U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Operace s maticemi Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.
Operace s macemi Podobne jako s c ıśly zava dıḿe i s maticemi poc etnı operace s pr ıślus ny mi pravidly. Rovnost mac: A = B Dve matice A = (a, ), B = (b, ) te hoz typu (m, n) jsou si rovny (pıś eme A = B), pra ve kdyz platı : a, = b,, i = 1, 2,, m ; j = 1, 2,, n, nebo-li a, = b, ; i, j. Symbol i, j c teme pro každé i, j. Z te to deinice a ze zna my ch vlastnostı rea lny ch c ıśel vyply vajı tyto vlastnosti ¹ rovnosti matic: 1. A = A relexivnost 2. A = B B = A symetrie 3. A = B B = C A = C tranzitivnost Poznámka: Kaz da rovnost mezi maticemi je struc ny m za pisem pra ve jedne soustavy rovnostı mezi pr ıślus ny mi prvky (c ıśly). Napr ıḱlad: x x x = 1 + t t 3 4t x = 1 + t x = t x = 3 4t ¹ Relace, ktera je relexivnı, symetricka a tranzitivnı, se nazy va ekvivalence.
Součin mace s číslem: k. A prvky jsou tıḿto c ıślem na sobeny. je matice stejne ho typu jako na sobena matice, jejıź vs echny Napr ıḱlad ( 2) 1 3 6 2 1 0 = ( 2) 1 ( 2) ( 3) ( 2) 6 ( 2) 2 ( 2) 1 ( 2) 0 = 2 6 12 4 2 0 Součet a rozdíl mac: A + B, A B. Součtem matic A = (a, ), B = (b, ) te hoz typu (m, n) rozumıḿe matici C = (c, ) stejne ho typu, jejıź prvky jsou: c, = a, + b,, i, j (pıś eme: C = A + B ). Analogicky rozdílem matic A a B te hoz typu rozumıḿe matici C = A B, pro kterou platı : c, = a, b,, i, j. Jinak r ec eno: rozdıĺ dvou matic urc ıḿe jako souc et te chto matic, z nichz druha je vyna sobena c ıślem 1. Napr ıḱlad 1 2 3 3 1 5 + 1 2 3 2 5 3 = 0 0 6 5 6 8
Poznámka: Z uvedeny ch deinic a ze zna my ch vlastnostı rea lny ch c ıśel vyply vajı na sledujıćı vlastnosti ² pro libovolne matice A, B, C te hoz typu a libovolna c ıśla k, k, k : pro sc ı ta nı matic (kde 0 je nulova matice stejne ho typu jako matice A ) 1. A + B = B + A komutativnı za kon 2. A + (B + C) = (A + B) + C asociativnı za kon pro souc et matic 3. A + 0 = 0 + A = A 4. A ( A) A + ( A) = ( A) + A = 0 Vztah c.4 c teme: Ke kaz de ( ) matici A existuje ( ) matice, kterou nazy va me maticı opac nou k matici A a oznac ujeme A, pro kterou platı (:), z e jejich souc et je nulova matice (0). pro na sobenı matic c ıślem: 5. 1 A = A 6. k (k A) = (k k ) A asociativnı za kon pro na sobenı matice c ıślem 7. (k + k ) A = k A + k A distributivnı za kony pro 8. k(a + B) = k A + k B na sobenı matice c ıślem ² Struktura vyhovujıćı poz adavku m 1. 4. se nazy va komutativní grupa vzhledem ke sčítání. Struktura vyhovujıćı vs em poz adavku m 1. 8. se nazy va vektorový prostor.
R es me soustavu dvou linea rnıćh rovnic o dvou nezna my ch, kterou poz adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koeicientu, X je (sloupcova ) matice nezna my ch a B matice pravy ch stran. A X = B a a x a a y = b b a x + a y = b a x + a y = b Nynı deinujme na sobenı matic (matice koeicientu krát matice nezna my ch) tak, abychom obdrz eli leve strany rovnic zadane ho syste mu.
R es me soustavu dvou linea rnıćh rovnic o dvou nezna my ch, kterou poz adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koeicientu, X je (sloupcova ) matice nezna my ch a B matice pravy ch stran. A X = B a a x a a y = b b a x + a y = b a x + a y = b Nynı deinujme na sobenı matic (matice koeicientu krát matice nezna my ch) tak, abychom obdrz eli leve strany rovnic zadane ho syste mu.
R es me soustavu dvou linea rnıćh rovnic o dvou nezna my ch, kterou poz adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koeicientu, X je (sloupcova ) matice nezna my ch a B matice pravy ch stran. A X = B a a x a a y = b b a x + a y = b a x + a y = b Nynı deinujme na sobenı matic (matice koeicientu krát matice nezna my ch) tak, abychom obdrz eli leve strany rovnic zadane ho syste mu.
R es me soustavu dvou linea rnıćh rovnic o dvou nezna my ch, kterou poz adujeme zapsat symbolicky, kde A je matice koeicientu, X je (sloupcova ) matice nezna my ch a B matice pravy ch stran. A X = B a a x a a y = b b a x + a y = b a x + a y = b Nynı deinujme na sobenı matic (matice koeicientu krát matice nezna my ch) tak, abychom obdrz eli leve strany rovnic zadane ho syste mu. Násobení mac: A B. Souc inem matice A = (a, ) a matice B = (b, ) v daném pořadí je matice C = (c, ), pro jejıź prvky platı : c = a, b, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, p. pro kaz de Deinice r ıḱa, z e chceme-li urc it prvek souc inu dvou matic c,, musıḿe každý c len i. řádku první matice (vlevo levy index) vynásobit c lenem j. sloupce druhé matice (vpravo pravy index) se stejným pořadím ( prvnı prvnı + druhy druhy + + poslednı poslednı ) a tyto součiny sečíst. Pr ıḱlad na sobenı dvou matic: 1 2 4 5 x y = x + 2y 4x + 5y Pomu z eme si napr ıḱlad takto zapsany m postupem: x y 1 2 4 5 x + 2y 4x + 5y
Příklad: Jsou da ny matice A = 3 1 2 4 2 1 0 1 a B = Urc ete A B a B A.. A B = 3 1 2 4 2 1 0 1 = 10 5 3 10 () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() ()
Příklad: Jsou da ny matice A = 3 1 2 4 2 1 0 1 a B = Urc ete A B a B A.. A B = 3 1 2 4 2 1 0 1 = 10 5 3 10 () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() ()
Příklad: Jsou da ny matice A = 3 1 2 4 2 1 0 1 a B = Urc ete A B a B A.. A B = 3 1 2 4 2 1 0 1 = 10 5 3 10 () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() ()
Příklad: Jsou da ny matice A = 3 1 2 4 2 1 0 1 a B = Urc ete A B a B A.. A B = 3 1 2 4 2 1 0 1 = 10 5 3 10 () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() ()
Příklad: Jsou da ny matice A = 3 1 2 4 2 1 0 1 a B = Urc ete A B a B A.. A B = 3 1 2 4 2 1 0 1 = 10 5 3 10 () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() ()
Příklad: Jsou da ny matice A = 3 1 2 4 2 1 0 1 a B = Urc ete A B a B A.. A B = 3 1 2 4 2 1 0 1 = 10 5 3 10 () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() ()
Příklad: Jsou da ny matice A = 3 1 2 4 2 1 0 1 a B = Urc ete A B a B A.. A B = 3 1 2 4 2 1 0 1 = 10 5 3 10 () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() ()
Příklad: Jsou da ny matice A = 3 1 2 4 2 1 0 1 a B = Urc ete A B a B A.. A B = 3 1 2 4 2 1 0 1 = 10 5 3 10 () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () () ()() ()() ()() () B A = 3 1 2 4 2 1 0 1 = 9 4 2 1 1 1 2 6 4 1 4 9 10 4 4 6 () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() () () ()() ()
Poznámky k násobení mac: 1. Jiz z uvedene ho pr ıḱladu vidıḿe, z e pro na sobenı matic obecne neplatı komutativnı za kon (o za me ne c initelu ). Matice A je typu (2, 4), matice B je typu (4, 2). Proto: prvnı vypoc ı tany souc in A B je typu (2, 4)(4, 2) = (2, 2), kdez to druhy vypoc ı tany souc in B A je typu (4, 2)(2, 4) = (4, 4). 2. Je-li napr ıḱlad A typu (2, 4) a matice B je typu (4, 5), pak souc in A B existuje a je to matice typu (2, 4)(4, 5) = (2, 5), kdez to souc in B A vu bec nenı deinova n (neexistuje). 3. Násobení matic tedy nemá naprosto stejné vlastnosti, jako násobení čísel. Dals ı odlis nosti si uka z eme ve cvic enı k te to kapitole. 4. Jsou-li matice A, 0 (nulova ) a E (jednotkova ) čtvercové matice stejného řádu, platı : A 0 = 0 A = 0 a A E = E A = A, jak snadno zjistıḿe vyna sobenıḿ.
Vlastnos násobení mac Na sobenı matic da va pone kud odlis ne vy sledky, nez ktere dosta va me pr i na sobenı c ıśel, jak bylo naznac eno v pr edchozı pozna mce. Nechť A, B a C jsou matice a k c ıślo. Potom: 1. Obecně nepla komutavní zákon o za me ne c initelu. Tedy nelze předpokládat (viz prvnı a druhy bod pr edchozı pozna mky), z e vz dy platı A B = B A. Toto funguje pouze u c tvercovy ch matic. A navıć pouze u ne ktery ch. Tyto pak nazveme zaměnitelné. Spıś e platı : A B B A 2. Z rovnos A B = 0 nemu z eme usuzovat, z e A = 0 nebo B = 0. Pokud souc in dvou matic je roven nulove matici, nutne z toho neplyne, z e alespon jedna z nich je take nulova, jak je uka za no v pr ıḱladech 2. a) a 6. 3. Z rovnos A = A nemu z eme usuzovat, z e A = E nebo A = 0, jak je uka za no v pr ıḱladu 2. b) i kdyz r es enıḿ kvadraticke rovnice x = x je pra ve jednička a nula. 4. Při násobení mac nelze krát, jak je uka za no v pr ıḱladu 3. 5. (A B) C = A (B C) asociativnı za kon (o sdruz ova nı c initelu ). 6. k (A B) = (k A) B = A (k B) asociativnı za kon pro na sobenı souc inu matic c ıślem. 7. (A + B) C = A C + B C distributivnı za kon, kdy za vorka je vlevo. 8. A (B + C) = A B + A C distributivnı za kon, kdy za vorka je vpravo.
Cvičení 1. Jsou da ny matice A = 1 2 3 1, B = 7 4 6 7 Urc ete A B a B A. A B = 1 2 3 1 7 4 6 7 = 19 18 27 19 B A = 7 4 6 7 1 2 3 1 = 19 18 27 19 A B = B A Matice A a B jsou zame nitelne.
2. Jsou da ny matice A = 1 0 0 0, B = 0 0 1 2. Vypoc te te: a) A B b) A Řešení a) A B = 1 0 0 0 0 0 1 2 = 0 0 0 0 = 0 Z rovnosti A B = 0 nevyply va, z e by alespon jedna z matic A nebo B musela by t nulova. Nebo jinak: souc inem dvou nenulovy ch matic mu z e by t nulova matice. Řešení b) A = A A = 1 0 0 0 1 0 0 0 = 1 0 0 0 = A Z rovnosti A A = A ( A = A ) nevyply va, z e by matice A musela by t jednotkova nebo nulova.
3. Jsou da ny matice A = 0 1 0 2, B = 5 1 3 1, C = 2 2 3 1. Vypoc te te A B a A C. A B = 0 1 0 2 5 1 3 1 = 3 1 6 2 A C = 0 1 0 2 2 2 3 1 = 3 1 6 2 Z rovnosti A B = A C nelze c init za ve r, z e B = C. Při násobení matic proto nemůžeme krátit.
4. Jsou da ny matice A = 2 1 4 2 0 6, B = 4 2 6 0 3 6. Vypoc te te 2 A B a A + 3 B. 2 A B = 2 2 1 4 2 0 6 4 2 6 0 3 6 = = 4 2 8 4 0 12 + 4 2 6 0 3 6 = 8 0 2 4 3 6 1 2 A + 3 B = 2 1 4 2 0 6 + 3 4 2 6 0 3 6 = = 1 2 2 1 0 3 12 6 18 + 0 9 18 = 13 2 16 1 9 15
5. Jsou da ny matice A = 2 1 1 3 1 3 0 1, B = 2 1 1 0 Vypoc te te A B. A B = 2 1 1 3 0 1 2 1 1 0 = 2.3 + 1.2 + 1.1 2.1 + 1.1 + 1.0 3.3 + 0.2 + 1..1 + 0.1 + 1.0 = 9 3 10 3 6. Jsou da ny matice C = 1 2 3 2 4 6 3 6 9, D = 1 2 4 1 2 4 1 2 4 Vypoc te te C D. C D = 1 2 3 2 4 6 3 6 9 1 2 4 1 2 4 1 2 4 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7. Je da na matice A = 3 2 4 2 Vypoc te te A. A = A A A A A = (A A) {(A A) A} = = = 3 2 4 2 3 2 4 2 1 2 4 4 3 2 4 2 = 1 2 4 4 5 2 4 0 = 3 2 4 8 8. Jsou da ny matice B = 1 2 1 2 1 2 1 2 3, C = 4 1 1 4 2 0 1 2 1 Vypoc te te B C C B. B C C B = 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 1 1 4 2 0 1 2 1 4 1 1 4 2 0 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 3 = = 3 7 2 6 8 4 1 11 4 7 11 9 0 6 0 6 6 8 = 10 4 7 6 14 4 7 5 4