UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky,

Transkript

1

2

3

4 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 4 ABSTRAKT Tato práce se zabývá Signal Processing Toolboxem (SPTOOL) a Filter Design&Analysis Toolboxem (FDATOOL) v prostedí MATLAB. Jedním z cíl této práce bylo teoretické rozebrání dané problematiky o daných toolboxech a to SPTOOL a FDATOOL. Souástí této diplomové práce je také praktická realizace daných filtr a jeho aplikace na vložená data. Poslední ástí práce bylo poté praktické ovení získaných znalostí z teoretické ásti o FDATOOL a jeho ovení na reálných datech signálu. Klíová slova: Signal Processing Toolbox, Filter Design&Analysis Toolbox, MATLAB, SPTOOL, FDATOOL, signál, filtr ABSTRACT This thesis deals with Signal Processing Toolbox (SPTOOL) and Filter Design&Analysis Toolbox (FDATOOL) in the environment of MATLAB. One of the aims of this thesis was theoretical analysis of selected topic focused on SPTOOL and FDATOOL. Practical use of these filtres and their application on inserted data is part of this paper as well. The last part of this thesis is focused on practical use of gained knowledge about FDATOOL and verigication on real signal data. Keywords: Signal Processing Toolbox, Filter Design&Analysis Toolbox, MATLAB, SPTOOL, FDATOOL, signal, filter

5 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 5 Zvláštní podkování patí mému vedoucímu diplomové práce prof. Ing. Romanu Prokopovi, CSc., za podntné pipomínky a diskuze, které pomohly nejen ke zkvalitnní celkového textu, ale celkov mi pomohl v mnoha ohledech pi psaní této práce.

6 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 6 Prohlašuji, že beru na vdomí, že odevzdáním diplomové/bakaláské práce souhlasím se zveejnním své práce podle zákona. /998 Sb. o vysokých školách a o zmn a doplnní dalších zákon (zákon o vysokých školách), ve znní pozdjších právních pedpis, bez ohledu na výsledek obhajoby; beru na vdomí, že diplomová/bakaláská práce bude uložena v elektronické podob v univerzitním informaním systému dostupná k prezennímu nahlédnutí, že jeden výtisk diplomové/bakaláské práce bude uložen v píruní knihovn Fakulty aplikované informatiky Univerzity Tomáše Bati ve Zlín a jeden výtisk bude uložen u vedoucího práce; byl/a jsem seznámen/a s tím, že na moji diplomovou/bakaláskou práci se pln vztahuje zákon. /000 Sb. o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o zmn nkterých zákon (autorský zákon) ve znní pozdjších právních pedpis, zejm. 35 odst. 3; beru na vdomí, že podle 60 odst. autorského zákona má UTB ve Zlín právo na uzavení licenní smlouvy o užití školního díla v rozsahu odst. 4 autorského zákona; beru na vdomí, že podle 60 odst. a 3 autorského zákona mohu užít své dílo diplomovou/bakaláskou práci nebo poskytnout licenci k jejímu využití jen s pedchozím písemným souhlasem Univerzity Tomáše Bati ve Zlín, která je oprávnna v takovém pípad ode mne požadovat pimený píspvek na úhradu náklad, které byly Univerzitou Tomáše Bati ve Zlín na vytvoení díla vynaloženy (až do jejich skutené výše); beru na vdomí, že pokud bylo k vypracování diplomové/bakaláské práce využito softwaru poskytnutého Univerzitou Tomáše Bati ve Zlín nebo jinými subjekty pouze ke studijním a výzkumným úelm (tedy pouze k nekomernímu využití), nelze výsledky diplomové/bakaláské práce využít ke komerním úelm; beru na vdomí, že pokud je výstupem diplomové/bakaláské práce jakýkoliv softwarový produkt, považují se za souást práce rovnž i zdrojové kódy, pop. soubory, ze kterých se projekt skládá. Neodevzdání této souásti mže být dvodem k neobhájení práce. Prohlašuji, že jsem na diplomové práci pracoval samostatn a použitou literaturu jsem citoval. V pípad publikace výsledk budu uveden jako spoluautor. že odevzdaná verze diplomové práce a verze elektronická nahraná do IS/STAG jsou totožné. Ve. Zlín podpis diplomanta

7 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 7 OBSAH ÚVOD...9 I TEORETICKÁ ÁST...0 TEORIE PRAVDPODOBNSTI.... POJMY TEORIE PRAVDPODOBNOSTI..... Sigma algebra ( - algebra)..... Náhodný jev Pravdpodobnost události Stední hodnota Rozptyl.... ZÁKLADNÍ TYPY ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIINY Rovnomrné rozložení R(a,b) Exponenciální rozložení E() Normální rozdlení N(, ) Normované normální rozdlení N( = 0, = ) Nkterá další rozdlení Weibullovo rozdlení W(, c) Pearsonovo rozdlení c n Studentovo rozdlení t n ZÁKLADNÍ TYPY ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY Alternativní rozdlení A(p) Rovnomrné rozdlení R(n) Binomické rozdlení Bi(n, p) Poissonovo rozdlení Po() Hypergeometrické rozdlení H(N, M, n)...3 ANALÝZA SIGNÁL FOURIEROVA TRANSFORMACE Pímá Fourierova transformace Spojitý as Diskrétní as Zptná Fourierova transformace Rychlá Fourierova transformace (FFT) KORELANÍ ANALÝZA Korelaní a kovarianní funkce VÝPOET VÝKONOVÉ SPEKTRÁLNÍ HUSTOTY...48 II PRAKTICKÁ ÁST SPTOOL- SIGNAL PROCESSING TOOLBOX...50

8 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, HLAVNÍ OKNO SPTOOL SIGNALS HLAVNÍ OKNO SPTOOL FILTERS HLAVNÍ OKNO SPTOOL SPEKTRA FDATOOL - FILTER DESIGN & ANALYSIS TOOLBOX (TVORBA FITR) NASTAVENÍ Response Design Metod volba druhu filru (FIR/IIR) Nastavení frekvence filtru nap. pro filtr pásmové propusti Útlum signálu ANALÝZA FILTRU TEST FUNKNOSTI FILTRU Dolní propust Pásmová propust NÁVRH FILTRU PÁSMOVÉ PROPUSTI A JEHO POUŽITÍ...86 ZÁVR...90 CONCLUSION...9 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY...9 SEZNAM NEJPOUŽÍVANJŠÍCH SYMBOL A ZKRATEK...93 SEZNAM OBRÁZK...95 SEZNAM TABULEK...97

9 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 9 ÚVOD Filtrace signál se považuje za jednu ze stžejních prací pi práci se signály, protože každý signál obsahuje urité množství pro nás nepotebných dat, které je teba odfiltrovat. A se jedná o šumy v signálu vyskytující, nebo o frekvence, které nejsou pro danou problematiku stžejní. Tato práce se podrobnji zabývá Signal Processing Toolboxem a Filter Design&Analysis Toolboxem v prostedí MATLAB, které slouží pro filtraci signál. Signal Processing Toolbox umožuje natená data analyzovat, Filter Design&Analysis Toolbox umožuje vytváení filtr, jeho editace a ukládání. Spolen tak tyto dva toolboxi vytváí silný nástroj pro práci se signály a následnou filtraci signálu. Signál je tak možné tedy upravovat, mnit frekvence v nm obsažené, pípadn amplitudy frekvencí, které se v signálu vyskytují. Upravený signál je již pro uživatele pijatelnjší, protože takovýto signál obsahuje pouze informace, které uživatel požaduje, výsledný signál tak neobsahuje data, která jsou pro nás nepodstatná, pípadn nežádoucí.

10 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 0 I. TEORETICKÁ ÁST

11 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 TEORIE PRAVDPODOBNSTI. Pojmy teorie pravdpodobnosti.. Sigma algebra ( - algebra) E je neprázdná množina a S je systém všech podmnožin E. Jde o -algebru, pokud platí 0 S; E S A S, i,,... i i0 A S i A S E A S Na základ uvedené definice se v literatue buduje axiomatická teorie pravdpodobnosti, která spoívá v pojmech elementárních jev, jev jistý, nemožný atd. Na.. S je pak definována pravdpodobnost jako reálná funkce. Teorie potom plynou pojmy a fakta uvedená v ásti.. až..5.. Náhodný jev Náhodným jevem rozumíme opakovatelnost innosti provádnou za stejných (nebo pibližn za stejných) podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhod. Píklady mohou být napíklad házení kostkou nebo losování teorie...3 Pravdpodobnost události Se obecn oznauje reálným íslem od 0 do. Událost, která nemže nastat, má pravdpodobnost 0, a naopak jistá událost má pravdpodobnost. Nkdy se nekorektn, ale názorn pravdpodobnosti násobí íslem 00 a uvádí se tak v procentech. Jinou používanou mírou pravdpodobnosti je šance (anglicky odds), která je definována jako pomr pravdpodobnosti definované bžným zpsobem ku pravdpodobnosti, že nastane opaná událost: šance p /( p). Šance se asto v praxi uvádí jako celoíselná zlomek, napíklad mám šanci jedna ku dvma, že stihnu vlak znamená totéž jako je pravdpodobnost 0,5 že stihnu vlak. []

12 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Stední hodnota Znaíme E(X). Stední hodnota je v teorii analogových periodických signál definována jako prmrná hodnota signálu v rámci jeho jedné periody. Stední hodnota je teoreticky definována jako íslo, kolem kterého kolísají hodnoty výbrových prmr, jež se poítají vždy ze série hodnot náhodné veliiny (mnoho realizací náhodného procesu). Tento fakt je vyjáden rovnicí: E ( X ) x P( X ) x k k x k (.) Bude-li k dispozici íslicový signál pouze v jedné realizaci a navíc všechny funkní hodnoty náhodné veliiny (vzorky) budou mít stejnou pravdpodobnost, pak se celý problém redukuje do bžného aritmetického prmru, který je vyjáden vztahem: E( X ) x k (.) N Pro spojitý as ji spoítáme jako integrál celého intervalu, po kterém signál analyzujeme. k E ( X ) xd P( x) (.3) R..5 Rozptyl Nazývá se též jako stední kvadratická odchylka, stední kvadratická fluktuace, variace nebo také disperze. Rozptyl náhodné veliiny X se oznauje ( X ), S ( X ), D( X ), var( X ). Vyjaduje, jak moc signál kmitá kolem jeho stední hodnoty. Pro diskrétní náhodnou veliinu je definována vztahem: n n xi E( X ) pi xi pi E( x) (.4) í i kde x i jsou hodnoty, kterých mže náhodná veliina X nabývat s pravdpodobností p i a E(X) je stední hodnota veliiny X. Pro spojitou náhodnou veliinu definujeme rozptyl vztahem:

13 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 3 x i E( X ) f ( x) dx x f ( x) dx E( x) (.5) kde f(x) je hustota pravdpodobnosti veliiny X. []. Základní typy rozdlení pravdpodobnosti spojité náhodné veliiny Celá táto kapitola. byla pevzána z literatury [5], kde je také možno se doíst o této problematice více... Rovnomrné rozložení R(a,b) Toto rozdlení má spojitá náhodná veliina X, jejíž realizace vyplují interval konené délky a mají stejnou možnost výskytu (nap. doba ekání na autobus, na výrobek u automatické linky,...). Definice Náhodná veliina X má rovnomrné rozdlení R(a,b) práv tehdy, když je hustota pravdpodobnosti urena vztahem: f pro x a, b ( x) b a (.6) 0 pro x a, b Obrázek : Graf hustoty pravdpodobnosti

14 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 4 Distribuní funkce je ve tvaru: 0 pro x, a x a F ( x) pro x a, b (.7) b a pro x b, Vlastnosti Obrázek : Graf distribuní funkce a b E( X ) D( X ) b a (.8) Píklad: Tramvajová linka íslo 8 odjíždí v dopoledních hodinách ze zastávky každých 0 minut. Jaká bude pravdpodobnost, že na ni bude lovk dopoledne ekat déle než 7 minut? Doba ekání je náhodná veliina X, která má rovnomrné rozdlení pravdpodobnosti - v našem pípad R(0,0). Distribuní funkce má tedy tvar: 0 x F ( x) 0 pro x,0 pro x 0,0 pro x0, Hledaná pravdpodobnost: 7 P ( X 7) P(7 X ) F( ) F(7) 0 3 0

15 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Exponenciální rozložení E() Toto rozdlení má spojitá náhodná veliina X, která pedstavuje dobu ekání do nastoupení (poissonovského) náhodného jevu, nebo délku intervalu (asového nebo délkového) mezi takovými dvma jevy (nap. doba ekání na obsluhu, vzdálenost mezi dvma poškozenými místy na silnici). Závisí na parametru, což je pevrácená hodnota stední hodnoty doby ekání do nastoupení sledovaného jevu. Definice Náhodná veliina X má exponenciální rozdlení E() práv tehdy, když hustota pravdpodobnosti je dána vztahem: 0 f ( x) e x pro x 0 pro x 0 (.9) Obrázek 3: Exponenciální rozložení - graf hustoty pravdpodobnosti Distribuní funkce je ve tvaru: 0 pro x 0 F( x) (.0) x e pro x 0

16 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 6 Obrázek 4: Exponenciální rozložení - graf distribuní funkce Vlastnosti E ( X ) (.) D ( X ) (.) Píklad: Doba ekání hosta v restauraci je pr mrn 5 minut. Urete: a) hustotu pravdpodobnosti náhodné veliiny, která je dána dobou ekání b) pravdpodobnost, že host bude ekat déle než minut c) dobu ekání, bhem které bude zákazník obsloužen s pravdpodobností 0,9 a) Hustota pravdpodobnosti 0 ( x) e 5 f x 5 pro x 0 pro x 0 b) Distribuní funkce 0 F( x) e x 5 pro x 0 pro x 0

17 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 7 Hledaná pravdpodobnost! 5 5 P ( X ) P( X ) F( ) F() e e 0,0907 c) Hledanou dobu ekání oznaíme t. Platí P(0 X " t) 0,9 F( t) F(0) 0,9 e e t 5 t 5 0, 0 0,9 t ln 0, 5 t 5ln 0, t,5min t min 30sec..3 Normální rozdlení N(, ) 0; #, R Oznaováno též obecné normální rozdlení i Gaussovo rozdlení (v anglicky psané literatue nazývané rozdlení zvonovitého tvaru - bell curve). Je velmi dležité, nebo: nejastji se vyskytuje mnoho jiných rozdlení se mu blíží ada jiných rozdlení se jím dá nahradit Definice Náhodná veliina X má normální rozdlení N(, ) práv tehdy, když má hustota pravdpodobnosti tvar: f ( x) e $! x# pro x, (.3)

18 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 8 Pomocí kivky normálního rozdlení popsal v roce 773 matematik Abraham de Moivre limitní chování binomického rozdlení, když se snažil aproximovat výpoty jednotlivých pravdpodobností binomického rozdlení pro velká n. Rozdlení, které Moivre pro tento úel navrhl, se nakonec ukázalo být dležitjší než výchozí binomické rozdlení. V roce 8 odvodil nezávisle na Moivreovi normální rozdlení francouzský matematik Pierre Laplace. Jak Laplace, tak Karl Friedrich Gauss prezentovali toto rozdlení jako zákon chyb a používali ho pro interpretaci astronomických a geodetických mení, výsledk hazardních her a pesnosti dlostelecké stelby. Grafem hustoty pravdpodobnosti je tzv. Gaussova (Gaussova-Laplaceova) kivka: Obrázek 5: Normální rozdlení - Gaussova-Laplaceova kivka Z obrázku je patrné, že parametr (stední hodnota) uruje, kde má kivka maximum. Parametr (smrodatná odchylka) naproti tomu uruje, jak jsou po obou stranách od hodnoty vzdáleny inflexní body, tedy jak je kivka roztažena do šíky. Distribuní funkce: f ( x) x e $! t# dt pro x, (.4)

19 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 9 Obrázek 6: Normální rozdlení - graf distribuní funkce Píklad: Jaká je pravdpodobnost, že náhodná veliina X, která má rozdlení N(0, 9), nabude hodnoty a) menší než 6, b) vtší než 0, c) v mezích od 7 do? a) P( X 6) P( X 6) F(6) F( ) F(6) Zjistit, emu je rovna distribuní funkce pro hodnotu 6 je možné zjistit nkolika zpsoby. Je-li k dispozici program Excel, je možné hodnotu vypoíst pomocí peddefinované funkce NORMDIST: P( X 6) F(6) NORMDIST(6;0;3;) 0,9775 První parametr v závorce uruje hodnotu, jejíž distribuní funkcí je poítána, druhá je stední hodnota daného normálního rozdlení, tetí parametr znaí smrodatnou odchylku daného rozdlení a poslední parametr je pravdpodobnostní hodnota, která se zadá vždy, když je požadováno vypoítat hodnotu distribuní funkce b) P( X 0) P(0 X ) F(0) NORMDIST(0;0;3;) 0,5 c) P(7 X ) NORMDIST(;0;3;) NORMDIST(7;0;3;) 0,843

20 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Normované normální rozdlení N( = 0, = ) Jedná se o speciální pípad obecného normálního rozložení, kdy = 0, =. V tomto pípad oznaujeme hustotu pravdpodobnosti: f ( x) e $ x pro x, (.5) Distribuní funkci u tohoto rozdlení: F( x) $ x e t dt pro x, (.6) Obrázek 7: Normované normální rozdlení - graf hustoty pravdpodobnosti Obrázek 8: Normované normální rozdlení - graf distribuní funkce Užitenost normovaného normálního rozdlení spoívá v tom, že vybrané hodnoty distribuní funkce tohoto rozdlení se nachází v tabulkách, které bývají souástí každé

21 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 literatury statistiky. Vztah mezi normovaným normálním rozdlením N(0,) a obecným normálním rozdlením N(m, s ) vyjaduje následující vta: Má-li spojitá náhodná veliina X obecn normální rozdlení N(, ) s hustotou pravdpodobnosti: f ( x) e $! x# pro x, (.7) Pak náhodná veliina pravdpodobnosti: # T X má normované rozdlení N(0,) s hustotou f ( x) e $ x pro x, (.8) V tabulkách se naleznou pouze hodnoty distribuní funkce pro nezáporné x. Pro urení distribuní funkce pro x < 0, je teba využít vlastností distribuní funkce normovaného normálního rozdlení a možné tak lehce odvodit F(-x) = - F(x). Píklad: Bylo použito zadání píkladu z pedchozí kapitoly, piemž tento píklad bude ešen pevedením daného normálního rozdlení N(0, 9) na normované normální rozdlení N(0, ) substitucí z vty této kapitoly.! 60 a) P( X 6) P( X 6) F(6) F( ) F(6) % %() 0, b) P( X 0) P(0 X ) F(0) F(0) 0,5 c) P(7 X ) F(4) F( ) F(4) F() 0,843 Všechny hodnoty jsou dosazené z tabulky distribuní funkce normálního rozdlení.

22 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 Píklad: Je teba urit pravdpodobnost, že náhodná veliina X s normálním rozdlením N(m, s ) nabude hodnot z intervalu a) (m-s,m+s) b) (m-s,m+s) c) (m-3s,m+3s) Grafické znázornní Obrázek 9: Normální rozložení grafické znázornní píkladu 0,997 (3)... ) 3 ( ) 3 ( ) 3 3 ( ) 0,955 ()... ) ( ) ( ) ( ) 0,683 () ()) ( () ) ( () ) ( ) ( ) ( ) % % % % % % % %! %! % # # # # # # # # # # # # # # # # F F X P c F F X P b F F X P a

23 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Nkterá další rozdlení..5. Weibullovo rozdlení W(, c) Toto rozdlení má spojitá náhodná veliina, která pedstavuje dobu života (bezporuchovosti) technických zaízení, kterým nevyhovuje exponenciální. To jest tam, kde se projevuje mechanické opotebení nebo únava materiálu. Parametr závisí na materiálu, namáhání a podmínkách užívání (,c > 0). f 0 x) c c x c & ( e! c x & pro x " 0 pro x 0 (.9) Pro c = dostaneme exponenciální rozdlení E(). Obrázek 0: Weibullovo rozdlení - graf hustoty pravdpodobnosti Distribuní funkce: 0 F( x) e c! x & pro x " 0 pro x 0 (.0)

24 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 4 Obrázek : Weibullovo rozdlení - graf distribuní funkce..5. Pearsonovo rozdlení n c n c teme chí kvadrát s n stupni volnosti Užití: Jestliže n nezávislých veliin X,..., Xn má rozdlení N(0, ), pak veliina... n X X X X má Pearsonovo rozdlení. Hustota pravdpodobnosti: "! ' ) ( pro x pro x n e x x f n x n (.) G(x) gama funkce definována pro x > vztahem: ' 0 ) ( dt t e x x t

25 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Studentovo rozdlení t n Užití: Jsou-li X,X dv nezávislé náhodné promnné, kde X se ídí rozložením N(0, ) a X rozložením c n, pak náhodná veliina T x x n má Studentovo rozložení s n stupni volnosti. f ( x)! n '! n$! n ' x n n (.).3 Základní typy rozdlení pravdpodobnosti diskrétní náhodné veliiny Celá táto kapitola.3 byla pevzata z literatury [4], kde je také možno se doíst o této problematice více..3. Alternativní rozdlení A(p) Nkteré náhodné pokusy mohou mít pouze dva rzné výsledky: pokus je úspšný pokus je neúspšný Píslušná náhodná veliina X je pak nazývána alternativní (dvoubodová, nula-jedniková). Tato náhodná veliina nabývá pouze dvou hodnot: - v pípad píznivého výsledku pokusu (jev A), 0 - v pípad nepíznivého výsledku pokusu (jev A ). Obor hodnot tedy obsahuje dva prvky M = {0,}. Je používáno oznaení: P(A) = P(X = ) = p P( A ) = P(X = 0) = p (.3)

26 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 6 Definice Náhodná veliina X s pravdpodobnostní funkcí P(X = 0) = - p, P(X = ) = p (0 < p < ) má alternativní rozdlení pravdpodobnosti A(p) s parametrem p. Píklad: Hod mincí: W = {líc,rub} Jedná se tedy o alternativní rozdlení! A. Tedy: M 0, ; X (0( ) p ( 0) p ( ).3. Rovnomrné rozdlení R(n) Definice Náhodná veliina X má rovnomrné rozdlení R(n) práv tehdy, když je pravdpodobnostní funkce urena vztahem: p( x) (.4) n kde n je poet možných výsledk Píklad: Hod kostkou: M = {,, 3, 4, 5, 6} - každý výsledek je stejn pravdpodobný. Jedná se tedy o rovnomrné rozdlení R ( 6), p( x) 6

27 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Binomické rozdlení Bi(n, p) Popisuje etnost náhodného jevu v n nezávislých pokusech, v nichž má jev stále stejnou pravdpodobnost. Definice Náhodná veliina X má binomické rozdlení Bi(n, p) práv tehdy, když je pravdpodobnostní funkce urena vztahem:! n x nx p( x) p p x (.5) kde: x = 0,,,n n je poet kus a p je pravdpodobnost úspšnosti v každém pokusu Binomické rozdlení je tedy píkladem diskrétního rozdlení pravdpodobnosti náhodné promnné X, která mže nabývat pouze n + hodnot. Pi matematickém sestrojení binomického rozdlení je teba vycházet z Bernoulliova pokusu, který spoívá v tom, že v daném náhodném pokusu mohou nastat pouze dva stavy: A s pravdpodobností p, A s pravdpodobností - p. To lze modelovat tzv. binární náhodnou promnnou Y, pro kterou platí: P(Y = ) = p a P(Y = 0) = - p. Platí: E( Y) p 0p p (.6) Y p p p p p p p D( Y ) E (.7) Náhodná promnná X vznikne jako souet n nezávislých binárních promnných Y i s hodnotami 0 nebo, které mají všechny stejné rozdlení urené parametrem p: X n Y i i (.8)

28 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 8 Vlastnosti binomického rozdlení: E( X ) n p D( X ) n p p Alternativní rozdlení A(p) je vlastn speciálním pípadem binomického rozdlení pro n = (A(p) ~ Bi(,p)). Píklad: Student VŠ má potíže s ranním vstáváním. Proto nkdy zaspí a nestihne pednášku, která zaíná již v 9 hodin. Pravdpodobnost, že zaspí, je 0,3. V semestru je pednášek - tzn. nezávislých pokus dorazit na pednášku vas. Je teba nalézt pravdpodobnost, že student nestihne pednášku v d sledku zaspání v polovin nebo více pípad. Hledaná pravdpodobnost má hodnotu: P ( X 6) P(6) P(7) P(8) P(9) P(0) P() P() k6! 0,3 n k 0,7 k 0,8 Runí výpoet by v tomto pípad byl pomrn zdlouhavý. Je-li ale k dispozici nap. tabulkový program Excel, je možné píklad snadno vypoíst pomocí distribuní funkce binomického rozdlení - v Excelu se najde pod názvem BINOMDIST: P X 6 P( X 6) F(6) BINOMDIST(5;;0;3;) 0, 8 Rozdlení pravdpodobnosti pro tento píklad je znázornno graficky na následujícím obrázku:

29 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 9 Obrázek : Binomické rozložení grafické zobrazení píkladu.3.4 Poissonovo rozdlení Po() Toto rozdlení pravdpodobnosti, pojmenované podle francouzského matematika S. D. Poissona, mají náhodné promnné, které popisují etnosti jev s tmito vlastnostmi: to, že jev v daném intervalu (asovém, prostorovém) nastane (nenastane), nezávisí na tom, co se stalo jindy nebo jinde, pro každý asový okamžik je pravdpodobnost jevu v malém asovém intervalu stejná (totéž platí v prostoru), neexistuje pípad, že by nastaly dva jevy pesn v jednom asovém okamžiku nebo míst v prostoru. Prmrný poet výskyt zkoumaného jevu v daném úseku jednotkové délky je oznaován l.

30 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Definice Poissonovo rozdlení pravdpodobnosti lze pro všechny hodnoty x = 0,,, náhodné veliiny X vyjádit pomocí parametru > 0. Náhodná veliina X má Poissonovo rozdlení Po() práv tehdy, když má pravdpodobnostní funkce tvar: Pípadn: p x p( x) e (.9) x! x l l ( x) e (.30) x! v úseku délky l (v l-násobku jednotkového úseku) Pro charakteristiky Poissonova rozdlení platí: E( X ) D( X ) A e (.3) (.3) S rostoucí hodnotou se toto rozdlení blíží k normálnímu rozdlení. Jestliže náhodná veliina má binomické rozdlení, pak tvar jejího rozložení se blíží k Poissonovu s parametrem = n.p, jestliže n je velké a p se blíží k nule. Aproximativn je možno tedy binomické rozdlení s velkým n a malou hodnotou p nahradit Poissonovým rozdlením. Souet nezávislých promnných s Poissonovým rozdlením je opt rozdlen podle tohoto rozdlení. Jestliže je k dispozici n pozorování Poissonova rozdlení s parametrem, pak souet pozorování je možné považovat za pozorování s Poissonovým rozdlením a parametrem n.

31 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 3 Píklad: Dle statistik plyne, že realitní maklé jedná v pr mru s pti zákazníky za den. Jaká je pravdpodobnost, že poet zákazník maklée za jeden den bude vtší než 4. Náhodná veliina X - poet zákazník pesn spluje kritéria pro Poissonovo rozdlení. Pravdpodobnostní funkce potu zákazník má tedy tvar: x 5 p( x) e x! 5 Úlohu nejlépe vyeší opaný jev: P X 4 P( X " 4) p(0) p() p() p(3) p(4) 0,44 0, 56 V Excelu je možné uvedenou pravdpodobnost vypoíst pomocí funkce POISSON: P X 4 POISSON (4;5;) 0, 56 Poissonovo rozdlení pravdpodobnosti potu zákazník: Obrázek 3: Poissonovo rozdlení grafické znázornní píkladu

32 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Hypergeometrické rozdlení H(N, M, n) Je pedpokládáno, že náhodný pokus, jehož výsledkm je piazena alternativní náhodná veliina A(p), se opakuje n-krát, piemž jednotlivé pokusy jsou vzájemn závislé (výsledek v libovolném pokusu závisí na pedcházejících pokusech) - jedná se tedy o výbry bez vracení (opakované pokusy závislé). Pro takto vzniklou náhodnou veliinu X platí: Definice Náhodná veliina X má hypergeometrické rozdlení H(N, M, n) práv tehdy, když má pravdpodobnostní funkce tvar: kde: N je poet prvk základního souboru;! M! N M x n x p ( x) (.33)! N n M je poet prvk v základním souboru, které mají požadovanou vlastnost; n je poet pokus x = 0,,,.., n je poet vybraných výrobk, které mají zkoumanou vlastnost. Vlastnosti: M E( X ) n N (.34) M! M! N n D ( X ) n N N N (.35)

33 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Píklad: Mezi stovkou výrobk je 0 zmetk. Vyberete deset výrobk a sledujete poet zmetk mezi vybranými. V tomto pípad má náhodná veliina X hypergeometrické rozdlení: X ~ H(00,0,0). Pravdpodobnostní funkce má tvar:! 0 x p ( x)! 80 0! 00 0 x Takže napíklad pravdpodobnost, že mezi deseti vybranými budou 3, se vypote:! 0! p ( x) 0,09! 00 0 Pravdpodobnostní funkci znázorníme opt graficky: Obrázek 4: Hypergeometrické rozdlení grafické znázornní píkladu

34 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, ANALÝZA SIGNÁL Signálem je rozumno asový proces hodnot po sob jdoucích, které vytváejí dohromady signál. Signál mže být bu spojitý nebo diskrétní, tedy bu analogový nebo digitální. Spojitý signál je spojitý v pípad, že lze najít hodnotu signálu v libovolném ase. Diskrétní diskrétní signál vznikne vzorkováním spojitého signálu, kde se zaznamenávají pouze hodnoty v uritých okamžicích, které jsou udávány vzorkovací frekvence signálu. Musí však platit Shannon-Kotelníkv (Nyquistv) teorém, který udává, že je poteba vzorkovat minimáln s dvojnásobnou frekvencí, jako je nejvyšší frekvence obsažená v signálu. Dále signál mže být bu ergodický nebo neergodický. Ergodický se vyznauje se tím, že všechny jeho realizace mají stejné statistické vlastnosti (stejné chování) to umožuje odhadovat parametry náhodného procesu z jedné jeho realizace. Signál je dále ergodický vi jeho stední hodnot (stejnosmrné složce), pokud má stejnosmrnou složku nenáhodnou (její rozptyl je roven 0) Každý signál se dá dále rozdlit ješt do nkolika skupin: Obrázek 5: Dlení signál

35 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Deterministické máme pro hodnoty njaký matematický výraz nebo vzorec, takže každou jejich minulou /budoucí hodnotu lze spoítat, lze ji tedy jednoznan urit. Náhodné (stochastické) v ase nelze urit, jaká hodnota bude i byla, hodnoty se nepedvídateln mní a není tak pro signál matematický vzorec. Všechny hodnoty takového signálu jsou tedy náhodné veliiny. Periodické jeho perioda se v ase opakuje se stejnými funkními hodnotami. Tato perioda mže nabývat libovolných hodnot, ale platí, že se tato perioda musí v ase stále opakovat. Píkladem periodického signálu je signál vzniklý soutem harmonických signál (sinusovek), jejich frekvence jsou v celoíselných pomrech. Neperiodické signál je neperiodický tehdy, kdy nelze urit periodu, která se opakuje v ase. Tém periodické (kvaziperiodické) u signál periodických se nemní velikost periody s asem. Existují však i signály, které velikost periody mní s asem a takové signály se tedy nazývají kvaziperiodické. Stacionární signál je stochastický signál, který si zachovává své statistické vlastnosti. Charakteristiky takovýchto signálu jsou asov invariantní. Nestacionární signál statistické vlastnosti nestacionárních signál jsou s asem promnné, tudíž vyhodnocování takovýchto signál musí být závislé na ase. Charakteristiky takovýchto signálu nejsou asov invariantní. Invariance oznauje stav, kdy jsou jisté objekty nemnné pi uritých událostech. Píkladem invariance je situace, kdy je dán systém veliin, které na sob njakým zpsobem závisí. Potom se jedna z tchto veliin nazývá invariantní vi zmn jiné (referenní) veliiny, pokud má stejnou hodnotu pi jakýkoliv zmnách referenní veliiny. (Pevzato z literatury

36 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Zvláštním druhem signálu je tzv. bílý šum, u kterého je stední hodnota nulová, má v sob obsažené všechny frekvence a v pírod se tak bohužel nevyskytuje díky jeho nekonenému výkonu spektrální hustoty. Po prchodu bílého šumu lineární soustavou, je vytvoen stacionární stochastický signál, oznaovaný jako šum barevný nebo šedý. Bylo podaeno bílý šum realizovat díky jeho diskretizaci. Diskrétní bílý šum již lze vytvoit, využívá ho nap. prostedí MATLAB i jiné programy. V asové rovin existuje mnoho metod, kterými je možné signál analyzovat. Mezi základní metody analýzy patí zejména rzné ídící metody, hledání lokálních a globálních minim a maxim, korelaní analýzy, analýza útlumu signálu, rzné statické metody atd. Pro pechod z asové do frekvenní oblasti se používají rzné druhy transformací. Nejznámjší a nejrozšíenjší je Fourierova transformace (FT), její rzné modifikace a algoritmy. Uvedené algoritmy jsou zvlášt vhodné pro zpracování stacionárních signál. Pípadn mohou být využity pro analýzu i nestacionárních signál, pokud nás zajímá pouze frekvenní složky obsažené v celé délce vyhodnocovaného signálu. Nezískáme tak však pehled o asovém výskytu jednotlivých frekvencích. [0]. Fourierova transformace V praxi je asto výhodné (teoreticky i experimentáln) používat harmonických funkcí exp(i t), nebo jsou snadno prakticky realizovatelné (resp. jejich imaginární i reálná ást) a mají výhodné matematické vlastnosti (zvlášt vzhledem k derivaci a integrování). Ukazuje se, že za dosti širokých podmínek lze každou funkci vyjádit jako souet i integraci harmonických funkcí, ovšem každé s jinou váhou a fázovým posuvem (zpravidla jsou ob hodnoty zahrnuty do komplexní váhové funkce). Váhová funkce tedy udává, jaké frekvence je nutno použít v superpozici, aby bylo možno z harmonických funkcí zptn sestavit pvodní funkci. Práv tato váhová funkce (spektrum) bývá oznaována jako (trigonometrická) Fourierova transformace (FT). Defininí vzorec pro FT je integrálem a pro praktickou realizaci není píliš vhodný: