Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205
Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady
Zdroj informací http://www.math.muni.cz/~plch/nkpm/hlavni.pdf
Posloupnosti a jejich vlastnosti 4/ 47 Posloupnost reálných čísel: každému přirozenému číslu n N přiřadíme reálné číslo a n R n N : n }{{} a n R, přiřadíme {a n } R posloupnost {a n } = {a, a 2,..., a i, a i+,... } Vlastnosti rostoucí : i N : a i < a i+ klesající : i N : a i > a i+ nerostoucí : i N : a i a i+ neklesající: i N : a i a i+ monotónní: nerostoucí nebo neklesající ryze monotónní: rostoucí nebo klesající omezená shora : Q R : i N : a i Q omezená zdola : P R : i N : P a i omezená (shora i zdola) : P, Q R : i N : P a i Q
Příklady 5/ 47 { } {a n } = = {, 2 n, 3 },... klesající? (platí i N : i + < i )? vynásobíme i(i + ) i < i + 0 < : platí, je klesající omezená? { {a n } = } = n 0 < n ano {, 2 }, 3,... rostoucí? (platí i N : i + > i )? vynásobíme i(i + ) : i > (i + ) protože 0 > :platí, je rostoucí omezená? n 0 ano {a n } = { n 2 } : rostoucí, omezená (0 n 2 < ) {a n } = { n} : klesající, omezená shora ( n 0), zdola není omezená
Příklady 6/ 47 {a n } = {3 ( ) n } = { 3, 3, 3, 3,... } : není rostoucí, není klesající, je omezená { } {a n } n(n ) { = = 0, 2 n + 3, 6 4, 2 5, 20 } 6... rostoucí? (platí i N : a i+ > a i )? (i + )((i + ) ) (i + )i a i+ = = (i + ) + i + 2 (i + )i i(i ) (i + 2)(i + ) > (?) vynásobíme : i + 2 i + i (i + ) 2 > (i )(i + 2) (?) i 2 + 2i + > i 2 + i 2 (?) i > 3 : platí i N je rostoucí omezená? n(n ) = n 2 + 2 není omezená n + { } n + {a n } 2n = n + { } {a n } n + = n
Limita posloupnosti 7/ 47 Definice Číslo A R je limitou posloupnosti {a n }, jestliže ke každému reálnému číslu ε existuje index n 0 tak, že nerovnost a n A < ε je splněna pro všechna n > n 0. lim n a n = A ε R n 0 N n N : n > n 0 a n A < ε To znamená, že ke každému ε > 0 existuje pouze konečný počet členů posloupnosti, které neleží v pásu (A ε, A + ε). Těchto členů je nejvýše { n 0. Příklad: {a n } 3n + = 5n + 2 } 3n + 5n + 2 5 3 = 5n + 5 5n 6 25n + 0 ε n 0 { ε = 25, A= 5 3 = 25n + 0 0 taková nejsou ε = 0 6 prvních 39 999 > ε pro konečný počet n
Vlastnosti limit 8/ 47 { A R vlastní lim a an konverguje k A n = n ± nevlastní a n diverguje a n nemá limitu a n diverguje (osciluje) Věta : Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz sporem. Vybraná posloupnost: Necht {k n } je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost {a k, a k2,..., a kn,... } nazýváme vybranou posloupností z posloupnosti {a n }. Věta 2: Má-li posloupnost {a n } limitu rovnu a, potom každá vybraná posloupnost z {a n } má tutéž limitu a. Důkaz z definice. Příklad: {a n } = {( ) n 3} Vybrané posloupnosti : členy se sudými indexy, s lichými indexy: {a (2n) } = {3} lim n a (2n) = 3, {a (2n ) } = { 3} lim n a (2n ) = 3 Příklad: {a n } = {cos(nπ)}
Vlastnosti limit 9/ 47 Věta 3: Předpokládejme, že lim a n = a, lim b n = b. Potom platí: lim(a n ± b n ) = a ± b, lim(a n b n ) = a b, lim(a n /b n ) = a/b, pokud výrazy na pravých stranách mají smysl a pokud podíl a n /b n má smysl n N. Příklad: lim n 3 + n 5 + 2 = lim n 3 + lim n n = 3 n lim n 5 + 2 lim n 5 n const = const (z definice) const const = 0 < ε 3n + 5n + 2 = lim n lim n Jestliže lim{a n } = a lim const a n = const a n = 0 z definice: n 0 < ε pouze pro konečný lim n počet n platí: n ε (ε = 0 n 0 = 0) Příklad:k N : lim n n k = lim n n lim n n... lim n n = 0
Vlastnosti limit 0/ 47 Věta 4: Necht {a n }, {b n }, {c n } jsou posloupnosti, pro které platí: lim a n = lim c n = c a n N : a n b n c n. Potom lim b n = c. Příklad: lim n n ( )n n Příklad: lim n ( ) n n n, sin(n) n sin(n), n Příklad: lim n 2 n lim n n = lim n n = 0 lim ( ) n n n n sin(n) n n > 4 : n 2 2 n 0 n 2 n n n = 0
Příklady / 47 lim n np = lim n an = lim n lim n 0 pro p < 0 pro p = 0 + pro p > 0 neex. pro < a 0 pro < a < pro a = + pro a > n n = ( + ) n = e(= 2.7828828...) n
Příklady 2/ 47 3n 2 + 5n lim n 3n 4n 2 lim n lim n lim n 2n 2 5n + 5 n 4 + 5n + 4n 3 + 5 2n 2 + n 4n 3 + 5 3n 4n 2 Ve všech příkladech použijeme stejnou úpravu: čitatel a jmenovatel zlomku vyděĺıme nejvyšší mocninou jmenovatele. Limita podílu dvou polynomů: a s n s + a s n s + + a 0 lim n b r n s + b r n r = + + b 0 a s b r pro r = s 0 pro r > s ± pro r < s + : a s b r > 0 : a s b r < 0
Řady 3/ 47 řada: a k = a + a 2 + a 3 +... Otázky: Jak sečíst nekonečnou (přesněji spočetnou) množinu čísel? Platí pro nekonečné součty podobné zákony jako pro konečné součty, zejména zákon distributivní, asociativní a komutativní? Pojmy částečné součty řady s = a, s 2 = a + a 2,..., s i = a + a 2 + + a i posloupnost částečných součtů {s n }
Konvergence řady 4/ 47 Definice Je li posloupnost částečných součtů {s n } konvergentní, tj. existuje li vlastní limita lim s n = S, n řada konverguje (resp. konverguje k S). Neexistuje li vlastní limita, řada diverguje.
Konvergence řady 4/ 47 Definice Je li posloupnost částečných součtů {s n } konvergentní, tj. existuje li vlastní limita lim s n = S, n řada konverguje (resp. konverguje k S). Neexistuje li vlastní limita, řada diverguje. lim s n = n S neexistuje S a k = řada konverguje k S řada diverguje k řada diverguje k řada osciluje
Příklady 5/ 47 Příklad : a k = k(k + ) = k k + s n = lim s n = n a k =
Příklady 5/ 47 Příklad : a k = k(k + ) = k k + lim s n = n s n = n + lim n n + = a k = řada konverguje k.
Příklady 6/ 47 Příklad 2: a k = ln( + k ) = ( ) k + ln = k s n = ln(k + ) ln k lim s n = n a k =
Příklady 6/ 47 Příklad 2: a k = ln( + k ) = ( ) k + ln = k s n = ln(n + ) ln(k + ) ln k lim s n = n lim ln(n + ) = n a k = řada diverguje k +.
Příklady Příklad 3: lim n s n a k = ( ) k s n = {0,, 0,,... }
Příklady Příklad 3: a k = ( ) k s n = {0,, 0,,... } lim s n neexistuje (věta o vybrané posloupnosti) řada osciluje. n
Příklad 8/ 47 Příklad 4: a k : a k = s n = 3 (3k 2)(3k + ) = ( 3 3k 2 ) 3k + ( 4 + 7 + + 3n 5 3n 2 + 3n 2 lim s n = n = 3 ( ) 3n + a k = ) = 3n +
Příklad 8/ 47 Příklad 4: a k : a k = s n = 3 (3k 2)(3k + ) = ( 3 3k 2 ) 3k + ( 4 + 7 + + 3n 5 3n 2 + 3n 2 lim s n = n = 3 ( lim n 3 ) 3n + ( 3n + a k = 3 ) = 3 ) = 3n +
Harmonická řada 9/ 47 k
Harmonická řada 9/ 47 s = s 2 = + 2 s 4 = s 2 + 3 + 4 > s 2 + 4 + 4 = + 2 2 s 8 = s 4 + 5 + 6 + 7 + 8 > s 4 + 4 8 = + 3 2 s 6 = s 8 + 9 + 0 + + 6 > s 8 + 8 6 = + 4 2. s 2 n > + n 2 {s n } je rostoucí má limitu bud vlastní nebo +, stejnou, jako vybraná s 2 n: lim + n n 2 = + k diverguje k k
Postačující podmínka konvergence 20/ 47 Věta Příklady a k konverguje lim k a k = 0 OBRÁCENĚ N E P L A T Í!!! lim k k 2 2k 2 + k 2 2k 2 + = řada diverguje 2 lim k k k = 0, ALE řada diverguje
Geometrická řada: konverguje? Jaký má součet? 2/ 47 a + a q + a q 2 + + a q k + = a q k, a 0, q 0 q = q = q q > q <
Geometrická řada: konverguje? Jaký má součet? 2/ 47 a + a q + a q 2 + + a q k + = a q k, a 0, q 0 q = s n = n a ; q = řada řada a( ) k osciluje lim s n = lim n a = ± a div. n n a( ) k {s n } = {0, a,..., } q s n = a + a q + a q 2 + + a q n ( q)( + q + q 2 + + q n ) = q n s n = a qn q q > lim n qn = + lim q < lim n qn = 0 lim n s n = a q k = s n = ± řada diverguje n a q a q pro q <
Kritéria konvergence 22/ 47 Řady s kladnými členy: a n a b n, a n > 0, b n > 0. Limitní srovnávací kritérium konvergence řad. Pokud existuje vlastní nenulová limita: a n lim = L 0, n b n potom řady a n a b n konvergují nebo divergují zároveň. Někdy srovnáváme s řadou { α > konverguje b n =, která pro : nα α diverguje VÍME, že lim n c l x l +... d m x m +... = c l d m při l = m 3x př. lim 5 +... n 2x 5 +... = 3 2 0 při l < m 3x př. lim 2 +... n 2x 5 +... = 0 při l > m 3x př. lim 5 +... n 2x 3 +... =
Příklady 23/ 47. 2. 3. 4. 5. a n = a n = a n = a n = a n = n 2 n 4 +3 n 2 +2n+3 n+ 4 n 4 +n+ n+2 n 5 + 3 n (n+) n
Příklady 23/ 47. 2. 3. 4. 5. a n = a n = a n = a n = a n = n 2 n 4 +3 n 2 +2n+3 n+ 4 n 4 +n+ n+2 n 5 + 3 n (n+) n b n = b n = b n = b n = b n = n 2 n n n 3 2 n 7 6 řady konvergují řady divergují řady divergují řady konvergují řady konvergují
Kritéria konvergence 24/ 47 Řada s kladnými členy: a n, a n > 0. d Alembertovo kritérium konvergence řad. Pokud existuje limita: a n+ lim = L, L 0, nebo L =, n a n potom řada a n při L < při L > při L = konverguje diverguje nevíme
Příklady 25/ 47 a n = n 2 n a n+ lim = n a n a n = a n+ lim = n a n 3n+ 2 n
Příklady 25/ 47 a n = n 2 n a n+ n + lim = lim n a n n 2 2 n 2n n = 2 lim n + = n n 2 < řada konverguje a n = a n+ lim = n a n 3n+ 2 n řada konverguje
Příklady 25/ 47 a n = n 2 n a n+ n + lim = lim n a n n 2 2 n 2n n = 2 lim n + = n n 2 < řada konverguje a n = 3n+ 2 n a n+ lim = lim n a n n řada konverguje 3(n + ) + 2 n 2 2 2 2 n 2 3n + = lim 2 n 3n + 4 3n + = < 2
Příklady 26/ 47 a n = a n = 2 n (3n + )3 n 5 n n 2 n
Kritéria konvergence 27/ 47 Integrální kritérium konvergence Řada s kladnými členy: a k, a k > 0, f (x) je nerostoucí funkce v intervalu < m, ), m N, f (k) = a k, k = m, m +, m + 2,.... řada a k konverguje konverguje nevlastní integrál f (x)dx m
Řady s libovolnými reálnými členy 28/ 47 a n Konvergence řady absolutní : konverguje řada a n relativní : a n konverguje, ale a n diverguje.
Řady s libovolnými reálnými členy 28/ 47 a n Konvergence řady absolutní : konverguje řada a n relativní : Alternující řada: a n konverguje, ale a n diverguje. ( ) n a n, a n > 0.
Řady s libovolnými reálnými členy 28/ 47 a n Konvergence řady absolutní : konverguje řada a n relativní : Alternující řada: a n konverguje, ale a n diverguje. ( ) n a n, a n > 0. Leibnitzovo kritérium konvergence alternující řady: Pokud:. Posloupnost {a n } je nerostoucí a 2. lim a n = 0, n potom řada ( ) n a n, a n > 0 konverguje.
Řady s libovolnými reálnými členy 28/ 47 a n Konvergence řady absolutní : konverguje řada a n relativní : Alternující řada: a n konverguje, ale a n diverguje. ( ) n a n, a n > 0. Leibnitzovo kritérium konvergence alternující řady: Pokud:. Posloupnost {a n } je nerostoucí a 2. lim a n = 0, n potom řada ( ) n a n, a n > 0 konverguje. Jestliže alternující řada splňuje Leibnitzovo kritérium, potom pro absolutní hodnotu zbytku řady platí: R n a n+.
Příklady 29/ 47 ( ) n n ( ) n 2 n (n + )!
Příklady 29/ 47 řada z absolutních hodnot: ( ) n n n : diverguje posloupnost { n } je nerostoucí, lim n n = 0 řada konverguje relativně s 4 = + 2 3 + 4 = 5 2, R 4 5 ( ) n 2 n (n + )! řada z absolutních hodnot: 2 n (n+)! : konverguje (d Alembertovo k.): lim n a n+ a n = 2 lim n n+2 = 0 řada konverguje absolutně s 3 = + 4 8 = R 3 24
Příklady 30/ 47 ( ) n n n(n + )
Příklady 30/ 47 ( ) n n n(n + ) řada z absolutních hodnot: limita lim n = ( 0) n n(n+) řada diverguje n : diverguje n(n+)
Algebraické operace s řadami (s kladnými členy) 3/ 47 Součet konvergentních řad Násobení řady číslem
Algebraické operace s řadami (s kladnými členy) 3/ 47 Součet konvergentních řad Věta: a k, b k jsou konvergentní a mají součty s, t (a k + b k ) konverguje a platí (a k + b k ) = s + t. Násobení řady číslem
Algebraické operace s řadami (s kladnými členy) 3/ 47 Součet konvergentních řad Věta: a k, b k jsou konvergentní a mají součty s, t (a k + b k ) konverguje a platí (a k + b k ) = s + t. ALE z konvergence (a k + b k ) NEPLYNE konvergence řad a k, b k. Pouze v případě konvergentní řady smíme sdružovat členy do závorek. Násobení řady číslem
Algebraické operace s řadami (s kladnými členy) 3/ 47 Součet konvergentních řad Věta: a k, b k jsou konvergentní a mají součty s, t (a k + b k ) konverguje a platí (a k + b k ) = s + t. ALE z konvergence (a k + b k ) NEPLYNE konvergence řad a k, b k. Pouze v případě konvergentní řady smíme sdružovat členy do závorek. Násobení řady číslem Věta: a k konverguje, p R(p 0) p a k konverguje a p a k = p a k
Přerovnání členů 32/ 47 Necht a k je absolutně konvergentní. k+ Potom každá řada, která z této řady vznikne přerovnáním, je také absolutně konvergentní a má týž součet. (a naopak) Riemannova věta Necht a k je relativně konvergentní. k+ Zvolme libovolné reálné číslo T. Potom lze řadu přerovnat tak, že přerovnaná řada je konvergentní a má součet T. Jak? Z řady a k vytvoříme 2 řady (p k, q k ): všechna kladná, všechna záporná (bez změny pořadí). Do vytvářené řady dáme tolik kladných členů, aby p + + p r T p + + p r > T ; dále tolik záporných členů, aby částečný součet T... Také ji lze přerovnat tak, že přerovnaná řada diverguje, nebo osciluje.
Příklad: 5 4 k 3 k+ 6 k =
Příklad: 5 4 k 3 k+ 6 k = 5 4k 6 k 3 3k 6 k = ( ) 2 k = 3 ( ) k = 2 5 2/3 = 3 /2 = 2 5 4k 6 k 3 3n 6 n = 5 3 3 2 = 9 ( ) 2 k ( ) k 3 3 2
Řady funkcí Místo číselných posloupností uvažujeme posloupnost funkcí. Necht {f k (x)} k N {0} je posloupnost funkcí, definovaných na množině E R. f k (x) k=0 nazýváme řadou funkcí. Obor konvergence řady funkcí je množina O : x E R, pro něž je řada funkcí konvergentní, tj. existuje vlastní limita posloupnosti částečných součtů. Tuto limitu, nazývanou součtem řady značíme s(x), s(x) = f k (x), x O. k=0 Speciální případ: mocninné řady. Posloupnost funkcí f k (x) = c k (x x 0 ) k, (x 0, c k R) Speciální mocninná řada: Taylorova řada funkce.
Taylorova řada Taylorova věta z diferenciálního počtu: Necht je funkce, která má derivace až do řádu n v uzavřeném intervalu I, jehož krajní body jsou čísla x a x 0. Pak platí f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )! (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n+ (x), n! kde R n+ (x) je Taylorův zbytek, pro který platí R n+ (x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x 0) n+, kde ξ I, ξ x, x 0 Definice: Necht funkce má v bodě derivace všech řádů. Mocninnou řadu f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! n=0 nazýváme Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0.
Řady elementárních funkcí Koeficienty počítáme přímým výpočtem. e x x k = k!, x R k=0 sin(x) = ( ) k x 2k+ (2k + )!, x R k=0 cos(x) = ( ) k x 2k (2k)!, x R ( + x) p = k=0 k=0 ( ) p x k, x (, ), p R (binomická řada) k
Struktura oboru konvergence Pro každou mocninnou řadu nastává právě jedna ze tří možností: řada konverguje pouze pro x = x 0 ; 2 řada konverguje absolutně pro všechna x R; 3 existuje kladné číslo R takové, že řada konverguje absolutně pro x x 0 < R a diverguje pro x x 0 > R Číslo R je poloměr konvergence mocninné řady; Interval I = (x 0 R, x 0 + R) je interval konvergence mocninné řady. (dodefinujeme R = 0 pro. a R = pro 2. případ )
Určení intervalu konvergence použitím d Alembertova kritéria 2 3 4 5 6 ( ) k x k k=0 k, R = ( ) k x 2k+ 2k +, R = x k k!, R = k! x k, R = 0 k=0 k=0 k=0 (x 4) 3k 8 k (k + ), R = 2 k (x + 2)2k ( ) 4 k (2k + ), R = 2 k=0 k=0
Derivování mocninných řad Poznámka: řady k=0 c k(x x 0 ) k a mají stejný poloměr konvergence. kc k(x x 0 ) k Věta s(x) je diferencovatelná funkce na I = (x 0 R, x 0 + R) a s (x) = kc k (x x 0 ) k, x R Derivování člen po členu. Mocninné řady pro derivace se získají (v intervalu konvergence) derivováním člen po členu. Příklad x = + x + x 2 + x 3 + = pro derivaci: ( x) 2 = + 2x + 3x 2 + = x k, k=0 x (, ), (geom. ř.), kx k, x (, )
Integrování mocninných řad Věta x x 0 s(t)dt = k=0 c k k + (x x 0) k+, x I. Integrování člen po členu. Mocninná řada pro integrál součtu se získá (alespoň na intervalu konvergence) integrováním člen po členu. Příklad (geometrická řada s kvocientem t) + t = t + t2 t 3 + = ( ) k t k, t (, ), k=0 integrování člen po členu: x dt ln( + x) = 0 + t = t t2 2 + t3 3 t4 x 4 +... = 0 = x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 + = ( ) k x k, x (, ) k
Algebraické operace s mocninnými řadami Součet a součin dvou mocninných řad a součin řady s reálným číslem jsou definovány stejně jako pro číselné řady. Výsledné řady jsou opět mocninné řady. Necht řada a k (x x 0 ) k konverguje k s (x) na intervalu (x 0 R, x 0 + R ) k=0 a řada b k (x x 0 ) k konverguje k s 2 (x) na intervalu (x 0 R 2, x 0 + R 2 ). k=0 Označme R = min{r, R 2 }. Součet dvou řad je definován jako (a k + b + k)(x x 0 ) k. k=0 Tato řada konverguje k s (x) + s 2 (x) na intervalu (x 0 R, x 0 + R). Součin dvou řad je definován jako k c k (x x 0 ) k, c k = a j b k. k=0 j=0 Tato řada konverguje k s (x) s 2 (x) na intervalu (x 0 R, x 0 + R).
Příklady ln( + x) = = x 3 + x 2 x 2 + 6 x 3 25 2 x 4 +... arctg x 2 x 2 = = x + 2 3 x 3 + 3 5 x 5 +... 3 x cos x 4 e x + cos x + x
Použití známých rozvojů e 2x 2 cos 2x 3 e x2 4 x 2
Použití vzorce pro součet geometrické řady 2 4 2x 3 + 2x
Příklady x 0 = 0; Rozvineme do řady a určíme interval konvergence. f (x) = x 2 2 f (x) = arctg x (integrací + t 2 ) ( ) + x 3 f (x) = ln ln( + x) ln( x) x 4 sin 2 x = ( cos 2x) 2
Aplikace přibližný výpočet (funkčních) hodnot, např. e = e 0.5 výpočet určitých integrálů sin t dt t 0 výpočet limit např. lim x ( ( x x 2 ln )) x e x 2 0. + x = ( x) n = x + x 2 x 3..., (součet geom. řady: a=, q = x) n=0 2. Rozvoj ln( + x) = + x dx = x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 + x 5 5... 3. Použijeme rozvoj ln( + x) pro ln( x ): ln ( + ( )) ( ) x = ( x x ) 2 2 + ( x ) 3 3 ( x ) 4 4 + ( x ) 5 5... 4. ) ( x 2 ln( x ( ) = x 2 ) ( x x ) 2 2 + ( x ) 3 3 ( x ) 4 4 + ( x ) 5 5.... 5. x x 2 ln( x ) = x ( x 2x 2x + 2x + lim(...) = lim x 2x = 3x 2 4x 3... ) = dx
Ke zkoušce derivace monotonie, extrémy, konvexnost, konkávnost, asymptoty 2 integrály tabulkové úpravou 2 per-partes 3 substituce aplikace plocha 2 objem rotačního tělesa 3 Taylorova řada a její použití