ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje dané počáteční podmínce. a), 0 0 b) 4 sin, 0 c) 0, 0 5 d), 0 Řešení a Máme řešit diferenciální rovnici s počáteční podmínkou, 0 0 Označme Laplaceův obraz řešení této rovnice. Nyní uplatníme Laplaceovu transformaci na obě strany rovnice. Dostaneme S využitím linearity Laplaceovy transformace upravíme tuto rovnici na tvar Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. Dosadíme hodnotu z počáteční podmínky 0 Postupně upravíme 0 Odtud již snadno dostaneme obraz řešení dané rovnice. K nalezení řešení dané rovnice provedeme zpětnou transformaci! " Ve slovníku Laplaceovy transformace nenajdeme řádek, který bychom mohli přímo uplatnit. Provedeme tedy rozklad na parciální zlomky (viz Ma, část ). # $ ##$ #$ # Odtud dostáváme (Koeficienty u stejných mocnin proměnné v čitatelích na obou stranách rovnice se musí při stejných jmenovatelích rovnat) soustavu rovnic #$ 0, #
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST #, $ Můžeme tedy psát Tedy! "! " S využitím linearity poslední rovnici ještě přepíšeme na tvar! "! "! " Nyní již oba výrazy, pro které je třeba provést zpětnou Laplaceovu transformaci, ve slovníku LT snadno nalezneme a dostaneme &'( &'(, )0 Zkouška Vypočteme si derivaci nalezeného řešení. & '( Dosadíme tuto derivaci i nalezené řešení do zadané rovnice i počáteční podmínky., 0 0 Dostaneme & '( &'(, &' * 0 Upravíme & '( & '(, &* 0 & '( & '(,, 00 0 Správnost nalezeného řešení je tímto ověřena. Klasické řešení Pro porovnání si vyřešíme stejnou úlohu klasickým postupem. Zadaná rovnice je LDR.řádu nehomogenní. K ní příslušná homogenní rovnice je 0, neboli. Tato rovnice je separovatelná Je zřejmé, že řešením příslušné homogenní rovnice je ln - Odtud -& '(, - / 0 K nalezení jednoho řešení zadané nehomogenní rovnice použijeme variaci konstant. Toto řešení bude mít tvar (zde je nějaká v tuto chvíli dosud neznámá funkce) & '( Toto zatím hypotetické řešení derivujeme & '( & '( Tuto derivaci dosadíme do původní rovnice. Dostaneme
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Odtud Neboli Integrujeme & '( & '( & '( & '( & '( & '( S využitím substituce & '(, & '(, 56 ' &'( dostaneme & '( &'( Tento výsledek dosadíme do předpokládaného tvaru řešení & '( a dostaneme &'( & '( Tím jsme nalezli jedno řešení nehomogenní rovnice. Obecné řešení dostáváme z těch dvou nalezených výsledů ve tvaru. -& '(, - / Pro řešení Cauchyho úlohy dosadíme toto obecné řešení do počáteční podmínky a dostaneme 00 -& ' * -&* - Odtud - 7. Takto nalezenou konstantu dosadíme do nalezeného obecného řešení a dostáváme ' konečné řešení Cauchyho úlohy. &'( &'(, )0 Poznámka Na laskavém čtenáři si dovolíme ponechat úvahu, které z obou řešení mu připadá příjemnější a snazší. Předpokládáme, že tentýž laskavý čtenář nepřehlédl to, že řešení pomocí Laplaceovy transformace je naplněno spoustou vysvětlujících poznámek. Tyto poznámky budeme v dalších řešeních postupně ubírat, neb to, co budeme dělat, bude již zřejmé. Řešení b Máme řešit diferenciální rovnici s počáteční podmínkou 4 sin, 0 Označme Laplaceův obraz řešení této rovnice. Nyní uplatníme Laplaceovu transformaci na obě strany rovnice. Dostaneme 4sin S využitím linearity Laplaceovy transformace upravíme tuto rovnici na tvar 4sin Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. 0 4 ' ' Dosadíme hodnotu z počáteční podmínky 4 ' '
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Postupně upravíme 4 ' ' 4 ' ' Odtud již snadno dostaneme obraz řešení dané rovnice. 4 ' ' 4 K nalezení řešení dané rovnice provedeme zpětnou transformaci! 4 ' ' ' 4 4 " 8 4 ' ' 9 Ve slovníku Laplaceovy transformace nenajdeme řádek, který bychom mohli přímo uplatnit na výraz. Provedeme tedy rozklad na parciální zlomky (viz Ma, část ). ' 4 4 ' ' # 4 $- 4#$ ' 4$-4- ' ' #' 4 ' ' #$ ' 4$- 4#4-4 ' ' Odtud dostáváme (Koeficienty u stejných mocnin proměnné v čitatelích na obou stranách rovnice se musí při stejných jmenovatelích rovnat) soustavu rovnic #$, 4$- 0, 4#4-4 # 0, $ 0, - 5 Můžeme tedy psát ' 4 4 ' 4 0 4 0 5 ' 4 0 4 0 ' ' 5 ' ' Tedy ' 4 8 4 ' 4 9! 0 4 0 ' ' 5 ' '" S využitím linearity poslední rovnici ještě přepíšeme na tvar 0! 4 " 0 : ' '; 5! ' '" Nyní již oba výrazy, pro které je třeba provést zpětnou Laplaceovu transformaci, ve slovníku LT snadno nalezneme a dostaneme 0 &<( 0 cos sin, )0 5 Zkouška Vypočteme si derivaci nalezeného řešení. 4 0 &<( 0 sin 5 cos Dosadíme tuto derivaci i nalezené řešení do zadané rovnice i počáteční podmínky. 4 sin, 0 Dostaneme 4 0 &<( 0 sin 5 cos4? 0 &<( 0 cos 5 sin@sin, 0 &< * 0 cos 0 sin 0 5 4
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Upravíme 4 0 &<( 0 sin 5 cos4 0 &<( 4 0 cos4 sin sin, 5 0 &* 0 cos0 5 sin0 5 sin4 5 sin sin, 0 0 0 sin sin, Správnost nalezeného řešení je tímto ověřena. Řešení c Máme řešit diferenciální rovnici s počáteční podmínkou 0, 0 5 Označme Laplaceův obraz řešení této rovnice. Nyní uplatníme Laplaceovu transformaci na obě strany rovnice. Dostaneme 0 S využitím linearity Laplaceovy transformace upravíme tuto rovnici na tvar 0 Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. 0 0 Dosadíme hodnotu z počáteční podmínky 5 0 Postupně upravíme 50 50 Odtud již snadno dostaneme obraz řešení dané rovnice. 5 5 K nalezení řešení dané rovnice provedeme zpětnou transformaci!5 "5! " Nyní již výraz, pro které je třeba provést zpětnou Laplaceovu transformaci, ve slovníku LT snadno nalezneme a dostaneme 5& 7(, )0 Zkouška Vypočteme si derivaci nalezeného řešení. 5& 7( Dosadíme tuto derivaci i nalezené řešení do zadané rovnice i počáteční podmínky. 0, 0 5 Dostaneme a upravíme 5& 7( 5& 7( 0, 5& 7 * 5 5& 7( 5& 7( 0, 5& * 5 00, 5 5 Správnost nalezeného řešení je tímto ověřena. 5
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Řešení d Máme řešit diferenciální rovnici s počáteční podmínkou, 0 Označme Laplaceův obraz řešení této rovnice A. Nyní uplatníme Laplaceovu transformaci na obě strany rovnice. Dostaneme S využitím linearity Laplaceovy transformace upravíme tuto rovnici na tvar Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. Dosadíme hodnotu z počáteční podmínky A 0 A Postupně upravíme A A A A A Odtud již snadno dostaneme obraz řešení dané rovnice. A Výraz vpravo rozložíme na parciální zlomky # $ ##$ Odtud dostáváme soustavu rovnic #$, # #$ # #, $ Dosadíme a dostaneme A K nalezení řešení dané rovnice provedeme zpětnou transformaci A! "! "! " Nyní již výraz, pro který je třeba provést zpětnou Laplaceovu transformaci, snadno nalezneme ve slovníku LT a dostaneme &'(, )0 Zkouška Vypočteme si derivaci nalezeného řešení. & '( Dosadíme tuto derivaci i nalezené řešení do zadané rovnice i počáteční podmínky., 0 Dostaneme a upravíme 6
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST & '( +? + &'( @=, + &' * = & '( +& '( =, + &* = =, = Správnost nalezeného řešení je tímto ověřena. 7
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje dané počáteční podmínce. V úloze jde o zpracování impulsu. a), 0C C B, 0, B : 0, D b), 0C C B, 0, B : 0, D Řešení a Máme řešit diferenciální rovnici s počáteční podmínkou zpracovávající impuls., 0C C B, 0, B : 0, D Tato úloha vypadá velmi obyčejně a v zásadě jednoduše. Problém je ale ve funkci B, která je zadána odděleně pro dva intervaly. Znázorníme si ji na obrázku. Pro takto zadanou funkci nemáme ve slovníku Laplaceovy transformace způsob, jak najít přímo její obraz. Přitom je tato funkce spojitá, jen nemá v jednom bodu derivaci. V této situaci nám ale může pomoci tak zvaná Heavisideova funkce, neboli funkce jednotkového skoku. Viz další obrázek. 8
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Tato funkce se často označuje jako η je obvykle v obecnosti definována takto: η : 0, F0, )0 Někdy je tato funkce doplněna zvláštní hodnotu pro argument nula. Touto hodnotou bývá jedna polovina. Pro naše účely je toto zvláštní situace nedůležitá. Je ovšem velmi vhodné v zájmu zjednodušení budoucích zápisů zavést označení η G ηh Vhodným použitím Heavisedeovy funkce je možné zapsat funkci definovanou různými výrazy pro nějaké dílčí intervaly jediným výrazem. V našem konkrétním případu to můžeme udělat takto: B η * η ' η * η ' η * η ' η ' η * η * η ' η ' Připomeňme, že funkce B je definována pouze pro )0. Po této úpravě už ve slovníku Laplaceovy transformace nacházíme způsob nelezení obrazu této funkce pomocí vztahu posunutí. Naši rovnici můžeme tedy nyní zapsat ve tvaru η * η * η ' η ', 0 Označme Laplaceův obraz řešení této rovnice. Nyní uplatníme Laplaceovu transformaci na obě strany rovnice. Dostaneme η * η * η ' η ' S využitím linearity Laplaceovy transformace upravíme tuto rovnici na tvar η * η * η ' η ' Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. 0 & *I '&*I &'I '&'I Dosadíme hodnotu z počáteční podmínky a upravíme Postupně upravíme ' &'I '&'I ' &'I '&'I ' &'I '&'I ' &'I ' &'I Nyní musíme čtyři z pěti zlomků na pravé straně převést na parciální zlomky. Pro první z těchto zlomků dostaneme ' #$ ' - -' #$ ' #' #$$- ' ' #' - ' #$$ ' #- ' #$ $ ' Odtud dostáváme soustavu rovnic #- 0, #$ 0, $ #, $, - Zlomek tedy rozložíme na tvar ' ' ' ' ' 9
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Pro druhý z těchto zlomků dostaneme J K K J JJK JKJ JK J Odtud dostáváme soustavu rovnic JK 0, J K, J Zlomek tedy rozložíme na tvar Třetí zlomek je stejný jako prvý a čtvrtý je stejný jako druhý. Můžeme tedy psát? ' @? @&'I? ' @ & 'I? @ Upravíme ' &'I? ' @ Další úpravou zjednodušíme a dostaneme obraz řešení dané rovnice. ' &'I? ' @ K nalezení řešení dané rovnice provedeme zpětnou transformaci! ' &'I? ' @"! '"! "!& 'I '"!& 'I "!& 'I " Nyní již výrazy, pro které je třeba provést zpětnou Laplaceovu transformaci, ve slovníku LT snadno nalezneme a dostaneme η ' η ' & ( η ', )0 Po úpravě η * & ( η ', )0 Tento výsledek můžeme vyjádřit i ve tvaru v jakém byla původně zadána funkce B, 0C C! & (, D Po úpravě!, 0C C & (, D Zkouška Vypočteme si derivaci nalezeného řešení.!, 0C C & (, D Dosadíme tuto derivaci i nalezené řešení do zadané rovnice i počáteční podmínky. :, 0C C, 0 0, D Dostaneme a upravíme : & (: & ( :, 0CC, 0 0, D Správnost nalezeného řešení je tímto ověřena. 0
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Řešení b Máme řešit diferenciální rovnici s počáteční podmínkou zpracovávající impuls., 0C C B, 0, B : 0, D Tato úloha vypadá velmi obyčejně a v zásadě jednoduše. Problém je ale ve funkci B, která je zadána odděleně pro dva intervaly. Znázorníme si ji na obrázku. Pro takto zadanou funkci nemáme ve slovníku Laplaceovy transformace způsob, jak najít přímo její obraz. Navíc je tato funkce nespojitá a nemá v jednom bodu derivaci. V této situaci nám ale může pomoci tak zvaná Heavisideova funkce, neboli funkce jednotkového skoku (detailněji v předcházejícím řešení). Vhodným použitím Heavisedeovy funkce je možné zapsat funkci definovanou různými výrazy pro nějaké dílčí intervaly jediným výrazem. V našem konkrétním případu to můžeme udělat takto: B η * η η * η η * η η Připomeňme, že funkce B je definována pouze pro )0. Po této úpravě už ve slovníku Laplaceovy transformace nacházíme způsob nelezení obrazu této funkce pomocí vztahu posunutí. Naši rovnici můžeme tedy nyní zapsat ve tvaru η * η η, 0 Označme Laplaceův obraz řešení této rovnice A. Nyní uplatníme Laplaceovu transformaci na obě strany rovnice. Dostaneme η * η η S využitím linearity Laplaceovy transformace upravíme tuto rovnici na tvar η * η η Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. A 0 A & *I '& I '& I Dosadíme hodnotu z počáteční podmínky a upravíme
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Postupně upravíme A +A = ' &I ' &I A +A =+ ' &I ' &I + A =+ ' &I ' &I A = + + ' + &I ' + &I + A = + + ' + &I? ' + + + @ Nyní musíme tři ze čtyř zlomků na pravé straně převést na parciální zlomky. Pro první z těchto zlomků dostaneme ' + = # '+$ + - +$+ +-' =#+ + ' = #+#+$' +$+- ' + ' + = $' +- ' +#+$+# ' = $+- ' +#+$ +# + ' + Odtud dostáváme soustavu rovnic $+- =0, #+$ =0, #= # =, $ =, - = Zlomek tedy rozložíme na tvar ' + = '+ + + = ' + + Druhý z těchto zlomků je stejný jako první. Nemusíme ho tedy separátně řešit. Pro třetí z těchto zlomků dostaneme + =J + K +K =J+ = J+J+K = J+K+J J+K +J = + + + + Odtud dostáváme soustavu rovnic J+K =0, J = K =, J = Zlomek tedy rozložíme na tvar + = + + = + Můžeme tedy psát A = + + ' + + &I? ' + + + + @ Upravíme a dostaneme obraz řešení dané rovnice vhodný pro zpětnou Laplaceovu transformaci. A = + + ' '&I K nalezení řešení dané rovnice provedeme zpětnou transformaci =L A =L! + + ' '&I " =L! + "+L! '" L! " L!& I '" Nyní již výrazy, pro které je třeba provést zpětnou Laplaceovu transformaci, ve slovníku LT snadno nalezneme a dostaneme
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST & ( η, )0 Po úpravě & ( η * η, )0 Tento výsledek můžeme vyjádřit i ve tvaru v jakém byla původně zadána funkce B &! (, 0C C & (, D Po úpravě! &(, 0C C & (, D Jak vypadá nalezené řešení, si znázorníme na obrázku. Zkouška Vypočteme si derivaci nalezeného řešení.! &(, 0C C & (, D Dosadíme tuto derivaci i nalezené řešení do zadané rovnice i počáteční podmínky. :, 0C C, 0 0, D Dostaneme a upravíme : &( & ( : &(, 0C C & ( : 0, D, &* 0 Správnost nalezeného řešení je tímto ověřena.