Diferenciální a integrální poet

Transkript

1 Diferenciální a inegrální poe princip a prae. úodní díl

2 Úodem Tao publikace je urena m, keí alepo do njaké míry umí derioa a inegroa, ale myl cho innoí jim není zcela janý. Výklad je eden mén odborným nádechem pro nadnjší orienaci a rychlejší pochopení.. Kráce o limiách Lze íc, že limia e zajímá o o, k jaké hodno muje kika funkce nebo poloupnoi libooln zoleném mí. Jako píklad použijeme jednoduchou funkci f ( ). Graf éo funkce ypadá ako: graf Pokud ná bude zajíma, k jaké hodno e bude kika funkce neuále pibližoa, pokud nám hodnoy na oe neuále poroou, zápi bude náledující: lim Z grafu již idíme, že pokud budeme brá ále ší hodnoy na oe, kika funkce e nám bude poád íce pibližoa nule, edy lim. Pokud e budeme zajíma o o, kam e hodnoy funkce blíží, muje-li poád blíž k nule, iuace je už ložijší. I když by nkeí z ná auomaicky uo chíli prohláili, že je jané, že pro blížící e nule, e hodnoa funkce blíží do plu nekonena, což dobe ukazuje graf, není o e kuenoi prada. Shlédnme graf, na kerém je naše funkce f ( ) zobrazena lépe, i záporných hodnoách.

3 graf Graf jan ukazuje, že limia pro blížící e nule není jednoznaná, mže bý i. My ošem mžeme upeni, jeli pjde k nule zpraa nebo zlea. Poom limia naší funkce, kde pjde k nule zpraa, bude a limia, kde pjde k nule zlea, bude, edy: lim, lim Limiy nám edy íkají, kam mují hodnoy funkce. Oba e prai hodí, prohlái eba o njaké eliin, že e z. limin blíží nule, chceme-li naznai, že eliina není pímo nuloá, ale neuále e nule íc a íc blíží (a nikdy pené nuly nedoáhne).. Deriace Pedame i graf liboolné funkce. Pokud uo funkci zderiujeme, zíkáme noou funkci, kerá nám popiuje, jak rychle e naší podní funkci mní hodnoy (!). Tomuo rzení nujme elkou pozorno, jeho pochopení je žejní. Páni maemaici nám zkráka eaili uriá praidla, podle kerých naší funkci pepíšeme na jinou a zíkáme ak její deriaci. Zíkáme edy kiku, kerá nám ukazuje, jak moc e hodnoy naší podní funkci mnily a zároe i jakým mrem, zda hodnoy roly nebo klealy. Udláme i názorný píklad, kde máme graf, kerý nám yjaduje urazenou zdáleno auomobilu záiloi na ae - iz. graf 3.

4 graf 3 Nyní ledujme deriaci éo funkce, edy graf, popiující rychloi zmn: graf 4 Pokud idíme ouilo mezi grafem 3 a 4, prohléme i i graf 5, kerý je deriací grafu 4, edy druhou deriací grafu 3. graf 5 Všimnme i, že grafu 4 je pibl. -oé hodno 44 rchol funkce a kdybychom i eno rchol ém donekonena zšili ( piblížili ), mohli bychom íc, že mío kiky je u lan odoroná pímka, edy obla, kde e hodnoy funkce ém bec nemní, edy jou u nuloé zmny funkce a deriace (graf 5) nám o idieln porzuje: Pibl. -oé hodno 44 grafu 5 je eliko zmn kuen na hodno nula. Na grafu 5 lze zároe pozoroa, že á kiky je nad nulou (r hodno grafu 4) a druhá á kiky je pod nulou (kleání hodno grafu 4).

5 Derioáním edy zíkááme noou funkci, kerá nám popiuje rychlo zmn naší podní funkce. Pomocí deriací edy mžeme yšeoa prbh funkce, mžeme ledoa, kde jou na funkci rcholy nebo edla (zkráka z. lokální erémy), kde funkce kleá, kde roe a ím pádem i kde má logicky minima a maima, mžeme hleda i z. inflení body, ad. Vrame e ješ na chíli ke grafu 3, kerý zobrazuje, jakou zdáleno urazil auomobil záiloi na ae. Pokud uo funkci zderiujeme a zíkáme ak graf 4, máme funkci elikoí zmn na dráze a yo elikoi zmn pece pímo odpoídají rychloi auomobilu. Všimnme i, jak graf 4 názorn yihuje rychlo auomobilu zhledem k omu, jak e jeho poloha mnila grafu 3. Peci, ím íce e zmnila poloha, ím ší muí bý rychlo (=rychlo zmn). Deriací fukce polohy edy pímo zíkááme rychlo auomobilu konkréní chíli. Co e ane, pokud zderiujeme graf rychloi auomobilu (graf 4) a zíkáme graf 5? Jaká fyzikální eliina uruje elikoi zmn rychloi? Odpodí je pirozen: zrychlení. Zrychlení mní rychlo, je edy jinými loy elikoí zmn rychloi. Graf 5 edy odpoídá zrychlení auomobilu. Všimnme i, že kika zrychlení (graf 5) je kuen naped nad hodnoou nula, edy auomobil ále zrychloal, i když zrychloal ále mén a mén. Poom e kika doala pod nulu do záporných hodno, edy auomobil zaal zpomaloa, což názorn idíme jak na grafu rychloi (graf 4), ak na grafu polohy (graf 3). Pokud edy chceme prai ledoa polohu, rychlo i zrychlení njakého objeku, aí nám, pouze mi jeho polohu. Prní a druhou deriací poom nadno zíkáme prbh jeho rychloi a prbh jeho zrychlení. Ve šech ech grafech (3 5) jme uažoali polohu, rychlo i zrychlení ždy zhledem k plynoucímu au. Dále jme ekli, že deriací zdálenoi je rychlo a deriací rychloi je zrychlení, ale oo rzení je poeba ješ upeni, proože jiných podobných pípadech je iuace o nco ložijší. Je nuno íc, že rychlo je deriace dráhy podle au a podobn zrychlení je deriace rychloi podle au. V naší ukázce jme eno fak bec nemueli zdrazoa, proože jme mli dráhu, rychlo i zrychlení pímo ronou záiloi na ae. Rychlo zmny dráhy ( ae) je edy pímo rychlo objeku, kerý ledujeme. Zmny rychloi ( ae) pirozen odpoídají zrychlení našeho objeku. Deriacemi dráhy ae mžeme jednoduše zíka prbh rychloi a zrychlení a yšeoa yo funkce dle liboi (ledoa, kde rychlo rola, kde je její maimum, kde kleala, ad.) Zaím jme e o deriacích baili jen obecn. Abychom šak umli derioání a celý diferenciální poe prai použía a umli akoé ronice eši, míme e eznámi pojem diferenciál.

6 3. Diferenciál Dokud neumíme pracoa diferenciálním a inegrálním poem, jme omezeni, napíklad pípad dráhy a au, poía pouze jakoui prmrnou rychlo. Ukažme i píklad: Auomobil jede po ilnici. Pokud chceme zjii, jakou prmrnou rychloí auomobil jel dob od chíle do chíle, poznamenáme i, jakou zdáleno urazil cho aech. a zahájení mení : V uo chíli už urazil auomobil zdáleno : a ukonení mení : Ve chíli ukonení mení byla urazená zdáleno : m 48 m Oba e použíá pro oznaení njaké prmrné hodnoy proužek nad ymbolem eliiny, oznaíme i edy naší hledanou prmrnou rychlo jako. Prmrná rychlo, kerou hledáme, je urazená zdáleno za dobu au, edy: 48 8 m / Abychom e poupn doali k poda diferenciál, zámrn oo peeme ak, že prmrná rychlo je díl dráhy za uplynuý díl au. Teno dílek mžeme chápa i jako pírek dráhy, pop. au. Maemaika nám éo ci pináší urié zobecnní zmínného dílku nebo pírku a zaádí z. diferenciál d. Obecn edy mžeme zapa, že naše prmrná rychlo auomobilu je pírek dráhy za pírek au, edy diferenciál dráhy za diferenciál au. Jakmile šak zaádíme diferenciál, zíkááme mocný nároj k ešení našich maemaických a fyzikálních problém. Mžeme eši, yjadoa a ypoíáa o, co bychom jen žko dlali bez dif. pou, ale o om až pozdji. ao e prai ekáme diferenciálními ronicemi i am, kde napíklad bec nejou poeba. Jedná e pouze o uriý oficiální zápi daného zahu a pokud k omu iuace muje, lze diferenciální ronici pepa na normální, edy nediferenciální nebo jednoduchý ar. Ukázky diferenciálních ronic: Vzah pro huou: dm - pírek/dílek hmonoi ku pírku/dílku objemu. dv Vzah pro rychlo: d d - pírek/dílek dráhy za pírek/dílek au.

7 Udomme i, že zápi d je yplejší a unierzálnjší, než zápi d. Diferenciální ar oiž ronou poíá možnoí, že by e eliiny mohly rzn mni. Pokud e zrona nemní a jou konanní, není problém, i diferenciály ze zahu odmyle. Pokud e ošem eliiny e zahu rzn mní, pi ešení akoé ronice už pímo nepoažujeme eliiny za rozdíly (nap. ), ale na e již díáme jako na funkci, edy d je pro ná diferenciál funkce. (!) Zlomek pak íká, že budeme uo funkci derioa podle d (uažujeme zah ). d. Udlejme i kráký a názorný píklad myšlenky, že d poažujeme za diferenciál funkce a celý zah poažujeme za deriaci funkce podle. eknme, že by auomobil každou ekundou é jízdy urazil zdáleno 8 mer, mohli bychom edy funkci definoa ako: 8, penji: ( ) 8 Celou diferenciální ronici lze pak zapa napíklad ako: 8 d (deriace funkce podle ) d Zkume i uo jednoduchou dif. ronici yeši. Skuen doááme, že = 8. Pro eno pípad je použií diferenciálních ronic úpln zbyené, proože rychlo je u zkráka konanní ( každou ekundou urazí konanní zdáleno 8 m), na což bec diferenciální poe nepoebujeme. Pokud by e nám ošem rychlo bhem jízdy rzn mnila, už nejme chopni jednoduše poía urazenou zdáleno. Pouze bychom mohli ypoía prmrnou rychlo ozidla a pibližn pak dopoía urazenou zdáleno známým zahem, což by mohlo bý hodn nepené. Pené ešení bychom nalezli pomocí diferenciální ronice, ale o om až náledující kapiole. Diferenciál edy chápejme jako dílek nebo pírek hodno funkce. Zaedení diferenciál oí z obyejné ronice diferenciální ronici, díky keré jme chopni poía o, co bez dif. pou mnohdy nelze.

8 4. Seaoání a ešení diferenciálních ronic Nyní e podíáme na o, jak rozezna iuace, kdy bychom mohli naadi diferenciální poe a uedeme i nkolik názorných píklad, jak eaenou ronici dif. aru eši. Jednou ze iuací, kdy ná zachrání diferenciální poe je eba pípad, kdy e auomobil pohybuje rznou rychloí a uráží ak ae prbžn rzn dlouhou dráhu. Pokud chceme akoém pípad zná napíklad urazenou dráhu za uriou dobu, nemžeme použí bžný zah, proože bychom byli omezeni, pracoa pouze njakou prmrnou rychloí, což by ao edlo k znaným nepenoem a neumožnilo by o, jednoduše a pen yeši i další oázky, keré by mohly bý ešením rychloi pjay. Jak edy pro pípad našeho auomobilu eai diferenciální ronici? Prohlédnme i náledující ukázky a zažme, jak bychom mohli analogicky eai diferenciální ronici pro pípad našeho auomobilu. dv Q Prbžn rzné množí objemu V, proeené za d záiloi na mnícím e proku Q. d dw P Prbžn rzn eliká práce W, ykonaná za d záiloi na mnícím e ýkonu P. d Pln i udomme, že eliiny dv a dw jou prbžn rzn eliké jen díky prbžn e mnícím eliinám Q a P. Pokud edy analogicky hledáme ronici pro rychlo našeho auomobilu, pirozen doááme: d Prbžn rzná délka dráhy, urazená za d záiloi na mnící e rychloi. d Nyní ledujme prakické píklady použií jednoduchých diferenciálních po:

9 Píklad Auomobil neuále zyšuje ou rychlo každou ekundou o %. Jakou zdáleno urazí od doby é jízdy = 4 ekund do doby = 4 ekund? ešení: Hledáme dráhu, kerá díky rzné rychloi rzn pibýá. Tomu odpoídá diferenciální ronice d Udláme jednoduchou úprau ronice, abychom jí d mohli yeši inegroáním, doááme edy d d. Naadíme na celou ronici inegrál: 4 d 4 Kdybychom ronou eno zah inegroali, nikam bychom e nedoali, proože uo chíli rychlo figuruje inegrálu jako konana, což neodpoídá reali, rychlo je peci rzná. Muíme i edy rychlo yjádi ak, aby o byla funkce au (aby poom byla zinegroaelná podle d). Hledáme edy funkci ( )?. Funkci () nalezneme elice nadno, proože íme, že každou ekundou e rychlo zýší o %, edy doááme: ( ),. Všimnme i, že omu idieln odpoídá i fak, že zrychlení a =, m. - ( = a ) Funkci () edy máme yjadenou a po doazení mžeme pokraoa inegroání dif. ronice: d 4 4 d, d 4, 4 = 98,4 m Auomobil edy od doby é jízdy 4 do doby 4 urazil zdáleno 98,4 m. Píklad Za jakou dobu dopadne na porch Zem leo, keré leí z ýšky m, pokud zanedbáme odpor proedí? Tíhoé zrychlení: 9,8 m. -.

10 ešení: Mohli bychom ice ronou použí známý zah pokuíme uo úlohu eši diferenciálním poem. a, ale zámrn e pro názorno Kdyby byla rychlo konanní, použili bychom jednoduchý zah, jenže ady e díky graianímu zrychlení rychlo lea ále mní (zšuje). Muíme edy použí dif. poe. Podobn jako píkladu : d d d d d d Pokud () = a, pak: d a d Zrychlení a u odpoídá íhoému zrychlení g, keré je konanní, edy: d g d Doááme: g Po doazení: 9,8 = 4,3 Tleo edy dopadne na porch Zem pibližn za 4,3. Píklad 3 U elekrického zaízení kolíá jeho ýkon. Mením a ýpoy bylo zjišno, že ýkon kolíá podle éo ronice: P = + 6 in(). Prbh ýkonu ae idíme na grafu 6. Úkolem je zjii, jakou zaízení ykoná elekrickou práci za dobu 4 minuy od jeho pušní. graf 6

11 ešení: Výkon nám kolíá, není konanní a nemžeme proo jednoduše použí zah A = P. Hledáme elekrickou práci A, kerá roe prbžn rznou rychloí záiloi na kolíaém ýkonu P. Tomu odpoídá dif. ronice: píkladm a ále ejný. da P d Všimnme i, že princip záá oproi Poom i poup ešení je obdobný jako pedchozích píkladech: da P da P d d da P d Za ýkon P i muíme inegrálu doadi funkci, jejímž paramerem je a. Tuo funkci známe ze zadání: P = + 6 in(). Dále zadání úlohy urilo, že máme ypoía elekrickou práci prbhu 4 min., což je doba odpoídající 4 ekundám. Doááme: 4 da d da d6 in( ) d 6 in( ) 4 4 ubiuce : a d da da d 4 48 da d6 in( a) da d da in( a) da A 4 8 co(.48) co(.) 4 8,5 A = 4 W A Bhem doby 4 minuy byla ykonána elekrická práce: 4 W

12 Píklad 4 Pod úhlem 45 od porchu zem byla rychloí = 5 m/ z poáku ouadnicoého yému yelena dloá koule. a) Jaká byla doba leu koule? b) Jaký byl doel koule? c) Jaké nejší ýšky koule doáhla? Pi ešení éo úlohy zanedbááme odpor proedí. obr. Pípraa k ešení: Pradpodobn bude nejhodnjší, nejpre i rozloži poáení rychlo do mr ouadnicoého yému, edy uri, že co, y in. Dále ureme, že rychlo koule bhem leu e mru oy bude definoané? Rychlo a rychlo e mru oy y bude ychází z poáení rychloi y. Jak budou yo rychloi a zhledem k omu, že jí bec nic neoliuje, lze zkráka ronou napa, že. Rychlo y obdobn ychází z poáení rychloi y, ale uo rychlo už oliuje jiná rychlo, kerá e yáí liem íhoého zrychlení g. Jelikož obecn plaí zah a, mžeme uo rychlo oenou íhoým zrychlením definoa jako g. Záporné znaménko použíáme pirozen proo, že ao rychlo pobí do záporných hodno ouadnice y. Rychlo y edy ypadá ako: y y g Máme edy rychloní ronice pro le koule:, y y g ešení a) Jaká byla doba leu koule? Dopad koule na zem je jinými loy momen, kdy poloha koule e mru oy y je rona nule. Možná bychom edy mohli dobu leu ypoía z ronice, kerá definuje polohu dloé koule e mru oy y. Jelikož íme, že deriace dráhy podle au je rychlo, pak zpn zinegroáním ronice rychloi podle au zíkáme ronici polohy. y y g d y y d g d y y d g d y y g Vypoíáme poebou rychlo y in y 5 in 45 = 35,355 m/ y Doadíme do polohoé ronice y y g a ypoíáme: 35,355 9,8.

13 ešením ronice jou d doby: = 7,8 a =. Doba = odpoídá momenu n ped ypálením dloé koule ( uo chíli byla poloha koule e mru oy y aké nuloá). Proo pipadá úahu ešení: 7,8 ekund Doba leu dloé koule: 7,8 ekund ešení b) Jaký byl doel koule? Doel koule odpoídá její poloze oe e chíli, kdy koule dopadla na zem. Pokud edy zíkáme ronici paramerem au, kerá bude popioa polohu koule zhledem k oe, nadno ak doel ypoíáme. Polohoou ronici zíkáme op inegroáním a o rychloní ronice podle au: d d Vypoíáme poebou rychlo Doadíme do polohoé ronice co 5 co 45 = 35,355 m/ = 35,355. 7,8 = 54,84 m Doel dloé koule byl 54,84 mer. ešení c) Jaké nejší ýšky koule doáhla? Vhledem k omu, že ešíme uo úlohu e zanedbáním odporu proedí, rajekorií naší dloé koule není reálná baliická kika, nýbrž parabola, což mžeme pozoroa na grafu 7. Logicky bychom edy ekli, že nejší doaženou ýšku leu koule zíkáme ak, že i ezmeme poloinu doelu oe a dopoíáme hodnou y omo bod, což odpoídá rcholu paraboly, edy i maimální doažené ýšce koule leu. My i šak ešení maimální doažené ýšky ukážeme pomocí diferenciálního pou. V komplikoanjších pípadech bychom nemueli mí ako ymerickou parabolu a ešení jme poom chopni nají jedin jen pe dif. poe. Trajekorie leu dloé koule: graf 7

14 Koule doáhne maimální ýšky mí, kde i lze její pohyb omo okamžiku pedai jako pohyb po pímce. Spránji bychom mli íc, že nekonen zšený rchol kiky (zde rchol paraboly) je nekonen kráká odoroná pímka. Jde-li edy o odoronou pímku, hodnoy grafu e omo mí edy nemní, jinými loy, elikoi zmn jou nuloé. Nuloé elikoi zmn omo konkréním bod peci znamenají nuloou deriaci funkce omo bod, což jme i ukazoali kapile na grafech 4 a 5. Pokud e edy budeme pá, kdy bude deriace funkce na grafu 7 rona nule, zíkáme ak ouadnici, kerá odpoídá rcholu naší paraboly a budem ak moci jednoduše dopoía hodnou y omo nalezeném bod, edy rchol. Hledáme-li elikoi zmn funkce y záiloi na eliin, deriujeme funkci y podle, edy: dy d V uo chíli šak máme k dipozici pouze ronici y y g, kde je paramer, nikoli. Udomme i šak, že ar kiky na grafu 7 oliuje jak polohoá ronice y =, ak polohoá roice =. Využijme ohoo faku a lume yo d ronice do jedinné ronice y = (zbaíme e ak zároe promnné ):, y y g a mžeme derioa:, y y g Nyní máme funkci y() dy y 35,355 y' g Vypoíáme pro hodnou y ' : 9,8 d 35,355 35,355 Doááme = 7,4 m. Máme edy polohu koule -oé ouadnici, kdy koule doáhla maimální ýšky. Nyní už mžeme dle ronice maimální ýšku koule: y y g nadno dopoía 7,4 7,4 35,355 y 35,355 9,8 Doááme: y = 63,79 m 35,355 Koule doáhla bhem ého leu maimální ýšky 63,79 mer.

15 Píklad 5 Na omo jednoduchém píkladu i ucelíme porozumnní a meodiku ešení diferenciálních ronic. Budeme e zabýa prací W, kerou leo ykoná iloým úinkem F a pohybem po dráze. Vzah pro práci W bychom ice mohli napa jednoduše bžným zpobem W F, ale použijeme yplejší a oficiálnjší zápi diferenciálním aru, edy: dw F d Díl (nebo pírek) ykonané práce W zhledem k pobení íly F na dílku (nebo pírku) dráhy. Samoné zadání zní ako: Vypoíeje práci W, kerou leo ykonalo po dráze z polohy do polohy, pokud: a) íla F byla konanní, F = 5 N, = m, = m b) íla F e prbžn dráhou rzn mnila dle ronice F,6, = m, = m c) íla F byla konanní, ale mnila e rychlo pohybu lea zrychlením a = m. - a eno pohyb z polohy do polohy ral ekundy ešení a) íla F = kon. = 5 N, = m, = m Diferenciální ronici yýkáme jej ped inegrál a doááme: dw F d inegrujeme: dw F d. Jelikož je F konanní, F Vypoíáme eliko ykonané práce: 5 dw d, edy: W F W W = J ešení b) íla F,6, = m, = m Diferenciální ronici dw F d inegrujeme: dw F d. V omo pípad už F není konana a nelze jej ak yknou ped inegrál. Muíme inegrálu yjádi funkci F(), aby byl inegrál inegroaelný podle d. Funkci F() známe ze zadání, inegrálu jí edy yjádíme: dw,6 d a pokraujeme inegroáním a doazením hodno: dw,6 d 3 3,6 W W,6 W =,693 J 3 3

16 ešení c) íla F byla konanní, ale mnila e rychlo pohybu lea zrychlením a = m. - a eno pohyb z polohy do polohy ral ekundy Diferenciální ronici dw F d inegrujeme: dw F d. V omo pípad je ice F konanní, ale neznáme polohy a, oproi omu známe dobu pohybu a zrychlení. Vzpomeme i na zah d d d. Doame edy d do inegrálu (zároe F je kon., ykli d jme jej ped inegrál): dw F d Nyní edy inegrujeme podle a proože není konana, muíme i jej yjádi jako funkci au. To lze yeši pe zah a. Teno zah kuen mžeme pímo použí, nemuíme ho hleda diferenciálním aru, proože a e nemní, mní e pouze plynule a pirozen ím i pak. Diferenciální ar bychom hledali, kdyby e prbžn mnilo i a, což omo pípad neplaí. Doadíme edy do inegrálu za : chopni, dopracoa e k ýledku: W 5 W = Nm dw F a d Zrychlení známe ze zadání a ak už jme dw F d W F V prai e mžeme eka mnohem ložijšími diferenciálními ronicemi, keré e eší pílušnými meodami. V éo kapiole jme e pouze eznámili podaou a mylem ronic diferenciálním aru a píklady ložijších dif. ronic eši nebudeme. Podn bylo plánu, pokraoa éo publikaci ješ do problemaiky pímého eaoání inegrál, ešení parciálních deriací a diergencí, ale o om íce až dalším díle. Další díly oekáeje na inerneoých ránkách hp://adambenda.ne ureno k olnému šíení Adam Benda (a.benda@cenrum.cz, hp://adambenda.ne).. 8