a a = A. sin b = A. cos

Transkript

1 Metody lýzy čsově proměýh sigálů 1 Mtemtiý popis hrmoiého sigálu Hrmoiý sigál je popsá třemi veličimi: mplitudou, reveí ází. Čsový průběh hrmoiého sigálu můžeme vyjádřit mtemtiy: (t) = A. si(t + ) [1] ebo (t) = A. os(t + ) [1] eto sigál můžeme popst té pomoí slože vzájem olmýh: (t) =. os(t) + b si(t) [] Pro převod mezi vyjádřeím [1] (polárím) [] (prvoúhlým) pltí vzthy: A = A. si b = A. os [ Kotrol doszeím do []: (t) = A.si. os t + A.os. si t = A. si (t + ) ] Vyjádřeí expoeiálím tvrem omplexího čísl je ještě stručější: j( t + (t) = A. e ) b rtg b b A A t -A Zázorěí čsového průběhu obeého hrmoiého sigálu Veličiy, určujíí hrmoiý průběh: A mplitud sigálu [ V ebo A ] dob periody sigálu [ s ] ázový posuv [ rd ] = 1 / revee [ s -1 ] = ruhová revee [ rd. s -1 ] Hrmoiý průběh té vyjdřujeme jo ázor (vetor, rotujíí úhlovou ryhlostí ).

2 Metody lýzy čsově proměýh sigálů Slučováí hrmoiýh sigálů Při lieárím sčítáí hrmoiýh sigálů mohou stt ásledujíí přípdy: Sčítáí sigálů se stejými reveemi: Jestliže si průběhy přestvíme jo ázory, teré rotují stejou ryhlostí, je zřejmé, že jejih vzájemá áze se ebude měit. Výsledem sečteí bude opět hrmoiý sigál s reveí shodou s reveí dílčíh sigálů, mplitud áze je urče jejih vetorovým součtem. eto přípd je zám z řešeí obvodů střídvého proudu. Im() A 1 A1 A Re() Sčítáí sigálů se zčě odlišými reveemi Dob periody druhé složy sigálu je ěoliásobem doby periody prví složy sigálu. Při pozorováí tového výsledého sigálu osilosopu lze zřetelě rozlišit jedotlivé revee. u 1(t) u (t) t t Jedotlivé sigály lze z tohoto výsledého sigálu opět oddělit pomoí dolí horí propusti s vhodě voleými mezími reveemi. u (t) t Sčítáí sigálů s velmi blízými reveemi Jestliže sečteme dv sigály s blízými reveemi, u ihž se dob periody je málo liší, můžeme použít ásledujíí úvhu: Předpoládejme, že v určitém omžiu jsou sigály ve ázi, jejih mplitudy se sčítjí. Po prví periodě sigálu s vyšší reveí je sigál s ižší reveí o část periody zpoždě. V dlší periodě se zpožděí zvýší, 1 z určitou dobu budou sigály v protiázi, jejih mplitudy se odčítjí. P se vzájemá áze opět měí t, že se sigály sčítjí ve ázi. Periodiy se měí výsledá mplitud -1 sigálu s reveí, vziá zázěj. Jestliže jsou mplitudy sigálů stejé, mplitud se bude měit podle druhého obrázu Frevee zázěje se rová rozdílu obou reveí. Z =

3 Metody lýzy čsově proměýh sigálů 3 Sčítáí sigálů se soudělými reveemi Jestliže sigálu se záldí reveí přičteme druhý sigál s reveí, terá je elistvým ásobem revee záldí, dosteme výsledý sigál, terý již eí hrmoiý, le obeě periodiý. N sousedíh obrázíh je uvede součet záldí revee (s mplitudou 1) se sigálem s reveí trojásobou. Z obrázů je zřejmé, že tvr výsledého průběhu je závislý eje vzájemém poměru mplitud, le té jejih ázi. yto ásoby záldí revee se zývjí vyšší hrmoié. Přidáváím dlšíh hrmoiýh s růzými mplitudmi ázemi je možé vytvořit libovolý periodiý průběh. V ustie udává revee záldí hrmoié výšu tóu, obsh vyššíh hrmoiýh určuje brvu tóu. ó růzýh hudebíh ástrojů se tedy liší čsovým průběhem, terý obshuje rozdílé vyšší hrmoié Hrmoiá lýz Jestliže můžeme ze sigálu o určité záldí revei vytvořit přidáím vyššíh hrmoiýh libovolý periodiý průběh, je logié předpoládt, že je možé libovolý obeý periodiý průběh převést řdu hrmoiýh průběhů. to řd je obeě eoečá může mít tvr (t) = A + A 1. si(t + 1) + A. si(t + ) + A 3. si(3t + 3) +... de A stejosměrá slož A mplitud -té hrmoié, - přirozeé číslo v rozshu 1 ž (A 1 mplitud záldí hrmoié, A, A,... mplitudy vyššíh hrmoiýh) áze -té hrmoié Řdu lze té psát ve tvru: t A A si t. 1 Pro výpočet se tto řd převádí stdrdí tvr Fourierovy řdy, v íž jsou jedotlivé hrmoié určey siovými osiovými složmi.

4 Metody lýzy čsově proměýh sigálů 4 Fourierov řd Libovolý periodiý průběh můžeme hrdit eoečou trigoometriou Fourierovou řdou: (t) = / + 1. os t +. os t + 3. os 3t b 1. si t + b. si t + b 3. si 3t +... terou lze té psát ve tvru: t os. t b si. t 1 Koeiiety,, b lze určit výpočtem itegrálů: Povšiměme si, že pro stejosměrou složu je os = 1 proto t os t dt b t si t dt t V příručáh [Brtsh: Mtemtié vzore] je pro zjedodušeí ue čsu převede úhel x (x = t), period je p. Vzore pro výpočet oeiietů p budou: 1 x os x dx b 1 x si x dx 1 x dx Pro použití těhto vzorů je vš uté, by průběh sigálu byl deiová mtemtiy. Smozřejmě je té třeb umět tový itegrál vypočítt. Nštěstí jsou v příručáh uvedey vzore pro záldí průběhy (impulsí, obdélíový, trojúhelíový, pilový lihoběžíový td.). Kromě toho jsou u ěterýh průběhů určité oeiiety ulové. Prvidl pro zjedodušeí výpočtu Fourierovy řdy (t) 1. Fue, u ihž se v itervlu <, ) ploh d osou X rová ploše pod osou X (S1 = S), emjí stejosměrou složu, =.. Fue středově souměré podle počátu [-(t) = (-t)] mjí pouze siové složy, všehy osiové složy jsou ulové. -/ S1 (t) S t t / 3. Fue osově souměré podle osy Y [-(t) = (-t)] mjí pouze osiové složy, všehy siové složy jsou ulové. -/ (t) t / (t) 4. Fue, jejihž průběh z prví poloviy periody se v druhé poloviě opuje s opčým zméem, mjí pouze lihé hrmoié. t 5. Fue, jejihž průběh z prví poloviy periody se v druhé poloviě opuje se stejým zméem, mjí pouze sudé hrmoié. Nulová je té prví hrmoiá. (t) t

5 Metody lýzy čsově proměýh sigálů 5 Numeriá metod výpočtu oeiietů Fourierovy řdy U průběhů zísýh měřeím bývá obtížé převést je lytiou ui. V tovém přípdě je možé řešeí provést umeriy. Při tomto způsobu ejprve rozdělíme periodu sigálu oečý počet stejýh dílů s veliostí x = / v jejih oovýh bodeh určíme hodoty ue y. ím vyjádříme spojitou uí oečým počtem hodot, vzorů. Čím je větší počet dílů, tím je přesější výslede. Zároveň s tím se le zvětšuje možství potřebýh výpočtů. Pro určeí hrmoiýh musíme volit počet dílů +. Nyí můžeme itegrály pro výpočet oeiietů Fourierovy řdy hrdit přibližým výpočtem výsledé plohy itegrálu tím, že pro ždý vzore vyásobíme hodotu ue siem ebo osiem příslušého úhlu.x. Po vyásobeí hodotou x dosteme plohu obdélíu o šíře x výše, terý předstvuje hodotu vypočteé ue. Sečteím těhto obdélíčů zísáme přibližou hodotu hledého itegrálu. to metod se proto zývá obdélíová. Protože všehy obdélíy mjí stejou šířu, přejdou vzore pro výpočet oeiietů tvr: b Stejosměrá slož bude: 1 1 y y y 1 os x si x Je zřejmé, že bude uté provést zčý počet výpočtů, proto bude vhodé použít pro zázm výsledů tbulu, ebo přímo tbulový lulátor. y y y1 y y1 y1 1 x = 1 x,5 rd hrmoiá: (vzore) y (ue) x (úhel) os x si x.os x.si x.os x.si x.os 3x.si 3x.os 4x.si 4x 1,,5,87,5 1,73 1, 1, 1,73,, -1, 1,73 4,6 1,5,5,87,3 3,98 -,3 3,98-4,6, -,3-3,98 3 5, 1,57, 1,, 5, -5,,, -5, 5,, 4 4,8,9 -,5,87 -,4 4,16 -,4-4,16 4,8, -,4 4,16 5 4,,6 -,87,5-3,46,, -3,46, 4, -, -3,46 6, 3,14-1,, -,,,, -,,,, 7 1,4 3,67 -,87 -,5-1,1 -,7,7 1,1, -1,4 -,7 1,1 8,6 4,19 -,5 -,87 -,3 -,5 -,3,5,6, -,3 -,5 9-1, 4,71, -1,, 1, 1,,, -1, -1,, 1-1,8 5,4,5 -,87 -,9 1,56,9 1,56 1,8,,9-1, , 5,76,87 -,5-1,4,6 -,6 1,4, 1,,6 1,4 1 1, 6,8 1,, 1,, 1,, 1,, 1,, součet 1,4-6,3 18,1 -,,4 1,6 -, -, -1,4 3,57 / b -1,5 3,1 -,33,4,7 -,3 -,3 -,3 A 1,78 A 3,19,5,7,3 1,91,6 -,1-1,71

6 Metody lýzy čsově proměýh sigálů 6 Griá metod pro určeí oeiietů Fourierovy řdy Přesost této metod eí velá, le může usdit pohopeí výzmu předhozíh výpočtů dlšíh úvh v ásledujíí metodě. Především si uvědomíme, že vyásobeí hodoty ue y siem osiem příslušého úhlu vlstě určuje souřdie oového bodu vetoru dély y, točeého v tomto úhlu. Součty jedotlivýh slože lze vyjádřit griy jo součet těhto vetorů. y y y y1 y y1 x Pro zázorěí postupu použijeme předhozí průběh. Z gru vybereme hodoty y1 ž y1 zázoríme je jo vetory. Připrvíme hvězdii s dváti polopřímmi, s děleím po 6. Pro ostrui oeiietů 1. hrmoié vyeseme tyto směry hodoty y1 ž y1 provedeme jejih součet. Pro ostrui oeiietů 1. hrmoié vyeseme hodoty y1 ž y1 postupě směry s dvojásobým úhlem provedeme součet. Amplitudu ázi, přípdě osiové siové složy určíme z výsledého vetoru, směřujíímu e oi vetoru y1. Obdobý postup použijeme pro stoveí 3. 4 hrmoié. y1 y1 y1 y y1 y1 y y y y y1 y1 y1 y1 y1 y1 y1 y1

7 Metody lýzy čsově proměýh sigálů 7 Ryhlá Fourierov trsorme (Fst Fourier rsorm - FF) Fourierov trsorme se provádí určitém čsovém úseu sigálu, terý obeě emusí odpovídt době periody určitého periodiého sigálu. Jestliže zvolíme pro trsormi čsový úse, terý právě odpovídá době periody, je výsledem Fourierov řd. F. řd je tedy speiálím přípdem F. trsorme. Disrétí Fourierov trsorme je obdobou umeriého výpočtu oeiietů Fourierovy řdy. rsormový čsový úse se rozdělí N úseů, hodoty ue v oovýh bodeh těhto úseů se použijí pro výpočet mplitud příslušýh slože. Frevee těhto slože se vš evzthují periodě sigálu, le použitému čsovému úseu. Ryhlá Fourierov trsorme (FF) je lgoritmus výpočtu disrétí Fourierovy trsorme, terý umožňuje sížit počet prováděýh dílčíh výpočtů tím elý výpočet zčě zryhlit. Úspor čsu je zvláště zřetelá u velého počtu vzorů. Pro dosžeí optimálího čsu výpočtu se měřeý úse dělí počet stejýh úseů, jejihž počet je rove právě moiě (př. 51 ebo 498). Výsledem trsorme bude počet hrmoiýh (odvozeýh od dého itervlu), terý je poloviou počtu úseů (vzorů). Zísé spetrum bude obshovt ultou hrmoiou (stejosměrou složu), revee prví hrmoié bude převráeou hodotou trsormového itervlu revee dlšíh hrmoiýh budou elistvými ásoby záldí hrmoié ž do revee N/. Příld: Jestliže zvolíme úse 1 s, terý bude rozděle 51 úseů o déle 1,95315 ms, dosteme 56 revečíh slože (hrmoiýh), včetě stejosměré složy. Prví ze slože bude mít revei 1 Hz, ejvyšší 55 Hz. Při umeriém výpočtu oeiietů Fourierovy řdy jsme počítli složy jo součet jedotlivýh vzorů, vyásobeýh předtím siem ebo osiem příslušého úhlu. V grié metodě jsme toto ásobeí hrdili točeím úsečy o déle vzoru do směru příslušého úhlu. V ize R.B. Rdll: Frequey Alysis (iremí litertur Brüel & Kjer) je teto úo přeese do omplexí roviy. Při zhováí symboliy bude mít výrz pro výpočet omplexíh revečíh slože G() tvr: G 1 1 N N 1 g e j N de moi e předstvuje omplexí číslo s bsolutí hodotou 1, vyjdřujíí příslušý úhel. Pro ázorost používá zmíěá ih vyjádřeí pomoí čtverové mtie pro 8 vzorů: G g G 1 g 1 G g G 3 1 g 3 = G 4 8 g 4 G 5 g 5 G 6 g 6 G 7 g 7 V mtii ázorě vidíme, že šip se v ultém řádu eotáčí, v prvím řádu se otočí jedou, v druhém dvrát ve třetím třirát, to směrem doprv. V řádu sedmém se otočí jedou, v šestém dvrát v pátém třirát, le směrem dolev. Výsledy této trsorme se proto zázorňují jo symetrié spetrum, ve terém jsou revee slože G5 ž G7 vyesey záporé ose. Proto se ozčují jo "záporé revee".

8 Metody lýzy čsově proměýh sigálů 8 Jestliže v souhlsu s ihou ozčíme svislou osu jo reálou, vidíme, že šipy odpovídjííh ldýh záporýh reveí předstvují vždy omplexě sdružeá čísl, terá po sečteí djí reálý výslede, totiž hrmoiý průběh s příslušou reveí, le s dvojásobou mplitudou. vzie obvyle zobrzové jedostré spetrum, teré má při dém počtu vzorů polovičí počet revečíh slože. Zde té házíme vysvětleí, proč při výpočtu stejosměré složy Fourierovy řdy eí oeiiet ásobe dvěm. Kdybyhom prováděli výpočet mtie stdrdím způsobem, museli byhom v ždém řádu vyásobit vzory g ž g7 příslušými omplexími čísly, musíme tedy provést 64 omplexíh ásobeí. Algoritmus ryhlé Fourierovy trsorme reduuje potřebý počet omplexíh ásobeí postupým ásobeím dílčími úhly slučováím výsledů. g g1 g g3 g4 g5 g6 g7 / / - / - / / - / /4 3 /4-3 /4 - /4 G G 4 G G 6 G 1 G 5 G 3 G 7 G G 1 G G 3 G 4 G 5 G 6 G 7 Jedotlivé bloy přestvují operi, při teré se operd, vstupujíí do levé části výsledu pouze přičítá, operd, vstupujíí do prvé části se ejprve vyásobí omplexím číslem s vyzčeým úhlem p se přičte výsledu. Opere jsou sesupey do supi po dvou, teré používjí vždy dvě vstupí hodoty vytvoří dvě výsledé hodoty. v zčeé strutuře výpočtu tzv. "motýle" (butterly). eto "motýle" lze relizovt v uiverzálím počítči jo stdrdí podprogrm, ebo je možé v zřízeíh výhrdě určeýh tomuto účelu použít hrdwrové výpočetí bloy. ímto způsobem se síží počet omplexíh ásobeí z N N.log N. V uvedeém přípdě se místo 64 operí omplexího ásobeí provádí pouze 4 operí. Při větším počtu vzorů je úspor výpočetího výou výrzější. Pro N = 14 se počet operí síží storát. Pořdí výsledů výpočtu eodpovídá pořdí omplexíh revečíh slože. Před zobrzeím ebo jiým zprováím je proto třeb ptřičý způsobem je přesupit. V pliíh s pevě určeým počtem vzorů ebo při jiýh vhodýh situíh je možé lgoritmus dále zrátit, př. vyeháím výpočtu horí poloviy oeiietů. N druhé strě existují té lgoritmy, teré lze použít při počtu vzorů teré ejsou moiou, u ihž je le úspor výpočetího výou meší.

9 Metody lýzy čsově proměýh sigálů 9 Příldy plií FF jsou velmi rozmité. Zde uvedeme je ěoli: rozezáváí řeči, digitálí ódováí ustiýh sigálů pro sížeí dtového tou při digitálím přeosu, potlčeí msovýh revečíh slože pro sížeí dtového tou, moitorováí vibrí strojů. Při průběžém moitorováí stvu stroje jsou v ěoli místeh símáy vibre, většiou pomoí elerometrů. Símý sigál má moho slože s růzými reveemi, teré poházejí z růzýh zdrojů. Kromě reveí, teré odpovídjí vlstím otáčám stroje (motoru, turbiy), se vysytují revee, teré tvoří jedotlivé hřídele převodove, ozubeé převody ebo vlivá ložis. Výsledý sigál je lyzátorem rozděle do jedotlivýh supi revečíh slože, terým je záldě měřeí ovém stroji přiřze určitá úroveň, při íž bude vyvolá poplh. Dále může být možé stvit meze, při jejihž přeročeí bude stroj omžitě zstve. eto postup je možé přirovt čiosti řidiče, terý poslouhá zvu motoru při výrzé změě zvuu zství hledá poruhu. Dvouálová lýz zdroj široopásmového sigálu zoušeé zřízeí dvouálový lyzátor počítčové zprováí Zoušeé zřízeí je pájeo široopásmovým sigálem, terý může být relizová jo áhodý stioárí sigál (bílý šum), ebo jo velmi rátý silý impuls. Dvouálový lyzátor provede lýzu vstupího sigálu zísá u N revečíh slože jejih mplitudu ázi. Součsě provede té lýzu sigálu výstupu zřízeí zde té zísá N revečíh slože s jejih mplitudou ází. Z porováí slože vstupího výstupího sigálu je možé vypočítt přeosovou hrteristiu zoušeého zřízeí. Jo příld lze uvést zjišťováí vlstíh resoí mehiýh soustv, u ihž je velmi obtížé provést buzeí hrmoiým sigálem. Jo zdroj sigálu je použito ldívo s elerometrem, odezv zoušeého systému je símá té elerometrem. Při leputí zoušeé zřízeí símáme zryhleí ldív, tím tedy sílu, terou systém působíme. Druhým símčem zjišťujeme odezvu zřízeí. Jestliže systém má ve sledovém revečím pásmu výrzou resoi, projeví se výrzým převýšeím revečí hrteristie. Počítčové zprováí umožňuje provést větší počet měřeí, př. polepů, z ih vypočítt průměr. ím se dosáhe spolehlivějšíh výsledů. Existují progrmy, teré umoží záldě měřeí pomoí ěoli símčů při zdé geometrii zoušeého předmětu zázorit změu tvru předmětu při dém máháí.