Solution of chosen tasks from control theory in Mathematica. Lukáš Sedlák

Transkript

1 Řešení vrných úloh teorie utomtického říení v rotředí Mthemtic Solution of choen tk from control theor in Mthemtic Lukáš Sedlák Bklářká ráce 8

2

3

4 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 4 ABSTRAKT Tto ráce e ývá vrnými úlohmi teorie utomtického říení jejich lgoritmicí. Je de oáno řešení největšího olečného dělitele dvou olnomů, řešení diofntických rovnic ektrální fktorice olnomu Newtonovou iterční metodou. V rktické čáti je vužit imlementovná funkce fktorice olnomu ro návrh regulátoru metodou tému e dvěm tuni volnoti DOF. Klíčová lov: největší olečný dělitel, diofntická rovnice, ektrální fktorice, DOF teorie utomtického říení ABSTRACT Thi work del with olution of choen tk from control theor nd their lgorithm develoment. There i decried olution of gretet common divior of two olnomil, olution of Diohntine eqution nd ectrl fctorition of olnomil vi Newton itertion method. In the rcticl rt there re ued develoed lgorithm for nthei of controller Two-Degree-Of-Freedom DOF tem. Keword: Gretet common divior, Diohntine eqution, ectrl fctorition, DOF, control theor

5 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 5 Tímto ch chtěl oděkovt Ing. Lioru Pekřovi jeho omoc vedení, které mi oktovl o celou dou, ěhem níž jem vhotovovl tuto klářkou ráci. Prohlšuji, že jem n klářké ráci rcovl mottně oužitou literturu jem citovl. V řídě ulikce výledků, je-li to uvolněno n ákldě licenční mlouv, udu uveden jko oluutor. Ve Zlíně. Podi dilomnt

6 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 6 OBSAH ÚVOD...8 I TEORETICKÁ ČÁST...9 MATHEMATICA.... OBECNÝ ÚVOD.... FUNKCE V MATHEMATICE A JEJICH DEFINOVÁNÍ..... Okmžité odložení řiření funkce..... Funkce vícenáonou definicí...4 NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITEL DVOU POLYNOMŮ...5. DEFINICE...5. VLASTNOSTI GCD POLYNOMŮ AX,BX METODY URČENÍ GCD DVOU POLYNOMŮ DIOFANTICKÉ ROVNICE ŘEŠENÍ DIOFANTICKÝCH ROVNIC METODOU NEURČITÝCH KOEFICIENTŮ Příkld ŘEŠENÍ DIOFANTICKÝCH ROVNIC S VYUŽITÍM NEJVĚTŠÍHO SPOLEČNÉHO DĚLITELE DVOU POLYNOMŮ Příkld... 4 SPEKTRÁLNÍ FAKTORIZACE POLYNOMU ÚVOD FORMULACE GEOMETRICKÁ INTERPRETACE SPEKTRÁLNÍ FAKTORIZACE PRO SPOJITÉ SYSTÉMY METODY SPEKTRÁLNÍ FAKTORIZACE Buerov metod ektrální fktorice Sektrální fktorice vužitím Ricctiho rekure Newtonov iterční metod ektrální fktorice POPIS ALGORITMŮ VYBRANÝCH ÚLOH ALGORITMUS NALEZENÍ NEJVĚTŠÍHO SPOLEČNÉHO DĚLITELE DVOU POLYNOMŮ ALGORITMUS PRO ŘEŠENÍ DIOFANTICKÝCH ROVNIC METODOU NEURČITÝCH KOEFICIENTŮ NEWTONOVA ITERAČNÍ METODA PRO SPEKTRÁLNÍ FAKTORIZACI POLYNOMU Oecný oi lgoritmu Ntrtování výočtu Ukončení vočtu Progrmová imlementce Fktorice olnomu Zíkání X n omocí řešení metrické olnomiální rovnice...9

7 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 7 II Vnější cklu Newtonovi iterční metod...3 PRAKTICKÁ ČÁST ŘEŠENÍ KOMPLEXNÍ ÚLOHY Z TEORIE AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ PRINCIP METODY NÁVRHU REGULÁTORU DOF NÁVRH REGULÁTORU METODOU DOF PRO PŘENOS G...33 ZÁVĚR...36 ZÁVĚR V ANGLIČTINĚ...37 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY...38 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK...39 SEZNAM OBRÁZKŮ...4 SEZNAM PŘÍLOH...4

8 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 8 ÚVOD Úvod Teorie utomtického říení ohuje velké množtví komlikovných úloh, které e dříve otížně dlouhvě řešili omocí ručních výočtů. Z nátuem očítčů e řešení většin těchto úloh člo hledt rávě omocí výočetní technik. Bli to rávě očítče, které, tk jko ottně ve všech vědních oorech, undnili většinu ložitých výočtů umožnili dlší koumání dík vé rchloti řenoti, jkou dokáli úloh řešit. V očátcích vužití očítčů ro řešení technických rolémů neexitovl komlexní oftwre tk, jk je náme dne. Bl to většinou jen knihovn, které nám umožňovl řešit určitou úlohu konkrétního tu. Až otuným vývojem jk v olti oftwre, tk v olti hrdwre, e n trhu ojevil dokonlejší roáhlejší rogrm, které uživteli níel celou řdu integrovných funkcí l chon řešit velkou škálu technických rolémů v uživtelk říjemném rotředí. Tto rogrm jou kždou novou verí rchlejší, oáhlejší řenější ve vých výočtech. Nmátkou je možné uvét rogrm MthWork Mtl neo Wolfrm Reerch Mthemtic. S inženýrkými výočt olti teorie utomtického říení je ve velké míře ojován oftwre Mtl od firm MthWork. V této ráci l rávě nok vužit Mtemtic. Cílem této ráce lo ověřit její vužití ři řešení vrných úloh teorie utomtického říení. Mthemtic je velmi ilným nátrojem ro molické řešení úloh, což e výhodou v této ráci vužilo. Práce je rodělen n dvě čáti, nichž t rvní je věnován oiu rotředí Mthemtic, jejich ákldních funkcí dále k teoretickému rooru řešených úloh. Druhá čát ráce ohuje oi rktického řešení těchto vrných úloh ověření funkčnoti tohoto řešení n říkldech.

9 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 9 I. TEORETICKÁ ČÁST

10 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 MATHEMATICA. Oecný úvod Mthemtic je oftwre vvíjený firmou Wolfrm Reerch. Jeho rvní vere l vdán v roce 988 odle mnohých ředtvovl, ne-li čátek, ted leoň lom n oli vužití očítčů v inženýrké rxi. Tento oftwre nlel ultnění ve většině vědních dicilín. Je tké ve velké míře vužívám v edukčním roceu. Tento oftwre dovoluje uživtelům řešit neřeerné množtví úloh. V rimitivních řídech může Mthemtic ýt oužit jko velmi komlexní klkulátor. Pokročilejší uživtele v ní mohou řešit otimliční úloh, nejrůnější druh rovnic, ttitické výočt, clculu, úloh olnomiální lger jiné. Všechn tto ještě mnohé dlší rolém dokáže Mthemtic řešit omocí imlementovných funkcí. Pro t, kteří nenjdou žádnou vhodnou funkci ro řešení jejich rolému, je de možnot nrogrmovt i vé vltní funkce. Zákldní rvek Mthemtic tvoři tom. Atom je v odttě kždý rvek. Ať už jde o čílo, nk le i o oerce, mluvíme o nich jko o tomech. Atom jou velice odoné ojektům, které e vužívjí v ojektově orientovných rogrmovcích jcích. A tk odoně jko v ojektově orientovném rogrmování, kde e vltnoti jednotlivých ojektů mohou dědit neo oužívt mi n ee, e u tomů vužívá odoných rinciů. Pro velkou čát rolémů úloh ohuje Mthemtic imlementovné funkce, které jou ro uživtele řirven ro římé vužití. Podttnou čát rolému všk nele řešit římou likcí imlementovných funkcí. Mthemtic je le v neolední řdě velmi výkonným rogrmovcím nátrojem, který dovoluje uživteli nrogrmovt i vé vltní funkce, které může vužít k řešení rktických úloh. Jk je uvedeno v [7] Mthemtic odoruje v ádě tři řítu k rogrmování. Jednotlivé řítu e liší interretcí jednotlivých říků jejich vhodnocováním. Prvním řítuem může ýt řítu funkcionální. Tento tl můžeme definovt jko interretci uživtelkých funkcí omocí mtemtických funkcí. Tto funkce mohou rcovt liovolnými výr, oř. dlšími funkcemi. Tento tl rogrmování je roto tím, čím e Mthemtic odlišuje od ěžných rogrmovcích jků.

11 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 Jko rereentnt tohoto tlu rogrmování můžeme uvét funkci M[].Tto funkce je hojně vužíván dovoluje uživteli nčnou kontrolu nd dlšími oužitými funkcemi. Funkce M[] e oužívá ve tvru M[f, výr, dimene]. Pomocí M e likuje funkce f, která je v definici n rvním mítě, n všechn rvk výru, v definici n druhém mítě, n určitou dimeni výru, třetí rvek definice. Or. : Použití funkce M Při áiu funkce M[] je možné tké oužít kráceného áiu formou /@, jímž e docílí nroto totožného výledku. Or. : Použití funkce M krácený ái Dlším řítuem k rogrmování je rocedurální řítu. Ten je hodný rocedurálním rogrmováním v jiných jcích, nř. jk C. Uživtelem nný rogrm ohuje řík, odmíněné řík mčk. Kód rogrmu je án krok krokem. Procedurální řítu je tále vhodný ři řešení mnoh rolémů, roto e vužívá i dne, řetože v dnešní doě ntolují nové rogrmovcí jk jiné metod řítuu k rogrmování. Pro náornou ukáku rocedurálního řítuu le uvét jednoduchý cklu While, který ve vém těle oue inkrementuje roměnnou i řičítá ji k roměnné x v kždém růchodu cklem. Výledkem ude oučet všech číel od jedné do do. Or. 3: Ukák rocedurálního tlu rogrmování

12 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 Poledním řítuem k rogrmování je řítu rekurivní. Mnoho rolémů v inženýrké rxi vžduje rekurivní řítu. Funkce je definován rekurivně, okud ve vé definici volá m ee. V Mthemtice je rekure jednoduše definovtelná ndno vužitelná. Dokonce odttná čát imlementovných funkcí vužívá rekure. Příkldem oužití rekure je možné ukát n kódu, který očítá nul v roměnné L, která je rgumentem uživtelem definovné funkce ocetnul. N čátku je funkce ocetnul ntven n hodnotu, rotože e má vrcet očet nul vektoru L. Vše roíhá tk, že e otetuje d je rvek L nulový, okud no, řičte e k výledku jedničk okrčuje e v likci funkce n lé rvk roměnné L. Pokud není rvek nulový, neřičte e k výledku nic oět e okrčuje v likci n dlší rvk roměnné L. Or. 4: Ukák rekurivního tlu rogrmování V neolední řdě e v dnešní doě Mthemtic číná velmi ultňovt ve výuce, kde e nlno ultňují její řednoti v odoě velmi doré ráce grfickými výtu řešených úloh, náornot tému vužívání noteooků, které dovolují vtvářet interktivní tudijní mteriál, řenoitelnot mei růnými ltformmi, vtváření weových likcí, které mohou loužit jko e - lerningové omůck.. Funkce v Mthemtice jejich definování.. Okmžité odložené řiření funkce Mthemtic dle [7] dovoluje uživteli definovt funkci dvěm ůo. Prvním ůoem je okmžité řiření. Pro toto řiření e oužívá oerátor. Toto definování funkce je možné interretovt jko okmžité řiření výru n rvé trně do roměnné n levé trně. Toto je možné demontrovt n jednoduchém řídu

13 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 3 Or. 5: Ukák oužití okmžitého řiření Zde je jně vidět, že omocí funkce Rndom[] je do roměnné C uloženo náhodné čílo intervlu <,>. Toto náhodné čílo e nemění neávile n tom, kolikrát dnou roměnnou omocí funkce Tle[] umítím do vektoru. Nroti tomu odložené řiření, oužívá e ro něj oerátor :, oue do eciální roměnné uloží rvidl, odle kterých e ude výr n rvé trně vhodnocovt. Toho je možné vužít v řídech, kd otřeujeme definovt funkci o čátech, neo kdž roměnná n levé trně ávií n rmetrech n rvé trně. Toto řiření e nývá odložené. Je možné ho demontrovt n velmi odoném říkldu jko u okmžitého řiření. Or. 6: Ukák oužití odloženého řiření N tomto ilutrtivním říkldu je nok vidět, že číl která dotneme o vkonání funkce Tle[] nejou tejná jko v ředchoím řídě. Je to ůoeno tím, že ři definici roměnné C lo oužito odložené řiření. To nmená, že lo roměnné C řiřeno oue rvidlo, které říká, jk e má tto roměnná rereentovt. Při oužití funkce Tle[] e ted ři kždé iterci vgenerovlo nové náhodné čílo, rotože tkovým rvidlem l roměnná C definován.

14 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, Funkce vícenáonou definicí Při definici funkce můžeme oužít jedno jméno ro růné definice, které mjí růný očet rmetrů tém je řeto choen je od ee odlišit. Předokládá to všk oužití odloženého řiření. Podtržítko, které e ve funkci oužívá říká, že rgumentem funkce může ýt cokoliv. x_ nmená, že jko rgument funkce f můžeme oužít jeden ojekt, který není tově ecifikován. Může to ted ýt celé čílo, reální čílo, výr neo tře roměnná.[7] Or. 7: Funkce vícenáonou definicí Tto vltnot je velmi výhodná ro definování růných funkcí, u kterých ude výledek áležet n vtuních rmetrech. Proto není nutné definovt kždou jednu funkci ro náš oždovný výočet. Je dleko vhodnější vužít funkce vícenáonou definicí, kde e nám výledek ude lišit n ákldě námi dných rmetrů, le rogrmově ůjde tále o jedinou konkrétní definici rvidel v měti, odle kterých e ude výledek vhodnocovt.

15 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 5 NEJVĚTŠÍ SPOLEČNÝ DĚLITEL DVOU POLYNOMŮ Největší olečný dělitelgcd dvou olnomů je tkový olnom, který dělí dv olnom rovnoměrně. GCD dvou olnomů e definuje odoně jko je tomu u hledání GCD dvou celých číel A, B. Tj., okud uvžujeme celá číl A B, největší celé čílo, které dělí A,B ee tku. U olnomů je ovšem ituce komlikovnější, rotože nejme choni rohodnout který olnom je největší. Proto e hledá olnom nejvššího možného tuně, který dělí o olnom rovnoměrně. Někd je tké GCD dvou olnomů ončován jko největší olečný fktor olnomů.. Definice Mějme olnom x, x ; o nenulové, koeficient množin M. Pk GCD olnomu x, x je normovný olnom dx nejvššího možného tuně, který dělí ároveň olnom x i olnom x. Je možné iovt dxx, x, neo GCDx,x. Množin M může ýt odmnožinou ooru reálných, celých neo komlexních číel. Je li olnom x x, k kždý olnom je olečným dělitelem olnomu x, x. Největší olečný dělitel le v tomto řídě neexituje. Polnom x, x muí lňovt nutné odmínk: M muí ýt těleo olnom dx muí ýt normovný. Pokud jou tto odmínk lněn, největší olečný dělitel exituje, je definován jednončně. Pokud olnom dx nel normovný M nelo těleo, největší olečný dělitel olnomů x, x nel určen jednončně, oř. jej nelo možné určit, jelikož xiom dělení je definován oue v tělee. Pro olnom x, x ředtvuje kontnt vžd olečného dělitele. Můžeme ji ovžovt normovný olnom nultého řádu. Jetliže GCDx,x, k je možné říci, že olnom x x jou neoudělné.

16 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 6. Vltnoti GCD olnomů x,x Je li x,x růné od nul ároveň koeficient náleží těleu M, k exituje jednončně definovtelný olnom dx, který je největším olečným dělitelem olnomů x,x. Jetliže je cx olečným dělitelem x x, k cx dělí dx. Toto někd ývá měňováno formulcí definice uvedené výše, kde je vždován jko GCDx,x olnom nejvššího tuně. Tto dvě formulce jou logick ekvivlentní. GCD x, x GCD x, x GCD x, x GCD x, x x Pro jkýkoliv nenulový klár těle M ltí: GCD x, x GCD x, x k x.3 Metod určení GCD dvou olnomů Exituje několik metod, jk íkt největší olečný dělitel olnomů x, x. Jedná e o tto metod: Pomocí rokldu n rvočinitele Pomocí Euklidov lgoritmu Pomocí oecněného Euklidov lgoritmu. Všechn tto metod vedou k nleení největšího olečného dělitele. Avšk ne všechn tto metod jou tejně doře oužitelné ro lgoritmici. V této ráci l vužit Euklidův lgoritmu. Podroněji o něm dále v kitole 5..

17 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, DIOFANTICKÉ ROVNICE Podle[3] e rovnice ve tvru: x c nývá diofntická je definovná v množině, která e nývá okruhem. V rovnici ředtvují,,c námé x, nenámé, hledné rvk dného okruhu. Diofntické rovnice dotli vé jméno odle Diofntkolem roku 4, který odttně jednodušil řecké iování čílic vými rcemi vudovl ákld lgerického áiu. Mimo jiné e jíml o řešení rovnic v okruhu celých číel ve tvru: 4 x 6 4 x 6 nekonečně mnoho řešení: nemá řešení x 3t t Diofntická rovnice má řešení tehd jen tehd, jetliže GCD, dělí c. V tom řídě le e újm n oecnoti uvžovt rovnici neoudělnými. Jk již lo nnčeno, diofntická rovnice má nekonečně mnoho řešení, která jou dán: x x t t kde x, tvoří rtikulární řešení t je liovolný rvek dného okruhu. Oecně le rtikulární řešení nlét vužitím oecněného Euklidov lgoritmu. Pokud e uvžuje řešení rovnice v okruhu olnomů ředokldem neoudělnoti olnomů, k ři lnění odmínek třičných tuňů olnomů le nlét rtikulární řešení nř. omocí metod neurčitých koeficientů. 3. Řešení diofntických rovnic metodou neurčitých koeficientů Tto metod umožňuje oue určení rtikulárního řešení. Porovnáním koeficientů u řílušných mocnin -i e etví outv lineárních rovnic. Jejich vřešením e íkjí hledné koeficient diofntické rovnice. Při etvování diofntické rovnice je nutné dát

18 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 8 odmínek ro její etvení. Tj. určení tuňů hledných koeficientů. Ve většině řídů otčuje otuovt odle náledujících kritérií: c δ δ δ > c δ δ δ x δ δ x δ δ neo c x δ δ δ δ δ c δ δ δ δ δ Výledná diofntická rovnice ted ude vdt náledovně: c x Příkld Je dán rovnice x Určení tuňů olnomů x, > x c δ δ δ δ δ δ δ Výledný tvr řešené diofntické rovnice x Ronáoením rovnáním koeficientů u áorných mocnin e íká outv lineárních rovnic : : : x x x x x x x x x Hledné rtikulární řešení je jen jediné, rotože olnom, jou neoudělné má ted tvr: 5 x

19 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, Řešení diofntických rovnic vužitím největšího olečného dělitele dvou olnomů K olnomům, njdeme jejich největší olečný dělitel d GCD,, některou metod, které jou oán výšenř. omocí oecněný Euklidův lgoritmu. Dále je nutné určit olnom, q, r, tkové že ltí Pro rtikulární řešení má rovnice tvr q d 4 r 5 x c 6 Rovnici6 vnáoíme výrem c d, rovnici je oté ve tvru Porovnáním úrvou e íká x Oecná krácená rovnice ude ve tvru Řešením rovnice d d d 7 c c c x 8 d c q 9 d x d, x x d r, jou neoudělné olnom Oětovným orovnáním doením e íká

20 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8, r, 3 Konečně oecné řešení rovnice ude ve tvru t d c x x,, 4 t d c q,, 5 kde t je liovolný olnom. Diofntická rovnice má řešení oue tehd, kdž c/d ude olnomem, tn. okud d\c. 3.. Příkld Je dán rovnice x Pomocí Euklidov lgoritmu určíme největší olečný dělitel olnomů, dlší rmetr, q, r,. 3 L r q Q Po likci Euklidov lgoritmu oného v 5. je možné nlét toto řešení L Q Je nutné jitit d je lněn odmínk řešitelnoti diofntické rovnice, tj.největší olečný dělitel olnomů muí dělit eetku olnom c eetku d c d c \

21 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 Oecné řešení je otom ve tvru t t rt d c x t t t d c q

22 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 4 SPEKTRÁLNÍ FAKTORIZACE POLYNOMU 4. Úvod Mtemtická metod ektrální fktorice l ojeven Wienerem ve čtřicátých letech ři řešení rolémů otimální filtrce. Od té do nlel ultnění v mnoh oorech elektrotechnik. Vedle teorie říení, kde e omocí ektrální fktorice řeší nříkld úloh otimální rekontrukce tvu nté LQ otimálních regulátorů, e tto metod vužívá hlvně v teorii ovodů.[4] 4. Formulce Sojitá vere ektrální fktorice e formuluje: K olnomu B R[], který je. Smetrický, tj. B B-. Poitivní, tj. B > ro Re njdeme tilní olnom A R[]tj. A je růné od nul ro Re tk, B A A Jetliže vedeme k olnomu A družený olnom A *, dáno vthem A* A, můžeme rovni t jko B A A * Polnom A e nývá ektrální fktor. Je určen rovnicí jednončně ž n nménko.

23 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, Geometrická interretce ektrální fktorice ro ojité tém Pro náornou ilutrci geometrické interretce je možné vužít jednoduchého olnomu níkého tuně, n kterém je řeto řetelný výnm ektrální fktorice. Je dán olnom C 3, nul tohoto olnomu jou. Tto nul jou 3 vneen do komlexní rovin d jko křížk. Or. 8: Vneení nul olnomu C druženého olnomu C Dále k nul druženého olnomu C 3, tj. * *, jou n oráku 3 vneen jko kolečk. Nul metrického olnomu B jou ted všechn nul n oráku 8. Proce ektrální fktorice je ložen n tom, že e nul rodělí n tilní netilní. Jelikož u ojitých témů je tilní čát v levé čáti komlexní rovin je řejmé že olnom C má rávě tto nul: - Pk ted olnom C 3. Zlé nul náleží olnomu C *. 3

24 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, Metod ektrální fktorice Jk lo míněno výše, ektrální fktorice hrál doti ádní roli v celé řdě vědních oorů. Seciálně v teorii utomtického říení hrje důležitou roli v olti nté LQ regulátorů odhdech routnoti řiditelnoti témů. Blo vvinuto velké množtví lgoritmů, které e měřují n řešení rolému ektrální fktorice. Jko říkld je možné uvét několik námých metod; nř. Buerov metod, Levinon Durin metod, Shurov metod metod vužívjící Ricctiho rekure.[8] Dlší metodou ro nleení ektrálního fktoru olnomu je Newtonov iterční metod, která je oužit v této rácí Buerov metod ektrální fktorice Tto metod ro fktorice dikrétních témů P je ložen n roximci koeficientů P Cholekiho trojúhelníkovým rokldem oitivně definitní Toelitovi mtice e vrůtjícími koeficient Sektrální fktorice vužitím Ricctiho rekure Při likci tohoto otuu e vužívá ro íkání ektrálního fktoru olnomu řešení ociovné dikrétní lgerické Ricctiho rovnice. Tto metod e ukálo jko velmi efektivní ři řešení rolému ektrální fktorice Newtonov iterční metod ektrální fktorice Stejně jko u ředešlých metod e jedná o iterční metodu. Jejím ákldem je řešení kvdrtické rovnice v okruhu olnomů. Podroněji o této metodě ude míněno v 5. 3

25 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, POPIS ALGORITMŮ VYBRANÝCH ÚLOH 5. Algoritmu nleení největšího olečného dělitele dvou olnomů GCD olnomů A, B je možné njít omocí Euklidov lgoritmu. Pokud jou olnom A B ve tvru kořenových činitelů, je možné GCD určit jko oučin všech olečných kořenových činitelů. Jetliže olnom nejou ve tvru kořenových činitelů, je možné určit GCD omocí tohoto lgoritmu:. Definujeme mtice Q L omocí olnomů, q, r,,,. Mtice mjí tento tvr: Q r q L. Iniciliujeme hodnot, q, r,. Mtice Q ude v tomto tvru: Q 3. Určí e nenulový olnom menšího tuně v mtici L. Jou li o olnom nulové, lgoritmu končí. 4. Je li olnom nižšího tuně v druhém řádku mtice L, měníme řádk v mtici L Q. 5. Je li olnom v druhém řádku mtice L nulový, lgoritmu končí. 6. Určí e čílo λ jko odíl koeficientů u nejvšších mocnin i, čílo ρ jko rodíl tuňů olnomů v druhém rvním řádku mtice L. ρ 7. Odečteme rvní řádek mtice L vnáoený λ od druhého řádku mtice L. 8. Okuje e otu od odu. Po ukončení lgoritmu e ncháí GCD olnomů A, B n rvním řádku mtice L. V druhém řádku e ncháí nul. Čitě ro určení GCD dvou olnomů není tře očítt olnom, q, r,. Tto olnom všk hrjí roli ři výočtu oecného řešení diofntické rovnice, jk lo míněno výše v kitole 3.

26 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, Algoritmu ro řešení diofntických rovnic metodou neurčitých koeficientů Při řešení diofntických rovnic metodou neurčitých koeficientů je možné rodělit otu n dvě čáti. První čát rogrmu vhodnocuje tuně olnomů,, c generuje odle řílušných rvidel tvr nenámých olnomů x. Druhá čát rogrmu otom očítá outvu lineárních rovnic, které vniknou rovnáním koeficientů u řílušných mocnin i. Algoritmu:. Nčtení olnomů,, c.. Určení tuňů těchto olnomů. 3. Podle rvidel ro určení tvru nenámých olnomů x, vgenerování těchto olnomů. 4. Ronáoení diofntické rovnice do tvru, kd je možné orovnávt koeficient u mocnin i. 5. Srovnáním odle řílušných mocnin lineární rovnice. i e do vektoru reitel uloží jednotlivé 6. Pomocí funkce Solve[] e vřeší outv lineárních rovnic 7. Pomocí dvou cklů While e etví hledné rtikulární řešení diofntické rovnice 8. Řešení íkná v odě 7 e uloží do roměnné x Po rovedení tohoto lgoritmu ohují roměnné x rtikulární řešení diofntické rovnice

27 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, Newtonov iterční metod ro ektrální fktorici olnomu 5.3. Oecný oi lgoritmu Protože ektrální fktorice je možné definovt jko řešení kvdrtické rovnice v okruhu olnomů, celý lgoritmu e v odttě ývám nleením nulového odu funkce v okruhu olnomů Pro funkci 6 je to ted f A AA B 6 * dif f A A A A A A A 7 n n n n* n n * n* Po úrvě má tvr A A A A A A n n* n n n n* * B Sutitucí tohoto tu A n An X n 8 Dotneme konečně metrickou olnomiální rovnici A X A X B 9 n* n n n* Z toho ted vlývá, že jeden iterční krok vdá tkto: k námému A n e vočte řešením rovnice 9 X n. Toto X n e oté dodí do 8, tímto e íká nové A n Tto metod má tto vltnoti: Zchovává tilitu, tj. ro tilní A n vcháí i n A tilní Konverguje monotónně kvdrtick,

28 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, Ntrtování výočtu Jko očáteční hodnotu ro ntrtování lgoritmu je možné oužít liovolný tilní olnom A. Ovkle e volí tk, e hodovl výledným A leoň v jednom koeficientu řeně. Pro ojitou veri volíme A kde tueň B, jou olutní vedoucí koeficient B Ukončení vočtu Iterční roce e tví, jetliže e dvě o oě jdoucí vočítné A n liší méně než o určitou volenou hodnotu, neoli jkmile řetne ýt A n vlivem numerických ch tilní. V některých řídech ro vužití u dtivního říení je možné rovét jen ředem tnovený očet kroků Progrmová imlementce Pro výočet ektrální fktorice je nutné mít funkci, která dokáže určit družený olnom k olnomu A. Dále je nutné mít funkci ro řešení metrické olnomiální rovnice nkonec hlvní mčku, kde e v cklu vžd očítá A n omocí Fktorice olnomu Tto funkce je nrogrmován jko funkce fktor[_]. N vtu funkce e dává olnom který má ýt fktoriován. Fktorice roíhá omocí tohoto lgoritmu:. Nčtení olnomu A. Serování mocnin koeficientů řílušných mocnin olnomu A 3. Vtvoření vektoru inver, který e vtvoří tk, že kždý udý člen je, kždý lichý člen je -.

29 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, Vtvoření vektoru vektordruen, který je vtvořen jko oučin i-tého koeficientu n i-tou mocninu. Tím e íká vektor který ohuje člen olnomu. Má tejnou délku jko inver 5. Vnáoení vektoru inver vektordruen. Výledkem je vektor který ohuje člen již druženého olnomu A 6. Pomocí cklu While e novu vtví olnom A, le již družený, ted A * Zíkání X n omocí řešení metrické olnomiální rovnice Smetrická olnomiální rovnice je řešen omocí metod neurčitých koeficientů. Tto rovnice vltně ředtvuje diofntickou rovnici ve tvru kde A- je družený olnom k A X- je družený olnom k X Algoritmu: A X A X B. Polnom A, A-, B e dávjí jko rmetr funkce reenir[]. K íkání A- e oužije funkce fktor[], oná v kitole Určí e tueň olnomu A 3. Pomocí cklu While e vgenerují olnom X X-. Tto olnom e generují tejného tuně jko má olnom A logick A-. Zároveň e generuje vektor nenámých x, tj. nenmex, vektor nenámých, tj. nenme. Tto vektor e vužívájí jko rmetr funkce Solve[], která řeší outvu lineárních rovnic, které vniknou ronáoením rovnice 9 4. Ronáoení rovnice 9 její uložení do roměnné rovnice 5. Pomocí funkce CoefficientLit[], e vtáhnou koeficient od řílušných mocnin uloží e do roměnné cti. Jednotlivé rvk této roměnné rereentují lineární rovnice, které je ro nleení řešení rovnice 9 nutné vřešit. 6. V cklu While e rovnice, které vnikl v odě 5. řevedou do korektního tvru, tj. funkce Solve[] l choná tto rovnice řešit. Tn. kždý rvek roměnné

30 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 3 cti e omocí oerátoru oloží roven. Což je korektní form ro ái rovnice která e má řešit omocí funkce Solve[] 7. Vřešení outv rovnic omocí funkce Solve[] uložení výledků do roměnné výledek. 8. Protože funkce Solve[] oecně vrcí výledk ve tvru x n -> q, je nutné omocí cklu While íkt oue číelné hodnot, které je možné dále oužít ro rekontrukci olnomu X n. Podmíněným výrem If e vhodnotí, d e vrušil liché čáti olnomu X n. To e děje tk, že e orovná A A-, jetliže jou totožné, k e vruší liché čáti olnomu X n. Jetli no, otom e olnom X n rekontruuje tk, že iterátor j k e v kždém kroku většují o hodnotu. To jišťuje, že e olnom X n vtvoří oue e udými mocninmi. Pokud e le A nerovná A-, k e iterátor j k všují oue o hodnotu. Polnom X n e otom vtvoří i lichými mocninmi. Výledek celé oerce e uloží do roměnné hlednex. 9. Funkce Return[] vrcí hodnotu roměnné hlednex Vnější cklu Newtonovi iterční metod Celé řešení jk lo míněno v kitole 5.3. e kládá nleení X n, které e dodí do rovnice 8 očítá e nové A n. Z toho vlývá i lgoritmu řešení. Máme olnom, který chceme ektrálně fktoriovt.. Vtvoříme družený olnom dru olnomu omocí funkce fktor[] 3. Vnáoíme *dru, dotneme olnom B. 4. Z olnomu B vtvoříme odle vthu uvedeného v kitole 5.3. trtovcí olnom trt. 5. Oět fktoriujeme trt, dotneme trtdru. Tím máme všechn otřené rmetr ro řešení X n, které e řeší omocí funkce reenir[]. 6. V cklu While e vřeší rovnice9, dodí e do vthu ro výočet A n, tj. do rovnice8. Nové A n e fktoriuje tím e nchtjí všechn roměnné otřené ro dlší otočku cklu.

31 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 3 II. PRAKTICKÁ ČÁST

32 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, ŘEŠENÍ KOMPLEXNÍ ÚLOHY Z TEORIE AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ Jko komlexní úlohu řešenou vužitím nrogrmovných funkcí jem volil návrh DOF regulátoru ro regulovnou outvu druhého řádu, do které vtuuje oruch. Pro řešení této úloh jou vužil funkci ro fktorici olnomu omocí Newtonovi iterční metod, kterou jem imlementovl v rotředí Mthemtic. Pro imulci výledků regulce jem vužil oftwre Mtl od firm MthWork. Seciálně jeho oučát Simulink, která dovoluje omocí jednotlivých loků okládt oždovný regulční ovod tím imulovt jeho chování rmetr. 6. Princi metod návrhu regulátoru DOF Při motném říení e oužívjí dvě ákldní konfigurce uvřeného regulčního ovodu: DOF FB tém jedním tuněm volnoti oue ětnovení čáti regulátoru DOF FBFW tém e dvěm tuni volnoti římovení i ětnovení čátí Or. 9: Stém říení e dvěm tuni volnoti DOF

33 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 33 N Or. 9 ředtvuje G regulovnou outvu, r C fw římovení čát regulátoru q C f ětnovení čát regulátoru. Signál w, u, určují žádnou veličinu, kční áh výtuní veličinu. Dále n nčí oruchu n vtuu říené outv. Poruch v n výtuu outv je nedán. Oecně le říci, že tém říení DOF oktuje regulční ochod redukovnými řekmit, neoli, že lešuje chonot mtotického ledování žádné veličin. Toto mtotické ledování je jištěno omocí římovení čáti regulčního ovodu.[3] 6. Návrh regulátoru metodou DOF ro řeno 3 G Po určení tuňů olnomů e íká dvojice diofntických rovnic D q q q D r t t t t 3 3 Prvou trnu D jem určil omocí ektrální fktorice olnomu Newtonovou metodou nrogrmovnou v rámci této klářké ráce. Výledkem fktorice lo olnom 3 P. Tento olnom lo nutné rošířit o dlší olnom, l lněn oždvek n tueň rvé trn diofntické rovnice. Pro rošíření jem volil olnom.5.vledný olnom D l ted ve tvru 5,,75 5, D Tímto e tueň rvé trn výšil n 4, čímž l lněn nutná odmínk. Po ronáoení měl rovnice tuto odou,5,75 5, q q q q q q Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin jem íkl outvu rovnic

34 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 34,5 :,75 : 5,5 : 4 : : 3 4 q q q q q q 3 Pro rovnici ltí odoně,5,75 5, r r t t t t Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin jem íkl outvu rovnic,5 :,75 : 5,5 : 4 : : r r t t t t 4 Řešením 3 4 jme íkl rmetr římoveního regulátoru r C fw i ětnoveního regulátoru q q q C f Pro řešení outv rovnic 3 4 jem vužil rogrmovou utilitu nnou v rotředí Mtl, která je volně řítuná v kuru Teorie utomtického říení I. Blo nutné ji mírně urvit, jelikož e v ní neuvžovl oruch vtuující n vtu říené outv. Zdrojový kód likce je uveden v říloe P IV. Po vřešení outv rovnic 3 4 jem dotl regulátor v tomto tvru: C fw 5833,,6667 C f 5833,,6667,5833,467

35 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 35 Or. : Simulční chém v rotředí Simulink Or. : Průěh regulce outv říené regulátorem nvrženým metodou DOF oruchou n vtuu regulovné outv

36 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 36 ZÁVĚR V této klářké ráci jem řešil vrné úloh teorie utomtického říení. Práce je rodělen do dvou čátí. První čát je teoretická oiuje rotředí Mthemtic vrné úloh teorie utomtického říení jejich lgoritm. Dlší čát je rktická řeší komlexní úlohu teorie utomtického říení vužitím mnou nrogrmovných funkcí v oftwre Mthemtice. V teoretické čáti jem e ývl nleením největšího olečného dělitele dvou olnomů, řešením Diofntických rovnic ektrální fktoricí olnomu. V této čáti ráce jem tké ěžně řilížil oftwre Mthemtic. Pol jem jeho vltnoti možné tl rogrmování, které má uživtel k dioici. Dále jem teoretick ol vhodné lgoritm ro řešení výše uvedených úloh teorie utomtického říení, které jem náledně nrogrmovl jko funkce v rotředí Mthemtic. Při rogrmování funkce ro nleení největšího olečného dělitele jou vužil Euklidův lgoritmu. Funkce ro nleení největšího olečného dělitele dvou olnomů je definovná ro olnom mocninou -. Řešení diofntických rovnic je reliováno omocí metod neurčitých koeficientů. Oět je definováno ro olnom mocninou -. Dlší úlohou kterou jem e ývl je ektrální fktorice olnomu.tuto úlohu jem řešil omocí Newtonovi iterční metod. Tto funkce je definován ro ojité tém. To nmená, že rcuje olnom loženými n i. Srávnot rogrmového řešení jem ověřil n již dříve vřešených říkldech. Stěžejní čáti této ráce lo likování nrogrmovných funkcí ři řešení komlexní úloh olti teorie říení. Zývl jem e návrhem tému e dvěm tuni volnoti DOF. Pro řešení této úloh jem vužil mnou nrogrmovnou funkci ektrální fktorice olnomu Newtonovou metodou. V rogrmu Mtl, v jeho čáti Simulink jem etvil chém regulčního tému imulcí jem rověřil nvřený regulátor. Regulátor který l touto metodou nvržen outvu řídil e rolémů.

37 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 37 ZÁVĚR V ANGLIČTINĚ In thi chelor thei I olved choen tk from control theor. Thi thei i erted into two rt. The firt one i theoreticl nd there it decried oftwre Mthemtic nd choen tk from control theor nd their lgorithm. The next rt i rcticl nd it olved comlex tk from control theor uing melf coded function in oftwre Mthemtic. In theoreticl rt of thi thei I del with olution of finding gretet common divior of two olnomil. For thi tk I ued Eucliden lgorithm. Function for finding gretet common divior i defined for -i ed olnomil. Solution of Diohntine eqution i relied vi inexlicit coefficient method. Thi function i well defined for -I ed olnomil. The next tk I del with i ectrl fctorition of olnomil. I olved thi tk vi Newton itertive method. Thi function i imlemented for continuou time tem. It i men the function i working with i ed olnomil. The correct imlementtion of hereinefore function w teted on erlier olved tk. Min rt of thi thei w liction imlemented function for comlex tk from control theor. I del with nthei Two Degree Of Freedom tem DOF. For olution of thi tk I ued melf imlemented function for comuting ectrl fctorition of olnomil vi Newton itertion method. In Mtl, ctull in it rt Simulink, I creted control loo nd I teted imultion the correct form of m nthei of controller. The controller which w found nthei DOF tem w le to control tem without eriou rolem

38 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 38 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY [] DOSTÁL, Petr, GAZDOŠ, Frntišek, BOBÁL, Vldimír. Deign of Controller for Procee with Time Del Polnomil Method. In Proceeding of the Euroen Control Conference. 7th edition. Ko Greece : [.n.], ISBN [] KUČERA, Vldimír. Diohntine eqution in control A urve. Automtic.993, vol. 9, no. 6, [3] PROKOP, Romn, MATUŠů, Rdek, PROKOPOVÁ, Zdenk. Teorie utomtického říení lineární ojité dnmické tém. Zlín : Univerit Tomáše Bti ve Zlíně, 6.. První vdání. ISBN [4] ŠEBEK, Michel. Algoritm ro ektrální fktorici olnomů. In Vužití olnomiálních metod v říení technologických roceů : Seminární kur ÚTIA ČSAV. Prh : [.n.], [5] Wikiedi : The Free Enckloedi [online]. c, 8 Ferur 6 [cit ]. Text v ngličtině. Dotuný WWW:htt://en.wikiedi.org/wiki/ /Diohntine. [6] Wolfrm Mthemtic Documenttion Center [online]. 8 [cit. 8--5]. Text v ngličtině. Dotuný WWW:htt:// wolfrm.com/guide/ Mthemtic.html [7] TESAŘOVÁ, Bror. Zákldní Element Progrmování V Stému Mthemtic. Hrdec Králové : Univerit Hrdec Králové, Fkult Informtik mngementu [8] SAYED A. H, KAILATH, T. A Surve of Sectrl Fctorition Method. Numer. Liner Alger Al., vol. 8,

39 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 39 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK GCD DOF DOF G Gretet common divior; největší olečný dělitel. One degree of freedom, tém jedním tuněm volnoti Two degree of freedom, tém e dvěm tuni volnoti Přeno regulovného tému CC fw,c f Přeno regulátoru tému. ut wt t vt nt Akční veličin Žádná veličin Výtuní veličin Poruch regulovné veličinšum měření Poruch kční veličin

40 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 4 SEZNAM OBRÁZKŮ Or. : Použití funkce M... Or. : Použití funkce M... Or. 3: Ukák rocedurálního tlu... Or. 4: Ukák rekurivního tlu rogrmování... Or. 5: Ukák oužití okmžitého řiření... 3 Or. 6: Ukák oužití odloženého řiření... 3 Or. 7: Funkce vícenáonou... 4 Or. 8: Vneení nul olnomu C recirokého... 3 Or. 9: Stém říení e dvěm tuni volnoti DOF... 3 Or. : Simulční chém v rotředí Simulink Or. : Průěh regulce outv říené regulátorem nvrženým metodou DOF oruchou n vtuu regulovné outv... 35

41 UTB ve Zlíně, Fkult likovné informtik, 8 4 SEZNAM PŘÍLOH P I P II P III P IV GCD olnomů, uloženo n CD v říloe Bklářké ráce Řešení diofntických rovnic metodou neurčitých koeficientů uloženo n CD v říloe Bklářké ráce Fktorice olnomu Newtononou iterční metodou uloženo n CD v říloe Bklářké ráce Skrit ro řešení outv rovnic v Mtlu

42 PŘÍLOHA P I: GCD POLYNOMŮ A, B Zdrojový kód rogrmu Mthemtic: Nleení řešení ro GCD,, jetliže 3 :

43 PŘÍLOHA P II: ŘEŠENÍ DIOFANTICKÝCH ROVNIC METODOU NEURČITÝCH KOEFICIENTŮ Zdrojový kód rogrmu Mthemtic:

44

45 Nleené rtikulární řešení diofntické rovnice x

46 PŘÍLOHA P III: FAKTORIZACE POLYNOMU NEWTONONOU ITERAČNÍ METODOU Zdrojový kód rogrmu Mthemtic:

47

48

49 Řešení ektrální fktorice olnomu které je vužito ři řešení komlexní úloh v kitole 6.

50 PŘÍLOHA P IV: UTILITA PRO ŘEŠENÍ DOF REGULATORU Zdrojový kód rogrmu Mtl: % Snte DOF ; 3; [ ]; ; -;-; [ ]; m.5; % AFPBQM % ordi: q q q Mtice[ ; ; ; ; ]; D[ ]'; XMtice\D; % Mtice*XD [X X ]; q[x3 X4 X5]; % FTBRM % ordi: t3 t t t r Mtice[ ; ; ; ; ]; XMtice\D; % Mtice*XD rx5; im Pol_DOF_ukk Pol_DOF_ukk