ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy postupy: Kpcit uložená energie Peter Dourmshkin MIT 6, překld: Jn Pcák (7) Osh 4. KAPACITA A ULOŽENÁ ENERGIE 4.1 ÚKOLY 4. ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ ÚLOHA 1: VÁLCOVÝ KONDENZÁTOR OTÁZKA 1: ELEKTRICKÉ POLE OTÁZKA : ROZDÍL POTENCIÁLŮ (ROZDÍL NAPĚTÍ) OTÁZKA 3: VÝPOČET KAPACITY 3 OTÁZKA 4: ULOŽENÁ ELEKTRICKÁ ENERGIE 3 OTÁZKA 5: NABÍJENÍ KONDENZÁTORU 3 ŘEŠENÍ ÚLOHY 1: VÁLCOVÝ KONDENZÁTOR 3 OTÁZKA 1: ELEKTRICKÉ POLE 3 OTÁZKA : ROZDÍL POTENCIÁLŮ (ROZDÍL NAPĚTÍ) 4 OTÁZKA 3: VÝPOČET KAPACITY 4 OTÁZKA 4: ULOŽENÁ ELEKTRICKÁ ENERGIE 4 OTÁZKA 5: NABÍJENÍ KONDENZÁTORU 4 ÚLOHA : KONDENZÁTOR JAKO KOULE 5 OTÁZKA 1: GAUSSŮV ZÁKON 5 OTÁZKA : ROZDÍL POTENCIÁLŮ 5 OTÁZKA 3: KAPACITA KONDENZÁTORU 5 OTÁZKA 4: ENERGIE ULOŽENÁ V ELEKTRICKÉM POLI 5 ŘEŠENÍ ÚLOHY : KONDENZÁTOR JAKO KOULE 5 OTÁZKA 1: GAUSSŮV ZÁKON 5 OTÁZKA : ROZDÍL POTENCIÁLŮ 5 OTÁZKA 3: KAPACITA KONDENZÁTORU 6 OTÁZKA 4: ENERGIE ULOŽENÁ V ELEKTRICKÉM POLI 6
4. Kpcit uložená energie 4.1 Úkoly () Počítání kpcity kondenzátoru. () Výpočet energie v něm uložené dvěm cestmi. 4. Algoritmus pro řešení prolémů 1. Použijte Gussův zákon, yste mohli spočítt elektrické pole ve všech místech prostoru.. Spočítejte potenciálový rozdíl V mezi dvěm vodiči. 3. Spočítejte kpcitu C jko C = / V. Úloh 1: Válcový kondenzátor Mějme kondenzátor tvořený dvěm válci o poloměrech délce l, kde >. N vnitřním válci je náoj, n vnějším je náoj +. Znedejte okrjové efekty n koncích kondenzátoru. Spočítejte kpcitu kondenzátoru energii v něm uloženou. Otázk 1: Elektrické pole Z Gussov zákon nlezněte velikost i směr elektrického pole mezi vnitřním vnějším válcem ( < r < ). Výsledek vyjádřete pomocí náoje, poloměrů, délky l dlších konstnt, které uvážíte z vhodné. N vnitřním válci je náoj. Otázk : Rozdíl potenciálů (rozdíl npětí) Rozdíl npětí mezi válci, V, je definován jko práce vykonná při přemístění jednotkového náoje v elektrickém poli z jednoho válce n druhý V V( ) V( ) = E d s. Vyjádřete rozdíl potenciálů mezi deskmi pomocí náoje, poloměrů, délky l dlších potřených konstnt.
Otázk 3: Výpočet kpcity Dv vodivé válce v zdání úlohy vytváří kondenzátor. Velikost náoje,, n kždém válci je spojen s velikostí rozdílu potenciálů mezi válci (npětí n válcích) podle vzthu = C V, kde V je npětí n kondenzátoru C je konstnt úměrnosti oznčovná jko kpcit. Kpcit je určen geometrickými vlstnostmi vodičů, které tvoří kondenzátor je nezávislá n npětí n deskách kondenzátoru. Jká je kpcit tohoto systému dvou válců? Výsledek vyjádřete pomocí, l, přípdně dlších konstnt, které udete potřeovt. Otázk 4: Uložená elektrická energie Celkové množství energie uložené v elektrickém poli je dáno vzthem ε U = dv EE celý prostor (ojem) Vyjděte ze vzthu pro intenzitu elektrického pole E z 1. otázky spočítejte energii, která je uložená v kondenzátoru, vyjádřete ji proměnnými,, l ( dlšími konstntmi, které jsou tře). Můžeme energii zpst pouze proměnnými C, pokud využijeme vyjádření kpcity C ze 3. otázky? Zpište ji. Otázk 5: Níjení kondenzátoru Předpokládejme, že kondenzátor místo připojení k terii níjíme přesunem náoje z válce r = n válec r =. N počátku předpokládejte, že n vodičích kondenzátoru neyl žádný náoj, v čse t jsme přesunuli náoj qt () n vnitřní válec. () Jký je rozdíl npětí mezi dvěm válci v čse t? Vyjádřete je použitím proměnných C qt (). () Nyní vezměme mlou část náoje dq z vnějšího válce přesuneme ji n vnitřní válec. Jkou práci dw jsme museli vykont, pokud n vnitřním válci již yl náoj qt ()? Práci zpište použitím proměnných C, dq qt (). (c) Využijte výsledku z odu () spočítejte celkovou práci k přesunu náoje z jednoho válce n druhý z předpokldu, že válce n počátku neyly nité. (d) Je práce, kterou jsme spočítli menší, přesně rovná, neo větší než energie uložená v elektrickém poli kondenzátoru (z otázky 4)? Vysvětlete proč.. Řešení úlohy 1: Válcový kondenzátor Otázk 1: Elektrické pole Ze symetrie úlohy elektrické pole míří v cylindrickém rdiálního směru, tedy E= E() r r, ˆ kde ˆr je cylindrický jednotkový vektor (kolmý n osu symetrie). Jko Gussovu ploch použijeme válec, který je souosý s válci kondenzátoru. Podstvy válce neudou přispívt do celkového 3
toku elektrického pole, neoť pole je s nimi rovnoěžné (kolmé n normálu). Pláštěm válce pro > r > teče pole 1 ( ) uvnitř E d A = π rhe = = h ( r) << r ˆ ε ε l E = πrεl r pro poloměry r < r > je elektrické pole nulové, protože celkový náoj uzvřený v Gussově ploše je nulový. Nezpomeňte si všimnout směru pole. Pole míří rdiálně dovnitř. Otázk : Rozdíl potenciálů (rozdíl npětí) Rozdíl potenciálů mezi vnitřním vnějším válcem je V = V( ) V( ) = dr = ln. πr ε l πε l Všimněte si, že n kondenzátoru je vyšší npětí než n kondenzátoru. Otázk 3: Výpočet kpcity πε l C = = = V ln ln πε l. Otázk 4: Uložená elektrická energie Energii udeme integrovt po elementech tvru pláště válce o výšce l, poloměru r tloušťce dr, kde je intenzit elektrického pole konstntní. Ojem tkovéhoto diferenciálu je dv = πrldr. Uloženou energii tk můžeme integrovt ojem U r ε 1 = r ldr ln. π = = πε rl 4πε l C Otázk 5: Níjení kondenzátoru () () qt () Vt () =. C qt () dw() t = dqv() t = dq. C q 1 (c) W = dw = dq. = C C Všimněte si, že pokud integrujeme q= q() t, tk je závislost n čse irelevntní. Integrujeme podél náoje, nikoliv čsu, jednoduše integrujeme q. (d) Tto práce je přesně stejná. Všechn energie, kterou vkládáme do níjení kondenzátoru, se přemění n energii uloženou v elektrickém poli. Tento proces je reverziilní, při vyíjení kondenzátoru tuto energii můžeme získt zpět. 4
Úloh : Kondenzátor jko koule Plná vodivá kole o poloměru je okolopen vodivým sférickým pláštěm o poloměru, tk že <. N vnitřní kouli je náoj, n vnější kouli je náoj. Otázk 1: Gussův zákon Z Gussov zákon nlezněte velikost i směr elektrického pole mezi vnitřní vnější koulí ( < r < ). Otázk : Rozdíl potenciálů Vyjděte z vyjádření intenzity elektrického pole v otázce 1 spočítejte rozdíl potenciálů mezi koulemi V V( ) V( ) = E d s. Otázk 3: Kpcit kondenzátoru Vyjděte z výsledku. otázky spočítejte kpcitu tkovéhoto kondenzátoru. Otázk 4: Energie uložená v elektrickém poli Vyjděte z výsledku 1. otázky integrujte energii uloženou v elektrosttickém poli integrcí 1 ε E. Jko diferenciál ojemu použijte plášť koule tloušťky dr o ojemu dv = 4πr dr. Řešení úlohy : Kondenzátor jko koule Otázk 1: Gussův zákon Jko Gussovu plochu jsme zvolili plášť koule, o poloměru < r <.. E d A= 4 π r E = ( r) << r ˆ ε E = 4πεr r Pole je stejné jko pole odového náoje. Pro r < r > je pole nulové, protože celkový náoj uzvřený ve zvolené ploše je nulový. Otázk : Rozdíl potenciálů 1 1 V = E ds= rˆ drr ˆ =. 4πε r 4πε 5
Otázk 3: Kpcit kondenzátoru 4πε C = = V 1 1 ( ). Otázk 4: Energie uložená v elektrickém poli U 1 1 1 1 r dr π 4πεr πε C ε = 4 = =. 4 6