MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme, existuje právě jedno. Tedy abychom si byli jisti, že až (nikoliv pokud :) se nám povede spočítat limitu posloupnosti, můžeme říci, že tato limita je jediná - a nemuseli dohledávat věci, které vlastně neexistují. Věta.0. Kaˇzdá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Dukaz: Předpokládejme sporem, že existují dvě různé limity a, b R posloupnosti {a n } n=. Dále (bez újmy na obecnosti) předpokládejme, že a < b. Označme ϵ = b a 2 Očividně ϵ R +. Dle definice limity (viz minulé cvičení) - jelikož lim n a n = a, pak Tedy úpravou ( n N)( n N, n > n ) : a n a < ϵ a n a < ϵ a n a > ϵ a ϵ < a n < a + ϵ () Obdobnou úvahu (de-facto stejnou) můžeme provést pro limitu lim n a n = b ( n 2 N)( n N, n > n 2 ) : a n a < ϵ (všiměte si, že obecně n = n 2, tedy index prvku, od kterého posloupnost leží v ϵ-pásu může být obecně jiný pro různou volbu a, b). a získáme b ϵ < a n < b + ϵ (2) Nyní volme n 0 max{n, n 2 } jako index, od kterého platí nerovnice () i (2). Pak tedy platí obě nerovnice součastně, tedy lze psát b ϵ < a n < a + ϵ b ϵ < a + ϵ b a < 2ϵ Z poslední nerovnice plyne, že b a 2 < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a 2. ()
2 Základní věty, (ne)dovolené operace a známé limity Věta 2.0.2 Necht jsou dány dvě posloupnosti {a n } n=, {b n} n= takové, ˇze lim a n = a, lim b n = b, a, b R. Pak platí. lim(a n + b n ) = a + b 2. lim(a n b n ) = a b 3. lim(a n.b n ) = a.b 4. lim a n bn = a b, je-li n N : b n 0 5. lim k a n = k a, je-li k N \ {} a součastně n N : a n 0 6. lim a n = a má-li příslušná pravá strana rovnosti smysl. Poznámka: k předchozí větě - nulou se nedělí a pojistíme si sudou odmocninu ze záporných čísel. Takže výpočet limit využitím předchozí věty je pohoda? Ne. Snad největším zádrhelem je dodadek k větě má-li příslušná pravá strana rovnosti smysl, ne všechno se dá sčítat, odečítat, dělit (připomeňme, že a, b R ). Věta 2.0.3 Při počítání limit (a v R obecně) JSOU dovoleny (dodefinovány, chcete-li) tyto operace ( x R): sčítání/odčítání x + = + x = x = + x = + = ( ) + ( ) = = ( + ) = násobení { pro x > 0 x.( ) = pro x < 0 { pro x > 0 x.( ) = pro x < 0. = dělení.( ) = ( ).( ) = (2)
x = x = 0 = = Věta 2.0.4 Při počítání limit (a v R obecně) NEJSOU dovoleny tyto operace: + 0.(± ) ± ± x 0, x R A ted ty největší pecky z limit (vhodné/nutné si zapamatovat). lim c = c, kde c R je konstanta 2. lim n = 0 3. lim n = 4. lim ( + n) n = e 5. lim n n = 6. dle vlastností geometrické posloupnosti lim q n = pro q > pro q = 0 pro q (, ) neexistuje pro q Vyzbrojeni tímto arzenálem nám u počítání akademických úloh s limitami bude stačit už jen ten správný nápad. 3 Typové příklady Šetříme lesy, proto u příkladů vynechám zadání: Vypočtěte limitu posloupnosti... 3. Polynomy Příklad 3.. lim(n 2 + 5n ) = lim n 2 + lim 5n lim = (lim n).(lim n) + (lim 5).(lim n) lim = =. + 5. = (3)
Příklad 3..2 lim(n 2 5n ) = lim n 2 + lim 5n lim = (lim n).(lim n) + (lim 5).(lim n) lim = =. 5. = =? a to nepůjde ( není definováno), tedy to budeme muset vykoumat úplně jinak Nápad : vytknout nejvyšší mocninu z daného polynomu. lim(n 2 5n ) = lim n 2 ( 5 n n 2 ) = lim n 2 (lim 5 lim n lim n 2 ) =.( 0 0) = 3.2 Podíl polynomů Příklad 3.2. Nápad 2: vytknout nejvyšší mocninu z čitatele a jmenovatele, pak tuto mocninu pokrátit. Mocninu volíme dle polynomu ve jmenovateli. lim 5n2 +8n+4 +2n+3n 2 = lim n2 ( 5+ 8 n + 4 n 2 ) = lim 5+ 8 n + 4 n 2 ( n 2 + 2 n 2 = n +3) n 2 + 2 n +3 = 5+0+0 0+0+3 = 5 3 Příklad 3.2.2 lim n2 + 4 n + 2 = lim n2 ( + 4 ) n 2 n 2 ( n + 2 ) = lim + 4 n 2 n 2 n + 2 = + 0 0 + 0 =? n 2 Říkal jsem největší mocninu z jmenovatele! (to je to dole) To je lepší. lim n2 + 4 n + 2 = lim n(n + 4 n ) n( + 2 n ) = lim n + 4 n + 2 n = + 0 + 0 = Příklad 3.2.3 lim 8n + 3 9 2n 4n 2 = lim n2 ( 8 n + 3 n 2 ) n 2 (9 2 n 4 n 2 ) = lim 8 n + 3 n 2 9 2 n 4 n 2 = 0 + 0 0 + 0 4 = 0 (4)
3.3 Odmocnina Příklad 3.3. Nápad 3: vytknout z výrazu největší mocninu. lim 9n 2 4 2n = lim n 9 2 4 2n = lim n( 9 4 2) = n 2 n 2 =.( 9 0 2) =. = Příklad 3.3.2 lim 2n 2 2n 2 + = lim n( 2 n 2 2 + n 2 ) =.( 2 2) =.0 =? Autor příkladu dostane po čuni. Opět jsme se dostali do situace, kterou si nemůˇzeme dovolit (výsledek výrazu 0. není definován). Tedy půjdeme na to jinak. Nápad 4: Upravit - využít vzorec (a + b)(a b) = a 2 b 2. lim 2n 2 2n 2 + = lim( 2n 2 2n 2 + ) 2n 2 + 2n 2 + 2n 2 + 2n 2 + = = lim (2n2 )+(2n 2 +) 2n 2 + 2n 2 + = lim 2 2n 2 + 2n 2 + = lim = ( 2)(lim n )(lim ) = ( 2).0. 2 n 2 + 2+ 2 = 0 2 n 2 2 = n( 2 n 2 + 2+ n 2 ) Příklad 3.3.3 lim n 2 + n n 2 + 2 = (lim n )(lim ) = 0. + n + 2n 0 =? 2 Zase to nepůjde. Sice v jiné situaci, ale opět vyuˇzijeme Nápad 4. lim n 2 + n n 2 + 2 = lim n n 2 + n 2 + n + n 2 + 2 n n 2 + 2 n 2 + n + n 2 + 2 == lim 2 + n + n 2 + 2 (n 2 + n) (n 2 + 2) = n = lim 2 + n + ) n 2 + 2 n. ( + n + + 2n == lim 2 n 2 n.( 2 n ) = + = 2 A nakonec něco komplikovanějšího (5)
Příklad 3.3.4 lim 3 n 2 + 6n 3 n 4 + 8n = lim 3 = lim n 4 ( + ) 6n) n 2 n 4 = lim 3 n 4 ( + 8 ) n 3 3 3 n ) + 6 n 2 n 4 3 + 8 n 3 = 0 = 0 3 n 4 3 3 n ) + 6 n 2 n 4 3 n 4 3 + 8 n 3 = 3.4 Proměnná v exponentu Příklad 3.4. Nápad 5: Upravit pro použití známé limity. lim ( ) 2n + 4 7n+6 ( = lim + ) 7n+6 ( = lim + ) 7 2 (2n+3 9 2 ) = lim [ ( + ) ] 7 2n+3 2 (. lim + ) 63 4 7 = e 2. = e 7 3.5 Geometrická řada a kvocient Příklad 3.5. Nápad 6: Upravit na geometrickou řadu a pak dle kvocientu rozhodnout. lim 22n+ 3 n+ 4 n = lim 2.22n 3.3 n 2 2n = lim 2.2n 3.3n 3n = 3. lim 22n 22n 4 n = 3. lim a jelikoˇz { ( 3 n} 4) n= je geometrická posloupnost s kvocientem 0 < 3 4 <, tak = 3.0 = ( ) 3 n = 4 3.6 Limitní přechod v nerovnostech a policajti Věta 3.6. Necht {a} n=,{b} n= a {a} n= jsou posloupnosti. Necht lim a n = a R a lim b n = b R. Potom platí. je-li a < b, pak a n < b n (pro všechna dost velká n N) (6)
2. je-li a n b n (pro všechna dost velká n N), pak a n b n 3. je-li a n c n b n (pro všechna dost velká n N) a současně a = b, existuje lim c n a platí lim c n = a = b (dva policajti) 4. je-li a n c n (resp. c n b n ) pro všechna dost velká n N a součastně a = (resp. b = ), je lim x n = (resp. lim c n = ) (jeden policajt) - ale silný za dva Příklad 3.6. lim sin(π 2 + 26n) + cos(3n + 2) + n 2 =? Jelikoˇz tak n N: x R : sin x x R : cos x Očividně pak a dle předchozí věty + n 2 sin(π 2 + 26n) + cos(3n + 2) + n 2 + + n 2 2 + n 2 sin(π 2 + 26n) + cos(3n + 2) + n 2 2 + n 2 lim 2 + n 2 = lim 2 + n 2 = lim sin(π 2 + 26n) + cos(3n + 2) + n 2 lim sin(π 2 + 26n) + cos(3n + 2) + n 2 = Příklad 3.6.2 lim n! =? očividně a jelikoˇz tak dle jednoho policajta n N : n! n lim n = lim n! = (7)
3.7 n-tá odmocnina Příklad 3.7. Jelikoˇz pro všechna dost velká n, tak n N: lim n n 3 + n 2 5 n N : n n 4 n n 3 + n 2 5 n N : n n 3 n n 3 + n 2 5 n n 3 n n 3 + n 2 5 n n 4 pak Očividně a dle věty o dvou policajtech lim n n 3 = lim n n. lim n n. lim n n = lim n n 4 = lim n n. lim n n. lim n n. lim n n = lim n n 3 + n 2 5 lim n n 3 + n 2 5 = 4 Reference [] K. Rektorys a kol. Přehled užité matematiky Prometheus, 2000 [2] Matematická analýza ve Vesmíru - soubor přednáškových slidů Bouchala J., 2000 a něco [3] Čížek J., Kubr M., Míková M. Sbírka úloh z matematické analýzy., 2007 [4] Diferenciální počet jedné proměnné Kuben J., Šarmanová P., ESF, 2007 (8)