Fakulta dopravní ČVUT Praha PRUŽNOST

Transkript

1 akulta dopravní ČVUT Praha PRUŽNOST Učební pomůcka pro kombinované studium Katedra mechanik a materiálů Doc.Ing. Michal Micka, CSc. Praha, květen 00

2 ZÁKLDNÍ POJMY VZTHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTI Napětí definujeme jako velikost vnitřní síl na jednotku ploch. Napětí jsou konečné podíl ds elementů vnitřních sil a ploch. Podle vnitřních sil zavádíme napětí celkové σ r =, napětí d dn dt normálové σ = ve směru normál k ploše a napětí tangenciální τ = ve směru tečném k ploše. d d Můžeme-li pokládat sílu S a její složk n, t za rovnoměrně S(σ r ) rozložené po ploše velikosti, určujeme napětí podílem vnitřní síl a ploch T(τ) S N T σ r =, σ =, τ = N(σ) φ Napětí má podle toho rozměr síla lomeno plochou, tad [ N/m ]. Tato jednotka má v mezinárodní soustavě jednotek SI označení pascal. n t Platí ted Pa = N/m = kgm s. Protože pascal je jednotka velmi malá, používá se v praxi Napětí celkové, normálové a obvkle jejích násobků. Jsou povolen násobk kpa ( kilosmkové pascal ) a MPa ( megapascal ), ted Pa = 0 kpa = 0 6 Pa. Označíme-li úhel mezi paprskem celkového napětí a normálou k ploše jako ϕ, bude platit: σ = σ r cosϕ τ = σ r sinϕ σ r = σ + τ Působením normálových sil se mění rozměr tělesa. Je-li rozměr ve směru síl před deformací l a po deformaci l, je rozdíl l = l l mezi délkou přetvořeného a nepřetvořeného tělesa skutečným ( absolutním ) protažením tělesa ve směru l. Má rozměr délk. Je-li protažení záporné, nazýváme je zkrácením. Rovnovážná soustava normálových sil, působících na těleso, se protahuje směrem působících sil a v příčném směru se stlačuje. Tažená tč se ted ve směru tahu prodlužuje, v příčném směru zužuje, tlačená se naopak ve směru působících sil zkracuje, v příčných směrech prodlužuje. Ze spojitosti pružného prostředí předpokládáme, že se podobně deformuje účinkem normálových sil prvek tělesa. Označujeme skutečným protažením veličinu danou rozdílem Protažení tělesa původní délk prvku ds a délk elementu po přetvoření ds s = ds ds Častěji než se skutečným protažením tělesa nebo elementu počítáme s poměrným protažením ε, které je poměrem skutečného protažení a původní délk, ted - -

3 l ds ε = nebo ε =, l ds které má znaménko shodné se skutečným protažením a jako poměr dvou délek je to veličina bezrozměrná. Tangenciální ( smková ) napětí způsobují posunutí bodů v rovině průřezu. Tím se mění původní pravé úhl v kosé. Označíme-li jako rozdíl posunutí dvou koncových bodů úsečk ab kolmé před deformací k průřezu a délku úsečk ab jako l, potom poměr rozdílu posunutí k délce kolmého vlákna d γ = nebo γ = l ds Relativní zkosení je poměrné zkosení. Je to obdobně jako relativní protažení hodnota bezrozměrná. Značí tangentu úhlu, o nějž se změnil úhel vlákna k průřezu. Protože se jedná o velmi malý úhel, lze ho zaměnit tangentou. Vložíme ocelovou tč poměrně značné délk l a malé průřezové ploch do čelistí trhacího stroje a zvšujeme tah. Můžeme předpokládat, že napětí je po průřezu rozděleno rovnoměrně a má hodnotu σ =. Měříme-li délku l tče mezi dvěma značkami vzdálenými před zkouškou l, pozorujeme, že tato délka se vzrůstem síl Tahová zkouška roste. S rostoucím napětím vzrůstá proto Pracovní diagram oceli

4 také poměrné protažení. Vznačíme.li závislost normálového napětí σ na poměrném protažení ε, dostaneme tzv. pracovní diagram. Tvar pracovního diagramu závisí na materiálu i jeho zpracování. Proto se pracovní diagram různých látek od sebe značně liší. Pracovní digram pro některé látk jsou na obrázku. Lze na nich též pozorovat, že některé látk se chovají odlišně v tahu a v tlaku. Na pracovním diagramu oceli pozorujeme, že až do určité hodnot napětí se vzrůstající deformací roste, avšak na konci nápadně klesá. Tuto nesrovnalost si vsvětlujeme tím, že na obrázku pracovního diagramu plně vtažená čára je sice vnesena podle skutečně působící tahové síl, avšak nepřihlíží ke změně průřezové ploch. Takovému napětí vpočtenému z původní průřezové ploch průřezu říkáme konvenční nebo jmenovité napětí. Ve skutečnosti se materiál v příčném směru zužuje, průřez jeví kontrakci. Při malé napínací síle je toto zúžení poměrně malé a nemusí se k němu přihlížet. Při určitém napětí se však průřez začne po celé délce tče úžit zřetelně, takže musíme pro výpočet skutečného napětí dosazovat do vzorce plochu menší než má nepřetvořený průřez, a napětí je pak ve skutečnosti větší, jak vznačuje na pracovním diagramu čárkovaná čára. Poměr napínací síl a skutečné ploch průřezu nazýváme skutečné napětí. Sledujme v pracovním diagramu závislost konvenčního napětí na poměrném protažení. Poměr přírůstku napětí a přírůstku deformace ( derivace napětí podle relativního protažení ). Poměr přírůstku napětí a přírůstku deformace ( derivace napětí podle relativního protažení ) dσ E = dε se nazývá modul pružnosti, přesněji modul pružnosti v tahu nebo tlaku. Bývá též nazýván Youngův modul pružnosti. U oceli a některých jiných látek roste protažení v oboru I lineárně, přímo úměrně k napětí, derivace napětí podle protažení je ted v tomto oboru konstantní a rovná se podílu napětí a protažení σ E = ε Pracovní diagram pro různé materiál: a)litina, b) bronz, c) mramor, d) beton, e) dřevo, f) kůže Modul pružnosti má stejný rozměr jako napětí. Lineární závislost napětí na deformaci platí, jen pokud napětí nepřestoupí určitou

5 hodnotu σ M, kterou nazýváme mez úměrnosti. Zmenšujeme-li spojitě zatížení působící na některý materiál, klesá deformace v závislosti na napětí podle téhož pracovního diagramu jako vzrůstající zatížení a při úplném odlehčení se tč zkrátí na původní délku. Říkáme, že materiál je dokonale pružný. Zachovává však úplnou pružnost jen potud, pokud napětí nepřestoupí hodnotu σ e, které říkáme mez pružnosti ( elasticit ). Obor zatížení až po tuto mez se nazývá pružný. Mez pružnosti se praktick mnoho neliší od meze úměrnosti, takže napětí a deformace v pružném oboru jsou úplně charakterizován modulem pružnosti a mezí pružnosti. Vzroste-li napětí, a tím i příslušná deformace, nad mez pružnosti, nastává plastické přetváření, obor plasticit. Ten je charakterizován daleko rchlejším vzrůstem deformace při rostoucím konvenčním napětí než v oboru pružném. Závislost relativního protažení na napětí neprobíhá v oboru II podle přímk a modul pružnosti v tomto oboru není stálý. Můžeme zde mluvit pouze o okamžitém modulu pružnosti, který je roven derivaci napětí podle relativního protažení. Deformace je v tomto oboru převáženě plastická, proto se při odlehčení nevrací zpět po čáře, Odlehčování v plastickém oboru která znázorňovala její růst, ale klesá zhruba podle rovnoběžk s přímkou platnou v pružném oboru. U látek tvárných ( plastických ) je plastický obor charakterizován mezí průtažnosti ( mezí kluzu ) σ T, tj. napětím, za něhož deformace začne vzrůstat velmi rchle, takže deformační čára probíhá v diagramu zhruba rovnoběžně s osou deformací a materiál se spojitě protahuje při téměř konstantním napětí σ = σ T. Ve výpočtech za stavu plasticit idealizujeme průběh napětí u meze průtažnosti podle Prandtla rovnoběžkou s osou ε, nebo mírně stoupající přímkou. Ve skutečnosti je při dosažení napětí na mezi průtažnosti napětí konstantní jen do určité relativní deformace a po ní deformační čára dále stoupá, materiál se zpevňuje. Maximální hodnota, kterou může jmenovité napětí dosáhnout, se nazývá mez pevnosti σ. Po překročení meze pevnosti materiál teče při současném značném zužování průřezu, až dojde k porušení tče tč se přetrhne. V technické praxi jsou používána normová označení jednotlivých charakteristik v pracovním diagramu oceli: R m je mez pevnosti, R je mez kluzu, R pr je mez úměrnosti Pracovní diagram popsaný při zkoušce ocelové tče je charakteristický pro materiál tvárné ( plastické ). p Výpočet za stavu plasticit: a) bez zpevnění b) b) se zpevněním

6 Křehké látk se přetvářejí jinak, zejména se u nich jeví náhlé porušení soudržnosti materiálu bez znatelné kontrakce průřezu. Plastické materiál jsou pro konstrukce daleko výhodnější. Porušují se totiž až po značně všší deformaci, kterou nás předem upozorní na nebezpečí porušení, kdežto křehké materiál povolují náhle při poměrně malé deformaci. Průběh namáhání též umožňuje u látek tvárných plastické vrovnání místních namáhání, rovněž lépe odolávají dnamickým účinkům. Plastické materiál se hodí na konstrukce namáhané tahem i tlakem, kdežto křehké materiál vzdorují tahu daleko méně než tlaku. Křehkost a tvárnost nejsou ovšem trvalými vlastnostmi materiálu, ale závisí i na různých okolnostech, zejména na zpracování ( např. kalení ), namáhání a teplotě. Může proto být tentýž materiál za různých okolností ve stavu více méně křehkém nebo plastickém. Z běžných stavebních látek je křehká litina, kámen a beton, houževnatá je ocel. Za nízkých teplot se materiál stává zpravidla křehčím. Výpočet konstrukcí v praxi zjednodušujeme předpokladem, že jde o látk stejnorodé čili homogenní, tj. stejné struktur a stejných vlastností ve všech bodech tělesa a izotropní, tj. takové, které mají ve všech směrech stejné materiálové vlastnosti. Ve skutečnosti se hmot řídí těmito předpoklad jen přibližně, avšak pro výpočt podle nauk o pružnosti a pevnosti předpoklad homogenit a izotropie materiálu praktick vhovují. Většinou namáháme materiál z různých důvodů ( bezpečnost, vloučení větších deformací apod.) jen po mez úměrnosti. Můžeme tudíž materiál idealizovat jako homogenní, izotropní a dokonale lineárně pružný modul pružnosti je konstantní. Matematick tento vztah vjádříme rovnicí σ = E ε nebo σ ε = E σ kde E je modul pružnosti, normálové napětí a ε relativní protažení. Rovnice vjadřuje základní vztah teorie pružnosti, tzv. Hookův zákon. Hookův zákon platí, jen pokud jsou splněn dva předpoklad: - napětí nepřestoupí mez úměrnosti - nepůsobí normálové napětí v příčných směrech. Působí-li totiž v příčných směrech další normálová napětí, mají rovněž vliv na přetvoření, mají rovněž vliv na přetvoření v uvažovaném směru. Z popisu tahové zkoušk víme, že síla působí protažení ve směru svého vektoru a současně příčnou kontrakci v kolmých směrech. Normálová napětí v kolmých směrech obdobně napětí σ samotné vvolává relativní deformace σ σ ε =, ε x = ε z = µ E E a napětí samotné vvolává relativní deformace σ z Normálové napětí σ ve směru os x vvolává kromě x protažení ve směru svého působení také zkrácení ve směrech, z ( záporné protažení ). Příčný rozměr se zkracuje ( relativně ) m krát méně, než se prodlužuje délka ve směru tahových sil. Číslo m se nazývá Poissonova konstanta a vžd musí být větší než. Převrácená hodnota Poissonov konstant se nazývá Poissonovo číslo a značí se µ ( v cizí literatuře také ν ). Napětí σ x ted vvolává relativní deformace σ x ε x σ x ε x =, ε = ε z = = µ E m E

7 σ z σ z ε z =, ε x = ε = µ E E Sečteme-li účink všech tří napětí na protažení ve směru x, dostaneme výsledné poměrné protažení ε x = ( σ x µσ µσ z ) E a v ostatních směrech ε = ( σ µσ x µσ z ) ε z = ( σ z µσ x µσ ) E E Tto závislosti udávají tzv. rozšířený Hookův zákon, jenž stanoví deformaci za současného působení normálových napětí ve třech kolmých směrech na zatěžovaný prvek. Mezi relativním zkosením a tangenciálním napětím platí vztah obdobný Hookovu zákonu τ γ = G kde γ je relativní zkosení, τ tangenciální napětí a G je tzv. modul pružnosti ve smku. Modul pružnosti v tahu E, modul pružnosti ve smku G a Poissonovo číslo µ jsou tři materiálové konstant, které v pružném oboru plně charakterizují daný materiál. Ovšem jen dvě materiálové konstant jsou na sobě nezávislé, protože mezi nimi platí vztah E G = ( + µ ) Přetvoření nevzniká jen působením zatížení, ale také podle fzik, různými dalšími vliv. V praxi je to zejména změna teplot a smršťování ( např. betonu ). Změna teplot vvolává v daném místě relativní protažení ε = ε = ε = α T x z kde T značí oteplení ve stupních Celsia a α je součinitel tepelné roztažnosti. Protože relativní roztažení je veličina bezrozměrná, musí být rozměr součinitele tepelné roztažnosti [ /C o ]. PROSTÉ PŘÍPDY PRUŽNOSTI Prut je konstrukční prvek, jehož jeden rozměr ( délka ) převládá nad ostatními rozměr ( průřez ). Střednice prutu spojuje ve směru délk těžiště všech podélných průřezů daného prutu. Na mšlený řez v zatíženém prutu působí vnitřní síl ohbový moment, normálná síla, posouvající síla. Prostorovou soustavu sil ( zatížení, reakce ) lze nahradit jedinou silou v těžišti průřezu a statickým momentem tzv. redukce síl k bodu. R T x M M střednice N N T R Vnitřní síl nosníku B

8 V rovině průřezu může ještě působit kroutící moment. Působí-li na průřez jen jediná složka vnitřních sil jedná se o prostý případ pružnosti.. Prostý tah a tlak Jedinou působící vnitřní silou na průřez prutu je normálná síla. V příčném směru nepůsobí žádná. σ x Ν x Tahové napětí z z d Platí Navierova hpotéza:. Osa prutu zůstane po přetvoření přímá.. Všechn bod dvou sousedních rovnoběžných průřezů kolmých k ose prutu zůstanou po deformaci rovinné a kolmé k ose prutu. + Z této hpotéz vplývá, že poměrná deformace je konstantní po celém průřezu. + ε x = = = konst a z ní dále vplývá podle Hookova zákona σ x = E ε x = konst. Oba vztah platí pro celý průřez. Součto vá podmínka rovnováh mezi napětím a vnitřní silou: N N σ x d = 0 N σ x d = 0 σ x = N N Prodloužení elementu prutu tahem Normálové napětí je při prostém tahu a tlaku po celém průřezu konstantní a je rovno normálové síle dělené plochou. M omentová podmínka rovnováh k ose : N σ z d = 0 σ d = 0 0 x x Protože σ x je konstanta, d je statický moment průřezu k těžišti, vplývá z momentové podmínk, že normálná síla musí procházet těžištěm ( statický moment průřezu k těžišti je nulový ). P ři excentrickém působení vvolává normálová síla k těžišti průřezu ještě ohbový moment a nejedná se o prostý tah či tlak. Použití a) pro návrh průřezu σ σ x dov N nutné σ dov nutné N σ dov

9 V praxi je rozdílné u skutečných materiálů nutné N( tah) N( tlak) σ nutné dov, t σ dov, d σ dov v tahu a tlaku. b) velikost deformace l = l x 0 l ε, a protože ε σ x E x =, ε x N l = a pro prut stálého průřezu E 0 N = E l = N E l 0 potom N l = E. Statick neurčitý tah nebo tlak Pro určení neznámých nám chbí tolik podmínek, kolikrát je soustava statick neurčií doplnit podmínkami deformačními. tá. Statické podmínk rovnováh se mus. Prostý ohb Jedinou vnitřní silou je ohbový moment, který působí v hlavní centrální rovině setrvačnosti průřezu. Navierova hpotéz a: Rovinné řez kolmé ke střednici nosníku před deformací zůstanou i po deformaci rovinné a kolmé k deformované střednici. Proto se mění lineárně též relativní přetvoření ε = B + C + D z, kde B, C, D jsou pro směr os x konstant. x z M M z h z d z z σ h σ x ( z) Statické podmínk rovnováh N xd Ohbové napětí v průřezu nosníku = σ v tomto výrazu σ = ε = E( B + C + D z) Potom M = σ z d x M x z E x = σ d x Normálná síla při čistém ohbu je nulová, moment působí jen k jedné hlavní ose průřezu, potom σ h

10 N = σ xd = E M ( B + C + D z) d = 0 = E z( B + C + D z) d M z = E ( B + C + D z) d = 0 Po úpravě těchto rovnic dostaneme B d + C d + D zd = 0, kde S x, S jsou statické moment průřezu, které jsou S z S k hlavním centrálním osám nulové, a z toho dostaneme podmínku B = 0 B = 0 ; M M d = D I = M B z d + C z d + D z a z toho D = ; E E S D z I B d + C d + D z d = 0 a z toho I = 0 C = 0 44 S z 44 I z 44 D z C z ( pozn.: jsou-li os, z hlavní centrální os setrvačnosti, je D z = 0 ). Potom ε M z M z x = σ x = E I I Neutrální osa je množina bodů, v nichž je normálové napětí nulové. N ávrh průřezu Napětí v nejvíce namáhaných vláknech průřezu nesmí přestoupit návrhovou hodnotu. M z d M zh σ dov, t σ dov, d I I Označíme-li I I I I z Wd = = Wh potom z σ z σ d = σ dov, t σ dov, d dov, t h dov, d Wd Wh kde W d, W h průřezový modul dolní a horní. Pak nutný průřezový modul pro dané namáhání ohbovým momentem je W nutné ± σ M dov Např. pro obdélník: I = bh bh h W h = W d = = bh 6 M M

11 Pro trojúhelník: / h / h bh W 6 h = = h 4 bh bh W 6 d = = h bh b TNGENCIÁLNÍ NPĚTÍ Z OHYBU Případ, kd na nosníku je jedinou vnitřní sílou ohbový moment, nejsou časté. Ve skutečnosti se spolu s ohbovými moment obvkle na nosníku vsktuje také posouvající síla. Představme si, že vtvoříme nosník tím způsobem, že na sebe položíme pět prken tloušťk h mezi sebou vzájemně nespojených. Únosnost průřezu je úměrná průřezovému modulu, pět prken bude mít průřezový modul 5 W 5 = 5 bh = bh 6 6 Nní prkna vzájemně slepíme, takže vznikne jeden nosník o výšce 5h. Průřezový modul tohoto nosníku bude 5 W = b( 5h) = bh Zvětšení únosnosti slepením 6 6 Slepením prken se průřezový modul nosníku zvětšil pětkrát. Je to tím, že lepidlo brání posunování prken vzájemně po sobě. Z uvedeného příkladu je vidět, že při ohbu nosníku vznikají mimo normálových napětí také napětí tangenciální. Jejich velikost vpočteme na základě Grashofov hpotéz, podle které předpokládápětí τ xz stálá v celé vrstvě vláken rovnoběžných s neutrální osou. me, že u smetrického průřezu zatíženého v rovině souměrnosti je složka tangenciálního na- Při označování tangenciálních napětí používáme dvojitého indexu. První index značí směr normál k rovině, v níž tangenciální napětí působí, a druhý index značí směr tohoto napětí. Napětí τ xz ted značí na pětí působí v rovině YZ a mající směr os Z. Oba index u tangenciálního napětí je možno zaměnit, neboť platí věta o vzájemnosti složek tangenciálního napětí, podle které τ = τ. Je ted možno výpočtu tangenciál- ij ji ních napětí za ohbu všetřit místo složk τ zx τ xz složku, která je stejně veliká a působí ve vodorovné rovině XY směrem podélné os X nosníku. Tangenciální napětí považujeme za kladné, pokud na ploše, u níž vnější normála má směr kladné os, má tangenciální napětí směr Kladné směr tangenciálních napětí

12 druhé os a na ploše, u níž vnější normála směřuje proti kladné ose, směřuje tangenciální napětí proti druhé ose. Oddělme z nosníku část omezenou dvěma sousedními průřez x, x+ a z horní části element až po vlákna vzdálená z od neutrální os. Ve směru os X působí na element v rovinách sousedních průřezů normálová napětí, která jsme všetřili z účinku ohbového momentu ( kladná jako tah) a na spodní elementu konstantní tangenciální napětí τ zx ( kladné proti směru os x ). Je-li v rovině průřezu o souřadnici x ohbový moment M, vvolává ve vzdálenosti ξ od neutrální os napětí M ξ σ x = I Výpočet tangenciálního napětí podle Grashofov hpotéz a na základnu elementu v průřezu x působí ve směru záporné os X kladná výslednice normálových napětí N x e σ M xd = d = I ξ M S = I z e z ze e Výraz ξ d je statický moment části průřezové ploch mezi zvoleným vláknem ξ = z a z krajním vláknem ξ = e k neutrální ose průřezu. Vloučíme-li element, kde se plocha průřezu náhle mění nebo kde je působiště osamělého zatěžovacího momentu, mění se N x mezi x a x+ spojitě. Na uvažovanou část sousedního průřezu o souřadnici x+ působí ve směru kladné os X výslednice normálových napětí N M S N x ze x N x N = + = x + x x I Tangenciální napětí dávají na spodní plošku elementu výslednici, která má při kladném zx τ zx τ směr záporné os X, a protože na této plošce je τ zx konstantní, je velikost výslednice tangenciálních napětí τ zx rovna τ zx η Součtová podmínka ro vnováh ve směru os X má tvar N x N x τ zx η = 0 odkud po dosazení za N dostáváme po úpravě x

13 M S ze τ = zx. η x I U prizmatického nosníku ( nosníku s konstantním průřezem ) je moment setrvačnosti průřezu I konstantní a ani se ve směru podélné os nosníku nemění statický moment S ze pro libovolná vlákna z. Jsou ted člen S ze a I vzhledem k souřadnici x konstant a ve výrazu je možno je vtknout před derivaci. Dostáváme tak S ze dm τ zx = η I a protože podle Schwedlerov vět je derivací ohbového momentu M posouvající síla T, dostáváme pro prizmatický nosník následující výraz pro tangenciální napětí za ohbu T Sze τ xz = τ zx = I η kde τ xz = τ zx je tangenciální napětí v průřezu x ve vláknech vzdálených z od těžišťové os, T je posouvající síla v průřezu x, I je moment setrvačnosti celého průřezu v místě x, S ze je statický moment k těžišťové ose části průřezu nad vlákn z až po horní okraj průřezu a η je šířka průřezu ve výšce z nad těžišťovou osou. Protože statický moment celého průřezu k těžišťové ose musí být nulový ( tak je definováno těžiště ), je možno tam, kde je to výhodnější, počítat S ze jako záporně vzatý statický moment k těžiště ose části průřezu pod vlákn z až po dolní okraj průřezu. Protože na horním i spodním okraji je statický moment nulový ( statický moment nulové poloh ) je na horním i spodním okraji průřezu tangenciální napětí nulové. Na obvodě průřezu musí mít výsledné tangenciální napětí směr tečn k průřezu. to to tvrzení vplývá přímo ze zákona o vzájemnosti tangenciálních napětí. Pokud b se totiž vsktovala nenulová složka τ n ve směru normál k obrsu, musela b dle tohoto zákona existovat i stejně veliká složk a v kolmé rovině, ted tangenciální napětí mezi nosníkem a vzduchem. protože takové napětí na nezatížené, okraji nemůže existovat, musí být nulová i složka τ n tangenciálního napětí na obvodu. Jak bla uvedeno na začátku tohoto odstavec, uvažujeme průřez smetrické podle svislé os Z. Ze smetrie průřezu vplývá, že na ose smetrie má tangenciální napětí směr os smetrie. Nakreslíme vektor výsledného tangenciálního napětí v obou bodech na obrsu ve vláknech stejně vzdálených od os Y, protnou se vzhledem k smetrii průřezu tto vektor na ose smetrie. Do stejného bodu směřuje i vektor tangenciálního napětí v bodech smetrie. Je ted oprávněný předpoklad, že i v ostatních bodech těchto vláken bude vektor tangenciálního napětí směřovat do téhož bodu. Takže vektor tangenciálního napětí ve všech bodech průřezu, stejně vzdálených od neutrální os, se protínají v témž bodě na ose smetrie. Označíme-li úhel mezi osou souměrnosti a spojnicí obecného bodu a průsečík vektorů tangenciálních napětí jako ω, bude závislost výsledného napětí τ obecném bodě a jeho svislým průmětem τ xz τ xz τ = cosω Protože složka napětí τ xz je ve vláknech se stejnou souřadnicí z konstantní bude největší výsledné napětí tam, kde je cosω nejmenší a ted úhel ω největší, to je na obvodě průřezu. označíme-li úhel mezi teč nou k obrsu a svislou osou smetrie jako ϕ, bude výsledné tangenciální napětí τ 0 na obvodu průřezu po dosazení rovno T S τ ze 0 = η cosϕ I

14 τ T S η cosϕ ze 0 = I Protože napětí na obvodu je ze všech napětí ve vláknech se stejnou souřadnicí největší, stačí pro posouzení průřezu ne tangenciální napětí stanovit průběh obvodových napětí a z nich T největší tangenciální napětí vůbec. Podíl je na celém průřezu konstantní a proto největší tangenciální napětí v průřezu bude na jeho obvodu v místě, kde d S ze = 0 dz η cosϕ Příklad: I

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24 OHYBOVÁ ČÁR Z PROSTÉHO OHYBU Podle přijaté hpotéz o deformaci prvku ohbem zůstávají rovinné průřez po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. Přímá vlákna k nim kolmá se zakřivují. Při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která také obsahuje osu nosníku ( spojnice těžišť všech průřezů ). Druhá hlavní centrální osa setrvačnosti je v každém průřezu osou neutrální. b se neporušila rovnováha, musí rovina vnějších sil i po přetvoření obsahovat výslednici sil vnitřních, a ted také osu nosníku. Přetvořené ose nosníku říkáme ohbová čára. Je to rovinná křivka. Určení deformace nosníku namáhaného na ohb záleží ve výpočtu ohbové čár; známe-li ji, najdeme polohu kteréhokoli bodu nosníku po přetvoření z předpokladů, jež jsme zavedli o deformaci za ohbu. Tto předpoklad se vcelku u pružných látek potvrzují experimentálně, pokud není poměr výšk průřezu k rozpětí nosníku větší než asi jedna pětina, což bývá v praxi splněno. Vlivu posouvajících sil na přetvoření obvkle nedbáme ( předpokládáme čistý ohb ). Tento předpoklad se hrubě rozchází se skutečností jen u krátkých nosníků ( poměr výšk nosníku k rozpětí je v rozmezí jedna pětina až jedna polovina ), dále u nosníků úzkých a vsokých nebo u těch, jejichž průřez se náhle mění. Jestliže výška nosníku je větší než přibližně polovina rozpětí, je třeba takovéto případ všetřovat jako tzv. nosné stěn. V teorii prostého ohbu nosníku také předpokládáme, že jde o pružný materiál, jehož chování se řídí Hookovým zákonem. Dalším předpokladem je, že kolmo k ose nepůsobí žádná normálová napětí; v opačném případě b blo třeba aplikovat zobecněný zákon Hookův. I tato přibližnost je dovolená a můžeme ji posoudit, představíme-li si, že např. na horním povrchu trámu nepatrné šířk jen 0, m od zatížení 0 kn/m vzniká svislé normálové napětí σ z 0, MPa, což je i v tomto nepříznivém případě proti normálovým napětím, w x která vznikají v podélných vláknech hospodárně navržených nosníků, zanedbatelné. Nepřihlíží se ani k vlivu zkrácení Pohb posuvné podpor při ohbu nosníku os. Neutrální osa při prostém ohbu protíná osu, délka ohbové čár je ted stejná jako délka nepřetvořené os. Protože ale je nejkratším spojením podporových bodů přímá osa, nemohou podpor zůstat po přetvoření ve své poloze, ale musí se posuvná podpora přiblížit k pevnému kloubu. Proto je pohblivost jedné podpor nutná. však ve výpočtu ohbové čár v klasické pružnosti toho nedbáme a počítáme jen pořadnice ohbové čár jako odchlk těžišť z původní poloh v rovinách nepřetvořených řezů, určujeme ted ohbovou čáru jako w = w( x). Označme posunutí ve směru podélné os u X obecného bodu jako u a u. Z předpokladu rovinnosti kolmých průřezů po deformaci vplývá, že u se po průřezu mění lineárně, a při prostém ohbu w v rovině XZ je u na nezávislé. Označíme-li úhel mezi původní rovinou průřezu u rovinou průřezu po deformaci jako ϕ, φ z můžeme posunutí u vjádřit vztahem u = z tgϕ = & z ϕ. φ Průhb střednice označme w. Podle Navierov hpotéz dále předpokládáme, že Prostý ohb nosníku průřez zůstanou kolmé k deformované

25 střednici. Úhel ϕ je současně úhlem mezi ohbovou čarou a osou X, ted dw tg ϕ =. U většin konstrukcí jsou průhb i pootočení ϕ velmi malé. Můžeme proto předpokládat, že vodorovné posunutí u je přibližně rovno u, ted 4 u = u cosϕ = u ( ϕ + ϕ... ) = & u Po úpravě předchozích vztahů dostaneme dw u = z Relativní protažení je definováno jako podíl prodloužení vláken a původní délk vláken, tj. u du ε x = = du d dw d w Po derivování podle x platí = z = z. M z Pro poměrné prodloužení při prostém ohbu platí ε x =. Porovnání výrazů dostaneme E I M z du d w d w M = ε x = = z a z toho =. E I E I Tato rovnice představuje diferenciální rovnici druhého řádu pro výpočet ohbové čár a je označována jako Bernoulliova rovnice průhbové čár. Tuto diferenciální rovnici můžeme dvakrát integrovat a dostaneme postupně d w M dw M M = = + C E I w = + Cx + C E I E I M Rovnici můžeme psát v úseku, v němž je možno zlomek vjádřit jedinou funkcí. Je ted třeba pro výpočet ohbové čár rozdělit nosník na integrační interval. Interval musí být volen tak, ab uvnitř žádného intervalu nebl žádný bod, v němž se mění rovnice ohbového momentu, momentu setrvačnosti nebo modulu pružnosti. Nesmí být ted uvnitř intervalů působiště osamělých břemen nebo osamělých momentů, začátek nebo konec rovnoměrného zatížení, začátek nebo konec náběhu, místa náhlé změn momentu setrvačnosti apod. Máme-li n integračních intervalů, dostaneme při vjádření průhbů celkem n integračních konstant, v každém intervalu dvě. Integrační konstant určujeme pomocí okrajových podmínek, tj. podmínek na koncích nosníku a podmínek spojitosti ohbové čár, které pro jednotlivé tp okrajů jsou tto: a) v místě kloubové podpor nebo posuvné podpor je průhb nulový, tj. w = 0 dw b) v místě vetknutí je průhb a pootočení nulové, tj. w = 0 ; = 0 c) na rozhraní mezi i-tým a i+-ním intervalem je ohbová čára spojitá a spojité jsou i první derivace ; dw dw i = i + = w w i i+ d) v místě vnitřního kloubu mezi i-tým a i+-ním intervalem je ohbová čára spojitá, tj. wi = wi+ Tp okrajů jsou vkreslen na obrázku.

26 a) b) c) d) w= 0 w= 0 w= 0 w = 0 dw = 0 i w = w i dϕ i i+ = i+ dϕ i+ i i+ w i = w i + U nosníků smetrických a smetrick zatížených je i ohbová čára souměrná. Můžeme ted řešit u smetrických konstrukcí pouze polovinu nosníku a na ose smetrie psát okrajovou podmínku ve tvaru dw sm : = 0 U konstrukcí statick určitých dostáváme tolik okrajových podmínek, kolik je na konstrukci integračních konstant ohbové čár. Tím je vjádřeno, že konstrukce statick určité jsou současně tvarově určité. U konstrukcí statick přeurčitých ( tvarově neurčitých ) dostáváme menší počet rovnic, něž je počet integračních konstant, nelze integrační konstant určit. U konstrukcí statick neurčitých je počet rovnic větší než počet integračních podmínek, je větší o stupeň statické neurčitosti. Pro stanovení reakcí za statických podmínek rovnováh nám právě toto množství rovnic chbělo. Můžeme ted pomocí diferenciální rovnice ohbové čár řešit nejen ohbovou čáru konstrukcí statick určitých a neurčitých, ale i reakce a průběh vnitřních sil na konstrukcích statick neurčitých. Při výpočtu ohbové čár není nutné zachovávat stejný souřadný sstém pro všechn interval, dokonce je možno uvažovat v některých intervalech souřadný sstém x = l x zprava. Je ovšem třeba dát pozor při dosazování souřadnic do okrajových podmínek, abchom v intervalu uvažovali souřadnice vztažené k použitému souřadnému sstému a dále na to, že platí dw dw = = Počet integračních konstant je roven dvojnásobku počtu intervalů, což nebývá vžd malé číslo. Např. při výpočtu ohbové čár na prostém nosníku zatíženém čtřmi osamělými břemen je pět integračních intervalů a musíme ted řešit soustavu deseti lineárních rovnic o deseti neznámých. Této nepříjemné záležitosti se můžeme na nosníku konstantního průřezu vhnout, vužijeme-li Clebschovo řešení. Clebschovo řešení. Tento postup redukuje počet integračních konstant až na dvě tím, že jednotlivé člen funkce ohbového momentu vjadřuje různými, vhodně volenými parametr. Je-li na rozhraní dvou intervalů působiště osamělého břemene, případně osamělého momentu, budou s výraz pro ohbový moment nalevo a napravo od osamělého břemene lišit pouze o člen M = ( x p).

27 Označíme-li ted ohbový moment v intervalu roven M ( x) = M( x) ( x p) Při integraci diferenciální rovnice pak obdržíme ( ) w M x = + Cx + C w = M + C x + C M ( x), bude ohbový moment v intervalu ( x) ( x p) M ( x) ( x p) 4 = M + Cx + C ( x) ( x p) + 4 = + C x + C Na rozhraní obou intervalů platí výše uvedené okrajové podmínk, takže v místě x = p musí být w = a w dw = dw ( x p). protože pro x = p je člen nulový a též jeho derivace je nulová, musí být C = C a 6 p x-p x C 4 = C. Jsou ted v obou intervalech stejná integrační Osamělé břemeno znaménka. Stejným způsobem postupujeme, začíná-li na rozhraní dvou intervalů spojité zatížení. Např. pro rovnoměrné zatížení q se výraz pro ohbové moment v intervalech a 4 budou lišit o člen M = q ( x p ), q 4 q 5 6 p x-p x Začátek spojitého zatížené p x-p x Konec spojitého zatížení takže po integraci se výraz pro průhb budou lišit o člen ( ) ( ) ( ) w M x 4 q x p = = q x p = 4 I tento člen je na rozhraní intervalů, tj. x = p nulový a nulová je též jeho první derivace, proto integrační konstant v obou sousedních intervalech budou opět stejné. V případě, kd na rozhraní intervalů spojité zatížení končí, navodíme stejné podmínk jako v případě začínajícího spojitého zatížení tím, že spojité zatížení prodloužíme dále za rozhraní x = p a toto přidané zatížení q zrušíme přidáním záporného zatížení q, začínajícího na

28 rozhraní x = p. Bude ted v levém intervalu ohbový moment od spojitého zatížení ( bl-li jeho počátek v místě x = 0 ) roven M 5 = qx a v pravém intervalu, kde je zvětšen o zatížení opačného smslu, bude M 6 = qx + q ( x p) Mohrův způsob určení průhbové čár Tento postup se zakládá na analogických vztazích mezi průhbem a ohbovým momentem na jedné straně a ohbovým momentem a zatížením na straně druhé. Připomeňme si nejprve si nejprve Schwedlerovu větu pro rovinný ohb, tj. vztah mezi funkcemi q(x) q ( x), T ( x) a M 0(x). T(x) Ze součtové výmink rovnováh ve svislém směru T ( x) q( x) T ( x) dt ( x) = 0 dt ( x) plne = T ( x) = q( x) Z momentové rovnováh k bodu M(x)+dM(x) ( ) M(x) M 0 ( x) + T ( x) q x M 0( x) dm 0( x) = 0 T(x)+dT(x) po zanedbání účinku členu q( x) jako nekonečně malého.řádu, dostaneme dm 0 ( x) ( ) = M x = T d M 0 x = M 0 ( x) = q( x) Srovnáme-li tuto rovnici s Bernoulliovou rovnicí průhbové čár d w M = w = E I T f ( x) pak platí w ( x) = ϕ ( x ) = a ( x) ( x) dt Rovnici derivujeme podle x a dosadíme za a dostaneme diferenciální rovnici. řádu ( ) ( ) je mezi nimi zřejmá analogie. Položíme-li w ( x) = M f ( x) a M x M f w = ( x) Vidíme, že je možno získat ohbovou čáru w( x) a natočení ϕ( x) řešením průběhu posouvající síl a ohbového momentu na fiktivním nosníku. Výše uvedené zápis jsou matematickým vjádřením Mohrových vět: = q f

29 . Úhel natočení v obecném místě nosníku je roven velikosti fiktivní posouvající síl na fiktivním nosníku od zatížení skutečnou momentovou plochou dělené konstantou.. Průhb v obecném místě nosníku je roven velikosti fiktivního ohbového momentu na fiktivním nosníku od zatížení skutečnou momentovou plochou dělené konstantou. Veličina, které si v analogii vzájemně odpovídají, vplývají ze srovnání diferenciálních rovnic: M dw dm w M q ϕ = T = iktivní nosník je takový nosník, jehož fiktivní statické okrajové podmínk odpovídají geometrickým podmínkám skutečného nosníku. Tento fiktivní nosník, kterým nahrazujeme původní nosník při řešení ohbové čár jako výslednicové čár, nazýváme duálním ( sdruženým ) nosníkem. Je-li původní nosník statick určitý, je statick určitý i duální nosník ( vodorovné reakce jsou vesměs nulové a uvažujeme pouze jedinou vazbu přenášející vodorovnou sílu ). Podle výše uvedených zásad původní prostý nosník bez převislých konců můžeme ponechat beze změn i pro řešení ohbové čár jako duální nosník, protože na obou koncích prostého nosníku jsou průhb nulové a současně i ohbové moment nulové. U konzol požadujeme, ab ve vetknutí bl průhb w a natočení ϕ nulové, ale ohbový moment a posouvající síla jsou současně nulové na volném konci. Je ted třeba, ab na fiktivním nosníku zatíženém redukovaným momentovým obrazcem bl zaměněn volný konec za vetknutí a vetknutí za volný konec. Řešíme-li ohbovou čáru nosníku s převislým koncem, potom obdobně jako u konzol zaměňujeme volný konec vetknutím. V místě mezilehlé podpor potřebujeme, ab průhb bl nulový a pootočení vlevo a vpravo od podpor blo stejné. podporou na fiktivním nosníku, která zajišťuje nulový ohbový moment a stejnou posouvající sílu zleva a zprava je vnitřní kloub. Naopak při řešení ohbové čár v okolí vnitřního kloubu na nosníku je potřeba, ab průhb nalevo a napravo bl stejný, pootočení může být různé. Nahrazujeme ted vnitřní kloub na fiktivním nosníku mezilehlou podporou, u níž je ohbový moment vlevo a vpravo stejný a posouvající síla se může lišit ( o velikost reakce v podpoře ). skutečný nosník duální nosník Duální nosník ted vtváříme tak, že a) kloubovou podporu na konci nosníku ponecháme beze změn b) volný konec nahradíme vetknutím c) vetknutí nahradíme volným koncem d) mezilehlou podporu nahradíme vnitřním kloubem e) vnitřní kloub nahradíme mezilehlou podporou Podpor původního nosníku a jemu odpovídajícího duálního nosníku jsou uveden na obrázku.

30

31

32 Určete Clebschovou metodou ohbovou čáru nosníku s konstantním průřezem a konstantním modulem pružnosti zatíženého dle obrázku. Nosník je jednou statick = 0 kn neurčitý, proto nemůžeme f = kn/m reakce určit z podmínek rovnováh. Víme, že v podpoře a a bude jedna zatím neznámá I II b reakce, proto si schéma upravíme podle druhého obrázku. Uvolníme vazbu a za- x 4m m vedeme sílu a dále v úseku II dosáhneme nulového rovnoměrného zatížení tak, že = 0 kn přidáme zespoda v opačném f = kn/m směru působící stejně veliké rovnoměrné zatížení f. Tak b dostaneme jako základní a schéma konzolu, která je statick určitá a můžeme na ní f = kn/m vjádřit ohbový moment. I II Úsek I f Ohbový moment M = x x = x x Integrací vztahu pro průhbovou čáru dostaneme w = M = x x w = x x + C x x w = + Cx + C 6 Úsek II f f M = x x = x x w = w = 0 x x 4 = x x ( x 4) + ( x 4) = x x 0 ( x 4) + ( x 4) ( x 4) + ( x 4) 0 ( x 4) + ( x 4) x x 0 w = 6 6 Zavedeme okrajové deformační podmínk: w w = w = 0 a = b b x x 0 4 ( x 4) + ( x 4) ) Pro x = 0 : w = 0 C = 0 4 ( x 4) + ( x 4) + Cx + C + C = ) Pro x = 6 : w = 0

33 ( 6 4) + ( 6 4) + C 6 = ,+,+ C 6 = C = 0 C = 0 6 ) Pro x = 6 : w = C C 8 89, + C ( 6 4) ( 6 4) = 0 = 0 = 0 a po dosazení za C 8 89, = 0 69, = 0 = 5,77 kn C = 4,65 Potom můžeme popsat průhbovou čáru v I a II oblasti funkcemi: w I w II x = 5,77 6 x = 5, x 4,65x 4 x 5 4 ( x 4) + ( x 4) 4,65x

34 Vzpěrná pevnost Stabilita pružných soustav Doposud jsme se zabývali pouze takovými případ, kd je napětí v průřezu přímo úměrné zatížení. Zvětšujeme-li zatížení, vzrůstá úměrně tomu i napětí v tělese, až při jistém zatížení dojde k porušení tělesa přetržením, rozdrcením nebo usmknutím. le můžeme se setkat i s jiným způsobem porušení konstrukce. Na obrázku je uveden jednoduchý příklad trojkloubového oblouku, který se skládá ze dvou přímých prutů délk l a je zatížen ve středním kloubu osamělým břemenem. Pokud je vzepětí oblouku h oproti rozpětí a dostatečně velké, můžeme osové síl v prutech vpočítat z podmínek rovnováh na nepřetvořené konstrukci S = sinα Ovšem, kdž je vzepětí oblouku malé, vvolává zkrácení prutů vlivem osových sil značnou změnu úhlu α může dojít i k tomu, že účinkem břemene vznikne v prutech napětí z načně menší než přípustná mez, ale stlačení prutů bude takové, že střední kloub poklesne na úroveň obou krajních kloubů. V této poloze se ovšem nemůže udržet, dochází k propadnutí konstrukce. ačkoliv v tomto případě nebla pevnost materiálu ještě zdaleka včerpána, je konstrukce nepoužitelná. Říkáme, že ztratila stabilitu, a břemeno, při němž ke ztrátě stabilit dochází, nazýváme kritickým břemenem. Rovnováha: a) stabilní b) labilní c) indiferentní Konstrukce se může nalézat v rovnováze stabilní, labilní nebo indiferentní. Rozdíl mezi těmito třemi druh rovnováh můžeme ukázat na příkladu z mechanik tuhých těles. Jestliže umístíme kuličku do duté misk, potom při vchýlení se její těžiště zvedá, čímž se zvětšuje její potenciální energie. Proto v okamžiku, kd vnější síla přestane působit, vrací se kulička zpět do původní poloh. Říkáme, že kulička v duté misce je v rovnováze stabilní. Umístímeli kuličku na vrchol vpuklé misk, potom při jejím posunutí těžiště klesá. I kdž vnější síla přestane působit, kulička pokračuje dále v pohbu. Říkáme, že kulička na vrcholu vpuklé ploch je v rovnováze labilní. Rozhraní mezi uvedenými dvěma rovnováhami tvoří případ, kd kuličku umístíme na rovnou plochu. Při jejím posunutí zůstává těžiště ve stejné výšce, kulička může být v klidu v jakékoli poloze. Kulička na rovině je v rovnováze indiferentní. Obdobně mohou nastat tto případ rovnováh u tlačeného štíhlého prutu. Uvažujme prut zatížený osovou silou a vchlme jej ze svislé poloh dočasně působící silou. Pokud je síla malá, potom se po ukončení působení síl prut vrací zpět do svislé poloh je v rovnováze stabilní. Vzrůstá-li síla, pak při její určité velikosti je možno prut nepatrně vchýlit do libovolné poloh. V této vchýlené poloze zůstane je v rovnováze indiferentní.

35 Eulerovo řešení vzpěrné pevnosti. Pojmem vzpěra označujeme v technické praxi štíhlé tlačené prut a jejich únosnost ( pevnost ) označujeme jako vzpěrná pevnost. Určení vzpěrné pevnosti spočívá ve výpočtu kritického břemene k, to je takové centrick působící tlakové síl, při níž se prut nachází v indiferentní rovnováze ( při vchýlení se nevrací do původní přímé poloh, ale zůstává v nové poloze ). Uvažujme vzpěru konstantního průřezu upevněnou na jednom konci kloubově a na druhém posuvně, zatíženou tlakovou silou. Tato vzpěra bla dočasně působícím zatížením vchýlena ze svislé poloh. Průhb v obecném průřezu vzdáleném od spodní podpor o x označme w. Ze tří statických podmínek rovnováh vplývá, že jedinou reakcí je svislá složka v kloubu, která má velikost. Ohbový moment v místě x bude ted roven M = w Tlačený prut Ohbový moment na nosníku můžeme ovšem určit též pomocí diferenciální rovnice ohbové čár, podle které je d w M = Ze srovnání obou výrazů pro ohbový moment dostáváme pak diferenciální rovnici ohbové čár při vzpěru d w + w = 0 která má řešení w = C sin x + C cos x. Integrační konstant určíme z okrajových podmínek. V kloubu musí být průhb nulový, ted pro x = 0 je w = 0 C = 0. Druhá okrajová podmínka vplývá z toho, že i v posuvné podpoře musí být průhb nulový, tj. pro x = l je Vzpěra podepřená kloubem a posuvem Položíme-li = k π = l ohbová čára při vzpěru rovnici w = 0 C sin l = 0 Tato podmínka má jednak triviální řešení C = 0, které odpovídá stabilní rovnováze, jednak řešení pro kritické břemeno k k π sin l = 0 l = k π k = k l kde k je celé číslo. Jako řešení dostáváme tak soustavu kritických břemen k = π 4π 9π,,,... l l l do rovnice ohbové čár a současně dosadíme C = 0, dostává πx w = C sin. Ohbová čára je ted jedna půlvlna l

36 sinusoid, bod s nulovou pořadnicí a současně i inflexní bod ohbové čár jsou na obou 4π koncích nosníku. Položíme-li za tlakovou sílu druhý kořen rovnice =, dostáváme l jako ohbovou čáru dvě půlvln sinusoid. Indiferentní rovnováha nastává ovšem již při první velikosti kritického břemene, další kritická břemena odpovídají podepření kromě na koncích ještě v dalších uzlových bodech. Kritické břemeno pro k = nazýváme též Eulerovo břeme- no. Je-li prut na obou koncích vetknut, působí na hor- ním vetknutém konci kromě osové síl ještě moment ve vetknutí M 0 a případně i posouvající síla T. Bude se ted ohbový moment v průřezu x rovnat M = w + T ( l x) + M 0 a ze srovnání s diferenciální rovnicí ohbové čár vplývá π k = E = l Nejmenší kritické břemeno nastává pro nejmenší moment setrvačnosti, proto prut při vzpěru vbočuje vžd ve směru nejmenšího momentu setrvačnosti. Zavádíme ted do vzorce minimální moment setrvačnosti. d w + w = T ( l x) M 0. Rovnice představuje diferenciální rovnici oboustranně vetknuté vzpěr. Je to diferenciální rovnice druhého řádu s pravou stranou. Její řešení je rovno součtu řešení w homogenní diferenciální rovnice a partikulárního integrálu, který má např. tvar T ( l x)+ M 0 w p = Obecné řešení ted je T ( l x) M 0 w C sin + = x C x + cos Vzpěra vetknutá oboustranně Reakce i ohbová čára vzpěr po obou stranách vetknutí jsou smetrické, musí ted vodorovná složka reakce v horním i v dolním vetknutí být stejně veliká a mít i stejný smsl. Současně ale musí platit součtová výminka rovnováh ve vodorovném směru. obojí současně splňuje pouze nulová posouvající složka reakce T = 0 Rovnice ohbové čár se tak zjednodušuje na M 0 w = C sin x + C cos x Ve vetknutí musí být průhb i pootočení (první derivace ohbové čára) nulové, takže musí být splněn podmínk:

37 M x = 0 w = 0 C 0 = 0 x = 0 x = l x = l dw = 0 w = 0 dw = 0 C C C sin = 0 l + C cos cos l + C M l sin 0 = 0 l = 0 M 0 Z první podmínk získáme C = a z druhé C = 0. Po dosazení těchto konstant do třetí a čtvrté rovnice vchází M 0 cos l = 0 M 0 sin l = 0 Tto podmínk mají jednak triviální řešení M 0 = 0, které odpovídá stabilní rovnováze, jednak řešení k π l = k π k = k l Nejmenší hodnota kritického břemene je pro k = π k = l Vidíme, že na oboustranně vetknutém nosníku je kritické břemeno čtřikrát větší než na prostém nosníku, nosník (vzpěra) oboustranně vetknutý má čtřnásobnou únosnost. Dosadíme-li za tlakovou sílu kritické břemeno do rovnice ohbové čár, dostaneme M 0 πx w = cos l Ohbová čára nosníku oboustranně vetknutého nosníku má inflexní bod (místa, kde je druhá derivace nulová) x = l / 4 a x = l / 4 ; vzdálenost inflexních bodů je l/. Uvažujme nní konzolu centrick tlačenou. Označíme-li průhb volného konce konzol jako w 0, budou ohbové moment v místě x M = w0 w, ( ) a protože je současně M = rovnice d w + w = w 0 w d, platí pro ohbovou čáru tlačené konzol diferenciální

38 Konzola Řešení se opět sestává z obecného řešení homogenní diferenciální rovnice a partikulárního integrálu, který je w = w0. Ohbová čára konzol má ted rovnici w = C sin x + C cos x + w0 Pro neznámé C, C, w 0 máme tři geometrické okrajové podmínk x = w = 0 C + w 0 dw x = 0 = 0 x = l 0 0 = w = w 0 C C sin = 0 l + C cos l = 0 Z prvních dvou rovnic vplývá C = w0, C = 0 takže třetí rovnice má po dosažení tvar w0 cos l = 0, a netriviální řešení má jen v případě, kd k π l = + k π. Pro k = 0 dostáváme první kritické břemeno π k = ( l) Kritické břemeno je ted na konzole čtřikrát menší než na prostém nosníku ( vzpěře ). Ohbová čára má rovnici π x w = w 0 cos l, vzdálenost inflexních bodů na ohbové čáře je l. Máme-li prut, který je na jednom konci vetknutý a na druhém podepřený posuvně, vzniká v posuvné podpoře vodorovná složka reakce T. Ohbový moment v průřezu vzdáleném x od spodní podpor se bude rovnat M = T l x + ( ) w d w Po dosazení za ohbový moment M = dostáváme difex) renciální rovnici ve tvaru d w + w = T ( l T ( l x) tato rovnice má partikulární řešení w p = a po sečtení s obecným řešením homogenní diferenciální rovnice dostáváme rovnici ohbové čár Jednostranně vetknutý nosník

39 w = C sin x + C cos x T (l x) Rovnice musí splňovat geometrické okrajové podmínk x = 0 w = 0 C T l x ( ) dw x = 0 = 0 C + T = 0 x = l w = 0 C sin l + C cos l = 0 Jedná se o soustavu tří lineárních rovnic pro neznámé C, C, T. Soustava má nulové pravé stran, takže netriviální řešení existuje pouze tehd, kdž determinant soustav je nulový, ted 0 l 0 = 0 sin l cos l 0 Rozepsáním determinantu dostáváme podmínku sin l l cos l = 0 Dělíme-li tuto rovnici cos l, dostáváme transcendentní rovnici tg l = l, která má řešení,0457π π l =,40π k = = & l ( 0,7 l) Hodnotu kritického břemene můžeme ve všech případech vjádřit společným π k =, L kde L nazýváme vzpěrná délka. Tato vzpěrná délka, která je rovna vzdálenosti inflexních bodů na ohbové čáře, která je v případě prostého nosníku rovna rozpětí nosníku, u nosníku oboustranně vetknutého polovině, u konzol dvojnásobku délk a u nosníku na jedné na jedné straně vetknutého a na druhé straně prostě podepřeného je rovna sedmi desetinám délk. b konstrukce neztratila stabilitu, nesmí tlaková síla přestoupit kritické břemeno k dané vzorcem. Je-li prut namáhán tlakovou silou k, vzniká v něm normálové napětí σ k = k Po dosazení za kritické břemeno k a s uvážením, že kritickém zatížení π E σ k = L i I = i, dostáváme pro napětí při

40 Vzpěrné délk jednoduchých vzpěr konstantního průřezu Vnesme závislost mezi kritickým napětím a štíhlostním poměrem. je to hperbola druhého stupně. s oučasně však nesmí normálové napětí v prutu přestoupit mez průtažnosti σ T, kd deformace v prutu značně vzrůstají. je ted maximálně přípustné normálové napětí dáno čarou, která je pro hodnot E λ π hperbola druhého stup- σ T Vidíme, že normálové napětí, které v nosníku nesmí být překročeno, ab prut neztratil stabilitu, je mimo modul pružnosti E závislé na poměru vzpěrné déle štíhlostní k L a (minimálního) poloměru setrvačnosti i. Tento poměr nazývám poměr a označujeme λ, ted L λ = i Při zavedení štíhlostního pom ěru dostáváme pro kritické napětí π E σ k = λ ně a pro menší hodnot přímka. Omezující křivka bývá v místě zlomu nahrazována parabolou, která má s hperbolou i přímkou společné tečn. Na obrázku je tato parabola nakreslena čárkovaně. ního poměru Závislost maximálního normálového napětí a štíhlost- Ovšem zrovna tak, jako při prostém tlaku nemůžeme v konstrukci ani její části připustit vznik napětí na mezi průtažnosti, ale pouze dovolené namáhání, nemůžeme ani při vzpěrném tlaku připustit kritické napětí. Konstrukce musí mít ještě předem stanovenou bezpečnost proti ztrátě stabilit. Označíme-li tuto míru bezpečnosti písmenem k, nesmí napětí při vzpěru překročit hodnotu π E σ kλ Toto mezní napětí vjadřujeme zlomkem dovoleného namáhání

41 π E σ dov = kλ c kde c se nazývá součinitel vzpěrnosti a v pružném oboru, kde σ < σ T, je roven k σ dov c = λ π E Součinitel vzpěrnosti c, který je vžd větší než l (při prostém tlaku c=) obvkle neurčujeme pomocí vztahu, ale norm pro různý materiál jej udávají v závislosti na štíhlostním poměru λ ve formě tabulek. Posouzení prutu namáhaného na vzpěrný tlak pak vpadá tak, že ) určíme minimální poloměr setrvačnosti i min a vzpěrnou délku L L ) vpočteme štíhlostní poměr λ = i min ) v tabulkách pro daný materiál nalezneme v závislosti na štíhlostním poměru λ vzpěrnostní součinitel c 4) posoudíme, zda tlakové normálové napětí napřestoupí dovolené namáhání redukované vzpěrnostním součinitelem σ dov σ = c Při návrhu prutu postupujeme iteračním způsobem. Nejprve odhadneme vzpěrnostní součinitel c. Pomocí tohoto vzpěrnostního součinitele zjistíme nutnou plochu, která musí být c nut σ dov a n avrhneme průřez. Při tom v případě, že můžeme navrhnout více průřezů se stejnou plo- volíme ten, který má největší minimální poloměr setrvačnosti. Potom určíme štíhlostní chou, součinitel c. Pro tento nový vzpěrnostní součinitel c pak opakujeme celý postup znovu. Iteraci ukončíme tehd, kdž se dva po sobě následující vzpěrnostní součinitel už od sebe příliš neliší. Na závěr je bezpodmínečně nutné prut posoudit. Prosté kroucení Prosté kroucení nastává, působí-li v rovině průřezu dvojice sil; její moment K se nazývá kroutící moment. Kroucení se vsktuje často ve strojních součástech konstrukcí, ve stavebních se vsktuje řidčeji. V technické pružnosti lze odvodit jednoduchou přesnou hpoté- potvrzenou experimentálně a souhlasící se závěr matematické pružnosti, jen pro kroucení zu, kruhu, mezikruží a u průřezu eliptického plného i dutého, kdežto pro průřez obdélníkový a čtvercový, podává technická pružnost výsledk jen hrubě přibližné. Za prostého kroucení vznikne v obecném bodě ( se souřadnicemi,z) průřezu jen tangenciální napětí, jehož složk rovnoběžné s osami Y,Z jsou τ x, τ xz, kladné ve smslu kladných os. Je-li průřez namáhaný na kroucení středově souměrný k těžišti, předpokládáme v technické pružnosti, že i vnitřní síl jsou k němu středově souměrné, k osám smetrie pak antimetrické (smetrické až na znaménko). protože složka tangenciálního napětí ve směru os antimetrie musí být na této ose nulová, musí mít napětí na ose antimetrie směr k této ose kolmý. Tohoto můžeme s výhodou vužít při řešení kroucení kruhového průřezu. Kruhová tč je souměrná ke všem rovinám, kterýk oliv průměr je osou souměrnosti průřezu. musí mít ted tangenciální napětí v kterémkoliv místě kruhového průřezu směr kolmý k poloměru.

42 Označme toto napětí ve směru tečném τ a z rotační souměrnosti xt průřezu vplývá, že napětí τ xt je podél celé kružnice ρ konstantní. Víme, že tangenciální napětí vvolává relativní zkosení γ, jež je přímo úměrné napětí a nepřímo úměrné modulu pružnosti ve smku. Protože úhel γ je pro celou kružnici o poloměru ρ konstantní, tato kružnice se při zkosení tče pouze Kroucení kruhového průřezu pootočí kolem svého středu. Stejně tak i ostatní kružnice, takže při kroucení kruhové tče se dva rovnoběžné průřez proti sobě vzájemně pootočí o úhel zkosení ϕ. Relativní zkosení vláken γ je v ose tče nulové a k okraji lineárně narůstá, a stejně tak musí se vzdáleností od středu lineárně narůstat i tangenciální napětí τ xt, ted ρ τ xt = τ max r Vnitřní síla, jež je výslednicí tangenciálního napětí τ xt působícího na plošce d vzdálené ρ od těžiště, má k těžišti moment o velikosti ρτ xtd. Vnitřní síl v průřezu musí dát stejný kroutící moment jako K ; podmínka ekvivalence k těžišti má potom tvar K = ρτ xtd a dosadíme-li za τ xt, dostaneme ρ τ max τ K = τ maxd = d = r r ρ r max kde I p značí polární moment setrvačnosti, r je vnější poloměr, τ max je napětí τ xt na obvodu tče a K je kroutící moment. naopak z tohoto vztahu může určit K K K τ xt = ρ τ max = r = I I W kde Wk p p je analogick s ohbem z avedená veličina modul průřezu v kroucení. W k I = r p = π r. Obdobný vztah platí pro průřez ve tvaru mezikruží, modul průřezu v kroucení je zde roven 4 4 r r W k = π r kde je poloměr vnější kružnice, r je poloměr vnitřní kružnice. r Pro průřez obdélníkový ( a samozřejmě čtvercový ) je přesné řešení obtížné. Při kroucení nekruhových průřezů dochází totiž k tomu, že průřez před deformací rovinný se vlivem kroucení zbortí do křivé ploch, dochází k tzv. deplanaci průřezu. Řešení úloh vede k parci- I k p

43 ální diferenciální rovnici druhého řádu ( Poissonově rovnici ) a lze je nalézt specielními postup, např. pomocí nekonečných řad a pod. Uvedeme jen výsledk řešení. Označme b kratší stranu obdélníkového průřezu a h delší stranu. Souřadnicová osa Y nechť je rovnoběžná s kratší stranou obdélníka, osa Z s delší stranou. Tangenciální napětí τ xz má podél kratších stran obdélníka nulovou hodnotu ( je to složk kolmá k obvodu ) a podél delších stran se mění přibližně podle kvadratické parabol (u úzkých průřezů podle obdélníka se zaobleným i roh). ve smě ru os Y s e mění zhruba lineárně, na ose Z má nulovou hodnotu. Tangenciální napětí τ x je obdobné (v kolmých směrech ). Přibližné průběh tangenciálních napětí τ x a τ xz jsou uveden na obrázku. Největší hodnota tangenciálního napětí v průřezu vůbec je uprostřed delší stran obdélníka. Určíme jí ze vzorce Kroucení obdélníkového průřezu K K τ max = maxτ xz = = α b h W kde Napětí τ x W k = α b h k má největší hodnotu uprostřed kratší stran a k jejímu určení použijeme vzorce K maxτ x = β bh Součinitele α a β závisí na poměru stran obdélníka ( viz tabulka ). h:b,,5 5 0 α 0,08 0,9 0, 0,46 0,67 0,9 0, 0, β 0,08 0,96 0,80 0,55 0,8 0,078 0,4

44 Vzpěrná pevnost sloupu příklad

45 Vzpěrná pevnost příklad

46 Vzpěrná pevnost příklad

47 Kroucení příklad Navrhněte a posuďte ocelovou tenkostěnnou trubku pro zatížení kroutícím momentem K= knm. Trubku navrhněte s tloušťkou stěn 0 mm, dovolené namáhání oceli ve smku je τ dov = MPa Řešení: Nutný modul průřezu v kroucení K Wk = τ dov který je pro mezikruží roven 4 4 r r W k = π. r = r Protože tloušťka stěn je 0 mm, je ted r t a po dosazení číselných hodnot v jednotkách [N] a [mm] dostáváme K τ r r dov π r =,5tr 5r 4 + t ( r t) r 4 K πtτ 4447,84r dov r 50 = 0 0,5t = 0 Tato rovnice třetího stupně má jediné kladné řešení r = 74,6 mm. Mezikruhový průřez Kroucení příklad z b Určete maximální hodnot tangenciálního napětí v trámu s obdélníkovým průřezem 400/600 mm od zatížení kroutícím momentem K = knm. Řešení: Obdélníkový průřez má poměr stran 600 h : b = =,5, takže v tabulce nalezneme hodnot 400 součinitelů α, β : α = 0, β = 0, a K= knm 400