Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Velmi stručně o parciálních derivacích Castiglianova věta k čemu slouží Castiglianova věta jak ji použít Castiglianova věta staticky určité přímé nosníky příklady Castiglianova věta staticky určité lomené nosníky - příklad
VELMI STRUČNĚ O PARCIÁLNÍCH DERIVACÍCH Pokud řešíme parciální derivaci, tak písmenko, které je napsané ve jmenovateli zlomku (to podle čeho se derivuje), je naše neznámá a ostatní písmena a čísla (v čitateli zlomku) bereme jako konstanty. Nyní uvedu pár konkrétních příkladů parciálních derivací: (yx) x (2yx) y = y = 2x (Mx + Fa 2 Fx 2 ) F (Mx + Fa 2 Fx 2 ) M = a 2 x 2 = x
CASTIGLIANOVA VĚTA K ČEMU SLOUŽÍ Castiglianova věta slouží k určení průhybu a úhlu natočení v jednom konkrétním bodě například nosníku. Vychází z deformačních energií a její odvození najdeme ZDE na straně 157. Na rozdíl od analytické metody (viz minulé cvičení) nám neurčí průhyby a úhly natočení v libovolném místě, ale pouze v jenom konkrétním místě nosníku, což je její nevýhoda. Nevznikají zde ale integrační konstanty a nemusíme řešit ani žádné soustavy rovnic, což je její pozitivum. Pro úhel natočení platí tento vztah: φ = 1 EI M(x) M(x) dx, M l kde E je modul pružnosti v tahu [MPa], I moment setrvačnosti průřezu [mm 4 ], M(x) moment [Nmm], M(x) M [-] parciální derivace momentu podle momentu, který působí v počítaném místě, l [mm] je délka, přes kterou integrujeme. Pro průhyb platí tento vztah: w = 1 EI M(x) M(x) dx, F l kde E je modul pružnosti v tahu [MPa], I moment setrvačnosti průřezu [mm 4 ], M(x) moment [Nmm], M(x) F [-] parciální derivace momentu podle síly, která působí v počítaném místě, l [mm] je délka, přes kterou integrujeme.
CASTIGLIANOVA VĚTA JAK JI POUŽÍVAT 1) Počítáme-li průhyb, tak musí být v daném místě osamělá síla. Jestliže není, musíme do tohoto místa zavést takzvanou doplňkovou sílu FD = 0 N, se kterou počítáme i do rovnic rovnováhy. Až na konci výpočtu za tuto sílu dosadíme nulu. Jestliže by tam pouze bylo spojité zatížení nebo moment, tak i tam musíme zavést novou osamělou doplňkovou sílu FD = 0 N. Pokud se nám jedná o natočení a v daném místě není moment, tak opět musíme zavést doplňkový moment MD = 0 Nmm, se kterým zacházíme stejně jako u průhybu s FD:
2) Pokud by v počítaném místě byla síla či moment, který by byl stejný jako jiná síla či moment na nosníku (nebo by byla násobkem jiné síly či momentu na nosníku), zavedeme substituci a pojmenujeme si ji písmenkem, které se na nosníku nevyskytuje:
3) Musíme napsat rovnice rovnováhy a vyjádřit reakce. Do těchto rovnic musíme zahrnout případnou doplňkou sílu či moment. 4) Rozdělíme nosník na úseky. Hranice jednotlivých úseků tvoří uložení (kloubové, pevné, posuvné vazby, vetknutí ), osamělé síly, momenty a spojitá zatížení (jeho začátek a konec tvoří jeden úsek). Působí-li uvnitř spojitého zatížení nějaký moment či síla, musí být i toto spojité zatížení rozděleno do více úseků. 5) Pro každý úsek zavedeme samostatnou souřadnici, která může začínat buď na levé či pravé hranici. 6) Pro každý úsek musíme vyjádřit moment M(x), který na daném úseku působí. A ve výsledku musíme počítat se všemi momenty, tzn. jak s těmi napravo, tak nalevo od počítaného místa. Nyní uvedu složitější případ rozdělení nosníku na úseku a vyjádření momentů, aby bylo zřejmé, kde a jak se vytvářejí hranice. V dalším textu naleznete celou řadu dalších příkladů, které ovšem nebudou tak moc komplexní.
7) Nyní musíme do všech M(x) dosadit reakce, jejichž podobu jsme získali z rovnic rovnováhy (bod 3). 8) Každý moment M(x) musíme parciálně derivovat. Vždy derivujeme podle toho, co působí v počítaném místě u průhybu síla a u natočení moment. 9) Dosadíme do vztahu pro průhyb, případně natočení, vyjádříme určité integrály, jejichž meze jsou dány velikostí jednotlivých úseků. Za doplňkové síly a momenty dosadíme nulu. Integrály sečteme a dostáváme výsledek. 10) Nakonec provedeme jednotkovou kontrolu jestli nám průhyb vyšel v metrech (milimetrech) a natočení v radiánech (tzn. bez jednotky)
CASTIGLIANOVA VĚTA STATICKY URČITÉ PŘÍMÉ NOSNÍKY - PŘÍKLADY
CASTIGLIANOVA VĚTA STATICKY URČITÉ LOMENÉ NOSNÍKY PŘÍKLAD