Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných"

Transkript

1 Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy

2 Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme? Nulová hypotéza Alterativí hypotéza

3 Opakováí co se při rozhodováí může stát Popište možé výsledky testováí hypotéz a uveďte, jak ozačujeme jejich pravděpodobosti. Rozhodutí H 0 platí Skutečost H 0 eplatí H 0 ezamíteme A B H 0 zamíteme C D

4 Opakováí z test pro jede výběr Při populačím epidemiologickém průzkumu se zjistilo, že průměrý objem prostaty u mužů je 3,73 ml (SD = 8, ml). Na hladiě výzamosti testu α = 0,05 chceme ověřit, jestli se muži ad 70 let liší od celé populace. Máme áhodý výběr o velikosti = 00 a výběrový průměr 36,60 ml. Chceme ověřit platost H : μ 3,73 proti H : μ 3, 73 0 = Platí li H 0, pak X ~ N( μ 3,73, σ =,8) (předpokládáme, že záme σ) = Z CLV víme, že by mělo platit: X σ μ ~ N(0,) / Pokud tedy výběrový průměr patří do rozděleí N( μ 3,73, σ =,8) = eměla by jeho hodota být vzhledem k tomuto rozděleí ijak extrémí.

5 . Úvodí pozámky

6 Spojité diskrétí áhodé veličiy Budeme se zabývat hodoceím spojitých áhodých veliči (mohou abývat jakýchkoliv hodot v určitém rozmezí). Příklady: výška, váha, vzdáleost, čas, teplota. Uvedeé testy lze ale použít i pro hodoceí diskrétích áhodých veliči ale musí to být odůvoditelé (apř. velký počet možých hodot). Příklady: počet krevích buěk, počet hospitalizací, počet krvácivých epizod za rok.

7 Parametrické a eparametrické testy Parametrické testy zabývají se testováím tvrzeí o ezámých parametrech rozděleí pravděpodobosti, kterým se řídí uvažovaá áhodá veličia. Vyžadují růzé předpoklady, miimálě specifikaci rozděleí. Neparametrické testy tyto procedury jsou ezávislé (ebo téměř ezávislé) a kokrétím rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy. Vyžadují méě předpokladů apř. symetrii rozděleí. Na druhou strau mají meší sílu ( o free luch ). Testováí vpřípadě chybě určeého rozděleí pravděpodobosti testové statistiky může vést kmylým závěrům zdůvodu erelevatí p hodoty, respektive p hodoty staoveé chybou úvahou.

8 Postup při statistickém testováí. Formulujeme ulovou hypotézu H 0.. Formulujeme alterativí hypotézu H. Alterativí hypotéza u parametrických testů může být oboustraá ebo jedostraá. 3. Zvolíme testovou statistiku jako kritérium pro rozhodutí o ulové hypotéze (statistiku volíme tak, abychom byli schopi odvodit rozděleí pravděpodobosti této statistiky při platosti ulové hypotézy). 4. Hodotu testové statistiky vypočítáme a základě pozorovaých hodot: x, x,, x. 5. Na základě rozděleí testové statistiky určíme kritický obor (obor hodot, kdy zamítáme H 0 ). 6. Zjistíme, zda hodota testové statistiky leží v oboru kritických hodot: pokud ao, zamítáme ulovou hypotézu, pokud e, ezamítáme ulovou hypotézu. Alterativě můžeme zjistit p hodotu výsledku.

9 . Testy o parametrech rozděleí

10 O co jde? Chceme srovat sledovaou charakteristiku áhodé veličiy s předem daou hodotou (kostatou, předpokladem). Test o průměru při zámém rozptylu z test Test o průměru při ezámém rozptylu t test Neparametrický test pro výběr Wilcoxoův test Test o rozdílu párových (závislých) pozorováí párový t test Test o rozptylu ormálího rozděleí Spolu s výsledkem testu by měly být reportováy i itervaly spolehlivosti pro sledovaou charakteristiku (průměr/rozptyl).

11 Test o průměru při zámém rozptylu z test Předpokládáme realizaci áhodého výběru o rozsahu : x, x,, x. Předpokládáme ormalitu dat: X i ~ N( μ, σ ) velmi silý předpoklad (silější ež CLV, eřeší totiž jdoucí do ekoeča). H 0 : μ = μ 0 : μ μ0 Testujeme, zda data áhodého výběru pochazí z rozděleí se stejou středí hodotou jako je předpokládaá hodota μ 0 (kostata). Předpokládáme, že záme parametr σ. H : μ < μ H H : μ > μ0 0 Víme, že za platosti H 0 platí: X ~ Testová statistika: Z = X σ N( μ, μ ~ N(0,) / σ )

12 Test o průměru při zámém rozptylu z test Nulovou hypotézu zamítáme a hladiě výzamosti α, když výsledá hodota Z statistiky je větší (ebo meší) ež kritická hodota (příslušý kvatil) rozděleí N(0,). Větší ebo meší závisí a předem zvoleé alterativě. Alterativa Zamítáme H 0 když Alterativa H : μ μ 0 Z H : μ > μ 0 Z Zamítáme H 0 když > z α / > z α α / α α / 90 % 95 % 99 % Alterativa Zamítáme H 0 když H : μ < μ 0 Z < z α z 0,005 =,58,58 = z 0,995 z 0,05 =,96,96 = z 0,975 z 0,050 =,64,64 = z 0,950

13 Test o průměru při ezámém rozptylu t test Předpokládáme realizaci áhodého výběru o rozsahu : x, x,, x. Předpokládáme ormalitu dat: X i ~ N( μ, σ ) velmi silý předpoklad (silější ež CLV, eřeší totiž jdoucí do ekoeča). H 0 : μ = μ 0 : μ μ0 Testujeme, zda data áhodého výběru pochazí z rozděleí se stejou středí hodotou jako je předpokládaá hodota μ 0 (kostata). Nezáme hodotu parametru σ musíme ho odhadout pomocí výběrové směrodaté odchylky (s). Víme, že za platosti H 0 platí: Dále využijeme statistiku K: Testová statistika: H : μ < μ H H : μ > μ0 0 X ~ N( μ, K = ( ) s ~ χ ( ) σ = Z X μ T = ~ t( ) K /( ) s / σ ) Z = ~ X μ N σ / (0,)

14 Test o průměru při ezámém rozptylu t test Nulovou hypotézu zamítáme a hladiě výzamosti α, když výsledá hodota T statistiky je větší (ebo meší) ež kritická hodota (příslušý kvatil) rozděleí t( ). Větší ebo meší závisí a předem zvoleé alterativě. Alterativa Zamítáme H 0 když Alterativa H : μ μ 0 T H : μ > μ 0 T Zamítáme H 0 když ( ) > t α / ( ) > t α α / α α / 90 % 95 % 99 % Alterativa Zamítáme H 0 když H : μ < μ 0 T ( ) < t α Kvatily t rozděleí závisí kromě α i a velikosti vzorku ( ).

15 Příklad t test pro jede výběr Chceme srovat průměrý eergetický příjem skupiy že ve věku 30 let s doporučeou hodotou (775 kj). Průměrý eergetický příjem skupiy že byl 6753,6 kj se směrodatou odchylkou s = 4, kj. Přibližá ormalita dat byla ověřea graficky. Nulovou a alterativí hypotézu vyjádříme jako: H 0 : μ = μ 0 H : μ μ0 Testová statistika: Její realizace: T = ( X μ) /( s / ) ~ t( ) t = ( 6753,6 775) /(4,/ ) =,8 Absolutí hodotu t srováme s kvatilem t rozděleí s 0 stupi volosti. t =,8 >,8 = t = t α Zamítáme H 0 0 0,975 /

16 Příklad iterpretace výsledku t =,8 >,8 = t = t α Zamítáme H 0 0 0,975 / Na hladiě výzamosti α = 0,05 můžeme říci, že sledovaá skupia že měla statisticky výzamě ižší eergetický příjem ež je doporučeá deí hodota 775 kj.

17 Neparametrický test pro výběr Wilcoxoův test Předpokládáme realizaci áhodého výběru o rozsahu : x, x,, x. Předpokládáme symetrii dat (daleko slabší předpoklad ež ormalita dat) ulová hypotéza se týká mediáu ~ H 0 : x = x0 H : x x0 ~ Pricip Wilcoxoova testu je takový, že spočítáme diferece x, x,, x od x 0 a podíváme se, jestli je zhruba ½ diferecí kladých a ½ záporých. To je ekvivaletí s tím, že zhruba polovia hodot x, x,, x je meších ež x 0 a polovia hodot x, x,, x je větších ež x 0. Spočítáme diferece (ulové vyhodíme): i i 0 () () ( ) Diferece seřadíme podle velikosti absolutích hodot: y < y < K < y y = x x

18 Neparametrický test pro výběr Wilcoxoův test Spočítáme diferece (ulové vyhodíme): Diferece seřadíme podle velikosti absolutích hodot: Jako R i ozačíme pořadí diferece y i. y i = x i x 0 y() < y() < K < y( ) Testovací statistika: kde mi( S S + = + y > 0, S R i ) a S = i y i < 0 R i Pro malá (cca do 30) lze kritickou hodotu pro statistiku mi(s +,S ) odpovídající zvoleému α ajít v tabulkách je li výsledá hodota mi(s +,S ) meší ebo rova kritické hodotě, zamítáme H 0. Pro větší lze rozděleí testové statistiky mi(s +,S ) aproximovat ormálím + rozděleím s parametry: E(mi( S, S )) = ( + ) / 4 D(mi( S +, S )) = ( + )( + ) / 4

19 Příklad Wilcoxoův test pro jede výběr Chceme srovat průměrý eergetický příjem skupiy že ve věku 30 let s doporučeou hodotou (775 kj). Nulovou a alterativí hypotézu vyjádříme jako: Žea Deí eergetický příjem v kj Diferece od hodoty 775 kj ~ H 0 : x = x0 H : x x0 Pořadí absolutí hodoty diferece , ,5 Zamítáme H ~

20 Příklad Wilcoxoův test pro jede výběr Výpočet testové statistiky: S + = Ri = 8 a S = R y > 0 i y i < 0 i = 58 mi( S +, S ) = 8 Kritická hodota z tabulek pro = : w ( α) = w (0,05) = 0 Výsledá hodota statistiky mi(s +,S ) je meší ež 0: Zamítáme H 0

21 Pozámka Parametrické a eparametrické testy emusí vycházet stejě. Důvody:. Nesplěé předpoklady parametrického testu.. Malá síla eparametrického testu. Je li však dobře specifiková pravděpodobostí model a je li dostatek dat, bude to vycházet stejě. Měli bychom preferovat parametrické testy, ALE pouze po důkladém ověřeí jejich předpokladů!

22 Párový t test Předpokládáme realizaci dvourozměrého áhodého vektoru o rozsahu : (máme dvojice hodot, které patří k sobě) Předpokládáme dvourozměré ormálí rozděleí: Nulovou a alterativí hypotézu vyjádříme jako: Párový problém převedeme a případ jedoho výběru ebudeme počítat s dvojicemi hodot, ale s rozdíly: Následě testujeme, zda je průměr hodot d, d,, d růzý od předpokládaé hodoty d 0. y x y x y x,,, K 0 0 : d H = μ μ, ~ σ σ μ μ N Y X i i 0 : d H μ μ 0 : d H < μ μ 0 : d H > μ μ i i i y x d =

23 Párový t test Dále postupujeme jako při t testu pro jede výběr. Testová statistika má tvar: d d0 T = ~ t( ) s / d Nulovou hypotézu zamítáme a hladiě výzamosti α, když výsledá hodota T statistiky je větší (ebo meší) ež kritická hodota (příslušý kvatil) rozděleí t( ). Alterativa H Zamítáme H 0 když : μ μ d0 ( ) T > t α / Alterativa H : μ μ > d ( ) Zamítáme H 0 když T > t α Alterativa H : μ μ < d ( ) Zamítáme H 0 když T < t α 0 0 H : μd d 0 H : μ > d d 0 H : μ < d d 0

24 Příklad párový t test Wiebe a Bortolotti (00) zkoumali žluté zbarveí ocasího peří datlů zlatých. Všimli si, že ěkteří ptáci mají jedo ocasí pero jiak zbarveé ež ta ostatí chtěli vědět, jestli je odchylka ve žlutém zbarveí statisticky výzamá. Měřeou veličiou byl yellowess idex ( idex žlutosti ) Pták Idex pro Idex pro typické pero atypické pero Rozdíl (d) A B C D E F G H I J K L M N O P

25 Příklad párový t test Pracoví hypotéza: Je odchylka ve žlutém zbarveí statisticky výzamá?. Nulová hypotéza a alterativa: Za platosti H 0 předpokládáme: d Vypočteé statistiky: d = d H : μ 0 H : μ 0 0 = ~ N(0, σ 0,37 a s = 0,35 ) > Testová statistika: t = d d s / 0,37 0 0,35/ 6 0 = = 4,06 Absolutí hodotu t srováme s kvatilem t rozděleí s 5 stupi volosti. t = 4,06 >,75 = t = t α Zamítáme H 0 5 0,95

26 3. Testy o parametrech rozděleí

27 Testy pro dva výběry Chceme srovat sledovaou charakteristiku áhodé veličiy ve dvou ezávislých skupiách. Test o rozdílu průměru dvou ezávislých výběrů t test pro dva výběry (při stejých rozptylech) Test o shodosti rozptylů dvou ezávislých výběrů F test Welchova korekce pro t test při estejých rozptylech Neparametrický test pro výběry Ma Whiteyho test Spolu s výsledkem testu by měly být reportováy i itervaly spolehlivosti pro pozorovaé rozdíly v průměrech/mediáech či podíl rozptylů.

28 T test pro dva výběry při stejých rozptylech Máme realizaci. áhodého výběru o rozsahu : x, x,, x a a í ezávislou realizaci. áhodého výběru o rozsahu : y, y,, y. Předpokládáme ormalitu dat: a stejý rozptyl (i když ezámý) X Y i i ~ N( μ, σ ) ~ N( μ, σ ) Testujeme, zda áhodé výběry pochazí z rozděleí se středími hodotami, které se liší o předpokládaou hodotu c (kostata). H 0 : μ μ = c H : μ μ c H : μ μ < c H : μ μ > c Nezáme hodotu parametru σ, ale předpokládáme, že je stejý pro oba výběry parametr musíme odhadout pomocí vážeého průměru odhadů rozptylu v jedotlivých výběrech: s * ( = ) s + ( ) s +

29 T test pro dva výběry při stejých rozptylech Víme, že za platosti H 0 platí: X Y ~ N( c, σ ( + )) Testová statistika: T X Y c = ~ t( + s + * ) Větší ebo meší závisí a předem zvoleé alterativě. Alterativa H : μ μ c Zamítáme H 0 když T Alterativa H : μ μ > c Zamítáme H 0 když T Alterativa H : μ μ < c Zamítáme H 0 když T ( ) > t α / ( ) > t α ( ) < t α

30 Příklad t test pro dva výběry Máme paciety se špatě kotrolovaou hypertezí sledujeme účiek ACE ihibitoru (ACE I) a atagoisty pro agiotesi II receptor (AIIA) a sížeí diastolického tlaku (TKd) těchto pacietů po 6 měsících od zahájeí léčby. Nulová a alterativí hypotéza: H μ μ 0 H μ μ 0 0 : = : Nulová hypotéza vyjadřuje stejý účiek obou léků a sížeí TKd. Pacieti léčeí ACE I: Pacieti léčeí AIIA: = 96 x =,7 mmhg s = 9,96 mmhg = 887 y =,8 mmhg s = 9,79 mmhg Vážeý odhad parametru σ : s s ( ) s + ( ) s (96 )9,96 + (887 )9,79 * = + = * = 9,88 = 97,54

31 Příklad t test pro dva výběry Víme, že za platosti H 0 platí: X Y ~ N(0, σ ( )) Testová statistika: t = x y s + c * =,7,8 0 9, = 0,3 Absolutí hodotu t srováme s kvatilem t rozděleí s 38 stupi volosti (zde již klidě můžeme použít kvatil rozděleí N(0,)). = 0,3 <,96 = z0,975 = z α / t Nezamítáme H 0 Na hladiě výzamosti α = 0,05 elze prokázat rozdíl mezi ACE I a AIIA ve sížeí diastolického tlaku u pacietů se špatě kotrolovaou hypertezí.

32 Předpoklady t testu pro dva výběry Normalita pozorovaých hodot obou áhodých výběrů velmi silý předpoklad. Nuto otestovat ebo alespoň graficky ověřit (histogram, box plot). Stejý rozptyl áhodé veličiy v obou srovávaých skupiách také silý předpoklad. Opět uto otestovat ebo alespoň graficky ověřit (histogram, box plot).

33 Ověřeí předpokladu o stejých rozptylech F test Máme realizaci. áhodého výběru o rozsahu : x, x,, x a a í ezávislou realizaci. áhodého výběru o rozsahu : y, y,, y. Předpokládáme ormalitu dat: (středí hodoty ezáme) X Y i i ~ N( μ, σ ) ~ N( μ, σ ) Testujeme, zda áhodé výběry pochazí z rozděleí se stejým rozptylem. H 0 : σ = σ H : σ σ H : σ < σ H : σ > σ Testová statistika: F = s s Za platosti H 0 má F statistika Fisherovo rozděleí se stupi volosti ( ) a ( ).

34 Ověřeí předpokladu o stejých rozptylech F test Víme, že za platosti H 0 platí: F ~ F(, Hodotu F statistiky tedy srováváme s kvatily ) F (, α / ) a F (, α / ) Větší ebo meší závisí a předem zvoleé alterativě. Alterativa Zamítáme H 0 když F < F Alterativa Zamítáme H 0 když F > F Alterativa H H H : σ σ : σ > σ : σ < σ Zamítáme H 0 když F < F (, α / (, α ) (, α ) ) ebo F > F (, α / )

35 Příklad F test Máme dvě skupiy dětí s hypotyreózou: prví skupia jsou děti s mírými symptomy, druhá skupia jsou děti s výrazými symptomy. Chceme srovat hladiu tyroxiu v séru. Můžeme si dovolit použít t test pro dva výběry? H H 0 : σ = σ : σ < σ Hladia tyroxiu v séru (mol/l) Míré symptomy ( = 9) Výrazé symptomy ( = 7) Průměr 56,4 4, SD 4, 37,48

36 Příklad F test Hladia tyroxiu v séru (mol/l) Míré symptomy ( = 9) Výrazé symptomy ( = 7) Průměr 56,4 4, SD 4, 37,48 Testová statistika: F = s s (4,) (37,48) = = 0,44 Hodotu F srováme s α kvatilem F rozděleí s 8 a 6 stupi volosti. (8,6) (, ) F = 0,44 < 0,79 = F0,05 = Fα Zamítáme H 0

37 Stejé rozptyly? Myslíte si, že jsou stejé rozptyly obou souborů v praxi časté? Pokud e, zkuste vymyslet příklad

38 Welchova korekce pro estejé rozptyly Welch (937) avrhl korekci pro výpočet T statistiky se zohleděím estejých rozptylů. Víme, že za platosti H 0 platí: Testová statistika: Počet stupňů volosti NENÍ rove +, ale třeba ho staovit ásledově: Kritické hodoty pro zamítutí H 0 lze odvodit stejě, jako v případě t testu pro dva výběry se stejým rozptylem. ) / ( ) / ( )] / ( ) / [( + + = s s s s ν ), ( ~ c N Y X σ + σ ) ( ~ ν t c Y X T s s + =

39 Neparametrický test pro výběry Ma Whiteyho test Máme realizaci. áhodého výběru o rozsahu : x, x,, x a a í ezávislou realizaci. áhodého výběru o rozsahu : y, y,, y. X i ~ F( x) ~ F( y) Předpokládáme stejé rozděleí dat v obou souborech (slabší předpoklad ež ormalita dat) ulová hypotéza se týká distribučích fukcí. H : F( x) = F( ) H : F( x) F( ) 0 y Y i y Poita Ma Whiteyho testu: pokud x i a y j pochází ze stejého rozděleí, pak by pravděpodobost P(x i > y j ) měla být zhruba 50 %. To je ekvivaletí tomu, že při srováí všech dvojic x i a y j bude v případě cca 50 % dvojic meší x i a aopak.

40 Neparametrický test pro výběry Ma Whiteyho test Pro výpočet ejprve seřadíme všecha pozorováí podle velikosti (jako by byly z jedoho vzorku) a přiřadíme jedotlivým hodotám jejich pořadí. Statistikou T ozačíme součet pořadí v. skupiě. Testové statistiky: U ( + ) = + T U = U Větší z hodot U a U ásledě srováme s kritickou hodotou z tabulek (v případě oboustraého testu). Je li kritická hodota meší, H 0 zamítáme. Pro jedostraý test uvažujeme dle ulové hypotézy pouze buď statistiku U ebo U. Pro vzorky s >0 a >0 lze rozděleí statistiky U aproximovat ormálím rozděleím s charakteristikami: E( U ) = D( U ) = ( + + )

41 Příklad Ma Whiteyho test Máme dvě skupiy dětí s hypotyreózou: prví skupia jsou děti s mírými symptomy, druhá skupia jsou děti s výrazými symptomy. Chceme srovat hladiu tyroxiu v séru (t test pro dva výběry eí vhodý) H : F( x) = F( ) H : F( x) F( ) 0 y y Hladia tyroxiu v séru (mol/l) Míré symptomy ( = 9) Výrazé symptomy ( = 7) Průměr 56,4 4, SD 4, 37,48

42 Příklad Ma Whiteyho test Seřadíme všecha pozorováí podle velikosti a přiřadíme jedotlivým hodotám jejich pořadí. Součet pořadí v. skupiě: T = 84,5. Skupia = 9 Skupia = 7 Pořadí ,5 60, (9 + ) U = 9 *7 + 84,5 = ,5 = 3,5 U = 9*7 3,5 = 39,5 max(u,u ) = 39,5. Srováme s kritickou hodotou z tabulek (pozor a správé tabulky): max( U, U ) = 39,5 < 5 = U (9,7) 0,05() Nezamítáme H 0 = U (, ) α (/ )

43 Příklad Ma Whiteyho test Zdá se vám te výsledek správý? Pokud e, čemu to lze přisoudit?

44 4. Permutačí testy

45 Pricip permutačích testů Permutačí testy jsou eparametrickými testy, ale místo pořadí pracují s pozorovaými hodotami. Pricipem permutačího testováí je srováí pozorovaé testové statistiky stestovými statistikami, které by bylo možo teoreticky získat ze stejého datového souboru, když by přiřazeí jedotlivých pozorovaých hodot do sledovaých skupi bylo áhodé. Permutačí test je tedy založe a výpočtu všech možých hodot testové statistiky, které lze získat opakovaým přeskupeím původího souboru dat tak, že vrámci každého opakováí zůstae zachová jak celkový počet pozorováí (celkové ), tak počet pozorováí áležících do jedotlivých skupi (apř. a ).

46 Výpočet permutačích testů Výsledou p hodotu pak odhademe jako podíl počtu testových statistik, které byly v absolutí hodotě větší ež původí pozorovaá testová statistika (tedy představují extrémější výsledky experimetu), k celkovému počtu provedeých permutací. Tedy odhad p hodoty lze vyjádřit ásledově: # t p = i : t i M t = m M, i =, K, M Permutačí testy jsou velmi oblíbeé v hodoceí geomických a proteomických dat.

47 Příklad permutačí test pro dva výběry Srováí hmotosti dvou skupi pacietů. = 7 x A = 74,5 kg sa = 9,49 kg = 8 x B = 87, kg sb = 6,95 kg H 0 : μ μ = c H : μ μ c Pro permutačí test použijeme T statistiku pro dva výběry. Zvolíme hladiu výzamosti testu: α = 0,05. Pro = 7 a = 8 je možost provést celkem 6435 jediečých permutací. Kategorie pacieta Hmotost pacieta (kg) A 9,5 A 79,8 A 66, A 70,7 A 63,4 A 77,7 A 7,9 B 83,9 B 9, B 85,4 B 99, B 77,5 B 80,8 B 9,6 B 86,

48 Příklad permutačí test pro dva výběry Kategorie pacieta Hmotost pacieta (kg) Pořadí permutace A 9,5 A B B B A 79,8 B B B B A 66, A A A A A 70,7 A B A B A 63,4 B B A A A 77,7 B B B A A 7,9 B A A B B 83,9 A B A A B 9, B B A A B 85,4 A A B A B 99, A A B A B 77,5 A A A B B 80,8 B A B B B 9,6 B B B B B 86, B A B B Testová statistika,900 0,49 0,34 3,06 0,798

49 Příklad permutačí test pro dva výběry Srováí hmotosti dvou skupi pacietů: A ab. Pro výpočet p hodoty permutačího testu je potřeba ásledující:. Hodota původí testové statistiky: t =,900. Celkový počet provedeých permutací: M = Počet permutací, kdy je absolutí hodota testové statistiky t i, i =,, M, větší ebo rova původí testové statistice t =,900. Zde je m = 59. Pak p hodotu můžeme odhadout ásledově: p = M m = 59 = ,009 Výsledá p hodota je meší ež zvoleá hladia výzamosti testu α = 0,05. Zamítáme H 0

50 Permutačí test pro dva výběry Iterpretace výsledé p hodoty je zde stejá jako pro klasický t test. Velkou výhodou permutačího testováí je fakt, že jej lze použít pro jakoukoliv testovou statistiku. Klíčovým předpokladem je zaměitelosti pozorovaých hodot v obou srovávaých skupiách oba soubory by eměly mít výrazě odlišou variabilitu (proto bychom eměli permutačí test použít a příklad s hypotyreózou). Při malém (cca 0 0) je poměrě malý také počet dostupých permutací, což může vést k epřesému odhadu p hodoty. Při 000 permutacích je ejmeší dosažitelá p hodota 0,00, permutací umožňuje dosáhout p hodoty až 0,0000.

51 Poděkováí Rozvoj studijího oboru Matematická biologie PřFMU Bro je fiačě podporová prostředky projektu ESF č. CZ..07/..00/ Víceoborová iovace studia Matematické biologie a státím rozpočtem České republiky

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY. Statistické chyby v medicínském výzkumu

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY. Statistické chyby v medicínském výzkumu UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Statistické chyby v medicíském výzkumu Vedoucí diplomové práce: Mgr. Jaa Vrbková

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

8. cvičení 4ST201. Obsah: Neparametrické testy. Chí-kvadrát test dobréshody Kontingenční tabulky Analýza rozptylu (ANOVA) Neparametrické testy

8. cvičení 4ST201. Obsah: Neparametrické testy. Chí-kvadrát test dobréshody Kontingenční tabulky Analýza rozptylu (ANOVA) Neparametrické testy cvičící 8. cvičeí 4ST1 Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST1 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI 1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,

Více

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová PE 30 Podiková ekoomika Garat: Eva KISLINGEROVÁ Téma Metody mezipodikového srováváí Eva Kisligerová Téma Eva Kisligerová Vysoká škola ekoomická v Praze 003 - Mezipodikové srováváí Poprvé 956- koferece

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II.

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II. Statistika I. - Teorie ) Statistika - Číselé údaje o hromadých jevech. Praktická čiost - sběr, zpracováí a vyhodocováí statistických údajů - Teoretická disciplía - metody k odhalováí zákoitostí při působeí

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Z mých cvičení dostalo jedničku 6 studentů, dvojku 8 studentů, trojku 16 studentů a čtyřku nebo omluveno 10 studentů.

Z mých cvičení dostalo jedničku 6 studentů, dvojku 8 studentů, trojku 16 studentů a čtyřku nebo omluveno 10 studentů. 1. Příklad Hodíme 60krát šestistěou hrací kostkou. Jedotlivé stěy padly v ásledujícím poměru: 7:9:10:6:15:13. Proveďte test a 5% hladiě výzamosti, zda je kostka v pořádku. H 0 : π 1 = 1/6, π = 1/6, π 3

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Statistika. Poznámky z přednášek

Statistika. Poznámky z přednášek Statistika Pozámky z předášek Materiál obsahuje pozámky ze předášek plus to co se musíme doučit včetě ukázkových příkladů, které se objevily a předášce, ebo z aplikace etstorage. J.T. OBSAH Úvodí stráka

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit:

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit: .3. Klasifikace podle miimálí vzdáleosti Tato podkapitola je věováa popisu podstaty klasifikace podle miimálí vzdáleosti, jež úzce souvisí s klasifikací pomocí etaloů klasifikačích tříd. Představíme si

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Aplikovaná statistika v průmyslu

Aplikovaná statistika v průmyslu Aplikovaá statistika v průmyslu Úvod... Popisá statistika... 3. Základí pomy... 3. Jedorozměrý statistický soubor s kvatitativím zakem... 4.3 Dvourozměrý statistický soubor s kvatitavími zaky... 5.4 Statistické

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více