Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé X je y = f R k, neboli y 1, y,..., y k = f 1, f,..., f k, kde f i jsou pro i = 1,,...,, k funkce na množině X, tj. nabývají reálné hodnoty, budeme se nejprve zabývat funkcemi f : X Y, kde X a Y jsou podmnožiny reálných čísel. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném bodě, tj. chováním funkce v nějakém nekonečně malém okolí tohoto bodu. Pomocí lokálního chování funkce v každém bodě množiny M pak usuzujeme na chování funkce na celé množině M, tzv. globální chování, které nás většinou zajímá. Je-li dána funkce y = f a bod a, který je vnitřní bod definičního oboru, snažíme se tuto funkci v bezprostředním okolí bodu a přibližně nahradit nějakou jednodušší funkcí, u které jsme schopni zkoumat její vlastnosti. V diferenciálním počtu budeme nahrazovat dané funkce polynomy, tj. budeme se snažit napsat f c 0 + c 1 a + c a +..., 1 kde c 0, c 1,... jsou nějaké konstanty. Ty se snažíme vybrat tak, aby chyba, kterou uděláme, když nahradíme funkci polynomem daného stupně byla v okolí bodu a, tj. pro malá a, co nejmenší. Například, pokud se snažíme nahradit funkci y = f a okolí budu = a lineární funkcí, tj. přímkou, je z grafického názoru přirozené vybrat tuto přímku tak, aby byla tečnou ke grafu funkce y = f v bodě [ a; fa ]. Jestliže do vztahu 1 dosadíme = a, dostaneme c 0 = fa. Vztah 1 pak můžeme pro a napsat jako f fa a c 1 + c a +.... Konstantu c 1 dostaneme tak, že do pravé strany tohoto vztahu dosadíme = a. Bohužel na levé straně je neurčitý výraz 0. Přitom je pro každé z okolí bodu a na levé straně 0 definovaný výraz, který je pro malá a může skoro rovnat nějakému číslu c 1. Nejprve budeme přesně definovat, co máme na mysli tvrzením funkce y = f se v bezprostředním okolí bodu a skoro rovna A, tj. itu funkce. Definice. Necht je dána funkce f, bod a R, který je hromadný bod definičního oboru D f, a A R. Jestliže ε > 0 δ > 0 ; D f ; 0 < a < δ je A f < ε ke každému ε > 0 eistuje δ > 0 takové, že pro každé z definičního oboru funkce f, které se nerovná a a jehož vzdálenost od bodu a je menší než δ, je vzdálenost bodu f od bodu A menší než ε, řekneme, že funkce f má v bodě a itu A. Tento výrok budeme zapisovat jako f = A. 1

Limitě z této definice, tj. když bod a i ita A jsou konečná reálná čísla, se říká vlastní ita ve vlastním bodě. Budeme ještě definovat ity pro a = ±, tj. ity v nevlastním bodě, a ity, které jsou rovny ±, tzv. nevlastní ity. Definice. Necht je dána funkce f a bod a R, který je hromadným bodem D f. Jestliže K δ > 0 ; D f ; 0 < a < δ je f > K, 3 říkáme, že má funkce f v bodě a R itu +. Tento výrok zapisujeme jako f = +. Definice. Necht je dána funkce f a A R. Jestliže je + hromadným bodem D f a ε > 0 K R ; D f ; > K je A f < ε, 4 říkáme, že má funkce v bodě + vlastní itu A. Tento výrok zapisujeme jako f = A. Definice. Necht je dána funkce f a + je hromadným bodem D f. Jestliže K L ; D f ; > L je f > K, 5 říkáme, že funkce f má v bodě + itu + a píšeme f = +. Poznámka: Podobně se definují ity v bodě a ity rovné. Všechny definice ity lze jediným způsobem zapsat pomocí okolí bodů. Definice. Necht je dána funkce f, bod a R, který je hromadný bod D f a A R. Jestliže ke každému okolí UA bodu A eistuje okolí V a bodu a takové, že pro každé z definičního oboru funkce f, které je prvkem okolí V a a a patří hodnota funkce f do okolí UA bodu A, tj. UA V a ; D f V a ; a je f UA, 6 říkáme, že funkce f má v bodě a itu A. Limitu zobrazení f : X Y, kde X R a Y R k budeme definovat pomocí okolí bodu. Definice. Necht je f : X Y zobrazení množiny X R do množiny Y R k a a je hromadný bod množiny X a A R k. Jestliže UA V a ; D f V a, a je f UA 7 řekneme, že zobrazení f má v bodě a itu A.

Pokud eistuje ita funkce nebo zobrazení, je jediná. To je tvrzení následující věty. Věta. Jestliže eistuje f = A je tato ita jediná. Důkaz: Necht eistují f = A a f = B a platí A B. Protože A B, eistují okolí UA a UB takové, že UA UB =. Podle definice ity 7 eistují okolí V A a a V B a bodu a takové, že pro každé D f V A a, a, je f UA a pro každé D f V B a, a, je f UB. Protože je bod a hromadný bod D f, obsahuje množina D f V A a V B a alespoň jeden bod a. Pak ale je f UA UB =. To je nemůže být pravda = spor. Proto není pravda tvrzení: Eistují f = A a f = B a platí A B, a tedy platí jeho negace. To je právě tvrzení uvedené věty. Poznámka: Důkaz tohoto typu se v matematice nazývá důkaz sporem. Jeho logická podstata spočívá A B je ekvivalentní výroku A B. Jeho negace je A B. Při důkazu sporem dokážeme, že tento výrok, tj. A B, neplatí. Proto musí platit jeho negace, tj. výrok A B, což je ekvivalentní výroku A B. Zobrazení f : X Y R k lze popsat pomocí k funkcí f = f 1, f,..., f k. Vyvstává otázka, jak souvisí ita zobrazení f = A = A 1, A,..., A k s itami funkcí f i. Odpověd dává následující věta. Věta. Limita zobrazení f = A = A 1, A,..., A k eistuje právě tehdy, když pro každé i = 1,,..., k eistují konečné ity f i = A i. Poznámka: Z přechozí věty je zřejmé, že při výpočtu ity zobrazení f : X Y R k vystačíme s výpočtem ity funkcí f : X Y R. Proto se v dalším omezíme na výpočet it reálné funkce jedné reálné proměnné. Je ale třeba poznamenat, že pokud aspoň jedna ita f i neeistuje nebo není konečná, ita zobrazení f v bodě a neeistuje. Limity funkcí počítáme většinou tak, že známe základní ity a ostatní ity počítáme pomocí základních it a určitých vět. Je věcí každého, jaké ity bude považovat za základní. Uvedeme některé ity, které byste měli umět zpaměti 1 + 0 1/ = e, 0 0 0 p e = 0, q p R, q > 0, ln p = 0, q p R, q > 0, sin = 1, e 1 = 1, ln1 + = 1 3

a vlastně všechny ity typu f + h f h 0 h = f, které se nazývají derivace funkce f. Pro algebraické operace s itami platí Věta. Jestliže eistují ity f = A R, g = B R a α, β R, a je-li a hromadný bod D f D g pro podíl D f/g pak platí αf + βg = αa + βb, f g = AB, f g = A B, za předpokladu, že jsou výrazy vpravo definovány v R. Připomeňme, že nejsou definovány výrazy typu, 0,, 0 0. Definici ity funkce můžeme ještě rozšířit tak, že nebudeme při itě uvažovat všechna D f, ale pouze M D f. V podstatě se jedná o itu zúžené funkce f M. Definice. Necht je dána funkce f, množina M D f, bod a, který je hromadný bod množiny M a A R. Jestliže UA V a ; M V a ; a je f UA, 8 říkáme, že funkce f má v bodě a vzhledem k množině M itu A. Toto tvrzení zapisujeme jako f = A. M Pro takové ity platí věta: Věta. Necht eistuje f = A. Necht je M D f a bod a je hromadný bod množiny M. Pak platí f = f = A. M Limity funkcí vzhledem k množinám budeme pro funkci jedné reálné proměnné používat pro M = a, + nebo M =, a. Jestliže je a R a M = a, +, resp. M =, a, mluvíme o itě funkce v bodě a zprava, resp. zleva. Definice. Necht je a R hromadný bod množiny D f a, + a A R. Jestliže UA δ > 0 ; D f ; 0 < a < δ je f UA, 9 říkáme, že funkce f má v bodě a itu zprava rovnou A a píšeme + f = A. Podobně, necht je a R hromadný bod množiny D f, a a A R. Jestliže UA δ > 0 ; D f ; 0 < a < δ je f UA, 10 4

říkáme, že funkce f má v bodě a itu zleva rovnou A a píšeme f = A. Limity zprava a zleva se nazývají jednostranné ity a itu f budeme nazývat oboustranná ita funkce f v bodě a. Věta. Pokud je bod a hromadným bodem množin D f a, + a D f, a eistuje oboustranná ita funkce f v bodě a právě tehdy, když eistují obě jednostranné ity funkce f v bodě a a jsou si rovny. Tato věta se často používá k tomu, abychom ukázali, že ita funkce neeistuje. Příklad. Ukažte, že neeistuje ita 1 + 3 1 3. Řešení: Jestliže dosadíme = 1, vidíme, že se jedná o itu typu 4, tj. tato ita rovna 0 + 3 ±. Protože pro > 1 je 1 > 0, platí = +, a protože pro < 1 je 1 + 1 3 + 3 1 < 0, je =. A protože jsou tyto ity různé, oboustranná ita 1 1 3 neeistuje. Jestliže předpokládáme, že bod a je hromadným bodem definičních oborů průniku všech funkcí, jsou následující věty bezprostředním důsledkem definice ity. Věta. Jestliže na nějakém okolí bodu a platí f g, je f g. Věta. Jestliže na nějakém okolí bodu a platí f g h, a eistují f = h = A, pak je g = A. sin Příklad: Dokažte, že 0 = 1. Řešení: Protože funkce f = sin sin je sudá, stačí ukázat, že 0 + = 1. Úhel v obloukové míře budeme měřit délkou oblouku na jednotkové kružnici se středem v počátku O = [0; 0] od kladné vodorovné polopřímky, na které leží bod P = [1; 0]. Bod M, který odpovídá velikosti úhlu 0 pak má souřadnice M = [cos ; sin ]. Obsah pravoúhlého trojúhelníka s přeponou OM a odvěsnou na polopřímce OP je roven P 1 = 1 cos sin a je menší než obsah kruhové výseče OP M, která je P = 1. Tedy pro 0, 1 π platí nerovnost cos sin = sin 1 cos. Na druhé straně je obsah výseče OP M menší než obsah pravoúhlého trojúhelníka a odvěsnou OP, jehož přepona leží na polopřímce OM, který je P 3 = 1 tg. Z toho dostaneme pro 0, 1 π nerovnost tg = sin cos = cos sin. 5

Celkově tedy pro 0, 1 π platí cos sin 1 cos. sin A protože cos = 1, je podle předchozí věty 0 + 0 + = 1. Věta. f = 0 právě tehdy, když f = 0. Věta. Jestliže je f = 0 a eistuje okolí bodu a, ve kterém je funkce g omezená, je fg = 0 Příklad: Protože 0 = 0 a platí nerovnost sin 1 1, je sin 1 = 0. 0 Nyní uvedeme větu, které se týká ity složené funkce h = g f. Jde o to, kdy můžeme počítat itu složené funkce počítat jako dvě ity, nejprve itu funkce f a následně itu funkce g. Přesněji, jsou dány funkce f : X Y a g : Y Z. Necht a je hromadný bod množiny X a f = A. Necht je A hromadný bod množiny Y a eistuje gy = B. Otázka y A je, kdy je h = g f = B? Příklad: Necht je f : R R definována předpisem f = 0 a g : R R definována jako gy = 0 pro y 0 a g0 = 1. Pak je f = 0 a g = 0. Ale pro složenou 0 0 funkci h = g f = g0 = 1 0. Tento příklad ukazuje, že obecně nelze itu složené funkce počítat jako dvě ity. Problém spočívá v tom, že při definici ity gy = B nebereme v úvahu samotný y A bod y = A. Proto musíme vyloučit případ, kdy v každém okolí bodu a eistuje bod a takový, že f = A, nebo do definice ity funkce gy zahrnout i bod A. Věta: Necht jsou dány funkce f : X Y, g : Y Z a h = g f : X Z. Necht a je hromadný bod množiny X a f = A. Necht je A hromadný bod množiny Y a eistuje gy = B. Necht eistuje prstencové okolí P a bodu a takové, že pro každé y A P a je f A. Pak je h = B. Jestliže do definice ity funkce f v bodě a zahrneme i samotný bod a dostaneme tzv. funkci spojitou v bodě a. Definice. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a D f, jestliže platí ε > 0 δ > 0 ; D f ; a < δ je fa f < ε. 11 Podobně definujeme zobrazení spojité v bodě a. Pouze musíme použít vzdálenost dy 1, y v R k. Definice. Řekneme, že zobrazení f je spojité v bodě a D f, jestliže platí ε > 0 δ > 0 ; D f ; a < δ je d f, fa < ε. 1 6

Podobně jako pro ity platí následující věta: Věta. Zobrazení f : X Y R k je spojité v bodě a pravě tehdy, když jsou v bodě a spojité všechny funkce y i = f i. Poznámka: Body a D f, ve kterých je funkce f spojitá, jsou dvojího druhu: 1. a je izolovaný bod D f ;. a je hromadný bod D f a f = fa. Příklad: Dodefinujte funkci f = spojitá. ln1 + v bodě = 0 tak, aby byla v tomto bodě Řešení: Aby byla funkce f v bodě = a spojitá, musí platit fa = f. Proto musíme položit ln1 + f0 = = 1. 0 Věta. Necht jsou dány funkce f : X Y, g : Y Z a h = g f : X Z. Necht a je hromadný bod množiny X, f = A a necht je funkce gy spojitá v bodě A. Pak je h = g f = g f = ga. Definice. Necht je dáno zobrazení f a M D f. Říkáme, že zobrazení f je spojité na množině M, je-li spojité v každém bodě množiny M. Zobrazení f spojité na D f nazýváme spojité. Všechny elementární funkce, které jsme definovali v minulé přednášce jsou spojité. Například funkce f = 1 je spojitá, protože = 0 není prvkem D f. Proto se předcházející věta používá velmi často. Jako příklad ukážeme použití této věty při výpočtu it typu 1. Příklad: Je-li f = 0, pak platí 1 + f g = ep f g. 13 Řešení: Protože podle předpokladu je f = 0, eistuje okolí Ua bodu a takové, že pro každé Ua \ {a} je 1 + f > 0. Tedy podle definice platí v tomto okolí g 1 + f = e g ln 1+f. Protože je funkce e spojitá v R, platí g 1 + f = ep g ln 1 + f. 7

Protože je 0 ln1 + = 1, je funkce F definovaná pro 1, + předpisem ln1 + pro 0, F = 1 pro = 0 spojitá. Podle věty o itě součinu a uvedené věty o itě složené funkce je tedy g ln 1 + f = gf F f = protože F f = F 0 = 1. = g f F f = g f, Pro spojité funkce platí následující věta. Věta. Necht jsou funkce f : X Y a g : Y h = g f : X Z spojitá. Z spojité. Pak je složená funkce Pomocí it se počítají tzv. asymptoty ke grafu funkce y = f. Asymptoty jsou v podstatě přímky, ke kterým se blíží graf funkce v krajním bodě definičního oboru nebo v bodě nespojitosti funkce f. Definice. Přímka = a se nazývá svislou asymptotou ke grafu funkce y = f, jestliže v bodě a eistuje aspoň jedna nevlastní jednostranná ita funkce f, tj. když f = ± nebo f = ±. + Příklad: Funkce y = + 1 3 + = + 1 + + 1 1 má definiční obor, 1 1, +. Protože f =, + f = +, 1 + jsou přímky = a = 1 svislé asymptoty ke grafu funkce y = f. Ale protože není přímka = 1 asymptota. f = 0, 1 Definice. Přímka y = k + q se nazývá asymptota ke grafu funkce y = f v bodě +, resp. v bodě, jestliže f k q = 0, resp. f k q = 0. 14 Je-li k = 0 nazývá se asymptota vodorovná a je-li k 0 mluvíme o šikmé asymptotě. 8

Je zřejmé, že pokud eistuje ita f = q, resp. f = q, je přímka y = q vodorovná asymptota ke grafu funkce v bodě +, resp. v bodě. Je-li přímka y = k + q asymptota ke grafu funkce y = f v bodě ±, je f k q 0 = ± Jestliže známe k, lze najít hodnotu q jako itu f f = k, tj. k = ± ±. q = ± f k. Příklad: V bodech ± najděte asymptoty funkce y = + +. Řešení: Pro jde o výraz typu +. Protože je + + + + + = + = + = 1, = je přímka y = 1 vodorovná asymptota ke grafu funkce v bodě. Pro + se jedná o výraz + + a vodorovná asymptota v bodě = + neeistuje. Abychom našli šikmou asymptotu, najdeme nejprve k = + + =. Člen q je pak q = + = = + + = 1. + + + + + = Tedy v bodě + šikmá asymptota přímka y = + 1. Pro spojité funkce platí mnoho důležitých vět, z nichž některé lze najít ve skriptech. Zde uvedeme pouze jednu větu, kterou budeme potřebovat při výpočtu globálních etrémů spojité funkce na kompaktní, tj. omezené a uzavřené, množině M R. Věta. Je-li funkce f spojitá na kompaktní množině M, eistují body min, ma M takové, že pro každé M je f min f f ma. Tvrzení této, tzv. Weierstrassovy věty, lze vyjádřit tak, že každá funkce spojitá na kompaktní množině M má v množině M minimum a maimum. Důkaz: Aby bylo vidět, jak se v matematice dokazují věty a proč se většinou důkazům v přednášce vyhýbám, uvedeme pro zajímavost důkaz této věty. Zároveň na důkazu budeme demonstrovat důležitou vlastnost kompaktních množin, že pro každou posloupnost n 9

prvků kompaktní množiny M eistuje z ní vybraná podposloupnost, která má itu v M. Nejprve ukážeme, že každá funkce f, která je spojitá na kompaktní množině M je na M omezená. Předpokládejme, že funkce f na množině M omezená není. Pak je každému n N je množina M n = { M ; f > n } neprázdná. Z každé množiny M n vybereme prvek n. Takto dostaneme posloupnost n M. Protože je množina M kompaktní, eistuje posloupnost y n vybraná z posloupnosti n, která konverguje k prvku y M, tedy y n = y M. Podle definice vybrané posloupnosti je y n M n, a tedy n fy n > n. Protože je funkce f spojitá na množině M, je fy = n fy n = +, což je spor se spojitostí funkce f v bodě y M. Podobně se ukáže, že funkce f je na množině M omezená zdola. Označme A = { f R ; M }. Protože je funkce f na množině M omezená, je omezená i množina A, a proto eistují S = sup A R a s = inf A R. Podle definice suprema a infima platí pro každé M nerovnosti s f S. Pro každé n N označme A n = { M ; f > S 1 n }. Podle definice suprema, je pro každé n N množina A n neprázdná. Z každé množiny A n vybereme prvek n A n. Tím dostaneme posloupnost n M. Protože M je kompaktní, lze z ní vybrat posloupnost y n, která konverguje k prvku y M. Protože je y n A n, platí nerovnost S 1 n fy n S. Jestliže označíme y = n y n M, dostaneme ze spojitosti funkce f v bodě y S 1 = S fy n = fy S, n n n tj. fy = S. Tedy eistuje y = ma M, pro které platí S = f ma f M. Důkaz eistence prvku min M je obdobný. 10