= Pozitivnost: p D A L 0 L (Ap, p) = (p, p ) = p 2 > 0. 0 p q dx =[ p q] L 0+ q p dx =[ q p] L 0+ L 0 L 0 p q dx = q p dx = L 0 L 0 p q dx =(p, q ), p q dx =(p, q ), (Rovnost p 2 =0 nastává pouze pro p 0 na celém intervalu [0, L].)

11 / 40 Podmínka netriviálního řešení Soustava rovnic pro neznámé C 1 a C 2 ( ) ( ) 1 0 C1 = cos(kl) sin(kl) má netriviální řešení dané podmínkou sin(kl) = 0, C 2 ( ) 0, 0 odkud k n = nπ L, n = 1, 2, 3,...

12 / 40 Vlastní čísla a vlastní funkce Vlastní čísla úlohy jsou dána vztahem λ n = k 2 n = n2 π 2, n = 1, 2, 3,..., L2 přičemž každému vlastnímu číslu λ n přísluší vlastní funkce p n = sin n πx L.

13 / 40 Kritická síla Z nejmenšího vlastního čísla a vztahu F k = EI vyjádříme tzv. kritickou sílu F cr = EIπ2 L 2.

14 / 40 Netriviální řešení průhybu při ztrátě stability Pro nalezení řešení původní diferenciální rovnice průhybu w je nutno vztah pro vlastní funkce p n dvakrát integrovat a využitím okrajových podmínek w(0) = 0 a w(l) = 0 určit nově vzniklé integrační konstanty. Netriviální řešení průhybu bude mít tvar w n = L2 nπx sin π2 L.

15 / 40 Volba souřadného systému, podmínky x 2 F F L1 L2 x 1 Obr.: Tlačený nosník o dvou polích w 1 (0) = 0, w 1 (L 1 ) = 0, w 1 (0) = 0, w 2 (L 2 ) = 0, w 2 (0) = 0, (0) = 0. w 2 w 1 (L 1) = w 2 (L 2), w 1 (L 1) = w 2 (L 2),

16 / 40 Levá část Pravá část Integrační konstanty C 1 - C 4, C 1 = 0, C 4 = 0. Integrační konstanty C 5 - C 8, C 5 = 0, C 8 = 0. w 1 (x 1 ) = 1 k 2 C 2 sin(kx 1 ) + C 3 x, w 2 (x 2 ) = 1 k 2 C 6 sin(kx 2 )+C 7 x, w 1(x 1 ) = 1 k C 2 cos(kx 1 ) + C 3, w 2(x 2 ) = 1 k C 6 cos(kx 2 ) + C 7, w 1 (x 1 ) = C 2 sin(kx 1 ). w 2 (x 2 ) = C 6 sin(kx 2 ).

17 / 40 Maticový zápis soustavy rovnic Využitím podmínek platných v místě vnitřní podpory dostaneme soustavu čtyř rovnic pro neznámé C 2, C 3, C 6 a C 7 sin(kl k 2 1 ) L 0 0 0 0 1 sin(kl k 2 2 ) L 2 k sin(kl 1) 0 cos(kl 2) k 2 L 1 k + sin(kl 2) 0 k 2 L 2 1 cos(kl 1) sin(kl 1 ) 0 sin(kl 2 ) 0 C 2 C 3 C 6 C 7 0 0 =, 0 0

18 / 40 Podmínka netriviálního řešení Pokud položíme determinant matice roven nule, dostaneme po úpravě vztah kl 1 L 2 sin(k(l 1 +L 2 )) (L 1 +L 2 ) sin(kl 1 ) sin(kl 2 ) = 0, jenž určuje pro jaká kladná k existuje netriviální řešení úlohy tlačeného nosníku o dvou polích.

19 / 40 Operátorový tvar úlohy F x F L1 L2 L Obr.: Nová volba souřadného systému Opět vyjdeme ze substituované rovnice p (x) + λp(x) = 0, λ = k 2.

20 / 40 Operátorový tvar úlohy Zvolme operátor A = D 2. Potom hledáme řešení úlohy s operátorovým zápisem Ap = λp, p D A, definiční obor operátoru definujeme jako podprostor funkcí, které získáme dvojím derivováním funkcí z prostoru { M = w C 2 ([0, L]) : w [0,L1 ] C 4 ([0, L 1 ]) w [L1,L] C 4 ([L 1, L]) tedy D A = } w(0) = w(l 1 ) = w(l) = 0 w (0) = w (L) = 0, { } p C([0, L]) : w M, p(x) = w (x) x [0, L].

Důkaz symetrie operátoru (Ap, q) = ( p, q) = L1 0 p q dx+ L [p q] L L 1 + p q dx = p (L 1 ) q(l 1 ) + L 1 (Aq, p) = ( q, p) = = L1 0 L1 0 L p q dx + p q dx+ L [pq ] L L 1 + p q dx = p(l 1 ) q (L 1 ) + L 1 = L1 0 L1 p q dx = [ p q] L 1 0 + p q dx L 1 0 L1 L p q dx + p q dx+p (L 1 ) q(l 1 ) + p q dx L 1 0 L L 1 p q dx L L1 p q dx = [ pq ] L 1 0 + p q dx L 1 L1 0 L 0 L p q dx+p(l 1 ) q (L 1 ) + p q dx L 1 L 1 p q dx 21 / 40

22 / 40 Důkaz pozitivnosti operátoru Pozitivnost dokážeme obdobným způsobem (Ap, p) = ( p, p) = L1 0 (p ) 2 dx + L L 1 (p ) 2 dx > 0, p D A. Ostrá nerovnost plyne z toho, že nulové hodnoty integrál nabývá pouze pro případ p 0. Pozitivnost operátoru je ale definována pouze pro netriviální funkce a pro ty integrál nulové hodnoty nenabývá.

23 / 40 Postup řešení úlohy Ap = λp, p D A Tím jsou splněny potřebné předpoklady pro platnost věty o vlastních číslech operátoru. Po technicky náročném řešení této úlohy nakonec dostaneme podmínku kl 1 L 2 sin(k(l 1 +L 2 )) (L 1 +L 2 ) sin(kl 1 ) sin(kl 2 ) = 0, jejíž získání snazším způsobem, díky otočení souřadného systému pro pravou část nosníku, jsme již dříve ukázali. Řešení této rovnosti nalezneme numerickou iterační metedou.

24 / 40 Řešení numerickou iterační metodou Pro účely numerických výpočtů zvolíme jednotkovou délku celého nosníku a délky jednotlivých částí vyjádříme L 1 = αl, L 2 = (1 α)l, α [0, 1]. Pro konkrétní hodnotu α pomocí numerického výpočtu v Matlabu zjistíme hodnoty k, které splňují rovnost kl 1 L 2 sin(k(l 1 +L 2 )) (L 1 +L 2 ) sin(kl 1 ) sin(kl 2 ) = 0 a vždy pro první (nejmenší) hodnotu k následně vyjádříme velikost kritické síly.

25 / 40 Limitní přiblížení podpor na okraji nosníku Zajímavým případem je aproximace limitního přiblížení dvou kloubových podpor. Pro výpočet zvolme například α = 0,99, potom nejmenší hodnota k, pro níž existuje netriviální řešení, je k 1 = 4,5236. Pro k 1 vyjádříme hodnotu kritické síly F cr = EI 4,52362 π 2 L 2 = EI 1,43992 π 2 L 2. = EI π 2 (0,7 L) 2.

26 / 40 Limitní přiblížení podpor: α = 0,99 Obr.: Tvar vybočení při dosažení kritické síly

27 / 40 Limitní přiblížení podpor: α = 0,99 Obr.: Tvar průhybu pro druhé a třetí vlastní číslo

28 / 40 Umístění vnitřní podpory do středu nosníku Obr.: První tvar vybočení nosníku s vnitřní středovou podporou Srovnání s prostým nosníkem délky L. Srovnání s F cr prostého nosníku délky 0,5 L.

29 / 40 Umístění vnitřní podpory do středu nosníku Obr.: Tvary vybočení tlačeného nosníku s vnitřní středovou podporou Srovnání s prostým nosníkem délky L.

30 / 40 Vliv polohy vnitřní podpory na vzpěrnou únosnost Ukažme, jak poloha vnitřní podpory změní vzpěrnou délku L cr = βl, která určuje délku náhradního, kloubově uloženého nosníku (shodného průřezu) o jednom poli, který má stejnou hodnotu kritické síly jako posuzovaný nosník. F cr = EIπ2 L 2 cr = EIπ2 (βl) 2 Součinitel vzpěrné délky β vyjadřuje poměr délek β = L cr L.

31 / 40 Součinitel vzpěrné délky β v závislosti na volbě α Obr.: Závislost součinitele β na hodnotě α

32 / 40 Vliv vnitřní kloubové podpory na zvýšení hodnoty F cr Následující graf ukazuje hodnotu poměru kritických sil nosníku o jednom poli délky L a nosníku o dvou polích v závislosti na umístění vnitřní kloubové podpory, tedy na volbě α. Obr.: Graf závislosti hodnoty 1 β 2 na hodnotě α

33 / 40 Základní předpoklady F 2 shodný průřez (kruhový) na celé konstrukci rámu 1 EI=konst. b shodná konstantní hodnota EI na celém rámu h Obr.: vybočení uvažujeme pouze v rovině rámu tlaková síla F působí centricky

34 / 40 Rovnosti platné pro svislý prut w 1 (x) = 1 k 2 C 1 cos(kx) 1 k 2 C 2 sin(kx) + C 3 x + C 4, w 1 (x) = 1 k C 1 sin(kx) 1 k C 2 cos(kx) + C 3, w 1 (x) = C 1 cos(kx) + C 2 sin(kx), w 1 (x) = kc 1 sin(kx) + kc 2 cos(kx).

35 / 40 Rovnosti platné pro vodorovný prut w 2 (x) = C 5 x 3 + C 6 3x 2 + C 7 6x + C 8 6, w 2 (x) = C 5 3x 2 + C 6 6x + C 7 6, w 2 (x) = C 5 6x + C 6 6, w 2 (x) = C 5 6.

36 / 40 Okrajové podmínky a podmínky spojitosti w 1 (0) = 0 1 C 1 k 2 + C 4 = 0 (1) w 1 (0) = 0 C 1 = 0 (2) w 2 (b) = 0 C 5 b 3 + C 6 3b 2 + C 7 6b + C 8 6 = 0 (3) w 2 (b) = 0 C 5 6b + C 6 6 = 0 (4) w w 2 (0) = 0 C 8 6 = 0 (5) 1 (h) + k 2 w 1(h) = 0 C 3 k 2 = 0 (6) w 1(h) w 2(0) 1 = 0 C 1 k sin kh C 1 2 k cos kh + C 3 C 7 6 = 0 (7) w 1 (h) w 2 (0) = 0 C 1 cos kh + C 2 sin kh C 6 6 = 0 (8)

Postup řešení Soustava uvedených rovnic má netriviální řešení právě tehdy, když je matice M soustavy singulární, tedy pokud je determinant matice M roven nule. Pomocí Matlabu a funkce, která počítá hodnotu determinantu matice v závislosti na proměnné k najdeme první, tedy nejmenší hodnotu k, pro kterou je determinant matice roven nule a následně dopočteme hodnotu koeficientu β, který figuruje ve vztahu F cr = EIπ2 (βh) 2. 37 / 40

38 / 40 Postup řešení Hodnotu koeficientu β získanou výpočtem následně porovnáme s tabulkovou hodnotou, která je pro tento typ rámu dána vztahem β tab = 1 + 0,8 κ, kde κ je (při shodném momentu setrvačnosti na celém rámu) poměr délky rámu k jeho výšce, tedy κ = b h.

39 / 40 Porovnání vypočtené a tabulkové hodnoty β Obr.: Srovnání vypočtené a tabulkové hodnoty koeficientu β

40 / 40 Děkuji za pozornost.