Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita). Platí ásledující rovosti:. Koeficiety si(x) cos(kx) dx = pro libovolá, k =,,,... {, pro k; si(x) si(kx) dx = π, pro = k N., pro k; cos(x) cos(kx) dx = π, pro = k N; π, pro = k =. DEFINICE (Fourierovy koeficiety). Nechť f je fukce defiovaá a (, π). Čísla a = π f(x) cos(x) dx pro =,,,... b = f(x) si(x) dx pro =,,... π se azývají Fourierovy koeficiety fukce f. Řada a + (a cos(x) + b si(x)) se azývá Fourierova řada fukce f. Budeme tuto skutečost začit. Vlastosti f(x) a + (a cos(x) + b si(x)). Fukce f a [, π] se azývá po částech hladká, jestliže existuje rozděleí = p < p <... < p = π a f má a každém (p i, p i ) spojitou derivaci a v bodech p, p,..., p příslušé jedostraé derivace. Periodická fukce f s periodou π se azývá po částech hladká, jestliže zúžeí f a [, π] je po částech hladké. Fourierova řada existuje pro po částech hladké fukce (použije se zobecěý Newtoúv itegrál) a pro mootóí fukce (použije se Riemaův itegrál). TVRZENÍ (Vlastosti). Jsou-li a, b (ebo a, b ) Fourierovy koeficiety fukce f (resp. g), pak ra + sa, rb + sb jsou Fourierovy koeficiety fukce rf + sg. Platí tedy, že pokud f(x) a + (a cos(x) + b si(x)), g(x) a + (a cos(x) + b si(x)) potom rf(x) + sg(x) ra + sa + ((ra + sa ) cos(x) + (rb + sb ) si(x)).
Kovergece, itegrace, derivace Nebude-li řečeo jiak, budou dále a, b začit Fourierovy koeficiety fukce f. TVRZENÍ 3 (Bessel). Platí (jakmile má levá straa smysl) a + (a + b ) π f (x) dx. DŮSLEDEK. Nechť a, b existují. Jestliže f (x) dx <, pak řada (a + b ) koverguje a Fourierovy koeficiety fukce f kovergují k. DŮSLEDEK. Je-li f po částech hladká, pak Fourierova řada fukce f koverguje absolutě. Kvůli jedodušším zápisům defiujeme f(a + ) = lim x a + f(x), f(a ) = lim x a f(x), f(x) = (f(x +) + f(x )). TVRZENÍ 4 (Kovergece). Nechť f je po částech hladká ebo po částech mootóí a [, π]. Pak její Fourierova řada koverguje k fukci f v každém bodě p [, π] (a tedy k f(p) v bodech spojitosti fukce f). Kovergece je stejoměrá a uzavřeých itervalech ležících uvitř itervalu, kde má f spojitou derivaci.. Parseval TVRZENÍ 5 (Parsevalova rovost). Nechť f (x) dx koverguje. Pak π f (x) dx = a π + (a + b ). TVRZENÍ 6 (Obecá Parsevalova rovost). Nechť f, g jsou defiovaé a (, π) a f (x) dx, g (x) dx kovergují. Pak π f(x)g(x) dx = a a + (a a + b b π ), kde a, b jsou Fourierovy koeficiety fukce g.. Itegrace a derivace TVRZENÍ 7 (Itegrace Fourierovy řady). Nechť koverguje f(x) dx. Pak pro libovolý iterval (a, b) [, π] platí (uvedeá řada itegrálů koverguje stejoměrě) b a platí tedy f(x) dx = x b a a dx + b a f(x) dx = C + a x + (a cos(x) + b si(x)) dx, b cos(x) + a si(x) Nahrazeím x její Fourierovou řadou (kostata C se vypočte dosazeím x = ): x f(x) dx = b / + b cos(x) + (a ( ) a ) si(x) Důsledkem rovosti je absolutí kovergece řady b /, jakmile koverguje f(x) dx...
3 TVRZENÍ 8 (Derivace Fourierovy řady). Nechť f je po částech hladká fukce a [, π], jejíž derivace je absolutě itegrovatelá. Pak Fourierovy koeficiety a, b fukce f se dají vyjádřit ásledově: a = f(π ) f( + ), a = ( ) a + b, b = a. π TVRZENÍ 9 (Spojitá fukce). Nechť f je spojitá fukce s periodou π, po částech hladká, jejíž derivace je absolutě itegrovatelá. Pak Fourierova řada pro f se získá z Fourierovy řady pro f derivací čle po čleu a je rova (b cos(x) a si(x)). 3 Jié periody ež π Pokud má fukce f periodu L, pak fukce cos(πx/l), si(πx/l) mají stejou periodu a předchozí defiice a výsledky lze opakovat pro teto trigoometrický systém. Fourierovy koeficiety jsou defiováy jako a = L L Fourierova řada fukce f je řada L f(x) cos(πx/l) dx, b = L L L a + ( a cos(πx/l) + b si(πx/l) ). f(x) si(πx/l) dx. 4 Ortogoálí systémy DEFINICE 3. Posloupost {g } N fukcí a itervalu J se azývá ortogoálí, jestliže J g g m = pro m a J g g = p pro, m N. Pro ortogoálí systém {g } N lze defiovat Fourierovy koeficiety fukce f vzhledem k systému {g } jako c = f(x)g (x) dx p I a Fourierovu řadu c g (x) fukce f vzhledem k {g } N. 4. Gramova-Schmidtova ortogoalizace Z libovolé poslouposti fukcí {f } a itervalu J lze vytvořit ortogoálí systém {g }, mající stejý (uzavřeý) lieárí obal. Můžeme předpokládat, že J f (x) dx.. Položí se g = f.. Fukce g bude takovou lieárí kombiací g a f, že získáme fukci kolmou a g. Tj., g (x)(r g (x) + f (x)) dx =. J 4. Máme-li již defiová ortogoálí systém g,...g a J, který má stejý lieárí obal jako fukce f,...f, ajdou se čísla r,...r tak, že (položíme g + = i= r g + f + ) g i (x) g + (x) dx = pro každé i =,...,. J Uvedeý postup se azývá Gramova-Schmidtova ortogoalizace.
4 4. Legedreovy polyomy Použitím Gramovy-Schmidtovy ortogoalizace a posloupost fukcí {x } = a itervalu (, ) se získají tzv. Legedreovy polyomy P (x), pomocí kterých polyomů se dají rozviout v řady fukce a itervalu (, ). x (3x ) 3 (5x3 3x) 4 8 (35x4 3x + 3) 5 8 (63x5 7x 3 + 5x) 6 6 (3x6 35x 4 + 5x 5) 7 6 (49x7 693x 5 + 35x 3 35x) 8 8 (6435x8 x 6 + 693x 4 6x + 35) 9 8 (55x9 574x 7 + 88x 5 46x 3 + 35x) 56 (4689x 9395x 8 + 99x 6 33x 4 + 3465x 63) Rekuretí vzorec ( + )P + (x) = ( + )xp (x) P (x) Obecé vzorce P (x) = k= ( )k( ) ( k ) k ( +x ) k x P (x) = M m= ( )m ( m)! m!( m)!( m)! x m kde M = je-li sudé a M = je-li liché. Pomocí derivace P (x) = d! dx (x ) Řešeí difereciálí rovice ( x )y xy + + y =
5 4.3 Laguerrovy polyomy Na eomezeých itervalech emohou být polyomy a sebe kolmé, a proto se k im přidává tzv. váha. Např. a itervalu (, ) je váhou fukce e x a tedy kolmost fukcí g, h zameá, že e x g(x)h(x) dx =. Použitím Gramovy-Schmidtovy ortogoalizace a posloupost fukcí {x } = a itervalu (, ) se získají tzv. Laguerrovy polyomy L (x), pomocí kterých lze rozviout v řadu fukce a (, ). Rekuretí vzorec L k+ (x) = k+ ((k + x)l k(x) kl k (x)). Obecý vzorec L (x) =! m= ( )m ( m)!m!m! xm, Pomocí derivace L (x) = ex d! dx (e x x ). Řešeí difereciálí rovice x y + ( x) y + y =
6 4.4 Hermiteovy polyomy Na itervalu (, ) je váhou fukce e x (fyzika) ebo fukce e x / (pravděpodobost) a tedy kolmost fukcí g, h pro váhu e x / zameá, že e x / g(x)h(x) dx =. Použitím Gramovy-Schmidtovy ortogoalizace a posloupost fukcí {x } = a itervalu (, ) se získají tzv. Hermiteovy polyomy H (x), pomocí kterých jdou rozviout fukce a R. Rekuretí vzorec x + x 3 x( 3 + x ) 4 3 6x + x 4 H + (x) = xh (x) = H (x) Obecý vzorec H (x) =! / m= 5 x(5 x + x 4 ) 6 5 + 45x 5x 4 + x 6 7 x( 5 + 5x x 4 + x 6 ) 8 5 4x + x 4 8x 6 + x 8 9 x(945 6x + 378x 4 36x 6 + x 8 ) 945 + 475x 35x 4 + 63x 6 45x 8 + x ( ) m m!( m)! (x) m. Pomocí derivace H (x) = ( ) e x / d dx e x / Řešeí difereciálí rovice (e x / y ) + e x / y =