MASARYKOVA UNIVERZITA

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 015 VERONIKA MAGEROVÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Numercké metody pro fnanční matematku Bakalářská práce Veronka Magerová Vedoucí práce: doc. RNDr. Martn Čadek, CSc. Brno 015

Bblografcký záznam Autor: Název práce: Studjní program: Studjní obor: Vedoucí práce: Veronka Magerová Přírodovědecká fakulta, Masarykova unverzta Ústav matematky a statstky Numercké metody pro fnanční matematku Matematka Fnanční a pojstná matematka doc. RNDr. Martn Čadek, CSc. Akademcký rok: 014/015 Počet stran: v + 8 Klíčová slova: numercké metody; parcální dferencální rovnce; metoda sítí; okrajová úloa; monotónní matce; Blackova-Scolesova rovnce; explctní metoda; mplctní metoda

Bblograpc Entry Autor: Ttle of Tess: Degree Programme: Feld of Study: Supervsor: Veronka Magerová Faculty of Scence, Masaryk Unversty Department of Matematcs and Statstcs Numercal metods for fnancal matematcs Matematcs Fnancal and nsurance matematcs doc. RNDr. Martn Čadek, CSc. Academc Year: 014/015 Number of Pages: v + 8 Keywords: numercal metods; partal dfferental equatons; fnte dfference metod; boundary value problem; monotone matrx; Black s-scoles equaton; explct metod; mplct metod

Abstrakt Tato bakalářská práce se věnuje numerckému řešení tzv. Blackovy-Scolesovy rovnce, která se ve fnanční matematce používá k výpočtu ceny opcí. Rovnc budeme řešt metodou sítí. Tuto numerckou metodu s nejprve ukážeme na okrajové úloze pro obyčejnou dferencální rovnc, potom j aplkujeme na počáteční úlou pro parabolckou parcální dferencální rovnc. Abstract Ts tess deals wt te numercal soluton of te Black s-scoles equaton. In fnancal matematcs, ts equaton s used to calculate te opton prces. We wll solve te equaton by fnte dfference metod. Frst, we sow ts numercal metod on te boundary value problem for ordnary dfferental equaton, ten we apply t to te ntal problem for parabolc partal dfferental equatons.

Poděkování Na tomto místě byc ctěla poděkovat svému vedoucímu doc. RNDr. Martnu Čadkov, CSc. za odborné vedení práce, trpělvost, ocotu a cenné rady, které m pomoly tuto bakalářskou prác zkompletovat. Prolášení Prolašuj, že jsem svoj bakalářskou prác vypracovala samostatně s využtím nformačníc zdrojů, které jsou v prác uvedeny a za pomoc vedoucío této práce. Brno 1. května 015.......................... Veronka Magerová

Obsa Úvod....................................................................... v Kaptola 1. Okrajová úloa pro obyčejné df. rovnce a monotónní matce..... 1 1.1 Okrajové úloy......................................... 1 1. Monotónní matce....................................... Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou................................. 5.1 Narazení dervací dferenčním podíly......................... 5. Aproxmace dferencálnío operátoru a okrajovýc podmínek......... 7.3 Přesnost aproxmace dferencálnío operátoru a okrajovýc podmínek.................................... 13 Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí.......... 19 3.1 Explctní metoda řešení................................... 0 3. Implctní metoda řešení................................... 3 3.3 Aplkace na Blackovu-Scolesovu rovnc....................... 7 Seznam použté lteratury................................................... 8 v

Úvod Ve fnanční matematce se setkáváme s tzv. Blackovou-Scolesovou rovncí pro výpočet ceny opcí. Je to parabolcká dferencální rovnce, která se v prax často řeší metodou sítí. Tato metoda spočívá v sestavení sítě mřížovýc bodů, ve kterýc pak budeme danou funkc aproxmovat. Na Masarykově unverztě není metoda sítí součástí základníc kurzů bakalářskéo oboru Fnanční a pojstná matematka a to je také důvodem, proč je jí tato bakalářská práce věnována. V první část je metoda sítí demonstrována na okrajové úloze pro obyčejnou dferencální rovnc, v část drué je pak aplkována na počáteční úlou pro parcální dferencální rovnc. Dferencální operátor v obou případec narazujeme soustavou lneárníc rovnc. Matce této soustavy je monotónní, což zaručuje exstenc a jednoznačnost jejío řešení. K důkazu, že řešení aproxmační úloy konverguje k řešení původní úloy, pokud se krok sítě blíží 0, zase používáme prncp maxma. V první kaptole se tedy podíváme na monotónní matce a defnujeme s okrajovou úlou. Druá kaptola se věnuje použtí metody sítí na okrajovou úlou a konečně v poslední kaptole se budeme zabývat numerckému řešení parabolckýc dferencálníc rovnc pomocí metody sítí. Na konc této kaptoly ukážeme, jak se tato numercká metoda dá aplkovat na Blackovu- Scolesovu rovnc. V teoretcké část této práce jsem čerpala převážně z [3], pro větu o jednoznačnost řešení parabolcké dferencální rovnce spolu s okrajovým podmínkam a počáteční podmínkou jsem použla 3. kaptolu z [] a konečně u lemmatu o LU rozkoadu a př aplkac na Blackovu-Scolesovu rovnc jsem využla [1]. v

Kaptola 1 Okrajová úloa pro obyčejné df. rovnce a monotónní matce 1.1 Okrajové úloy Na ntervau a,b budeme řešt dferencální rovnc (1.1) (p(x)y ) + q(x)y = f (x) s okrajovým podmínkam (1.) α 1 p(a)y (a) + β 1 y(a) = γ 1, α p(b)y (b) + β y(b) = γ. Předpokládejme, že funkce p, p, q a f jsou spojté na a,b a že exstuje konstanta p 0 > 0 taková, že platí (1.3) p(x) p 0, x a,b, a (1.4) q(x) 0, x a,b. Tyto předpoklady společně s následující podmínkou (1.5) zajšt ují exstenc a jednoznačnost řešení okrajové úloy (1.1) a (1.). Nect C k a,b jsou reálné funkce na ntervalu a,b s k spojtým dervacem. Věta 1.1. Nect funkce p, p, q a f jsou spojté na a,b a nect platí nerovnost (1.3) a (1.4). Dále nect α a β jsou nezáporná a platí (1.5) α + β > 0. Pak, pokud není současně β 1 = β = 0 a q = 0, má rovnce (1.1) s okrajovým podmínkam (1.) právě jedno řešení y C a,b př lbovolnýc γ 1, γ. Nect p C 3 a,b a f,q C a,b. Pak řešení y okrajové úloy (1.1) a (1.) bude prvkem C 4 a,b. 1

Kaptola 1. Okrajová úloa pro obyčejné df. rovnce a monotónní matce Důkaz. Důkaz první část věty 1.1 nebudeme provádět, můžeme jej najít v [3] na stranác 133 137, druou část dokážeme následovně. Rovnc (1.1) přepíšeme na tvar a vyjádříme y : p (x)y p(x)y + q(x)y = f (x) y = f (x) q(x)y + p (x)y. p(x) Víme, že funkce f, q, p p mají spojté dervace a proto můžeme provést dervac y. Stejnou úvau můžeme zopakovat pro y a tím získáme požadované tvrzení. 1. Monotónní matce V této kaptole budeme nerovnost mez vektory, popřípadě matcem cápat tak, že dané nerovnost budou platt pro všecny složky vektoru, nebo prvky matce. Defnce 1.1. Čtvercová matce A = {a j } řádu n se nazývá monotónní, jestlže pro všecna x R n platí, že nerovnost Ax 0 mplkuje x 0. Monotónní matce je tedy taková matce A, že z nezápornost všec složek vektoru Ax plyne nezápornost všec složek vektoru x. Nyní s ukážeme některé základní vlastnost monotónníc matc. Lemma 1.. Matce A je monotónní právě tedy, když A je regulární a A 1 0. Důkaz. Nejprve budeme předpokládat, že matce A je monotónní. Nect vektor x je řešením soustavy Ax = 0. Pak podle defnce 1.1 je x = 0 a omogenní soustava Ax = 0 má pouze trvální řešení. Tím jsme dokázal regulartu A. Nezápornost A 1 plyne z defnce 1.1 a z rovnce AA 1 = I, nebot označíme-l nyní sloupce matce A 1 postupně s 1 (A 1 ),...,s n (A 1 ), pak po vynásobení s matcí A dostaneme 1 0 As 1 (A 1 ) = 0. 0.,...,As n(a 1 ) = 0. 0 0. 0. 0 0 1 0 Protože A je monotónní, musí platt s 1 (A 1 ) 0,...,s n (A 1 ) 0. Důkaz obrácenéo tvrzení provedeme následovně. Nect A 1 exstuje a A 1 0. Pak pro vektor Ax 0 dostáváme což znamená, že matce A je monotónní. x = A 1 Ax 0,

Kaptola 1. Okrajová úloa pro obyčejné df. rovnce a monotónní matce 3 Lemma 1.3. Nect A je monotónní matce a nect pro vektory x a y platí (1.6) Ax Ay. Pak platí x y. Důkaz. Na první poled je zřejmé, že z nerovnost (1.6) plyne, že A(y x) 0 a A(y+x) 0. Použjeme-l nyní mplkac z defnce 1.1, dostaneme požadované tvrzení. Toto lemma bude rát důležtou rol př důkazu věty.1. Zkoumání monotone matc přímo z defnce nebo pomocí předcozíc lemmat je značně obtížné, proto se v prax nepoužívají. Monoton matc proto budeme zkoumat pomocí tzv. Collatzova lemmatu. Před jeo formulací však musíme uvést ještě několk pojmů. Defnce 1.. Čtvercová matce A = {a j } řádu n se nazývá reducblní, jestlže je možné přerovnat ndexy 1,...,n v posloupnost ρ 1,...,ρ r, σ 1,..., σ n r, 1 r < n, tak, že platí a ρν σ µ = 0 pro ν = 1,...,r a µ = 1,...,n r. Matc, která není reducblní nazýváme reducblní. Lemma 1.4. Čtvercová matce A řádu alespoň je reducblní právě tedy, když ke každé dvojc ndexů, j, j exstuje posloupnost ndexů 1,..., s taková, že platí a 1 0,a 1 0,...,a s j 0. Důkaz tooto lemmatu můžeme najít v [3, strana 165]. Defnce 1.3. Čtvercová matce A = {a j } řádu n se nazývá dagonálně domnantní, platí-l pro = 1,...,n (1.7) a n j=1 j a j. Pokud v (1.7) platí ostrá nerovnost pro každý ndex, budeme matc A nazývat ostře dagonálně domnantní a konečně pokud je matce A reducblní, dagonálně domnantní a v (1.7) platí ostrá nerovnost alespoň pro jeden ndex, budeme j nazývat reducblně dagonálně domnantní. Lemma 1.5 (Collatzovo lemma). Nect matce A = {a j } řádu n má na dagonále kladné prvky a nect má ostatní prvky nekladné. Dále nect je matce A ostře dagonálně domnantní nebo reducblně dagonálně domnantní. Pak je tato matce monotónní. Důkaz. Nect matce A má na dagonále kladné prvky a ostatní prvky nekladné. Nejprve budeme předpokládat, že je matce A reducblně dagonálně domnantní. Důkaz provedeme sporem, čl budeme předpokládat, že matce A není monotónní. Potom podle defnce monotónní matce bude exstovat vektor x takový, že Ax 0 a přtom alespoň jedna složka vektoru x bude záporná. Položme x j = mn(x 1,...,x n ),

Kaptola 1. Okrajová úloa pro obyčejné df. rovnce a monotónní matce 4 pak určtě x j < 0. Protože matce A má dagonální prvky kladné a ostatní prvky nekladné, platí pro ndex x j n n a j j a jk = a jk. k=1 k=1 k j Z defnce reducblně domnantní matce plyne, že moou nastat tyto případy: 1. Nect n a jk > 0. k=1 Protože a jk 0 pro k j a x k x j, je a jk x k a jk x j pro k j. Proto platí 0 n k=1 a jk x k = a j j x j + n k=1 k j což je spor s předpokladem Ax 0.. Nect Pak 0 n a jk x k = k=1 n a jk x k a j j x j + n a jk = 0. k=1 k=1a jk (x k x j ) + x j n k=1 n k=1 k j a jk }{{} =0 a jk x j = x j n k=1a jk < 0, = n k=1 k j a jk (x k x j ), kde a jk 0 a (x k x j ) 0 pro k j. Z too plyne, že každý sčítanec musí být roven 0, tedy (1.8) a jk (x k x j ) = 0, k = 1,...,n, k j. Nect 0 je ndex takový, že a 0 0 > n j=1 j 0 a 0 j. Z reducblty matce A pak podle lemmatu 1.4 exstuje posloupnost ndexů 1,..., s taková, že a j1 0,a 1 0,...,a s 0 0. Pak podle (1.8) je x j = x 1 a celý postup zopakujeme pro ndex 1 na místě j. Dostaneme, že x 1 = x protože a 1 0. Opět vezmeme na místě j. Takto postupujeme dále, až dostaneme x j = x 1 = x = = x 0. Pro ndex 0 na místě j tedy nastane první možnost tooto důkazu a tím dostáváme požadovaný spor. Důkaz pro ostře dagonálně domnantní matc je první případ důkazu pro matc reducblně domnantní.

Kaptola Metoda sítí pro okrajovou úlou Metoda sítí, nebol metoda dferenční spočívá v tom, že s nterval a, b, ve kterém ledáme řešení příslušné okrajové úloy, rozdělíme konečnou množnou bodů {x k ;k = 0,...,n}, takzvanou sítí. Body můžeme zvolt ekvdstantně, tj. (.1) x k = a + k, k = 0,...,n, kde = b a n, n N. V bodec této množny se příslušná dferencální rovnce (a okrajové podmínky) splní přblžně. V prax to znamená, že dervace naradíme dferenčním podíly, tj. lneárním kombnacem funkčníc odnot v okolníc bodec. Tím získáme soustavu konečně mnoa rovnc s neznámým, které jsou přblžné odnoty ledané funkce v bodec x k. Nyní musíme odpovědět na 3 otázky: 1. Má takováto soustava rovnc řešení?. Jakou numerckou metodou budeme soustavu řešt? 3. Jak se řešení získané pomocí aproxmační soustavy rovnc lší od skutečnéo řešení okrajové úloy? Nadále budeme předpokládat, že jsou vždy splněny předpoklady věty 1.1..1 Narazení dervací dferenčním podíly Základní myšlenka metody sítí spočívá, jak jsme s jž řekl, v narazení všec dervací, vyskytujícíc se v dferencální rovnc, dferenčním podíly. Nyní s ukážeme základní příklady dferenčníc podílů. Lemma.1. Nect má funkce f v ntervalu I = a,b dervace až do řádu včetně a nect platí x, x + I. Pak exstuje bod ξ x, x + takový, že platí f (x + ) f (x) = f (x) + 1 f (ξ ). 5

Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 6 Důkaz. V případě exstence (n + 1) konečnýc dervací funkce f v bodě x lze podle Taylorovy věty psát f (x + ) = f (x) + f (x) 1! (x + x) }{{} = kde ξ x, x +. Pro n = 1 dostaneme požadované tvrzení. + f (x) + + f (n+1) (ξ )! (n + 1)! n+1, Lemma.. Nect má funkce f v ntervalu I = a,b dervace až do řádu 3 včetně a nect platí x,x + I. Pak exstuje bod ξ x,x + takový, že platí f (x + ) f (x ) = f (x) + 1 6 f (ξ ). Důkaz. Předpoklady věty spolu s Taylorovým vzorcem zajšt ují exstenc bodů ξ 1,ξ, pro které platí (.) f (x + ) = f (x) + f (x) + f (x) + f (ξ 1 ) 3, 6 f (x ) = f (x) f (x) + f (x) f (ξ ) 3. 6 Odečtením drué rovnce od první dostaneme (.3) f (x + ) f (x ) = f (x) + 1 6 3 ( f (ξ 1 ) + f (ξ )) f (x + ) f (x ) = f (x) + 1 1 ( f (ξ 1 ) + f (ξ )). Funkce f je spojtá v x,x+ a číslo ( f (ξ 1 )+ f (ξ ))/ leží mez jejím maxmem a mnmem. Proto exstuje ξ x, x + takové, že f (ξ ) = 1 ( f (ξ 1 ) + f (ξ )). Dosazením do (.3) dostaneme požadované tvrzení. Lemma.3. Nect má funkce f v ntervalu I = a,b dervace až do řádu 4 včetně a nect platí x,x + I. Pak exstuje bod ξ x,x + takový, že platí f (x + ) f (x) + f (x ) f (x) 1 3 f (ξ ). Důkaz. Důkaz provedeme podobně jako u předcozío lemmatu, pouze nebudeme rovnce (.) odečítat, ale sčítat. Dostaneme f (x + ) f (x) + f (x ) = f (x) + 1 6 ( f (ξ 1 ) f (ξ )) 3 f (x + ) f (x) + f (x ) = f (x) + 1 6 ( f (ξ 1 ) f (ξ )).

Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 7 Podle Taylorova vzorce je f (ξ 1 ) = f (ξ ) + f (ξ )(ξ 1 ξ ) f (ξ 1 ) f (ξ ) = f (ξ )(ξ 1 ξ ) f (ξ 1 ) f (ξ ) f (ξ ). Proto f (x + ) f (x) + f (x ) f (x) 1 3 f (ξ ).. Aproxmace dferencálnío operátoru a okrajovýc podmínek Nyní s ukážeme dva způsoby, jak lze aproxmovat dferencální operátor vystupující na levé straně rovnce (1.1) a okrajové podmínky (1.). Interval a, b s rozdělíme dělícím body (.1) na n dílů délky. Označme dferencální operátor v rovnc (1.1) (.4) (Ly)(x) = [p(x)y (x)] + q(x)y(x). Za použtí lemmat. a.3 naradíme v tomto operátoru dervace y a y v bodec x = x k dferenčním podíly. Dostaneme operátor L (0), který (n+1)-dmenzonálnímu vektoru µ = (µ 0,..., µ n ) T přřazuje (n 1)-dmenzonální vektor L (0) µ, který je defnován předpsem (.5) (L (0) µ) k = 1 { [p(x k) 1 p (x k )]µ k 1 + + [p(x k ) + q(x k )]µ k [p(x k ) + 1 p (x k )]µ k+1 } pro k = 1,...,n 1. K předpsu (.5) dojdeme takto: nyní naradíme a dostaneme: y (x) (Ly)(x) = [p(x)y (x)] + q(x)y(x) = = [p (x)y (x) + p(x)y (x)] + q(x)y(x), y(x + ) y(x ), y y(x + ) y(x) + y(x ) (x) (Ly)(x) [p y(x + ) y(x ) (x) + y(x + ) y(x) + y(x ) + p(x) ] + q(x)y(x).

Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 8 Položíme-l nyní x = x k, obdržíme: (Ly)(x k ) [p (x k ) y(x k + ) y(x k ) + + p(x k ) y(x k + ) y(x k ) + y(x k ) ] + q(x k )y(x k ) 1 [ p(x k)(µ k+1 µ k + µ k 1 ) p (x k ) 1 (µ k+1 µ k 1 )]+ + q(x k )µ k = = 1 [ p(x k) + 1 p (x k )]µ k 1 + 1 [p(x k) + q(x k )]µ k + + 1 [ p(x k) 1 p (x k )]µ k+1. Pokud dferenčním podíly z lemmatu (.1) naradíme dervace v okrajovýc podmínkác (1.), dostaneme operátory l (1) a l (1), které (n + 1)-dmenzonálnímu vektoru µ = (µ 0,..., µ n ) T přřazují čísla l (1) µ a l(1) µ, která jsou defnovaná předpsem (.6) l (1) µ = α 1 p(a) µ 1 µ 0 + β 1 µ 0, l () µ = α p(b) µ n µ n 1 + β µ n. Následující věta nám ukáže, jak operátor L (0) aproxmuje dferencální operátor L. Věta.4. Nect y C 4 a,b, p C 1 a,b a q C a,b. Položme µ(y) = (y(x 0 ),..., y(x n )) T. Pak platí (L (0) µ(y)) k = (Ly)(x k ) + O( ), k = 1,...,n 1. Důkaz. Důkaz plyne z lemmat. a.3. Věta.5. Nect y C a,b a p C a,b. Pak platí l (1) µ(y) = l(1) y + O(), l () µ(y) = l() y + O(), kde l (1) y a l () y značí levé strany okrajovýc podmínek (1.) a µ(y) = (y(x 0 ), y(x 1 ),...,y(x n )) T. Důkaz. Důkaz plyne z lemmatu.1. Z předcozío plyne, že přblžné řešení µ = (µ 0,..., µ n ) T budeme ledat pomocí soustavy lneárníc rovnc (.7) l (1) µ = γ 1, (L (0) µ) k = f (x k ), k = 1,...,n 1, l () µ = γ.

Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 9 Tuto soustavu lze zapsat v matcovém tvaru (.8) A (0) µ = b, kde A (0) = (A (0), j )n, j=0. Nenulové členy matce A(0) jsou: a A (0) 0,0 = α 1p(a) + β 1, A (0) 0,1 = α 1p(a), A (0) k,k 1 = p(x k) 1p (x k ), A (0) k,k = p(x k) + q(x k ), A (0) A (0) k,k+1 = p(x k) + 1 p (x k ), pro k = 1,...,n 1, n,n 1 = α p(b), A (0) n,n 1 = α p(b) + β γ 1 f (x 1 ) b =.. f (x n 1 ) Aplkací vět.4 a.5 dostaneme následující tvrzení. Věta.6. Nect p C 3 a,b, f,g C a,b a y je řešením okrajové úloy (1.1), (1.). Pak A (0) µ(y) = b + O(). Důkaz. Jestlže p má tř spojté dervace a f a q dvě, pak podle věty 1.1 má řešení y čtyř spojté dervace a můžeme použít věty.4 a.5. Podle věty.5 platí dokazovaná rovnost pro 0-tý a n-tý řádek. K důkazu rovnost pro zbylé řádky matce k = 1,...,n 1 a 0 1 použjeme větu.4. Platí čl γ (L (0) µ) k f (x k ) K K, (L (0) µ) k = f (x k ) + O(). Př aproxmac nekonečnědmenzonálníc problémů konečnědmenzonálním je dobré zacovat co nejvíce vlastností původnío problému. V případě, který se zde snažíme vyřešt, je operátor (.4) samoadjungovaný. Tím pádem by měla být matce aproxmující soustavy symetrcká. Matce soustavy (.7) však symetrcká není, je pouze blízká symetrcké matc, nebot koefcenty u neznámýc µ k+1 v k-té rovnc a µ k v (k + 1)-ní rovnc se rovnají pouze přblžně: A (0) k,k+1 = 1 [p(x k) + p (x k )]µ k+1 A (0) k+1,k = 1 [p(x k+1) + p (x k+1 )]µ k.

Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 10 Obrázek.1: Koefcenty u µ k+1 a µ k Tento problém vyřešíme tak, že s dferencální operátor aproxmujeme jným způsobem. Takovýto operátor budeme značt L. Položme nyní v operátoru p(x)y (x) = z(x). Dervac z (x) v bodě x = x k aproxmujeme tak, že ve vzorc (.3) z lemmatu. užjeme místo. Dostaneme z (x k ) z(x + ) z(x ) = p(x + )y (x + ) p(x )y (x ) Podobně pak odnotu funkce p(x)y (x) v bodec x = x k + a x = x k aproxmujeme následovně ( y x + ) ( y(x + ) y(x), y x ) y(x) y(x ) Díky těmto aproxmacím dostaneme nový operátor L, který je určen předpsem (L µ) k = 1 ( {p x k ) µ k 1 (.9) [ ( p x k ) ( + p x k + ) ] ( + q(x k ) µ k + p x k + ). µ k+1 } Jeo matce má n 1 řádků a n + 1 sloupců. Po vynecání prvnío a poslednío sloupce vznkne čtvercová matce, která je symetrcká. (L µ) k = 1 ( [p x k + )] µ k+1 +... (L µ) k+1 = 1 ( [p x k+1 )] µ k +... Je totž x k+1 = x k + = x k +, proto se koefcenty u neznámýc µ k+1 v k-té rovnc a µ k v (k + 1)-ní rovnc se rovnají, tudíž matce tooto operátoru je symetrcká. Nyní ukážeme aproxmační vlastnost operátoru L.

Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 11 Věta.7. Nect y C 4 a,b a p C 3 a,b. Pak platí (L µ(y)) k = (Ly)(x k ) + O( ), k = 1,...,n 1. Důkaz. Označme p(x)y (x) = z(x). Funkce z má v a,b tř spojté dervace. Pak podle lemmatu., že pro všecna x a +, b platí Z Taylorova vzorce dostáváme y(x + ) = y z(x + ) z(x ) ( x + + 1 ( 6 y x + ) 3 ( y(x) = y x + ) ( + y x + ) = z (x) + O( ). 8 + O(4 ), ) y ( x + 1 ( 6 y x + ) 3 8 + O(4 ). Odečtením drué rovnce od první dostáváme ( y(x + ) y(x) (.10) = y x + Stejným způsobem dokážeme, že (.11) y(x) y(x ) ) + 1 4 y + 1 y ) + 1 y ( x + ) 4 + ( x + ) 4 ( x + ) + O( 3 ) ( = y x ) + 1 ( 4 y x ) + O( 3 ). Nyní vynásobíme rovnc (.10) číslem p(x + )/, rovnc (.11) číslem p(x )/ a odečteme. Získaná rovnost nám umožní spočítat (L µ(y))(x) takto: (L µ(y))(x) = p(x + ) y(x + ) p(x + ) + p(x ) y(x)+ + p(x ) y(x ) + q(x)y(x) = p(x + )[y(x + ) y(x)] p(x )[y(x) y(x )] + q(x)y(x) = p(x + )y (x + ) + + 1 4 1 4 p(x + ) p(x ) y (x ) + O( ) + q(x)y(x) = = z(x + ) z(x ) y (x + ) p(x )y (x ) + 4 [(p(x + )y (x + ) p(x )y (x ))] + O( ) + q(x)y(x).

Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 1 Pro funkc g(x) = p(x)y (x) položme g(x + ) g(x ) = g (ξ ). Pak (L µ(y))(x) = z(x + ) z(x ) = z(x + ) z(x ) = z (x) + q(x)y(x) + O( ) = + 4 g (ξ ) + O( ) + q(x)y(x) = + O( ) + q(x)y(x) = = (p(x)y (x)) + q(x)y(x) + O( ) = (Ly)(x) + O( ). Jak vdíme, tak aproxmační vlastnost operátoru L jsou stejné jako tomu bylo u operátoru L (0). Řešení okrajové úloy (1.1), (1.) budeme tedy aproxmovat řešením soustavy lneárníc rovnc (.1) Tuto soustavu lze zapsat matcově l (1) µ = γ 1, (L µ) k = f (x k ), k = 1,...,n 1 l () µ = γ, (.13) Aµ = b, kde A = (A, j ) n, j=0. Nenulové členy matce A jsou: A 0,0 = α 1p(a) + β 1, A 0,1 = α 1p(a), A k,k 1 = p(x k ), A k,k = p(x k ) + p(x k + ) + q(x k ), A k,k+1 = p(x k + ), pro k = 1,...,n 1 A n,n 1 = α p(b), A n,n = α p(b) + β a b je stejné jako v rovnc (.8). Vynásobíme-l 0-tou a n-tou rovnc této soustavy vodným konstantam, bude matce soustavy symetrcká. Ukážeme s to na 0-tém řádku: Koefcent u µ 1 v 0-té rovnc je Koefcentu u µ 0 v první rovnc je A 0,1 = α 1p(a). A 1,0 = 1 p(x 1 )

Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 13 Oba tyto koefcenty jsou záporné, proto vynásobíme-l rovnc l (1) µ = γ 1 konstantou dostaneme požadovanou rovnost. p(x 1 ) α 1 p(a),.3 Přesnost aproxmace dferencálnío operátoru a okrajovýc podmínek Lemma.8 (Prncp maxma). Nect funkce p a q jsou spojté a nect platí nerovnost (1.3) a (1.4). Dále mějme vektor η = (η 0,...,η n ) T, pro který platí Dále nect Pak (L η) k 0, k = 1,...,n 1. M = max k=0,...,n η k > 0. M = max(η 0,η n ) a pokud exstuje ndex k 0,0 < k 0 < n takový, že η k0 = M, pak q(x k ) = 0 a η k = M pro všecna k. Důkaz. Budeme předpokládat, že exstuje takový ndex k 0,1 k 0 n 1, pro který platí η k0 = M. Potom Proto 0 p(x k0 )η k 0 1+ + [p(x k0 ) + p(x k 0 + ) + q(x k0 )]M p(x k0 + )η k 0 +1 q(x k0 )M 0. q(x k0 )M = 0. Vzledem k tomu, že M > 0, dostáváme q(x k0 ) = 0. Pokud by platlo η k0 1 < M nebo η k0 +1 < M, bylo by 0 p(x k0 )η k 0 1+ + [p(x k0 ) + p(x k 0 + ) + q(x k0 )]M p(x k0 + )η k 0 +1 > > q(x k0 )M = 0, což je spor. Proto je η k0 1 = M = η k0 +1. Tuto úvau pro ndex k 0 zopakujeme dále pro ndexy k 0 1 a k 0 + 1 a postupně dostaneme q(x k ) = 0, k = 1,...,n 1

Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 14 a Tím je lemma dokázáno. η k = M, k = 0,...,n. Věta.9. Matce aproxmační soustavy (.13) je monotónní. Důkaz. Podle defnce 1.1 je potřeba ukázat, že pokud pak l (1) µ 0 (L µ) k 0, k = 1,...,n 1 l () µ 0, µ 0. Nect max k=0,...,n µ = M > 0, pak µ 0 = M nebo µ n = M. Bez újmy na obecnost můžeme předpokládat, že M = µ 0. Víme, že α 1 a β 1 jsou nezáporná a platí α 1 + β 1 > 0 a proto čl l (1) > 0, což je spor. α 1 p(a) µ 1 M }{{} } {{ 0 } 0 +β 1 M > 0, }{{} 0 Obrázek.: Posloupnost ndexů + 1, +,..., j 1 pro < j Předcozí větu lze dokázat jným způsobem a to pomocí Collatzova lemmatu 1.5. Uděláme to pouze pro případ, že α 1 > 0 a α > 0. Musíme s však dát pozor, protože matce A má sce kladné prvky na dagonále a ostatní prvky nekladné, ale nemusí být ostře dagonálně domnantní. Musíme tedy ověřt její reducblní dagonální domnanc. Podle lemmatu 1.4 je třídagonální matce reducblní, pokud její prvky a,+1 a a 1, jsou vesměs nenulové.

Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 15 To proto, že je-l < j, najdu posloupnost ndexů + 1, +,..., j 1 takovou, že prvky a,+1 0,a +1,+ 0,...,a j 1, j 0 tvoří dagonálu nad lavní dagonálou, tak jak je tomu na obrázku.. Pokud > j, vezmeme posloupnost 1,,..., j + 1 a prvky a, 1 0,a 1, 0,...,a j+1, j 0 tvoří dagonálu pod lavní dagonálou. Čl v našem případě bude matce reducblní, pokud α 1 0 a α 0. Dagonální domnantnost matce se ověří následovně. Řádkové součty matce A jsou postupně β 1,q(x 1 ),...,q(x n 1 ),β, čl jsou všecny nezáporné. Je-l β 1 nebo β různá od 0, platí ostrá nerovnost v 0-tém nebo v n-tém řádku. Je-l β 1 = β = 0, pak q(x k ) nesmí být dentcky rovno 0 a ostrá nerovnost nastane v řádku, kde q(x k ) > 0. Věta.10. Soustava (.13) má právě jedno řešení pro každou pravou stranu. Důkaz. Matce soustavy je podle důsledku.9 monotónní, proto podle lemmatu 1. exstuje nverzní matce matce A 1 a µ = A 1 b. Ukážeme s, jak řešt soustavu (.13) numercky a odpovíme tak na otázku ze začátku této kaptoly. Protože A je třídagonální matce, tj. čtvercová matce, která má, s možnou výjmkou, na lavní dagonále a dagonálác nad ní a pod ní nenulové prvky a jnde nuly, budeme soustavu (.13) řešt pomocí metody LU-rozkladu, které je věnováno následující lemma. Lemma.11. Je-l matce A třídagonální a dagonálně domnantní s kladným prvky na lavní dagonále, pak exstuje dolní trojúelníková matce L a orní trojúelníková matce U tak, že A = LU. Důkaz. Je-l pak α 1 γ 1 0 0... 0 β α γ 0... 0 0 β 3 α 3 γ 3... 0 A =.........,.. 0... 0 β n 1 α n 1 γ n 1 0... 0 0 β n α n 1 0 0... 0 d 1 γ 1 0... 0 l 1 0... 0 0 d γ... 0 L = 0 l 3 1... 0, U =................. 0... 0 d n 1 γ n 1 0... 0 l n 1 0... 0 0 d n Pokud je matce A dagonálně domnantní s kladným prvky na lavní dagonále, pak pro tuto matc exstuje jednoznačný LU rozklad, kde prvky matc L a U jsou určeny

Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 16 následovně: d 1 = α 1, d = α γ 1β d 1, l = β d 1, =,...,n. Soustavu která je ekvvalentní se soustavou Aµ = b, LUµ = b, budeme řešt tak, že nejprve najdeme c, které je řešením soustavy Lc = b. Protože L je dolní trojúelníková matce, budeme řešení c ledat explctně y 1 = b 1, y = b l y 1, =,...,n. Potom µ je řešením soustavy Uµ = c. U je orní trojúelníková matce, čl řešení µ dostaneme následovně µ n = c n d n, µ = c γ µ +1 d, = n 1,...,1. Nyní s ukážeme, jak lze rozdíl mez přesným a přblžným řešením volbou dostatečně maléo udělat lbovolně malý. Nect y je řešení okrajové úloy (1.1) a (1.) a µ je řešení soustavy (.13). Označme η k = µ k y(x k ) a položme l (1) η = ε 0, (L η) k = ε k, k = 1,...,n 1, l () η = ε n. Velčny ε k se nazývají lokální cyby metody sítí. Říkají nám, jaké cyby jsme se dopustl, když jsme aproxmoval dferencální operátor operátorem konečnědmenzonálním. Pokud navíc budeme předpokládat dostatečnou ladkost funkcí p, q a f, bude podle vět.5,.7 exstovat konstanta M taková, že pro dostatečně malá platí ε 0 M, ε k M, k = 1,...,n 1, ε n M. Cyba η splňuje soustavu lneárníc rovnc (.1) s malou pravou stranou ε = (ε 0,...,ε n ). Nyní s ukážeme, že malá bude cyba η.

Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 17 Věta.1. Nect jsou splněny předpoklady věty 1.1, p C 3 a,b, f,q C a,b. Dále nect µ k je přblžné řešení získané pomocí soustavy (.1) a y je řešením okrajové úloy (1.1) a (1.). Pak exstují konstanty M a 0 > 0 takové, že pro 0 0 platí µ k y(x k ) M, k = 0,...,n. Důkaz. Důkaz této věty je založen na nerovnost z lemmatu 1.3: Ax Ay mplkuje x y. Položme η = µ µ(y), kde µ je řešením Aµ = b a y je řešení dferencální rovnce. Rozepíšeme-l nyní Aη = Aµ Aµ(y) = b (b + O()) = O(), dostáváme exstenc konstanty K takové, že K Aη.. K Mějme funkc z, která je řešením dferencální okrajové úloy Potom podle věty.6 je (p(x)z ) + q(x)z = 1 α 1 p(a)z (a) + β 1 z(a) = 1, α p(b)z (b) + β z(b) = 1. Aµ(z) 1. = O(). 1 Po vynásobení číslem K dostaneme K A(Kµ(z)). = O( ). K Pro dostatečně malé, je a proto K K. A(Kµ(z)) <. K K K A(Kµ(z)).. K

Kaptola. Metoda sítí pro okrajovou úlou 18 Tedy platí K Aη. A(Kµ(z)) K a aplkací lemmatu 1.3 dostaneme η Kµ(z). Položíme-l nyní Q = maxz, je a věta je dokázána. η KQ }{{} M

Kaptola 3 Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí Uvažujeme základní tvar parabolcké rovnce (3.1) u t = σ u x, σ > 0 pro neznámou funkc u proměnnýc x (0,1) a t (0,T ] s počáteční podmínkou a okrajovým podmínkam kde u(x,0) = θ(x), x [0,1] u(1,t) = Φ (1) (t), u(0,t) = Φ (0) (t), t [0,T ], θ(0) = Φ (0) (0), θ(1) = Φ (1) (0). Věta 3.1. Nect θ(x) je spojtá a dferencovatelná po částec a nect θ(0) = θ(1) = 0. Pak úloa u t = σ u x, u(x,0) = θ(x), u(1,t) = u(0,t) = 0 má právě jedno spojté řešení, které je nekonečně dferencovatelné v (0,1) (0,T ]. Důkaz předcozí věty můžeme nalézt ve třetí kaptole []. Pro stuac, kdy jsou okrajové podmínky nenulové, je formulace věty případný důkaz složtější, proto se jm nebudeme zabývat. 19

Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí 0 Ukážeme s lavní myšlenky aproxmace této parcální dferencální rovnce pomocí metody sítí. Na obdélníkové množně Q = [0,1] [0,T ] budeme uvažovat sít mřížovýc bodů nezávslýc proměnnýc (x,t). Hledané řešení u naradíme jeo odnotam v mřížovýc bodec a dervace u naradíme dferencem. Zvolíme s časový krok τ = m T a prostorový krok = n 1. Sít tedy bude složena z přímek x = x a t = t j, kde x =, = 0,...,n a t j = jτ, j = 0,...,m, m,n N. Dále zavedeme značení Pak označme množny ndexů P = [0,1] {0} {0,1} [0,T ], Q = Q P. Q,τ = {(, j) N N,0 n,0 j m} = = {(, j) N N,(x,t j ) Q}, P,τ = {(, j) N N,(x,t j ) P}, Q,τ = Q,τ P,τ. Aproxmac ledanéo řešení v mřížovém bodě (x,t j ) označme jako µ j, t.j. µ j u(x,t j ). 3.1 Explctní metoda řešení 1. Narazení 1. dervace podle t: Časový krok je τ, proto t j = jτ. Aplkací lemmatu.1 dostáváme:. Narazení. dervace podle x: u t (x,t j 1 ) u(x,t j 1 + τ) u(x,t j 1 ) τ u t (x,t j 1 ) u(x,t j ) u(x,t j 1 ) τ u t (x,t j 1 ) µ j µ j 1. τ Prostorový krok je, tudíž x =. Aplkací lemmatu.3 dostáváme: u x (x,t j 1 ) u(x +1,t j 1 ) u(x,t j 1 ) + u(x 1,t j 1 ) u x (x,t j 1 ) µ j 1 +1 µ j 1 + µ j 1 1.

Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí 1 Výše uvedené aproxmace dosadíme do rovnce (3.1) a pro bod (x,t j 1 ) dostáváme: (3.) µ j µ j 1 = σ τ µ j 1 +1 j 1 µ + µ j 1 1, = 1,...,n, j = 1,...,m. Nect u : Q R je ladká zadaná funkce. Defnujeme µ(u) : Q,τ R předpsem (µ(u)) j = u(x,t j ). Označme L (0) j,τ operátor, který matc µ = (µ ) j=0,...,m =0,...,n přřazuje matc L(0),τ µ = (L(0) pro (, j) Q,τ. Tento operátor je defnován předpsem,τ µ) j (L (0),τ µ) j = 1 τ [µ j µ j 1 ] σ j 1 [µ +1 j 1 µ + µ j 1 1 ], (, j) Q,τ. Podle lemmatu.1 a.3 pro každou dostatečně ladkou funkc u platí (L (0),τ µ(u)) j = (Lu)(x,t j ) + O(τ + ), (, j) Q,τ. Potom přblžné řešení µ j parabolcké rovnce (3.1) spolu s okrajovým a počáteční podmínkou budeme ledat pomocí soustavy (3.3) (L (0),τ µ) j = 0, = 1,...,n 1, j = 1,...,m, µ 0 = θ(x ), = 0,...,n, µ j 0 = Φ(0) (t j ), j = 1,...,m, µ n j = Φ (1) (t j ), j = 1,...,m. Předcozí záps lze zapsat matcově. Z rovnce (3.) vyjádříme µ j : µ j = σ τ µ j 1 +1 + (1 σ k + σ k µ j 1 1 )µ j 1 a pomocí vektoru µ j 1 = (µ j 1 1, µ j 1,..., µ j 1 n 1 )T vyjádříme vektor µ j : kde µ j = Bµ j 1 + b j, 1 γ γ 0 0... 0 γ 1 γ γ 0... 0 0 γ 1 γ γ... 0 B =..........., γ = σ τ. 0 0... γ 1 γ γ 0 0... 0 γ 1 γ

Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí a γφ (0) (t j ) 0 b j =. 0. 0 γφ (1) (t j ) Známe-l µ 0 můžeme postupně spočítat µ 1, µ,..., µ m. To znamená, že soustava (3.3) je pro přblžné řešení vždy jednoznačně řeštelná. Věta 3.. Nect řešení u parabolcké rovnce (3.1) spolu s počáteční a okrajovým podmínkam exstuje a má v Q dvě spojté dervace podle t a čtyř podle x. Dále nect µ j je řešení získané pomocí (3.3) a γ = σ τ 1. Pak budou exstovat konstanty M a 0 takové, že pro 0 a každý uzel (x,t j ) platí Důkaz. Mějme cybu Pak µ j u(x,t j ) M(τ + ). η j = µ j u(x,t j ). (L (0),τ η) j = (L(0),τ µ) j (L(0),τ µ(u)) j = 0 (Lu)(x,t j ) + O(τ + ) = = O(τ + ), = 1,...,n 1, j = 1,...,m. Označme Pak platí (L (0),τ η) j = ε j = O(τ + ) pro = 1,...,n 1, j = 1,...,m, η 0 = ε 0 = 0, = 1,...,n 1, η j 0 = ε j 0 = 0, j = 0,...,m, ηn j = εn j = 0, j = 0,...,m. η j η j 1 σ τ η j 1 +1 j 1 η + η j 1 1 = ε j, η j η j 1 τσ η j 1 +1 τσ η j 1 + τσ η j 1 1 = τε j, η j = γη j 1 j 1 1 + (1 γ)η + γη j 1 +1 + τε j. Indukcí podle j budeme dokazovat (3.4) η j τ jk(τ + ). Pro j = 0 je η 0 = 0 a nerovnost (3.4) platí. Předpokládejme, že nerovnost (3.4) platí pro 0 j 1 a dokážeme, že platí pro j:

Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí 3 Víme, že ε j = O(τ + ), proto ε j K(τ + ). Pak tedy platí η j = }{{} γ 0 η j 1 1 + (1 γ) }{{} 0 η j 1 + γ η j 1 +1 + τ ε j γτ( j 1)K(τ + ) + (1 γ)τ( j 1)K(τ + )+ + γτ( j 1)K(τ + ) + τk(τ + ) = = τ( j 1)K(τ + ) + τk(τ + ) = τ jk(τ + ). Jelkož jsme dokázal platnost (3.4), bude určtě platt η j T K(τ + ). Nyní položíme M = T K a požadované tvrzení je dokázáno. 3. Implctní metoda řešení U explctní metody jsme dervac u t v uzlu (x,t j 1 ) narazoval podílem u(x,t j ) u(x,t j 1 ). τ Tímto podílem však můžeme naradt uvedenou dervac v uzlu (x,t j ) u t (x,t j ) u(x,t j τ) u(x,t j ) τ u t (x,t j ) u(x,t j ) u(x,t j 1 ) τ u t (x,t j ) u j u j 1. τ Pak rovnc (3.1) v uzlu (x,t j ) naradíme rovncí (3.5) u j u j 1 = σ u j +1 u j + u j 1 τ, = 1,...,n, j = 1,...,m. Označme L (1),τ operátor, který je defnován předpsem (L (1),τ µ) j = 1 τ [µ j µ j 1 ] σ [µ j +1 µ j + µ j 1 ], (, j) Q,τ. Opět podle lemmatu.1 a.3 bude pro každou dostatečně ladkou funkc u (L (1),τ µ(u)) j = (Lu)(x,t j ) + O(τ + ), (, j) Q,τ.

Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí 4 Potom budeme přblžné řešení µ j ledat pomocí soustavy (3.6) (L (1),τ µ) j = 0, = 1,...,n 1, j = 1,...,m, µ 0 = θ(x ), = 0,...,n, µ j 0 = Φ(0) (t j ), j = 1,...,m, µ n j = Φ (1) (t j ), j = 1,...,m. Stejně jako u explctní metody, můžeme předcozí záps naradt matcově. Z rovnce (3.5) vyjádříme u j 1 : u j 1 = σ τ u j +1 + (1 σ τ )u j σ Pomocí vektoru µ j = (µ j 1, µ j,..., µ j n 1 ) vyjádříme vektor µ j 1 : kde µ j 1 = Cµ µ j b j, τ u j 1. 1 + γ γ 0 0... 0 γ 1 + γ γ 0... 0 0 γ 1 + γ γ... 0 C =..........., γ = σ τ. 0 0... γ 1 + γ γ 0 0... 0 γ 1 + γ a b j je stejné jako u explctní metody. Věta 3.3. Soustava (3.6) má vždy právě jedno řešení. Důkaz. Ze soustavy (3.6) plyne, že µ 0 = θ(x ) a µ j splňuje soustavu µ j 1 = Cµ j b j Matce soustavy C je monotónní podle Collatzova lemmatu 1.5, proto podle lemmatu 1. exstuje nverzní matce C 1 a µ j 1 µ j = C 1 (µ µ j 1 + b j ). V prax však nebudeme počítat nverzní matc C 1, soustavu µ j 1 = Cµ j b j budeme řešt numercky, a to pomocí LU rozkladu, kde C = LU.

Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí 5 Lemma 3.4 (Prncp maxma). Mějme funkc ξ j defnovanou na Q,τ, pro kterou platí Potom platí pro všecna (, j) Q,τ. (L (1),τ ξ ) j 0, (, j) Q,τ. ξ j max ξk l (k,l) P,τ Důkaz. Nect M = max (k,l) Q,τ ξ l k a nect (x,t j ),(, j) Q,τ, je uzel, pro který ξ j = M. Pro takovýto uzel platí nerovnost τ(l (1),τ ξ ) j j = (1 + γ)ξ γξ j 1 γξ j +1 ξ j 1 0. Pokud by některé ξ j 1,ξ j j 1 +1 nebo ξ bylo menší než M, bude τ(l (1),τ ξ ) j > (1 + γ)m γm γm M = 0, což je spor s předpokladem, a tedy ξ j +1 = ξ j 1 = ξ j 1 = M. Pokud budeme takovýmto způsobem pokračovat, nutně musíme dojít ke dvojc (k,l) P,τ a ξk l = M. Lemma 3.5. Nect η je řešením soustavy rovnc (L (1),τ η) j = ε j, = 1,...,n 1, j = 1,...,m, η 0 = ε 0 = 0, = 1,...,n 1, η j 0 = ε j 0 = 0, j = 0,...,m, ηn j = εn j = 0, j = 0,...,m. Položme ε = max (, j) Q,τ ε j. Pak exstuje konstanta N taková, že pro všecna (, j) Q,τ platí η j Nε. Důkaz. Defnujeme Potom r j = σ (1 ex 1 ) pro (, j) Q,τ. (L (1),τ r) j = 1 (ex 1 1 e x 1 + e x +1 1 ) = = e 1 (ex 1 e x + e x +1 ) = = e 1 (ex e x + e x + ) = = e 1 (ex e e x + e x e ) = = e 1 ex (e + e ).

Kaptola 3. Numercké řešení parabolckýc df. rovnc metodou sítí 6 Předcozí rozvedeme podle Taylorova rozvoje Tedy Položíme e 1 e x 1 ( + 1 + +! + 3 3! + 4 + + 1 + 4!! 3 3! + 4 4!...) = Cceme dokázat, že Platí =e 1 e x (1 + 1 +...) e 1. ξ j = ±η j + eεr j, (L (1),τ r) j e 1. = 0,...,n, j = 0,...,m. (L (1),τ ξ ) j 0. (L (1),τ ξ ) j = ±(L(1),τ η) j + eε(l(1),τ r) j = ±ε j + eε(l(1),τ r) j Aplkací lemmatu 3.4 dostaneme ξ j Protože eεr j 0, je max ξk l = (k,l) P,τ ±ε j eεe 1 = ±ε j ε 0. max (0 + eεrk l ) = (k,l) P,τ = max ( eε (k,l) P,τ σ (1 exk 1 )) = = max ( eε (k,l) P,τ σ (1 ex k e 1 )) = = max ( ε (k,l) P,τ σ (e ex k )) ε ±η j + eεr j Nε η j Nε. max (k,l) P,τ σ (e ex k ) = Nε. Věta 3.6. Nect řešení u parabolcké rovnce (3.1) spolu s počáteční a okrajovým podmínkam exstuje a má v Q dvě spojté dervace podle t a čtyř podle x. Dále nect µ j je přblžné řešení získané pomocí (3.6). Pak bude exstovat konstanta M taková, že pro a τ dostatečně malé platí µ j u(x,t j ) M(τ + ). Důkaz. Pro cybu η j = µ j u(x,t j )

Seznam použté lteratury 7 platí (L (1),τ η) j = (L(1),τ µ) j (L(1),τ µ(u)) j = 0 (Lu)(x,t j ) + O(τ + ) = = K(τ + ), = 1,...,n 1, j = 1,...,m. Zvolme K(τ + ) za ε z předcozío lemmatu. Pak η Fε = }{{} FK (τ + ). M 3.3 Aplkace na Blackovu-Scolesovu rovnc Metoda sítí se používá ve fnanční matematce pro aproxmac Blackovy-Scolesovy parcální dferencální rovnce. Pomocí této rovnce budeme oceňovat evropské typy dervátů. Pro tyto derváty sce exstují explctní vzorce řešení, ale použtím numerckýc metod dostaneme nformace o jejc přesnost. Tyto nformace pak použjeme tedy, když budeme numercké metody aplkovat na derváty, kde neznáme přesné řešení spočítané pomocí vzorců. Blackova-Scolesova rovnce pro neznámou funkc v proměnnýc (S,t) (0, ) (0, T ] je (3.7) V t + σ V S + (r D)S V S S rv = 0, kde S je rzkové aktvum a σ je volalta rzkovéo aktva, s počáteční podmínkou pro t = 0 a okrajovým podmínkam pro S = 0 a S =. Tuto rovnc cceme řešt metodou sítí. Ukážeme s, jak j převést na parabolckou rovnc. Zavedením nezávslýc proměnnýc x, ω a nové funkce u předpsem: kde u(x,ω) = x = ln(s/e), x (, ), ω = T t, ω (0,T ), V (S,t) Ee αx βω, α = r D σ 1, β = r + D převedeme (3.7) na parabolckou rovnc u ω = σ u x + σ 8 + (r D) σ, s odpovídajícím okrajovým podmínkam a počáteční podmínkou. Numercké řešení metodou sítí provádíme v oblast (x,ω) [ L,L] [0,T ] pro L dostatečně velké.

Seznam použté lteratury [1] ŠEVČOVIČ, Danel, Beáta STEHLÍKOVÁ a Karol MIKULA. Analytcké a numercké metódy oceňovana fnančnýc dervátov. 1. vyd. Bratslava: Nakladatel stvo STU, 009, 00 s. ISBN 978-80-7-3014-3. [] TICHONOV, SAMARSKIJ. Rovnce matematcké fyzky. 1. vyd. Praa: Nakladatelství ČSAV, 1955. [3] VITÁSEK, Eml. Základy teore numerckýc metod pro řešení dferencálníc rovnc. 1. vyd. Praa: Academa, 1994, 409 s. ISBN 80-00-081-. 8