Pravděpodobnost vs. statistika. Data. Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými
|
|
- Magdalena Horáková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pravděpodobost vs. Teorie pravděpodobosti pracuje s jedou ebo více teoretickými áhodými veličiami, jejichž je zámo odvozovali jsme y těchto atd. Šárka Hudecová Katedra pravděpodobosti a matematické Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzity Karlovy letí semestr Statistika pracuje s pozorováími (daty) áhodý výběr z ějakého ezámého a základě dat se sažíme ěco říci o, z ěhož pocházejí (apř. o středí hodotě apod.) ěkdy pozorujeme více áhodých veliči (více áhodých výběrů) a chceme ěco usoudit o jejich vzájemém vztahu 1 Založeo a materiálech doc. Michala Kulicha Statististický přístup k řešeí problémů Data 1 co ejpřesější staoveí problému, otázky apod. 2 plá experimetu 3 sběr pozorováí datový soubor 4 výběr vhodého pravděpodobostího modelu popisujícího pozorovaých dat 5 formulace řešeého problému v řeči matematiky (matematické ) 6 aalýza dat pomocí statistické 7 správá iterpretace řešeí odpověd a původí otázku pozorováí (měřeí), která provádíme kvůli zodpovězeí položeé otázky upravujeme do formátu datové tabulky a uchováváme v elektroické podobě jako počítačový soubor pozorováí týkající se ezávislých subjektů áhodého výběru (osob, experimetů,...) většiou v řádcích, jedotlivé měřeé veličiy ve sloupcích k zazameáváí dat a maipulacím s imi se používají růzé druhy počítačového softwaru (databázové systémy, Excel, R, SAS,...) statistická aalýza pomocí statistických softwarů (R, SAS,...)
2 datového souboru y problémů k řešeí Tabulka: Část datové tabulky představující áhodý výběr z populace studetů 1. ročíku id pohl vys vaha.sour v.o v.m bydl Vysočia Jiží Morava Karlovy Vary Praha (celkem 269 pozorováí v letech ) Jaká je typická hmotost studetů? Jaké proceto studetů je z Prahy? Jaké je věku studetů a předášce? Jsou otcové dětí starší ež matky? Pokud ao, o kolik? Závisí výška a pohlaví? Pokud ao, tak jak? Závisí velikost bot a výšce? Dva typy problémů: odhady ezámých kvatit odhady parametrů rozhodováí o platosti ějakého výroku testováí hypotéz datového souboru Teorie odhadu Studie zkoumající účiky ového léku pro sižováí krevího tlaku: id lék tlak pred tlak po pohl. váha... kuřák T M ao 104 C M ao 105 T Z e 106 C M ao Je ový lék (T) účiější ež stadardí lék (C)? O kolik? Liší se účiost pro muže a žey? Jak? máme data x1,...,x (apř. hodoty výšky studetů) považujeme je za realizaci áhodého výběru X1,...,X z ějakého ezámého chceme ěco usuzovat o ách tohoto (středí hodota, rozptyl, hustota...) budeme kostruovat jejich odhady odhadů je moho, chceme vybrat ty dobré Jak by měl vypadat dobrý odhad? Neměl by mít žádou systematickou výchylku (v průměru by měl odhadovat to, co chceme odhadovat). S přibývajícím počtem pozorováí by měl být přesější a přesější.
3 Teorie odhadu příklad Formálí defiice Chceme odhadout typickou výšku (tj. středí hodotu) studetů 1. ročíku a základě měřeí provedeého a áhodě vybraých studetech. Měřeí odpovídají ezávislým áhodým veličiám X1,..., X z ějakého ezámého, jehož středí hodota EX = µx ás zajímá. Už víme, že: X má středí hodotu µx X µx pro X tedy v průměru dosahuje hodoty µx, kterou chceme odhadout, a se zvyšujícím se počtem pozorováí se k této hodě bĺıží X je dobrý odhad středí hodoty Defiice Odhadem ezámé y θ rozumíme jakoukoli fukci θ pozorováí X1,...,X. 1 Odhad θ azýváme estraý (evychýleý), pokud E θ = θ. 2 Odhad θ azýváme kozistetí, pokud lim θ = θ. Závěr: Rozumé odhady by měly být kozistetí a pokud možo estraé (ale malá výchylka evadí). Pozámka: Odhad je z pricipu áhodá veličia proto lze uvažovat jeho, středí hodotu atd. Co všecho budeme odhadovat? Odhad středí hodoty Problém: Máme áhodý výběr X1,...,X z ějakého ezámého. Potom ás můžou zajímat odhady ásledujících : středí hodota rozptyl kvatily (včetě mediáu) distribučí fukce hustota pro spojité pravděpodobosti P(X = xj) pro diskrétí... Situace: X1,...,X áhodý výběr, chceme odhadout EX Odhad: výběrový průměr X = 1 Xi, i=1 už víme, že teto odhad má dobré vlastosti. Charakteristika středí hodota EX = xip(x = xi) ebo EX = x f(x)dx platí E(a+bX) = a+bex platí E(X +Y) = EX +EY Odhad výběrový průměr X = 1 1 Xi platí totéž platí totéž
4 Odhad pravděpodobosti Odhaděte středí hodotu výšky studetů 1. ročíku PřF. Řešeí: Máme zazameaých 266 hodot (3 chybějící hodoty) áhodý výběr z populace studetů 1. ročíku PřF X = 1 ( ) = cm. 266 Podobě bychom mohli spočítat odhad středí hodoty veliči váha, BMI idex, věk otce, věk matky, rozdíl věku rodičů, velikost bot, počet sourozeců,... Má smysl počítat středí hodotu veličiy udávající pohlaví a měsíc arozeí? Situace: Máme áhodý výběr X1,...,X z diskrétího, chceme odhad pravděpodobostí pj = P[Xi = j] Odhad: relativí četost hodoty j #[Xi = j] pj = je počet pozorováí, která abyla hodoty j, děleý celkovým počtem pozorováí. Pozámka: popis tzv. kategoriálích zaků (pohlaví, bydliště...) aalogicky lze odhadovat pravděpodobosti typu P(Xi < 80) pro spojitá Xi Odhad pravděpodobosti Odhad rozptylu a směrodaté odchylky Odhaděte pravděpodobost, s jakou se vybraý(á) studet(ka) 1. ročíku PřF arodil(a) v daém měsíci. zazameá měsíc arozeí pro 269 studetů 23 se arodilo v ledu odhadutá pravděpodobost arozeí studeta v ledu je tedy 23/269 = Kompletí tabulka pro všechy měsíce: Lede Úor Březe Dube Květe Červe Červeec Srpe Září Říje Listopad Prosiec Situace: X1,...,X áhodý výběr, chceme odhadout rozptyl varx = E(X EX) 2 a směrodatou odchylku σx = varx : výběrový rozptyl S 2 = 1 (Xi X) 2 1 i=1 a výběrová směrodatá odchylka S = 1 (Xi X) 1 2. i=1 Dá se ukázat, že tyto odhady mají dobré vlastosti
5 Odhad rozptylu a směrodaté odchylky Odhad rozptylu a směrodaté odchylky Charakteristika rozptyl varx = E(X EX) 2 platí varx = EX 2 (EX) 2 var(a+bx) = b 2 varx varx 0 a varx = 0 právě tehdy, když X kostata Odhad výběrový rozptyl S 2 = 1 1 platí i=1 (Xi X)2 S 2 = ( 1 1 i=1 platí totéž ) Xi 2 X 2 S 2 0 a S 2 = 0 právě tehdy, když jsou všecha Xi stejá S 2 je estraý a kozistetí odhad σ2 X jiý možý odhad rozptylu je 1 (Xi X) 2. i=1 Teto odhad je kozistetí, ale eí estraý. S je kozistetí odhad σx, ale eí estraý Odhad rozptylu a směrodaté odchylky Odhad distribučí fukce Odhaděte rozptyl a směrodatou odchylku výšky studetů 1. ročíku PřF zvlášt pro muže a pro žey. Ve výběru máme 159 hodot výšek že (ozačíme je X1,...,X, kde = 159) a 110 hodot výšek mužů (ozačíme je Y1,...,Ym, kde m = 110). Výpočet výběrových rozptylů a směrodatých odchylek dá Skupia Výb. rozptyl Výb. směr. odchylka Žey cm cm Muži cm cm Problém: X1,...,X áhodý výběr, chceme odhadout distribučí fukci F(x) = P(X x) Odhad: empirická distribučí fukce defiovaá jako #[i : Xi x] F(x) = lze ukázat, že má dobré vlastosti hodota fukce F v bodě x je odhadem pravděpodobosti P[Xi x] pomocí relativí četosti jevu [Xi x] F má stejé vlastosti jako distribučí fce diskrétí veličiy
6 Odhad distribučí fukce Odhad distribučí fukce Vlastosti empirické distribučí fukce po částech kostatí Empirická distribučí fukce váhy studetů 1. ročíku PřF (muži a žey zvlášt ). skoky v pozorovaých hodotách veliči X1,...,X velikost skoku v daém bodě x je rova počtu veliči abývající hodoty x děleému : F áhodého výběru 2,5,1,2,6,4,5,2. F^(x) EDF zey muzi Hmotost x Odhad hustoty Kostrukce histogramu Problém: X1,...,X áhodý výběr ze spojitého, chceme odhadout hustotu f odhad hustoty je relativě složitý problém spokojíme se s jedoduchou grafickou metodou histogram dává vizuálí představu o hustotě Histogram of vyska vezmeme iterval A = (a, b, který pokrývá celé rozmezí dat rozděĺıme jej a K avazujících stejě velkých poditervalů Ak, k = 1,...,K, všechy délky h = b a K ozačíme Nk počet pozorováí, které padly do Ak potom Nk h je dobrý odhad hustoty a itervalu Ak Odhad hustoty Histogram grafické zázorěí Nk h a itervalech Ak ěkdy se zobrazují relativí četosti Nk aebo je četosti Nk stejý tvar, ale liší se škála a ose y
7 Histogram příklad Růzé druhy histogramů Histogram výšky studetů s proložeou hustotou ormálího Histogram of vyska Histogram of vyska Odhad hustoty Histogram of vyska Odhad hustoty Pocty Histogram Odhad kvatilu tvar histogramu závisí a volbě K, tj. počtu uvažovaých itervalů Problém: X1,...,Xáhodý výběr, chceme odhadout hodotu kvatilu qx(α). Speciálě, budeme chtít odhad mediáu mx qx(0.5). Připomeutí: a kvatil se můžeme dívat jako a hodotu, kterou Xi ve 100α % případů edosáhe a ve 100(1 α) % případů ji přesáhe spec. pro spojitou veličiu P(X < qx(α)) = α a P(X > qx(α)) = 1 α odhady sestrojíme pomocí tzv. uspořádaého výběru
8 Uspořádaý áhodý výběr Odhad mediáu Defiice Uspořádaým áhodým výběrem rozumíme sezam hodot původího áhodého výběru uspořádaý vzestupě podle velikosti. Uspořádaý výběr začíme idexem v závorce Musí tedy platit X (1),X (2),...,X ( 1),X (). áhodý výběr X1,...,X uspořádaý áhodý výběr mediá by měl odpovídat prostředí hodotě pro liché máme X (1)... X ( 1 2 }{{} ) X ( +1 2 ) X ( +3 2 ) X () }{{} 1 2 pak za odhad mediáu vezmeme X ( +1 2 ) pro sudé máme 1 2 X (1) X (2) X ( 1) X (). X (1) je tedy ejmeší pozorováí (miimum) z celého áhodého výběru a X () je ejvětší pozorováí (maximum). X (1)...X ( 2 ) } {{ } 2 X ( 2 +1) X () }{{} a žádá aměřeá hodota prostředí eí za odhad 2 mediáu vezmeme průměr X ( 2 ) a X ( 2 +1) Odhad kvatilu Odhad kvatilu použijeme aalogické úvahy ozačíme α = (+1)α je-li α celé číslo, pak odhadu q(α) odpovídá X (α) Jak chápat výraz v defiici výběrového kvatilu? Odhad: Kvatil q(α) odhademe pomocí α-tého výběrového kvatilu q(α) = { X (α), je-li α celé číslo, (1 α +[α])x ([α]) +(α [α])x ([α]+1), jiak, kde [x] je celá část čísla x. pro α = 0.5 dostaeme tzv. výběrový mediá, již diskutovaý q(α) je dobrý (kozistetí ale e estraý) odhad q(α) : q(α) = (1 α +[α])x ([α]) +(α [α])x ([α]+1) uvažujme = 33 počet pozorováí a α = 0.2, tj. chceme 20% kvatil logicky bychom měli bychom vzít (+1)α = 6.8-té pozorováí z uspořádaého výběru to elze místo toho vezmeme = 0.2 z šestého a = 0.8 ze sedmého pozorováí
9 Odhad kvatilu příklad Odhad kvatilu příklad (pokrač.) Odhaděte mediá věku otce a matky studetů 1. ročíku PřF v době arozeí studeta. záme současý věk rodičů, rok arozeí studeta a rok zázamu dat spočítáme věk rodičů při arozeí dítěte 258 pozorováí věku otce, 262 pozorováí věku matky otcové: výběrový mediá ze 258 pozorováí = průměr pozorováí č. 129 a 130 v uspořádaém áhodém výběru (dvě prostředí pozorováí) pro matky podobě dostaeme 27 let pro věk otce a 26 let pro věk matky polovia otců byla při arozeí dítěte ejvýše 27 let stará a polovia matek ejvýše 26 let stará Spočítáme ještě další výběrové kvatily věku rodičů při arozeí dítěte: kvatil 5% 10% 25% 75% 90% 95% otcové matky Odhad kovariace a korelace Výběrová kovariace Problém: áhodý výběr ( ) ( X1 Y1,..., X Y) z dvourozměrého, chceme odhadout kovariaci a korelaci zaků X a Y Připomeutí: kovariace cov(x,y) = E[(X EX)(Y EY)] měří závislost X a Y korelace ρxy = cov(x,y) varx vary je ormalizovaá verze, 1 ρxy 1 Kovariace: cov(x,y) = E[(X EX)(Y EY)] Odhad: výběrová kovariace SXY = 1 (Xi X)(Yi Y) 1 i=1 X je výběrový průměr X1,...,X Y je výběrový průměr Y1,...,Y SXY má stejou struktura jako teoretická kovariace, je středí hodoty ahrazey průměry SXY je dobrý odhad cov(x,y) jsou-li X,Y ezávislé cov(x,y) = 0 = ρxy
10 Odhad korelace Odhad kovariace a korelace Korelace: ρxy = cov(x,y) varx vary Odhad: výběrový korelačí koeficiet rxy = SXY SX SY = i=1 (Xi X)(Yi Y) i=1 (Xi X)2 i=1 (Yi Y)2. Charakteristika kovariace covx = E[(X EX)(Y EY)] platí cov(x,y) = EXY EXEY Odhad výběrová kovariace SXY = 1 1 i=1 (Xi X)(Yi Y) platí SXY = 1 1( i=1xiyi X Y) SX 2 je výběrový rozptyl X1,...,X S 2 Y je výběrový rozptyl Y1,...,Y rxy je podílem výběrové kovariace a součiu výběrových směrodatých odchylek rxy je dobrý (kozistetí ale e estraý) odhad ρxy korelace ρxy ρxy = cov(x,y) varxvary 1 ρxy 1 zaméko udává směr závislosti výběrová korelace rxy rxy = SXY SXSY 1 rxy 1 zaméko azačuje směr závislosti Odhad kovariace a korelace příklad Odhad kovariace a korelace: příklad Graf váhy proti výšce (rxy = 0.72): Odhaděte korelačí koeficiet mezi výškou a váhou studetů 1. ročíku PřF. zazameáo 266 hodot dvojice výška/váha (3 chybějící pozorováí) áhodý výběr z populace studetů 1. ročíku PřF výška X1,...,X, váha Y1,...,Y, = 266 uté spočíst X, Y, SX 2, S2 Y, SXY a dosadit do vzorečku (ebo použít statistický software) vyjde rxy = 0.72 Vyska Vaha hodota rxy korespoduje s obrázkem zdá se, že větší výška se pojí s vyšší hmotostí
11 Histogram of vyska zea muz jaro leto podzim zima advaha podvaha ormali Vek otce pri arozei ditete advaha podvaha zey muzi Odhad kovariace a korelace příklad shrutí Graf výšky proti věku otce při arozeí dítěte (rxy = 0.04): Vyska Vek otce pri arozei ditete Teorie áhodý výběr středí hodota EX rozptyl varx mediá, kvatily qx(α) distribučí fukce F hustota f korelace ρxy data realizace áh.výběru výběrový průměr X výběrový rozptyl S 2 X výběrový mediá, kvatily qx(α) empirická distribučí fce F histogram výběrová korelace rxy ic eazačuje, že by výška ějak souvisela s věkem otce při arozeí dítěte Grafická prezetace dat Krabicový diagram (agl. boxplot) Odhad hustoty grafické pro zkoumáí veliči a vztahů mezi imi dává ám vizuálí představu o aalyzovaých datech kvatitativí zaky již záme histogram a empirickou distribučí fukci krabicový graf bodový graf kategoriálí zaky sloupcový diagram výsečový (koláčový) diagram Cetosti Vyska vek otcu pri arozei ditete simultáě zobrazuje ěkolik vybraých emá závazou defiici kokrétí podoba se liší podle použitého softwaru a zadaých parametrů obvykle zakresle výběrový mediá a kvartily (ale lze i průměr a směr. odchylka) svisle položeá krabice horí a dolí okraj určují výběrové kvartily uprostřed čára určující výběrový mediá vousy (agl. whiskers) ukazují rozmezí dat od kvartilu k miimu/maximu (eí-li odlehlé) odlehlé pozorováí je dál ež 3/2 (Q3 Q1) od bližšího kvartilu
12 Krabicový diagram Bodový diagram (agl. scatterplot) Obrázek: Krabicový diagram výšky studetů podle pohlaví a podle ročího období při arozeí. zea muz jaro leto podzim zima slouží k zobrazeí dvou spojitých áhodých veliči dvojice pozorováí obou zkoumaých veliči zakresleé do kartézské soustavy souřadic vhodý k eformálímu zkoumáí závislosti mezi áhodými veličiami : Bodový diagram výšky studetů proti věku otce s rozlišeím pohlaví Vyska zey muzi Vek otce pri arozei ditete Obdélíkový a výsečový diagram agl. barplot a pie chart zobrazují četosti, relativí četosti ebo proceta pro hodoty diskrétích (kategoriálích) veliči : obdélíkový a výsečový diagram veličiy udávající, zda má daý studet adváhu, podváhu ebo ormálí váhu Cetosti ormali advaha podvaha advaha podvaha
letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Opakování populace a výběr z populace
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
VícePřednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
VícePopisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem
Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
Více} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy
Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,
VícePro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).
STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
Vícevají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví
Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VíceStatistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.
Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový
Vícevají statistické metody v biomedicíně
Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
VícePravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci
Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
VíceStatistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc
Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
VíceÚloha II.S... odhadnutelná
Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Více13 Popisná statistika
13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický
VíceÚloha III.S... limitní
Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími
Více10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR
Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo
VíceStatistika. Program R. popisná (deskriptivní) statistika popis konkrétních dat. induktivní (konfirmatorní) statistika. popisná statistika
Statistika Cvičení z matematické statistiky na PřF Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy léto 2012 Základní dělení popisná (deskriptivní)
VícePopisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007
Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46
VícePřednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných
Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?
Více6. P o p i s n á s t a t i s t i k a
6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
VíceZáklady statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková
Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VíceElementární zpracování statistického souboru
Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceParametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti
1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto
Více14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou
4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
VíceČíselné charakteristiky náhodných veličin
Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
Více0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)
. Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
Více2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA
Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
VíceSeriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření
Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy
VíceOdhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení
Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru
VíceNáhodný výběr, statistiky a bodový odhad
Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
VíceEKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model
EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ
VíceL A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.
Více8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor
8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě
VíceČeské vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika
České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,
VícePŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR
PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy
VíceOdhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení
Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (
Více17. Statistické hypotézy parametrické testy
7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé
VíceUPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ
3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,
Více2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.
0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace
VícePravděpodobnost a statistika - absolutní minumum
Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky
VíceOrganizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika?
Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika 2012 2013 Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hudecova@karlin.mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady
SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc
Více1. Základy počtu pravděpodobnosti:
www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
VíceTeorie odhadů 2 Teorie odhadů... 3 Odhad parametrů... 4
Metody odhadováí parametrů. Metoda mometů. Maximálě věrohodé odhady. Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VíceUžití binomické věty
9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +
Více7. P o p i s n á s t a t i s t i k a
7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceStatistika pro metrologii
Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
Více7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace
7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
VíceKatedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti
Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,
VíceNárodní informační středisko pro podporu jakosti
Národí iformačí středisko pro podpor jakosti Kozltačí středisko statistických metod při NIS-PJ Výpočet koeficietů reglačích diagramů pro obecé riziko Ig. Václav Chmelík, CSc Ústav strojíreské techologie,
Více