ZSE 8/9 Studijní mteriály ke 4 vičení z předmětu ZSE Předkládný studijní mteriál je určen primárně studentům kterým odpdlo vičení dne 4 9 (velikonoční pondělí) Ke studiu jej smozřejmě mohou využít i studenti osttníh skupin kteří vičení z uváděné problemtiky bsolvovli Jeho součástí jsou řešené příkldy počítné n vičeníh A Ampérův zákon (elkového proudu) mgnetiká induke intenzit Bude-li velmi dlouhým přímým vodičem protékt proud indukční čár bude z důvodu symetrie kružnií se středem v ose vodiče B Vektory B dl jsou kolineární (rovnoběžné le různé velikosti) velikost B je z důvodu symetrie po elé dráze stejná Cirkule vektoru B po kružnii s poloměrem tedy bude Bd l B dl B π Pro velmi dlouhý vodič (ideálně nekonečný) lze induki počítt dle vzthu výše uvedený integrál je pk roven µ B π Bd l µ Uvedený vzth předstvuje Ampérův zákon lze dokázt že pltí pro jkýkoliv tvr vodiče jkoukoliv integrční dráhu Proud n prvé strně rovnie je elkový proud obepnutý integrční dráhou bez ohledu n to teče-li v jednom nebo několik vodičíh či je-li rozložen v elé ploše Některé příkldy jsou n následujíím obrázku B Bd l µ Bd l µ ( ) Bd l µ
ZSE 8/9 Př A Určete mgnetiké pole vybuzené ívkou ve tvru toroidu n obrázku která má N závitů s proudem b r S Řešení: Poždvky n volbu integrční dráhy splňuje kružnie (integrční dráh ) se středem S podle obrázku poloměrem r Uvnitř vinutí obepíná zvolená kružnie proud N pltí nduki tedy vyjádříme ve tvru Bd l π r µ N B N µ µ n π r B kde n N /(π r) je hustot vinutí v záviteh n metr Celkový proud obepínný drhmi je nulový proto i induke mgnetikého pole bude uvnitř vně toroidní ívky nulová Př A Určete mgnetiké pole vybuzené velmi dlouhým solenoidem (obrázek níže) s počtem závitů n jednotku délky n s proudem l d b B Řešení: Uvnitř velmi dlouhého solenoidu budou indukční čáry z důvodu symetrie přímé (pltí přesně pro solenoid nekonečně dlouhý) Vně solenoidu kde se pole rozptyluje do nekonečného prostoru bude B ntegrční dráhu volíme podle obrázku ve tvru obdélník složeného ze čtyř úseků tedy i integrál rozdělíme n čtyři části B l Bdl + Bdl + Bdl + d Bdl b d
ZSE 8/9 ntegrály po úseíh b d jsou nulové neboť vektor B je kolmý n dl ntegrál po dráze je tktéž nulový jelikož vně ívky B Lze psát Bd l Bdl Bl µ N µ nl tedy pk N B µ µ n l kde n N / l Protože se výsledek nezmění ni při posunutí strny obdélníku je mgnetiké pole uvnitř solenoidu homogenní ntenzit mgnetikého pole H je definován vzthem B H M µ její jednotkou je [Am ] Mgnetize látky M je obeně závislá n intenzitě pole Tuto závislost vyjádříme M χ H kde χ ( hí ) je bezrozměrná veličin mgnetiká suseptibilit Z předhozíh dvou rovni pk B µ ( H + M ) µ H ( + χ µ µ H µ H ) r kde µ µ µ r je permebilit látky µ r je reltivní permebilit Ampérův zákon pro vektor intenzity mgnetikého pole je H d l nezávisle n tom jde-li o pole v láte nebo ve vkuu N prvé strně rovnie vystupují pouze volné proudy které jsou známé nebo je můžeme sndno měřit n rozdíl od proudů váznýh B ndukčnost vzájemná indukčnost Hopkinsonův zákon mgnetiké obvody Mgnetiká induke B je úměrná proudu kterým byl vybuzen Cívk kterou protéká proud podle obrázku vybudí ve svém okolí mgnetiké pole Cívk je zdrojem mgnetikého toku Tké tento tok je úměrný budíímu proudu Součet toků jednotlivými závity nzveme ívkový tok Pokud všemi závity poteče stejný tok bude ívkový tok
ZSE 8/9 Pro ívkový tok dále pltí N L přičemž konstntou úměrnosti je indukčnost L jejíž jednotkou je Henry [H] Jsou-li indukční toky všemi závity stejné pk L N L Uvedený vzth je tzv sttikou definií vlstní indukčnosti V tehniké prxi se čsto setkáme s přípdem kdy jedn ívk vybudí mgnetiký tok tento tok nebo čstěji jeho část prohází ívkou druhou (viz obrázek) N N První ívk vyvolá tok jeho část potom prohází druhou ívkou Mezi proudem mgnetikým tokem existuje opět přímá úměr Vzájemnou indukčnost pk definuje vzth M kde je ívkový tok druhé ívky V lineárníh prostředíh pltí M M přičemž je určen nlogiky s s tím že budií ívkou je ívk druhá s proudem Jestliže druhou ívkou protéká kždým z N závitů tentýž tok je ívkový tok tedy M N N Jednotkou vzájemné indukčnosti M je Henry [H] N 4
ZSE 8/9 Mgnetiké obvody Mgnetiký obvod je obvykle složen převážně z feromgnetik (µ r >> ) slouží k soustředění mgnetikého toku do vymezeného prostoru (obdobně jko vodiče soustřeďují ohrničují pole proudové) Mgnetiké obvody jsou nlogií proudovýh obvodů U mgnetikýh obvodů se všk část mgnetikého toku uzvírá vždy mimo obvod Při řešení mgnetikýh obvodů užíváme metod obvyklýh v teorii obvodů Př B Určete mgnetiký tok indukčnost obvodu se vzduhovou mezerou n obrázku l ž R mž l v N R mv Řešení: Pro řešení použijeme metody obvyklé v teorii obvodů vyjdeme přitom z následujííh zjednodušujííh předpokldů: mgnetiký tok prohází pouze feromgnetikem vzduhovou mezerou tk že se nerozptyluje; tok je v průřezu rozložen rovnoměrně pltí B ; S z dráhu mgnetikého toku uvžujeme tzv střední délku siločáry dle obrázku l s lž + lv Podle zákon elkového proudu pltí H ž lž + Hv lv N kde H ž l ž jsou veličiny ve feromgnetiku (v železe ) H v l v v mezeře Z podmínky n rozhrní je B ž B v B µ H; odtud l l ž v B ž + N µ ž µ Uvžujeme-li dle výše uvedeného B / S pk l l ž v + N S S µ ž µ kde součin N je elektromotoriké npětí které se oznčuje obvykle U m (resp někdy tké ε m ) Výrz l / µs R m je nlogiký výrzu pro výpočet odporu nzýváme jej reluktne neboli mgnetiký odpor Můžeme tedy psát U m N ( Rmž + Rmv) Rm Uvedený vzth který je nlogií Ohmov zákon nzýváme Hopkinsonův zákon Shémtiky můžeme uvžovný mgnetiký obvod znázornit způsobem obvyklým v teorii obvodů (viz náhrdní shém n obrázku vlevo) Vlstní indukčnost ívek s feromgnetikými jádry lze vyjádřit z definičního vzthu vlstní indukčnosti 5
ZSE 8/9 N L Doszením z tok z Hopkinsonov zákon N R m pk bude N N L R R m m Př B Určete vzájemnou indukčnost ívek nvinutýh n feromgnetikém jádře obvodu n obrázku Pro názornost je uvedeno i odpovídjíí náhrdní shém obvodu pro přípd že první ívkou protéká proud N N R m R m R m N Řešení: Mgnetiké odpory určujeme po úseíh mgnetikýh obvodů mezi body dělení mgnetikého toku (viz obrázek) Pro uvedené oznčení toků je vzájemná indukčnost N M Tok určíme podle náhrdního obvodu n obrázku vlevo Z Hopkinsonov zákon je N Rm kde R m je elkový mgnetiký odpor v obvodu zdroje N tedy RmRm Rm Rm + Rm + Rm Jelikož plikí Kirhhoffov zákon lze pro toky (obdobně jko pro proudy) uvžovt + dále z rovnosti npětí n prlelně zpojenýh odporeh Rm Rm určíme postupně R m R m Rm + Rm R + m R m Rm Rm Rm + Rm Jestliže dále N Rm N Rm( Rm + Rm) R R + R ( R R + R R + R R )( R + R ) 6 m m m m m m m m m m m
ZSE 8/9 bude vzájemná indukčnost po doszení z tok N N Rm M R R + R R + R R m m m m m m C Metody nlýzy elektrikýh obvodů část (Kirhhoffovy zákony metod smyčkovýh proudů) Rovnie popisujíí libovolný elektriký obvod lze získt přímou plikí obou Kirhhoffovýh zákonů Kirhhoffův zákon (proudový) je speiálním přípdem rovnie kontinuity Říká že lgebriký součet proudů ve větvíh spojenýh v libovolném uzlu je roven nule k i ( t) k Obvykle uvžujeme že proudy tekouí do uzlu mjí znménko plus proudy tekouí z uzlu pk znménko minus (v litertuře je čsto le uváděn i opčná volb) Kirhhoffův zákon (npěťový) říká že lgebriký součet všeh npětí ve větvíh tvořííh libovolnou smyčku je roven nule k u ( t) k Npětí orientovné souhlsně se smyčkou uvžujeme jko kldné npětí orientovné opčně jko záporné Př C Pomoí Kirhhoffovýh zákonů vypočítejte velikost všeh neznámýh proudů npětí v obvodu n obrázku Hodnoty odporu jednotlivýh rezistorů jsou R R 4 Ω R 8 Ω Npětí zdrojů jsou U V U 6 V R R U U R U U R R R U Řešení: Aplikí Kirhhoffovýh zákonů postupně obdržíme soustvu lineárníh lgebrikýh rovni + U R + R + R R + U Oznčíme-li mtii soustvy symbolem A vektor neznámýh proudů vektor prvýh strn b lze vyjádřit uvedenou soustvu rovni ve tvru pk A b A - b Mtiovou rovnii (mtie A - je inverzní mtií k mtii A) velmi sndno vyřešíme použitím vhodného výpočetního prostředku npř Mtlbu Poznmenejme že uvedený způsob řešení není jediný možný Připomeňme npř tzv Gussovu elimini tj postupné řádkové úprvy 7
ZSE 8/9 rozšířené mtie soustvy A R [A b] tk by mtie A přešl v mtii jednotkovou; řešení je pk dáno posledním sloupem tkto vzniklé mtie Dlším čsto používným efektivním způsobem je použití Crmerov prvidl Jestliže mtie soustvy A má plnou hodnost (je regulární její determinnt je nenulový) má soustv jednoznčné řešení které můžeme postupně pro jednotlivé proměnné vyjádřit jko podíl D i / D kde D det A D i je determinnt mtie která vznikne z mtie A záměnou i-tého sloupe sloupem prvýh strn rovni V přípdě nší soustvy rovni je hledné proudy tedy vypočteme R R U R R U 4 8 4 4 6 D det A 4 8 576 ( 9 9) 96 4 8 8 D 6 4 8 88 48 ( 96) 5 A D 96 96 4 8 D 6 8 96 + 44 ( 96) A D 96 96 4 D 4 6 ( 88 44) 45 A D 96 96 Mezi dlší metody nlýzy elektrikýh obvodů ptří metod smyčkovýh proudů která vyhází z druhého Kirhhoffov zákon Neznámými jsou v tomto přípdě fiktivní (myšlené) smyčkové proudy které zvedeme do nezávislýh smyček nlyzovného obvodu Tyto proudy utomtiky splňují první (proudový) Kirhhoffův zákon Metod je výhodná zvláště tehdy má-li obvod menší počet nezávislýh smyček než uzlů Př C Určete všehny neznámé proudy v obvodu n obrázku jsou-li zdány hodnoty odporů jednotlivýh rezistorů R R Ω R 4 Ω R 4 Ω R G 5 Ω npětí zdroje U V Řešení proveďte metodou smyčkovýh proudů 8
ZSE 8/9 R R S G R G S R R 4 4 S U Řešení: Jko neznámé zvedeme smyčkové proudy S S S K sestvení rovni použijeme druhý Kirhhoffův zákon R + R ) + R ( ) po úprvě R S G ( S S S S G ( S S) + R S + R4 ( S S) R ( S S) + R4 ( S S) U ( R + R + RG ) S RG S R S R + R + R + R ) R G S ( 4 G S 4 S R S R4 S + ( R + R4 ) S Soustvu lineárníh lgebrikýh rovni zpíšeme v mtiovém tvru R + R + RG RG R R + + G R R4 RG R4 R R R + R 4 4 65 5 5 75 S S S U U K řešení můžeme využít Crmerov prvidl determinnt mtie A je nenulový 65 5 det A 5 75 8 5 75 5 S 4 A 4 ma 8 8 65 5 S 84 A 84 ma 8 8 9
ZSE 8/9 65 5 5 75 85 S 49 A 49 ma 8 8 Proudy v jednotlivýh větvíh jsou 4 ma S S S S 4 S S G S S 84 ma 67 ma 765 ma 48 ma Litertur [] Novotný K: Zákldy elektroinženýrství přednášky Prh: ČVUT 988 [] Kupk L Jneček J: Mtlb & Simulink: řešené příkldy vyd Lnškroun: TG tisk SOŠ SOU 7 SBN 978-8-9-95-9