1. MODELY A MODELOVÁNÍ. as ke studiu: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt: Výklad Model

Transkript

1 1. MODELY A MODELOVÁNÍ as ke studiu: 30 minut Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt: charakterizovat model jako nástroj pro zobrazení skutenosti popsat proces modelování provést klasifikaci základních model vysvtlit pojem matematický model vysvtlit pojmy: stochastický a deterministický model popsat rzné pístupy k modelování, jako dedukce, indukce a retrodukce Výklad 1.1. Model Pojem model se vyskytuje v odborné literatue velmi asto. Teorie model a modelování nabyla v souvislosti s rozvojem kybernetiky znaného metodologického významu a modely nacházejí uplatnní v nejrznjších oborech. Termín model mže být chápán rzn a modely mohou sloužit odlišným cílm. Problematika modelování zahrnuje velké množství rznorodých otázek, takže jsme nuceni omezit se jen na ty, které pímo nebo nepímo aspo ásten souvisí s použitím statistických metod. Rzné názory na obecnou podstatu model, na jejich obsah, klasifikaci a pedevším funkci netvoí ani zdaleka ucelenou teorii s pesn vymezenou a jednotnou terminologií. Konstrukce modelu a pravidla této konstrukce jsou vázána na ešení konkrétních úloh teoretického i praktického rázu, a je proto zejmé, že pi posuzování metodologických otázek je teba k této skutenosti pihlédnout. Pi sledování jev a proces reálného svta si uvdomujeme, že je v naprosté vtšin pípad nejsme schopni zcela vysvtlit. Jen velmi obtížn postihujeme zákonitosti jejich vzniku a ješt he pronikáme do jejich vazeb a souvislostí. Modelování je tvrí lidská innost spoívající v idealizaci a zjednodušení dj reálného svta. Vtšina autor se shoduje v tom, že model musíme chápat jako uritou formu zobrazení skutenosti. Rozdíly jsou pouze v tom, jaká je modelována skutenost, jaké jsou modelovací prostedky a k jakému úelu model slouží. Slovo model má svj pvod ve stavitelství, kde oznauje míru, podle níž jsou vyjádeny proporce stavby. Pozdji dostal pojem model zásadn nový význam. Pipouští se, že teorie nemusí být jen zobrazením skutenosti její objektivní podob, ale že mže jít o její uritou idealizaci. asté jsou pípady, kdy je výhodnjší operovat s modelem místo se skuteností z toho dvodu, že asto ovládáme lépe pravidla modelovací techniky než pravidla nezachytitelné nebo pímo nepozorovatelné skutenosti. 5

2 Gnozeologická podstata modelování vyplývá ze zákon pírody a z historicky vzniklé schopnosti abstrahovat shodné vlastnosti rzných objekt. Díky souvislostem, které mezi objekty existují, mžeme nepímo sledovat nkteré objekty prostednictvím jiných objekt. Pes mnohoznanost pojmu model jej mžeme charakterizovat jako zjednodušenou formu zobrazení podstatných rys zkoumaného úseku reality. Model je sestaven podle uritých pravidel, která dovolují napodobovat chování a vlastnosti zobrazované reality. Model je nejen prostedkem získávání poznatk, ale pomocí modelu je také možno rozvinout teorii urité oblasti. Studium modelu umožuje vyvodit nkteré poznatky o zobrazované skutenosti jen v pípad, pokud mezi skuteností a modelem existuje obdoba, která je pro poznávání skutenosti nezbytná. innost zamenou ke konstrukci modelu nazveme modelováním. Modelováním mžeme dojít k matematické teorii, která umožuje vysvtlovat a objevovat souvislosti a ásten je i zobecovat. Tento popis však nemže opravovat nebo dokonce odstraovat chyby zpsobené nedokonalostí modelu samotného. 1.. Jedna z možných klasifikací modelu Samotné slovo model je tedy velmi mnohoznané. Nkteí autoi si dali práci a uvedli seznamy nkolika desítek výklad významu pojmu model. Úplná definice modelu se dnes asi neobejde bez aparátu teorie množin a matematické logiky. Odlišné pístupy pitom najdeme v pírodních a technických vdách, logice a spoleenských vdách, jiné pojetí v kybernetice a jiných disciplínách. Východiskem pi tídní model mže být modelovaná skutenost a prostedky modelování, jakož i charakter cíl, kterým konstrukce modelu slouží. Velmi jednoduché je rozlišení materiálních model od myšlenkových model. Zatímco materiální modely zobrazují reáln existující objekty, modely druhé skupiny mají charakter spíše teoretický a existují jen v našem vdomí. Myšlenkové modely je možné dále tídit na pedstavové modely, vytváené hypotetickou konstrukcí nebo idealizací skutenosti podle pedstav, a na symbolické modely, jejichž prvky jsou vytváené symboly nebo znaky. Modely této skupiny mají velmi blízko k modelm, u kterých mají rozhodující význam logické a matematické vlastnosti, a nazývají se modely logické i formální nebo také matematické Matematické modely Rovnž pojem matematický model lze chápat ve více významech. Vtšinou se matematickým modelem rozumí njaká formalizovaná teorie, nkdy i její matematické zobrazení, ale asto se také (nepíliš šastn) matematickým modelem oznauje jakýkoli kvantifikovaný popis nkterých stránek skutenosti. Úspch matematického modelování závisí mimo jiné na našich schopnostech formalizovat teoretické i praktické poznatky o zkoumaném úseku reality. Jde o nalezení takového matematického aparátu, který odpovídá modelované skutenosti a pitom respektuje úel, ke kterému byl model konstruován. Matematický model musí (stejn jako každý jiný model) objektivním zpsobem znázorovat jevy a procesy reálného svta. Matematický model vyjaduje zákonitosti jev a proces, a to jak v oblasti vdeckého poznávání, tak v oblasti praktické lidské innosti. Je zajímavé, že i když matematické modely neobsahují žádné vztahy, které do nich nebyly vloženy, pesto poskytují poznání, které do nich nebylo vdom dáno. Matematické modely mohou pomoci 6

3 k poznání tím, že naznaí nebo dokonce umožní dokázat obecné výsledky, které byly obsaženy v souborech pozorování, ale nebyly z tchto soubor zejmé. Mohou dávat podnt a inspiraci k budoucímu bádání. Matematický model mžeme zjednodušen definovat jako uritou formu zobrazení nkterých aspekt jev a proces reálného svta matematickými prostedky. Takovým prostedkem mže být teba soustava rovnic obsahující promnné (veliiny) a konstanty (parametry) Nkteré typy matematických model Matematické modely lze tídit z rzných hledisek. Za hlavní lze považovat odlišení deterministických model od stochastických model. Deterministické modely mají povahu zákonitostí, jež pi dodržení uritých pedpoklad a podmínek vždy platí, neboli vyhovují každé konkrétní empirické situaci. Pro deterministické modely je charakteristické, že postavení všech veliin v modelu je nesporné a konkrétní hodnoty pedstavují adu pevn daných ísel. U deterministického modelu je známa nejen jeho struktura, která mže být popsána teba algebraickou nebo diferenciální rovnicí, ale nesporné jsou i hodnoty parametr. Pro odlišení deterministických a stochastických vztah není zatím podstatné, zda jsme k matematickému modelu došli logickým dkazem, kdy závry vyplývají pímo z pedpoklad, i zobecnním provedeným na základ empirických zkušeností. Uvažujme Newtonv pohybový zákon: dráha y, kterou pedmt na Zemi urazí za dobu t, je pi uritých zjednodušeních dána rovnicí at y = vt V této rovnici konstanty v, a pedstavují poátení rychlost a tíhové zrychlení. K této rovnici je možné dojít vhodnou úpravou diferenciální rovnice modelující pohyb tlesa na Zemi anebo zobecnním uritých pozorování, tedy induktivním (datov orientovaným) zpsobem. Zatímco pi deduktivní úvaze pedpokládáme pesnou znalost hodnot v, a, vyluujeme vliv odporu vzduchu a provádíme nkterá další zjednodušení, pi induktivní úvaze respektujeme chyby mení promnných y,t (tyto promnné se stávají náhodnými promnnými Y,T) a do analýzy tím zahrnujeme i vliv nkterých dalších initel zpsobujících, že platnost rovnice je pouze pibližná. Do rovnice vstoupil prvek nejistoty (náhody) a hovoíme o modelu stochastickém: at Y = vt Na rozdíl od deterministického modelu vyhovuje stochastický model konkrétním situacím jen pibližn a s uritou pravdpodobností. Stochastické modely bývají též oznaovány jako pravdpodobnostní a práv s nimi se v tomto textu budeme výhradn setkávat. V bžných úlohách rzných vdních obor existuje mnoho dvod, pro získaná pozorování i mení mají charakter spíše náhodný než deterministický. Pro stochastické modely je charakteristické, že dovolují pomrn pesnou matematickou manipulaci se vztahy mezi veliinami, i když ve skutenosti platí tyto vztahy pouze pibližn. 7

4 Pro naše poteby mžeme pijmout pracovní definici stochastického modelu jako rovnice nebo soustavy rovnic obsahující náhodné veliiny, nenáhodné veliiny a parametry. Náhodné veliiny jsou promnné, jejichž hodnoty pedem neznáme, jsou dány provedením pokusu nebo pozorováním. Nenáhodné veliiny (nkdy též oznaované jako pevné nebo fixní veliiny) jsou promnné, jejichž hodnoty urujeme. Parametry jsou známé nebo astji neznámé konstanty. Potíže související s konstrukcí stochastického modelu vyplývají z nejistoty, která se týká i nkterých zcela základních otázek. Na prvním míst je teba uvést nejistotu týkající se odlišení podstatných a nepodstatných veliin. Výbr promnných, které by model ml obsahovat, je velmi složitý vcný i empirický problém. Nejistotou pociujeme i kolem samotné matematické formy modelu. Informace teoretického rázu nemusí být dostatené pro výbr konkrétní formy modelu. Nejistota se týká i oprávnnosti uinných pedpoklad, pesnosti mení (zjišování), vhodnosti metody použité k odhadu parametr atd. Matematické modelování je nepetržitý proces srovnávání našich znalostí, pedpoklad a úvah s výsledky zjišování a s užiteností modelu z hlediska cíl, ke kterým byl sestaven. Modely urené ke zkoumání vztah mezi veliinami se obvykle dlí na modely funkní, modely pro úely ízení a modely predikní. Není teba zdrazovat, že pokud známe skutený funkní vztah mezi veliinami, jsme pímo v ideální situaci. Mžeme ídit, pop. kontrolovat i pedpovídat hodnoty veliin, které jsou pedmtem našeho zájmu. Pípady, kdy máme podobné modely k dispozici, jsou (odmyslíme-li si defininí vztahy) zcela výjimené, piemž funkní vztahy bývají vtšinou nelineární a obtížn interpretovatelné. Znalost funkního pedpisu vyjadujícího vztahy mezi veliinami nemusí ješt umožovat ízení i kontrolu všech zúastnných veliin. Užitený model ízení mže být nkdy sestrojen jen tehdy, pokud jsou veliiny v úloze píin zcela pod naší kontrolou a jsme schopni vypracovat podrobný a pesný plán experimentu. Pokud nejsme z nejrznjších dvod schopni funkní model sestrojit a plánovaný experiment nepichází v úvahu, spokojujeme se vtšinou s modelem, který není v plné míe realistickým zobrazením skutenosti a je pouze zjednodušujícím piblížením k hlavním rysm chování a vztahu veliin. Modely této skupiny se nkdy oznaují jako predikní. Dvodem k tomuto oznaení je zejm skutenost, že práv úlohy související s pedpovdí hodnot nkterých veliin na základ znalosti hodnot jiných veliin, se asto eší pomocí model, které jsou pouze zjednodušenou abstrakcí skutenosti. Predikní modely jsou asto užitené a za uritých podmínek mohou naznait vnitní podstatu sledovaných jev a proces. Tyto modely bývají konstruovány pedevším metodami regresní analýzy, což vyžaduje velkou obezetnost vi pedpokladm a respekt k vypovídající schopnosti tchto metod. Zjednodušující abstrakce je velmi asto spojená s otázkou linearity, pop. se stupnm nelinearity modelu. Zkušenosti z rzných vdních obor ukazují, že vtšina systém i proces má nelineární charakter, což znan ztžuje modelovací pístup. ásteným východiskem mže být linearizující zjednodušení. Matematicky je možné problém linearizace ešit rozvojem nelineární funkce do Taylorovy ady se zanedbáním len vyššího než prvního ádu. Jinou možností linearizace je zjednodušení, pi kterém zanedbáme psobení nkterých veliin a chování ostatních veliin do urité míry idealizujeme. Na jedné stran je tento pístup nebezpený v tom smyslu, že lineární funkce bude píliš hrubým zobrazením skutenosti, ale na druhé stran linearizace zjednodušuje interpretaci výsledk a zpracování dat. 8

5 Stochastické modely (a samozejm nejen ty) je možné dále tídit podle ady jiných hledisek. Napíklad podle závislosti na ase rozlišujeme modely statické a dynamické, podle veliin v modelu na spojité a nespojité (diskrétní), atd Pístupy k modelování Podle K. Pearsona (1938) jednota urité vdní disciplíny spoívá v samotných metodách této disciplíny a nikoli v oblasti, kde jsou tyto metody používány. Znamená to, že i když je teba respektovat specifika rzných vdních obor, tak nkteré typy úsudk používané v jedné oblasti zkoumání svou podstatou nejsou zásadn odlišné od podobn utvoených úsudk v jiných oblastech. Aristoteles uvádí ti typy vdeckých úsudk, deduktivní, induktivní a retroduktivní. Pi deduktivní úvaze se postupuje od obecného k zvláštnímu a dedukcí se rozumí typ úsudk nebo metoda zkoumání, pi níž podle uritých pravidel závry jednoznan vyplývají z pedpoklad. Typickým píkladem je matematický dkaz nebo úsudek o realit pi znalosti modelu této reality, piemž pravdivost výchozích tvrzení uruje i pesnost i pravdivost výsledk. V tomto smyslu paradoxn teorie matematické (íká se též induktivní) statistiky vyplývá z pevážn deduktivních úvah, zatímco úvahy o cílové populaci na základ získaných výbrových údaj lze oznait za induktivní úlohu. Pi induktivní úvaze se postupuje ve srovnání s deduktivní úlohou obrácen, tedy od konkrétního k obecnému, od reality k modelu anebo od výbrových dat ke skuteným nebo hypotetickým populacím. Pro statickou indukci je charakteristické, že obecný závr se vyvozuje na základ konkrétních pozorování. Základním pedpokladem vdeckého pokroku je neustálé hromadní poznatk získaných ze zkušeností. Podle cíle úlohy je znalost získaná tímto zpsobem bohužel asto jen popisem napozorovaných skuteností, jindy navíc odborným i datov orientovaným vysvtlením rzných okolností a zvláštností a jen nkdy se výzkumník i zadavatel úlohy snaží ovládnout realitu poznáním a využitím vztah, závislostí a souvislostí k prediktivním i zobecujícím úvahám. Nejspornjší je retroduktivní forma úsudku, pi které na základ zkušeností pouze vyvozujeme možnost výskytu uritého jevu nebo pedpokládáme prbh uritého procesu a hledáme teoretické zdvodnní nepozorovatelných skuteností. Tato oblast v souvislosti i s využíváním subjektivn pojímaných pravdpodobností bývá nkdy v odsuzujícím významu oznaovaná až za metastatistiku. Úvahy tohoto typu jsou však nesporn potebné a statistika v této oblasti zaznamenala nejen zásadní teoretický rozvoj, ale i mnoho užitených využití. Pi konstrukci matematických model se setkáváme s rznými pístupy. Pístup vycházející z vcných znalostí problematiky je velmi blízký deduktivní úvaze, pi které pedpokládáme že odpovídající modely jsou uritelné na základ obecných princip dané úlohy i píslušného vdního oboru. V poslední dob se pi modelování stále astji doporuuje kybernetický pístup, pi kterém je modelovaný systém pojímán jako známá i zcela fiktivní skíka transformující urité vstupy (píiny) na výstupy (dsledky). V publikaci Statistical Science 3/001 byla popsána zajímavá debata o lenní statistik podle postoje k poteb znalosti mechanismu této skíky. Nejednoznanost takové transformace je zpsobena neuvažovanými veliinami a pedpokladem o náhodných složkách (poruchách) umožujícím využít pravdpodobnostní 9

6 principy. Pokud teorie zkoumaného úseku reality není dostaten propracovaná a existují pouze hypotézy o chování jednotlivých veliin, používá se empirický pístup, který má znan subjektivní charakter a závisí na odborných znalostech i na intuici zpracovatele. Pi empirickém modelování mají vytvoené modely asto vztah pouze ke konkrétnímu souboru pozorování a zobecnní mimo obor hodnot vyskytujících se v souboru je problematické. Shrnutí pojm kapitoly 1. Pojem model je velmi obecný a mnohoznaný. Pes mnohoznanost pojmu model jej mžeme charakterizovat jako zjednodušenou formu zobrazení zkoumaného úseku reality. Model je sestaven podle uritých pravidel, která dovolují napodobovat chování a vlastnosti zobrazované reality. Model je nejen prostedkem získávání poznatk, ale pomocí modelu je také možno rozvinout teorii urité oblasti. Konstrukce modelu a pravidla této konstrukce jsou vtšinou vázána na ešení konkrétních úloh teoretického i praktického rázu. innost zamenou ke konstrukci modelu nazveme modelováním. Modelování je tvrí lidská innost spoívající v idealizaci a zjednodušení dj reálného svta. Matematickým modelem se vtšinou rozumí njaká formalizovaná teorie, nkdy i její matematické zobrazení, ale asto se jím také oznauje jakýkoli kvantifikovaný popis nkterých stránek skutenosti. Matematický model musí objektivním zpsobem znázorovat jevy a procesy reálného svta. Matematický model vyjaduje zákonitosti jev a proces, a to jak v oblasti vdeckého poznávání, tak v oblasti praktické lidské innosti. Matematický model lze zjednodušen definovat jako uritou formu zobrazení nkterých aspekt jev a proces reálného svta matematickými prostedky. Takovým prostedkem mže být teba soustava rovnic obsahující promnné (veliiny) a konstanty (parametry). Matematické modely lze tídit z rzných hledisek. Za hlavní lze považovat odlišení deterministických model od stochastických model. Deterministické modely mají povahu zákonitostí, jež pi dodržení uritých pedpoklad a podmínek vždy platí, neboli vyhovují každé konkrétní empirické situaci. Na rozdíl od deterministického modelu vyhovuje stochastický model konkrétním situacím jen pibližn a s uritou pravdpodobností. Stochastické modely bývají též oznaovány jako pravdpodobnostní. Pro n je charakteristické, že dovolují pomrn pesnou matematickou manipulaci se vztahy mezi veliinami, i když ve skutenosti platí tyto vztahy pouze pibližn. Je pro n charakteristická nejistota, kterou pociujeme i kolem samotné matematické formy modelu. Zjednodušen lze pijmout definici stochastického modelu jako rovnice nebo soustavy rovnic obsahující náhodné veliiny, nenáhodné veliiny (fixní, pevné) a parametry (konstanty). Nejjednodušší stochastické modely jsou lineární. Pro reálné složitjší nelineární modely se používá linearizující zjednodušení. Pi konstrukci matematických model se setkáváme s rznými pístupy. Pístup vycházející z vcných znalostí problematiky je velmi blízký deduktivní úvaze, pi které pedpokládáme že odpovídající modely jsou uritelné na základ obecných princip dané úlohy i píslušného vdního oboru. Pi induktivní úvaze se postupuje ve srovnání s deduktivní úlohou obrácen, tedy od konkrétního k obecnému, od reality k modelu anebo od výbrových dat ke skuteným nebo hypotetickým populacím. Pro statickou indukci je charakteristické, že obecný závr se vyvozuje na základ konkrétních pozorování. V poslední dob se pi 10

7 modelování stále astji doporuuje kybernetický pístup, pi kterém je modelovaný systém pojímán jako známá i zcela fiktivní skíka transformující urité vstupy (píiny) na výstupy (dsledky). Otázky Charakterizujte pojmy model a modelování.. ím se odlišuje stochastický model od deterministického? 3. Na em jsou založeny logické procedury? 11