PRUŽNOST A PEVNOST II PŘEDNÁŠKY. Jan Řezníček

Transkript

1 PRUŽNOST A PEVNOST II PŘEDNÁŠKY Jan Řezníček Paha 08

2 Moo: Já se chodím na přednášky bavi a byl bych moc ád, kdybyse se vy bavili spolu se mnou a s pány Hookem, Newonem, Euleem a dalšími Te nepošel jazykovou ani edakční úpavou Jan Řezníček, Fakula sojní ČVUT v Paze

3 ÚSTAV MECHANIKY, BIOMECHANIKY A MECHATRONIKY ODBOR PRUŽNOSTI A PEVNOSTI PRUŽNOST A PEVNOST II PŘEDNÁŠKY V BAKALÁŘSKÉM STUDIJNÍM PROGRAMU TEORETICKÝ ZÁKLAD STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ V ZIMNÍM SEMESTRU AKADEMICKÉHO ROKU 08/09 přednáší Jan Řezníček Paha 0 září 08

4 3 Vážené kolegyně a vážení kolegové, dosalo se mi é ci, že mohu vés na Fakulě sojní Českého vysokého učení echnického v Paze přednášky z předměu Pužnos a pevnos II po sudeny bakalářského sudijního pogamu Teoeický základ sojního inženýsví, ale aké i po zájemce z oboového bakalářského sudijního pogamu Sojíensví Při přípavě podkladů po eno předmě jsem vycházel ze zkušenosí, keé mám od akademického oku 007/08 s novou fomou výuky předměu Pužnos a pevnos I ve duhém očníku bakalářských sudijních pogamů na FS ČVUT v Paze Teno e má Vám sudenkám a sudenům usnadni páci při přednáškách a hlavně ušeři čas, keý mnohdy ávíe zbyečným překeslováním někdy jednoduchých, ale někdy i velmi složiých obázků z abule Já sice předem vím, co chci nakesli, ale ne vždy se mi o povede ideálně Na duhé saně Vy časo ani dopředu neušíe, co má z obázku vzniknou, a ak si mé mininepřesnosi překeslíe s dalšími chybami a vzniknou mainepřesnosi, keé Vám při učení spíše uškodí, než by Vám pomohly a učení zjednodušily Pořebné vsupní infomace z předměu Pužnos a pevnos I, keé byse měli zná z dob Vašeho předchozího bakalářského sudia, jsou v omo eu po jisou aké uvedeny v kompimované podobě, poože čas činí v paměi všech z nás nenapavielné škody a y nejjednodušší věci se nejychleji zapomínají Pokud o pobíaná poblemaika dovolí, je součásí ohoo eu aké shnuí hlavních závěů včeně naznačení souvislosí mezi jednolivými poblémy, keé by mohly usnadni jejich pochopení Přednášky obsahují po objasnění poblemaiky i několik vzoových příkladů, keé budeme kompleně celé na přednáškách řeši V následujícím eu budou používány po zvýaznění jednolivých čásí eů yo symboly: Inemezzo Zásadní odvození Vzoový příklad Shnuí pobaného z Maemaiky I-III z Pužnosi I je vhodné ho umě je dobé ho chápa souvislosi láky nebo z Fyziky I a II co vypadlo z hlavy! a hlavně pochopi! nebo se hned zepa! usnadní pochopení! M F I O P O čem o bude? Věšinu kapiol se pokusím uvés jednoduchými příklady z pae, abych osvělil jednak pakickou aplikaci pobíané poblemaiky a jednak abych ukázal cesu od eálné součási k výpočovému modelu Na závě bych Vám všem chěl popřá hodně úspěchů během celého sudia Pokud budee v půběhu následujících le na fakulě cokoliv pořebova, ak jsem Vám k dispozici, poože jednou jse MOJI STUDENTI, a o je po mě závazek i do budoucna, kdy Vás již nebudu uči Σ : : : janeznicek@fscvucz : eznicekjan : wwwfacebookcom/puznos V Paze dne 0 září 08 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

5 4 ÚSTAV MECHANIKY, BIOMECHANIKY A MECHATRONIKY ODBOR PRUŽNOSTI A PEVNOSTI Zdoje infomací: wwwmechanikafscvucz wwwfacebookcom/puznos wwwpuznosunascz Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

6 5 OBSAH OPAKOVÁNÍ PP I 6 MEZNÍ STAVY - SHRNUTÍ PROMĚNNÉ ZATÍŽENÍ (ÚNAVA 3 3 ROTAČNĚ SYMETRICKÉ ÚLOHY 5 3 TENKOSTĚNNÉ NÁDOBY 5 3 SILNOSTĚNNÉ (TLUSTOSTĚNNÉ NÁDOBY 9 33 ROTUJÍCÍ TENKÉ KOTOUČE TENKÉ KRUHOVÉ DESKY 55 4 STABILITA PŘÍMÝCH PRUTŮ (VZPĚR 63 4 PŘESNÉ ŘEŠENÍ KRITICKÉ SÍLY 64 4 NEPRUŽNÝ ROZSAH ŘEŠENÍ VZPĚRU PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ VZPĚRU KOMBINACE VZPĚRU S OHYBEM 76 5 MATEMATICKÁ TEORIE PRUŽNOSTI 80 5 ROZŠÍŘENÝ HOOKŮV ZÁKON (opakování 80 5 ROVNICE PŘETVOŘENÍ 8 53 ROVNICE ROVNOVÁHY SPOJENÍ VŠECH ROVNIC MATEMATICKÉ TEORIE PRUŽNOSTI PROSTOROVÁ NAPJATOST TENZOR NAPĚTÍ 85 6 KRUT NEKRUHOVÝCH PROFILŮ 90 6 VOLNÉ KROUCENÍ NEKRUHOVÉHO PROFILU 9 6 TENKOSTĚNNÉ PROFILY 00 7 TECHNICKÁ PLASTICITA 04 7 TAH A TLAK V PLASTICITĚ 08 7 KRUT V PLASTICITĚ 73 OHYB V PLASTICITĚ 5 74 PLASTICITA PŘI VÍCEOSÉ NAPJATOSTI 8 ZÁKLADY LOMOVÉ MECHANIKY 7 9 LITERATURA 45 DOSLOV 46 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

7 6 OPAKOVÁNÍ PP I Pužnos a pevnos jako součás fyziky, esp její užší čási mechaniky poddajných ěles Klasická Pužnos a pevnos vs modení výpočové (numeické meody zejména MKP I Základní pojmy: SÍLY Vnější Vniřní Saická ovnováha vnějších sil (všech VNITŘNÍ SÍLY (zobecnělé: Pojmem zobecnělá síla se ozumí veškeé možné zaížení edy jak osamělá síla, ak i síla spojiě ozložená nebo aké osamělý esp spojiě ozložený momen Obdobně se v případě zobecnělé defomace může jedna jak o posunuí ak aké o naočení df F4 dt F F da dn n Fn F Inenzia vniřní síly NAPĚTÍ (mechanické F = df a současně F F + F 0 V ( A + V = obecné nomálové smykové ν ( = df da ( = dn da τ ( = Rozmě napěí v sousavě SI: [Nm - ] [Pa] pascal esp [Nmm - ] [MPa] megapascal ( MPa = 0 6 Pa F dt da Poznámka: Zejména v anglosaské odboné lieauře se zásadně uvádí mechanické napěí v základních jednokách Nm - esp Nmm - (např auomobilky Fod nebo BMW uvádějí ve všech echnických předpisech a dílenských manuálech pevnosi šoubů v Nmm - Jednoky Pa esp MPa případně kpa jsou používány po označování laků plynů a kapalin Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

8 7 DEFORMACE TĚLESA: ε [] γ [] (poměné podloužení (kladné zkos (dříve poměné posunuí (poměné zkácení (záponé změna pavého úhlu v elemenu d u ε = esp ε = d (bude odvozeno později u v γ y = + y (bude odvozeno později PRUŽNOST TĚLESA: Schopnos ělesa vái se do původního savu pokud pomine vnější zaížení TUHOST TĚLESA: Schopnos ělesa odoláva defomacím ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ ÚLOH PP: Předpoklad malých defomací (v elaci s osaními ozměy, Planos lineání závislosi mezi napěím a defomací (Hookův zákon, 3 Planos Sain-Vénanova pincipu (změna zaížení se oznese na malé vzdálenosi do celého půřezu a ovlivní ak jen malou oblas, keou zanedbáme, 4 Eisence ideálního maeiálu - homogenní (bez vměsků, ovoů,, - isoopní (ve všech směech sejné vlasnosi Skuečná součás časo analyicky neřešielné Epeimen velice časo povádíme přímo na skuečné součási nebo na skuečném modelu velice blízkém éo, součási Přeso však nemusí bý eno model oožný s výpočovým modelem Poo mohou bý mezi výsledky získanými epeimenálně a výpočy značné ozdíly Výpočový model řada zjednodušení - řešielné Po výpočy v pužnosi a pevnosi využíváme zv výpočový model, keý vznikne za použií ůzných zjednodušujících předpokladů - čím věší je zjednodušení ím nepřesnější jsou výsledky vzhledem ke skuečnosi F Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

9 8 NAPJATOST: Duhy napjaosi: jednoosá dvojosá ojosá (přímková (ovinná (posoová Obecně zadaná napjaos: jediné nomálové dvě nomálová a jedno smykové ři nomálová a ři smyková napěí napěí napěí (všechna v jediné ovině y y y y y τz τ τz z τy z z y z y y y nebo y y nebo y y τ z y z z z z τy z z y Napjaos zadaná hlavními napěími jediné nomálové dvě nomálová ři nomálová napěí napěí a napěí, a 3 (obě v jediné ovině 3 3 nebo nebo Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

10 9 ZÁKLADNÍ ZPŮSOBY NAMÁHÁNÍ: Tahem/lakem Kuem Ohybem Smykem ±N( MK( Mo( T( T N N T MK MK Mo Mo Vyvolá napjaos: jednoosou ovinnou jednoosou ovinnou ( τ( o( τ( KOMBINACE ZÁKLADNÍCH ZPŮSOBŮ NAMÁHÁNÍ: vedoucí na jednoosou napjaos vedoucí na ovinnou napjaos šikmý ohyb (ohyb + ohyb ; ah/lak a ohyb ah/lak a ku ; ohyb a ku ; ohyb a smyk y y ( ( ( ( τ z z HODNOCENÍ NAPJATOSTI = TEORIE PEVNOSTI: Převod (edukce jakékoliv obecné napjaosi na jednoosou po sovnání s hodnoami získanými při nomalizované ahové zkoušce maeiálových vzoků Rozdělení podle ypu maeiálu, po keý jsou vhodné Křehké maeiály (liina, hořčíkové sliiny, Teoie maimálního nomálového napěí = MAX ma ed po min ma min > 0 < 0 Houževnaé maeiály (konsukční oceli, mosazi, Teoie maimálního smykového napěí ed τ MAX = ma min Teoie Mohova Teoie enegeická ed = ma ρ min (HMH po ma > 0 a min < 0, kde R m ρ = ( ( ( ed = Rmd ( + ( + ( + 6 ( τ + τ τ ed = y y z z y + z Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

11 DEFORMAČNÍ ENERGIE: Jedná se o vniřní enegii akumulovanou v ělese Základem řady výpočů není přímo celková velikos defomační enegie U, ale husoa defomační enegie λ(, což je defomační enegie U vzažena na jednoku objemu: du λ = dv Ta je obecně definovaná (při použií ozšířeného Hookova zákona a vzahu mezi modulem pužnosi v ahu a modulem pužnosi ve smyku jako: [ + + v ( ( + ν ( τ + τ τ ] λ = y z y y z z y + z E V případě jednoosé napjaosi esp napjaosi čisého smyku se výaz po husou defomační enegie výazně zjednoduší: λ = esp E τ λ τ = G Dosadíme-li nyní do ěcho vzoců vzahy po učení napjaosi při jednolivých způsobech namáhání a budeme-li výsledky inegova přes celý objem řešeného ělesa dv = A(d, dosáváme: N ( po ah/lak: U N = d, E A( M K ( po ku: U = d G J ( ( M K, M o ( 3 po ovinný ohyb: U = d E J ( ( M o, β T ( 4 po smyk od posouvající síly: U T = d G A( ( ( z P 0 (β závisí na vau půřezu Defomační enegie je pak v řadě úloh využívána společně s předpokladem planosi zákona zachování enegie (bezzáové děje jako posředek k řešení Současně plaí věy odvozené ialským inženýem Calem Albeem Casiglianem: Paciální deivace celkové defomační enegie U akumulované v libovolném ělese podle obecného silového účinku působícího v učiém bodě ohoo ělesa S j se ovná defomaci ělesa j v mísě a směu působícího silového účinku Sj: U = j S j Obecný silový účinek Sj síla (Fj vyvolá vypočenou defomaci j POSUNUTÍ (uj Obecný silový účinek Sj momen (Mj vyvolá vypočenou defomaci j NATOČENÍ (ϕj Saicky neučiá veličina Xi minimalizuje celkovou defomační enegii U akumulovanou v sousavě (příoda vše dělá ak, aby jí o sálo co nejméně enegie: U X i = 0 (plaí po sousavy neohřáé a nepředepjaé Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

12 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09 Celková defomační enegie při kombinovaném namáhání: Při všech výpočech, keé využívají celkovou defomační enegii U, nesmíme zapomenou, jak výsledný vzah vznikl - základem všeho je husoa defomační enegie λ a dva základní způsoby namáhání - nomálové napěí a smykové napěí τ Při kombinaci napěí je řeba uvažova výslednou napjaos: nomálová napěí např kombinace ah/lak + ohyb = N( + M o(: o celk + = ( ( o o o celk E E E λ + + = + = = + + = y J M A N y J M A N E z o z o ( ( ( ( ( λ da d y J M A N y J M A N E dv U A z o z o V c + + = = ( ( ( ( ( ( ( λ Odkud vychází * : ( ( ( ( ( ( ( ( ( Mo N Mo N U A z o U z o U c d da y J A M N E d J M E d A N E U = nomálová a smyková napěí např kombinace ohyb + ku = Mo( + MK(: τ λ λ λ τ + = + = G E o ( ( ( + = ρ λ p K z o J M G y J M E da d J M G da d y J M E dv U A p K A z o V c + = = ( ( ( ( ( ( ( ρ λ Odkud vychází ** : + + = + = ( ( ( ( ( ( ( ( ( d J M d A M E d J M G d A M E U p K o U p K U o c M K Mo ν * Zde opě funguje pohádka o dědkovi a bábě, keří společně s vnučkou, psem, kočkou a myší ahali řepu a společně dali dohomady víc enegie než posý souče enegie každého z nich Sejně ak funguje kníže Svaopluk a jeho ři puy ve Saých pověsech českých od Aloise Jiáska ** Na ozdíl od předchozí úvahy zde každý účinek dělá něco jiného, a ak se efek spolupáce nepojeví a výsledná enegie je pouze posým součem enegií od obou účinků

13 MEZNÍ STAVY (SHRNUTÍ Definice: Mezní savy jsou akové savy konsukce, při jejichž překočení konsukce přesává plni návhové požadavky na užiné vlasnosi Mezní sav je z dlouhodobého povozování součási nepřípusný JIŽ PROBRÁNO V PP : BUDE DÁLE PROBRÁNO V PP Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

14 NAMÁHÁNÍ PŘI PROMĚNLIVÉM ZATÍŽENÍ (vaová pevnos, únava, Vypočěe bezpečnos amena sěače čelního skla osobního auomobilu s ohledem na jeho cyklické namáhání P Rameno je vyobené z oceli o mezi kluzu Ko = 40 MPa a mezi únavy co = 0 MPa Rozměy jsou pané T z obázku Přílačná síla vyvolaná pužinou mechanismu sěače je P = N a součiniel ření v konaku 40 síáka a čelního skla je f = 0, FIAT Milipla 006 / 956 Dážkovaný převodový hřídel s přímými boky je vyoben sousužením a boušením z oceli 550 (Rm 550 MPa a Re 300 MPa Učee výslednou bezpečnos na únavu (vůči nekonečné živonosi ohoo hřídele, jsou-li ozměy: osazení d = 5 mm; D = 35 mm; = mm a dážkování dp = 8 mm Hřídel je zaížen cyklickým kouicím momenem, keý má honí hodnou Mkh = 0 5 Nmm a dolní hodnou Mkn = 0,80 5 Nmm dážkování osazení Únavový lom: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

15 4 MIKROSKOPICKÉ TRHLINY: Fyzika kovů: Pakické zkoušky: Augus Wöhle Dosavadní předpoklady řešení příkladů P&P: STATICKÉ (quazisaické ZATEŽOVÁNÍ STÁLÝ PRŮŘEZ SOUČÁSTI bez náhlých změn 3 IDEÁLNÍ MATERIÁL (homogenní se známými vlasnosmi Cyklické zaěžování: Opakující se zaížení nahazujeme ekvivalenním HARMONICKÝM zaěžováním Součiniel nesouměnosi cyklu: Německý echnik Augus Wöhle (89 94 pacující po německé dáhy a byl synem známého chemika Fiedicha Wöhlea Svoji eoii únavového poškození popvé předsavil v oce 858 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

16 5 Typy zaížení: R = R ( ; 0 R = 0 R (0 ; R = STATICKÉ PULZUJÍCÍ MÍJIVÉ STŘÍDAVÉ STŘÍDAVÉ (quazisaické nesymeické symeické Dva zvlášní případy: MÍJIVÝ STŘÍDAVÝ SYMETRICKÝ (eno cyklus zkoušel Wöhle Základní daa po výpočy jsou získávány z maeiálových zkoušek, keé jsou nomalizovány obdobně jako zkoušky saické Jejich výsledky se využívají ke konsukci DIAGRAMŮ, ze keých se pak odečíají hodnoy po výpočy součásí podobených cyklickému zaížení DIAGRAMY: STŘÍDAVÉ SYMETRICKÉ ZATÍŽENÍ Wöhleův diagam Wöhleovy křivka např dual Poznámka: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

17 Co vlasně znamená 0 7 cyklů? u osobního auomobilu při předpokládané živonosi 5 le musíme zavří 85-ká denně dveře 6 u osobního auomobilu při půměných oáčkách moou n = omin - o je asi min 55 hodin povozu u závodního moocyklu Yamaha YZR M nebo závodního vozu Feai F 0 při půměné záěži moou během závodu n = omin - o je jen cca hodin povozu u podvozku dopavního leadla při půměných 0-i přisáních za jeden den o je neuvěřielných 738 le(?! u sěače čelního skla při fekvenci cyklus/sekundu o je 5 dnů nepřežiého povozu nebo při běžně ujeé vzdálenosi 0 is km/ok půměnou ychlosí 60 kmhod - a cca /3 v deši o je přibližně 5 le PULZUJÍCÍ ZATÍŽENÍ: (vše se sesavuje po valou živonos N Upavený Wöhleův diagam upavená Wöhleovy křivka R = 0,5 R = Teno diagam se k pakickým výpočům využívá minimálně! Haighův diagam závislos mezní ampliudy A na sředním napěí m: A = f( m HOUŽEVNATÝ MAT: KŘEHKÝ MATERIÁL: 3 LITINA (vyhovující: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

18 7 Sřídavé symeické Míjivé Sřídavé nesymeické Pulzující Saické Upavený Haighův diagam po jednodušší konsukci: R = R ( ; 0 R = 0 R (0 ; R = Pokud neznám součiniel ψ, ak mohu použí přibl hodnoy podle pevnosi maeiálu a ypu namáhání TABULKA (PŘIBLIŽNÉ HODNOTY SOUČINITELE ψ = g α: Pevnos v ahu P [Nmm ] ah/lak, ohyb 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 ku 0,05 0,0 0,0 0,0 0,5 T Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

19 8 4 Smihův diagam závislos mezní ampliudy A na sředním napěí M: A = f(m (podle Philips Hagaa Smiha Zjednodušený Smihův diagam po jednodušší konsukci: Pokud neznám součiniel ψ, ak mohu použí přibl hodnoy podle pevnosi maeiálu ypu namáhání TABULKA (PŘIBLIŽNÉ HODNOTY SOUČINITELE ψ : Maeiál Uhlíková ocel Chomová nízkopevná vysokopevná ocel Legovaná ocel ah/lak, ohyb 0,5 0,0 0,5 0,30 0,30 ku 0,0 0,0 0,0 0,5 0,0 T Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

20 Vliv přeížení zohledníme ve Wöhleově diagamu zv FRENCHOVOU ČÁROU 9 Fenchova čáa je čáa dovoleného přeížení při zachování původní meze únavy c KONCENTRÁTORY NAPĚTÍ (VRUBY: Rozdělení: KONSTRUKČNÍ TECHNOLOGICKÉ 3 METALURGICKÉ Součiniel vau α (v mísě vubu vzniká lokální změna napjaosi napěí ose popisuje geomeii vubu Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

21 0 příznivé Ovlivnění vubů: supepozice nepříznivé Součiniel vubu β (v mísě vubu vzniká posoová napjaos okolí bání vzniku kčku popisuje maeiál vubu Při učování β zavedl A Tlum pojem VRUBOVÁ CITLIVOST Teno sav výazně ovlivní HAIGHŮV DIAGRAM: Pojem součiniel vubu a vubová cilivos zavedl jako pvní německý fyzik A Thum v oce 935 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

22 Součiniel velikosi εv (velikos součási ovlivňuje únavové vlasnosi součási - STATISTICKY - TECHNOLOGICKY - ROZDĚLENÍ NAPĚTÍ Při výpoču součiniele ε v se využívá jak eoie ak výsledků epeimenů diagam εv - D Příklad sovnání obdélníkového a kuhového půřezu pomocí eponovaného objemu V epon V epon π D = 4 π (0,95 D 4 = 0,0766 D D ekv 0,05b h = = 0, 808 0,0766 b h V epon = b h b ( 0,95h = 0, 05b h Součiniel jakosi povchu ηp (povchová vsva a její sav je důležiý po nukleaci defeku Únavové zkoušky LEŠTĚNÝ POVRCH ÚPRAVY POVRCHU Po zlepšení únavových vlasnosí používáme: - MECHANICKÉ ÚPRAVY - CHEMICKÉ ZPRACOVÁNÍ - NAPĚŤOVÉ TESTY Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

23 Vliv kooze: Vliv eploy: Výpoče meze únavy eálné součási: (počíáno po neomezenou živonos N = 0 7 a více cyklů Všechny vlivy: MÍRA BEZPEČNOSTI valá pevnos součási (neomezený živo Minimální mía bezpečnosi: 3 4 STŘÍDAVÉ SYMETRICKÉ ZATÍŽENÍ (nejjednodušší PULZUJÍCÍ ZATÍŽENÍ využijeme Haighova diagamu 3 Neznáme-li skuečný chaake zaěžování a = f( m, pomáháme si ve výpočech náhadním PROSTÝM ZATĚŽOVÁNÍM (spojnice O P obě veličiny a i m se mění popocionálně a půsečík čáy posého zaěžování s mezní čaou je pak mezní bod M Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

24 3 ODVOZENÍ: BEZPEČNOST k PŘI PROSTÉM ZATĚŽOVÁNÍ V HAIGHOVĚ DIAGRAMU O ODVOZENÍ: BEZPEČNOST k PŘI KOMBINOVANÉM NAMÁHÁNÍ O Nejjednodušší je sřídavý symeický ohyb + sřídavý symeický ku a posé zaěžování: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

25 4 PŘÍKLAD (PULZUJÍCÍ TAH: Dáno: maeiál ocel, opacování, ozměy (B, b, ρ, s, F h a R Uči: k (výslednou bezpečnos na nekonečný živo Řešení: Výpoče povedeme posupně v celkem 4 kocích P KROK: Popis zaížení: Fh ; R Fm = Fh( + R/ a Fa = Fh( R/ Popis namáhání: m = Fm/A = Fm/(bs a a = Fa/A = Fa/(bs KROK: Popis maeiálu: P K c Odhad po ah/lak: ψ = 0, F = c /ψ 3 KROK: Popis součási: a součiniel vau (z geomeie: α b vubová cilivos (z geomeie a podle maeiálu: q K c H ρ/b α P TAH/TLAK ρ/(b-b q P c součiniel vubu (ze součiniele vau a vubové cilivosi: β = +q(α d součiniel jakosi povchu (ze způsobu opacování a maeiálu: ηp η P ρ opacování e součiniel velikosi (z ekvivalenního půměu podle eponovaného objemu: εv ε v P TAH/TLAK ηp ε v Výpoče meze únavy skuečné součási: c = c β 4 KROK: Výsledná bezpečnos jako menší ze dvou možných (podle dynamické nebo saické čáy: m a + k F c = + = k = min( k; k k km ka m a + k K K D ekv Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

26 5 3 ROTAČNĚ SYMETRICKÉ ÚLOHY 3 TENKOSTĚNNÉ NÁDOBY (skořepiny p Kladuby HMH D D R Učee dovolený přelak pd, keý přenese plášť enkosěnné kulové lakové nádoby, keá má loušťku sěny, sřední polomě R a dovolené namáhání D Sanove minimální loušťku sěny válcové čási lakového zásobníku slačeného vzduchu Maimální povozní lak uvniř válce je pma = MPa, sřední polomě válcové čási je s = 300 mm Nádoba je vyobena z konsukční oceli o mezi kluzu Re = 350 MPa Nádoba má bý navžená s bezpečnosí kk = 5 vůči mezi kluzu Lokomoiva čás ovlivněná uhosí dna neovlivněná válcová čás čás ovlivněná uhosí dna MEMBRÁNOVÝ STAV: Podmínky zajišění membánového savu: 3 4 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

27 6 Poušení membánového savu: TABULKA (KONSTRUKČNÍ ŘEŠENÍ TENKOSTĚNNYCH NÁDOB: T Uložení Spojení Vhodné řešení Nevhodné řešení ROTAČNĚ SYMETRICKÉ SKOŘEPINY: ODVOZENÍ NAPJATOST ROTAČNĚ SYMETRICKÉ MEMBRÁNY: (Laplaceova ovnice O Hlavní poloměy křivosi - Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

28 7 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

29 8 PŘÍKLAD (TENKOSTĚNNÁ KUŽELOVÁ NÁDOBA: Dáno: ρ, D, h a s D D ϕ = acg h Uči: a (hlavní napěí v pláši nádoby P Základem ϕ h R ϕ h ϕ y h y Q(y Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

30 9 3 SILNOSTĚNNÉ (TLUSTOSTĚNNÉ NÁDOBY PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ SILNOSTĚNNÝCH VÁLCOVÝCH NÁDOB: Plaí Hookův zákon všechny uvažované defomace jsou vané (napěí nepřekočí mez úměnosi u esp mez kluzu K, Vše je oačně symeické geomeie, zaížení, napěí, defomace, Vše plaí v dosaečné vzdálenosi od den nebo jiných impefekcí (příuby, ovoy,, keé způsobují vyzužení vznikající napjaos v ěcho oblasech by byla podsaně složiější Vypočěe loušťku sěny lakového vál ce zdvihacího zařízení koby lehkého nákladního vozu Taa 805, znáe-li pořebnou sílu, půmě písu, maeiál válce a lak oleje, keý je schopno vyvodi čepadlo Taa 805 F o F/ F/ ( ( = p o ( D d p Umísění hydaulického válce ve voze, jeho výpočový model a napjaos v jeho sěně Podle předpisů po děské hačky zkonoluje sílu, keá je pořebná ke sažení kolečka z hřídelky a součadně zjisěe, zda při výobě lisováním nedojde k ozžení náboje plasového kolečka Sanove edy pořebný minimální a maimální přípusný přesah půměu hřídelky, znáe-li její maeiál a současně i maeiál nalisovaného kolečka (náboje F sah D d Feai F 300 :4 (Bbuago b Kolečko nalisované na hřídel a výpočový model ohoo nalisovaného spoje Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

31 Úloha je oačně symeická vyjmeme elemen ve válcových souřnicích 30 ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ (podle způsobu, keým je uzavřen vniřní poso nádoby NÁDOBA UZAVŘENÁ dno nebo víko je pevnou součásí vlasní řešené nádoby (je k ní přišoubované, přivařené, V éo nádobě ak VZNIKÁ osové napěí o NÁDOBA OTEVŘENÁ lakový poso uvniř nádoby je uzavřen jiným ělesem, keé není s nádobou pevně spojeno (pís, V éo nádobě ak nevzniká žádné osové napěí o R p F Hydaulický válec Neovlivněná čás silnosěnné válcové p F Poznámka: U zavěšeného řenosu eakční síly R = F do Nádoba jadeného eakou Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

32 3 MATEMATICKÉ INTERMEZZO V následujících přednáškách budeme řeši ovnováhu elemenu oačního symeického ělesa (silnosěnné nádoby, oujícího koouče nebo enké kuhové desky, keá povede až na difeenciální ovnici duhého řádu Při odvození budu využíva někeé obay, keé jsou vám učiě známy z přednášek z maemaiky, ale po jisou a své čisé svědomí vůči vám je zde ješě jednou připomenu: M F deivace součinu dvou funkcí: deivace podílu dvou funkcí: 3 deivace složené funkce: u ( v = u v + u v u u v u v = v v u [ ( v ] = u ( v v 4 difeenciál funkce jedné poměnné: du d[ u( ] = d d 5 difeenciál funkce více poměnných: f f f d f (, y, z = d + dy + y z [ ] dz 6 Euleova difeenciální ovnice: f ( + f ( f ( = 0 6 difeenciální ovnice řádu a její řešení: f ( f ( + f ( = g( Řešení f( se skládá ze dvou čásí: Čás homogenní fh( odpovídající vau difeenciální ovnice Čás paikulání fp( odpovídající pavé saně difeenciální ovnice f ( = f ( f ( H + Homogenní čás řešení fh( má v ěcho případech vždy va: B f H ( = A + Paikulání čás řešení fp( budeme odhadova podle vau pavé sany g( původní ovnice: n Je-li pavá sana ve vau mocniny g( = k, odhadneme paikulání řešení ve vau úplného polynomu sejného supně: f n i P ( = ai i= Koeficien a i v odhadu učíme po dosazení paikuláního řešení do původní ovnice Paikulání řešení fp( oiž jako jedno z možných řešení dané difeenciální ovnice musí éo ovnici vyhovova P Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

33 3 ODVOZENÍ ZÁKLADNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE ŘEŠENÍ NAPJATOSTI SILNOSTĚNNÝCH VÁLCOVÝCH TLAKOVÝCH NÁDOB ( df dϕ dϕ ( + d ( df ( dfv d b sěny válcové nádoby vyjmeme elemen délky b o vniřním poloměu pod úhlem dϕ a loušťce d Nejpve předpokládáme oevřenou nádobu, kdy nepůsobí na elemen žádné osové napěí ( o = 0 Takže na elemen působí pouze ovinná napjaos, kde ečné napěí je, ale adiální napěí se mění ze na + d Za ěcho předpokladů nyní sesavíme silovou ovnováhu řešeného elemenu: df dϕ = df v Jednolivé členy éo ovnice ovnováhy vyjádříme podle obázku: Elemenání ečná síla je df = b d Výsledná elemenání adiální síla je O Pdosazení do ovnice ovnováhy dosáváme za předpokladu b 0 a dϕ 0 výslednou ovnici: Jedná se o difeenciální ovnici ale se dvěma neznámými veličinami do do úloha je saicky neučiá a je edy řeba doplni defomační podmínku Tu sesavíme dϕ z elemenu před a po defomaci: d { d + [ u( + du] u( } d du ε ( = = = = u (, u( + du d + d u( do dϕ d d d do u( dϕ u( ε ( = = = do dϕ Nyní yo vzahy dosadíme do ozšířeného Hookova zákona, abychom vyjádřili ečné napěí a adiální napěí pomocí jediné neznámé posunuí u(: d Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

34 33 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09 Nyní yo členy dosadíme do původní difeenciální ovnice v napěích: [ ] + + = d u d u d u d u d u E d d ( ( ( ( ( ( ( µ µ µ Poože předpokládáme eálný maeiál, po keý je 0 µ E a aké předpokládáme, že difeenciál délky d je sice nekonečně malý avšak nenulový (d 0, musí plai: 0 ( ( ( = + u u u Tím jsme získali difeenciální ovnici duhého řádu, ale již jen o jediné neznámé posuvu u( Řešení éo ovnice je vždy ve vau: u( = n Povedeme edy deivace ohoo řešení: ( = n n u a ( ( = n n n u a y dosadíme je do původní ovnice a upavíme ji: 0 ( = + n n n n n n [ ] 0 ( = + n n n n Za předpokladu, že n 0, musí bý nule ovna hanaá závoka, odkud vychází ovnice: 0 = n a její řešení je n = ± To znamená, že jednolivá řešení jsou a Výsledná hledaná funkce u( je pak lineání kombinací obou ěcho možných řešení: C C u ( + = Povedeme-li nyní deivaci esp vydělení řešení souřadnicí, získáme členy pořebné k dosazení do vzahů po jednolivá napěí (ozšířený Hookův zákon: ( C C u = a ( C C u + = Dosadíme-li nyní yo členy dosáváme: + + = + = ( ( ( C C C C E u u E µ µ µ µ µ, + + = + = ( ( ( C C C C E u u E µ µ µ µ µ

35 34 Okajové podmínky: p ( ( p Nově zavedené dvě konsany K a C (nahazují původní dvě konsany C a C učíme z okajových podmínek, keé musí válcová nádoba splňova na vniřním ( = a na vnějším ( = povchu: ( = p a ( = p Dosazením dosáváme vyjádření konsan K a C jiř jen pomocí zadaných veličin p, p, a : K p p = a C ( p p = mezi jednolivými napěími Ze vau ovnic polyop je pané že: po 0 bude ( i ( ±, po jakékoliv plaí ( + ( = K, 3 poože ( = p bude ( = K + p, 4 poože ( = p bude ( = K + p p ( = p ( C K ( = K + p C ( p ( = p + ( = K + p Výpoče osového napěí o v uzavřené silnosěnné nádobě: F p F p o Fo Vniřní lak p působí zevniř jak na sěnu nádoby ak i na její dno Sejně ak vnější lak p působí zvnějšku na sěnu nádoby i na její dno Hledané osové napěí o předpokládáme konsanní po celé loušťce sěny a působící ve směu osy nádoby Silová ovnice ovnováhy do směu osy nádoby je: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

36 35 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09 SROVNÁNÍ VÁLCOVÉ UZAVŘENÉ SILNOSTĚNNÉ A TENKOSTĚNNÉ NÁDOBY: Tenkosěnná válcová nádoba je podmnožinou silnosěnné válcové nádoby esp silnosěnná válcová nádoba je nadmnožinou enkosěnné válcové nádoby Použijeme základní ovnice po napěí v silnosěnné válcové uzavřené nádobě: ( C K + =, ( C K =, o = K, kde konsany K a C upavíme po enkosěnnou nádobu, předpokládáme-li že plaí: R ( + R a ( = ; R Výsledné vzahy pak budou mí po úpavách va: R p R R p p p p K R = + = = = ( (, R p R R p p p p C R = + = = = ( ( ( 3 4 Nyní již yo upavené hodnoy dosadíme do základních ovnic půběhů napěí v silnosěnné uzavřené válcové nádobě: R p R p R p R R p R p R C K = + = + + = 3, 0 3 = = = R p R p R R p R p R C K, R p K o = Tyo výsledky přesně odpovídají výsledkům, keé byly odvozeny pomocí Laplaceovy ovnice v PP I po válcovou uzavřenou, esp oevřenou nádobu Σ o

37 36 ODVOZENÍ DEFORMACE PLÁŠTĚ SILNOSTĚNNÉ NÁDOBY O Poože ve sěně silnosěnné nádoby vzniká obecně posoová napjaos (uzavřená nádoba nebo ovinná napjaos (oevřená nádoba, musíme ke sanovení defomací (změn poloměů nádoby a využí ozšířeného Hookova zákona Při sanovení změny poloměu vyjdeme ze základního odvození silnosěnných nádob vzahu po výpoče ečných defomací: u( ε ( = Poože u( je posunuí obecného mísa popsaného souřadnicí ve směu éo souřadnice, musí na vniřním povchu plai: u( = u( = Změna délky silnosěnné nádoby se aké musí počía z ozšířeného Hookova zákona s uvažování uzavřené nebo oevřené nádoby: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

38 ODVOZENÍ DIMENZOVÁNÍ SILNOSTĚNNÝCH NÁDOB PEVNOSTNÍ PODMÍNKY a nádoba s vniřním přelakem (p > p oevřená Nejnamáhanějším mísem je vždy p p vniřní polomě ( V omo mísě bude pevnosní pod- mínka dle hypoézy τ MAX: ed = ( ( D Jednolivé členy v éo pevnosní podmínce vyjádříme pomocí základních vzahů po výpoče napěí silnosěnných nádob: p p ( = K + p = + p a ( p = p p ( K ( o = 0 + ed ( ( 37 ( O Po dosazení do pevnosní podmínky dosáváme: A odud již po úpavě dosáváme běžně používaný vzah po dovolený lakový spád: b nádoba s vniřním přelakem (p > p uzavřená ( ( Nejnamáhanějším mísem je vždy p vniřní polomě p Pevnosní podmínka dle τ MAX ( bude mí sejný va jako v pří- p ( o 0 padě oevřené nádoby, poože pop loha osového napěí je vždy mezi + ečným a adiálním napěím ed = ( ( D Veškeé úpavy budou shodné s úpavami povedenými v případě oevřené nádoby, a ak i výsledný vzah bude naposo sejný: D ( p p D ed K = o ( ( Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

39 nádoba s vnějším přelakem (p > p oevřená Nejnamáhanějším mísem je vždy vniřní polomě, a o i v případě, že je nádoba namáhána vnějším přelakem V omo mísě bude pevnosní podmínka p dle hypoézy τ MAX: ed = 0 ( D Tečné napěí v éo pevnosní podmínce p vyjádříme pomocí základního vzahu po výpoče napěí silnosěnných nádob: p p ( p = K + p = + Po dosazení do pevnosní podmínky dosáváme: p ed = K + p = 0 ( 0 + p p Teno výaz již nemá cenu dále obecně upavova, poože jednoduchý vzah po dovolený lakový V ěcho případech je výhodné vždy již vyjádři přímo hledanou veličinu a vypočía ji d nádoba s vnějším přelakem (p > p uzavřená Nejnamáhanějším mísem je vždy vniřní polomě, a o i v případě, že je nádoba namáhána vnějším přelakem p o V omo mísě bude pevnosní podmínka 0 dle hypoézy τ MAX: ( Jednolivé členy v éo pevnosní podmínce vyjádříme pomocí základních vzahů po výpoče napěí silnosěnných nádob: Po dosazení do pevnosní podmínky dosáváme: p D ( ed ( K ( ( ( p p 38 ( ( o = 0 ( ( ed K ( ( p p + + Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

40 PŘÍKLAD (SILNOSTĚNNÁ NÁDOBA PEVNOSTNÍ TEORIE: Dáno: Válec sacionáního hydaulického zvedáku má vniřní půmě d = 00 mm a vnější půmě D = 60 mm Celý je vyoben z oceli o modulu pužnosi E =,0 5 Nmm - a mezi kluzu K = 30 Nmm - Uči: S bezpečnosí k = 5 maimální sílu Fma, keou lze získa na písu ohoo válce p d D Fma 39 P 4 ( +9 ( p o K [ ed]τ MAX = 46 Nmm - Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

41 40 TABULKA shnuí všech možnosí pevnosních podmínek sesavených podle hypoézy τmax po dimenzování silnosěnných válcových nádob namáhaných přelaky p a p: yp nádoby uzavřená nádoba (UN oevřená nádoba (ON Σ p > p p > p ( p ( ( D D p D ( p ( ( D D p D 0 ( D Poznámka: Bylo by samozřejmě možné odvodi obdobné vzahy podle enegeické hypoézy (HMH, ale bylo by o zbyečně pacné vzhledem ke vau ed podle éo hypoézy Hypoéza τ MAX je vzhledem k HMH konzevaivní, a ak odvozené podmínky (viz předchozí abulka jsou na saně bezpečnosi ODVOZENÍ ZVLÁŠTNÍ PŘÍPADY SILNOSTĚNNÝCH VÁLCOVÝCH NÁDOB: O Nádoba bez ovou: Nádoba s malým ovoem: ( = 0; p = 0 ( 0; p = 0 Jedná se pakicky o plný hřídel o půměu d =, na keý působí vnější přelak p : Jedná se pakicky o plný hřídel o půměu d =, ve keém je vyván velmi malý mazací ovo ( 0 zaím bez vniřního přelaku (p = 0, na keý působí jen vnější přelak p : Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

42 4 Vyjádříme si pomocí ěcho hodno konsany K a C užívané v ovnicích napěí Tyo hodnoy dosadíme do základních vahů: odkud získáme výsledné půběhy napěí: Půběhy obou napěí jsou konsanní a shodné a aké shodné s konsanou K a jejich velikos je ovna hodnoě vnějšího laku p p p p p ( ( K o ( ( o K ( Poznámka: Konsana C musí bý nulová i maemaicky, poože jinak by člen C/ v ovnicích půběhů ečného a adiálního napěí vedl v ose nádoby (po = 0 na maemaicky nepřípusný výaz C/0 p d Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

43 4 NALISOVANÉ SILNOSTĚNNÉ NÁDOBY: ed( 3 Jednoduchá silnosěnná nádoba má elaivně nevýhodné edukované napěí je na poloměu a v celé zbývající sěně je edukované napěí nižší, až na vnějším poloměu 3 je D pd p D pd p Vhodným zásahem do půběhu adiálního napěí můžeme výazně ovlivni celkové ozložení napěí Cílemnalisování je vnesení předpěí opačného znaménka vniřním přelakem je dominanní ahové ečné napěí ( je řeba I ed ( vnés laková napěí do nádoby p 3 p 3 K II Toho dosáhneme pomocí II přesahu na poloměu, II ( II ( se keým na sebe obě silnosěnné p I o I ( I ( p nádoby nalisujeme K I p Zaímco půběh adiálního napěí II ed ( se změní pouze málo, ak půběh ečného napěí se změní výazně, I ed ( více nádob nebo konakní lak ed( e vyvozova navíjením vnější p e p e vsvy na vniřní s učiým předpěím Tak dosaneme o mnohovsvé nádoby (obdoba p in ůzných vsvených p in lamináových konsukcí apod ed( in Tyo nádoby mohou mí půběh Pakicky po celé sěně Další í výhodou ěcho vsvených konsukcí komě opimalizace ozložení napěí může bý aké dvou sousedních vsev Dále budeme řeši pouze dvouvsvé nalisované válcové nádoby (vícevsvé by se počíaly sejně, jen by o valo podsaně déle p 3 ( p p 3 o p ed( K ed II ( 3 ( Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

44 43 ODVOZENÍ URČENÍ PŘESAHU U DVOUVRSTVÉ NALISOVANÉ VÁLCOVÉ NÁDOBY I I sav po nalisování a íž í ř l k I II II II 3 L II L II L I L I O í esp vni původní napěí napěí od nalisování Supepozice napjaosi Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

45 Podle eoie nalisovaných nádob lze vyřeši aké náboj na hřídeli (uložení s přesahem p H H K H 44 Hřídel je vniřní nádoba (I bez ovou ( a p a náboj je vnější (II oevřená nádoba ( ; 3 a p, a ak pode vzahu po přesah bude: Z ovnice vyjádříme lak p jako funkci přesahu : Známe-li lak p a ozměy hřídele i náboje, můžeme povés pevnosní konolu obou čásí nalisovaného spoje podle hypoézy τmax: Hřídel (H:, Náboj (N: N o K N N J vidě, že namáhání náboje je více než věší než namáhání hřídele, Poznámka: Z ěcho vzahů ze uči minimální esp maimální únosnos nalisovaného spoje nebo aké sílu, keá je řeba k nalisování náboje na hřídel esp sílu, keou musíme vyvinou, abychom náboj z hřídele použijeme ečný součiniel ření f b Lisovací/sahovací síla F L/S edy bude: dn dt o dn dt F L / S F L / S min = fo min π b E 3 = dt o = fo dn ( A ( A F = L / S ma fo ma π b E 3 Přenášený kouicí momen M K bude: M K = dt = f dn M K min = f π b E ( A ( A M K ma = f ma 3 min π b E Poznámka: Všechny předchozí výpočy byly pováděny po shodné maeiály hřídele i náboje, esp po maeiály se shodným modulem pužnosi E a shodným Poissonovým číslem µ V případě nalisování náboje na 3 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

46 45 Sanove maimální namáhání hřídele a náboje Náboj je posupně nalisován na plný hřídel, na hřídel s malým ovoem a na hřídel vořený ubkou náboj na plný hřídel: H ed N ed náboj na hřídel s malým ovoem: H ed N ed 3 náboj na duý hřídel: H ed N ed Příklady ealizace nalisovaného spoje a výpočové modely Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

47 46 ODVOZENÍ MINIMALIZACE NAMÁHÁNÍ NALISOVANÉ NÁDOBY (dle hypoézy τ MAX: O Předpokládáme: obě silnosěnné nádoby jsou konsuované jako oevřené ( o I = o II Too je výaz po dovolený lakový spád ak (p p 3 D, aby pávě v obou čásech byla splněna ODVOZENÍ OPTIMALIZACE GEOMETRIE NALISOVANÉ NÁDOBY: O Po odvozený dovolený alkový spád (p p 3 D a známé ozměy a 3 hledáme opimální velikos poloměu nalisován ak, aby byl lakový spád co nejvěší Musí edy plai: ( p p 3 Za předpokladu nenulového dovoleného napěí D musí edy bý: 0 = 3 D = = 3 Odud již dosáváme pořebný vzah mezi poloměy ve vau: 3 4 = 3 = op = 3 Opimální polomě op je edy dán jako geomeický půmě poloměů a 3 a maimální dovolený lakový spád bude: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

48 ODLEHČENÝ STAV NALISOVANÉ NÁDOBY (pevnosní konola dle hypoézy τ MAX: Předpokládáme sav, kdy nádoba nebude zaížena ani vniřním ani konakním lakem p, keý je pouze a jen důsledkem přesahu Výpoče odlehčeného savu lze povés jako ozdíl mezi skuečným a namáhání vniřní a vnější nádoby 47 p3 = 0 p p p3 p3 p = 0 = p p odlehčený sav skuečný sav fikivní sav nalisované nádoby nalisované nádoby nádoby z jednoho kusu Gaficky zobazíme eno výpoče pomocí vykeslení všech hypoézy τmax K II K fik I II o I II fik o fik I II K I Skuečný sav napjaosi napjaosi Fikivní sav Nyní již jen naznačený ozdíl půběhů povedeme gaficky I II fik o K fik K II I fik II odl I odl II odl II K o odl I odl II I II K I odl I K Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

49 48 Půbě Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

50 49 33 ROTUJÍCÍ TENKÉ KOTOUČE PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ ROTUJÍCÍCH KOTOUČŮ: Všechny defomace jsou malé a vše je lineání (plaí Hookův zákon Tloušťka koouče je ak malá, že není řeba uvažova vznik osových napěí ( o 0 Sanove namáhání jednoho koouče pevného disku a jeho defomace poloměů a při povozu Sandadní oáčky modeních pevných disků jsou n = 7 00 min - a jednolivé koouče pevného disku jsou vyobeny z oceli o = 0 h ω HDD WD Cavia HDD 3,5 a výpočový model jeho jednoho disku Učee maimální namáhání CD disku v mechanice komečně označené 5 a zjisěe, jak se při maimálních oáčkách změní ozměy CD disku CD-R80, mechanika 5 a výpočový model disku Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

51 50 ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ (podle způsobu, co vše na koouč působí volný koouč nalisovaný koouč nalisovaný koouč s lopakami zaížený jen účinkyzaížen účinky od odsředivézaížen účinky od ahu ODVOZENÍ ZÁKLADNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE ŘEŠENÍ NAPJATOSTI TENKÉHO ROTUJÍCÍHO KOTOUČE O dϕ ω d ( ( ( do b ( + d Z enkého koouče (loušťky b vyjmeme elemen o vniřním poloměu pod úhlem dϕ a délce d Předpokládáme, že nevzniká v elemenu žádné osové napěí ( o = 0 Takže na elemen působí pouze ovinná napjaos, kde ečné napěí je (, ale adiální napěí se mění ze ( na ( + d Za ěcho předpokladů nyní sesavíme silovou ovnováhu řešeného elemenu: ovnice ovnováhy vyjádříme podle obázku: Elemenání ečná síla je Zavedením A = ρω a po dosazení do ovnice ovnováhy dosáváme za předpokladu b 0 a dϕ = 0 výslednou ovnici obdobnou jako u nádob, ale s pavou sanou: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

52 5 df df dϕ dfv Jedná se o opě difeenciální ovnici ale se dvěma neznámými veličinami úloha je saicky neučiá a musíme doplni defomační podmínku, keou sesavíme z elemenu před a po defomaci sejně, jako v případě silnosěnné nádoby: d du ε ( = = = u ( a d d do u( ε ( = = do Nyní yo vzahy sejně jako u nádob dosadíme do ozšířeného Hookova zákona, abychom vyjádřili ečné napěí ( a adiální napěí ( pomocí jediné neznámé posunuí u(: d + d u( dϕ do d u( + du do do dϕ Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

53 5 ω b ( ( a( ed C a( a( ( a( ( Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

54 ODVOZENÍ ZVLÁŠTNÍ PŘÍPADY TENKÉHO ROTUJÍCÍHO KOTOUČE: Koouč bez ovou Koouč s velmi malým ovoem ( = 0 ( 0; p = 0 53 ( 0k by člen C/ v ovnicích půběhů ečného a adiálního napěí vedl v ose nádoby (po = 0 na maemaicky nepřípusný výaz C /0 O Při použií okajové podmínky: Půběhy obou napěí jsou edy shodné s půběhy asympo a( a a( a osu oace ( = 0 poínají v hodnoě C Kons Vyjádříme základní vahy a získáme opě výsledné půběhy napěí: ω = 0 anu C učíme z duhé okajové podmínky (po volný kaj koouče: ed C ( ( Konsany C a C učíme opě z ok 0 vojnásobku konsany C ed C ω ( ( Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

55 54 PŘÍKLAD (VOLNÝ TENKÝ ROTUJÍCÍ KOTOUČ: Dáno: Uvažujme běžné CD nebo DVD vyobené z polykabonáu Základní paamey disku jsou: d = 5 mm, D = 0 mm, h =, mm, ρ = 90 kgm -3, ν = 0,3, E = 850 Nmm -, K = 60 Nmm -, P = 70 Nmm - POZOR!! Výpočy je řeba povádě v jednokách sousavy SI: s ; m a Nm - (E = Nm -, K = Nm -, P = Nm - Uči: Maimální namáhání vznikající při oáčkách n = min - ( 047, s - P ( = 3,9 Nmm - C =,97 Nmm - ( a ( a ( ( ( = 0,9 Nmm - Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

56 55 34 TENKÉ KRUHOVÉ DESKY PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ KRUHOVÝCH DESEK: Všechny defomace jsou malé a vše je lineání (plaí Hookův zákon Tloušťka desky h je ak malá, že není řeba uvažova vznik osových napěí ( o 0 ani vznik smykových napěí τ Vzhledem k malé loušťce desky plaí Benoulliho eoie lineáního ozložení ohybových napěí Sanove velikos dovoleného osového zaížení ve sředu liinového kyu kanálu, znáe-li dovolené namáhání v ahu, dovolené napěí v laku a ozměy q o h w ma R Víko kanálového vlezu v dlažbě a jeho výpočový model Jaký lak vznikl v důsledku biologických pocesů v konzevě, pokud se její víko vyklenulo o 5 mm, jsou-li dány ozměy a maeiál plechu z něhož je konzeva vyobena wma h D Konzeva, její víko jako enká deska a její výpočový model Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

57 56 ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ (podle způsobu, jak je deska uložená nepodepřená volná deskapodepřená volná deska veknuá deska ODVOZENÍ ZÁKLADNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE ŘEŠENÍ NAPJATOSTI TENKÉ KRUHOVÉ DESKY d q( dt( dm ( dt( + dt dm ( O h dm ( h dm ( + dm d ( ( + d dα dm ( d dm ( dm ( dm dm ( + dm V desce vznikají dvoje ohybová napěí ve směu ečném a ve směu adiálním vyvolána ohybovými momeny dm a dm Poože plaí Benoulliho lineání eoie ozložení napěí, jsou napěí s momeny vázána přes půřezové moduly v ohybu Ty po elemen budou:, esp Nyní vyjádříme jednolivé momeny ak, abychom mohli sesavi momenovou ovnici ovnováhy řešeného elemeny: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

58 Momen M ( vyjádříme pomocí ečného napěí ( a půřezového dm modulu W o(: dm dm dα Momen dm dm ( vyjádříme pomocí adiálního napěí ( a půřezového modulu dw o(: dm ( = ( dw o ( h ( = 6 dα Momen (dm ( + dm vyjádříme pomocí napěí ( ( + d a půřezového modulu dw o*(: dm ( + dm = dm v [ ( + d ] [ ( + d ] ( + d h dw * ( = dϕ o 6 Při zanedbání veličin duhého řádu (d d 0 dosáváme: dm ( + dm = dm+ dm [ ( ( d ( + ( d + d ( 6 ] h dα Sílu dt( esp (dt( + dt vyjádříme pomocí spojiého zaížení q( esp výsledné síly dq(, keá působí od sředu desky nebo od vniřního okaje desky až do řešeného mísa popsaného souřadnicí : Q( Q( + dq dt ( = dα a dt ( + dt = π d + d π + d ( ( α Nyní při zanedbání veličin duhého řádu (dqd 0 vyjádříme pomocí síly dt( momen dm: dq( dm ( = dt ( d = d dα π Výsledný momen dm v edy bude: dm ( = [ dm ( + dm ] dm ( dm Po dosazení všech ěcho výsledků do ovnice ovnováhy dosáváme: Výsledná difeenciální ovnice po dα 0 bude mí va: v 57 Jedná se o difeenciální ovnici ale se dvěma neznámými veličinami úloha je saicky neučiá a je edy řeba doplni defomační podmínku Tu sesavíme enoká po elemen před a po ohybu a posunuí u( vyjádříme pomocí změny vcholového úhlu ϕ(, keý předpokládáme malý, a ak ϕ( ϕ( h/ h/ ϕ( u( ϕ( Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

59 58 Tuo difeenciální ovnici lze zapsa aké v zv saženém vau: 6Q( π E h ( ϕ ( = 3 + nebo s využiím zaížení na jednoku délky ( a deskové uhosi D: ( ( ϕ ( = D Sažený va je velice výhodný z hlediska řešení difeenciální ovnice po supnou inegací pokud nedokážeme přímo odhadnou paikulání řešení Poznámka: Vzahy po napěí esp znaménko v nich je sanoveno podle namáhání SPODNÍHO povchu řešené desky: Je-li spodní povch naahován, je znaménko + a je-li spodní povch slačován, je znaménko Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

60 59 DEFORMACE (PRŮHYB TENKÉ KRUHOVÉ DESKY ϕ( dϕ 0 dw ϕ( d Poznámky: Podmínky po půhyby nepoužíveje v žádném případě při učování inegačních konsan C a C, poože ím do úlohy vnášíe jen další konsany Obecně lze říci, že půhyb můžeme řeši až ehdy, máme-li kompleně dořešeno naočení enké desky ϕ(, a o včeně konsan C a C OKRAJOVÉ PODMÍNKY POUŽÍVANÉ PŘI ŘEŠENÍ KRUHOVÝCH DESEK Podmínky na kaji desky: Pokud se jedná o desku bez ovou uposřed, je jedním z okajů pávě osa desky, kde ze symeie desky vždy plaí: ϕ ( 0 = 0 V řešení MUSÍ vždy vypadnou člen C /, poože by jinak nasal maemaicky nepřípusný sav dělení 0 O Zaížený kaj desky na poloměu momenem ±M esp ±m (může +M M esp Veknuý kaj desky na poloměu (může o bý m jak vniřní okaj +m desky ak i vnější : esp Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

61 Podmínky ve spojení dvou polí desky: h 60 Ve spojení dvou polí a enké kuhové oačně symeické desky na obecném poloměu je řeba sesavi dvě okajové podmínky h Pvní podmínka vždy zaučuje hladkos půhybové plochy ve spojení na poloměu : ( ( ϕ ( = ϕ ( Duhá podmínka závisí na individuálním uspořádáním každé úlohy (desky a způsobu spojení polí a desky na poloměu Eisují celkem čyři možnosi spojení dvou polí desky: h Spojení desek sejné loušťky bez zaížení vnějším momenem Spojení desek ozdílných loušěk h a h bez zaížení vnějším M M momenem: h h a 3 Spojení desek sejné loušťky se zaížení vnějším momenem ±M : M M h h h h 4 Spojení desek ozdílných loušěk h a h se zaížení vnějším momenem ±M : Odkud vychází: Poznámka:, Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

62 6 PŘÍKLAD (JEDNODUCHÁ DESKA: Dáno: Tenká kuhová oačně symeická plná deska o vnějším poloměu je na omo vnějším okaji veknuá do absoluně uhého základu a po celé své ploše je zaížena konsanním spojiým zaížením (lakem qo Deska má loušťku h (h << a je vyobena z maeiálu o modulu pužnosi v ahu E a Poissonově čísle ν P Uči: Difeenciální ovnici popisující chování zadané desky, vzahy po napěí a učee aké maimální půhyb éo desky qo = kons wma (0 = (0 ( o ( ( = ma Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

63 6 Tabulka shnuí řešení a společných nebo podobných vlasnosí všech ří oačních úloh: úloha vlasnos ovnováha elemenu levá sana dif ovnice pavá sana obecné řešení okajové podmínky půběhy napěí konsany Nádoby (silová F dϕ F v F v = F dϕ (silová F Koouče v = F dϕ Desky (momenová M v = M dα u( u( ϕ( u ( + u ( = u ( + u ( = ϕ ( + ϕ ( = = 0 A 6 Q( = (A = ρω = + 3 na elemen E π E h nepůsobí žádné kvadaická funkce podle zaížení Q( další účinky od odsředivé síly do C C C A 3 ϕ ( = C + + ϕ pa ( u( = C + u( = C E ϕ pa( ůzné dle Q( kaj desky (, = ± M W o kaj nádoby kaj koouče ( = p ( = ± sřed nebo veknuí,, C ( = K + C ( = K K = C = ( p p p F p F dϕ F v,, C ( = a ( + C ( = a ( + 3ν a ( = C A ν a ( = C A 8 C = + F 3 + ν A 8 ( µ + A 8 C = ( + M M dα M v desky ϕ( 0 = 0 nebo ϕ( = 0 ( a ( podle vau příčného zaížení Q( esp q( C a C podle vau příčného zaížení Q( esp q(, Σ Poznámka: Z éo abulky je pané, že z daných úloh je nejsložiější řešení enkých kuhových oačně symeických desek, kdy eisuje vzhledem k vaiabiliě možného příčného zaížení Q( esp q( značná vaiabilia možných řešení Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

64 63 4 STABILITA PŘÍMÝCH PRUTŮ (VZPĚR STABILITA PŘÍMÝCH PRUTŮ NAMÁHANÝCH NA TLAK Vypočěe kiickou délku ki, při keé by došlo k vybočení ocelové lešenářské ubky při zaížení osovou silou F Při výpoču budeme uvažova bezpečnos k a budeme díky lešenářským spojkám předpokláda kloubově uloženou na obou koncích F Olomouc ki d D Lešenářská ubka = dlouhý pu namáhaný alkem a lešenářské spojky = podpěy konců puu VZPĚR vychází ze TŘECH základních savů: Sabilní: Indifeenní: 3 Labilní: STABILITA: PEVNOST VZPĚRNÁ: Vzpěa: ČTYŘI základní případy podle způsobu uložení: I případ: II případ: III případ: IV případ: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09 I II III IV

65 64 Další doplňující případy NEŘEŠÍME!!! Základní předpoklady řešení: ideální ideální 3 ideální 4 ideální Skuečnos: ideální 4 vyšší k 4 PŘESNÉ ŘEŠENÍ KRITICKÉ SÍLY (ELASTICKÉ KLASICKÉ ŘEŠENÍ PROVEDL LEONARD EULER ODVOZENÍ II PŘÍPAD VZPĚRU (základní a nejjednodušší: O Momenová ovnice: Benoulliho dif ovnice Zavedeme: F E J min = α esp F α = [m ] E J min Okajové podmínky (po II případ vzpěu: V době, kdy Leonad Eule ( yo vzahy odvozoval, nebyl ješě zaveden modul pužnosi E a nebyl maemaicky fomulován Hookův zákon To vše udělal až v oce 807 Thomas Young ( Eule si ak ve svých výpočech musel pomáha zaváděním jediné konsany, keá chaakeizovala pu jak maeiálově ak geomeicky dnes víme, že šlo o součin EJ z Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

66 65 ODVOZENÍ I PŘÍPAD VZPĚRU: O Momenová ovnice: Benoulliho dif ovnice Zavedeme: F E J min = α esp F α = [m ] E J min Odhad paikuláního řešení: Okajové podmínky (po I případ vzpěu: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

67 66 ODVOZENÍ III PŘÍPAD VZPĚRU: O Momenová ovnice: Benoulliho dif ovnice Zavedeme: F E J min = α esp F α = [m ] E J min Odhad paikuláního řešení: Okajové podmínky (po III případ vzpěu: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

68 67 ODVOZENÍ IV PŘÍPAD VZPĚRU: O Momenová ovnice: Benoulliho dif ovnice Zavedeme: F E J min = α esp F α = [m ] E J min Odhad paikuláního řešení: Okajové podmínky (po VI případ vzpěu: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

69 68 PODMÍNKA PLATNOSTI EULEROVA VZTAHU PRUŽNÝ ROZSAH VZPĚRU: Kiická síla (dle Eulea: Kiické napěí: Podmínka elasického chování puu: Šíhlos puu: Mezní šíhlos puu: Poznámka: Po zjednodušení se někdy používají při výpočech po běžnou konsukční ocel ( u 0 Nmm a E =,0 5 Nmm přibližné hodnoy mezních šíhlosí (po π 0: TABULKA (PŘIBLIŽNÉ HODNOTY MEZNÍCH ŠTÍHLOSTÍ: T Případ vzpěu I II III IV Mezní šíhlos λ mez [] Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

70 69 Obecné sovnání všech čyř základních případů vzpěu podle Eulea: I IV π E J min F k = n I II III IV F k F k F k F k Σ n = /4 n = n n = 4 H M v + α v = α c v + α v = 0 v + α v = α ( v + α v = α F F Okajové podmínky: v(0 = 0 v(0 = 0 v(0 = 0 v(0 = 0 v I (0 = 0 v( = 0 v I (0 = 0 v I (0 = 0 v( = c v( = 0 v( = 0 Výsledná goniomeická ovnice: cos(α = 0 sin(α = 0 g(α = α cos(α = V někeých saších učebnicích a knihách lze naléz pojem REDUKOVANÁ DÉLKA ed a Euleův vzoec má va: I II III IV F k F k F k F k ed ed F I IV k π = E J ed min ed ed ed = ed = ed / ed = / Redukovaná délka puu ed převádí všechny případy vzpěu na II základní případ vzpěu a je dána jako vzdálenos infleních bodů půhybové čáy příslušného případu vzpěu Z uvedeného vyplývá jednoduchý vzah mezi koeficienem n a edukovanou délkou: ed = esp n n = ed Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

71 70 4 NEPRUŽNÝ ROZSAH ŘEŠENÍ VZPĚRU napěí překočí mez úměnosi: Dimenzování puů: Málo šíhlé puy: Redukovaný modul pužnosi: Nejjednodušší definice: Engesseova definice: Výsledný vzah: Řešení pomocí EMPIRICKÝCH VZORCŮ: Nejčasěji Temajeova náhada: k K nebo P u čisý lak Temaje Eule λ 30 λ mez Někdy po λ 30 uvažujeme pouze čisý lak bez sabiliy Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

72 VÝPOČTY NA VZPĚR (záu sabiliy, vybočení, : Výpoče dovolené síly F D =? (znám ozměy vzpěy a její maeiál 7 Výpoče ozměů (dimenzování ozm D =? (znám zaížení vzpěy, maeiál a va půřezu Rozhodování: Návh dle Euleova vzahu: Výpoče (podle vhodného vzahu: Konola planosi Euleova vzahu: 3 Konec výpoču: 3 Konec NEBO přepoče dle Temajeova vzahu: 4 Konec výpoču: PŘÍKLAD (VÝPOČET DOVOLENÉ SÍLY: Dáno: K = 60 Nmm, u = 00 Nmm, E =,0 5 Nmm, = 0,7 m, d = 30 mm, k = 3,5 Uči: FD (dovolená síla po I případ vzpěu FD =? P d Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

73 PŘÍKLAD (DIMENZOVÁNÍ VZPĚRY: Dáno: K = 80 Nmm, u = 0 Nmm, E =,0 5 Nmm, = 0,5 m, F = 300 kn, k = 3,5 Uči: d (pořebný půmě yče po III Případ vzpěu 7 F = 300 kn P d Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

74 73 43 PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ VZPĚRU Na základě přibližné eoie vzpěu vypočěe kiickou a dovolenou sílu, keou je schopna přenés savební vzpěa používaná při beonování 600 J z = 7 80 mm J z = mm 4 J z3 = 8 3 mm 4 E =,0 5 MPa Myšák Galley Savební vzpěa, výpočový model a její pakické použií Poveďe výpoče záy sabiliy pomocí přibližných meod veknuého puu, keý je na honím konci volný a je zaížen spojiě ozloženou vlasní hmonosí např vysílač Cukák, keý leží jižně od Pahy, i když v omo případě je poblém ješě složiější, poože vlasní ěleso voří půřez blízký komolému kuželi a sysém anén na honím konci předsavuje ješě zaížení osamělou silou Sěna vysílače je z plechu o loušťce 6 mm a celý váží okolo 000 Kopanina (4 m n m D 93,5 m q Vysílač Cukák a přibližný výpočový model 6 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

75 74 ODVOZENÍ ENERGETICKÁ METODA (původní auo Raylegh (dává honí odhad nebo v případě vhodného návhu lze získa i přesné řešení: F k eneg F ke Tao meoda vychází z obecného pincipu zachování enegie esp bezzáové přeměny poenciální enegie vnější osové lakové síly F na vniřní defomační enegii: Vniřní defomační enegie U se učí snadno jako defomační dv Fk enegie od ohybu za předpokladu planosi Benoulliho difeenciální ovnice půhybové čáy: Po výpoče páce vnější síly musíme nejpve vyjádři dáhu, po keé bude síla F kona páci: Zkácení elemenu vyjádříme jako ozdíl původní a nové délky a z něho pak celkovou dáhu: Celkový posuv koncového bodu puu edy bude: Celková poenciální enegie vnější síly F po dáze edy bude: ds d v( d O Poznámka: V omo případě není přímo defomace puu, ak jak by omu bylo při namáhání čisým lakem, ale je o posuv bodu, kde působí síla F, vyvolaný pohnuím puu při záě jeho sabiliy Poo ve vzoci po výpoče poenciální enegie není ½ Dosazením do původní ovnice ovnosi poenciální W P a defomační U enegie dosaneme: Odud vyplývá výsledný vzah: Teno vzah je zcela univesální a plaí po všechny čyři případy vzpěu v( ψ( c Fk Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

76 ODVOZENÍ METODA POSTUPNÝCH APROXIMACÍ (původní auo Vianello(původní auo Vianello (umožňuje získa poměně přesný výsledek i při poměně nepřesném pvním návhu půhybové čáy I 75 O negací získáme odpovídající funkci na levé saně v (: Poznámky: Poože v každém koku (0,,, máme možnos voli příslušnou sílu (F 0, F, F,, je vhodné zvoli F n = "", a pak bude výsledný vzoec ješě jednodušší: inegaci zvolené počáeční funkce a ím pádem ke zvyšování jejího řádu A poože lze obecným nekonečným polynomem vymodelova jakoukoliv funkci, dosáhneme i v případě naposo Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

77 76 44 KOMBINACE VZPĚRU S OHYBEM Sanove obecně maimální namáhání ed ma vzpě zadního přílačného křídla vozu Lous 49, keé jsou vyobeny z enkosěnných ocelových ubek c N F B ξ ( v( ψ( C Lous 49B - Gaham Hill Lous 48B zadní přílačné křídlo a výpočový model Sanove obecně maimální zaížení N ma áhla řazení u auomobilu Škoda 0S, keé vedlo od řadicí páky v posou řidiče až do zadní čási vozu, kde byl moo s převodovkou Při výpoču uvažuje vlasní hmonos áhla vořeného ocelovou ubkou N qo N Š 0S - eam ŠKODA Škoda 0S áhlo řazení a jeho výpočový model PEVNOSTNÍ PODMÍNKA PŘI KOMBINACI VZPĚRU S OHYBEM (jedná se lze napsa pevnosní podmínku ve vau: Základní momenová ovnice je vořena dvěma členy: - momenem od příčného zaížení: M( - momenem od zaížení osovou silou: Nv( Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

78 77 chceme sanovi momen M( nebo půhyb v( ZPŮSOB ŘEŠENÍ ZÁKLADNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE řešení v momenech řešení v půhybech Nejpve dvaká deivujeme momenovou ovnici: a edy pavá sana difeenciální ovnice bude ovna spojiému zaížení q( Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

79 PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ KOMBINACE VZPĚRU S OHYBEM: Po předběžný návh puu při kombinaci vzpěu s ohybem musíme použí někeou z přibližných meod, poože člen závisí na kvadaickém momenu půřezu edy na jeho geomeii qo Základem všech přísupů je volba půhybové N čáy, keou pu asi N zaujme po defomaci Zvolíme-li po pu zaížený konsanním spojiým zaížením a osovou silou půhybovou čáu ve vau:, 78 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

80 ŘEŠENÍ OHYBU S MALOU PŘÍDAVNOU OSOVOU SILOU: Jedná se o případy, kdy je dominanní namáhání od příčného zaížení a osová síla pouze zesiluje jeho účinek Obecně je lze spíše označi za OHYB S PŘÍDAVNOU TLAKOVOU SILOU Tyo posupy 79 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

81 80 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09 5 MATEMATICKÁ TEORIE PRUŽNOSTI Při řešení obecné úlohy pužnosi a pevnosi můžeme každému bodu ělesa eoeicky přiřadi celkem 5 paameů 5 ROZŠÍŘENÝ HOOKŮV ZÁKON Při učení závislosi mezi nomálovými defomacemi a nomálovými napěími musí plai Poissonův vzah na defomaci v jednom směu se podílí napjaos ve všech řech směech E ε = ( y y y y E ν ε ν ε = = ( ( [ ] ( ( ( ( z y z y E ν ε ε ε ε + = + + = z z z z E ν ε ν ε = = ( ( Zbývající dvě defomace získáme cyklickou záměnou indeů: [ ] ( z y yz yy y y E ν ε ε ε ε + = + + = a [ ] ( y z zz zy z z E ν ε ε ε ε + = + + = Maicově lze ozšířený Hookův zákon zapsa jako: [ ] z y z y E ν ν ν ν ν ν ε ε ε ; ; = Duhou čás ozšířeného Hookova zákona voří vzahy mezi zkosy a smykovými napěími Zde není žádný vzah mezi jednolivými defomacemi a osaními složkami napěí, jako omu bylo v případě nomálových napěí a defomací, a ak výsledné vzahy jsou poměně jednoduché G τ γ = y y G τ γ = z z G τ γ = Pokud zavedeme poměnou změnu objemu z y ε ε ε + + = Θ [] a současně předpokládáme vzah mezi modulem pužnosi v ahu E a modulem pužnosi ve smyku G ve vau ( v G E + = dosáváme ozšířený Hookův zákon po sanovení nomálových napěí pomocí nomálových defomací ve vau: Θ + = ν ν ε G, Θ + = ν ν ε y y G a Θ + = ν ν ε z z G [ ] z y z y G τ τ τ γ γ γ ; ; = I

82 8 5 ROVNICE PŘETVOŘENÍ ODVOZENÍ ZÁKLADNÍ ROVNICE PŘETVOŘENÍ Předpoklady: u = u(; y; z úlohu řešíme v ovině -y, řeí osa z je kolmá k éo ovině, v = v(; y; z původní čyřúhelník MNOP se změní na M N O P a všechny w = w(; y; z y uvažované defomace jsou malé O P P P P γy O O dy v M M γy N N N N u d Nomálová defomace sanovená do směu edy bude: Tím jsme získali pvní ři paciální difeenciální ovnice, keé mezi sebou vážou nomálové defomace a celková posunuí obecného bodu (elemenu ělesa Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

83 8 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

84 83 53 ROVNICE ROVNOVÁHY ODVOZENÍ ZÁKLADNÍ ROVNICE ROVNOVÁHY V PRAVOÚHLÝCH SOUŘADNICÍCH O Tyo ovnice musí zauči silovou ovnováho každého bodu (elemenu ělesa Někdy se aké nazývají STATICKÉ PODMÍNKY * (výminky y ROVNOVÁHY, y poože je sanovíme jako jednoduché silové * ovnice τ z y * Y τ z dy Na každý bod (elemen ělesa působí * * τ τ X celkem šes složek napěí, keá * τ Z z τ y z dz předpokládáme po délce poměnná a z d současně působí na elemen vniřní y (objemové síly X, Y a Z Celý elemen musí bý však podle základního předpokladu pužnosi a pevnosi ve savu saické ovnováhy Využijeme edy y ří zvolených směů a sesavíme da da y silové ovnice ovnováhy do ěcho ří směů τy Při sesavování ovnice do směu zobazíme jen účinky působící na elemen, keé mají smě osy : da z z τz d X dy dz Poznámka: Při vyjádření příůsků je využi Tayloův ozvoj např p Při sesavování ovnic využijeme následující vzahy vyplývající z geomeie elemenu: ΣF = 0: da = dydz, da y = dzd, da z = ddy a dv = ddydz Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

85 84 54 SPOJENÍ VŠECH ROVNIC MATEMATICKÉ TEORIE PRUŽNOSTI: Σ Za předpokladu planosi vzahu po výpoče poměné změny objemu a planosi vzahu mezi modulem pužnosi v ahu a modulem pužnosi ve smyku: E Θ ε + ε y + ε z a = ( + ν G získáme dosazením ovnic ozšířeného Hookova zákona a ovnic převoření do ovnic ovnováhy při použií Laplaceova difeenciálního opeáou: = + + sousavu ří lineáních paciálních difeenciálních ovnic y z duhého řádu: Θ u + + ν X G = 0 Θ Y, v + + = 0 ν y G Θ Z a z + + = 0 ν z G Too jsou ZÁKLADNÍ ROVNICE TEORIE PRUŽNOSTI Sysém má nekonečně mnoho řešení a každé konkéní řešení odpovídající učié úloze je o, keé vyhovuje okajovým podmínkám řešené úlohy Ze sysému difeenciálních ovnic lze aké dokáza jednoznačnos řešení odpovídajícího konkéním okajovým podmínkám, ale jeho samoné řešení je velice komplikované a možné jen ve zcela málo případech! I s pevnosí si člověk užije ulomi se může všechno Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

86 85 55 PROSTOROVÁ NAPJATOST TENZOR NAPĚTÍ: MOHROVY KRUŽNICE Již v PP I jsme se zabývali poblemaikou posoové napjaosi, ale výpoče pobíhal vždy jen v ovině pomocí Mohových vzahů a posoová napjaos se doplňovala o řeí hlavní napěí, keé bylo přímo zadáno Řeši jsme edy byli ímo způsobem schopni pouze napjaos s jedním sduženým smykovým napěím, a o buď v ovině -y nebo z- nebo y-z: I Např ovina -y: ; y; z a τ z: y y z z τ z τ z + y y, = ± + τ z a = z 3, Ve zbývajících dvou ovinách lze zavés obdobné vzahy cyklickou záměnou indeů Po řešení v ovině -y jsme odvodili komplení vzahy, keé v souřadnicovém sysému -τ předsavovaly kužnici (Mohovu chaakeizující napjaos v jakékoliv ovině řešené napjaosi α ρ τz + y y + cos(α + τ sin(α ρ = z y τz ρ τρ y ρ τz α nρ ρ τρ ρ y y a τ ρ = sin(α + τ z cos(α τ y τ z τ ρ α Tρ ( + y S ( ρ Ve zbývajících dvou ovinách lze odvodi obdobné vzahy, kde by opě došlo k cyklické záměně indeů Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

87 86 ODVOZENÍ OBECNÁ NAPJATOST HLAVNÍ NAPĚTÍ O Obecná napjaos je dána řemi nomálovými napěími ( ; y a z a řemi sduženými smykovými napěími (τ z; τ y a τ z, keá můžeme zapsa ve fomě enzou napěí: Poznámka: Teno va je dobé si zapamaova, poože z něho bude vycháze řada dalších vzahů Moje pomůcka byla: Na hlavní diagonále jsou nomálová napěí v pořadí podle abecedy -y-z a všude jinde jsou smyková napěí a v žádném řádku ani sloupci se NESMÍ opakova sejný inde Nyní odvodíme vzah po výpoče hlavních napěí i po uo obecnou posoovou napjaos y Původní elemen ddydz poneme ovinou ρ, jejíž nomála nρ je dána daz směovými kosiny cos α, cos β a cos γ Plochu z nρ ešeného ělesa jsou: da z τz νρ τy ρ y τ day da, a z y V řešené ovině ρ (davzniká obecné napěí νρ, keé můžeme ozloži do ří složek ν, ν y, Po d Výsledné obecné napěí νρ působící v řešené ovině ρ můžeme vyjádři pomocí jeho ří pavoúhlých složek ν, ν y, a ν z jako: β γ α nρ νz νy νρ ν Známe-li směové kosiny cos α, cos β a cos γ oviny ρ (jedná se o kosiny nomály nρ éo oviny, můžeme ansfomova složky obecného Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

88 napěí y ν, ν y, a ν ν z do směu éo nomály a získáme ak nomálové napěí ρ v řešené ovině ρ: ρ Smykové napěí τρ musí leže v řešené ovině ρ ρ a musí bý edy kolmé ke známému nomálovému napší ρ, keé má z smě nomály nρ Po známé ρ a νρ můžeme hledané smykové napěí τρ vyjádři pomocí Pyhagoovy věy jako: Pokud τρ ρ nρ 87 Poznámky: Tako sesavená kubická ovnice má vždy ři REÁLNÉ kořeny odpovídající hlavním napěím - někeé mohou bý shodné (dvojnásobný nebo ojnásobný kořen nebo někeé mohou bý nulové Invaian nebo invaiana (pavidla českého pavopisu připouší mužský i ženský od znamená invaianní neboli neměnnou Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

89 hodnou, a poo velikosi jednolivých invaian zůsávají neměnné po jakoukoliv ansfomaci zadané napjaosi Musí edy aké azně zvěšují c Výpoče hlavních napěí není nic jiného než ansfomace enzou napěí, keou si lze předsavi jako oaci původního elemenu kolem všech ří os -y-z až dosáhneme polohy --3, y kdy budou všechna smyková napěí τ nulová y 88 z τ z τ τ z τ z τ y τ y 3 3 d Řešenou kubickou ovnici si můžeme předsavi aké jako kubickou funkci s k, keá může mí: (a gaf se řemi ůznými kořeny (b gaf s jedním obyčejným a jedním dvojnásobným kořenem, (c gaf s jedním ojnásobným kořenem f( (c 3 = = = 3 Popsání polohy hlavních ovin HR,,3 posoové napjaosi Polohy hlavních ovin HR esp HR esp HR 3 vyjádříme pomocí směových kosinů úhlů α, β a γ esp α, β a γ esp α 3, β 3 a γ 3 jejich nomál n esp n esp n 3, a o z původní sousavy ovnic při dosazení za obecné napěí hodnoy esp esp 3 Po výpoče HR dosadíme za velikos a budeme psá: ( τ z τ y τ z ( y τ τ y τ ( z cosα cos β = 0 cosγ Tao sousava je ale LINEÁRNĚ ZÁVISLÁ (byl o původní předpoklad, ze keého jsme učili, a o jsme nyní dosadili zpě do původní sousavy Ze ří ovnic ak můžeme použí jen dvě (keé o budou, záleží na konkéních hodnoách Z hlediska výpoču je výhodné vyba y dvě ovnice doplníme ře Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

90 Vzahy mezi hlavními napěími a hlavními defomacemi Poože i v případě posoové napjaosi musí současně plai Hookův zákon, musí obdobné vzahy jako po napěí plai i po defomace Eisuje edy aké enzo defomací Tε, keý má va: 89 defomacím: ε ; ε ; ε 3 Hlavní oviny bychom dosali dosazením vypočeného kořenu do původní ovnice: Poznámka: Již v PP I jsme si zdůazňovali, že v každém bodě zaížené součási eisují pouze ři hlavní oviny esp ři hlavní směy, keé jsou oožné jak po defomace ak i po napěí Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

91 90 6 KRUT NEKRUHOVÝCH PROFILŮ KRUT KRUHOVÉHO A MEZIKRUHOVÉHO PROFILU: V PP I byly odvozeny vzahy po kuhový a mezikuhový půřez namáhaný kuem a naučili jse se řeši základní úlohy včeně aplikace na enké, válcové, ěsně vinué pužiny, kde je ku dominanním namáháním Základní ozložení smykových napěí lze popsa v elasickém savu jedinou ovnicí: M K τ ( ρ = ρ esp J P M K τ ma =, WK kde: MK [Nmm] je vniřní kouicí momen působící v daném mísě, JP [mm 4 ] je polání kvadaický momen půřezu, ρ [mm] je vzdálenos mísa půřezu od pólu půřezu, WK [mm 3 ] je půřezový modul v kuu Základní půřezové chaakeisiky po ku byly odvozeny jako: D D d J P 4 π D = a π D d J P = a 3 D W K π D = π D d W K = 6 D I Rozložení smykových napěí podle Sain-Vénanova vzahu: MK MK τma τma Pokud maimální napěí v kajním vlákně dosáhne meze kluzu ve smyku (τ ma = τ K, končí elasický sav půřezu a kouicí momen, keý eno sav vyvolal označíme jako maimální elasický momen: M K el 3 π D = τ K WK el = τ K (analogie s ahem: F 6 el π D = K A = K 4 Vzájemné naočení dvou řezů A-B lze počía podle jednoduchého vzahu: M ( M K ϕ A B = d esp po MK(, Jp( = kons ϕ A B = A B G J K G J ( ( A B P Defomační enegie akumulovaná v hřídeli mezi řezy A-B byla odvozena jako: P M K ( M K U M K = d esp po MK(, Jp( = kons U M = A B G J ( K G J ( A B P P Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

92 9 6 VOLNÉ KROUCENÍ NEKRUHOVÉHO PROFILU Učee maimální smykové napěí vznikající v příčném enkosěnném nosníku, keý je součásí zadní nápavy osobního auomobilu Audi A Nosník je vořen ocelovým výliskem a budeme uvažova ozdílné popužení levé a pavé sany o 5 R R skuečný pofil výpočový model Audi A zadní nosník a jeho výpočový model Audi A 6 FSI Šířka: 953 mm Délka: mm Výška: 450 mm Zdvihový objem: 598 cm 3 Zásadní ozdíl mezi kuhovým a nekuhovým pofilem je v om, že smykové napěí τ na obysu pofilu v bodě P, keé musí mí podle základních předpokladů smě ečny k obysu, nemusí bý kolmé y k původiči ρ (OP Tím dochází k deplanaci (zpohýbání u( půřezů Pokud není deplanaci ničím báněno hovoříme o VOLNÉM KROUCENÍ a pokud je deplanaci báněno např veknuím, výzuhami nebo žeby hovoříme o NEVOLNÉM (STÍSNĚNÉM KROUCENÍ Řešení sísněného koucení, při keém komě smykových napěí τ vznikají ješě duhoná nomálová napěí, překačuje ámec ohoo základního kuzu pužnosi a pevnosi, a poo se dále budeme zabýva pouze volným koucením MK z B y A MK Působí-li na pizmaický pu momen M K (působí na všechny půřezy, dochází u u k deplanaci, keé není ničím báněno a musí plai: z MK O τ ρ P Budeme dále řeši dva řezy (A a B vzájemně posunué o Pokud označíme zku jako ϑ, pak vzájemné naočení řešených řezů bude: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

93 Působením momenu M K se řez A opoi řezu B pooočí, a ak bod M zaujme novou (pooočenou pozici M Původní poloha bodu M je popsána vzhledem k souřadnicovému sysému 0-y-z vzdálenosmi z a y esp původičem ρ a úhlem α, mezi keými plaí vzahy: a Jednolivá posunuí bodu M do bodu M můžeme při yužií vzahu Duhou difeenciální ovnici získáme z ovnice ovnováhy do směu osy puu Poože víme, že na pu nepůsobí žádná objemová síla a současně žádné nomálové napěí bude: Zcela obecné řešení éo sousavy není možné získa V někeých speciálních případech sice sysém řeši lze, ale je o velmi komplikované Po nalezení řešení využijeme podmínku jednoznačnosi řešení základních ovnic eoie pužnosi, keá říká: Najdeme-li nějaké řešení sysému, keé vyhovuje základním ovnicím, je o jediné možné řešení z v MK M w α M α ρ z y 0 ϕ 9 y Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

94 Funkce napěí (zavedl Ludwig Pandl Po usnadnění výpoču vyhledáme akovou funkci F(y, z, jejíž deivace budou pávě ovny hledaným smykovým napěím τ y a τ z: F τ y = ± a y F τ z = z Tako zavedenou funkci F(y, z nazýváme FUNKCÍ NAPĚTÍ Funkce F(y, z voří nad pofilem učiou plochu, keou β můžeme zobazi v pvním okanu y souřadnicového sysému -y-z 93 y z F(y,z β z F(y, z Poože současně smě složky napěí τ y je ve smyslu kladné osy z a τ z je poi smyslu kladné osy y, musí znaménka jednolivých napěí podle ěcho vzahů bý: z MK τ τy A τz y P τ > 0 y F τ y = a τ z < 0 y F τ z = + z Poznámka: Po lepší pochopení a zapamaování: Smě τ y je kolmý na osu y, poože oo napěí očí (kouí kolem osy y a τ z je kolmé na z, poože očí (kouí okolo osy z Nyní povedeme všechny paciální deivace, keé pořebujeme k dosazení do původního sysému ovnic: τ y F = y y τ z F z z a = + a τ y z F = y z Po dosazení do pvní difeenciální ovnice vzniklé z ozšířeného Hookova zákona dosáváme: F F + y z Poože ale funkce F = F(z, y, musí plai: = G ϑ a τ z y F = + z y Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

95 94 sdužených smykových napěích Díky éo podmínce musí bý složky smykových napěí τ y a τ z ve sejném poměu jako difeenciály délek dy a dz: dy dz τ τ z = y z τ τy A dy dz τz y MK P Po dosazení vzahů po napěí τ y a τ z vyjádřených pomocí paciálních deivací funkce napěí F(z, y dosáváme: dy dz F z F F = dy + dz = 0 F y z y A poože podle definice je funkce napěí F = F(y, z závislá pouze na poloze dané souřadnicemi y a z, bude opě člen oven nule a můžeme edy na obysu pofilu psá: F F F d + dy + dz = 0 y z což je výaz po úplný difeenciál df funkce F(y, z nezávislé na souřadnici Po obys pofilu edy musí plai podmínka: df ( y, z = 0, odkud vyplývá, že na obysu pofilu bude po funkci napěí F plai:, Poznámka: Bude-li například pofil obsahova dva ovoy musí funkce napěí F(y, z na všech řech okajových křivkách (jak na vnějším obysu, ak i na obysech a 3 vniřních ovoů splňova podmínku konsanní hodnoy (konsany K, K a K 3 mohou bý ůzné a věšinou aké jsou F obys = K a F obys = K a F obys 3 = K3 3 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

96 95 ODVOZENÍ VLASTNOSTI FUNKCE NAPĚTÍ Funkce napěí F(y, z předsavuje ovnici učié plochy vyvořené nad příčným půřezem vzah: O Z éo ovnice vyplývá, že vsevnice vchlíku napěí mají vždy smě ečny, jejichž směy udávají smě smykového napěí Vsevnice vchlíku napěí při pomínuí do oviny půřezu předsavují SMYKOVÉ ČÁRY I obys pofilu, kde plaí F(y, z = 0, musí bý aké smykovou čaou poože má oožnou ovnici: Poneme-li vchlík napěí dvěma soumeznými ovinami ( = h a = h + dh, získáme dvě soumezné smykové čáy Tao ovnice znamená, že velikos smykového napěí τ je β dána spádem vchlíku napěí a aké o, že součin τdn = df = kons dz Učiě jse si povšimli podobnosi s ovnicí koninuiy poudění známé z mechaniky ekuin, a poo hovoříme o zv hydodynamické analogii Smykové čáy předsavují poudnice a čím jsou husší, ím věší smykové napěí je Poznámka: Vzpomeňe na Vlavu, keá u Náodního divadla skoo neeče, poože je am šioká a poudnice jsou daleko od sebe zaímco u ZOO v Tóji ubíhá velkou ychlosí, poože je úzká a poudnice jsou blízko poudění se liší (odpovídají smykovým napěím β MK z MK τ τy τy τ dz M τz β τz půmě vchlíku y dn dy pu M h půsečnice F(y, z = h dn dy Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

97 3 Dvě soumezně oviny ponou vchlík napěí ve dvou soumezných smykových čaách, keé mají vzdálenos dn odpovídající sřednici dvou řešených smykových ča: 96 ds y Poože podle obázku můžeme označi plochu, bude dn velikos elemenáního kouicího momenu: Jesliže plaí hydodynamická analogie τdn = df = kons, ak musí bý:, ρ kde A c předsavuje plochu uzavřenou sřednicí z c soumezných 0 dac smykových ča Poože součin dfa c = dv předsavuje elemen objemu vchlíku napěí, můžeme psá dm K = dv Celkový kouicí c momen M K přenášený řešeným pofilem pak bude pomocí funkce napěí oven: Učení funkce napěí: Sanovi funkci napěí F(y, z ak, aby splňovala základní ovnice lze jednoduše povés pouze po někeé základní pofily (elipsa, kuh, ovnosanný ojúhelník, V zásadě musíme bý schopni popsa obys řešeného pofilu funkcí f(y, z = 0, keá musí splňova podmínku: Funkci napěí F(y, z pak můžeme vypočía jako: Tako sanovená funkce napěí F(y, z splňuje základní ovnici kuu nekuhových pofilů: MK dv dt da pu df Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

98 97 ODVOZENÍ KRUT KRUHOVÉHO PRŮŘEZU POMOCÍ FUNKCE NAPĚTÍ O V PP I jsme povedli řešení kuhového půřezu pomocí Sain- Vénanovy eoie a nyní si ověříme, že lze použí i řešení pomocí funkce napěí (kuhový pofil je podmnožinou obecného nekuhového pofilu Funkci napěí sanovíme pomocí funkce obysu f(y, z Kužnici o půměu D můžeme zapsa ve vau: Tao funkce splňuje aké duhou podmínku:: MK Funkci napěí F(y, z pak bude mí po kuhový y D pofil va: τy y ρ y τz Smyková napěí jsou edy dána jako: τ z z a Dále půaí: (zavedeno již v PP I z Inegací funkce napěí přes plochu půřezu učíme objem vchlíku napěí esp kouicí momen: M Gϑ = K VF F y z da = (, = y da+ z da 4 ( A ( A ( A ( A poože víme že: ( A π D da = A = 4 4 π D y da = J z =, 64 ( A ( A D D da π = Gϑ 3 4 π D z da = J y = a 64 Ze vzahu po M K získáme velikos součinu Gϑ jako: M K G ϑ = 4 π D 3 Poože součin Gϑ je definován jako kuhového pofilu oven: 4 π D J = = 3 G ϑ = M J K K 4 = Gϑ J, bude modul JK K J P Odpovídá d í Maimálních hodno dosahuje smykové napěí τ y nebo τ z na vnějším obysu: D τ ma = τ y, z( ± D = G ϑ P, Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

99 98 ODVOZENÍ KRUT TENKÉHO DLOUHÉHO OBDÉLNÍKA O Obdélníkový půřez namáhaný momenem M K má ozměy h za předpokladu, že h >> Pokud si předsavíme nad ním sesojený vchlík napěí je zřejmé, že siločáy budou v omo případě komě malé oblasi u kaších san ovnoběžné MK h s osou z Znamená o edy, že budou pouze funkcí souřadnice y a musí plai: y a z ovnice pak zbude jen jediná závislos smykového napěí τ y na z souřadnici y:, kde paciální deivaci v éo ovnici můžeme nahadi obyčejnou, poože napěí τ y je závislé pouze na jediné poměnné souřadnici y Dosaneme ak jednoduchou difeenciální ovnici: chyba Inegační konsanu C učíme z okajové podmínky Poože zřejmě musí bý uposřed pofilu smykové napěí τ y = 0, bude C = 0 a y výsledný půběh smykových napěí je popsán vzahem: z Je edy zřejmé, že po šířce obdélníkového pofilu bude smykové napěí τ y ozloženo lineáně Poože podle předpokladu je řešený obdélník dlouhý a enký (h >>, lze oo ozložení aplikova na celou jeho délku, poože chyba vznikající poél kaších san je zanedbaelná Ze známého půběhu τ y nyní můžeme uči aké funkci napěí: Z předchozích vzahů je jasné, že aké funkce napěí F bude pouze funkcí souřadnice y, a ak paciální deivaci nahadíme obyčejnou: h Tuo ovnici vyřešíme neučiou inegací levé a pavé sany: F(0 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

100 Poznámka: dlouhý řešený obdélník musí bý, abychom mohli chybu zanedba Po eno výpoče ozdělíme pofil na ři čási: I obdélník / na jednom konci II sřední obdélník (h III obdélník / na duhém konci I II III Ve sřední čási II předpokládáme, že paabolický válec popisuje / h / poměně přesně va vchlíku (h napěí Složením I a III čási vznikne čveec o saně, keý sice není řešielný přímo pomocí základních vzahů eoie kuu nekuhových pofilů, ale použijeme výsledky numeické analýzy kuu ohoo pofilu meodou konečných pvků a dosáváme výsledek: Výpočy po další poměy san obdélníka jsou pané z abulky: h [] δ J K [%] ,6 99 Z ěcho výsledků vyplývá: Považujeme-li za dosaečně malou chybu 0% a méně, bude dosaečně dlouhý obdélník se sanou h delší než cca 7-mi násobek sany Považujeme-li za dosaečně malou chybu 5% a méně, bude dosaečně dlouhý obdélník se sanou h delší než cca -i násobek sany Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

101 6 TENKOSTĚNNÉ PROFILY 00 V ěcho případech se výpoče do jisé míy zjednoduší esp budeme využíva někeé dříve zavedené a odvozené vzahy Po další posup musíme enkosěnné pofily ozděli na UZAVŘENÉ, kde sřednici voří uzavřená křivka a OTEVŘENÉ, kde je sřednicí obecná neuzavřená křivka Uzavřené enkosěnné pofily Uzavřený enkosěnný pofil můžeme chápa jako pofil mezi dvěma smykovými čaami vzniklými na vchlíku napěí Momen přenášený oblasí mezi dvěma soumezně blízkými smykovými čaami jsme odvodili při planosi zv hydodynamické analogie (τdn = kons jako: dm = τ dn da = τ dn A K Aplikujeme-li nyní eno vzah na enkosěnný pofil, kde bude loušťka dosaečně malá a sovnaelná edy s elemenání loušťkou dn, dosáváme výsledný vzah po výpoče kouicího momenu: M τ A ( c c K = sř c c Kde: A c je plocha uzavřená sřednicí uzavřeného pofilu c (uzavřená křivka, je loušťka sěny pofilu ve vyšeřovaném mísě (může se po pofilu měni τ sř je sřední hodnoa smykového napěí ve vyšeřovaném mísě (může se po pofilu měni Obáceně lze ze zadaného momenu M K a ozměů pofilu uči sřední smykové napěí τ sř jako: K esp maimální sřední napěí τ sř ma v celém pofilu: τ = sř ma M A Nejvěší sřední hodnoa smykového napěí nasává pávě am, kde je NEMENŠÍ loušťka sěny pofilu min (vzpomeňe na poznámku o Vlavě a ychlosi oku u Náodního divadla a u ZOO Nyní ješě musíme dořeši skuečné maimální napěí, keé může v pofilu vzniknou: MK c MK min Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

102 0 Přímá (málo zakřivená čás Pokud jsme na začáku přijali eoii dosaečně malé loušťky sěny a z oho plynoucí malé změny funkce napěí F(y,z po loušťce, můžeme na základě ěcho pře τe τin τsř dpokladů uvažova přibližný (lineání vzah ozložení smykových napěí: Silně zakřivená čás (oh Složiější siuace v ozložení smykových napěí vzniká v oblasi silného zakřivení pofilu (oh, kde na základě přibližné eoie lze počía ozložení napěí na křivosi o poloměu ρ podle vzahu: τ(ρ ρ Konsanu C lze odvodi pomocí Sokesovy věy po uzavřený ok ve vau: závě povés konečný přepoče dovoleného zaěžujícího momenu M KD ak, aby nejvěší maimální smykové napěí τ MAX bylo pávě ovno dovolenému napěí τ D: Poznámka: Při výpoču uzavřených pofilů bude vždy M KD < M K, poože i při vhodné konsukci ohu pofilu je eení napěí τ e na vnějším povchu nejenčí přímé čási věší než výpočové sřední napěí τ sř, keé bylo ovno dovolenému smykovému napěí τ D Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

103 0 Oevřené enkosěnné pofily Oevřený enkosěnný pofil můžeme chápa vzhledem k adiivnosi modulu J K = ΣJ Ki jako pofil složený z řady enkých dlouhých MK obdélníků Momen přenášený n enkými MK dlouhými obdélníky o ozměech h i i můžeme vyjádři jako: Nejvěší hodnoa smykového napěí nasává na vnějším esp vniřním okaji pofilu pávě am, kde je NEJVĚTŠÍ loušťka sěny ma (čím lusší ím užší a ím přenáší víc Nyní ješě musíme dořeši skuečné maimální napěí, keé může v pofilu vzniknou: Přímá (málo zakřivená čás Přímou čás již není řeba přepočíáva, poože výpoče vychází z lineáního ozložení smykových napěí s maimem na kajích půřezu (τ ma = τ D v mísech s nejvěší loušťkou sěny (sřední napěí je vždy nulové : τ sř = 0 τma ma τ sř = 0 τma Silně zakřivená čás (oh V oblasi silného zakřivení pofilu (oh vzniká opě složiější napjaos, keou vyřešíme na ρ základě přibližné eoie Napěí v ohu na křivosi o poloměu ρ lze vypočía opě podle základního τ(ρ vzahu: Jesliže jsme při návhu zaěžujícího momenu M K položili napěí v nejlusším mísě ovné dovolenému napěí τ D, musíme na závě povés konečný přepoče dovoleného zaěžujícího momenu M KD ak, aby nejvěší maimální smykové napěí τ MAX bylo pávě ovno dovolenému napěí τ D: Poznámka: Při výpoču oevřených pofilů bude M KD M K, poože při vhodné konsukci ohu pofilu je již pofil spávně nadimenzován na smykové napěí τ ma na vnějším povchu nejlusší přímé čási ovné dovolenému smykovému napěí τ D Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

104 03 Poovnání uzavřeného a oevřeného enkosěnného pofilu Po snadnější pochopení všech základních výpočů uzavřených a oevřených enkosěnných pofilů povedeme nyní sovnání obou výpočů vedle sebe včeně vyjádření odpovídajících veličin Σ Uzavřený pofil Oevřený pofil MK MK MK MK M τ C = Návh zaěžujícího kouicího momenu uz p o p Kc K = Ac min τ D K D ma G sř A c = da c (c τ M Použiá půřezová chaakeisika ds J Kc = n J = Ki i= 3 Výpoče pořebných konsan = n i= J h sř K ( c G ϑ = ϑ = J Kc Ac G ϑ ( ln Konola v přímé čási i M G ϑ ( C = ln τ 3 i ( i << h i τ e = τ D + G ϑ nepovádí se min (obsaženo již v základním návhu τ M τ ρ uz p MAX C = G ϑ ρ + ρ Konola v ohu τ ρ Maimální smykové napěí v pofilu C = G ϑ ρ + ρ o p = ma( τ ; τ τ = ma( τ ; τ e uz p D uz p KD uz p K MAX ρ Dovolené zaížení pofilu MAX τ o p τ D o p = M M = M τ τ uz p uz p KD K Výsledný momen KD o p MAX o p o p M < M M M KD D K ρ K Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

105 04 7 TECHNICKÁ PLASTICITA Úvod: Během celé dosavadní pužnosi jsme předpokládali lineání chování maeiálu edy že všechny pobíhající děje jsou vané (po Poznámka: V celé éo kapiole budeme používa saé označení meze kluzu K, i když podle nové nomy bychom měli používa po mez kluzu podmínka: K esp o ma K V případě kuu musela bý splněna podmínka: τ ma τ K, kde τ K = K /α (α = nebo V případě záy sabiliy podle Eulea byla podmínka ješě přísnější: napěím a defomací popsanou Hookovým zákonem Tahový diagam běžné konsukční oceli (budeme z něho dále vycháze: P ideální přímka K Celá PP I a dosavadní PP II (ah/lak, ohyb a ku, nádoby, Euleův vzpě u 0 E εu εk εk ε Dosavadní PP i i Rozšíření PP (s l i i Základní předpoklady úloh v echnické plasiciě: Zůsává v planosi předpoklad malých defomací (sysém je i v plasiciě sále geomeicky lineání, Maeiál v plasiciě zůsává sále ideální (izoopní bez vniřních impefekcí,, 3 Tahový diagam apoimujeme ideálně elasicko-plasickým modelem Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

106 05 Nelineání chování maeiálu vznik valých defomací (při jednoosé napjaosi: εel elasické h á í 0 E E εpl εel ε ε Po překočení meze kluzu (u maeiálů bez výazné meze kluzu po překočení smluvní meze kluzu se po odlehčení již sousava neváí do původní polohy Odlehčení pobíhá po přímce, keá je ovnoběžná s přímkou elasického chování maeiálu Dosažená defomace ε se ak po odlehčení nezaí celá, ale pouze její elasická (vaná čás Zbývající čás defomace je již valá a předsavuje plasickou (nevanou čás defomace: Elasická složka defomace odpovídá defomaci, keá by v sousavě zobazení ε el v honí čási předchozího obázku Nás bude s ohledem na další výpočy spíše zajíma plasická složka defomace, keou učíme jako: Věa o zbykových napěích (defomacích: Zbyková napěí (defomace v součási vzniklá po odlehčení lze vypočía jako ozdíl výsledných napěí (defomací a hodno napěí (defomací sanovených po ideální elasické ěleso v celém ozsahu zaěžování Tuo věu můžeme např po napěí zapsa fomálně ve vau: Poznámky: zb = sku Předchozí věa funguje i v elasické oblasi, kde bude skuečná a fikivní elasická hodnoa napěí sejná, a ak zbyková napěí zde nebudou vznika (odpovídá skuečnosi fik el Připomeňme si jeden ozdíl: Technik uvažuje skuečný sav a od něho odečíá fikivní, keý nemůže eálně nasa, zaímco ekonom počíá s fikivními penězi, ze keých se Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

107 06 Model skuečného maeiálu: Poože závislos mezi napěím a defomací získáváme z ahových zkoušek epeimenálně, je snaha uo závislos popsa maemaicky Nejčasěji se používá paabolická náhada: Konsany K a m se sanoví na základě epeimenů Náhada skuečného pacovního diagamu: 0 ε V echnické pai se velice časo spokojíme s náhadou pacovního diagamu lomenou čaou Poože předpokládáme zachování diagam, kdy již defomace dosahují akových velikosí, že by bylo řeba uvažova geomeickou nelineaiu v chování součási Lomená náhada ak popisuje jen počáeční čás ahového diagamu, kdy jsou defomace ješě malé, a poo nás ao oblas nejvíce zajímá E K K E εk ε ε E εk ε Maeiál s lineáním zpevněním Maeiál bez zpevnění (elasicko-plasický model se zpevněním(ideální elasicko-plasický model Pokud je K (elasické chování plaí u obou modelů po sanovení modulu pužnosi E vzah: E = esp ε E = K ε Modul zpevnění duhé čási náhadního Teno diagam nepředpokládá zpevnění diagamu můžeme uči ze vzahu: = 0 K E (dále budeme uvažova eno diagam Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

108 Mezní sav plasiciy: 07 Mezní sav plasiciy nasane ehdy, dojde-li v důsledku zaížení ke kvaliaivní změně v chování součási vznikne plasický mechanizmus Mezní sav plasiciy předsavuje možnou liminí hodnou při dimenzování součásí, pokud po povoz jsou přípusné malé plasické defomace Poože zaížení při mezním savu plasiciy může bý i výazně vyšší než zaížení při mezním savu pužnosi, umožňuje nám eno způsob dimenzování dosahova vyšších dovolených zaížení nebo menších pořebných ozměů Poznámka: Povšimněe si, že na ozdíl od definice věšiny předchozích mezních sa vů (pužnosi, pevnosi, není mezní sav plasiciy vázán přímo na konkéní napěí, ale na učiý yp změny v chování součási Použií ideálně elasicko-plasického náhadního maeiálového modelu: Elasick á oblas Plasická oblas Elasick á oblas Plasická oblas E Teoeicky se ideální elasicko-plasický ε model může ε nekonečně defomova, ale oo nekonečno musí zůsa v oblasi malých defomací, což je základní předpoklad celé pužnosi a pevnosi E Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

109 08 7 TAH A TLAK V PLASTICITĚ C A B F PŘÍKLAD (STATICKY NEURČITÝ TAH/TLAK V PLASTICITĚ: Dáno: Sloupek o ploše půřezu A a délky je veknuý na obou koncích (body B a C a ve dvou řeinách své délky od spodního veknuí (bod D je zaížen osamělou silou F (vlasní íhu sloupku zanedbáme Uči: Mezní sílu Fmez, keá způsobí vznik mezního savu plasiciy daného sloupku D F C /3 P A B /3 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

110 09 F F/3 F/3 KA F F KA F mez Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

111 0 Diagam závislosi napěí na zaěžující síle F esp poměu F/A: fik el zb +K sku F MEZNÍ STAV PLASTICITY F Oblas plasického mechanizmu F zb= zb K fik el sku zb Elasická oblas Elasicko-plasická oblas Je pané, že plaí: F 0 ; F sousava se chová elasicky všechny defomace jsou vané a po odlehčení nevyniknou v součási žádná zbyková napěí (F = F el F F ; F sousava se chová elasicko-plasicky po odlehčení vždy vzniknou zbyková napěí esp defomace (děje již nejsou vané F = F = F sousava se chová jako mechanizmus nasal MEZNÍ STAV PLASTICITY mez Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

112 7 KRUT V PLASTICITĚ Rozložení napěí: Teno duhý nejjednodušší yp namáhání se i v plasiciě řeší poměně jednoduše, a o zejména po kuhový nebo mezikuhový pofil Smykové napěí v celém půřezu lze oiž popsa v elasickém savu jedinou ovnicí: kde: M K [Nmm] je vniřní kouicí momen působící v daném mísě, J P [mm 4 ] je polání kvadaický momen půřezu, ρ [mm] je vzdálenos mísa půřezu od pólu půřezu, W K [mm 3 ] je půřezový modul v kuu Rozložení smykových napěí podle ohoo vzahu známe z PP I Přechod z elasického do elasicko-plasického a plně plasického savu: MK el-pl MK MK = MK el MK = MK pl τma τk τk τk D D a D elasický konec elasického elasicko-plasický plasický sav sav sav sav Pokud napěí v kajním vlákně dosáhne meze kluzu ve smyku (τ ma = τ K končí elasický sav půřezu a kouicí momen, keý eno sav vyvolá značíme: M K = M K el: Elasicko-plasický a plasický sav kuhového půřezu: Při dalším ůsu zaížení (M K > M K el již další náůs napěí v kajních vláknech není podle předpokladu možný, a ak jsou vlákna půřezu na poloměu D/ namáhána pouze napěím τ K a posupně půřez od kaje ke sředu plasizuje Půřez se dosává do elasicko-plasického savu (má ješě pužné jádo o půměu a a plasický obal na mezikuží a D Maemaicky můžeme eno sav popsa vzahem:, D Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

113 ODVOZENÍ ELASTICKO-PLASTICKÝ MODUL V KRUTU KRUHOVÉHO PRŮŘEZU: O Momen přenášený elasickým jádem M K eljáda učíme jednoduše pomocí vzahů známých z PP I: Momen přenášený plasickým obalem M K plobalu učíme inegací přes celou zplasizovanou oblas: Sečením obou čásí dosáváme hledaný elasicko-plasický momen: A odud již dosáváme hledaný modul půřezu v kuu včeně jeho diskuse: Teno výaz lze edy považova za univezální, poože s jeho pomocí jsme schopni popsa jak elasický sav, ak aké elasickoplasický sav a i sav plně plasický (vznik zv plasické spojky Planos vzahu i po plasický sav si můžeme ověři jednoduchým výpočem momenu M K : MK el-pl a D τk dt ρ dρ da Poznámka: Pokud budeme sejným způsobem řeši ubku D/d - mezikuhový půřez namáhaný kuem, dosali bychom obdobný vzah: D MK pl τk d Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

114 3 Zbyková napěí při kuu: Sanovení zbykových napěí při odlehčení puu kuhového půřezu MK el-pl τ sku τ fik τ zb nebo plas τ K D ela s jád a Předpokládejme např zplasizování pávě poloviny půměu kuhového půřezu (a = ½D Nejpve edy vypočeme velikos v nich konsanní ovnající se mezi kluzu (plasický obal Poznámka: Povšimněe si, že maimální fikivní napěí musí vyjí vyšší než mez k luzu τ K, což je opavdu pouze fikivní sav, poože základní τ sku τ fik τ zb nebo MK pl τ K plně plas +τ K +τ K Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

115 4 Využií vlasnosí funkce napěí F(y,z po řešení kuu v plasiciě Při řešení kuu v plasiciě lze s výhodou využí někeé vlasnosi, keé byly zavedeny v kapiole Ku nekuhových pofilů a keé jsou obecně plané po jakýkoliv pofil (kuh je zvlášním případem nekuhového pofilu Z ěcho vlasnosí využijeme zejména dvě: Spád vchlíku napěí je úměný velikosi smykového napěí:, Dvojnásobný objem vchlíku napěí je oven velikosi kouicího momenu: Z pvní podmínky po plasickou spojku, kdy je v celém půřezu smykové napěí ovno mezi kluzu ve smyku τ K, vyplývá, že spád vchlíku napěí musí bý konsanní a musí plai: ϕ = τ g K Podle duhé podmínky sačí vypočía objem ělesa sesojeného nad příčným půřezem řešeného pofilu za povšek Podle éo eoie bude mí u kuhu vchlík va kužele, u mezikuhu va komolého kužele, u čvece va jehlanu a u duého čvece (jekl bude mí va komolého jehlanu D D d ϕ B ϕ = kons MK = V Pandlův Nádaiův B b M K pl M K pl M K pl M K pl kuhový mezikuhový čvecový duý čvecový pofil pofil pofil MK MK MK MK Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

116 5 73 OHYB V PLASTICITĚ Rozložení napěí: Teno yp namáhání se i v plasiciě řeší poměně jednoduše Ohybové napěí v celém půřezu lze oiž popsa v elasickém savu jedinou ovnicí: kde M o je ohybový momen působící v daném mísě, J z je osový kvadaický momen půřezu k ose z, η je vzdálenos mísa půřezu od neuální osy půřezu (předpokládáme ovinný ohy o n z, W oz je půřezový modul v ohybu k ose z Rozložení ohybových napěí podle ohoo vzahu odvodil Benoulli a známe ho z PP I a např po obdélník b h bude podle pvního obázku Další posup plasizace je paný z dalších obázků: Přechod z elasického do elasicko-plasického a plně plasického savu: y Mo Mo = Mo el Mo el-pl Mo = Mo pl h z a b o ma K K K elasický konec elasicko-plasický plasický sav elasického savu sav sav Pokud napěí v kajním vlákně dosáhne meze kluzu ( o ma = K končí elasický sav půřezu a ohybový momen, keý eno sav vyvolá značíme: M o = M o el Při dalším ůsu zaížení (M o > M o el již další náůs napěí není podle předpokladu možný, a ak vnější vlákna půřezu jsou namáhána pouze napěím K a posupně plasizují Půřez se dosává do elasicko-plasického savu - má pužné jádo o výšce a a plasický obal na v oblasi od a/ h/ v honí i dolní čási půřezu Maemaicky můžeme eno sav popsa vzahem: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

117 6 ODVOZENÍ ELASTICKO-PLASTICKÝ MODUL PRŮŘEZU V OHYBU OBDÉLNÍKOVÉHO PRŮŘEZU: Celkový elasicko-plasický momen je součem momenu, keý přenáší elasické jádo a momenu, keý přenáší plasický obal řešeného obdélníkového půřezu:, Momen přenášený elasickým jádem M o eljáda učíme jednoduše pomocí vzahů známých z PP I: O Momen přenášený plasickým obalem M o plobalu učíme inegací přes celou zplasizovanou K oblas: dn Mo el-pl da Sečením obou čásí dosáváme hledaný celkový elasicko-plasický momen přenášený půřezem: A odud již dosáváme hledaný modul půřezu v kuu včeně jeho diskuse: b Teno výaz lze edy považova za univezální, poože s jeho pomocí jsme schopni popsa jak elasický sav, ak aké elasickoplasický sav a i sav plně plasický Planos vzahu i po plasický sav si můžeme ověři jednoduchým výpočem momenu M K : Výpočy po jiné půřezy bychom pováděli obdobně a h Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

118 7 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09 TABULKA PLASTICKÝ PRŮŘEZOVÝ MODUL V OHYBU WO PL Přehled plasických půřezových modulů v ohybu Wo pl a z nich plynoucí velikosi plasických momenů Mo pl, keé způsobí vznik plasického kloubu je po vybané pofily abulce: 4 4 h b h h b W pl o = = 4 h b M K pl o = a a a a W pl o = = 4 3 a M K pl o = a a a W pl o = = 6 3 a M K pl o = Vzdálenos ěžišě půlkuhu od půměu je: a e = 6 T 6 π π 3 D D D W pl o = = 6 3 D M K pl o = Vzdálenos ěžišě půlky čvece od úhlopříčky je: π 3 4 D e = T ( a a a a a W pl o + = + = ( a a M K pl o + = Pofil je volen ak, aby pásnice měla sejnou plochu jako sojina: a A A dol ho = = ( ( + = + = = + = h h b M h h b h h h b W K pl o pl o + = + = 4 4 h h b h h h b W pl o + = 4 h h b M K pl o Všechny předchozí výpočy využívají fak, že plasický půřezový modul v ohybu Wo pl je dvojnásobným saickým momenem poloviny plochy půřezu Son k neuální ose v ohybu v plasiciě o n pl, keá nemusí pocháze ěžišěm ale musí děli pofil na dvě shodné plochy: Aho = Adol (Aho + Adol = A on pl h b h je výška celého pofilu h je výška celého pofilu loušťka << h, b on pl b h on pl a a on pl a a on pl D on pl a a on pl h b T

119 8 Zbyková napěí při ohybu: Sanovení zbykových napěí při odlehčení puu obdélníkového půřezu (b h z elasicko-plasického savu při zaížení momenem M o el- pl znamená nejpve popsa skuečná napěí v elasicko-plasickém savu o sku a následně napěí fikivní o fik, keá by v půřezu vznikla při elasickém chování maeiálu po celou dobu zaěžování o sku o fik o zb nebo plas h a elas plas b K Předpokládejme např zplasizování pávě poloviny obdélníkového půřezu (a = ½h Nejpve edy vypočeme velikos elasickoplasického momenu M o el-pl, keý eno sav způsobuje, jako: Teno momen vyvolá skuečný půběh napěí o sku odpovídající elasicko-plasickému ozložení od osy až do vzdálenosi ±h/4 je půřez ješě v elasickém savu (elasické jádo a ozložení se řídí Benoulliho eoií Zbývající čási půřezu od ±h/4 do ±h/ jsou již plně zplasizovány a ohybové napěí je v nich konsanní ovnající se mezi kluzu (plasický obal olovinu řešeného půřezu Maimální fikivní napěí vypočeme pomocí elasického elasicky během celého zaěžování: Poznámka: Povšimněe si, že maimální fikivní napěí musí bý vyšší než mez kluzu K, což je opavdu pouze fikivní sav, poože základní předpoklad echnické plasiciy je ideální elasicko-plasický model, keý při dosažení meze kluzu K předpokládá nekonečné defomace a mez kluzu K již dále nepřekačuje Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

120 9 Zbykové napěí o zb vypočeme jako ozdíl skuečného napěí o sku a fik fikivního napěí o Zbykové napěí vznikající v kajních vláknech půřezu je: 8 fik o zb okaj = o sku o ma = + K K = K Další lokální eém vzniká na haně elasického jáda, kde je skuečné napěí sále ovno mezi kluzu ( o sku = K, ale fikivní napěí fik o je řeba dopočía podle Benoulliho eoie za použií kvadaického momenu půřezu jako: M a bh 48 fik o el pl o el jáda = = K = K 3 J z el bh 4 6 Výsledné zbykové napěí v omo mísě bude: fik o zb el jáda = o sku o el jáda = K K = + K Míso, kde budou zbyková napěí nulová ( o zb = 0, komě neuální osy pocházející ěžišěm půřezu, učíme z jednoduché podmínky: Odkud dosáváme: 6 fik ( 0 o sku o = M o el pl 0 = K = K 0 = J 4h 4h z el h = h Pokud bychom pováděli odlehčení z plně zplasizovaného savu půřezu (sav odpovídající eisenci plasického kloubu, budou zbyková napěí na okaji a ve sředu půřezu:, o sku o fik o zb nebo plas + h/3 K Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

121 PŘÍKLAD (STATICKY NEURČITÝ OHYB V PLASTICITĚ: Dáno: Je dán saicky neučiý nosník veknuý v bodě a podepřený v bodě Uposřed je zaížen osamělou silou F Nosník má obdélníkový pofil b h a je vyoben z maeiálu o mezi kluzu K Uči: Velikos mezní síly Fmez, keá způsobí vznik plasického mechanizmu po ideální elasickoplasický maeiál Řešení: Meoda uvolnění: M ( M ( F mez M o pl F / / F + F 4 +M o pl F R ( 0 P +R ( + R ( M o pl +M o pl Meoda viuálních pací: / / δα plas kloub M o pl M o pl δu plas kloub ( F mez M o pl δα Závěečné dosazení: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

122 74 PLASTICITA PŘI VÍCEOSÉ NAPJATOSTI Všechny předchozí úvahy se ýkaly jednoosé napjaosi při známé mezi kluzu v ahu/laku esp napjaosi čisého smyku při volném považován sav, kdy jednoosá napjaos esp napjaos čisého V případě víceosé napjaosi je řeba uvažova ineakci jednolivých složek a jejich podíl na celkovém savu napjaosi řešeného mísa V ěcho případech je řeba počáek plasického savu uči pomocí PODMÍNKY PLASTICITY (obdoba eoie/hypoézy pužnosi Sejně jako v elasickém savu eisuje i v plasiciě celá řada eoií, ale nejjednodušší a nejpoužívanější jsou dnes dvě hlavní Podmínky plasiciy: Sain-Vénanova podmínka Tao podmínka odpovídá známé Tescově hypoéze esp hypoéze τmax Počáek plasického savu nasává ehdy, je-li půmě nejvěší Mohovy kužnice oven mezi kluzu: ma min K = Pokud známe pořadí velikosí hlavních napěí > > 3, můžeme ain- Vénanovu podmínku psá: ří hlavních napěí nejvěší a nejmenší 3 Posřední napěí ve vzazích vůbec nevysupuje Výhodou éo podmínky je její jednoduchos, keá nekomplikuje výpočy Enegeická podmínka Tao podmínka je aké nazývána podle svých auoů (Hube-Mieses- Hencky a odpovídá známé enegeické hypoéze esp hypoéze HMH Počáek plasického savu nasává ehdy, je-li inenzia napěí i ovna mezi kluzu: Teno výaz můžeme zapsa podle známých vzahů z PP I ve vau: Známe-li velikosí hlavních napěí,,3 (na pořadí nezáleží, můžeme enegeickou podmínku psá: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

123 Hencky-Nádayova eoie plasiciy Tao eoie mezi sebou váže hlavní napěí,,3 a hlavní převoření ε,,3 (obdobně jako Hookův zákon: Obdoba s ozšířeným Hookovým zákonem je paná Modul pužnosi E je nahazen podílem ε i/ i a Poissonovo číslo µ je nahazeno konsanou ½ (ideální hodnoa součiniele příčné konakce při planosi zákona zachování objemu, keý ideální plasicia předpokládá Inenzia napěí je: Inenzia defomací je: ODVOZENÍ URČENÍ PRŮBĚHŮ NAPĚTÍ A MEZNÍHO TLAKOVÉHO SPÁDU SILNOSTĚNNÉ VÁLCOVÉ NÁDOBY (TRUBKY Silnosěnná válcová nádoba o poloměech a je namáhána vniřním přelakem p > p Celá nádoba je vyobena z maeiálu o mezi kluzu K p O Při odvození vzahů popisující ečné napěí a adiální napěí plasickém savu silnosěnné nádoby vyjdeme ze základní difeenciální ovnice, keou jsme popsali ovnováho elemenu vyjmuého ze sěny ve vzdálenosi od osy nádoby: d d[ ( ] ( d = 0 ( ( + = 0 d Předpoklady řešení: Z eoie silnosěnných nádob vyplývá, že vždy plaí: ( > ( Tubka je dosaečně dlouhá a osovou defomaci zanedbáváme (ε o = 0 Vzah po osovou defomaci můžeme pomocí Hencky-Nádayovy eoie plasiciy zapsa jako: ε i ε o = o ( + = 0 i Odkud vyplývá po nenulový podíl inenzi defomace a napěí (ε i/ i 0 vzah: p Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

124 3 Sain-Vénanova podmínka plasiciy: ( ( = Enegeická podmínka plasiciy: Inenziu napěí nejpve vyjádříme pomocí všech ří napěí: OP K Půběhy ečného napěí ( a adiálního napěí ( v plně plasickém savu silnosěnné válcové nádoby (ubky při zaížení laky p a p na poloměech a jsou logaimické navzájem posunué křivky (ekvidisany Vzdálenos mezi oběma křivkami je po celé loušťce sěny ovna pávě mezi kluzu K - nádoba je celá p p ( p p K K + ( Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

125 Silnosěnná nádoba v pužně-plasickém savu (dle S-Vénana a τmax: 4 Jedná se o silnosěnnou nádobu (ubku, keá je mezi poloměy a již zplasizovaná ( ed = K, zaímco čás mezi poloměy a 3 je ješě v elasickém savu ( ed < K Výpoče elasicko-plasického savu je v mnohém podobný výpoču dvou nalisovaných nádob jen s ím ozdílem, že zde se každá z čásí počíá podle jiné p 3 eoie Výazný ozdíl nasává ve p 3 K el spojení obou čásí, poože se ve el el ( ( el p skuečnosi jedná o jedno ěleso pl p pl ( a dělení je jen pomyslné Ve pl ( p p + spojení plasické čásí s čásí K elasickou ak nesmí v půběhu 3 K adiálního napěí ( ale ani ečného napěí ( nasa skok Výpoče jednolivých čásí nádoby: Po plasickou čás ak podle Sain-Vénanovy podmínky plasiciy plaí: ( p p = K ln pl Po elasickou čás obdobně podle hypoézy τmax plaí: ( p p K = 3 el Poože sejně jako u nalisované nádoby musí lak p působi na poloměu jak na vniřní plasickou čás, ak i na vnější elasickou čás nádoby, získáme sečením obou vzahů výsledný lakový spád (p p 3 el-pl, keý způsobuje elasicko-plasický sav nádoby/ubky (od až do je plasická čás ubky a od až do 3 elasická čás ubky ( p p = a ( p p K ln pl 3 K = 3 el 3 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

126 5 Zbyková napěí ve sěně silnosěnné nádoby po odlehčení z mezního savu: PŘÍKLAD (SILNOSTĚNNÁ NÁDOBA ZBYTKOVÁ NAPĚTÍ: Dáno: Oevřená silnosěnná válcová nádoba má ozměy = 00 mm, = 50 mm, zaížena je vniřním přelakem p (p = 0 a je vyobena z maeiálu o mezi kluzu K = 00 Nmm - P Uči: Mezní elasický lak p el odpovídající konci elasického savu, mezní plasický lak p pl = p mez odpovídající zplasizování celé sěny silnosěnné nádoby a půběhy zbykových napěí po odlehčení z mezního savu plasiciy Řešení: Skuečný sav Fikivní sav Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

127 6 skuečný sav (mezní sav fikivní sav (elasický sav sku ( fik ( p mez p mez K fik sku o sku fik o fik sku ( sku ( fik ( fik ( p mez 8, 0 64,9 9, , o sku fik sku zb fik o zb 8, 8,9,7 9, Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

128 7 8 ZÁKLADY LOMOVÉ MECHANIKY Snahou lomové mechaniky je popis vzniku a šíření hliny v maeiálu Při popisu jsou využívány ůzné přísupy a pincipy: - fyzikální modely (na základě fyziky maeiálu - maemaické modely (na základě numeických meod - empiické modely (na základě výsledků zkoušek Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

129 8 Společnčm ysem současného sojíensví jsou poichůdné požadavky: Zv ši v kon, zachova bezpečnos Například zvýši výkon, ale zachova bezpečnos a b Lom: Různá hlediska popisu lomů: Fyzika pevných láek Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

130 9 Fakogafie 3 Mechanika poddajných ěles Klasifikace lomů: a Podle ypu maeiálu a Podle ypu maeiálu Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

131 30 LOMY: KŘEHKÉ mechanizmus lomu TVÁRNÉ Poznámka: šíření hliny příklady Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

132 3 KLASIFIKACE LOMŮ Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

133 3 TĚLESO S TRHLINOU Rozměy hliny Sanovení podmínek šíření hliny Alan Anold Giffih ( podobnos savu napjaosi na čele hliny Geoge Rankin Iwin ( emodynam ovnováha ělesa s hlinou a Teoie Alana Anolda Giffihe Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

134 33 Podmínky samovolného šíření hliny b Teoie Geoge Rankina Iwina Mód I ahový Mód II ovinný smykový Mód III aniovinný smykový Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

135 34 Savy, kdy hlina nemá vliv na napjaos Napjaos v Módu I Napjaos v Módu II Napjaos v Módu III Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

136 35 Podle Wesegadova řešení mají výsledné vzahy po pole napjaosi v ěsném okolí čela hliny ( << a v nekonečném ovinném ělese podobnou sukuu: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

137 36 Williamsův ozvoj: Použijeme pouze pvní člen, keý upavíme do vau: kde zavedeme fako inenziy Kk jako: Teno fako chaakeizuje výsledné mechanické namáhání v ěsném okolí čela hliny Po nekonečné ěleso s přímou hlinou délky a je: Fako inenziy napěí Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

138 37 Vliv plasické zóny Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

139 38 Lomová houževnaos K kc : Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

140 39 Lomová houževnaos Kkc : Lomová houževnaos závisí: na maeiálu na eploě na ychlosi zaěžování na posředí (kooze, vodíkové křehnuí, adiační křehnuí, Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

141 40 SOUVISLOST MEZI GRIFFITHOVÝM A IRWINOVÝM PŘÍSTUPEM Oba přísupy Giffihův i Iwinův definují kiéium, podle keého lze ozhodnou, zda ěleso z daného maeiálu, s hlinou dané geomeie, zaížené daným způsobbem je v daných podmínkách ve savu, kdy se hlina může samovolně a ychle šíři Giffihův přísup Bilance páce, keou mohou při ozšíření hliny vykona vniřní a vnější síly a páce spořebované na vznik volných povchů Po hlinu na mezi sabiliy v módu I plaí: Iwinův přísup Poovnání savu napjaosi na čele obecné hliny se savem napjaosi na čele hliny na zkušebním vzoku při počáku nesabilního šíření Po hlinu na mezi sabiliy v módu I plaí: OBOR PLATNOSTI LINEÁRNÍ LOMOVÉ MECHANIKY (LLM Iwin připusil poušení ohoo předpokladu pouze v akové oblasi na čele hliny, jejíž délka je výazně (více než 0 menší, než délka hliny V akových případech je adekvání zv LINEÁRNÍ LOMOVÁ MECHANIKA (LLM Sav, kdy je v plasickém savu podsaná čás nosného půřezu, není z hlediska LLM pří-pusný Přísupy, keé zohledňují při řešení šíření hlin v podmínkách ozsáhlé plasizace označujeme společným názvem ELASTICKO- PLASTICKÁ LOMOVÁ MECHANIKA (EPLM nebo NELINEÁRNÍ LOMOVÁ MECHANIKA (NLLM Fedeeovo kiéium: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

142 4 STANOVENÍ PODMÍNEK NÁHLÉHO ŠÍŘENÍ TRHLINY POMOCÍ J-INTEGRÁLU Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

143 4 UPLATNĚNÍ J-INTEGRÁLU V NELINEÁRNÍ LOMOVÉ MECHANICE ELASTICKO PLASTICKÁ LOMOVÁ MECHANIKA (EPLM Paame kiického oevření na čele hliny (CTOD je založen na pozoování, že před náhlým lomem se v kořeni hliny její líce oddálí INICIACE A RŮST TRHLIN Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

144 43 Z makoskopického pohledu lze na únavové poškození nahlíže jako na poces s elaivně osře oddělenými řemi eapami: Iniciace: Šíření hlin: Dolom: STABILNÍ ŠÍŘENÍ TRHLIN V oce 96 byl fomulován Paulem C Paisem fenomenologický model sabilního šíření únavových hlin při cyklickém zaěžování P C Pais, M P Gomez, W E Andeson: A aional analyic heoy of faigue The Tend in Engineeing 96, 3: pp 9-4 Paisův zákon vyjadřuje příůsek délky hliny na jeden cyklus v závislosi na ozkmiu fakou inenziy napěí: Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

145 44 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

146 45 9 LITERATURA [] MICHALEC, Jiří, a kol: Pužnos a pevnos II, Vydavaelsví ČVUT, Paha 994, 000 a 006 [] VALENTA, Fanišek, a kol: Pužnos a pevnos III, Vydavaelsví ČVUT, Paha 995 a 00 [3] ŘEZNÍČKOVI, Jan a Jika: Pužnos a pevnos v echnické pai - Příklady II, Nakladaelsví ČVUT, Paha 006 [4] ŘEZNÍČEK, Jan: Pužnos a pevnos I Přednášky, Podklady po sudeny FS ČVUT v Paze, dosupné z: hp://puznosunascz, Paha [5] PARIS, P C, GOMEZ M P, ANDERSON W E: A aional analyic heoy of faigue The Tend in Engineeing 96, 3: pp 9-4 Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

147 46 DOSLOV Vážené kolegyně a vážení kolegové, ád jsem s Vámi ávil každý ýden pondělní dopoledne až poledne v mé duhé nejoblíbenější učebně budovy Fakuly sojní ČVUT v Paze v Dejvicích, keá nese oficiální označení T4:D-66 (nejaději mám T4:D-56, ale na u nás bylo málo Sejně jako v Pužnosi a pevnosi I bylo mou snahou Vám předa přijaelnou fomou co nejvíce infomací, keé by Vám alespoň ochu usnadnily přípavu ke zkoušce z Pužnosi a pevnosi II Snažil jsem se opě ukáza, že se s pužnosí a pevnosí sekáváme každý den, a ak doufám, že jsem Vás moc nenudil a že všichni zvládnee zkoušku bez vážnějších poblémů Nezapomeňe, že moje nabídka z pvní přednášky na pomoc při řešení Vašich osobních a sudijních poblémů není časově omezená, a ak si můžee přijí poblémy vyříka, i když už Vás nebudu uči, poože chě nechě mými sudeny budee sále, ať Vás učím nebo ne Všem Vám přeji hodně úspěchů v nasávajícím zkouškovém období, a o nejen při zkoušce z Pužnosi a pevnosi II, ale i z osaních předměů, keé jsou neméně důležié po Vaše další sudium Hlavně Vám přeji pevné zdaví, poože bez něho o nejde A snad někdy v budoucnu u někeého z předměů vyšší pužnosi v navazujícím magiseském sudiu na shledanou! Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

148 47 POZNÁMKY Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09

149 KDOPAK VÁS TO VLASTNĚ UČIL? Naodil jsem se v oce 957 Základní devíileou školu a gymnázium jsem absolvoval v Benešově V leech 976 až 98 jsem sudoval na Fakulě sojní ČVUT v Paze magiseský (inženýský obo Aplikovaná mechanika Ihned po absolvování fakuly jsem nasoupil do podniku Teploechna a následně na pezenční službu do amády, kde jsem působil ok jako echnik a saal se všechna možná vojenská vozidla V oce 98 jsem nasoupil na ehdejší Kaedu pužnosi a pevnosi na sáž a ím pádem od oku 98 pavidelně učím na fakulě Začínal jsem nejpve ím nejjednodušším Pužnosí a pevnosí I Posupně jsem si oufnul i na Pužnos a pevnos II a další oboové předměy V leech jsem souběžně pacoval ve výpočením oddělení SVÚSS v Paze Běchovicích Po ozdělení Československa a vzniku samosané Fakuly dopavní na ČVUT v Paze jsem am v leech přednášel a cvičil Pužnos a pevnos V současnosi dále na Fakulě sojní učím předměy: Epeimenální meody ceifikace sojů v bakalářském sudiu a Pevnos leadel a mooů v navazujícím magiseském sudiu Od oku 006 jsem členem vedení fakuly a od oku 00 jsem poděkanem po pedagogickou činnos Fakuly sojní ČVUT v Paze Mým heslem je: Přednášky jsou jedno velké divadlo, a jesli o je komedie nebo NEJSEM JENOM UČITEL! Komě pužnosi a pevnosi, esp celé mechaniky mám ješě jednoho koníčka edy vzpínajícího se koně na zadních Již dlouhá léa sbíám modely Feai fomule od očníku 950 až po dnešek Řada z vás aké zná můj čevený oh v kanceláři, keý se snažím neusále doplňova o další a další eempláře všech velikosí od malých měříek /7 přes /43, Přednášky z nové PP IIA ( A5 ZS akademického oku 08/09 /36, /3, /4 až po nejvěší /8

150 Jan Řezníček PRUŽNOST A PEVNOST II PŘEDNÁŠKY Podklady po přednášky v bakalářském sudijním pogamu: Teoeický základ sojního inženýsví a případně v pogamu Sojíensví Fakula sojní České vysoké učení echnické v Paze, Technická 4, Paha 6, Vysaveno dne 0 září 08 na: hp://wwwpuznosunascz Vydání DESÁTÉ (pvní vydání akademický ok 009/00 55 san a 56 obázků