Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta strojní, Ústav mechaniky, Technická 4, 166 07 Praha 6 <Vladimir.Svehla@fs.cvut.cz> Castiglianova věta ve své podstatě vyjadřuje vztah mezi deformací tělesa a energií akumulovanou v tělese vlivem zatížení. Každé elastické těleso se pod účinkem sil na něho působících deformuje a vynaložená práce se v tělese akumuluje ve formě deformační energie U. Vztáhneme-li tuto energii na jednotku objemu, dostaneme objemovou hustotu deformační energie neboli měrnou deformační energii λ. Platí: λ = U V Dá se dokázat, že v případě jednoosé napjatosti nabývá měrná deformační energie tvaru: λ = 1 2 σ (x) ε (x) S použitím Hookova zákona σ (x) ε (x) = E (x) dostaneme ekvivalentní vztah: Potom celková deformační energie: σ (x) λ (x) = 1 2 σ (x) = 1 E (x) 2 U = λ (x) dv Dosadíme-li za dv = A (x) dx lze vztah upravit: U = λ (x) A (x) dx = l V l 1 2 σ 2 (x) E (x) σ 2 (x) E (x) A (x) dx
56 Vladimír Švehla: Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Využitím definičního vztahu normálového napětí při zatížení tahem: σ (x) = N (x) A (x) ( ) 2 1 N(x) N(x) 2 U = A (x) dx = dx 2 E (x) A (x) 2 E (x) A (x) l l upravíme vzorec: Castiglianova věta Působí-li na elastické těleso soustava sil, akumuluje se v tělese deformační energie U ( 1,..., n). Změní-li se některá ze sil i o přírůstek d i na i + d i, změní se i deformační energie z U na: U + du i = U + U i d i Podle zákona o zachování energie nemůže změna pořadí zatěžování jednotlivými silami mít vliv na velikost vykonané práce a tím i na velikost deformační energie. Zatížíme-li tedy těleso napřed přírůstkem síly d i, vyvolá deformaci du i ve svém směru působení a podle Hookova zákona vytvoří přírůstek deformační energie: dw = 1 2 d i du i Následnou aplikací soustavy zbývajících sil se ve směru síly i vytvoří posuv u i a v tělese se akumuluje deformační energie U. Současně se ale změní působiště přírůstku síly d i právě o posuv u i. Vznikne tak další práce velikosti d i u i. Celkovou deformační energii pak můžeme porovnat: U + 1 2 d i du i + d i u i = U + U i d i Za předpokladu zanedbání diferenciálů vyšších řádů po úpravě dostaneme: neboli Castiglianův vztah pro deformaci: d i u i = U i d i u i = U i kde posuv u i je určen místem a směrem působení síly i Po dosazení za deformační energii tahu nabude vztah tvaru: u i = i l N(x) 2 dx = 2 E (x) A (x) l N N (x) (x) i N (x) n i(x) dx = dx E (x) A (x) l E (x) A (x) Vzhledem k lineární závislosti mezi silami, vztah n i(x) = N (x) i je bezrozměrná veličina a vyjadřuje přepočtový koeficient mezi směrem síly N (x) a jí určenou deformací l a směrem působení síly i a tím i směrem hledané deformace u i. Geniálnost Castiglianovy věty spočívá v jednoduché úvaze: Hledáme-li posuv některého bodu tělesa složeného z několika částí = prutů (uvažujeme zatížení tahem a tlakem), akumuluje se v každém prutu deformační energie o velikosti: V případě konstantních funkcí: U i = li N 2 (x) dx 2 E (x) A (x)
Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 57 a celková deformační energie soustavy je: U i = N 2 i l i 2 U = i U i = i 2 N 2 i l i Aplikujeme-li na tuto soustavu Castiglianovu větu, dostaneme posuv: P = U P = P i N 2 i l i 2 = i ( N Ni ) i li P = i N i l i N i P = = i N i l i n ip = i l i n ip Znamená to, že hledanou deformaci vypočteme jako součet všech průmětů skutečných osových prodloužení jednotlivých prutů l i do směru hledané deformace P. Přepočtové koeficienty n ip udávají právě tuto transformaci mezi směrem i-tého prutu a směrem hledaného posuvu P. Tyto koeficienty nelze ovšem zjistit jinak než geometrickým nákresem, což může být v mnoha případech obtížné. Geniálnost Castiglianovy věty spočívá v záměně deformací a sil! Zavedeme-li totiž do místa a směru hledané deformace sílu P, lze tuto sílu statickými rovnicemi rovnováhy rozložit na složky N ip do jednotlivých směrů prutů. Rozkladové koeficienty sil se řídí stejnými geometrickými závislostmi jako přepočtové koeficienty deformací a jsou ve své podstatě totožné. Platí tedy: N ip = n ip P n ip = N ip P Nejlépe si tento poznatek ozřejmíme na příkladech. Příklad 1 Mějme dáno:, a, A, E Určete: svislé posuvy bodů A, B, C v A, v B, v C Určení [N i ] Vnitšní síly v jednotlivých sloupcích vypočteme pomocí metody řezu:
58 Vladimír Švehla: Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Řešení pomocí definice prodlouženi: l i = Řešení pomocí Castiglianovy věty: l i N 1 = N 2 = 2 N 3 = 2 N (x) E (x) A (x) dx = N i l i v A = l 3 = 2 a E 3A v B = l 3 + l 2 = 2 a 2 2a + E 3A E 2A v C = l 3 + l 2 + l 1 = 2 a 2 2a + E 3A E 2A + 3a E A P = U P kde U je deformační energie v tahu a P je obecná síla umístěná v místě a ve směru hledané deformace P. Po dosazení a úpravě dostaneme pro deformaci výraz: P = i N i n ip l i = i l i n ip A) Posuv v A v A = N i l i n ia = l i n ia = l 1 n 1A + l 2 n 2A + l 3 n 3A E i i A i i Určení [n ia ] Definice Castiglianovy věty určuje, že transformační vztahy získáme tak, že do místa A a ve směru svislém umístíme obecnou sílu P. (30) Složky jejího rozkladu v jednotlivých sloupcích zjistíme metodou řezu: N 1A = 0 N 2A = 0 N 3A = P
Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 59 Z nich vypočteme podle vzorce: n ia = N ia P odpovídající přepočtové koeficienty: n 1A = 0 n 2A = 0 n 3A = 1 Důležitá poznámka: Z tohoto výsledku vyplývá, že zvolíme-li obecnou sílu P jako sílu jednotkovou, složky jejího rozkladu budou totožné s jejich derivacemi neboli transformačními koeficienty. Svislý posuv bodu A dostaneme po dosazení: B) Posuv v B v A = l 1 n 1A + l 2 n 2A + l 3 n 3A = l 1 0 + l 2 0 + l 3 1 = l 3 v B = i N i l i n ib = i l i n ib = l 1 n 1B + l 2 n 2B + l 3 n 3B Určení [n ib ] Transformační vztahy opět získáme tak, že do místa B a ve směru svislém umístíme obecnou sílu P = 1 Složky jejího rozkladu v jednotlivých sloupcích zjistíme metodou řezu: Svislý posuv bodu B dostaneme po dosazení: n 1B = 0 n 2B = 1 n 3B = 1 v B = l 1 n 1B + l 2 n 2B + l 3 n 3B = l 1 0 + l 2 1 + l 3 1 = l 3 + l 2 C) Posuv v C v C = i N i l i n ic = i l i n ic = l 1 n 1C + l 2 n 2C + l 3 n 3C
60 Vladimír Švehla: Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Určení [n ic ] Transformační vztahy opět získáme tak, že do místa C a ve směru svislém umístíme obecnou sílu P = 1 Složky jejího rozkladu v jednotlivých sloupcích zjistíme metodou řezu: n 1C = 1 n 2C = 1 n 3C = 1 Svislý posuv bodu C dostaneme po dosazení: v C = l 1 n 1C + l 2 n 2C + l 3 n 3C = l 1.1+ l 2.1+ l 3. 1 = l 3 + l 2 + l 1 Příklad 2 Mějme dáno:, l 1, l 2, E, A, α, β Určete: u Podle Castiglianovy věty platí: u = U P = 2 l i n iu = 2 N i l i E A n iu Určení [N i ] Uvolníme spojnicový kloub a zavedeme síly v něm působící: Sestavíme rovnice rovnováhy: N 1 sin α N 2 sin β = 0 N 1 cos α + N 2 cos β = 0
Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 61 Z nich získáme síly v prutech: N 1 = N 2 sinβ sinα N 2 = 1 cosβ ( N 1cosα) = cosβ ( N 2 1 + sinβ cosα cosβ sinβ ) ( ) sinβ cosα N 2 sinα cosβ = cosβ N 2 = cosβ 1 1 + tgβ tgα = cosβ tgα N 1 = cosβ tgα sinβ sinα = sinα tgα tgβ = cosα tgβ Určení [n iu ] Transformační koeficienty vypočteme tak, že v místě působení síly zavedeme ve směru vodorovném obecnou sílu P = 1 : Vztah mezi jejími složkami vede k sestavení rovnic rovnováhy: Po vyřešení dostaneme koeficienty : n 1u sin α n 2u sin β 1 = 0 n 1u cos α + n 2u cos β = 0 n 1u = 1 sinα n 2u = 1 sinβ Hledaný posuv pak vyjádříme jako: = [ cosα tgβ ] l1 [ 1 EA sinα u = EA tgα tgβ u = N 1 l 1 E A n 1u + N 2 l 2 E A n 2u = ] tgα tgα tgβ () 2 + [ [ cosβ ] tgα l2 EA ] l 1 sinαcosα l 2 sinβcosβ [ 1 sinβ ] tgβ
62 Vladimír Švehla: Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Příklad 3 Mějme dáno: A, l 1, l 2,, A, E Máme určit: v Pro výpočet posuvu v můžeme Castiglianovu větu vyjádřit jako: v = U kde P ztotožníme s P, neboť podle definice působí ve stejném místě a ve stejném směru jako hledaná deformace, tedy: v = U Opět platí: 2 2 N i l i v = l i n iv = E A n iv = l 1 n 1v + l 2 n 2v Určení [N i ] Uvolníme pruty pro určení silových vazeb v rovnicích rovnováhy: Rovnice rovnováhy: Po vyřešení máme: N 1 + N 2 = 0 2a N 2 3a = 0 N 2 = 2 3 N 1 = N 2 = 1 3 Určení [n iv ] Zavedeme-li opět jednotkovou sílu do místa a do směru hledané deformace v, zjistíme tak potřebné transformační koeficienty: Rovnice rovnováhy: n 1v 1 + n 2v = 0 1 2a n 2v 3a = 0 n 2v = 2 3 n 1v = 1 n 2v = 1 3 1
Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 63 Hledaný svislý posuv bude: Příklad 4 v = [ 1 3 l 1 E A ] [ ] 1 + 3 Mějme dáno:, a, E, A Určete: vodorovný posuv bodu B u B [ 2 3 l 2 E A ] [ ] 2 = 3 9 E A [ l 1 + 4 l 2 ] U těchto případů se určitost nebo neurčitost stanovuje pomocí stupňů volnosti tělesa podle vzorce: χ = 2k 1p 2r 1po kde χ je počet stupňů volnosti, k je počet kloubů, r je počet rotačních vazeb k rámu, po je počet posuvných vazeb k rámu. V našem případě: χ = 2.8 1.13 2.1 1.1 = 0 To znamená, že soustava je staticky určitá. Sestavíme-li rovnice rovnováhy tělesa jako celku, vyčíslíme reakce v úchytech. Vzhledem k symetrii obě reakce budou rovny 2. Podle Castiglianovy věty vodorovný posuv bodu B u B bude vyjádřen vztahem: u B = U 13 P = l i n iu = 13 N i l i E A n iu Určení [N i ] Pro výpočet skutečných sil v prutech sestavíme soustavu rovnic rovnováhy jednotlivých kloubů: Určení [n iu ] Transformační vztahy deformací prutů do vodorovného posuvu bodu B vypočteme podle definice tak,že v místě B hledané deformace a ve směru vodorovném zavedeme sílu P = 1. Dále je nutné dopočítat všechny reakce představující vnější síly: Sestavíme opět rovnice rovnováhy jednotlivých kloubů.
64 Vladimír Švehla: Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Výsledky můžeme přehledně uspořádat do tabulky. N i l i n iu N i l i n i u 1 2 2 2 a 0 0 a 2 a 1 2 2 3 0 a 0 0 4 a 0 0 5 2 2 2 a 0 0 a 6 a 1 2 2 7 a 0 0 8 a 0 0 9 2 2 2 a 0 0 a 10 a 1 2 2 11 0 a 0 0 12 2 2 2 a 0 0 a 13 a 1 2 2) součet řádků 4 ( a 2 Poslední sloupec v tabulce a následný součet vyjadřuje část vztahu pro výpočet deformace: u B = 1 [ ( )] a 4 = 2 a E A 2 E A Kladné znaménko deformace navíc napovídá, že posuv bodu B se uskuteční ve směru působení jednotkové síly.