Neoklasický model choání sotřebitele PŘÍKLAD : PRMÁRNÍ A DUÁLNÍ ÚLOHA Užitek sotřebitele je osán užitkoou funkcí e taru U. Vyjádřete: a. Marshalloy otáky b. Neřímou funkci užitku c. Hicksoy otáky d. Přímou funkci užitku Primární roblém (tj. odození Marshalloých otáek a neřímé funkce užitku): Sotřebitel maximalizuje užitek, tj. maximalizuje účeloou funkci (funkci užitku) ři daném omezení (důchod sotřebitele). Daný roblém lze řešit děma zůsoby (zde rozlišeno jako zůsob A a zůsob B) ZPŮSOB A tj. Řešení omocí znalosti odmínky otima sotřebitele a rozočtoého omezení, Podmínka otima: (, ) MU MU U (, ) o dosazení užitkoé funkce ze zadání získáme Rozočtoé omezení: za ředokladu, že sotřebitel za oba statky utrácí celý sůj důchod, latí: + Z odmínky otima a rozočtoého omezení získáme soustau dou ronic o dou neznámých (, ). Tyto neznámé yjádříme: Z odmínky otima yjádříme. a dosadíme tento ztah za do rozočtoého omezení. Získáme tak ztah, který označíme jako Marshalloa otáka o statku. Marshallou otáku o statku yjádříme dosazením za do ztahu, tj..
Neřímou funkci užitku získáme dosazením Marshalloých otáek do ůodní užitkoé funkce, tedy U.. Výhodou této funkce je, že užitek sotřebitele záisí na cenách a důchodu, což jsou lée sledoatelné eličiny než konkrétní sotřeboáaná množstí statků. ZPŮSOB B Odození odmínky otima omocí Lagrangeoy metody Řešíme omocí Lagrangeoy funkce L U (, ) λ( P * + P * ) Pozn.: λ stínoá cena kolik dodatečného (M)U získá sotřebitel za dodatečnou ynaloženou korunu sého říjmu. V bodě otima je hodnota omocné roměnné ro šechny statky stejná. Parciální deriace Lagrangeoy funkce odle, a λ oložíme rony 0. L λ 0, o deriaci užitkoé funkce ze zadání získáme λ 0 L λ 0, o deriaci užitkoé funkce ze zadání získáme λ 0 L + 0 λ Eliminujeme roměnnou λ z rních dou ronic, tj., a tím se dostááme k odmínce otima, ze které jsme ycházeli ři ýočtu zůsobem A. Z oslední ronice yjádříme + a tím se dostááme k rozočtoému omezení, ze kterého taktéž ycházíme ři ýočtu zůsobem A. Výočet dále okračuje obdobně jako e zůsobu A, tedy: Z odmínky otima a rozočtoého omezení získáme soustau dou ronic o dou neznámých (, ). Tyto neznámé yjádříme: Z odmínky otima yjádříme. a dosadíme tento ztah za do rozočtoého omezení. Získáme tak ztah, který označíme jako Marshalloa otáka o statku. Marshallou otáku o statku yjádříme dosazením za do ztahu, tj..
Neřímou funkci užitku získáme dosazením Marshalloých otáek do ůodní užitkoé funkce, tedy u.. Výhodou této funkce je, že užitek sotřebitele záisí na cenách a důchodu, což jsou lée sledoatelné eličiny než konkrétní sotřeboáaná množstí statků. Duální roblém (tj. odození Hicksoých otáek a nákladoé funkce):. krok: sotřebitel minimalizuje ýdaje, tj. minimalizuje účeloou funkci (funkci ýdajů) na dosažení dané hladiny užitku (užitkoá funkce je omezením). Daný roblém lze řešit děma zůsoby (zde rozlišeno jako zůsob A a zůsob B) ZPŮSOB A Řešení omocí znalosti odmínky otima sotřebitele a omezení, které ytáří daná hladina užitku Podmínka otima: (, ) MU MU U (, ) o dosazení užitkoé funkce ze zadání získáme Omezení: Sotřebitel musí dosáhnout určité hladiny užitku, tj. určité hodnoty užitkoé funkce U Z odmínky otima a omezení získáme soustau dou ronic o dou neznámých (, ). Tyto neznámé yjádříme: Z odmínky otima yjádříme Získáme tak ztah U. a dosadíme tento ztah za do funkce užitku., který označíme jako Hicksoa otáka o statku. Hicksou otáku o statku yjádříme dosazením za do ztahu U., tj. Nákladoou funkci získáme dosazením Hicksoých otáek do funkce ýdajů, tedy U U c + U. ZPŮSOB B Odození odmínky otima omocí Lagrangeoy metody Řešíme omocí Lagrangeoy funkce 3
L + λ ( U (, ) U ), o dosazení užitkoé funkce dle zadání (U(,) U ) má Lagrangeoa funkce tar L + λ ( U ). Pozn.: λ udáá, jakou dodatečnou částku by sotřebitele stála dodatečná jednotka užitku. Parciální deriace Lagrangeoy funkce odle, a λ oložíme rony 0. L + λ 0, o deriaci užitkoé funkce ze zadání získáme + λ 0 L + λ 0, o deriaci užitkoé funkce ze zadání získáme + λ 0 L U (, ) + U 0, ro užitkoou funkci ze zadání + U 0 λ Eliminujeme roměnnou λ z rních dou ronic, tj.. Tím se dostááme k ekialentní formě odmínky otima, ze které jsme ycházeli ři ýočtu zůsobem A. Z oslední ronice yjádříme U a tím se dostááme k užitkoé funkci, která ytáří omezení ři otimalizaci rámci této duální úlohy. Výočet dále okračuje obdobně jako e zůsobu A, tedy: Z odmínky otima a omezení získáme soustau dou ronic o dou neznámých (, ). Tyto neznámé yjádříme: Z odmínky otima yjádříme Získáme tak ztah U. a dosadíme tento ztah za do funkce užitku., který označíme jako Hicksoa otáka o statku. Hicksou otáku o statku yjádříme dosazením za do ztahu U., tj. Nákladoou funkci získáme dosazením Hicksoých otáek do funkce ýdajů, tedy U U c + U.
5 PŘÍKLAD : VZTAH NVERZE Neřímá funkce užitku je dána. Určete nákladoou funkci Z neřímé funkce užitku yjádříme : U c Výsledek si oěřte dle říkladu! Nákladoá funkce je dána U c. Určete neřímou funkci užitku Z nákladoé funkce yjádříme U: u U c : Výsledek si oěřte dle říkladu! PŘÍKLAD 3: ROOVA DENTTA Neřímá funkce užitku je dána funkcí. Určete Marshallou otáku o statku a o statku. Royoa identita:, Pomocně je hodné si uědomit, že neřímou funkci užitku můžeme sát i e taru Marshalloa otáka o statku ) ( Marshalloa otáka o statku ) ( Oba da ýsledky si oěřte dle říkladu!
PŘÍKLAD : SHEPHARDOVO PRAVDLO Nákladoá funkce je dána. c U. Vyjádřete Hicksou otáku o statku a c c Shehardoo raidlo:,. Pomocně je hodné si uědomit, že nákladoou funkci můžeme sát i e taru c U Hicksoa otáka o statku U U Hicksoa otáka o statku U U Oba da ýsledky si oěřte dle říkladu! U U PŘÍKLAD 5: VJÁDŘENÍ MARSHALLOVÝCH POPTÁVEK Z HCKSOVÝCH POPTÁVEK Hicksoa otáka o statku je dána U. Vyjádřete Marshallou otáku o statku. a neřímá funkce užitku má tar Marshalloa otáka o určitém statku může být funkcí, a. Proto musíme z Hicksoy otáky odstranit roměnnou U (která se Marshalloých otákách nesmí objeit). Za U řitom můžeme dosadit funkci, která obsahuje říustné roměnné ro Marshalloy otáky (tj., a ). Nabízí se tedy dosazení neřímé funkce užitku: Výsledek si oěřte dle říkladu! 6
U Hicksoa otáka o statku je dána a neřímá funkce užitku má tar. Vyjádřete Marshallou otáku o statku. Vyjdeme z obdobných oznatků jako u ředchozí úlohy, tj. Výsledek si oěřte dle říkladu! PŘÍKLAD 6: VJÁDŘENÍ HCKSOVÝCH POPTÁVEK Z MARSHALLOVÝCH POPTÁVEK Marshalloa otáka o statku je dána c U. Vyjádřete Hicksou otáku o statku. a nákladoá funkce má tar Hicksoa otáka o určitém statku může být funkcí, a U. Proto musíme z Marshalloy otáky odstranit roměnnou (která se Hicksoých otákách nesmí objeit). Za řitom můžeme dosadit funkci, která obsahuje říustné roměnné ro Hicksoy otáky (tj., a U). Nabízí se tedy dosazení nákladoé funkce. U U Výsledek si oěřte dle říkladu! Marshalloa otáka o statku je dána c U. Vyjádřete Hicksou otáku o statku. Vyjdeme z obdobných oznatků jako u ředchozí úlohy, tj. U U Výsledek si oěřte dle říkladu! a nákladoá funkce má tar 7
PŘÍKLAD 7: PRMÁRNÍ A DUÁLNÍ ÚLOHA Užitek sotřebitele je osán užitkoou funkcí e taru U. a. yjádřete Marshalloy otáky o statku a b. yjádřete neřímou funkci užitku c. yjádřete Hicksoy otáky o statku a d. yjádřete nákladoou funkci e. oěřte si ztah inerze mezi neřímou funkcí užitku a nákladoou funkcí f. odoďte Marshalloy otáky o statcích a z neřímé funkce užitku g. odoďte Hicksoy otáky o statcích a z nákladoé funkce h. z Hicksoých otáek o statcích a yjádřete Marshalloy otáky o statcích a. i. z Marshalloých otáek o statcích a yjádřete Hicksoy otáky o statcích a Kontrola ýsledků a meziýsledků: Podmínka otima ( rimární i duální úloze): Omezení rimární úloze: Omezení duální úloze: U + Marshalloa otáka o statku : Marshalloa otáka o statku : 3 3 Neřímá funkce užitku: 3 7 Hicksoa otáka o statku : 3 U Hicksoa otáka o statku : 3 U U Nákladoá funkce: c 3 3 + U 8
Půodní ybaení sotřebitele Sotřebitel maximalizuje užitek ze sotřeby statku a, funkce užitku ze sotřeby obou statků je dána U -3. Statek stojí 0 Kč a statek stojí 5 Kč. Sotřebitel je ybaen jednotkami statku a jednotkami statku. Určete a. čisté otáané, res. čisté nabízené množstí statku b. čisté otáané, res. čisté nabízené množstí statku Nejdříe řešíme roblém maximalizace užitku, abychom zjistili, jaké množstí statku a maximalizuje užitek sotřebitele ři daném rozočtoém omezení. Využijeme tedy odmínku otima a rozočtoé omezení (elikost důchodu zjistíme jako hodnotu ybaení, rotože ybaení musí ležet na linii rozočtu, tj. + 0 * + 5* 80Kč ). MU Podmínka otima MU U Rozočtoé omezení + 6 0 Po dosazení údajů ze zadání do odmínky otima: 3 5 Po dosazení údajů ze zadání do rozočtoého omezení: 0 + 5 80 a řešíme soustau dou ronic o dou neznámých (, ). Výsledkem bude množstí statku e ýši 5 a množstí statku e ýši. Sotřebitel tedy ři daném rozočtoém omezení maximalizuje užitek sotřebou 5 jednotek statku a jednotkami statku. Nyní tyto hodnoty oronáme s ůodním ybaením sotřebitele: Sotřebitel maximalizuje užitek sotřebou 5 jednotek statku, ybaen je jednotkami statku. Z toho lyne, že je čistým otáajícím statku. Čisté otáané množstí bude 5-3 jednotky statku. Sotřebitel maximalizuje užitek sotřebou jednotek statku, ybaen je jednotkami statku. Z toho lyne, že je čistým nabízejícím statku. Čisté nabízené množstí bude - jednotky statku. Rekaitulace říkladu omocí grafu: ybaení - otimum +3 5 9
3 Mezičasoý ýběr Graficky znázorněte linii tržních říležitostí sotřebitele, jestliže tento sotřebitel současnosti obdrží důchod 50 000 a budoucnosti obdrží důchod 60 000. Úrokoá sazba z kladu činí 3%, úrokoá sazba z ůjčky činí 0%. Sočítejte hodnotu růsečíků linie tržních říležitostí s osami. úročení 60000 + 50000( + 0,03) 500 C 60000 směrnice: -,03 směrnice: -, 50000 C 50000 60000 + 00000 ( + 0,) diskontoání Sotřebitelů důchod současnosti činí 55 000 Kč a důchod budoucnosti bude 60 000 Kč. Předokládejte stejnou úrokoou sazbu z ůjčky i kladu. Určete a. ýši maximální úrokoé sazby, ři které by sotřebitel mohl utratit současnosti 05 000 Kč. b. ýši minimální úrokoé sazby, ři které by sotřebitel mohl utratit 0 500 Kč budoucnosti. 60000 a. 55000 + 05000 r 0,, tj. maximální ýše úrokoé sazby by musela činit ( + r) 0%. b. 60000 + 55000( + r ) 0500 r 0,, tj. minimální ýše úrokoé sazby by musela činit 0%. Sotřebitel maximalizuje užitek ze současné a budoucí sotřeby ozici ěřitele ři stejné úrokoé z kladu a úrokoé sazbě z ůjčky. Graficky znázorněte, jak se změní otimum sotřebitele, jesltiže dojde k růstu úrokoé sazby, a ueďte, jak tato změna oliní užitek sotřebitele. 0
C m noá sotřeba ůodní sotřeba ybaení m C Je-li určitá osoba ěřitelem a zýší-li se úrokoá sazba, zůstane tímto ěřitelem i nadále. Zýšení r zůsobí otočení BL kolem bodu ybaení tak, že bude strmější. Noý sotřební koš musí ležet dolea od bodu ybaení (možnosti ýběru doraa byly dostuné i ři ůodní množině rozočtoých možností a byly zamítnuty e rosěch zolené možnosti). Sotřebitel musí zůstat ři růstu úrokoých sazeb ěřitelem. Užitek sotřebitele se zýší (dostane se na yšší indiferenční křiku). Sotřebitel maximalizuje užitek ze současné a budoucí sotřeby ozici dlužníka ři stejné úrokoé z kladu a úrokoé sazbě z ůjčky. Graficky znázorněte, jak se změní otimum sotřebitele, jesltiže dojde k růstu úrokoé sazby, a ueďte, jak tato změna oliní užitek sotřebitele. C m Jestliže dlužník o růstu úrokoé sazby zůstane i nadále dlužníkem, bude na tom hůře. Užitek sotřebitele se sníží (dostane se na nižší indiferenční křiku) ůodní sotřeba noá sotřeba m C nebo C m noá sotřeba ůodní sotřeba Jestliže se dlužník o růstu úrokoé sazby stane ěřitelem, může na tom být buď lée nebo hůře. Užitek sotřebitele se může snížit i zýšit (na obrázku se užitek sotřebitele zýší - dostane se na yšší indiferenční křiku) m C
Rozhodoání sotřebitele odmínkách rizika Sotřebitel si ři sém důchodu 00 Kč kouil los do loterie, e které může s 0% raděodobností yhrát 0 Kč, s 0% raděodobností yhrát 30 Kč a se 70% raděodobností řijít o částku 0 Kč. Určete, zda je tato loterie sraedliou hrou. Příklad lze řešit děma zůsoby, záleží na oužité definici sraedlié sázky. Zůsob : měření očekáaného ýsledku omocí změn bohatstí sotřebitele (násobených říslušnými raděodobnostmi). Pak by mělo říadě sraedlié sázky latit, že E 0. V tomto říadě E π + π + π 3 3 0,.0 + 0,.30 + 0,7.( 0) 0 sázka je sraedliá. Zůsob : měření očekáaného ýsledku zohledněním liu změn na úroeň bohatstí sotřebitele (jednotlié možné úroně bohatstí oět násobíme říslušnými raděodobnostmi). Pak by mělo říadě sraedlié sázky latit, že E. V tomto říadě E π + π + π 3 3 0,.0 + 0,.30 + 0,7.90 00 sázka je sraedliá. Zůsob a zůsob jsou ronocennými zůsoby řešení. Sotřebitel by si ři sém důchodu 00 Kč mohl kouit los do loterie, e které může s 0% raděodobností yhrát 96 Kč, s 0% raděodobností yhrát 5 Kč a se 70% raděodobností řijít o částku 9 Kč. Určete ýši očekáaného užitku sotřebitele ze hry, jestliže je užitkoá funkce sotřebitele dána U a určete, zda sotřebitel na tuto hru řistouí. EU ( ) π U ( ) + π U ( ) + π 3U ( 3 ) 0,. 96 + 0,. 5 + 0,7 8 0,7 O účasti e hře se sotřebitel rozhoduje na základě sronání očekáaného užitku (tj. užitku ze hry, EU()) a užitku za situace, kdy se hry nezúčastní (tj. U()). Sotřebitel se zúčastní hry tehdy, jestliže EU ( ) U ( ) U ( ) 00 0 EU () 0,7 > U () 0, tzn. sotřebitel na tuto hru řistouí. Užitek sotřebitele je osán funkcí U 000 0,0, důchod sotřebitele činí 000 Kč. Sotřebiteli je nabídnuta hra, e které může s 60% raděodobností rohrát 500 Kč, ale s 0% raděodobností může yhrát 750 Kč. Určete: a. zda je nabídnutá hra sraedliá, b. zda sotřebitel na tuto hru řistouí, c. ostoj sotřebitele k riziku.
a. ro určení, zda je hra sraedliá, otřebujeme zjistit očekáaný ýsledek hry (E): E π + 0,6.500 + 0,.750 000 E, tj. hra je sraedliá π b. o účasti e hře se sotřebitel rozhoduje na základě sronání očekáaného užitku (tj. užitku ze hry, EU()) a užitku za situace, kdy se hry nezúčastní (tj. U()). Sotřebitel se zúčastní hry tehdy, jestliže EU ( ) U ( ) EU ( ) π U ( ) + π U ( 598500 + 387750 98650 ) 0,6.(000.500 0,0.500 ) + 0,(000.750 0,0*750 ) U ( ) 000 0,0 000.000 0,0.000 990000 EU() 98650 < U() 990000, tzn. účast e hře sotřebiteli řinese menší užitek než je užitek z bohatstí, které by si sotřebitel onechal, kdyby se hry nezúčastnil. Sotřebitel tedy na hru neřistouí. c. ostoj sotřebitele k riziku oznáme odle toho, zda řistouí na sraedliou sázku. V odoědi (a) jsme došli k záěru, že sázka z tohoto říkladu je sraedliá. V odoědi (b) jsme došli k záěru, že sotřebitel na tuto hru neřistouil. Můžeme tedy usuzoat na to, že je sotřebitel aerzní k riziku. Aerzi k riziku můžeme oěřit i jiným zůsobem z užitkoé funkce si můžeme yjádřit funkci mezního užitku MU 000 0, 0. Z taru této funkce ylýá, že MU je klesající funkcí důchodu sotřebitele (což nastáá ouze říadě aerze k riziku). Rekaitulace říkladu omocí grafu: U U()990000 EU()98650 U() 500 E 750 000 Užitek sotřebitele je osán funkcí U 3 a důchod sotřebitele činí 00 Kč. Sotřebiteli je nabídnuta hra, e které může se 70% raděodobností rohrát 00 Kč a s 30% raděodobností yhrát. Určete minimální ýši ýhry, ři které by se sotřebitel této hry zúčastnil. Sotřebitel se zúčastní hry tehdy, jestliže EU ( ) U ( ) 3
Minimální ýši ýhry tedy yočteme ze ztahu EU () U (). Každá ýhra, která by umožňoala ztah EU () > U () by byla ětší než uedená minimální ýhra. [ 3.(00 + )] 3. 00 EU ( ) U ( ) 0,7.(3.00) + 0,3. yhra 0 + 80 + 0,3. yhra 600 yhra 700 Bohatstí sotřebitele toří 00 000 Kč a byt hodnotě 800 000 Kč. S 5% raděodobností může bytě dojít k ožáru, který by snížil cenu bytu na 60 000 Kč. Užitek sotřebitele je dán funkcí U Určete: a. ýši sraedlié ojistky, b. ýši maximální ojistky. a. Pro sraedliou ojistku latí, že E (tj. očekáaná hodnota majetku situaci, že se sotřebitel neojistí) (tj. bohatstí sotřebitele situaci jistoty dosažené ojištěním, tzn. o zalacení ojistky). Proto π + π ojistka 0,05.360000 + 0,95.000000 000000 ojistka ojistka 000000 8000 950000 3000Kč b. Pro maximální ojistku latí, že EU (tj. očekáaný užitek, kterého sotřebitel dosáhne, když se neojistí) U () (tj. užitek sotřebitele situaci jistoty dosažené ojištěním). Proto EU ) π U ( ) + π ( ) 0,05 360000 + 0,95 000000 30 + 950 980 ( U ( ) EU ( ) 980 980 96000, čímž jsme získali ýši bohatstí o zalacení ojistky. Maximální ojistka je tedy rona 000000 960 00 39600 Kč. Rekaitulace říkladu omocí grafu: U U() ři ojištění za sraedliou ojistku EU, ři ojištění za maximální ojistku latí EUU() U() Maximální ojistka 39600 Kč Sraedliá ojistka 3000 Kč 360tis. 960,tis. 968tis. mil.