Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 1 / 32

1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 2 / 32

Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy Bod v rovině nebo v prostoru ztotožníme s uspořádanou dvojicí [x, y] nebo trojicí [x, y, z] reálných čísel. Tyto množiny budeme značit E 2 nebo E 3. Vektorem budeme nazývat uspořádanou dvojici (x, y) nebo trojici (x, y, z) reálných čísel. Tyto množiny budeme značit V 2 nebo V 3. Orientovaná úsečka AB, kde A, B E 2 nebo A, B E 3 a platí B A = u je umístěním vektoru u do bodu A, je také reprezentantem vektoru u. Např. body [x, y, z] na kulové ploše se středem v bodě S = [3, 1, 0] a s poloměrem r = 3 splňují rovnici (x 3) 2 + (y 1) 2 + z 2 = 9. Například skládání sil působících ve stejném bodě odpovídá součtu vektorů, které síly reprezentují. Je-li u = (0, 1, 2) a v = (1, 1, 0), je jejich součet w = u + v = (1, 0, 2). Dva body A = [1, 1, 3] a B = [3, 0, 0], mohou určovat vektor posunutí AB = B A = [3, 0, 0] [1, 1, 3] = (2, 1, 3). 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 3 / 32

Skalární součin dvou vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ) a v = (v 1, v 2, v 3 ) je definován u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3. Skalární součin se někdy značí také (u, v) nebo jen uv. (Inner product, scalar product, dot product.) Např. (u, v) = ((1, 2, 5), (3, 4, 0)) = 5. Délka vektoru (velikost, norma, Euklidovská norma) je q u = u1 2 + u2 2 + u2 3. Tedy platí u = u u. Např. u = (1, 3, 5) = 35. Pro jakýkoliv nenulový vektor u platí, že délka vektoru 1 u je 1, neboť u 1 u u = 1 u = 1. u 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 5 / 32

Odchylka (úhel) α, α 0, π, dvou vektorů lze spočítat pomocí cos α = u v u v. u u z Dva vektory jsou kolmé, právě když je jejich skalární součin 0. α v v Kolmá projekce v vektoru v do vektoru u je dána vztahem v = u v u 2 u. Odvození: Má platit v = c u a (v v, u) = 0. Tedy (v c u, u) = 0 v π/2 v v v u tedy c = v = (v, u) (v, u) = (u, u) u 2, (v, u) (u, u) u = u v u 2 u. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 6 / 32

Vektorový součin dvou vektorů u = (u 1, u 2, u 3 ) a v = (v 1, v 2, v 3 ) je vektor u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 1 v 3 + u 3 v 1, u 1 v 2 u 2 v 1 ). (Cross product.) Pomůcka pro výpočet: Vlastnosti: u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u 2 v 3 u 3 v 2 (u 1 v 3 u 3 v 1 ) u 1 v 2 u 2 v 1 a) u v je kolmý k oběma vektorům u a v; b) velikost vektoru u v je rovna ploše rovnoběžníka určeného vektory u a v, tedy kde φ je odchylka u a v; u v = u v sin φ, c) orientace u v je dána pravidlem pravé ruky: je-li u ukazováček, v malíček, míří palec (neležící v rovině dlaně) směrem u v. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 7 / 32

Příklad. Určíme obsah trojúhelníka s vrcholy A = [0, 0, 2], B = [ 1, 3, 1], C = [1, 1, 5]. Určíme úhel při vrcholu A. Dvě strany trojúhelníka tvoří vektory např. u = B A a v = C A, tedy u = ( 1, 3, 1), v = (1, 1, 3). Obsah trojúhelníka je tedy S = 1 2 u v = 1 2 (10, 2, 4) = 1 2 q 10 2 + 2 2 + ( 4) 2 = 120/2 = 30. Pro úhel při vrcholu A platí cos α = (u, v) (( 1, 3, 1), (1, 1, 3)) = = 1 u v 1 + 9 + 1 1 + 1 + 9 11, tedy α = arccos 1 11. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 8 / 32

Smíšený součin vektorů u, v, w V 3 je u (v w). Vlastnosti: a) Hodnota smíšeného součinu je rovna determinantu matice, jejíž řádky (resp. sloupce) jsou tvořeny vektory u, v, w (v tomto pořadí). b) Absolutní hodnota smíšeného součinu je rovna objemu rovnoběžnostěnu jehož hrany jsou vektory u, v, w. c) Absolutní hodnota smíšeného součinu je rovna 6-tinásobku objemu čtyřstěnu jehož hrany jsou vektory u, v, w. Příklad. Určete objem čtyřstěnu určeného vektory u = (2, 0, 3), v = ( 1, 1, 0), w = (0, 5, 1). 0 1 6 det @ 2 0 3 1 1 1 0 A 2 + 0 15 0 0 0 = = 13 0 5 1 6 6. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 9 / 32

Přímka v prostoru může být určena dvěma body (P a Q) nebo bodem a směrovým vektorem (P a v). Každý bod [x, y, z] na přímce lze vyjádřit v parametrickém (vektorovém) tvaru [x, y, z] = P + s(q P), kde s R, nebo [x, y, z] = P + sv, kde s R. Míníme-li bodem X = [x, y, z] bod přímky, lze psát stručněji X = P + s(q P) nebo X = P + sv. Jestliže označíme P = [P 1, P 2, P 3 ] a v = (v 1, v 2, v 3 ), můžeme vzah přepsat do 3 rovnic X = P + sv x = P 1 + sv 1, y = P 2 + sv 2, z = P 3 + sv 3. Osamostatníme-li v každé z těchto tří rovnic s, dostaneme s = x P 1 v 1, s = y P 2 v 2, s = z P 3 v 3, a tedy x P 1 = y P 2 = z P 3. v 1 v 2 v 3 Tím jsme dostali kanonické (osové, polární) vyjádření přímky. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 11 / 32

Příklad. Určíme nějaký směrový vektor v a nějaký bod P přímky Podle předchozího textu je např. x 1 7 = y + 3 2 = 5 z 10. a tedy x 1 7 = y + 3 2 = 5 z 10 = s, x = 1 + 7s, y = 3 + 2s, z = 5 10s, a tedy v = (7, 2, 10) (pozor na znaménko poslední souřadnice) a P = (1, 3, 5). Dvě různé přímky v prostoru mohou být a) různoběžné - mají právě jeden společný bod, b) rovnoběžné - mají rovnoběžné směrové vektory a nemají žádný společný bod, c) mimoběžné - nemají rovnoběžné směrové vektory a nemají žádný společný bod. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 12 / 32

Příklad. Určete vzájemnou polohu přímek p a r. Přímka p je dána body A = [0, 2, 1] a B = [1, 3, 0]. Přímka r je dána bodem C = [1, 1, 1] a vektorem u = (0, 3, 1). Určíme směrový vektor přímky p: v = B A = (1, 5, 1). Vektory u a v nejsou lineárně závislé, proto přímky p a r nejsou rovnoběžné (ani totožné). Zjistíme, zda mají přímky společný bod. Budeme řešit soustavu rovnic (hledat s a t) tedy A + sv = C + tu, 0 + s = 1 + 0t 2 5s = 1 3t 1 s = 1 + t. Nutně s = 1, potom z poslední rovnice t = 1, ale to nevyhovuje druhé rovnici, tedy soustava nemá řešení, tedy přímky p a r jsou mimoběžky. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 13 / 32

Přímka v rovině může být určena dvěma body (P a Q) nebo bodem a směrovým vektorem (P a v). Tedy každý bod [x, y] na přímce lze vyjádřit v parametrickém tvaru kde s R nebo [x, y] = P + s(q P), [x, y] = P + sv, kde s R. Míníme-li bodem X = [x, y] bod přímky, lze psát stručněji X = P + s(q P) nebo X = P + sv. Jestliže označíme P = [P 1, P 2 ] a v = (v 1, v 2 ), můžeme vztah přepsat jako X = P + sv x = P 1 + sv 1, y = P 2 + sv 2. Osamostatníme-li v každé z těchto dvou rovnic s, dostaneme a tedy neboli s = x P 1 v 1, s = y P 2 v 2, x P 1 v 1 = y P 2 v 2, xv 2 yv 1 P 1 v 2 + P 2 v 1 = 0. Tím jsme dostali obecnou rovnici přímky, která je vždy typu ax + by + c = 0, kde a, b, c jsou reálné konstanty. Vždy je vektor (a, b) kolmý ke směrovému vektoru přímky. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 14 / 32

Příklad. Určíme obecnou rovnici přímky, která je dána body A = [0, 1] a B = [2, 7]. Parametrické vyjádření přímky je např. s R, tedy [x, y] = A + s(b A) = [0, 1] + s((2, 7) (0, 1)) = [0, 1] + s(2, 6), s = x 0 2 = y 1 6, neboli 6x 2y + 2 = 0, což je totéž jako 3x y + 1 = 0. Obecná rovnice přímky je tedy 3x y + 1 = 0. V tomto příkladě jsme mohli postupovat ještě jinak. Víme, ze hodnoty a, b v obecné rovnici přímky tvoří vektor kolmý k přímce. Najdeme tedy nějaký. Je-li směrový vektor (2, 6) (nebo také (1, 3)), je k němu kolmý vektor např. ( 3, 1). Obecné rovnice bude tedy 3x + y + c = 0. Konstantu c určíme dosazením libovolného bodu přímky, např. A, tedy c = 1, tedy rovnice je neboli 3 0 + 1 1 + c = 0, 3x + y 1 = 0, 3x y + 1 = 0. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 15 / 32

Příklad. Určíme odchylku α a průnik S přímek p a q, kde p je dána rovnicí 3x y + 7 = 0 a q je určena body A = [1, 1] a B = [2, 5]. Směrový vektor přímky p je u = (1, 3) a směrový vektor přímky q je v = B A = (1, 4). Úhel α přímek p a q je roven úhlu vektorů u a v cos α = Odchylka přímek je tedy α = arccos 13 170. Parametrické vyjádření přímky q je např. u v u v = 1 + 12 = 13. 10 17 170 [x, y] = [1, 1] + s(1, 4), s R. Každý bod společný oběma přímkám bude vyhovovat rovnici pro p i vyjádření q, dosadíme tedy parametrické vyjádření q do obecné rovnice pro p a dostaneme s = 9. Společný bod je 3x y + 7 = 3(1 + s) (1 + 4s) + 7 = 0, S = [x, y] = [1, 1] + 9(1, 4) = [10, 37]. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 16 / 32

Rovina v prostoru může být určena třemi body (P, Q, R) nebo bodem a dvěma lineárně nezávislými směrovými vektory (P, u, v). Bod X = [x, y, z] roviny tedy můžeme vyjádřit ve tvaru r, s R, nebo X = P + r(q P) + s(r P), X = P + ru + sv, r, s R, to jsou parametrické (vektorové) rovnice roviny. Uvědomme si, že pro každý bod roviny X platí, že vektor X P je lineární kombinací vektorů u a v. Normálový vektor n = (n 1, n 2, n 3 ) roviny je kolmý k u i v, tedy k X P pro libovolné X. Tedy rovina může být dána rovnicí n (X P) = 0, neboli nebo nebo obecně n 1 (x P 1 ) + n 2 (y P 2 ) + n 3 (z P 3 ) = 0, n 1 x + n 2 y + n 3 z n 1 P 1 n 2 P 2 n 3 P 3 = 0, ax + by + cz + d = 0. Tento vztah se nazývá obecná rovnice roviny. Koeficienty a, b, c v rovnici tvoří vektor (a, b, c) kolmý k rovině, je to normálový vektor roviny. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 17 / 32

Odchylka α rovin ρ a τ je dána odchylkou jejich normálových vektorů n ρ a n τ cos α = nρ nτ n ρ n τ. Odchylka α přímky p od roviny ρ lze spočítat ze vztahu sin α = nρ vp n ρ v, p kde n ρ je normálový vektor roviny ρ a v p je směrový vektor přímky p. Přímka a rovina v prostoru mohou být a) různoběžné (mají právě jeden společný bod), b) rovnoběžné (nemají žádný společný bod nebo je přímka částí roviny). Přímka a rovina v prostoru NEMOHOU být mimoběžné. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 18 / 32

Příklad. Určíme obecnou rovnici roviny ρ, která je dána bodem P = [2, 0, 1] a vektory u = ( 1, 2, 2) a v = (3, 1, 0). Najdeme normálový vektor n roviny ρ jako vektorový součin vektorů u a v, Rovnice bude tedy Konstantu d určíme dosazením bodu P, n = u v = ( 1, 2, 2) (3, 1, 0) = ( 2, 6, 7). 2x + 6y 7z + d = 0. 2 2 + 6 0 7 1 + d = 0, tedy d = 11. Obecná rovnice roviny ρ je tedy 2x + 6y 7z + 11 = 0, neboli 2x 6y + 7z 11 = 0. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 19 / 32

Příklad. Určíme průnik rovin ρ a τ, které jsou zadané obecnými rovnicemi 3x 2y + 1 = 0 a x + y + z + 2 = 0. Roviny nejsou rovnoběžné, protože jejich normálové vektory n ρ = (3, 2, 0) a n τ = (1, 1, 1) jsou lineárně nezávislé. Směrový vektor v přímky p, která je jejich průnikem, je kolmý k n ρ i k n τ, v = n ρ n τ = ( 2, 3, 5). Zbývá najít nějaký bod p vyřešením soustavy rovnic 3x 2y + 1 = 0 x + y + z + 2 = 0. Zvolíme-li např. x = 1, dostaneme y = 2 a z = 5, tedy parametrické vyjádření přímky je s R. [x, y, z] = [1, 2, 5] + s( 2, 3, 5), 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 20 / 32

Příklad. Najdeme průnik P přímky zadané [x, y, z] = [1, 2, 5] + s( 3, 2, 5), s R, s rovinou x y + 2z 7 = 0. Dosadíme vyjádření přímky do rovnice roviny (1 3s) (2 2s) + 2( 5 + 5s) 7 = 0, dostaneme 9s = 18, tedy s = 2, tedy průnikem je bod P = [1, 2, 5] + 2( 3, 2, 5) = [ 5, 2, 5]. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 21 / 32

Vzdálenost množin bodů M 1 a M 2 je infimum délek úseček spojujících nějaký bod z M 1 s nějakým bodem z M 2. Vzdálenost bodu od roviny. Vzdálenost d(p, τ) bodu P = [p 1, p 2, p 3 ] od roviny τ dané rovnicí ax + by + cz + d = 0 je d(p, τ) = ap 1 + bp 2 + cp 3 + d p. a 2 + b 2 + c 2 Odvození. Přímka kolmá k τ a procházející bodem P je X = P + t(a, b, c). Její průnik s rovinou τ najdeme dosazením a(p 1 + sa) + b(p 2 + sb) + c(p 3 + sc) + d = 0, s = ap 1 + bp 2 + cp 3 + d a 2 + b 2 + c 2. Bod průniku je tedy T = P + s(a, b, c) a vzdálenost T od P je d(p, τ) = s(a, b, c), tedy d(p, τ) = s pa 2 + b 2 + c 2 = ap 1 + bp 2 + cp 3 + d p a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 = ap 1 + bp 2 + cp 3 + d p. a 2 + b 2 + c 2 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 23 / 32

Příklad. Určíme vzdálenost d(p, τ) bodu P = [6, 1, 0] od roviny τ dané bodem A = [3, 0, 0] a vektory u = (1, 2, 0) a v = (0, 1, 1). (První postup.) Najdeme obecnou rovnici roviny τ a použijeme předchozí vzorec. Normálový vektor je n = (2, 1, 1), tedy rovnice je 2x y + z + d = 0, kde d = 6. Vzdálenost je tedy d(p, τ) = 2 6 1 1 + 1 0 6 p 2 2 + ( 1) 2 + 1 2 = 5 6. (Jiný postup.) Vektory u, v a w = P A = (3, 1, 0) určují rovnoběžnostěn, jehož objem je roven absolutní hodnotě determinantu V = det 0 @ 1 0 2 1 0 1 1 A = 0 + 6 + 0 0 1 = 5. 3 1 0 Objem je ale současně roven obsahu podstavy, určené vektory u a v, násobenému vzdáleností d(p, τ), tedy V = u v d(p, τ) = (2, 1, 1) d(p, τ) = 6 d(p, τ), tedy d(p, τ) = 5 6. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 24 / 32

Vzdálenost bodu od přímky. Vzdálenost bodu P = [p 1, p 2, p 3 ] od přímky s dané bodem A a směrovým vektorem v je (P A) v d(p, s) =. v P A u v d(p,s) s Odvození. Použijeme známé vztahy. Označme u = P A. Rovnoběžník určený vektory u a v má obsah S = u v. Tento obsah je roven součinu kde d je vzdálenost bodu P od přímky s. Tedy d(p, s) = S = d v, (P A) v. v 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 25 / 32

Příčky mimoběžek Jestliže p a q jsou mimoběžky, nazývá se každá přímka, která protíná p i q, jejich příčka. Příčka, na které tyto dva průsečíky vytínají úsečku nejmenší délky, se nazývá osa mimoběžek. Příklad. Určete osu r mimoběžek p a s. Přímka p je určena pravým svislým okrajem promítacího plátna, které sledujete, přímka s je určena horním okrajem vašeho sešitu. Určíme směr w, kolmý ke směrům přímek p a s. To bude směr hledané osy r. Sestrojíme rovinu ρ, která prochází přímkou p a je rovnoběžná se směrem w. Najdeme průnik T roviny ρ a přímky s. Osa r je dána bodem T a vektorem w.? Co bude řešením, budou-li přímky p a s rovnoběžné?? Co bude řešením, budou-li přímky p a s různoběžné?? Jak určíme vzdálenost mimoběžek? 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 27 / 32

Příklad. Najděte osu r mimoběžek p a q, vyjádřených vztahy p : X = A + sv, q : X = B + tu, s, t R, kde A = [1, 0, 1], B = [0, 2, 2], v = (1, 1, 0), u = ( 2, 0, 1). (Ověření mimoběžnosti p a q by se provedlo například zjištěním, že determinant matice složené z vektorů u, v a B A je nenulový.) Určíme směr přímky r - směr kolmý k p i q, w = v u = (1, 1, 2). Určíme rovinu ρ procházející přímkou p a rovnoběžnou se směrem w. Rovina ρ má tedy normálový vektor (a, b, c) = w v = ( 2, 2, 2) = 2(1, 1, 1) a rovnici Konstantu d spočteme dosazením A do rovnice, x y z + d = 0. 1 0 1 + d = 0, tedy d = 0. Průnik q a ρ označíme C a spočteme dosazením vyjádření q do obecné rovnice ρ, (0 2t) (2) (2 + t) = 0. Máme t = 4 3, a tedy C = [0, 2, 2] 4 3 ( 2, 0, 1) = [ 8 3, 2, 2 ]. Osa mimoběžek p a q je tedy 3 k R. X = C + sw = [ 8 3, 2, 2 ] + k(1, 1, 2), 3 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 28 / 32

Příklad. Najdeme příčku r mimoběžek p a q rovnoběžnou se směrem w = (0, 1, 0). Přímky p a q jsou vyjádřeny vztahy p : X = A + sv, q : X = B + tu, s, t R, kde A = [1, 0, 1], B = [0, 2, 2], v = (1, 1, 0), u = ( 2, 0, 1). Nejdříve určíme rovinu ρ procházející přímkou p a rovnoběžnou se směrem w. Rovina ρ má normálový vektor n = v w = (0, 0, 1), a tedy obecnou rovnici z + d = 0. Určíme d dosazením bodu A do rovnice ρ, 1 1 + d = 0. Dostaneme d = 1. Průnik ρ a q dostaneme dosazením vyjádření q do ρ, 1(2 + t) 1 = 0, máme t = 1, tedy průnik je C = [0, 2, 2] ( 2, 0, 1) = [2, 2, 1]. Příčka je tedy kde k R. X = C + kw = [2, 2, 1] + k(0, 1, 0), 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 29 / 32

Otázky. 1. Co lze obecně říci o rovině zadané obecnou rovnicí ax + by + cz + d = 0, kde a) a = 0, b) a = b = 0, c) d = 0? 2. Jak najít kolmý průmět přímky do roviny? 3. Jak najít kolmý průmět bodu do roviny? 4. Jak najít bod souměrně sdružený s daným bodem podle dané roviny? 5. Jak určit vzdálenost bodu od roviny? 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 30 / 32

Zkouška: 120 minut, sešité papíry,... Odpovědi na otázky - větami. Náhledy, zkoušení na A, zápis známky do indexu - následující den po písemné zkoušce. Výběrová Matematika 2... web Katedry matematiky Vyčichlova soutěž, Rektorysova soutěž, Kapitoly ze současné matematiky, seminář... web Katedry matematiky Katedra matematiky - předmět YZAI (Základy informatiky) MATLAB, SCILAB - volně, atd. 12. přednáška (20.12.2010) Matematika 1 32 / 32