@097 9. Soustava lineárních rovnic Definice: Nechť x, y, z, t,... jsou reálné proměnné, a, b, c, d,... jsou reálné konstanty. Kombinace proměnných a konstant tvaru ax+b=0, ax+by+c=0, ax+by+cz+d=0, ax+by+cz+dt+e=0, atd. se nazývá lineární rovnice s jednou proměnnou (neznámou), se dvěma, se třemi, se čtyřmi, atd. více proměnnými (neznámými). Poznámka: Konstanty obvykle označujeme písmeny z počátku abecedy a nazýváme je též koeficienty, proměnné pak označujeme písmeny z konce abecedy. Nenechte se tím však zmást, může to být i jinak. Úkol: Zápis 2x + 7t = 0 x,t R A. představuje lineární rovnici o dvou neznámých B. představuje lineární rovnici s jednou neznámou a jedním parametrem
@100 Správně. Lineární rovnice ax + by + c = 0 představuje v soustavě souřadnic přímku. Však se rovnice také se nazývá rovnice přímky. Systém lineárních rovnic s neznámými x a y ax + by + c = 0 dx + ey + f = 0 v soustavě souřadnic v rovině představuje dvojici přímek. Řešením systému rovnic pak rozumíme průsečík těchto přímek neboli dvojici [x, y] RxR, která splňuje obě rovnice zároveň. A z této úvahy vychází postup, jak získat řešení grafickou cestou: - sestrojíme přímky odpovídající oběma rovnicím - odečteme souřadnice [x, y] průsečíku Úkol: Řešte graficky soustavu rovnic pro dvě reálné neznámé 3x - 5y = 1 2x + 3y = 7 pokračování výsledek
@103 pokračování
@106 Správně. pokračování
@109 Poznámka: Tři rovnice pro dvě neznámé řešíme podle následujícího postupu. Vybereme dvě rovnice a tyto vyřešíme. Mohou nastat pouze tyto možnosti dílčího řešení: a) nemají žádné řešení, tj. odpovídající přímky nemají společný bod (jsou rovnoběžné) a pak ani původní soustava tří rovnic nemá žádné řešení (v předchozím obrázku případy 1, 2, 5). b) mají jediné řešení. Pak musíme ještě rozhodnout o který případ z možných 2, 3, 4, 6 jde. To provedeme zkouškou získaného řešení do třetí zbývající rovnice. zkouška vyjde (jde o případ 4, 6) a tedy původní soustava tří rovnic má jediné řešení. zkouška nevyjde, tzn. původní soustava tří rovnic nemá řešení c) mají nekonečně mnoho řešení. Může jít o případy 5, 6, 7. Abychom rozhodli, který z nich nastává, musíme vzít jinou dvojici z původní sestavy a tu řešit. Druhá dvojice může mít dílčí řešení: sestava nebude mít řešení (případ 5), pak ani původní sestava nemá žádné řešení sestava bude mít jediné řešení (případ 6), pak původní sestava má také jediné řešení sestava bude mít opět nekonečně mnoho řešení (případ 7) a původní sestava má také nekonečně mnoho řešení Úkol: Řešte graficky soustavy tří rovnic pro dvě neznámé a) x + 2y = 1 b) 2x + y = 2 2x - y = -3 x - 2y = 3 4x + 3y = -1 3x + 2y = -1 Která varianta nastala: varianta A: a) jediné řešení b) žádné řešení varianta B: a) nekonečně mnoho řešení b) žádné řešení varianta C: a) žádné řešení b) jediné řešení
@098 Co představuje zápis 2x + 7t = 0 x,t R záleží na úhlu pohledu na řešený problém. Jednou to může být rovnice pro dvě neznámé, jindy rovnice s neznámou t a parametrem x, nebo třeba rovnice s neznámou x a parametrem t. Z toho vyplývá, že je důležité dobře pochopit celý předložený problém a nebýt povrchní. Poznámka: Rovnice často dáváme do systémů rovnic: A) Toto jsou systémy dvou rovnic pro dvě neznámé. 3x - 5y = 1 3x - 5y = 1 2x - y = 3 2x + 3y = 7 6x - 10y = 20-6x + 3y = -9 B) systém čtyř rovnic pro čtyři neznámé x + 2y + 3z + 4u = 10 2x + y - z + 3u = 5 3x + 0y - z - u = 5 -x - 2y + 3z + u = 1 C) systém tří rovnic pro dvě neznámé 2x - y + 4 = 0 x + 2y - 3 = 0 2x + y = 0 D) systém dvou rovnic pro tři neznámé x - 2y - u = 0 y + u - 2 = 0 Prostudujme nyní blíže případ dvou rovnic pro dvě neznámé x,y R a koeficienty a,b,c,d,e,f R. ax + by + c = 0 dx + ey + f = 0 Úkol: Když graficky zobrazíme rovnici ax + by + c = 0 v soustavě souřadnic v rovině, kde a,b,c,x,y R, dostaneme (například 3x 2y + 7 = 0 )
kružnici trojúhelník s vrcholy v bodech a, b, c přímku
@101 Úkol: Řešte graficky soustavu rovnic pro dvě reálné neznámé 3x - 5y = 1 6x - 10y = -18 pokračování výsledek
@104 Z předchozích tří příkladů vyplývá, že soustava dvou rovnic pro dvě neznámé může mít jediné řešení žádné řešení - přímky jsou různoběžné mají jediný společný bod - přímky jsou různé rovnoběžné nemají žádný společný bod nekonečně mnoho řešení - přímky jsou totožné všechny body jsou společné Úkol: Řešte graficky soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé a) 2x - y = 1 b) x + 2y = 3 x + 2y = 3 2x + 3y = 4 Které variantě odpovídá řešení: varianta A: a) nekonečně mnoho řešení b) jediné řešení varianta B: a) jediné řešení varianta C: a) jediné řešení b) žádné řešení b) jediné řešení
@107 Každá lineární rovnice o dvou neznámých má v rovině svůj obraz v přímce. Máme-li soustavu tří rovnic o dvou neznámých a máme-li studovat počet řešení této soustavy, můžeme se stejným výsledkem studovat vzájemnou polohu tří přímek v rovině a jejich společné body. Úkol: Načrtněte všechny možné vzájemné polohy tří přímek v rovině a učiňte závěr o počtu řešení soustavy tří lineárních rovnic pro dvě neznámé. pokračování výsledek
@110 Kdo volil variantu A, volil správně. Ostatní si najděte chybu podle obrázků pokračování
@099 Bohužel. Doporučuji zopakovat třetí lekci.
@102 Úkol: Řešte graficky soustavu rovnic pro dvě reálné neznámé 3x - 5y = 1-6x + 10y = -2 pokračování výsledek
@105 Bohužel. znovu prostudujte
@108 I. Mějme tři od sebe různé přímky p, q, r. Pak existují 4 různé vzájemné polohy těchto přímek a jen v jednom případě existuje řešení soustavy 3 rovnic pro 2 neznámé. II. Jsou-li dvě přímky totožné (třeba p = q) a třetí od nich různá, pak existují jen 2 různé vzájemné polohy těchto přímek a jen v jednom případě existuje řešení soustavy 3 rovnic pro 2 neznámé. III. Pokud jsou všechny tři přímky totožné (p = q = r), pak existují jediná vzájemná poloha těchto přímek a řešení soustavy 3 rovnic pro 2 neznámé má nekonečně mnoho řešení. pokračování
@111 Řešit graficky lze pouze soustavy rovnic o dvou neznámých, protože ty lze znázornit v rovině. A co soustavy o více neznámých? Ty musíme řešit algebraicky. V následujících lekcích si vysvětlíme některé metody jak na to. KONEC LEKCE