VÍCEKRITERIÁLNÍ ANALÝZA VARIANT ZA JISTOTY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VÍCEKRITERIÁLNÍ ANALÝZA VARIANT ZA JISTOTY"

Transkript

1 VÍCEKRITERIÁLNÍ ANALÝZA VARIANT ZA JISTOTY Záklaí pom Rozhoutí výběr eé ebo více varat z mož všech přípustých varat. Rozhoovatel subekt, který má za úkol učt rozhoutí. V úlohách vícekrterálí aalýz varat e áa koečá (skrétí) moža m varat, které sou hooce pole krtérí. Cílem e učt rozhoutí, která varata e pole aých krtérí hoocea elépe. Jeá se o tzv. optmálí varatu. Varat lze seřat o elepší po ehorší ebo e rozělt a efektví a eefektví varat. Varat (alteratv) kokrétí rozhoovací možost, které sou realzovatelé. V ásleuícím textu e bueme začt a (pro =,,..., m ). Krtéra hleska, ze kterých sou varat posuzová. Dále e bueme začt k (pro =,,..., ). Krterálí matce e-l hooceí varat pole krtérí kvatfkováo, úae uspořááváme o krterálí matce Y = ). Prvk této matce vařuí hooceí -té varat pole -tého krtéra. Řák opovíaí varatám, sloupce krtérím. Klasfkace krtérí le povah ( ) maxmalzačí elepší hoot maí evšší hoot ) mmalzačí elepší hoot maí emeší hoot Vhoé e pře hooceím převést všecha krtéra a ee tp (mmalzačí krtéra a maxmalzačí). Jsou růzé možost, apř. tak, že kažý prvek ve sloupc příslušého krtéra oečteme o eho ehorší hoot a zstíme, o kolk e kažá varata lepší ež ehorší varata. le kvatfkovatelost ) kvattatví obektvě měřtelé úae ) kvaltatví elze obektvě měřt, e uté užít růzé boovací stupce č relatví hooceí varat Poz. Normalzace matce Preferece krtéra ůležtost krtéra v porováí s ostatím krtér. Vářeí preferece ) aspračí úroveň hoota krtéra, které má být osažeo ) pořaí krtérí (orálí formace o krtérích) posloupost krtérí o eůležtěšího po eméě ůležté ) váh krtérí karálí formace o krtérích; váha e hoota z tervalu 0 ; a vařue relatví ůležtost krtéra v porováí s ostatím ) kompezace krterálích hoot sou váře mírou substtuce mez krterálím hootam (možo vrovat špaté krterálí hoot pole eoho krtéra lepším hootam pole ého krtéra) Varat se specálím vlastostm Domovaá varata poku sou všecha krtéra maxmalzačí, varata a omue varatu a poku exstue alespoň eo krtérum k l, že >, přčemž pro ostatí krtéra platí,,..., ) (,,..., ). ( l l Poku exstue v rozhoovací stuac eá eomovaá varata, přestavue optmálí varatu. Poku e eomovaých varat více, e uté aplkovat meto a výběr kompromsí varat.

2 Ieálí varata hpotetcká č reálá varata, která osahue ve všech krtérích elepší možé hoot. Bazálí varata hpotetcká č reálá varata, eíž ohooceí e ehorší pole všech krtérí. Kompromsí varata eá eomovaá varata oporučeá k řešeí. Vlastost, které b měl splňovat výběr varat: eomovaost, etermovaost, varace vzhleem k pořaí krtérí, varace vzhleem ke změě měřítka hoot krtérí, ezávslost a etckých hootách krtérí, varace vzhleem k přaým eoptmálím varatám, kovexost, eozačost Klasfkace úloh vícekrterálí aalýz le cíle řešeí ) úloh, echž cílem e výběr eé varat ozačeé ako kompromsí ) úloh, echž cílem e úplé uspořááí (kvazuspořááí) varat ) úloh, echž cílem e rozělt možu varat a efektví a eefektví le tpu formace, kterou máme k spozc o preferecích mez krtér a mez varatam ) žáá formace formace o preferecích mez krtér eexstue ) omálí formace formace přípustá také eom pro preferece krtérí mez sebou, preferece krtérí sou á aspračím úrověm, t. ehorším hootam, př kterých sou varat pole aých krtérí eště akceptovatelé ) orálí formace uspořááí krtérí pole ůležtost ebo uspořááí varat pole toho, ak sou hooce pole příslušého krtéra ) karálí formace teto tp formace má kvattatví charakter; v přípaě preferece krtérí se eá o váh, v přípaě preferece varat pole krtéra o kokrétí (ečastě číselé) vářeí tohoto hooceí

3 METODY STANOVENÍ VAH KRITÉRIÍ Staoveí vah krtérí bez formace o preferec krtérí Poku rozhoovatel eí schope rozhoout, ak e které krtérum ůležté pro posouzeí varat, eeoušší e kažému krtéru přřat steou váhu. Tato váha se vpočte pole vztahu v = ; =,,...,, ke e počet krtérí. Poku rozhoovatel echce přřat všem krtérím steé váh, může váhový vektor staovt pomocí etropcké meto. Staoveí vah z orálí formace o preferecích krtérí Rozhoovatel e schope vářt ůležtost eotlvých krtérí. Buď přřaí všem krtérím ech pořaová čísla, ebo porovává kažé krtérum s kažým a určue, které krtérum z aé voce e ůležtěší. V obou přípaech lze ozačt krtéra ako rovoceá. Metoa pořaí Kažé krtérum e ohooceo bo (, -, ), ke e počet krtérí. Neůležtěší krtérum ostae boů, eméě ůležté bo. Normovaé váh krtérí se vpočtou pole vztahu b v =, =,,...,, b = ke b sou bo pro -té krtérum. Metoa párového srováváí Př použtí meto párového srováváí se porovává kažé krtérum s kažým a zšťue se, které z aé voce e ůležtěší. Srováí se prováí v tzv. Fullerově troúhelíku. ( ) Počet srováí e N = =. Krtéra se očísluí o o a zapíší se o Fullerova troúhelíku: - Z kažé voce se vbere ůležtěší krtérum a ozačí se. Počet ozačeí u -tého krtéra e, ormovaá váha -tého krtéra e v =, =,,...,. N U plě kozstetí matce (vz Saatho metoa) e hoota pro eméě výzamé krtérum rova ule.

4 Staoveí vah z karálí formace o preferecích krtérí Rozhoovatel e schope určt ee pořaí ůležtost, ale poměr ůležtost mez všem vocem krtérí. Boovací metoa (Metfesselova alokace 00 boů) Důležtost krtéra se ohootí počtem boů o 0 o 00 (čím e krtérum výzaměší, tím více boů e mu přřazeo). Součet boů přřazeých všem krtérím musí být 00. Normovaé váh se spočítaí ako poíl boů přřazeých -tému krtéru a součtu všech boů (00). Metoa kvattatvího párového srováváí (Saatho metoa) Kromě výběru preferovaého krtéra se určue pro kažou voc krtérí také velkost této preferece (SAATY,990). K vářeí velkost preferecí SAATY oporučue boovou stupc: krtéra sou steě výzamá prví krtérum e slabě výzaměší ež ruhé 5 prví krtérum e slě výzaměší ež ruhé 7 prví krtérum e velm slě výzaměší ež ruhé 9 prví krtérum e absolutě výzaměší ež ruhé Suý počet boů vařue mezstupě a slouží k eměšímu rozlšeí preferecí. Velkost preferecí -tého krtéra prot -tému můžeme uspořáat o Saatho matce (S), eíž prvk s přestavuí oha poílů vah krtérí (kolkrát e eo krtérum v výzaměší ež ruhé): s ;, =,,...,. v Matce S e čtvercová řáu a pro prvk matce S platí s =, s te matce S e recpročí. Na agoále matce S sou vž hoot ea (kažé krtérum e samo sobě rovoceé). Dříve ež se počítaí váh eotlvých krtérí, e uté ověřt, za zaaá matce párových porováváí e kozstetí. Uvažume eálí matc V = v ), pro eíž prvk b platlo v v v h. Taková matce b bla okoale kozstetí. h = h, pro,, =,,..., Prvk matce S esou většou okoale kozstetí, tz. eplatí s s s h. h = h, pro,, =,,..., Míra kozstece se měří apř. exem kozstece, který Saat efoval takto λ max I S =, ke λ max e evětší vlastí číslo matce S a e počet krtérí. Matce S e ostatečě kozstetí, estlže I S < 0,. Př staovováí vah můžeme vcházet z pomík, že matce S b se měla o matce V lšt co eméě. Potom mmalzueme součet ochlek steolehlých prvků obou matc: F = s v v za pomík v = a v 0 pro, =,,...,. = m Další metoa, ak staovt váh e logartmcká metoa emeších čtverců. (

5 Řešíme F = [ l s ( l v l v )] m, = = za pomík v = a v 0 pro, =,,...,. = Saat avrhl početě eouchý způsob, ak spočítat váh. Řešeím e ormalzovaý geometrcký průměr řáků matce S: s = v =. s = = Poku e matce S plě kozstetí, tz. pro eí prvk platí s = s, váh krtérí vpočítaé pole vzorce (x) přesě opovíaí požaavkům a ech preferec. Poku matce S eí kozstetí, pomocí teraktvího postupu e možo zpřesňovat oha a zlepšt ech kozstec. Rozhoovatel sou přelože prvk matce s a vpočítaé poíl v /v k porováí a úpravě prvků s, a echž záklaě se vpočtou ové oha vah at. Příkla: Výběr vhoého počítače růzým metoam. Cea (Kč) Paměť (MB) Procesor (MHz) Pevý sk (GB) Multméa (pořaí) PC PC PC PC Poz. Pořaí u krtéra multméa sou určea pole ásleuících pravel:. DVD-RW (vpalovačka DVD). DVD, CD-RW (DVD a vpalovačka CD). DVD. CD Staoveí vah Staoveí vah bez formace o preferecích krtérí všecha krtéra maí steou váhu Metoa pořaí v = ; =,,...,, 5 Krtérum 5 Pořaí 5 Bo 5 Váh /5 /5 /5 /5 /5 h h s

6 Fullerova metoa Tučě e ozačeo ůležtěší krtérum Boovací metoa K K K K K5 Bo váh 0,05 0,5 0, 0, 0, Saatho metoa Počet preferecí váh , 5 0, 5 0, 5 0,

7 METODY VÝBĚRU KOMPROMISNÍCH VARIANT Meto evžauící formac o preferecích krtérí Boovací metoa Př této metoě e eprve ohoocea kažá varata pole kažého krtéra určtým počtem boů (b ). Pro kvatfkac formací pole eotlvých krtérí e uté použít vž steou stupc. Maxmálí (mmálí) počet boů přřazeý elepší hootě krtéra musí být pro všecha krtéra steý. Pro ohooceí -té varat platí b = b ; =,,..., m. Varat sou uspořáá pole čísel b vzestupě č sestupě. = Meto vžauící aspračí úrově krtérí Teto tp meto e založe a prác s omálí formací o preferecích mez krtér. Iformace o ůležtost krtérí e vářea aspračí úroví krtérí. Porovávaí se krterálí hoot všech varat s aspračím úrověm všech krtérí. Obvkle se rozělí skupa varat a vě skup. Varat, které maí horší krterálí hoot, ež e astaveá aspračí úroveň (eakceptovatelé, eefektví) a varat, které maí lepší ebo steé krterálí hoot, ež e aspračí úroveň (akceptovatelé, efektví). Př ostatečém zpřísěí aspračích úroví může v možě akceptovatelých varat zůstat varata eá, kterou ozačíme ako kompromsí. Kouktví a suktví metoa Př aplkac těchto meto e uté, ab bl zámé aspračí úrově všech krtérí a karálí ohooceí varat pole eotlvých krtérí. Pole aspračí úrově rozělíme varat a akceptovatelé a eakceptovatelé. V přípaě kouktví meto přpustíme pouze varat, které splňuí všech aspračí úrově M = a z, pro všecha =,,..., ; { } z e aspračí úroveň pole -tého krtéra. V přípaě suktví meto přpustíme varat, které splňuí alespoň ee požaavek M = a z, pro alespoň eo =,,..., ; { } z e aspračí úroveň pole -tého krtéra. Poku sou požaavk váře aspračím úrověm přílš přísé, e moža akceptovatelých varat prázá. V takovém přípaě e uto zaat ové, mírěší aspračí úrově. A aopak, buou-l požaavk míré, moža varat bue přílš velká. Pak e uté aspračí úrově zpříst. Poz.Vhoá e kombace aspračí úrově a a to avázat ou metoou. Metoa PRIAM (Programme utlsatt l Itellgece Artfcele e Multcrtere) Tato metoa e založea a heurstckém prohleáváí mož varat tak, ab blo alezeo eé eomovaé řešeí. Požaovaé formace sou ohooceí varat pole eotlvých krtérí.

8 Kažá varata a e zobrazea vektorem krterálích hoot Y. Aspračí úrově (s) (s) krtérí sou ozače z a změ aspračích úroví v s-tém kroku δz. Hleáme varat, pro echž krterálí hoot platí ( s) z. Počet varat, splňuící teto vztah uává číslo. Vzhleem k hootě rozhoovatel měí aspračí úrově krtérí pro krok s + ( s+) ( s ) ( s ) z = z + δz. ( s ) ( s) ( s) ( s ) Rozohoovatel avrhe aspračí úrově krtérí z = ( z, z,..., z ). Pole hoot čísla astávaí tř přípa: > ; rozhoovatel měí aspračí úroveň tak, ab sížl počet akceptovatelých varat = ; e alezea kompromsí varata = 0 ; eexstue žáá přatelá varata, hleá se eblžší varata k zaaým aspračím úrovím, pro kažou varatu se pak vpočte pole vztahu ochlka o aspračích úroví, ke = pro z ( s ) =,,..., sou eálí krterálí hoot. Jako přatelou varatu vbereme varatu s emeší ochlkou o aspračích úroví krtérí. Postup př řešeí metoou PRIAM e možo zázort grafck stromem. Meto vžauící orálí formace U tohoto tpu meto e uté zaat pořaí ůležtost krtérí a pořaí varat pole eotlvých krtérí. Lexkografcká metoa Tato metoa vchází z přepoklau, že evětší vlv a výběr kompromsí varat má eůležtěší krtérum. V přípaě, že exstue více varat se steým hooceím pole eůležtěšího krtéra, přchází v úvahu ruhé eůležtěší krtérum. Algortmus se zastaví ve chvíl, k e vbraá eá varata, ebo kž sou včerpáa všecha uvažovaá krtéra. Kompromsí varat sou potom všech t, které zůstal steě hooce po zařazeí posleího krtéra. Permutačí metoa Př použtí permutačí meto sou zkoumá všech permutace pořaí p varat (p!). Metoa eí vhoá pro rozsáhlé úloh s velkým počt varat. Pro kažou permutac určíme pro kažou uspořáaou voc varat ( ) a a, krtéra, pro která platí a P a (varata a e preferováa pře a ), ebo sou varat vzhleem k těmto krtérím feretí (a I a ). Moža exů těchto krtérí e ozačováa ako. Pro kažou uspořáaou voc určíme hoot c =, v h I ke v h sou ex eotlvých krtérí. Hoot c sou uspořáá o matce C. Měřítkem vhoost hpotéz pořaí varat e R = c c. < > Za optmálí e považováa taková permutace, pro kterou e R maxmálí. I

9 Metoa ORESTE (e teoretck, zaat o programu) Metoa má vě část. V prví část e určea vzáleost kažé varat pole kažého krtéra o fktvího počátku. Fktví varata a fktví krtérum maí pořaové číslo 0. Potom sou varat pole určtých pravel uspořáá. Druhou částí meto ORESTE e preferečí aalýza. Pro kažou voc e prováě test preferece P, ferece I a esrovatelost N a záklaě preferečí tezt. K tomuto účelu sou zvole tř prahové hoot α, β, γ. Výsleek e závslý a rozhoovatelově volbě prahů α, β, γ. Pro horí meze prahů α, β se echaí ovot ásleuící hoot α ; β. ( m ) ( m ) Pro práh γ lze určt olí mez γ. Výslek preferečí aalýz lze zachtt v matc, eíž řák sloupce opovíaí varatám. Prvk matce formuí o vzáemém vztahu kažé voce varat (preferece P, ferece I a esrovatelost N). Smbol + zameá, že varata a e preferováa pře varatou a, v opačém přípaě (a e preferováa pře varatou a ) se použe zaméko -. Výslek preferečí aalýz lze zázort grafck. N C a P a N I apa 0 N C N Poz. C IJ sou preferečí tezt ( C sou relatví preferečí tezt vzhleem k ech maxmálí hootě) vz Excel MCAKOSA

10 Hleáí kompromsí varat boovací metoou Staoveí počtu boů z příklau Výběr počítače. Počet boů Cea Paměť Procesor Pevý sk Multméa 8 0 ( ( 0 8 ( ( 0 0 ( ( 6 8 ( 8 56 ( ( 0 80 ( ( 6 ( 56 5 ( ( 80 0 ( ( 0 ( 5 0 ( ( 0 60 ( 0 Počet boů pro kažou varatu z hleska kažého krtéra K K K K K5 Součet boů PC PC PC 6 PC 9 Poku b eblo přhlížeo k váhám krtérí, pořaí varat b blo ásleuící: PC f PC f PC f PC Poku buou brá v úvahu váh zštěé apř.boovací metoou v =,05, v = 0,5, v = 0,, v = 0,, v 0, (vz přeáška 6), výslek buou PC f PC f PC f PC. 0 5 = Hleáí kompromsí varat metoou PRIAM (0) Z = (0000,56,00,0,) - vhovuí všecha PC Zpříst požaavek a K, požaueme alespoň 800 () z (0000,56,800,0,) - evhovue PC Zpříst požaavek a K, požaueme alespoň 0 () z = (0000,56,0,) - vhovue pouze PC Hleáí kompromsí varat lexkografckou metoou Neůležtěší e krtérum K (staoveí vah boovací metoou) a pole tohoto krtéra esou žáé vě varat steé. Z tohoto ůvou se vbere PC, které má hootu tohoto krtéra ze všech varat elepší. Meto vžauící karálí formac Teto tp meto vžaue zaáí karálí formace o krtérích v poobě vah a o varatách v poobě krterálí matce s karálím hootam. Exstuí tř záklaí přístup k vhooceí varat: a) maxmalzace užtku b) mmalzace vzáleost o eálí varat c) preferečí relace Meto založeé a výpočtu hoot fukce užtku

11 Př vícekrterálím hooceí varat můžeme kažé hootě krtéra K přřat eí užtek, te můžeme vtvořt ílčí užtkovou fukc u, která pro varatu A abývá hoot u = f ( ); =,,..., m; =,,...,. Defčím oborem této fukce e terval mez elepší a ehorší hootou příslušého krtéra. Oborem fukčích hoot e terval 0 ;. Leárí fukce užtku Leárí fukce užtku přepokláá proporcoálí zvšováí užtku se zlepšováím krterálích hoot. Progresví fukce užtku Vztah mez krterálím hootam a užtkem e eproporcoálí. Zpočátku vvolá zvýšeí hoot krtéra relatvě malý přírůstek hoot ílčí fukce užtku a eotku změ. Tempo růstu se př zlepšováí hoot krtéra zvšue. Degresví fukce užtku Vařue eproporcoálí vztah mez krterálím hootam a ech užtkem. Zpočátku vvolá zvýšeí hoot krtéra relatvě velký přírůstek hoot ílčí fukce užtku a eotku změ. Tempo růstu se př zlepšováí hoot krtéra postupě sžue. Metoa vážeého součtu Tato metoa e vhoá přeevším pro kvattatví krtéra. Přepokláá leárí závslost užtku a hootách krtéra, přčemž ehorší hootě -tého krtéra (bueme začt ) přřaíme hootu 0 a elepší hootě (bueme začt hoot platí h u = ; =,,..., m; =,,...,. h Pro eotlvé varat vpočteme agregovaou fukc užtku pole vztahu Varat pak seřaíme pole hoot u a ). u ( ( a ) = = v u. ) užtek. Pro ílčí užtek Metoa bazcké varat Za bazckou varatu e považováa varata, která osahue elepších č přeem staoveých hoot z hleska všech krtérí. Vtvořeí užtkové fukce s vužtím bazcké varat spočívá v porováváí hoot ůsleků eotlvých varat s opovíaícím hootam v bazcké varatě. (b) Ozačíme-l hootu -tého krtéra v bazcké varatě, pro užtek krtéra výosového tpu př volbě -té varat platí u = a u krtéra áklaového tpu e ílčí užtek á vztahem ( b) u =. (b) u

12 Pro eotlvé varat opět spočítáme agregovaé fukce užtku a pole ech hoot varat seřaíme. Metoa AHP Metoa AHP (Aaltc Herarch Process) bla avržea prof. Saatm v roce 980. Př řešeí rozhoovacích problémů e třeba brát v úvahu všech prvk, které ovlvňuí výsleek aalýz, vazb mez m a teztu, s akou a sebe vzáemě působí. Rozhoovací problém lze zázort ako herarchckou strukturu. Je to leárí struktura obsahuící s-úroví, přčemž kažá z těchto úroví zahrue ěkolk prvků. Uspořááí eotlvých úroví e vž o obecého ke kokrétímu. Pro obecou úlohu vícekrterálího hooceí varat může být herarche ásleuící:. úroveň cíl veáváí. úroveň expert, kteří se a hooceí poílí. úroveň krtéra vhoocováí. úroveň posuzovaé varat Cíl aalýz Úroveň Expert Expert... Expert h Úroveň Krtérum Krtérum... Krtérum Úroveň Varata Varata... Varata m Úroveň Obobým způsobem, ako mez krtér př určováí vah krtérí Saatho metoou, lze určt vztah mez všem kompoetam a kažé úrov herarche. Poku máme čtřúrovňovou herarch, tz. ee cíl, h expertů, krtérí a m varat, bue a ruhé úrov herarche ea matce párového srováváí o rozměrech h h. Na třetí úrov bue h matc o rozměrech a a čtvrté úrov matc o rozměrech m m. Pomocí propočtů (vz Saatho metoa pro výpočet vah krtérí) v těchto matcích s varat rozěluí hootu váh příslušého krtéra (krtéra s pak rozěluí váh příslušého experta). Hoot, které získáme se azývaí preferečí ex varat z hleska všech krtérí. Poku te sečteme tto preferečí ex z hleska všech krtérí, získáme hooceí varat z pohleu všech expertů a z hleska všech krtérí. Výběr kompromsí varat metoou vážeého součtu K K K K K5 PC PC PC PC

13 m max max max m váh h u ( a ) = u(pc) u(pc) u(pc) u(pc) Počítače lze seřat tímto způsobem: PC f PC f PC f PC. Výběr počítače metoou bázcké varat Pole výše uveeých vztahů se opět vpočítá matce užtku: K K K K K5 u(pc) pořaí agreg.užtek u(pc) PC u(pc) PC u(pc) PC u(pc) PC 0.77 váh Pořaí e opět: PC f PC f PC f PC. Pořaí staoveé metoou AHP (ee expert) Staoveí vah Saatho metoou K K K K K5 GM WGM (váh) K K K K K Hooceí varat pole všech krtérí Saatho matce pro krtérum cea Cea GM WGM váh Graf rozěleí váh tohoto krtéra = v u

14 56% 6% 6% % Saatho matce pro krtérum paměť Paměť GM WGM váh Graf rozěleí váh tohoto krtéra 7% 7% 7% 9% Saatho matce pro krtérum procesor Procesor GM WGM váh Graf rozěleí váh tohoto krtéra

15 6% % 56% 6% Saatho matce pro krtérum pevý sk Pevý sk GM WGM váh Graf rozěleí váh tohoto krtéra 0% 8% 0% 5% Saatho matce pro krtérum multméa Multméa GM WGM váh

16 Graf rozěleí váh tohoto krtéra 6% % 6% 56% Pořaí varat pole meto AHP Součet vah Pořaí PC PC PC 0.58 PC U všech matc bla ověřea kozstece v programu MAPLE. Meto založeé a mmalzac vzáleost o eálího řešeí Tto meto posuzuí varat z hleska ech vzáleost o fktví (eálí ebo bazálí) varat. Vžaue karálí hooceí varat pole eotlvých krtérí a váh těchto krtérí. Ke staoveí vzáleost o fktví varat lze použít růzých metrk, apř. = = = = v = max v r v ( ke pro =,,..., m; =,,..., ; e vzáleost -té varat o fktví varat v e váha -tého krtéra ( f ) e hoota -tého krtéra pro fktví varatu Ab se v uveeých výrazech vloučl vlv růzých měrých eotek, místo absolutích ochlek lze použít relatví ochlk. ( f ) ( f ), ( f ) ),,

17 Metoa TOPSIS (Techque for Orer Preferece b Smlart to Ieal Soluto) Metoa TOPSIS e založea a výběru varat, která e eblíže k eálí varatě a eále o bazálí varat. Přepokláá se maxmalzačí charakter všech krtérí. Neprve e uto vtvořt ormalzovaou krterálí matc R = ( r ), ke pro =,,..., m; =,,..., ; Sloupce v matc R přestavuí vektor eotkové élk. Dále se převee krterálí matce R a ormalzovaou krterálí matc kažý sloupec matce R vásobíme vahou opovíaícího krtéra pole vztahu z = v r. Pomocí prvků matce Z se vtvoří eálí varata (,,..., ), ke h r = = max z = m z m = ; =,,..., ; =,,...,. Vzáleost o eálí varat se počítá pole vztahu a o bazálí varat + = ( z h ) ; =,,..., m = = ( z ) ; =,,..., m. =. ( h, h,..., h ) Z = ( z ) Relatví ukazatel vzáleost varat o bazálí varat se vpočte pole vztahu c = ; =,,..., m. + + Varat sou uspořáá pole erostoucích hoot c. tak, že a bazálí varata Meto založeé a vhooceí preferečí relace Metoa ELECTRE I. Cílem této meto e rozělt možu varat a vě ferečí tří, a efektví a eefektví varat. Přepoklaem pro vužtí této meto e zalost krterálí matce, vektoru ormalzovaých vah a staoveí vou prahových hoot prahu preferece a prahu spreferece. Ohooceí varat a pole krtéra h ozačíme smbolem h ( =,,..., m; h =,,..., ). Pro kažou voc varat a, a (, =,,..., m) pak určíme možu { h, h =,,..., } ;, =, m C = h h,...,, která obsahue ex krtérí, z echž hleska e varata a hoocea alespoň tak obře ako varata a. Moža

18 { h <, h =,,..., } ;, =, m D = h h,...,, obsahue ex zbývaících krtérí, t. krtérí, ve kterých e varata a horší ež varata a. Na záklaě ormalzovaého vektoru vah v a mož C pro kažou voc varat a, a (, =,,..., m) určíme číslo c přestavuící součet vah těchto krtérí, z echž hleska e varata a hoocea alespoň tak obře ako varata a : c = v ;, =,,..., m, poku C eí prázá moža a c h C h = 0, poku C e prázá moža. Hoota c přestavue stupeň preferece varat a pře varatou a. a platí c 0;. Dále se pro kažou voc varat a, a (, =,,..., m) vpočte hoota, která se ozačue ako stupeň spreferece mez těmto varatam: = 0, poku D e prázá moža, max( zh z h ) h D = ;, =,,..., m, poku D eí prázá moža. max( z z ) h h Pro čísla platí 0;. h Pro určeí celkové preferece P mez vocí varat musí rozhoovatel zaat práh preferece * * c a práh spreferece. Platí, že varata a e preferováa pře varatou a teh, kž * * c c. Tto párové preferece můžeme zapsat o matce P = p ). Poku a P, pak =, ak p = 0 (pro, =,,..., m). ( a Za efektví sou považová takové varat, ke kterým vzhleem k celkové preferečí relac eexstue žáá preferuící varata a sam sou preferová alespoň pře eou varatou. Moža efektvích varat E a eefektvích varat N sou efová a záklaě hoot v matc P ako E { a p = 0 pro všecha, p h = pro alespoň eo h}, = N = A E, ke A e moža všech varat. Výsleek závsí a staoveých hootách prahů preferece a spreferece. Jech staoveí eí eouché, ěk se oporučue vít z hoot, které sou průměrým hootam prvků v možě C a D. Postupým změam hoot prahových hoot e možo ospět k eoprvkové možě efektvích varat a vřešt úloh, echž cílem e aít eu kompromsí varatu. p Hooceí varat metoou TOPSIS K K K K K5 PC PC PC PC max max max max max váh 0,05 0,5 0, 0, 0,

19 suma ^ omoc. 88, , 676,955 69,7056,7657 R=(r ) 0, ,7796 0,8955 0,705 0, , ,598 0, ,8078 0,655 0,7796 0,598 0,705 0,55 0, ,7796 0,657 0,570 0 Z=(z ) 0, , ,958 0, 0, ,89 0,757 0, 0, ,077 0, ,98 0, 0,055 0, , ,05 0, h 0, ,89 0,98 0, 0, , ,05 0, ,009 0,5 c 0,7567 0, ,0509 0,805 0, ,0986 0, ,0778 0,0659 0,689-0, ,0807 0,0768 0,997 0, ,078 0, ,096 P f P f P f P

Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty

Jednokriteriální rozhodování za rizika a nejistoty Jeokrterálí rozoováí za rzka a estoty U eokrterálíc úlo e vžy pouze eo krtérum optmalty, a to buď maxmalzačí ebo mmalzačí. araty rozoováí sou zaáy mplctě - pomíkam, které musí být splěy (vz úloy leárío

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová PE 30 Podiková ekoomika Garat: Eva KISLINGEROVÁ Téma Metody mezipodikového srováváí Eva Kisligerová Téma Eva Kisligerová Vysoká škola ekoomická v Praze 003 - Mezipodikové srováváí Poprvé 956- koferece

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Uiverzita Tomáše Bati ve Zlíě LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY II Název úlohy: Iterferece a teké vrstvě Jméo: Petr Luzar Skupia: IT II/ Datum měřeí: 3.říja 007 Obor: Iformačí techologie Hooceí: Přílohy: 0

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Experimentální identifikace regulovaných soustav

Experimentální identifikace regulovaných soustav Expermetálí etfkace reglovaých sostav Cílem je zhotoveí matematckého moel a záklaě formací získaých měřeím. Požívá se možství meto. Výběr metoy je ůležtý, protože a ěm závsí přesost áhraího moel. Záklaím

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

Martin Sloup, A04372. Ohyb světla optickou mřížkou

Martin Sloup, A04372. Ohyb světla optickou mřížkou Mart Sloup, A0437 Ohyb světla optckou mřížkou Mart Sloup, A0437 Obecá část Optcká mřížka a průcho světla je skleěá estčka, a íž je vyryta řaa jemých, rovoběžých, stejě o sebe vzáleých vrypů. Vrypy tvoří

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií Vícekrterální rozhodování Zabývá se hodnocením varant podle několka krtérí, přčemž varanta hodnocená podle ednoho krtéra zpravdla nebývá nelépe hodnocená podle krtéra ného. Metody vícekrterálního rozhodování

Více

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT ANALÝZA A KLASIFIKACE DA prof. Ig. Jří Holčík, CSc. INVESICE Isttut DO bostatstky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a aalýz IV. LINEÁRNÍ KLASIFIKACE pokračováí Isttut bostatstky a aalýz (SUPPOR VECOR MACHINE SVM) SEPARABILNÍ

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce

Metody vícekriteriálního hodnocení variant a jejich využití při výběru produktu finanční instituce . meznárodní konference Řízení a modelování fnančních rzk Ostrava VŠB-TU Ostrava, Ekonomcká fakulta, katedra Fnancí 8. - 9. září 200 Metody vícekrterálního hodnocení varant a ech využtí př výběru produktu

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 Tvorba eleárího regresího modelu Postup tvorby eleárího regresího modelu se dá rozčlet do těchto kroků: Návrh regresího modelu Obvykle se jako eleárí regresí model používá

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha Občejé erecálí rovce Caucova úloa Drcletova úloa Občejé erecálí rovce - Caucova úloa Úlo: I. = s omíou = jea rovce. řáu II. soustava rovc. řáu III. = - jea rovce -téo řáu = = = - = - Hleáme uc res. uce

Více

Model minimalizace technologického zbytku pro ZPO 1 v TŽ, a.s.

Model minimalizace technologického zbytku pro ZPO 1 v TŽ, a.s. Hutcké lsty č.3/28 Výroba ocel Moel mmalzace techologckého zbytku pro PO v TŽ, a.s. Ig. Mroslav Hozák, TŘINECKÉ ŽELEÁRNY, a. s., Průmyslová, 739 6 Třec Staré Město,Třec Ig. Ja Morávka, Ph.D., Třecký žeýrg,

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

TĚŽIŠTĚ A STABILITA. Těžiště tělesa = bod, kterým stále prochází výslednice tíhových sil všech jeho hmotných bodů, ať těleso natáčíme jakkoli

TĚŽIŠTĚ A STABILITA. Těžiště tělesa = bod, kterým stále prochází výslednice tíhových sil všech jeho hmotných bodů, ať těleso natáčíme jakkoli SAIKA - těžště ĚŽIŠĚ A SABILIA ěžště tělesa bod, kterým stále prochází výsledce tíhových sl všech jeho hmotých bodů, ať těleso atáčíme jakkol bod, ke kterému astává rovováha mometů způsobeých tíhou jedotlvých

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

7.Vybrané aplikace optimalizačních modelů

7.Vybrané aplikace optimalizačních modelů 7.Vybraé aplkace optmalzačích modelů V této kaptole se budeme věovat dvěma typům úloh, pro echž řešeí se využívaí optmalzačí prcpy. Jedá se o modely aalýzy obalu dat, které se využívaí pro hodoceí relatví

Více

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd.

Posloupnost v matematice je řada čísel. Je přesně určeno pořadí čísel, je tedy dáno, které číslo je první, druhé atd. Poloupoti Poloupot v mtemtice je ř číel. Je přeě určeo poří číel, je tey áo, které čílo je prví, ruhé t. V řě číel může le emuí být ějký ytém. Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby:. Výčet prvků:

Více

Téma 5: Analýza závislostí

Téma 5: Analýza závislostí Aalýza závlotí Téma 5: Aalýza závlotí Předáša 5 Závlot mez ev Záladí pom Předmětem této aptol ude zoumáí závlotí ouvlotí mez dvěma a více ev. Jedá e o proutí do vztahů mez ledovaým ev a tím přlížeí tzv.

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Evropský socálí fod Prh & EU: Ivestuee do vší udoucost eto terál vkl díky Operčíu progru Prh dptlt CZ..7/3..00/3354 Mžerské kvtttví etody II - předášk č. - eore her eore her 96 vo Neu, Morgester kldtelé

Více

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY . přednáška EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY Ekonomcko matematcké metody (též se užívá název operační analýza) sou metody s matematckým základem, využívané především v ekonomcké oblast, v oblast řízení a

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Postup při měření rychlosti přenosu dat v mobilních sítích dle standardu LTE (Metodický postup)

Postup při měření rychlosti přenosu dat v mobilních sítích dle standardu LTE (Metodický postup) Praha 15. srpna 2013 Postup při měření rchlosti přenosu at v mobilních sítích le stanaru LTE (Metoický postup Zveřejněno v souvislosti s vhlášením výběrového řízení za účelem uělení práv k vužívání ráiových

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Pojem času ve finančním rozhodování podniku

Pojem času ve finančním rozhodování podniku Pojem času ve fiačím rozhodováí podiku 1.1. Výzam faktoru času a základí metody jeho vyjádřeí Fiačí rozhodováí podiku je ovlivěo časem. Peěží prostředky získaé des mají větší hodotu ež tytéž peíze získaé

Více

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W )

Jednotkou tepla je jednotka energie, tj. 1 Joule (J). Z definice dále plyne, že jednotkou tepelného toku je 1 J/s ( neboli 1 W ) 5. Sdíleí tepla. pomy: Pomem tepelá eergie ozačueme eergii mikroskopického pohybu částic (traslačího, rotačího, vibračího). Měřitelou mírou této eergie e teplota. Teplo e část vitří eergie, která samovolě

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

Úloha č. 10. Měření rychlosti proudu vzduchu. Měření závislosti síly odporu prostředí na tvaru tělesa

Úloha č. 10. Měření rychlosti proudu vzduchu. Měření závislosti síly odporu prostředí na tvaru tělesa yzikálí praktiku I Úloha č10 Měřeí oporu prouícího zuchu (erze 0/01) Úloha č 10 Měřeí rychloti prouu zuchu Měřeí záiloti íly oporu protřeí a taru tělea 1) Poůcky: Aeroyaický tuel, ikroaoetr, Pratloa trubice,

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Příloha: 9 Metodika projektů generujících příjmy

Příloha: 9 Metodika projektů generujících příjmy Příloha: 9 Metodka projektů geerujících příjmy Účost: 5.11. 2008 Datum zveřejěí: 5.11. 2008 Verze č. 5.0 1. Výchozí podmíky - Obecá pravdla Postup u projektů geerujících příjmy vychází z čláku 55 Obecého

Více

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 4 Verze 4 je shodná se Směrnicí 1/2011 verze 3, pouze byla rozšířena o robustní analýzu

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 4 Verze 4 je shodná se Směrnicí 1/2011 verze 3, pouze byla rozšířena o robustní analýzu Směrce /0 Stattcké vyhodocováí dat, verze 4 Verze 4 e hodá e Směrcí /0 verze 3, ouze byla rozšířea o robutí aalýzu. Stattcké metody ro zkoušeí zůoblot Cílem tattcké aalýzy výledků zkoušek ř zkouškách zůoblot

Více

Metodika projektů generujících příjmy

Metodika projektů generujících příjmy Příloha: 9 Metodka projektů geerujících příjmy Účost: 23. 1. 2009 Verze č. 6.0 1. Výchozí podmíky - Obecá pravdla Postup u projektů geerujících příjmy vychází z čláku 55 Obecého ařízeí č. 1083/2006 a vyplývá

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

DURACE A INVESTIČNÍ HORIZONT PŘI INVESTOVÁNÍ DO DLUHOPISŮ

DURACE A INVESTIČNÍ HORIZONT PŘI INVESTOVÁNÍ DO DLUHOPISŮ DURACE A INVESTIČNÍ HORIZONT PŘI INVESTOVÁNÍ DO DLUHOPISŮ Ivestičí horizot IH: doba, po kterou má ivestor v daé ivestici vázáy své peíze. Při ivestici do dluhopisu jsme vystavei riziku změy výosů Uvažujme

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat 4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G. SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

Důkazy Ackermannova vzorce

Důkazy Ackermannova vzorce Důkazy Akermaova vzore Rady studetům: Důkaz je trohu zdlouhavý, ale přirozeý. Tak byste při odvozeí postupovali, kdybyste vzore předem ezali. Důkaz je krátký, ale je založe a triku, a který byste předem

Více

11. Popisná statistika

11. Popisná statistika . Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ

LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Lneární programování e druh matematckého programování. Matematcký model se skládá z:. účelové funkce. omezuících podmínek (vlastní omezení a podmínk nezápornost) Účelová funkce omezuící

Více

Aspects of Intangible Property Valuation in Intragroup Financial Management. Aspekty ocenění nehmotného majetku ve vnitroskupinovém finančním řízení

Aspects of Intangible Property Valuation in Intragroup Financial Management. Aspekty ocenění nehmotného majetku ve vnitroskupinovém finančním řízení 6 th Iteratoal Scetfc Coferece Maagg ad Modellg of Facal Rsks Ostrava VŠB-TU Ostrava, Faculty of Ecoomcs,Face epartmet 0 th th September 202 Aspects of Itagble Property Valuato Itragroup Facal Maagemet

Více

Statistické charakteristiky (míry)

Statistické charakteristiky (míry) Stattcé charaterty (míry) - hrují formac, obažeou v datech (vyjadřují j v ocetrovaé formě); - charaterzují záladí ryy zoumaého ouboru dat; - umožňují porováváí více ouborů. upy tattcých charatert :. charaterty

Více

Š É Á á á é č ě ž é ž á č ž é ě á ž ě č é č č ž č á Ž ě Í ě ž áž ě ž ň á ě ž á ž č á é é ě é á ě č ž á é é ě é é ě é č ě é é é á á ž á ž é á Š é Ž ž é č é á á á á ď č á Š é á ěž á č č ě ě é č ě ě é á Ž

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více