Variabilita měří a statistická rgulac procsu Ig. Darja Noskivičová, CSc. Katdra kotroly a řízí jakosti, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: Efktivost využití statistických mtod pro aalýzu a řízí procsů j odvislá mj. od účiosti měřícího systému a způsobilosti měřidl. Chyby měří mohou v vlké míř ovlivit schopost správě aalyzovat vlastí variabilitu procsu a vhodě s tak promítout do rozhodováí o ralizaci zásahů do procsu. Přdložý příspěvk s zabývá aalýzou vlivu chyb měří a účiost rgulačích diagramů a mtodikou aalýzy systmatické chyby měří (straost, založou a aplikaci rgulačích diagramů. Klíčová slova:, chyby měří, rgulačí diagramy, straost, variabilita měří. Úvod Každý závěr bo rozhodutí plyoucí z aplikac statistických mtod jsou podmíěy kvalitou aalyzovaých dat. Také účiost rgulačích diagramů j ovlivěa výskytm chyb měří. Chyby měří jsou spojy s objktiví xistcí variability měří. Druhy variability lz rozčlit do 5 katgorií: straost (systmatická chyba, opakovatlost, rprodukovatlost, stabilita, liarita. Chyba měří ε j dáa rozdílm mzi aměřou (mpirickou hodotou x i a pravou hodotou x měřé vličiy, tj. ε = x i x. ( Takto vyjádřá chyba s azývá chybou absolutí. Někdy s udává jako rlativí chyba ε r, pro ktrou platí: ε ε r ε =, popř. ε r =. (% ( x x Chyby měří mohou být způsoby: přsostí měřidl ( způsobo apř. dodržováím tolrací u jdotlivých součástí přístroj, chybami justac při motáži přístroj, špatou kostrukcí přístroj... talom použitým k kalibraci měřidla bo špatým sřízím měřidla měřicí silou, tlakm (můž vyvolat dformaci měřého objktu měřicí mtodou prostřdím (zjméa tplotou oprátorm (chyby zaviěé dokoalostí lidských smyslů, chyby z dbalosti, opatrosti, zalosti. Abstrahujm-li od hrubých chyb, způsobých apř. správým provdím měří, správým čtím údajů, použitím vadého přístroj apod., člím chyby měří do dvou základích skupi, a to a chyby systmatické (straost a chyby áhodé. Chyby systmatické jsou vyvoláy vlivy, ktré působí trval a jdozačě co do smyslu a vlikosti (apř. systmatické zaokrouhlováí hodot a vyšší hodoty, kostrukčí přsosti přístroj, přsosti ormálu, chyby pozorováí, vliv měřicí síly či tlaku, okolí tplota. Systmatická chyba j taková chyba, ktrá při opakovaém měří též hodoty daé vličiy za stjých podmík zůstává stjá (v absolutí hodotě i zaméku. Systmatické chyby člím a: - -
systmatické chyby zámé (mají určitou hodotu a zaméko a lz j odstrait vhodou korkcí, systmatické chyby zámé (mají určité zaméko a jsou zahruty do jistoty měří. Při výpočtu jistoty s s imi pracuj jako s áhodými chybami. Ozačím-li si vlikost systmatické chyby c, pak pro aměřou hodotu měřé vličiy platí: x i = x + c. (3 Protož pravé hodoty x přdstavují ralizac áhodé proměé X (měřé vličiy a aměřé hodoty x i přdstavují ralizac mpirické proměé X,, platí: X = X + c (4 V skutčosti tdy při statistickém vyhodocováí dat pracujm s mpirickou proměou X, ikoliv s pravou proměou X. Chyby áhodé jsou vyvoláy pravidlými áhodými vlivy, ktré působí dl okamžitých podmík jdotlivých měří. Chovají s jako áhodá proměá a lz j popsat pomocí ormálího rozdělí. Náhodé chyby s spolu s zámými systmatickými chybami zahrují do jistoty měří. Náhodé chyby měří můžm modlovat pomocí áhodé proměé V. Njčastěji s v praxi vyskytuj případ, kdy mzi zakm jakosti X a áhodou chybou měří V j aditiví vztah (Mittag,H.J. ad Ri,H., 993. Pak v skutčosti pracujm s áhodou proměou X = X + V.(Přdpokládá s, ž X a V jsou statisticky závislé proměé.. Chyby měří a účiost rgulačího diagramu Účiost rgulačího diagramu lz vyjádřit ásldově: Rgulačí mz jsou staovy v takové vzdálosti od střdí přímky, aby: sigál o tom, ž procs j statisticky stabilí (zvládutý, i když v skutčosti j statisticky stabilí, byl vydává co jméě často (co jmší riziko zbytčého sigálu α, sigál o tom, ž došlo k přípusté odchylc procsu, byl vydá co jdřív ( co jmší riziko chybějícího sigálu β, rsp. co jvětší pravděpodobost odhalí přípusté odchylky -β. Výzam rizik α a β, rsp. pravděpodobosti -β j patrý z obrázku. a b c µ j požadovaá průměrá úrovň rgulovaé vličiy µ j průměrá úrovň rgulovaé vličiy po změě procsu Obr. Riziko zbytčého sigálu α a riziko chybějícího sigálu β Hodota α s azývá riziko zbytčého sigálu a přdstavuj pravděpodobost zbytčého hldáí vymzitlého vlivu a základě iformac z rgulačího diagramu o tom, ž procs í v statisticky zvládutém stavu (apř. bod mimo akčí mz, i když v skutčosti - -
k žádé výzamé změě procsu došlo (obr. a. S tímto správým závěrm jsou spojy áklady a pokus ajít příčiu xistujícího problému. hodota β s riziko chybějícího sigálu a j to pravděpodobost, ž rgulačí diagram odhalí přípustou změu procsu včas (všchy body daého tstového kritéria lží uvitř rgulačích mzí a tvoří žádé áhodé sskupí. S tímto správým závěrm jsou zas spojy áklady vyvolaé tím, ž s do procsu včas zasáhlo. Na obr. b a c j situac zobraza pro posu střdí úrově rgulovaé vličiy z µ a µ. Hodota (-β, obcě azývaá silofukc tstu, zd vyjadřuj pravděpodobost dtkc přípusté změy procsu, ktrá má být včas odhala. Za přdpokladu, ž xistuj žádá chyba měří, lz riziko α (tj. jho pravou hodotu, staovit z vztahu: UCL µ LCL µ α = P(X > UCL + P(X < LCL = - Φ( + Φ(. (5 Pravděpodobost včasého odhalí přípusté odchylky v procsu -β (tj. pravou hodotu této pravděpodobosti pak určím z vztahu: UCL µ LCL µ -β = P(X > UCL + P(X < LCL = - Φ( + Φ(. (6 kd µ j přípustá úrovň střdí hodoty rgulovaé vličiy, µ j přípustá úrovň střdí hodoty rgulovaé vličiy, j přípustá směrodatá odchylka rgulovaé vličiy, UCL µ Φ( j hodota distribučí fukc ormovaého ormálího rozdělí v bodě UCL µ (. Chyby měří tdy ovlivňují rozhodováí o tom, zda j uté učiit zásah do procsu (apř. sřídit ho bo zda procs pochat bz zásahu. V další kapitol j provda aalýza změ rizika α a pravděpodobosti -β u rgulačího diagramu pro výběrové průměry ( x.. Rozbor vlivu systmatické chyby Působí-li pouz systmatická chyba měří c, pak v skutčosti pracujm s pravou áhodou vličiou X, al s mpirickou áhodou proměou X, pro ktrou platí: X = X + c (7 Systmatická chyba měří c působí již v fázi tvorby rgulačího diagramu Jstliž systmatická chyba c již kotamiovala hodoty měřé vličiy, z ichž byly vypočítáy střdí přímka, horí rgulačí mz a dolí rgulačí mz, pak pracujm s jjich pravou hodotou CL, UCL a LCL, al s jjich mpirickými hodotami CL, UCL a LCL, pro ktré platí: CL = CL + c, (8 UCL = UCL + c (9 LCL = LCL + c ( +Vyjdm-li z vztahů (5 a (6, upravých pro tstovací charaktristiku v rgulačím diagramu pro výběrové průměry ( x, pak mpirickou hodotu rizika zbytčého sigálu α a pravděpodobost odhalí přípusté odchylky (-β staovím z vztahů: - 3 -
UCL c ( µ c α =P( X > UCL + P( X < LCL = - Φ( + + / + LCL c ( µ c Φ( + + / ( UCL c ( µ c (-β =P( X > UCL +P( X < LCL =- Φ( + + / + LCL c ( µ c Φ( + + / (. Jak j vidět z vzorců ( a (, systmatická chyba c s vyruší. Z toho ply, ž v situaci, kdy systmatická chyba c ovlivila i výpočt střdí přímky a rgulačích mzí, platí: α = α (3 (-β = - β. (4 Systmatická chyba měří působila v fázi tvorby rgulačího diagramu Jstliž s systmatická chyba projví až po zavdí rgulačího diagramu, pracujm s pravými rgulačími mzmi UCL a LCL, al do rgulačího diagramu zazamávám hodoty tstovací charaktristiky X = X + c. Empirickou hodotu rizika zbytčého sigálu pak vypočtm dl vztahu: UCL ( µ c α = P( X > UCL + P( X < LCL = - Φ( + LCL ( µ c + Φ( +. (5 / / a mpirickou hodotu pravděpodobosti odhalí přípusté odchylky staovím dl vztahu: UC ( µ c (-β = P( X > UCL + P( X < LCL = - Φ( + LCL ( µ c + Φ( + (6 / / Z vztahů (5 a (6 ply, ž v tomto případě systmatická chyba c ovliví výši rizika zbytčého sigálu a pravděpodobosti odhalí přípusté odchylky. Jak pro c >. tak pro c < p platí: α > α (7 (-β > - β. (8. Rozbor vlivu áhodé chyby měří Njvýzamějším případm áhodé chyby j aditiví áhodá chyba, ktrou si ozačím V. Za přdpokladu, ž působí systmatická chyba měří, lz mpirickou proměou X popsat ásldově: X = X + V, (9 (přdpokládá s, ž X a V jsou statisticky závislé áhodé proměé. Pro pravou proměou X platí X~N( µ, a pro áhodou chybu V platí V~N(, V. Chyba V má žádý vliv a úrovň procsu µ. Na rozdíl od systmatické chyby má áhodá chyba vliv a účiost rgulačího diagramu jak v situaci, kdy jsou touto chybou kotamiováy již rgulačí mz použitého rgulačího diagramu, tak thdy, když áhodá chyba zač působit až v fázi aplikac rgulačího diagramu. - 4 -
Opět bud pro ilustraci použit rgulačí diagram pro výběrové průměry ( x. Jstliž působí áhodá chyba V, pak v skutčosti do rgulačího diagramu vyáším mpirické hodoty tstovací charaktristiky, tj. X = X + V, pro ktrou platí X ~N( µ, x. Zavdm-li vztah pro rlativí rozptyl chyby měří V r =, ( pak lz vyjádřit ásldově: x + V x = = x =. ( Náhodá chyba působí již v fázi tvorby rgulačího diagramu V tomto případě pracujm s mpirickými rgulačími mzmi UCL = µ + 3 x = µ + 3, ( LCL = µ 3 x = µ 3, (3 Riziko zbytčého sigálu pak staovím takto: α = P( X > UCL + P( X < LCL UCL µ LCL µ = - Φ ( (4 Platí: α = α. Empirickou hodotu pravděpodobosti včasého odhalí přípusté odchylky staovím dl vztahu: (-β = P( X > UCL + P( X < LCL UCL µ LCL µ = - Φ ( (5 Platí, ž pravděpodobost (-β < (-β a s rostoucím r jjí hodota klsá. Náhodá chyba působí až v fázi zavdí rgulačího diagramu: V tomto případě v rgulačím diagramu pracujm s pravými rgulačími mzmi UCL a LCL: UCL = µ + 3 x = µ + 3 (6 LCL = µ 3 x = µ 3. (7 Riziko zbytčého sigálu pak staovím z vztahu: α UCL µ LCL µ = P( X > UCL + P( X < LCL = - Φ (. (8 Platí, ž α > α a s rostoucím r. - 5 -
Pro určí pravděpodobosti odhalí přípusté odchylky použijm v tomto případě vztah: (-β UCL µ LCL µ = P( X > UCL + P( X < LCL = - Φ (. (9 Hodota (-β > (-β a s rostoucím r rost. 3. Mtodika aalýzy a staoví systmatické chyby (straosti pomocí rgulačích diagramů Výsldky kalibrac lz doplit o statistickou aalýzu dat získaých při kalibraci a umožit tak objktivější rozhodováí o sřízí měřícího přístroj. V litratuř (Pyzdk.T., 99 j popsáa ásldující mtodika založá a aplikaci rgulačích diagramů pro idividuálí hodoty a klouzavé průměry.. Změří sldovaého zak jakosti u talou bo vybraého produktu miimálě 5x (utost dodržt chroologii aměřých hodot, a jstliž jsou všchy hodoty stjé, al liší s od pravé hodoty j uté sřízí měřícího přístroj a pravou hodotu b v ostatích případch s pokračuj bodm.. Výpočt klouzavých průměrů z dvou po sobě aměřých hodot. 3. Sstrojí prosté tabulky čtostí hodot klouzavých průměrů, výpočt čtostí, kumulativích čtostí a kumulativích čtostí v %. 4. Výpočt hodot COF a COF p dl vztahů: R R 5 xt COF = +, (3 R j hodota klouzavého rozpětí, u íž kumulativí čtost v % přsahuj 5%, 5 R j hodota klouzavého rozpětí ásldující v tabulc čtosti po hodotě xt RC + COF 6 p =,.( + 3-6 - R. 5 RC j součt čtostí klouzavých rozpětí v zbývajících řádcích tabulky čtostí (počítáo od řádku pro R dál, 5 j počt hodot klouzavých průměrů. 5. Výpočt horí (UCL a dolí (LCL rgulačí mz pro rgulačí diagram pro idividuálí hodoty dl vztahů: UCL = x + 3 COF,.CV (3 LCL = x 3 COF,.CV (33 x j pravá hodota měřé vličiy, (3
CV j kritická hodota ormovaého ormálího rozdělí odpovídající hodotě COF p. 6. Výpočt střdí přímky a rgulačích mzí pro diagram pro klouzavé průměry. 7. Sstrojí rgulačích diagramů pro idividuálí hodoty a klouzavé průměry. 8. Aalýza rgulačích diagramů: a všchy hodoty v diagramu pro idividuálí hodoty lží uvitř rgulačích mzí í třba provádět rkalibraci měřidla. b ěktrá hodota v diagramu pro idividuálí hodoty lží mimo horí bo dolí rgulačí mz j třba kompzovat systmatickou chybu měří. c v diagramu pro idividuálí hodoty lží ěktré body jak mimo horí, tak mimo dolí rgulačí mz bo diagram pro klouzavé průměry vykazuj stabilitu přd rkalibrací měřidla j třba vyhldat a odstrait působí vymzitlé příčiy variability procsu měří. 4. Závěr Jak bylo ukázáo v kapitol tohoto příspěvku, systmatické i áhodé chyby ovlivňují účiost rgulačích diagramů. Působí-li daá chyba jak v fázi výpočtů rgulačích mzí, tak v fázi aplikac rgulačího diagramu, pak s měí pouz pravděpodobost odhalí přípusté odchylky procsu, rsp. riziko chybějícího sigálu. Jstliž však daá chyba působí až v fázi zavdí rgulačího diagramu, měí s jak riziko zbytčého sigálu, tak riziko chybějícího sigálu. Proto j třba tyto chyby miimalizovat, popř. miimalizovat jjich dopady a uvdá rizika. Systmatickou chybu lz aalyzovat pomocí mtodiky využívající rgulačích diagramů, ktrá j stručě popsaá v kapitol 3 v tomto příspěvku. Další typy variability (rprodukovatlost, opakovatlost lz aalyzovat apř. zámou mtodou R&R, ktrá také využívá rgulačích diagramů (blíž apř. (Pyzdk,T., 99. 5. Litratura KAZANUKA, T.: Th ffct of masurmt rror o th powr of charts. Joural of Quality tchology, vol. 8, o., April 986. MITTAG,H.J. AND RINNE,H.: Statistical mthods of quality assurac. Lodo: Chapma&Hall, 993. 647 s. MLČOCH,I. A SLIMÁK,I : Řízí kvality a strojírská mtrologi. Praha: SNTL/Alfa, 987. PYZDEK, T. 99. Pyzdk s Guid to SPC. Applicatios ad Spcial Topics (Vol.. Tusco, Arizoa: ASQC Quality Prss. Quality Publishig, Ic. ISBN -93-4- X. TOŠENOVSKÝ, J. A NOSKIEVIČOVÁ, D.: Statistické mtody pro zlpšováí jakosti. Ostrava: Motax,. 36 s. Kotakt a autora: E-mail: darja.oskivicova@vsb.cz - 7 -