UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky,

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 2010 4"

Transkript

1

2

3

4 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 4 ABSTRAKT Tato práce se zabývá Signal Processing Toolboxem (SPTOOL) a Filter Design&Analysis Toolboxem (FDATOOL) v prostedí MATLAB. Jedním z cíl této práce bylo teoretické rozebrání dané problematiky o daných toolboxech a to SPTOOL a FDATOOL. Souástí této diplomové práce je také praktická realizace daných filtr a jeho aplikace na vložená data. Poslední ástí práce bylo poté praktické ovení získaných znalostí z teoretické ásti o FDATOOL a jeho ovení na reálných datech signálu. Klíová slova: Signal Processing Toolbox, Filter Design&Analysis Toolbox, MATLAB, SPTOOL, FDATOOL, signál, filtr ABSTRACT This thesis deals with Signal Processing Toolbox (SPTOOL) and Filter Design&Analysis Toolbox (FDATOOL) in the environment of MATLAB. One of the aims of this thesis was theoretical analysis of selected topic focused on SPTOOL and FDATOOL. Practical use of these filtres and their application on inserted data is part of this paper as well. The last part of this thesis is focused on practical use of gained knowledge about FDATOOL and verigication on real signal data. Keywords: Signal Processing Toolbox, Filter Design&Analysis Toolbox, MATLAB, SPTOOL, FDATOOL, signal, filter

5 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 5 Zvláštní podkování patí mému vedoucímu diplomové práce prof. Ing. Romanu Prokopovi, CSc., za podntné pipomínky a diskuze, které pomohly nejen ke zkvalitnní celkového textu, ale celkov mi pomohl v mnoha ohledech pi psaní této práce.

6 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 6 Prohlašuji, že beru na vdomí, že odevzdáním diplomové/bakaláské práce souhlasím se zveejnním své práce podle zákona. /998 Sb. o vysokých školách a o zmn a doplnní dalších zákon (zákon o vysokých školách), ve znní pozdjších právních pedpis, bez ohledu na výsledek obhajoby; beru na vdomí, že diplomová/bakaláská práce bude uložena v elektronické podob v univerzitním informaním systému dostupná k prezennímu nahlédnutí, že jeden výtisk diplomové/bakaláské práce bude uložen v píruní knihovn Fakulty aplikované informatiky Univerzity Tomáše Bati ve Zlín a jeden výtisk bude uložen u vedoucího práce; byl/a jsem seznámen/a s tím, že na moji diplomovou/bakaláskou práci se pln vztahuje zákon. /000 Sb. o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o zmn nkterých zákon (autorský zákon) ve znní pozdjších právních pedpis, zejm. 35 odst. 3; beru na vdomí, že podle 60 odst. autorského zákona má UTB ve Zlín právo na uzavení licenní smlouvy o užití školního díla v rozsahu odst. 4 autorského zákona; beru na vdomí, že podle 60 odst. a 3 autorského zákona mohu užít své dílo diplomovou/bakaláskou práci nebo poskytnout licenci k jejímu využití jen s pedchozím písemným souhlasem Univerzity Tomáše Bati ve Zlín, která je oprávnna v takovém pípad ode mne požadovat pimený píspvek na úhradu náklad, které byly Univerzitou Tomáše Bati ve Zlín na vytvoení díla vynaloženy (až do jejich skutené výše); beru na vdomí, že pokud bylo k vypracování diplomové/bakaláské práce využito softwaru poskytnutého Univerzitou Tomáše Bati ve Zlín nebo jinými subjekty pouze ke studijním a výzkumným úelm (tedy pouze k nekomernímu využití), nelze výsledky diplomové/bakaláské práce využít ke komerním úelm; beru na vdomí, že pokud je výstupem diplomové/bakaláské práce jakýkoliv softwarový produkt, považují se za souást práce rovnž i zdrojové kódy, pop. soubory, ze kterých se projekt skládá. Neodevzdání této souásti mže být dvodem k neobhájení práce. Prohlašuji, že jsem na diplomové práci pracoval samostatn a použitou literaturu jsem citoval. V pípad publikace výsledk budu uveden jako spoluautor. že odevzdaná verze diplomové práce a verze elektronická nahraná do IS/STAG jsou totožné. Ve. Zlín podpis diplomanta

7 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 7 OBSAH ÚVOD...9 I TEORETICKÁ ÁST...0 TEORIE PRAVDPODOBNSTI.... POJMY TEORIE PRAVDPODOBNOSTI..... Sigma algebra ( - algebra)..... Náhodný jev Pravdpodobnost události Stední hodnota Rozptyl.... ZÁKLADNÍ TYPY ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIINY Rovnomrné rozložení R(a,b) Exponenciální rozložení E() Normální rozdlení N(, ) Normované normální rozdlení N( = 0, = ) Nkterá další rozdlení Weibullovo rozdlení W(, c) Pearsonovo rozdlení c n Studentovo rozdlení t n ZÁKLADNÍ TYPY ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIINY Alternativní rozdlení A(p) Rovnomrné rozdlení R(n) Binomické rozdlení Bi(n, p) Poissonovo rozdlení Po() Hypergeometrické rozdlení H(N, M, n)...3 ANALÝZA SIGNÁL FOURIEROVA TRANSFORMACE Pímá Fourierova transformace Spojitý as Diskrétní as Zptná Fourierova transformace Rychlá Fourierova transformace (FFT) KORELANÍ ANALÝZA Korelaní a kovarianní funkce VÝPOET VÝKONOVÉ SPEKTRÁLNÍ HUSTOTY...48 II PRAKTICKÁ ÁST SPTOOL- SIGNAL PROCESSING TOOLBOX...50

8 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, HLAVNÍ OKNO SPTOOL SIGNALS HLAVNÍ OKNO SPTOOL FILTERS HLAVNÍ OKNO SPTOOL SPEKTRA FDATOOL - FILTER DESIGN & ANALYSIS TOOLBOX (TVORBA FITR) NASTAVENÍ Response Design Metod volba druhu filru (FIR/IIR) Nastavení frekvence filtru nap. pro filtr pásmové propusti Útlum signálu ANALÝZA FILTRU TEST FUNKNOSTI FILTRU Dolní propust Pásmová propust NÁVRH FILTRU PÁSMOVÉ PROPUSTI A JEHO POUŽITÍ...86 ZÁVR...90 CONCLUSION...9 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY...9 SEZNAM NEJPOUŽÍVANJŠÍCH SYMBOL A ZKRATEK...93 SEZNAM OBRÁZK...95 SEZNAM TABULEK...97

9 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 9 ÚVOD Filtrace signál se považuje za jednu ze stžejních prací pi práci se signály, protože každý signál obsahuje urité množství pro nás nepotebných dat, které je teba odfiltrovat. A se jedná o šumy v signálu vyskytující, nebo o frekvence, které nejsou pro danou problematiku stžejní. Tato práce se podrobnji zabývá Signal Processing Toolboxem a Filter Design&Analysis Toolboxem v prostedí MATLAB, které slouží pro filtraci signál. Signal Processing Toolbox umožuje natená data analyzovat, Filter Design&Analysis Toolbox umožuje vytváení filtr, jeho editace a ukládání. Spolen tak tyto dva toolboxi vytváí silný nástroj pro práci se signály a následnou filtraci signálu. Signál je tak možné tedy upravovat, mnit frekvence v nm obsažené, pípadn amplitudy frekvencí, které se v signálu vyskytují. Upravený signál je již pro uživatele pijatelnjší, protože takovýto signál obsahuje pouze informace, které uživatel požaduje, výsledný signál tak neobsahuje data, která jsou pro nás nepodstatná, pípadn nežádoucí.

10 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 0 I. TEORETICKÁ ÁST

11 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 TEORIE PRAVDPODOBNSTI. Pojmy teorie pravdpodobnosti.. Sigma algebra ( - algebra) E je neprázdná množina a S je systém všech podmnožin E. Jde o -algebru, pokud platí 0 S; E S A S, i,,... i i0 A S i A S E A S Na základ uvedené definice se v literatue buduje axiomatická teorie pravdpodobnosti, která spoívá v pojmech elementárních jev, jev jistý, nemožný atd. Na.. S je pak definována pravdpodobnost jako reálná funkce. Teorie potom plynou pojmy a fakta uvedená v ásti.. až..5.. Náhodný jev Náhodným jevem rozumíme opakovatelnost innosti provádnou za stejných (nebo pibližn za stejných) podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhod. Píklady mohou být napíklad házení kostkou nebo losování teorie...3 Pravdpodobnost události Se obecn oznauje reálným íslem od 0 do. Událost, která nemže nastat, má pravdpodobnost 0, a naopak jistá událost má pravdpodobnost. Nkdy se nekorektn, ale názorn pravdpodobnosti násobí íslem 00 a uvádí se tak v procentech. Jinou používanou mírou pravdpodobnosti je šance (anglicky odds), která je definována jako pomr pravdpodobnosti definované bžným zpsobem ku pravdpodobnosti, že nastane opaná událost: šance p /( p). Šance se asto v praxi uvádí jako celoíselná zlomek, napíklad mám šanci jedna ku dvma, že stihnu vlak znamená totéž jako je pravdpodobnost 0,5 že stihnu vlak. []

12 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Stední hodnota Znaíme E(X). Stední hodnota je v teorii analogových periodických signál definována jako prmrná hodnota signálu v rámci jeho jedné periody. Stední hodnota je teoreticky definována jako íslo, kolem kterého kolísají hodnoty výbrových prmr, jež se poítají vždy ze série hodnot náhodné veliiny (mnoho realizací náhodného procesu). Tento fakt je vyjáden rovnicí: E ( X ) x P( X ) x k k x k (.) Bude-li k dispozici íslicový signál pouze v jedné realizaci a navíc všechny funkní hodnoty náhodné veliiny (vzorky) budou mít stejnou pravdpodobnost, pak se celý problém redukuje do bžného aritmetického prmru, který je vyjáden vztahem: E( X ) x k (.) N Pro spojitý as ji spoítáme jako integrál celého intervalu, po kterém signál analyzujeme. k E ( X ) xd P( x) (.3) R..5 Rozptyl Nazývá se též jako stední kvadratická odchylka, stední kvadratická fluktuace, variace nebo také disperze. Rozptyl náhodné veliiny X se oznauje ( X ), S ( X ), D( X ), var( X ). Vyjaduje, jak moc signál kmitá kolem jeho stední hodnoty. Pro diskrétní náhodnou veliinu je definována vztahem: n n xi E( X ) pi xi pi E( x) (.4) í i kde x i jsou hodnoty, kterých mže náhodná veliina X nabývat s pravdpodobností p i a E(X) je stední hodnota veliiny X. Pro spojitou náhodnou veliinu definujeme rozptyl vztahem:

13 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 3 x i E( X ) f ( x) dx x f ( x) dx E( x) (.5) kde f(x) je hustota pravdpodobnosti veliiny X. []. Základní typy rozdlení pravdpodobnosti spojité náhodné veliiny Celá táto kapitola. byla pevzána z literatury [5], kde je také možno se doíst o této problematice více... Rovnomrné rozložení R(a,b) Toto rozdlení má spojitá náhodná veliina X, jejíž realizace vyplují interval konené délky a mají stejnou možnost výskytu (nap. doba ekání na autobus, na výrobek u automatické linky,...). Definice Náhodná veliina X má rovnomrné rozdlení R(a,b) práv tehdy, když je hustota pravdpodobnosti urena vztahem: f pro x a, b ( x) b a (.6) 0 pro x a, b Obrázek : Graf hustoty pravdpodobnosti

14 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 4 Distribuní funkce je ve tvaru: 0 pro x, a x a F ( x) pro x a, b (.7) b a pro x b, Vlastnosti Obrázek : Graf distribuní funkce a b E( X ) D( X ) b a (.8) Píklad: Tramvajová linka íslo 8 odjíždí v dopoledních hodinách ze zastávky každých 0 minut. Jaká bude pravdpodobnost, že na ni bude lovk dopoledne ekat déle než 7 minut? Doba ekání je náhodná veliina X, která má rovnomrné rozdlení pravdpodobnosti - v našem pípad R(0,0). Distribuní funkce má tedy tvar: 0 x F ( x) 0 pro x,0 pro x 0,0 pro x0, Hledaná pravdpodobnost: 7 P ( X 7) P(7 X ) F( ) F(7) 0 3 0

15 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Exponenciální rozložení E() Toto rozdlení má spojitá náhodná veliina X, která pedstavuje dobu ekání do nastoupení (poissonovského) náhodného jevu, nebo délku intervalu (asového nebo délkového) mezi takovými dvma jevy (nap. doba ekání na obsluhu, vzdálenost mezi dvma poškozenými místy na silnici). Závisí na parametru, což je pevrácená hodnota stední hodnoty doby ekání do nastoupení sledovaného jevu. Definice Náhodná veliina X má exponenciální rozdlení E() práv tehdy, když hustota pravdpodobnosti je dána vztahem: 0 f ( x) e x pro x 0 pro x 0 (.9) Obrázek 3: Exponenciální rozložení - graf hustoty pravdpodobnosti Distribuní funkce je ve tvaru: 0 pro x 0 F( x) (.0) x e pro x 0

16 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 6 Obrázek 4: Exponenciální rozložení - graf distribuní funkce Vlastnosti E ( X ) (.) D ( X ) (.) Píklad: Doba ekání hosta v restauraci je pr mrn 5 minut. Urete: a) hustotu pravdpodobnosti náhodné veliiny, která je dána dobou ekání b) pravdpodobnost, že host bude ekat déle než minut c) dobu ekání, bhem které bude zákazník obsloužen s pravdpodobností 0,9 a) Hustota pravdpodobnosti 0 ( x) e 5 f x 5 pro x 0 pro x 0 b) Distribuní funkce 0 F( x) e x 5 pro x 0 pro x 0

17 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 7 Hledaná pravdpodobnost! 5 5 P ( X ) P( X ) F( ) F() e e 0,0907 c) Hledanou dobu ekání oznaíme t. Platí P(0 X " t) 0,9 F( t) F(0) 0,9 e e t 5 t 5 0, 0 0,9 t ln 0, 5 t 5ln 0, t,5min t min 30sec..3 Normální rozdlení N(, ) 0; #, R Oznaováno též obecné normální rozdlení i Gaussovo rozdlení (v anglicky psané literatue nazývané rozdlení zvonovitého tvaru - bell curve). Je velmi dležité, nebo: nejastji se vyskytuje mnoho jiných rozdlení se mu blíží ada jiných rozdlení se jím dá nahradit Definice Náhodná veliina X má normální rozdlení N(, ) práv tehdy, když má hustota pravdpodobnosti tvar: f ( x) e $! x# pro x, (.3)

18 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 8 Pomocí kivky normálního rozdlení popsal v roce 773 matematik Abraham de Moivre limitní chování binomického rozdlení, když se snažil aproximovat výpoty jednotlivých pravdpodobností binomického rozdlení pro velká n. Rozdlení, které Moivre pro tento úel navrhl, se nakonec ukázalo být dležitjší než výchozí binomické rozdlení. V roce 8 odvodil nezávisle na Moivreovi normální rozdlení francouzský matematik Pierre Laplace. Jak Laplace, tak Karl Friedrich Gauss prezentovali toto rozdlení jako zákon chyb a používali ho pro interpretaci astronomických a geodetických mení, výsledk hazardních her a pesnosti dlostelecké stelby. Grafem hustoty pravdpodobnosti je tzv. Gaussova (Gaussova-Laplaceova) kivka: Obrázek 5: Normální rozdlení - Gaussova-Laplaceova kivka Z obrázku je patrné, že parametr (stední hodnota) uruje, kde má kivka maximum. Parametr (smrodatná odchylka) naproti tomu uruje, jak jsou po obou stranách od hodnoty vzdáleny inflexní body, tedy jak je kivka roztažena do šíky. Distribuní funkce: f ( x) x e $! t# dt pro x, (.4)

19 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 9 Obrázek 6: Normální rozdlení - graf distribuní funkce Píklad: Jaká je pravdpodobnost, že náhodná veliina X, která má rozdlení N(0, 9), nabude hodnoty a) menší než 6, b) vtší než 0, c) v mezích od 7 do? a) P( X 6) P( X 6) F(6) F( ) F(6) Zjistit, emu je rovna distribuní funkce pro hodnotu 6 je možné zjistit nkolika zpsoby. Je-li k dispozici program Excel, je možné hodnotu vypoíst pomocí peddefinované funkce NORMDIST: P( X 6) F(6) NORMDIST(6;0;3;) 0,9775 První parametr v závorce uruje hodnotu, jejíž distribuní funkcí je poítána, druhá je stední hodnota daného normálního rozdlení, tetí parametr znaí smrodatnou odchylku daného rozdlení a poslední parametr je pravdpodobnostní hodnota, která se zadá vždy, když je požadováno vypoítat hodnotu distribuní funkce b) P( X 0) P(0 X ) F(0) NORMDIST(0;0;3;) 0,5 c) P(7 X ) NORMDIST(;0;3;) NORMDIST(7;0;3;) 0,843

20 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Normované normální rozdlení N( = 0, = ) Jedná se o speciální pípad obecného normálního rozložení, kdy = 0, =. V tomto pípad oznaujeme hustotu pravdpodobnosti: f ( x) e $ x pro x, (.5) Distribuní funkci u tohoto rozdlení: F( x) $ x e t dt pro x, (.6) Obrázek 7: Normované normální rozdlení - graf hustoty pravdpodobnosti Obrázek 8: Normované normální rozdlení - graf distribuní funkce Užitenost normovaného normálního rozdlení spoívá v tom, že vybrané hodnoty distribuní funkce tohoto rozdlení se nachází v tabulkách, které bývají souástí každé

21 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 literatury statistiky. Vztah mezi normovaným normálním rozdlením N(0,) a obecným normálním rozdlením N(m, s ) vyjaduje následující vta: Má-li spojitá náhodná veliina X obecn normální rozdlení N(, ) s hustotou pravdpodobnosti: f ( x) e $! x# pro x, (.7) Pak náhodná veliina pravdpodobnosti: # T X má normované rozdlení N(0,) s hustotou f ( x) e $ x pro x, (.8) V tabulkách se naleznou pouze hodnoty distribuní funkce pro nezáporné x. Pro urení distribuní funkce pro x < 0, je teba využít vlastností distribuní funkce normovaného normálního rozdlení a možné tak lehce odvodit F(-x) = - F(x). Píklad: Bylo použito zadání píkladu z pedchozí kapitoly, piemž tento píklad bude ešen pevedením daného normálního rozdlení N(0, 9) na normované normální rozdlení N(0, ) substitucí z vty této kapitoly.! 60 a) P( X 6) P( X 6) F(6) F( ) F(6) % %() 0, b) P( X 0) P(0 X ) F(0) F(0) 0,5 c) P(7 X ) F(4) F( ) F(4) F() 0,843 Všechny hodnoty jsou dosazené z tabulky distribuní funkce normálního rozdlení.

22 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 Píklad: Je teba urit pravdpodobnost, že náhodná veliina X s normálním rozdlením N(m, s ) nabude hodnot z intervalu a) (m-s,m+s) b) (m-s,m+s) c) (m-3s,m+3s) Grafické znázornní Obrázek 9: Normální rozložení grafické znázornní píkladu 0,997 (3)... ) 3 ( ) 3 ( ) 3 3 ( ) 0,955 ()... ) ( ) ( ) ( ) 0,683 () ()) ( () ) ( () ) ( ) ( ) ( ) % % % % % % % %! %! % # # # # # # # # # # # # # # # # F F X P c F F X P b F F X P a

23 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Nkterá další rozdlení..5. Weibullovo rozdlení W(, c) Toto rozdlení má spojitá náhodná veliina, která pedstavuje dobu života (bezporuchovosti) technických zaízení, kterým nevyhovuje exponenciální. To jest tam, kde se projevuje mechanické opotebení nebo únava materiálu. Parametr závisí na materiálu, namáhání a podmínkách užívání (,c > 0). f 0 x) c c x c & ( e! c x & pro x " 0 pro x 0 (.9) Pro c = dostaneme exponenciální rozdlení E(). Obrázek 0: Weibullovo rozdlení - graf hustoty pravdpodobnosti Distribuní funkce: 0 F( x) e c! x & pro x " 0 pro x 0 (.0)

24 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 4 Obrázek : Weibullovo rozdlení - graf distribuní funkce..5. Pearsonovo rozdlení n c n c teme chí kvadrát s n stupni volnosti Užití: Jestliže n nezávislých veliin X,..., Xn má rozdlení N(0, ), pak veliina... n X X X X má Pearsonovo rozdlení. Hustota pravdpodobnosti: "! ' ) ( pro x pro x n e x x f n x n (.) G(x) gama funkce definována pro x > vztahem: ' 0 ) ( dt t e x x t

25 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Studentovo rozdlení t n Užití: Jsou-li X,X dv nezávislé náhodné promnné, kde X se ídí rozložením N(0, ) a X rozložením c n, pak náhodná veliina T x x n má Studentovo rozložení s n stupni volnosti. f ( x)! n '! n$! n ' x n n (.).3 Základní typy rozdlení pravdpodobnosti diskrétní náhodné veliiny Celá táto kapitola.3 byla pevzata z literatury [4], kde je také možno se doíst o této problematice více..3. Alternativní rozdlení A(p) Nkteré náhodné pokusy mohou mít pouze dva rzné výsledky: pokus je úspšný pokus je neúspšný Píslušná náhodná veliina X je pak nazývána alternativní (dvoubodová, nula-jedniková). Tato náhodná veliina nabývá pouze dvou hodnot: - v pípad píznivého výsledku pokusu (jev A), 0 - v pípad nepíznivého výsledku pokusu (jev A ). Obor hodnot tedy obsahuje dva prvky M = {0,}. Je používáno oznaení: P(A) = P(X = ) = p P( A ) = P(X = 0) = p (.3)

26 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 6 Definice Náhodná veliina X s pravdpodobnostní funkcí P(X = 0) = - p, P(X = ) = p (0 < p < ) má alternativní rozdlení pravdpodobnosti A(p) s parametrem p. Píklad: Hod mincí: W = {líc,rub} Jedná se tedy o alternativní rozdlení! A. Tedy: M 0, ; X (0( ) p ( 0) p ( ).3. Rovnomrné rozdlení R(n) Definice Náhodná veliina X má rovnomrné rozdlení R(n) práv tehdy, když je pravdpodobnostní funkce urena vztahem: p( x) (.4) n kde n je poet možných výsledk Píklad: Hod kostkou: M = {,, 3, 4, 5, 6} - každý výsledek je stejn pravdpodobný. Jedná se tedy o rovnomrné rozdlení R ( 6), p( x) 6

27 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Binomické rozdlení Bi(n, p) Popisuje etnost náhodného jevu v n nezávislých pokusech, v nichž má jev stále stejnou pravdpodobnost. Definice Náhodná veliina X má binomické rozdlení Bi(n, p) práv tehdy, když je pravdpodobnostní funkce urena vztahem:! n x nx p( x) p p x (.5) kde: x = 0,,,n n je poet kus a p je pravdpodobnost úspšnosti v každém pokusu Binomické rozdlení je tedy píkladem diskrétního rozdlení pravdpodobnosti náhodné promnné X, která mže nabývat pouze n + hodnot. Pi matematickém sestrojení binomického rozdlení je teba vycházet z Bernoulliova pokusu, který spoívá v tom, že v daném náhodném pokusu mohou nastat pouze dva stavy: A s pravdpodobností p, A s pravdpodobností - p. To lze modelovat tzv. binární náhodnou promnnou Y, pro kterou platí: P(Y = ) = p a P(Y = 0) = - p. Platí: E( Y) p 0p p (.6) Y p p p p p p p D( Y ) E (.7) Náhodná promnná X vznikne jako souet n nezávislých binárních promnných Y i s hodnotami 0 nebo, které mají všechny stejné rozdlení urené parametrem p: X n Y i i (.8)

28 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 8 Vlastnosti binomického rozdlení: E( X ) n p D( X ) n p p Alternativní rozdlení A(p) je vlastn speciálním pípadem binomického rozdlení pro n = (A(p) ~ Bi(,p)). Píklad: Student VŠ má potíže s ranním vstáváním. Proto nkdy zaspí a nestihne pednášku, která zaíná již v 9 hodin. Pravdpodobnost, že zaspí, je 0,3. V semestru je pednášek - tzn. nezávislých pokus dorazit na pednášku vas. Je teba nalézt pravdpodobnost, že student nestihne pednášku v d sledku zaspání v polovin nebo více pípad. Hledaná pravdpodobnost má hodnotu: P ( X 6) P(6) P(7) P(8) P(9) P(0) P() P() k6! 0,3 n k 0,7 k 0,8 Runí výpoet by v tomto pípad byl pomrn zdlouhavý. Je-li ale k dispozici nap. tabulkový program Excel, je možné píklad snadno vypoíst pomocí distribuní funkce binomického rozdlení - v Excelu se najde pod názvem BINOMDIST: P X 6 P( X 6) F(6) BINOMDIST(5;;0;3;) 0, 8 Rozdlení pravdpodobnosti pro tento píklad je znázornno graficky na následujícím obrázku:

29 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 9 Obrázek : Binomické rozložení grafické zobrazení píkladu.3.4 Poissonovo rozdlení Po() Toto rozdlení pravdpodobnosti, pojmenované podle francouzského matematika S. D. Poissona, mají náhodné promnné, které popisují etnosti jev s tmito vlastnostmi: to, že jev v daném intervalu (asovém, prostorovém) nastane (nenastane), nezávisí na tom, co se stalo jindy nebo jinde, pro každý asový okamžik je pravdpodobnost jevu v malém asovém intervalu stejná (totéž platí v prostoru), neexistuje pípad, že by nastaly dva jevy pesn v jednom asovém okamžiku nebo míst v prostoru. Prmrný poet výskyt zkoumaného jevu v daném úseku jednotkové délky je oznaován l.

30 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Definice Poissonovo rozdlení pravdpodobnosti lze pro všechny hodnoty x = 0,,, náhodné veliiny X vyjádit pomocí parametru > 0. Náhodná veliina X má Poissonovo rozdlení Po() práv tehdy, když má pravdpodobnostní funkce tvar: Pípadn: p x p( x) e (.9) x! x l l ( x) e (.30) x! v úseku délky l (v l-násobku jednotkového úseku) Pro charakteristiky Poissonova rozdlení platí: E( X ) D( X ) A e (.3) (.3) S rostoucí hodnotou se toto rozdlení blíží k normálnímu rozdlení. Jestliže náhodná veliina má binomické rozdlení, pak tvar jejího rozložení se blíží k Poissonovu s parametrem = n.p, jestliže n je velké a p se blíží k nule. Aproximativn je možno tedy binomické rozdlení s velkým n a malou hodnotou p nahradit Poissonovým rozdlením. Souet nezávislých promnných s Poissonovým rozdlením je opt rozdlen podle tohoto rozdlení. Jestliže je k dispozici n pozorování Poissonova rozdlení s parametrem, pak souet pozorování je možné považovat za pozorování s Poissonovým rozdlením a parametrem n.

31 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 00 3 Píklad: Dle statistik plyne, že realitní maklé jedná v pr mru s pti zákazníky za den. Jaká je pravdpodobnost, že poet zákazník maklée za jeden den bude vtší než 4. Náhodná veliina X - poet zákazník pesn spluje kritéria pro Poissonovo rozdlení. Pravdpodobnostní funkce potu zákazník má tedy tvar: x 5 p( x) e x! 5 Úlohu nejlépe vyeší opaný jev: P X 4 P( X " 4) p(0) p() p() p(3) p(4) 0,44 0, 56 V Excelu je možné uvedenou pravdpodobnost vypoíst pomocí funkce POISSON: P X 4 POISSON (4;5;) 0, 56 Poissonovo rozdlení pravdpodobnosti potu zákazník: Obrázek 3: Poissonovo rozdlení grafické znázornní píkladu

32 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Hypergeometrické rozdlení H(N, M, n) Je pedpokládáno, že náhodný pokus, jehož výsledkm je piazena alternativní náhodná veliina A(p), se opakuje n-krát, piemž jednotlivé pokusy jsou vzájemn závislé (výsledek v libovolném pokusu závisí na pedcházejících pokusech) - jedná se tedy o výbry bez vracení (opakované pokusy závislé). Pro takto vzniklou náhodnou veliinu X platí: Definice Náhodná veliina X má hypergeometrické rozdlení H(N, M, n) práv tehdy, když má pravdpodobnostní funkce tvar: kde: N je poet prvk základního souboru;! M! N M x n x p ( x) (.33)! N n M je poet prvk v základním souboru, které mají požadovanou vlastnost; n je poet pokus x = 0,,,.., n je poet vybraných výrobk, které mají zkoumanou vlastnost. Vlastnosti: M E( X ) n N (.34) M! M! N n D ( X ) n N N N (.35)

33 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Píklad: Mezi stovkou výrobk je 0 zmetk. Vyberete deset výrobk a sledujete poet zmetk mezi vybranými. V tomto pípad má náhodná veliina X hypergeometrické rozdlení: X ~ H(00,0,0). Pravdpodobnostní funkce má tvar:! 0 x p ( x)! 80 0! 00 0 x Takže napíklad pravdpodobnost, že mezi deseti vybranými budou 3, se vypote:! 0! p ( x) 0,09! 00 0 Pravdpodobnostní funkci znázorníme opt graficky: Obrázek 4: Hypergeometrické rozdlení grafické znázornní píkladu

34 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, ANALÝZA SIGNÁL Signálem je rozumno asový proces hodnot po sob jdoucích, které vytváejí dohromady signál. Signál mže být bu spojitý nebo diskrétní, tedy bu analogový nebo digitální. Spojitý signál je spojitý v pípad, že lze najít hodnotu signálu v libovolném ase. Diskrétní diskrétní signál vznikne vzorkováním spojitého signálu, kde se zaznamenávají pouze hodnoty v uritých okamžicích, které jsou udávány vzorkovací frekvence signálu. Musí však platit Shannon-Kotelníkv (Nyquistv) teorém, který udává, že je poteba vzorkovat minimáln s dvojnásobnou frekvencí, jako je nejvyšší frekvence obsažená v signálu. Dále signál mže být bu ergodický nebo neergodický. Ergodický se vyznauje se tím, že všechny jeho realizace mají stejné statistické vlastnosti (stejné chování) to umožuje odhadovat parametry náhodného procesu z jedné jeho realizace. Signál je dále ergodický vi jeho stední hodnot (stejnosmrné složce), pokud má stejnosmrnou složku nenáhodnou (její rozptyl je roven 0) Každý signál se dá dále rozdlit ješt do nkolika skupin: Obrázek 5: Dlení signál

35 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Deterministické máme pro hodnoty njaký matematický výraz nebo vzorec, takže každou jejich minulou /budoucí hodnotu lze spoítat, lze ji tedy jednoznan urit. Náhodné (stochastické) v ase nelze urit, jaká hodnota bude i byla, hodnoty se nepedvídateln mní a není tak pro signál matematický vzorec. Všechny hodnoty takového signálu jsou tedy náhodné veliiny. Periodické jeho perioda se v ase opakuje se stejnými funkními hodnotami. Tato perioda mže nabývat libovolných hodnot, ale platí, že se tato perioda musí v ase stále opakovat. Píkladem periodického signálu je signál vzniklý soutem harmonických signál (sinusovek), jejich frekvence jsou v celoíselných pomrech. Neperiodické signál je neperiodický tehdy, kdy nelze urit periodu, která se opakuje v ase. Tém periodické (kvaziperiodické) u signál periodických se nemní velikost periody s asem. Existují však i signály, které velikost periody mní s asem a takové signály se tedy nazývají kvaziperiodické. Stacionární signál je stochastický signál, který si zachovává své statistické vlastnosti. Charakteristiky takovýchto signálu jsou asov invariantní. Nestacionární signál statistické vlastnosti nestacionárních signál jsou s asem promnné, tudíž vyhodnocování takovýchto signál musí být závislé na ase. Charakteristiky takovýchto signálu nejsou asov invariantní. Invariance oznauje stav, kdy jsou jisté objekty nemnné pi uritých událostech. Píkladem invariance je situace, kdy je dán systém veliin, které na sob njakým zpsobem závisí. Potom se jedna z tchto veliin nazývá invariantní vi zmn jiné (referenní) veliiny, pokud má stejnou hodnotu pi jakýkoliv zmnách referenní veliiny. (Pevzato z literatury

36 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, Zvláštním druhem signálu je tzv. bílý šum, u kterého je stední hodnota nulová, má v sob obsažené všechny frekvence a v pírod se tak bohužel nevyskytuje díky jeho nekonenému výkonu spektrální hustoty. Po prchodu bílého šumu lineární soustavou, je vytvoen stacionární stochastický signál, oznaovaný jako šum barevný nebo šedý. Bylo podaeno bílý šum realizovat díky jeho diskretizaci. Diskrétní bílý šum již lze vytvoit, využívá ho nap. prostedí MATLAB i jiné programy. V asové rovin existuje mnoho metod, kterými je možné signál analyzovat. Mezi základní metody analýzy patí zejména rzné ídící metody, hledání lokálních a globálních minim a maxim, korelaní analýzy, analýza útlumu signálu, rzné statické metody atd. Pro pechod z asové do frekvenní oblasti se používají rzné druhy transformací. Nejznámjší a nejrozšíenjší je Fourierova transformace (FT), její rzné modifikace a algoritmy. Uvedené algoritmy jsou zvlášt vhodné pro zpracování stacionárních signál. Pípadn mohou být využity pro analýzu i nestacionárních signál, pokud nás zajímá pouze frekvenní složky obsažené v celé délce vyhodnocovaného signálu. Nezískáme tak však pehled o asovém výskytu jednotlivých frekvencích. [0]. Fourierova transformace V praxi je asto výhodné (teoreticky i experimentáln) používat harmonických funkcí exp(i t), nebo jsou snadno prakticky realizovatelné (resp. jejich imaginární i reálná ást) a mají výhodné matematické vlastnosti (zvlášt vzhledem k derivaci a integrování). Ukazuje se, že za dosti širokých podmínek lze každou funkci vyjádit jako souet i integraci harmonických funkcí, ovšem každé s jinou váhou a fázovým posuvem (zpravidla jsou ob hodnoty zahrnuty do komplexní váhové funkce). Váhová funkce tedy udává, jaké frekvence je nutno použít v superpozici, aby bylo možno z harmonických funkcí zptn sestavit pvodní funkci. Práv tato váhová funkce (spektrum) bývá oznaována jako (trigonometrická) Fourierova transformace (FT). Defininí vzorec pro FT je integrálem a pro praktickou realizaci není píliš vhodný:

Pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: f(x)

Pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: f(x) NÁHODNÁ VELIINA Náhodná veliina je veliina, jejíž hodnota je jednoznan urena výsledkem náhodného pokusu (je-li tento výsledek dán reálným íslem). Jde o reálnou funkci definovanou na základním prostoru

Více

UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 2010 4

UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 2010 4 UTB ve Zlín, Fakulta aplikované informatiky, 2010 4 ABSTRAKT Elektronická fakturace je zaínajícím fenoménem moderní doby. Její pehlednost, návaznost na jiné systémy a informace, jednoduchost a ekonomická

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

27. asové, kmitotové a kódové dlení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí.

27. asové, kmitotové a kódové dlení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí. Petr Martínek martip2@fel.cvut.cz, ICQ: 303-942-073 27. asové, kmitotové a kódové dlení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí. Multiplexování (sdružování) - jedná se o

Více

PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - RUTINNÍ PRÁCE S DATY

PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - RUTINNÍ PRÁCE S DATY PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - RUTINNÍ PRÁCE S DATY YAMACO SOFTWARE 2006 1. ÚVODEM Nové verze produkt spolenosti YAMACO Software pinášejí mimo jiné ujednocený pístup k použití urité množiny funkcí, která

Více

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)

Více

IMPORT DAT Z TABULEK MICROSOFT EXCEL

IMPORT DAT Z TABULEK MICROSOFT EXCEL IMPORT DAT Z TABULEK MICROSOFT EXCEL V PRODUKTECH YAMACO SOFTWARE PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - IMPORTU DAT DO PÍSLUŠNÉ EVIDENCE YAMACO SOFTWARE 2005 1. ÚVODEM Všechny produkty spolenosti YAMACO Software

Více

1. Vlastnosti diskretních a číslicových metod zpracování signálů... 15

1. Vlastnosti diskretních a číslicových metod zpracování signálů... 15 Úvodní poznámky... 11 1. Vlastnosti diskretních a číslicových metod zpracování signálů... 15 1.1 Základní pojmy... 15 1.2 Aplikační oblasti a etapy zpracování signálů... 17 1.3 Klasifikace diskretních

Více

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad

Více

základní vlastnosti, používané struktury návrhové prostředky MATLAB problém kvantování koeficientů

základní vlastnosti, používané struktury návrhové prostředky MATLAB problém kvantování koeficientů A0M38SPP - Signálové procesory v praxi - přednáška 4 2 Číslicové filtry typu FIR a IIR definice operace filtrace základní rozdělení FIR, IIR základní vlastnosti, používané struktury filtrů návrhové prostředky

Více

1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST

1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST 1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST Kombinatorické pravidlo o souinu Poet všech uspoádaných k-tic, jejichž první len lze vybrat n 1 zpsoby, druhý len po výbru prvního lenu n 2 zpsoby atd. až k-tý

Více

Správa obsahu ízené dokumentace v aplikaci SPM Vema

Správa obsahu ízené dokumentace v aplikaci SPM Vema Správa obsahu ízené dokumentace v aplikaci SPM Vema Jaroslav Šmarda, smarda@vema.cz Vema, a. s., www.vema.cz Abstrakt Spolenost Vema patí mezi pední dodavatele informaních systém v eské a Slovenské republice.

Více

Pídavný modul rozvaha lze vyvolat z hlavní nabídky po stisku tlaítka Výkazy / pídavné moduly.

Pídavný modul rozvaha lze vyvolat z hlavní nabídky po stisku tlaítka Výkazy / pídavné moduly. Výkaz rozvaha Pídavný modul rozvaha lze vyvolat z hlavní nabídky po stisku tlaítka Výkazy / pídavné moduly. Po spuštní modulu se zobrazí základní okno výkazu: V tabulce se zobrazují sloupce výkazu. Ve

Více

Tabulkový procesor Excel

Tabulkový procesor Excel Tabulkový procesor Excel Excel 1 SIPVZ-modul-P0 OBSAH OBSAH...2 ZÁKLADNÍ POJMY...4 K EMU JE EXCEL... 4 UKÁZKA TABULKOVÉHO DOKUMENTU... 5 PRACOVNÍ PLOCHA... 6 OPERACE SE SOUBOREM...7 OTEVENÍ EXISTUJÍCÍHO

Více

IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY

IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY IV. CVIENÍ ZE STATISTIKY Vážení studenti, úkolem dnešního cviení je nauit se analyzovat data kvantitativní povahy. K tomuto budeme opt používat program Excel 2007 MS Office. 1. Jak mžeme analyzovat kvantitativní

Více

Zbytky zákaznického materiálu

Zbytky zákaznického materiálu Autoi: V Plzni 31.08.2010 Obsah ZBYTKOVÝ MATERIÁL... 3 1.1 Materiálová žádanka na peskladnní zbytk... 3 1.2 Skenování zbytk... 7 1.3 Vývozy zbytk ze skladu/makulatura... 7 2 1 Zbytkový materiál V souvislosti

Více

PRÁCE S GRAFICKÝMI VÝSTUPY SESTAV

PRÁCE S GRAFICKÝMI VÝSTUPY SESTAV PRÁCE S GRAFICKÝMI VÝSTUPY SESTAV V PRODUKTECH YAMACO SOFTWARE PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - UŽIVATELSKÉ ÚPRAVY GRAFICKÝCH VÝSTUP YAMACO SOFTWARE 2006 1. ÚVODEM Vtšina produkt spolenosti YAMACO Software

Více

EXPORT DAT TABULEK V MÍŽKÁCH HROMADNÉHO PROHLÍŽENÍ

EXPORT DAT TABULEK V MÍŽKÁCH HROMADNÉHO PROHLÍŽENÍ EXPORT DAT TABULEK V MÍŽKÁCH HROMADNÉHO PROHLÍŽENÍ V PRODUKTECH YAMACO SOFTWARE PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - EXPORTU DAT DO EXTERNÍCH FORMÁT YAMACO SOFTWARE 2005 1. ÚVODEM Všechny produkty spolenosti YAMACO

Více

Každý datový objekt Pythonu má minimáln ti vlastnosti. Identitu, datový typ a hodnotu.

Každý datový objekt Pythonu má minimáln ti vlastnosti. Identitu, datový typ a hodnotu. Datový objekt [citováno z http://wraith.iglu.cz/python/index.php] Každý datový objekt Pythonu má minimáln ti vlastnosti. Identitu, datový typ a hodnotu. Identita Identita datového objektu je jedinený a

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY Lineární a adaptivní zpracování dat 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Úvodní informace o předmětu Signály, časové řady klasifikace, příklady, vlastnosti Vzorkovací

Více

VYTVÁENÍ VÝBROVÝCH DOTAZ

VYTVÁENÍ VÝBROVÝCH DOTAZ VYTVÁENÍ VÝBROVÝCH DOTAZ V PRODUKTECH YAMACO SOFTWARE PÍRUKA A NÁVODY PRO ÚELY: - VYTVÁENÍ VÝBROVÝCH SESTAV YAMACO SOFTWARE 2003-2004 1. ÚVODEM Standardní souástí všech produkt Yamaco Software jsou prostedky

Více

Číslicové zpracování signálů a Fourierova analýza.

Číslicové zpracování signálů a Fourierova analýza. Číslicové zpracování signálů a Fourierova analýza www.kme.zcu.cz/kmet/exm 1 Obsah prezentace 1. Úvod a motivace 2. Data v časové a frekvenční oblasti 3. Fourierova analýza teoreticky 4. Fourierova analýza

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

VLASTNOSTI KOMPONENT MICÍHO ETZCE -ÍSLICOVÁÁST

VLASTNOSTI KOMPONENT MICÍHO ETZCE -ÍSLICOVÁÁST VLASTNOSTI KOMPONENT MICÍHO ETZCE -ÍSLICOVÁÁST 6.1. Analogovíslicový pevodník 6.2. Zobrazovací a záznamové zaízení 6.1. ANALOGOVÍSLICOVÝ PEVODNÍK Experimentální metody pednáška 6 Napájecí zdroj Sníma pevod

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti

Lineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti Lineární a adaptivní zpracování dat 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti Daniel Schwarz Osnova Opakování: systémy a jejich popis v časové oblasti Fourierovy řady Frekvenční charakteristika systémů

Více

Vysoká škola báská Technická univerzita Ostrava Institut geoinformatiky. Analýza dojíždní z dotazníkového šetení v MSK. Semestrální projekt

Vysoká škola báská Technická univerzita Ostrava Institut geoinformatiky. Analýza dojíždní z dotazníkového šetení v MSK. Semestrální projekt Vysoká škola báská Technická univerzita Ostrava Institut geoinformatiky Analýza dojíždní z dotazníkového šetení v MSK Semestrální projekt 18.1.2007 GN 262 Barbora Hejlková 1 OBSAH OBSAH...2 ZADÁNÍ...3

Více

1. Exponenciální rst. 1.1. Spojitý pípad. Rstový zákon je vyjáden diferenciální rovnicí

1. Exponenciální rst. 1.1. Spojitý pípad. Rstový zákon je vyjáden diferenciální rovnicí V tomto lánku na dvou modelech rstu - exponenciálním a logistickém - ukážeme nkteré rozdíly mezi chováním spojitých a diskrétních systém. Exponenciální model lze považovat za základní rstový model v neomezeném

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Lineární algebra Petriho sítí

Lineární algebra Petriho sítí ) Notace Lineární algebra Petriho sítí Definice: Neznaená PN je taková tveice Q = P Pre Post kde P = {P P n } je množina míst (konená nenulová) = { m } je množina pechod (konená nenulová) Pre: P {} vstupní

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Cykly Intermezzo. FOR cyklus

Cykly Intermezzo. FOR cyklus Cykly Intermezzo Rozhodl jsem se zaadit do série nkolika lánk o základech programování v Delphi/Pascalu malou vsuvku, která nám pomže pochopit principy a zásady pi používání tzv. cykl. Mnoho ástí i jednoduchých

Více

DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE P I NELINEÁRNÍ ULTRAZVUKOVÉ SPEKTROSKOPII

DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE P I NELINEÁRNÍ ULTRAZVUKOVÉ SPEKTROSKOPII DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE PI NELINEÁRNÍ ULTRAZVUKOVÉ SPEKTROSKOPII Luboš PAZDERA *, Jaroslav SMUTNÝ **, Marta KOENSKÁ *, Libor TOPOLÁ *, Jan MARTÍNEK *, Miroslav LUÁK *, Ivo KUSÁK * Vysoké uení

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

Číslicová filtrace. FIR filtry IIR filtry. ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická

Číslicová filtrace. FIR filtry IIR filtry. ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Ing. Radek Sedláček, Ph.D., katedra měření K13138 Číslicová filtrace FIR filtry IIR filtry Tyto materiály vznikly za podpory Fondu rozvoje

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Prezentaní program PowerPoint

Prezentaní program PowerPoint Prezentaní program PowerPoint PowerPoint 1 SIPVZ-modul-P0 OBSAH OBSAH...2 ZÁKLADNÍ POJMY...3 K EMU JE PREZENTACE... 3 PRACOVNÍ PROSTEDÍ POWERPOINTU... 4 OPERACE S PREZENTACÍ...5 VYTVOENÍ NOVÉ PREZENTACE...

Více

Efektivní hodnota proudu a nap tí

Efektivní hodnota proudu a nap tí Peter Žilavý: Efektivní hodnota proudu a naptí Efektivní hodnota proudu a naptí Peter Žilavý Katedra didaktiky fyziky MFF K Praha Abstrakt Píspvek experimentáln objasuje pojem efektivní hodnota stídavého

Více

Párování. Nápovdu k ostatním modulm naleznete v "Pehledu nápovd pro Apollo".

Párování. Nápovdu k ostatním modulm naleznete v Pehledu nápovd pro Apollo. Párování Modul Párování poskytuje pehled o došlých i vrácených platbách provedených bankovním pevodem i formou poštovní poukázky. Jedná se napíklad o platby za e-pihlášky, prkazy ISIC nebo poplatky za

Více

2.1 Pokyny k otev eným úlohám. 2.2 Pokyny k uzav eným úlohám. Testový sešit neotvírejte, po kejte na pokyn!

2.1 Pokyny k otev eným úlohám. 2.2 Pokyny k uzav eným úlohám. Testový sešit neotvírejte, po kejte na pokyn! MATEMATIKA základní úrove obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bod Hranice úspšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. asový limit pro ešení

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Lineární a adpativní zpracování dat. 3. Lineární filtrace I: Z-transformace, stabilita

Lineární a adpativní zpracování dat. 3. Lineární filtrace I: Z-transformace, stabilita Lineární a adpativní zpracování dat 3. Lineární filtrace I: Z-transformace, stabilita Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály, systémy, jejich vlastnosti a popis v časové

Více

Obsah...1 1. Úvod...2 Slovníek pojm...2 2. Popis instalace...3 Nároky na hardware a software...3 Instalace a spouštní...3 Vstupní soubory...3 3.

Obsah...1 1. Úvod...2 Slovníek pojm...2 2. Popis instalace...3 Nároky na hardware a software...3 Instalace a spouštní...3 Vstupní soubory...3 3. Obsah...1 1. Úvod...2 Slovníek pojm...2 2. Popis instalace...3 Nároky na hardware a software...3 Instalace a spouštní...3 Vstupní soubory...3 3. Popis prostedí...4 3.1 Hlavní okno...4 3.1.1 Adresáový strom...4

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

ORACLE ÍZENÍ VÝROBY ORACLE WORK IN PROCESS KLÍOVÉ FUNKCE ORACLE WORK IN PROCESS

ORACLE ÍZENÍ VÝROBY ORACLE WORK IN PROCESS KLÍOVÉ FUNKCE ORACLE WORK IN PROCESS ORACLE WORK IN PROCESS ORACLE ÍZENÍ VÝROBY KLÍOVÉ FUNKCE ORACLE WORK IN PROCESS Definice standardních výrobních píkaz Definice výrobních rozvrh pro libovolný zvolený interval Definice výrobních píkaz koncové

Více

ORACLE DISCRETE MANUFACTURING ORACLE DISKRÉTNÍ VÝROBA

ORACLE DISCRETE MANUFACTURING ORACLE DISKRÉTNÍ VÝROBA ORACLE DISCRETE MANUFACTURING ORACLE DISKRÉTNÍ VÝROBA KLÍOVÉ FUNKCE ORACLE DISCRETE MANUFACTURING Definice výrobních píkaz Definice výrobních rozvrh ízení zakázkové výroby ízení sériové výroby ízení hromadné

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY Lineární a adaptivní zpracování dat 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Úvodní informace o předmětu Signály, časové řady klasifikace, příklady,

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Dokumentaní píruka k aplikaci. Visor: Focení vzork. VisorCam. Verze 1.0

Dokumentaní píruka k aplikaci. Visor: Focení vzork. VisorCam. Verze 1.0 Dokumentaní píruka k aplikaci Visor: Focení vzork VisorCam Verze 1.0 ervenec 2009 Modul Focení vzork slouží k nafocení vzork 1. Prostednictvím této aplikace je provádna veškerá práce s fotoaparátem pístroje

Více

1. MODELY A MODELOVÁNÍ. as ke studiu: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt: Výklad. 1.1. Model

1. MODELY A MODELOVÁNÍ. as ke studiu: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt: Výklad. 1.1. Model 1. MODELY A MODELOVÁNÍ as ke studiu: 30 minut Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt: charakterizovat model jako nástroj pro zobrazení skutenosti popsat proces modelování provést klasifikaci základních

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Pedání smny. Popis systémového protokolování. Autor: Ing. Jaroslav Halva V Plzni 24.01.2012. Strana 1/6

Pedání smny. Popis systémového protokolování. Autor: Ing. Jaroslav Halva V Plzni 24.01.2012. Strana 1/6 Autor: Ing. Jaroslav Halva V Plzni 24.01.2012 Strana 1/6 Obsah 1 OBSAH... 2 2 NKOLIK SLOV NA ÚVOD... 3 3 MODEL... 3 4 DEFINICE... 3 5 DENNÍ VÝKAZ... 4 6 ZÁVR... 6 Strana 2/6 1 Nkolik slov na úvod Zamení

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE

MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ MILOSLAV ŠVEC MATEMATICKÁ KARTOGRAFIE MODUL KARTOGRAFICKÁ ZKRESLENÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Matematická kartografie

Více

Motivace příklad použití lokace radarového echa Význam korelace Popis náhodných signálů číselné charakteristiky

Motivace příklad použití lokace radarového echa Význam korelace Popis náhodných signálů číselné charakteristiky A0M38SPP - Signálové procesory v praxi - přednáška 7 2 Motivace příklad použití lokace radarového echa Význam korelace Popis náhodných signálů číselné charakteristiky (momenty) Matematická definice korelační

Více

dq T dq ds = definice entropie T Entropie Pi pohledu na Clausiv integrál pro vratné cykly :

dq T dq ds = definice entropie T Entropie Pi pohledu na Clausiv integrál pro vratné cykly : Entropie Pi pohledu na Clausiv integrál pro vratné cykly : si díve i pozdji jist uvdomíme, že nulová hodnota integrálu njaké veliiny pi kruhovém termodynamickém procesu je základním znakem toho, že se

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Vlastnosti a modelování aditivního

Vlastnosti a modelování aditivního Vlastnosti a modelování aditivního bílého šumu s normálním rozdělením kacmarp@fel.cvut.cz verze: 0090913 1 Bílý šum s normálním rozdělením V této kapitole se budeme zabývat reálným gaussovským šumem n(t),

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Středoškolská technika SCI-Lab

Středoškolská technika SCI-Lab Středoškolská technika 2016 Setkání a prezentace prací středoškolských studentů na ČVUT SCI-Lab Kamil Mudruňka Gymnázium Dašická 1083 Dašická 1083, Pardubice O projektu SCI-Lab je program napsaný v jazyce

Více

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd. ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

CW01 - Teorie měření a regulace

CW01 - Teorie měření a regulace Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace ZS 2010/2011 SPEC. 2.p 2010 - Ing. Václav Rada, CSc. Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace

Více

GYMNÁZIUM CHEB. SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh. Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 2006 Petr NEJTEK, 8.

GYMNÁZIUM CHEB. SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh. Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 2006 Petr NEJTEK, 8. GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 006 Petr NEJTEK, 8.A Prohlášení Prohlašujeme, že jsme seminární práci na téma: Grafy funkcí

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ

SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. DRAHOMÍR NOVÁK, DrSc. SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ MODUL P01 PRVODCE PEDMTEM CD04, CD06 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

P ehled nep ítomnosti

P ehled nep ítomnosti Pehled nepítomnosti Modul poskytuje pehled nepítomností zamstnanc na pracovišti. Poskytuje informace o plánované, schválené nebo aktuáln erpané pracovní nepítomnosti zamstnanc v rámci pracovišt VUT a možnost

Více

DUM. Databáze - úvod

DUM. Databáze - úvod DUM Název projektu íslo projektu íslo a název šablony klíové aktivity Tematická oblast - téma Oznaení materiálu (pílohy) Inovace ŠVP na OA a JŠ Tebí CZ.1.07/1.5.00/34.0143 III/2 Inovace a zkvalitnní výuky

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

MATEMATIKA MATEMATIKA

MATEMATIKA MATEMATIKA PRACOVNÍ MATERIÁLY PRACOVNÍ MATERIÁLY MATEMATIKA MATEMATIKA Struktura vyuovací hodiny Metodický Struktura vyuovací list aplikace hodiny Ukázková Metodický hodina list aplikace materiál Záznamový Ukázková

Více

Autocad ( zdroj www.designtech.cz )

Autocad ( zdroj www.designtech.cz ) Autocad ( zdroj www.designtech.cz ) AutoCAD patí k tradiním CAD aplikacím, které využívá celá ada technických i netechnických obor. V dnešním lánku se podíváme na bleskovku, jak lze zaít velmi tychle v

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

V mnoha pípadech, kdy známe rozdlení náhodné veliiny X, potebujeme urit rozdlení náhodné veliiny Y, která je funkcí X, tzn. Y = h(x).

V mnoha pípadech, kdy známe rozdlení náhodné veliiny X, potebujeme urit rozdlení náhodné veliiny Y, která je funkcí X, tzn. Y = h(x). 3. FUNKCE NÁHODNÉ VELIINY as ke studu: 40 mnut Cíl: Po prostudování této kaptol budete umt transformovat náhodnou velnu na náhodnou velnu Y, je l mez tmto náhodným velnam vzájemn jednoznaný vztah VÝKLAD

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Metodický materiál Ma

Metodický materiál Ma Metodický materiál Ma Metodický materiál Ma... 1 Úvod... 2 Možnosti použití v hodin... 2 Podmínky... 2 Vhodná témata... 3 Nevhodná témata... 3 Vybrané téma: Funkce... 3 Úvod... 3 Použití v tématu funkce...

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Promnné. [citováno z

Promnné. [citováno z Promnné [citováno z http://wraith.iglu.cz/python/index.php] Abychom s datovým objektem mohli v programu njak rozumn pracovat, potebujeme se na nj njakým zpsobem odkázat. Potebujeme Pythonu íct, aby napíklad

Více

Síový analyzátor / rekordér pechodových jev

Síový analyzátor / rekordér pechodových jev Technické údaje Síový analyzátor / rekordér pechodových jev Model PQ-Box 200 Detekce chyb Vyhodnocování kvality naptí podle norem EN50160 a IEC61000-2-2 (2-4) FFT analýza do 20 khz Naítání analýz, mení

Více

Mechanické kmitání Kinematika mechanického kmitání Vojtěch Beneš

Mechanické kmitání Kinematika mechanického kmitání Vojtěch Beneš Mechanické kmitání Vojtěch Beneš Výstup RVP: Klíčová slova: žák užívá základní kinematické vztahy při řešení problémů a úloh o pohybech mechanické kmitání, kinematika, harmonický oscilátor Sexta Příprava

Více

Ing. Jaroslav Halva. UDS Fakturace

Ing. Jaroslav Halva. UDS Fakturace UDS Fakturace Modul fakturace výrazn posiluje funknost informaního systému UDS a umožuje bilancování jednotlivých zakázek s ohledem na hodnotu skutených náklad. Navíc optimalizuje vlastní proces fakturace

Více

III. CVIENÍ ZE STATISTIKY

III. CVIENÍ ZE STATISTIKY III. CVIENÍ ZE STATISTIKY Vážení studenti, úkolem dnešního cviení je nauit se analyzovat data pomocí chí-kvadrát testu, korelaní a regresní analýzy. K tomuto budeme používat program Excel 2007 MS Office,

Více

1. Signatura datového typu

1. Signatura datového typu 1. Signatura datového typu a) popisuje vlastnosti operací datového typu b) popisuje sémantiku datového typu c) popisuje jména druh a operací a druhy argument a výsledku d) je grafickým vyjádením implementace

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Instalace multiimportu

Instalace multiimportu Instalace multiimportu 1. Rozbalit archiv multiimportu (nap. pomocí programu Winrar) na disk C:\ Cesta ve výsledném tvaru bude: C:\MultiImport 2. Pejdte do složky Install a spuste soubor Install.bat Poznámka:

Více

Modelování a simulace Lukáš Otte

Modelování a simulace Lukáš Otte Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast

Více

Diskrétní náhodná veličina

Diskrétní náhodná veličina Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné

Více