R1x. R1y. Pevný a posuvný kloub podporující desku. STATIKA HMOTNÝCH OBJEKTŮ Statika tuhé desky

Transkript

1 STATIKA HMOTNÝCH OBJEKTŮ Statika tuhé desk R1x R1 a R1 b R Pevný a posuvný kloub podporující desku x 1) Kvný prut odebírá 1 stupeň volnosti (r = 1). Jedna složka reakce. ) Pevný kloub ruší stupně volnosti (dvojná vazba), (r = ). Umožňuje pootočení. Vvozuje složk reakcí a lze jej nahradit kvnými prut. 3) Posuvný kloub tzv. vedení po přímce ruší 1 stupeň volnosti (r = 1), umožňuje posun a pootočení. Vvozuje 1 složku reakcí v normále k přímce (resp. ke křivce) posunu. Lze jej v jistých mezích nahradit kvným prutem. 4) Vetknutí pevné spojení tuhé desk s podkladem. Ruší všechn 3 stupně volnosti (r = 3) tuhé desk v rovině.

2 Rozbor účinku vazeb - kritérium podepření. Označujeme: m - počet stupňů volnosti volného hmotného objektu r - počet stupňů volnosti, které jsou schopn odebrat (zrušit) použité vazb s mr - kritérium podepření jako číslo, které charakterizuje polohovou variabilitu hmotného objektu. Podle hodnot kritéria podepření s rozlišujeme objekt s Podepření je tvarově statick > 0 neurčité přeurčité doplňující podmínka = 0 určité det A 0 < 0 přeurčité neurčité Výpočet reakcí desk: 1. Posouzení statické určitosti.. Přerušíme vazb a nahradíme jejich působení složkami reakcí. 3. Sestavíme podmínk rovnováh

3 Konstrukční prvk Prut (přímý, zakřivený) je kon-strukční prvek u něhož jeden rozměr převládá nad dvěma zbývajícími. Důležitou čárou je střednice prutu, která spojuje ve směru převládajícího rozměru těžiště všech příčných průřezů daného prutu. Stěna je konstrukční prvek, jehož jeden rozměr je výrazně menší než zbývající dva rozměr. Zatížení působí ve střednicové rovině (paprsk sil leží v této rovině).

4 Deska je konstrukční prvek se dvěma převládajícími rozměr, který je zatížen kolmo ke střednicové rovině. Skořepina je konstrukční prvek se dvěma převládajícími rozměr a se zakřivenou střednicovou plochou. Při obecném zatížení se v ní projevuje působení jako ve stěně i v desce, tzv. deskostěnové působení

5 Konstantní a proměnný průřez nosníku a) ve směru střednice se nemění základní rozměr průřezu b) náhlá změna průřezu c) spojitá změna průřezu Zjednodušení výpočtového modelu: nosník si představujeme zobrazený jeho střednicí s označenými vazbami. Idealizace nosníku jeho střednicí

6 Vnitřní síl v přímých nosnících Nosník rozdělený řezem na dvě části l

7 V každém zkoumaném řezu můžeme určit vnitřní síl M, N, T jako složk výslednice všech vnějších sil (zatížení + reakce) působících na nosník po jedné straně průřezu. Posouvající síla T (v daném průřezu) je rovna algebraickému součtu všech složek vnějších sil kolmých k tečně střednice v místě průřezu (příčných složek) působících po jedné straně průřezu N. Normálová síla N (v daném průřezu) je rovna algebraickému součtu všech složek vnějších sil rovnoběžných s tečnou střednice v místě průřezu a působících na nosník po jedné straně průřezu N. Ohbový moment M (v daném průřezu) je roven algebraickému součtu statických mo-mentů všech vnějších sil působících po jedné straně průřezu k těžišti průřezu Nm. Kladné smsl vnitřních sil (úmluva), tzv. znaménková konvence normálová síla je kladná je-li to síla tahová

8 Schwedlerova věta Základní vztah mezi zatížením a vnitřními silami je odvozen z podmínek rovnováh na prutovém elementu na obr.6.5. Rovnováha vnitřních sil na elementu nosníku N f N N dn dn f N 0 T T dt ft f T dt Dané spojité zatížení f(x) rozložíme do složek - ft a f N jsou náhradní břemena od těchto složek a působí v polovině délk elementu nosníku. Sestavením podmínek rovnováh na elementu nosníku ve směru normálné a posouvající síl a momentové podmínk k bodu o dostaneme následující vztah: 0 M M dm 0 T ft T dm 0

9 Schwedlerova věta slovně: Posouvající síla T se rovná derivaci ohbového momentu podle diferenciálu střednice. Pozn.: Položíme-li T dm 0 znamená tato rovnice z matematického hlediska hledání extrému (maximální ohbový moment). T dm Intenzita spojitého zatížení ve směru střednice se rovná záporné deviaci normálové síl podle diferenciálu střednice. f N dn Intenzita spojitého zatížení ve směru kolmém ke střednici se rovná záporné derivaci posouvající síl podle diferenciálu střednice. f T dt Ze vztahů uvedených výše plne určení stupně funkcí vnitřních sil T a M v jednotlivých intervalech (důležité pro správné grafické vjádření průběhu vnitřních sil v nosníku). dt d M f T

10 Určení stupně funkcí vnitřních sil Intenzita zatížení Funkce posouvající síl T Funkce ohbového momentu M 0 konstantní lineární (1 ) konstantní lineární (1 ) kvadratické ( ) lineární kvadratické ( ) kubické (3 )

11 Prostý nosník zatížený osamělými silami (břemen) a,1 N 0 v celém úseku Ta1 A T1 a M a1 0 M1 a A a1 1, N 0 v celém úseku T A F 1 1 T1 M1 M1 a 1 A a F1 1 M, 3 N 0 v celém úseku T3 A F1 F T3 M 3 M 1 M A a F F b,3 použit výpočet zprava (postupuje se od pravé podpor doleva) 0 B T b3 0 T 3 3 N v celém úseku b b 3 M M 3 b M 3

12 Prostý nosník s rovnoměrným spojitým zatížením Reakce: A B q l a,b N x 0 ql ql T x A q x q x Tab T ba x qlx qx qx M x A x qx l x ql M ab 0 pro x 0 M ba l l 0 pro x l Poloha nebezpečného průřezu - nulová posouvající síla udává polohu nebezpečného průřezu, ve kterém je maximální ohbový moment

13 T x 0 ql l q x 0 x 0 l x l ql 0 0 M max qx 0 q l l 1 8 ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTI Napětí definujeme jako velikost vnitřní síl na jednotku ploch. Napětí jsou konečné podíl elementů vnitřních sil a ploch. ds Podle vnitřních sil zavádíme napětí celkové r da dn S(σr) napětí normálové ve směru normál k ploše da T(τ) dt napětí tangenciální ve směru tečném k ploše. N(σ) da n Napětí celkové, normálové a smkové φ t Můžeme-li pokládat sílu S a její složk N, T za rovnoměrně rozložené po ploše velikosti A, určujeme napětí podílem vnitřní síl a ploch r S, A N A, T A

14 Napětí má podle toho rozměr síla lomeno plochou, tad N/m. Tato jednotka má v mezinárodní soustavě jednotek SI označení pascal Platí ted 1Pa 1 N/m 1kgm s. Označíme-li úhel mezi paprskem celkového napětí a normálou k ploše jako bude platit: cos r sin r r Působením normálových sil se mění rozměr tělesa. rozměr ve směru síl před deformací l po deformaci l, rozdíl l l l je skutečným ( absolutním ) protažením tělesa ve směru l, protažení záporné je zkrácení. a) těleso se protahuje směrem působících tahových sil b) v příčném směru se stlačuje. Protažení tělesa

15 Tažená tč se ted ve směru tahu prodlužuje, v příčném směru zužuje, tlačená se naopak ve směru působících sil zkracuje, v příčných směrech prodlužuje. Předpokládáme, že se podobně deformuje účinkem normálových sil prvek tělesa. Označujeme skutečným protažením veličinu danou rozdílem původní délk prvku ds a délk elementu po přetvoření ds s ds ds Častěji než se skutečným protažením tělesa nebo elementu počítáme s poměrným protažením, které je poměrem skutečného protažení a původní délk, ted l ds nebo, l ds (které má znaménko shodné se skutečným protažením a jako poměr dvou délek je to veličina bezrozměrná).

16 Tangenciální (smková) napětí způsobují posunutí bodů v rovině průřezu. Tím se mění původní pravé úhl v kosé. Označíme-li jako rozdíl posunutí dvou koncových bodů úsečk délku úsečk ab jako l, potom poměr rozdílu posunutí k délce kolmého vlákna ab kolmé před deformací k průřezu a tg nebo l je poměrné zkosení. d ds Relativní zkosení Je to obdobně jako relativní protažení hodnota bezrozměrná. Značí tangentu úhlu, o nějž se změnil úhel vlákna k průřezu. Protože se jedná o velmi malý úhel, lze ho zaměnit velikostí úhlu.

17 Pracovní diagram Vložíme ocelovou tč délk l malé průřezové ploch A do čelistí trhacího stroje a zvšujeme tah F. Můžeme předpokládat, že napětí je po průřezu rozděleno rovnoměrně a má hodnotu F. A a) Měříme-li délku l tče mezi dvěma značkami, vzdálenými od sebe před zkouškou l, pozorujeme, že tato délka se vzrůstem síl F roste. b) S rostoucím napětím vzrůstá proto také poměrné protažení. c) Vznačíme-li závislost normálového napětí σ na poměrném protažení ε, dostaneme tzv. pracovní diagram. Tvar pracovního diagramu závisí na materiálu i jeho zpracování. Proto se pracovní diagram různých látek od sebe značně liší.

18

19 Zkušební vzorek v čelistech stroje Trhací stroj řízený počítačem Zkušební vzork

20 Pracovní diagram oceli

21 Sledujme v pracovním diagramu závislost konvenčního (vpočteného z původní velikosti průřezu) napětí na poměrném protažení. Poměr přírůstku napětí a přírůstku deformace (derivace napětí podle relativní deformace) E d d se nazývá modul pružnosti, přesněji modul pružnosti v tahu nebo tlaku. Bývá též nazýván Youngův modul pružnosti. U oceli a některých jiných látek roste protažení v oboru I lineárně, přímo úměrně k napětí, derivace napětí podle protažení je ted v tomto oboru konstantní a rovná se podílu napětí a protažení E Pracovní diagram pro různé materiál Modul pružnosti má stejný rozměr jako napětí.

22 Vzroste-li napětí, a tím i příslušná deformace, nad mez pružnosti, nastává plastické přetváření, obor plasticit. Projev plastického přetváření: Odlehčování v plastickém oboru daleko rchlejší růst deformace při rostoucím napětí než v oboru pružném závislost relativního protažení na napětí neprobíhá podle přímk a modul pružnosti v tomto oboru není stálý (mluvíme pouze o okamžitém modulu pružnosti) deformace je v tomto oboru převáženě plastická, proto se při odlehčení nevrací zpět po čáře, která znázorňovala její růst, ale klesá zhruba podle rovnoběžk s přímkou platnou v pružném oboru.

23 U látek tvárných (plastických) je plastický obor charakterizován mezí průtažnosti (mezí kluzu), tj. napětím, za něhož deformace začne vzrůstat velmi rchle, takže deformační čára probíhá v diagramu zhruba rovnoběžně s osou deformací a materiál se spojitě protahuje při téměř konstantním napětí. T T Ve výpočtech za stavu plasticit idealizujeme průběh napětí u meze průtažnosti podle Prandtla rovnoběžkou s osou, nebo mírně stoupající přímkou. Ve skutečnosti je při dosažení napětí na mezi průtažnosti napětí konstantní jen do určité relativní deformace a po ní deformační čára dále stoupá, materiál se zpevňuje. Maximální hodnota, kterou může jmenovité napětí dosáhnout, se nazývá mez pevnosti p. Po překročení meze pevnosti materiál teče při současném značném zužování průřezu, až dojde k porušení tče tč se přetrhne. V technické praxi jsou používána normová označení jednotlivých charakteristik v pracovním diagramu oceli. Výpočet za stavu plasticit: a) bez zpevnění b) se zpevněním

24 Výpočet konstrukcí v praxi zjednodušujeme předpokladem, že jde o látk stejnorodé čili homogenní, tj. stejné struktur a stejných vlastností ve všech bodech tělesa a izotropní, tj. takové, které mají ve všech směrech stejné materiálové vlastnosti. Ve skutečnosti se hmot řídí těmito předpoklad jen přibližně, avšak pro výpočt podle nauk o pružnosti a pevnosti předpoklad homogenit a izotropie materiálu praktick vhovují. Většinou namáháme materiál z různých důvodů (bezpečnost, vloučení větších deformací apod.) jen po mez úměrnosti. Můžeme tudíž materiál idealizovat jako homogenní, izotropní a dokonale lineárně pružný modul pružnosti je konstantní. Matematick tento vztah vjádříme rovnicí E nebo E kde E je modul pružnosti, normálové napětí a relativní (protažení) deformace. Rovnice vjadřuje základní vztah teorie pružnosti, tzv. Hookův zákon. Hookův zákon platí, jen pokud jsou splněn dva předpoklad: napětí nepřestoupí mez úměrnosti nepůsobí normálové napětí v příčných směrech.

25 Normálová napětí v kolmých směrech Působí-li v příčných směrech další normálová napětí, mají rovněž vliv na přetvoření v uvažovaném směru. Z popisu tahové zkoušk víme, že síla působí protažení ve směru svého vektoru a současně příčnou kontrakci v kolmých směrech. Normálové napětí kromě protažení ve směru svého působení také zkrácení ve směrech, z (záporné protažení ). Příčný rozměr se zkracuje ( relativně ) m krát méně, než se prodlužuje délka ve směru tahových sil. Číslo m se nazývá Poissonova konstanta a vžd musí být větší než. Převrácená hodnota Poissonov konstant se nazývá Poissonovo číslo a značí se (v cizí literatuře také ). x ve směru os x vvolává

26 Napětí xted vvolává relativní deformace E m E x x z x x, obdobně napětí samotné vvolává relativní deformace E E z x, a napětí z samotné vvolává relativní deformace E E z x z z, Sečteme-li účink všech tří napětí na protažení ve směru x, dostaneme výsledné poměrné protažení z x x E 1 a v ostatních směrech x z z z x E E 1 1 Tto závislosti udávají tzv. rozšířený Hookův zákon, jenž stanoví deformaci za současného působení normálových napětí ve třech kolmých směrech na zatěžovaný prvek.

27 Mezi relativním zkosením a tangenciálním napětím platí vztah obdobný Hookovu zákonu G kde je relativní zkosení, tangenciální napětí a G je tzv. modul pružnosti ve smku. Modul pružnosti v tahu E, modul pružnosti ve smku G a Poissonovo číslo jsou tři materiálové konstant, které v pružném oboru plně charakterizují daný materiál. Ovšem jen dvě materiálové konstant jsou na sobě nezávislé, protože mezi nimi platí vztah E G 1 Přetvoření nevzniká jen působením zatížení, ale také podle fzik, různými dalšími vliv. V praxi je to zejména změna teplot a smršťování (např. betonu).

28 PROSTÉ PŘÍPADY PRUŽNOSTI Prut je konstrukční prvek, jehož jeden rozměr (délka) převládá nad ostatními rozměr (průřez). Střednice prutu spojuje ve směru délk těžiště všech podélných průřezů daného prutu. Vnitřní síl působí na mšlený řez v zatíženém prutu ohbový moment, normálná síla, posouvající síla. kroutící moment - působí v rovině řezu Působí-li na průřez jen jediná složka vnitřních sil jedná se o prostý případ pružnosti.

29 Prostý tah a tlak N x x Tahové napětí N z z A da Jedinou působící vnitřní silou na průřez prutu je normálová síla. V příčném směru nepůsobí žádná. Platí Navierova hpotéza: 1) Osa prutu zůstane po přetvoření přímá. ) Všechn bod dvou sousedních rovnoběžných průřezů kolmých k ose prutu zůstanou po deformaci rovinné a kolmé k ose prutu. 3) Z této hpotéz vplývá, že poměrná deformace je konstantní po celém průřezu. x konst z Hookova zákona E konst. x x Oba vztah platí pro celý průřez.

30 Součtová podmínka rovnováh mezi napětím a vnitřní silou: N N xda 0 N x da 0 x A A A Normálové napětí je při prostém tahu a tlaku po celém průřezu konstantní a je rovno normálové síle dělené plochou. Momentová podmínka rovnováh k ose : N 0 z da 0 x z da 0 Protože A x xje konstanta, A A z da je statický moment průřezu k těžišti, vplývá z momentové podmínk, že normálná síla musí procházet těžištěm (protože statický moment průřezu k těžišti je nulový). Při excentrickém působení vvolává normálová síla k těžišti průřezu ještě ohbový moment a nejedná se o prostý tah či tlak.

31 Velikost deformace l l l x, a protože 0 l N a pro prut stálého průřezu E A 0 x N x, x potom E E A l N EA l 0 N l EA Statick neurčitý tah nebo tlak Pro určení neznámých nám chbí tolik podmínek, kolikrát je soustava statick neurčitá. Statické podmínk rovnováh se musí doplnit podmínkami deformačními.

32 Prostý ohb Jedinou vnitřní silou je ohbový moment, který působí v hlavní centrální rovině setrvačnosti průřezu. Navierova hpotéza: 1) Rovinné řez kolmé ke střednici nosníku před deformací zůstanou i po deformaci rovinné a kolmé k deformované střednici. ) Proto se mění lineárně též relativní přetvoření z z h z h x z M M z d Natočení dvou blízkých řezů h Průběh napětí po výšce průřezu

33 Statické podmínk rovnováh x x I z M I E z M Neutrální osa je množina bodů, v nichž je normálové napětí nulové. Označíme-li h h h d d d M z I W M z I W potom h h d d W M W M kde Wd, Wh průřezový modul dolní a horní.

34 Tangenciální napětí za ohbu Případ, kd na nosníku je jedinou vnitřní sílou ohbový moment, nejsou časté. Ve skutečnosti se spolu s ohbovými moment obvkle na nosníku vsktuje také posouvající síla. 1) Nosník vtvořený z pěti prken tloušťk h mezi sebou vzájemně nespojených. ) Únosnost průřezu je úměrná průřezovému modulu, pět prken bude mít průřezový modul Zvětšení únosnosti slepením 1 5 W5 5 bh bh 6 6 3) Slepením vznikne jeden nosník o výšce 5h. Průřezový modul tohoto nosníku bude 1 5 W1 b5h bh 6 6 Slepením prken se průřezový modul nosníku zvětšil pětkrát. Lepidlo brání posunování prken vzájemně po sobě. Při ohbu nosníku vznikají mimo normálových napětí také napětí tangenciální (smková).

35 Grashofova hpotéza Předpokládáme, že u smetrického průřezu zatíženého v rovině souměrnosti je složka tangenciálního napětí xzstálá v celé vrstvě vláken rovnoběžných s neutrální osou. Při označování tangenciálních napětí používáme dvojitého indexu: 1) První index značí směr normál k rovině, v níž tangenciální napětí působí. ) Druhý index značí směr tohoto napětí. Napětí xzted značí napětí, které působí v rovině YZ a mající směr os Z. 3) Oba index u tangenciálního napětí je možno zaměnit, neboť platí věta o vzájemnosti složek tangenciálního napětí, podle které ij ji (což vplývá z momentové podmínk tangenciálních napětí k těžišti elementu dle obr.). Kladné směr tangenciálních napětí

36 Oddělme z nosníku část omezenou dvěma sousedními průřez x, x+ a z horní části element až po vlákna vzdálená z od neutrální os: 1) Ve směru os X působí na element v rovinách sousedních průřezů normálová napětí, která jsme všetřili z účinku ohbového momentu (kladná jako tah) ) Na spodní plochu elementu působí konstantní tangenciální napětí směru os x). zx (kladné proti Výpočet tangenciálního napětí podle Grashofov hpotéz

37 Ze součtové podmínk rovnováh ve směru os X vplývá pro prizmatický nosník následující výraz pro tangenciální napětí za ohbu T Sze xz zx I kde os, xz okraj průřezu a zx je tangenciální napětí v průřezu x ve vláknech vzdálených z od těžišťové T je posouvající síla v průřezu x, I je moment setrvačnosti celého průřezu v místě x, Sze je statický moment k těžišťové ose části průřezu nad vlákn z až po horní je šířka průřezu ve vzdálenosti z nad těžišťovou osou.

38 OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která také obsahuje osu nosníku (spojnice těžišť všech průřezů) - druhá hlavní centrální osa setrvačnosti je v každém průřezu osou neutrální Přetvořené ose nosníku říkáme ohbová čára. Je to rovinná křivka. V teorii prostého ohbu nosníku také předpokládáme: - pružný materiál, jehož chování se řídí Hookovým zákonem - kolmo k ose nosníku nepůsobí žádná normálová napětí - nepřihlíží se ani k vlivu zkrácení os nosníku - délka ohbové čár je ted stejná jako délka nepřetvořené os. w x Pohb posuvné podpor při ohbu nosníku

39 - určujeme ted ohbovou čáru jako wx u w. Z obr. Vjádříme u z tg z φ u z w tg dw posunutí u je přibližně rovno u, ted Prostý ohb nosníku φ u u cos dw u z Relativní prodloužení u du x Po derivování podle x platí du d dw d w z z. u 1... u 4

40 při prostém ohbu platí M z x E I Porovnání výrazů dostaneme M z du d w x z E I a z toho d w M E I. Tato rovnice představuje diferenciální rovnici druhého řádu pro výpočet ohbové čár a je označována jako Bernoulliova rovnice průhbové čár. Tuto diferenciální rovnici můžeme dvakrát integrovat a dostaneme postupně d w M dw M C 1 E I E I w M E I C x 1 C

41 Pro výpočet ohbové čár je třeba rozdělit nosník na integrační interval. Máme-li n integračních intervalů, dostaneme při vjádření průhbů celkem n integračních konstant, v každém intervalu dvě. Integrační konstant určujeme pomocí okrajových podmínek, tj. podmínek na koncích nosníku a podmínek spojitosti ohbové čár, které pro jednotlivé tp okrajů jsou tto: a) v místě kloubové podpor nebo posuvné podpor je průhb nulový, tj. w 0 dw b) v místě vetknutí je průhb a pootočení nulové, tj. w 0; 0 c) na rozhraní mezi i-tým a i+1-ním intervalem je ohbová čára spojitá a spojité jsou i první derivace ; dw dw w i wi 1 i i1 d) v místě vnitřního kloubu mezi i-tým a i+1-ním intervalem je ohbová čára spojitá, tj. w w i i1

42 Tp okrajů jsou vkreslen na obrázku. a) b) c) d) w= 0 w= 0 w= 0 w 0 dw 0 w i i+1 i i+1 i w d i i1 d i1 w i w i1 U nosníků smetrických a smetrick zatížených je i ohbová čára souměrná. Můžeme ted řešit u smetrických konstrukcí pouze polovinu nosníku a na ose smetrie psát okrajovou podmínku ve tvaru dw sm : 0

43 Clebschovo řešení. redukuje počet integračních konstant až na dvě na rozhraní dvou intervalů je působiště osamělého břemene: F 1 p x x-p Osamělé břemeno - ohbový moment nalevo a napravo od osamělého břemene F se liší pouze o člen M Fx p. - označíme-li ted ohbový moment v intervalu (1) M 1 x, bude ohbový moment M x M x F x p v intervalu () roven 1

44 Při integraci diferenciální rovnice pak obdržíme w w 1 M1 EI M 1 x x F x p M1 EI C1x C EI x F x p x F x p C EI 3 x C 3 M1 C3x C4 EI EI - na rozhraní obou intervalů platí výše uvedené okrajové podmínk, tj. v místě x p dw dw musí být w1 w a 1 3 Fx p - protože pro x p je člen nulový a též jeho derivace je nulová, musí být 6EI C3 C 1 a C4 C. Jsou ted v obou intervalech stejná integrační znaménka. Stejným způsobem postupujeme, začíná-li na rozhraní dvou intervalů spojité zatížení. 4 C 3 x C 4

45 Mohrův způsob určení průhbové čár - postup se zakládá na analogických vztazích mezi průhbem a ohbovým momentem na jedné straně a ohbovým momentem a zatížením na straně druhé - Schwedlerova věta dt x dm0 x T x M q x T x x T(x) M(x) q(x) A T(x)+dT(x) M(x)+dM(x) dt Rovnici derivujeme podle x a dosadíme za a dostaneme x d M 0 diferenciální rovnici. řádu M 0x qx Srovnáme-li tuto rovnici s Bernoulliovou rovnicí průhbové čár d w M w E I

46 a je mezi nimi zřejmá analogie. Položíme-li wx M x Tf x pak platí wx x a x EI w Je možno získat ohbovou čáru x x řešením průběhu posouvající síl a ohbového momentu na fiktivním nosníku (vnitřní síl s indexem f). Výše uvedené zápis jsou matematickým vjádřením Mohrových vět: M f EI f x w a natočení 1. Úhel natočení v obecném místě nosníku je roven velikosti fiktivní posouvající síl na fiktivním nosníku od zatížení skutečnou momentovou plochou dělené konstantou EI.. Průhb v obecném místě nosníku je roven velikosti fiktivního ohbového momentu na fiktivním nosníku od zatížení skutečnou momentovou plochou dělené konstantou EI. Veličin, které si v analogii vzájemně odpovídají, vplývají ze srovnání diferenciálních rovnic: w M M EI q M dw EI x q T f dm

47 Fiktivní nosník je takový nosník, jehož fiktivní statické okrajové podmínk odpovídají geometrickým podmínkám skutečného nosníku. Tento fiktivní nosník, kterým nahrazujeme původní nosník při řešení ohbové čár jako výslednicové čár, nazýváme duálním ( sdruženým ) nosníkem. skutečný nosník duální nosník Duální nosník ted vtváříme tak, že a) kloubovou podporu na konci nosníku ponecháme beze změn b) volný konec nahradíme vetknutím c) vetknutí nahradíme volným koncem d) mezilehlou podporu nahradíme vnitřním kloubem e) vnitřní kloub nahradíme mezilehlou podporou Podpor původního nosníku a jemu odpovídajícího duálního nosníku jsou uveden na obrázku.

48 STABILITA TLAČENÝCH PŘÍMÝCH PRUTŮ Tělesa a soustav těles v mechanice obecně jsou v rovnováze. Kvalita rovnováh: Rovnováha: a) stabilní b) labilní c) indiferentní Ztráta stabilit diskrétní soustav zatížené tlakovou silou Diskrétní soustava soustava z prvků s danými mechanickými vlastnostmi (tuhost, hmotnost atp.)

49

50 Př. tuhý prut na rotačně odpruženém kloubu, zatížený tlakovou silou F Rovnice rovnováh na vchýlené soustavě Fl sin kz 0 a závislost poměrné síl F na úhlu ~ Fl F k z sin a její grafické znázornění Hodnota v bodě 0, kde vchází neurčitý výraz, se stanoví pomocí l Hospitalova pravidla 1 lim lim lim 1 0 sin 0 0 sin cos F ~ ~ a) Mezi bod 0 a B je F 1, 0 je stabilní poloha a je to podkritická oblast ~ b) Bod B je tzv., bifunkční bod, bod zdvojení rovnováh, poměrná síla F 1 a je to tzv. kritická síla. Soustava je v indiferentní rovnováze.

51 ~ F 1 c) Je-li, nachází se soustava v nadkritické oblasti. Charakteristika rovnováh Znalost nadkritické charakteristik umožňuje stanovit kritické zatížení soustav. Její všetření není snadné vzhledem k nelineární úloze. Již kritický stav je pro konstrukci nebezpečný a znalost nadkritického chování není příliš zajímavá. Technick důležité je ted stanovit kritické zatížení, aniž b blo potřeba znát nadkritické chování soustav.

52 Eulerovo řešení vzpěrné pevnosti prutu Euler věnoval pozornost chování pružných soustav V nejtěsnějším okolí bifunkčního bodu. Pojmem vzpěra označujeme v technické praxi štíhlé tlačené prut a jejich únosnost ( pevnost ) označujeme jako vzpěrná pevnost. Určení vzpěrné pevnosti spočívá ve výpočtu kritického břemene Fk, to je takové centrick působící tlakové síl, při níž se prut nachází v indiferentní rovnováze (při vchýlení se nevrací do původní přímé poloh, ale zůstává v nové poloze ). Tlačený prut

53 Prut na obou koncích kloubově podepřen Uvažujme vzpěru konstantního průřezu upevněnou na jednom konci kloubově a na druhém posuvně, zatíženou tlakovou silou F. Tato vzpěra bla dočasně působícím zatížením vchýlena ze svislé poloh. Ohbový moment v místě x bude ted roven M F w Ohbový moment na nosníku můžeme ovšem určit též pomocí diferenciální rovnice ohbové čár, podle které je d w M EI Ze srovnání obou výrazů pro ohbový moment dostáváme pak diferenciální rovnici ohbové čár při vzpěru d w EI F w 0 která má řešení F w C sin x C cos EI F EI x 1.

54 Integrační konstant určíme z okrajových podmínek: 1) V kloubu musí být průhb nulový, ted pro je w 0 C 0. ) Druhá okrajová podmínka vplývá z toho, že i v posuvné podpoře musí být průhb nulový, tj. pro x l je w 0 F C1 sin l 0 EI Tato podmínka má jednak triviální řešení C 1 0, které odpovídá stabilní rovnováze, jednak řešení pro kritické břemeno sin Fk Fk EI l 0 l k Fk k EI EI l kde k je celé číslo. Jako řešení dostáváme tak soustavu kritických břemen EI, 4 EI 9 EI F k, l l l,... EI Položíme-li F Fk do rovnice ohbové čár a současně dosadíme C 0, l dostává ohbová čára při vzpěru rovnici x w C1 sin. l x 0

55 Ohbová čára je ted jedna půlvlna sinusoid, bod s nulovou pořadnicí a současně i inflexní bod ohbové čár jsou na obou koncích nosníku. Položíme-li za tlakovou sílu F 4 EI druhý kořen rovnice F, dostáváme jako ohbovou čáru dvě půlvln sinusoid. l Indiferentní rovnováha nastává ovšem již při první velikosti kritického břemene, další kritická břemena odpovídají podepření kromě na koncích ještě v dalších uzlových bodech. Kritické břemeno pro k 1 nazýváme též Eulerovo břemeno. F k F E EI l Nejmenší kritické břemeno nastává pro nejmenší moment setrvačnosti, proto prut při vzpěru vbočuje vžd ve směru nejmenšího momentu setrvačnosti. Zavádíme ted do vzorce minimální moment setrvačnosti.

56 Prut na obou koncích vetknut Na horním vetknutém konci působí kromě osové síl F ještě moment ve vetknutí M0 a případně i posouvající síla T. Bude se ted ohbový moment v průřezu x rovnat M F w T l x M Vzpěra vetknutá oboustranně 0 a ze srovnání s diferenciální rovnicí ohbové čár vplývá d w EI F w T l x M 0 Je to diferenciální rovnice druhého řádu s pravou stranou. Nejmenší hodnota kritického břemene je pro k 1 EI F k l Na oboustranně vetknutém nosníku je kritické břemeno čtřikrát větší než na prostém nosníku, nosník (vzpěra) oboustranně vetknutý má čtřnásobnou únosnost.

57 Rovnice ohbové čár má tvar w M 0 x cos 1 F l Ohbová čára nosníku oboustranně vetknutého nosníku má inflexní bod (místa, kde je druhá derivace nulová) x l / 4 a x 3l / 4 ; vzdálenost inflexních bodů je l/. Centrick tlačená konzola Konzola Ohbové moment v místě x M Fw w 0, d w a protože je současně M EI, platí pro ohbovou čáru tlačené konzol diferenciální rovnice d w EI F w F w 0 První kritické břemeno EI F k l Kritické břemeno je ted na konzole čtřikrát menší než na prostém nosníku ( vzpěře ).

58 x Ohbová čára má rovnici w w0 1 cos l Vzdálenost inflexních bodů na ohbové čáře je l.. Prut na jednom konci vetknutý a na druhém podepřený posuvně V posuvné podpoře vzniká vodorovná složka reakce T. Ohbový moment v průřezu vzdáleném x od spodní podpor se bude rovnat M T l x F w d w Po dosazení za ohbový moment M EI dostáváme diferenciální rovnici ve tvaru d w EI F w T l x Kritické břemeno,0457 EI EI F k l 0,7 l Jednostranně vetknutý nosník

59 Vzpěrná délka Hodnotu kritického břemene můžeme ve všech případech vjádřit společným EI F k L kde L nazýváme vzpěrná délka. Vzpěrné délk jednoduchých vzpěr konstantního průřezu Kritické tlakové napětí Ab konstrukce neztratila stabilitu, nesmí tlaková síla přestoupit kritické břemeno Fk dané vzorcem. Je-li prut namáhán tlakovou silou Fk, vzniká v něm normálové napětí

60 F k k A Po dosazení za kritické břemeno Fk a s uvážením, že kritickém zatížení E I A i, dostáváme pro napětí při k L i Normálové napětí, které v nosníku nesmí být překročeno, ab prut neztratil stabilitu, je mimo modulu pružnosti E závislé na poměru vzpěrné délk L a (minimálního) poloměru setrvačnosti i. Tento poměr nazýváme štíhlostní poměr a označujeme λ, ted L i Při zavedení štíhlostního poměru dostáváme pro kritické napětí E k

61 Závislost mezi kritickým napětím a štíhlostním poměrem je to hperbola druhého stupně. Současně však nesmí normálové napětí v prutu přestoupit mez průtažnosti, kd deformace v prutu značně vzrůstají. je ted maximálně přípustné normálové napětí dáno čarou, která je pro hodnot E hperbola druhého stupně a T pro menší hodnot přímka. T Omezující křivka bývá v místě zlomu nahrazována parabolou, která má s hperbolou i přímkou společné tečn. Na obrázku je tato parabola nakreslena čárkovaně. Závislost maximálního normálového napětí a štíhlostního poměru Ovšem zrovna tak, jako při prostém tlaku nemůžeme v konstrukci ani její části připustit vznik napětí na mezi průtažnosti, ale pouze dovolené namáhání, nemůžeme ani při

62 vzpěrném tlaku připustit kritické napětí. Konstrukce musí mít ještě předem stanovenou bezpečnost proti ztrátě stabilit. Označíme-li tuto míru bezpečnosti písmenem k, nesmí napětí při vzpěru překročit hodnotu E k Toto mezní napětí vjadřujeme zlomkem dovoleného namáhání E dov k c kde c se nazývá součinitel vzpěrnosti a v pružném oboru, kde T, je roven k dov c E Součinitel vzpěrnosti c, který je vžd větší než l (při prostém tlaku c=1) obvkle neurčujeme pomocí vztahu, ale norm pro různý materiál jej udávají v závislosti na štíhlostním poměru ve formě tabulek. Při posuzování napětí v prutu na vzpěrný tlak potom F dov A c

63 KROUCENÍ VOLNÉ Moment síl F k libovolnému bodu kruhové tče K F l 1 namáhá tč momentem v kroucení, který vvozuje v průřezu smkové napětí. A A d k O Rozdělení smkových napětí kroucené válcové tče dk AA d k

64 Poměrný úhel zkroucení d k Po dosazení do Coulombova zákona k dk G Smkové napětí k k G je lineárně závislá funkce: napětí jsou rozdělena lineárně v průřezu směrem od středu k okraji, pro max se dosahuje maximálního zkosení a ted i smkového napětí na okraji xt max je smkové napětí v průřezu směrem od středu k okraji r

65 Síla na jednotku ploch moment dk xt xt da působí k ose nosníku na ramenu a vvolává tak da Integrací po celém průřezu potom kroutící moment K da Po dosazení za xt K A r max da r max A A xt da r max I p

66 Ve vzorci průřezu I p je polární moment setrvačnosti průřezu krouceného nosníku kruhového xt K I p max K I p K r W k kde W k je analogick s ohbem zavedená veličina, tzv. modul průřezu v kroucení Pro kruhový průřez I p 1 r 3 Wk r Pro mezikruží I p 1 r Wk r 4 1 r 1 r 4 Pro obdélníkový a čtvercový průřez je přesné řešení obtížné, neboť dochází k tzv. deplanaci průřezu, tj. zborcení rovinné ploch průřezu do křivé ploch. Modul průřezu v kroucení se neodvozuje z polárního momentu setrvačnosti, ale z průběhu napětí po průřezu. Řešení se provádí metodami matematické pružnosti. Základní vztah zůstávají v platnosti, průřezový modul v kroucení je vjádřen jiným způsobem.

67 Maximální hodnota smkového napětí je uprostřed delší stran max K max xz b h K W průřezový modul v kroucení je ted k W k b h Napětí stran x má maximální hodnotu uprostřed kratší K max x bh H:b 1 1, 1, ,08 0,19 0,31 0,46 0,67 0,9 0,31 0,333 0,08 0,196 0,180 0,155 0,118 0,0783 0,041

68 Deformace kroucené válcové tče Z dříve uvedených vztahů K max Gr max r I p K porovnáním dostaneme vztah GI p Z definice poměrného zkroucení (pro konstantní moment kroucení a průřez) d k K GI p Integrací lze získat průběh pootočení průřezu po délce nosníku.