M-ODHADY ZAPREDPOKLADU NEREGUL ARNI HUSTOTY Ja SVATOS MFF UK, KPMS Abstract: Theory of M-estmators lear regresso model s well kow. Oe of the classcal regularty assumptos the lear model Y = + E s the exstece of f. Ths paper studes the case whe f does ot exst the sese, that f (x) =jxs j j j q j (x), where j = ::: ks te umber of \sgular pots" of the desty f. Itsshow, that such a case rate of the covergece of M -estmators depeds o the mmum of j. Rezme: Problematka M -oceok v leo regres horoxo zvesta razrabotaa. V rabotah, kotorye teresuts to problematko uqtyvat, qto plotost~ vektora oxbok E v model Y = + E regulra. to zaqt, qtosuwestvuet f. Mo rabota rassmatrvaet stuac, kogda f e suwestvuet v tom smysle, qto f (x) = jx s j j j q j (x), gde j = ::: k koeqoe qslo sgulryh toqek plotost. Moo pokazat~, qto v takom sluqae stepe~ skorost shodmost M -oceok zmeets v zavsmost ot mma j. Predpokladejme platost learho modelu () Y = + E s podmkou a matc (2) jjx jj 4 = O() kde jj()jj ozacuje Eukldovskou ormu, x ozacuje -ty radek matce a E =(" ) " d. M -odhadem ezameho parametru je lbovole rese mmalzace souctu (3) %(y x b) vzhledem k b: Pokud exstuje prv dervace fukce % a pokud% je kovex, pak lze dec (3) zjedodust a tvar:
22 M-odhady za predpokladu eregular hustoty (4) x (y x b)! =: Uvazujme mozu S = fs s 2 ::: s k g kde <s <s 2 <:::s k <, a k prslusou mozu ::: k, prcemz l 2 ( 2) l = ::: k. Ozacme dale = m 5l5k l jako. Necht' hustota chybovych slozek exstuje a abyva tvaru (5) f (e) =q l (e)je s l j ( l) : Pro l 6=echt' q l (e) spluje Lpschtzovu podmku radu =2. Predpoklady a fukc : = + 2 prcemz je eklesajc, absolute spojta fukce, 2 je eklesajcskokovafukce. Dale predpokladejme sple jede ze dvou asledujcch podmek: () je absolute spojta azarove Z (6) spluje podmku R (e + t) 2 df (e) 5 C pr jtj < pro ejake reale kostaty C > () je kostat mmo omezey terval (a b) azarove jsou omezee uvtr (a b). Predpokladejme avc, ze a jsou obe tegrovatele sectvercem vzhledem k F (e). Podmky a 2 : (7) 2 (e) = a (8) kde Ozacme (9a) (9b) 8 >< >: a <e5 s a s <e5 s 2 ::: a k s k <e< l2k (a l a l )q l (s l ) > : K = fl :5 j 5 k l = g: = Z R (e)df (e) > : 2 = (a l a l )q l (s l ) > : l2k
Ja SVATO S 23 Tvrze dae vtomto claku bude jeste uto rozsrt a obecejs, kokrete = absolute spojta +skokova fukce. Dukaz pro teto prpad bude poda v dals prac. Problem asymptotckeho chova M -odhadu studovala v prac [] Jureckova pro prpad parametru polohy jedorozmereho rozdele. Vzka prrozey problem, ktere techky dukazu projdou pro regres parametr a kdy je uto zeslt podmky a rozdele aa fukc. Prvm ukolem je zobect vysledek Lemmatu 3. z []. Za vyse uvedeych podmek plat: 8 = 2 : lm! P f max jjtjj5c 2 2 2 2 x [ (" + x t) (" )] x x (jt jj sg t j ) p j= x x t = "g = 8" > C > Pro peve t dukaz prochaz podobe jako v[]. Za prve je uto ukazat, ze rozptyl vyrazu je asymptotcky zaedbately pro spojtou dskret cast. Za druhe je zapotreb ukazat, ze aproxmace stred hodoty se od skutece hodoty ls pro!pouze zaedbatele. Pro radu erovost a omeze, ktere budou ukazay, je postacujc podmkou P jjx jj 4 = O(), jelkoz = 4. Necht' plat x t >. Pro prpad opaceho zameka plat asledujc techka stejym zpusobem, pouze se prohod tegrac meze a a prave strae posled erovost bude vyraz x t > v absolut hodote. var [ (" x t) (" )] x Z t x t 5 E (" u) (" v)dudv x 5 t q E[ (" u)] 2 [ ( v)] 2 dudv = x t q 2 = E[ (" u)] 2 du 5 x x t t E[ (" u)] 2 du 5 ( x t) 2
24 M-odhady za predpokladu eregular hustoty Z toho plye, ze 8j 2f ::: pg plat: var 2 5 x j [ (" x t) (" )] x 2 j ( x t) 2 5 C 2 jjtjj 2 jjx jj 4 A tedy P postacujc podmkou pro kovergec k ule je v tomto prpade 3 2 + jjx jj 4 = O() >. Pro dskret slozku budeme ejprve pracovat s e 5 r 2(e) = Tedy Necht' x t >. Pak 2(" x t) 2 (" )= e>r 8 >< >: r+ x t<" <r r+ x t>" >r jak P 2(" x t) 2 (" )= = F (r + x t) F (r) x t x t = f (r + u)du = q l (r + u)u l du x t (jq l (r + u) q l (r)j + jq l (r)j)u l du 5 5 u " l+ l du + C l Tedy dostavame, ze plat var 2 x t u l du 5 K l ( x t) l x j [ 2 (" x t) 2 (" )] 5 K 5 K jjtjj x 2 jjx j jj 5 K 2 jjx jj 2+ x 2 j l j(x t)j l Vzhledem k dec plat x t!. Ny je zapotreb ukazat, jak male jsou rozdly mez stredm hodotam a jejch aproxmacem. 2 5 K 2 x j E[ (" x t) (" ) x t] jx j jjx tj 2 2 5 K 2 2 jjtjj 2 jjx jj 3
Ja SVATO S 25 Pro dskret slozku abyva rozdl tvaru: E[ 2 (" x t) 2 (" )] = asymptotcky k j= = = (a j a j )ff (s j ) F (s j x t)g k j= k j= (a j a j ) (a j a j ) Z x t f (s j + u)du Z x t juj j q j (s j + u)du Pozamka ke slovu "asymptotcky": Stred hodota a leve strae rovce ve skutecost abyva hodoty k j (a j a jk )P f" + x t >s j &" <s jk+ g Pokud ovsem x t!, coz je spleo z podmky (2) vzdy, kdyz > =4, pak 9 : P f" + x t >s j &" <s jk+ k= 2g =8jjtjj 5 C = a tedy e uto uvazovat skoky vetsho ez prvho radu. Pro = =4 vsak e podmka (2) postacujc ke sple x t! amus tedy byt zeslea podmka amatc. Odectem aproxmace a koec dostavame jj 2 5 K 2 K 2 2 x fe[ 2 (" x t) 2 (" )] j2k (a j a j )q j (s j )(x t) gjj jjx jj 3 4 (x t) +" + jjx jj 2 (x t) 5 K jjtjj +" 4 jjx jj ++" + + K 2 jjtjj jjx jj + kde =m l f l 6= g. Pro = l 8l druhy cle zmz. Pro kovergec celeho vyrazu k ule je y postacujc pomkou (2), protoze bez ujmy a obecost lze brat " = =2.
26 M-odhady za predpokladu eregular hustoty Toto lemma je uztecym astrojem pro dukaz hlav vety, ktera ukazuje rad kovergece. Veta rka: 2 jjm jj = O p () prcemz M je M -odhad deovay ve (4), hustota spluje (5) a fukce vyhovuje podmkam (6) az (9a,b). Zde elze prmo pouzt techku z prace [], jelkoz problem ma obece vce ez jede rozmer. Proto je ute k dukazu vety pouzt jy zpusob. Hlav mysleka tohoto postupu je ukazaa vprac [2]. Necht' je absolute spojta, tedy echt' =. Pak P f sup jjtjj=c t x (" =2 x t) = g! dava, ze rese ulohy x (" =2 x (M ))! = lez v koul se stredem v a polomerem C. Pro dokoce dukazu je pouzta veta 6.3.4. z prace [3]. Kovergece se ukaze pomoc stejomereho omeze vyrazu P f sup jjtjj=c t x (" =2 x t) = g: A y dostavame vysledek ze skutecost, ze rese vyse uvedeeho problemu je ekvvalet skutecost, ze M je M -odhad. Refereces. Jureckova, J., Asymptotc Behavor of M-estmators of Locato Noregular Cases, Statstcs & Decsos (983), 323-34. 2. Jureckova, J. ad Se, P.K., Robust Statstcal Procedures: Asymptotcs ad Iterrelatos, 996. 3. Ortega, J.M. ad Rheboldt, W. C., Iteratva Soluto of Nolear Equatos Several Varables, Academc Press, New York, 97.