Aplikace integrálního počtu v ekonomii

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Aplikce integrálního počtu v ekonomii Vedoucí bklářské práce: RNDr. Jn Tomeček, Ph.D. Rok odevzdání: Vyprcovl: Jn Lýsková ME, III. ročník

2 Prohlášení Prohlšuji, že jsem bklářskou práci zprcovl smosttně pod vedením pn RNDr. Jn Tomečk, Ph.D. s použitím uvedené litertury. V Olomouci dne 6. dubn

3 Poděkování Rád bych poděkovl vedoucímu bklářské práce pnu RNDr. Jnu Tomečkovi, Ph.D. z spolupráci i z čs, který mi věnovl při konzultcích mým rodičům z podporu při studiu.

4 Obsh Úvod 4 Neurčitý integrál 5. Primitivní funkce neurčitý integrál Metody výpočtu Určitý integrál 4. Definice určitého integrálu Podmínky integrovtelnosti Vlstnosti R-integrálu Výpočet R-integrálu Nevlstní integrál 8 4 Aplikce integrálního počtu v ekonomii 4. Celkové mezní veličiny Investice tvorb kpitálu Součsná hodnot csh-flow Součsná hodnot věčného csh-flow Domrův model růstu Závěr 45 Litertur 46

5 Úvod Jk již název bklářské práce Aplikce integrálního počtu v ekonomii npovídá, budeme se zbývt využitím mtemtiky v ekonomické oblsti. Konkrétně se bude jednt o integrální počet jeho ekonomické plikce v oblstech celkových mezních veličin, investic, tvorby kpitálu dlších. K výběru tohoto témtu, mě vedl především zájem o využití mtemtiky v prxi. V práci je uveden potřebná mtemtická teorie, n kterou nvzují ekonomické plikce obě části jsou doplněny ilustrtivními příkldy. Text je rozdělen do čtyř kpitol. První tři kpitoly popisují mtemtickou teorii, která je potřeb v plikční části, tedy ve čtvrté kpitole. První kpitol nás uvede do problemtiky integrálního počtu, seznámí nás se zákldními pojmy, jko je primitivní funkce neurčitý integrál nučíme se metody výpočtu neurčitého integrálu. V druhé kpitole se seznámíme s pojmem určitý integrál, předstvíme si podmínky integrovtelnosti, vlstnosti metody výpočtu určitého integrálu. Třetí kpitol pojednává o pojmu nevlstní integrál. V těchto kpitolách byl využit především litertur [], [], [4], [5]. Příkldy v těchto kpitolách pochází především z []. Poslední kpitol je věnovná plikcím integrálního počtu v ekonomii zhrnuje čtyři podkpitoly. První podkpitol předstvuje celkové mezní veličiny, n nichž si předstvíme plikci neurčitého integrálu. V druhé podkpitole si uvedeme plikci určitého i neurčitého integrálu v oblsti investic tvorby kpitálu. Ve třetí podkpitole si povíme o stnovení součsné hodnoty csh-flow, k čemuž využijeme plikci určitého integrálu. V přípdě, že csh-flow trvá věčně, jedná se o plikci nevlstního integrálu. Závěrečná podkpitol pojednává o Domrově modelu růstu. V plikční části byl především využit litertur [], ze které byly čerpány i ilustrční příkldy. Předpokldem k porozuměním textu je znlost diferenciálního počtu zákldů ekonomické teorie n úrovni ekonomických kurzů vysokých škol. 4

6 . Neurčitý integrál Vznik integrálního počtu se dtuje k přelomu století úzce souvisí s diferenciálním počtem. Zákldy integrálního diferenciálního počtu položili vědci Isc Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz brtři Jkob Johnn Bernoulliovi. Integrce znmená proces, kdy hledáme primitivní funkci F n intervlu I k funkci f tk, by pltilo F = f. Proces integrce je opčnou opercí k derivování, kdy hledáme k funkci f její derivci f. Obshem této kpitoly budou definice zákldních pojmů integrálního počtu metody výpočtu... Primitivní funkce neurčitý integrál Zákldním pojmem integrálního počtu je primitivní funkce, proto zčneme s její definicí. Definice. Nechť jsou funkce f F definovány n intervlu I R. Řekneme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f n intervlu I, jestliže F (x) = f(x), x I. Nutno říci, že pokud některý z krjních bodů intervlu I do tohoto intervlu ptří, pk v tomto bodě x rozumíme symbolem F (x) příslušnou jednostrnnou derivci. Jelikož z existence vlstní derivce funkce plyne spojitost, je primitivní funkce ke kterékoliv funkci vždy n odpovídjícím intervlu spojitá. Příkld. Funkce F (x) = sin(x) je primitivní funkcí k f(x) = cos(x) n R, protože x R pltí, že (sin(x)) = cos(x). Tedy pltí výše zmíněný vzth F (x) = f(x), x I. Vět. Ke kždé funkci spojité n intervlu I existuje primitivní funkce n I. 5

7 Vět nepltí nopk. Může totiž existovt funkce, která není n intervlu I spojitá přesto k ní existuje n intervlu I primitivní funkce, npříkld funkce f(x) = { cos x + x sin x x, x =, je v bodě nespojitá přesto k ní existuje primitivní funkce F (x) = { x sin x x, x =. Ale pltí, že ke kždé elementární funkci existuje primitivní funkce. Ovšem ne ke kždé funkci musí existovt primitivní funkce. Primitivní funkce F (x) všk není určen zcel jednoznčně, což si uvedeme v následující větě. Vět. Je-li F primitivní funkce k funkci f n I c R libovolné číslo, potom kždá funkce G(x) = F (x) + c, x I je primitivní funkcí k f n I. Pokud má funkce f(x) lespoň jednu primitivní funkci F (x), pk jich má nekonečně mnoho, protože k primitivní funkci můžeme přičítt odečítt libovolné reálné číslo c tk ji měnit. Definice. Neurčitým integrálem funkce f n intervlu I nzýváme množinu všech primitivních funkcí k funkci f n I, tj. množinu f(x) dx = {F (x) + c; c R, F (x) je primitivní funkce k f}. Proces hledání primitivní funkce F k funkci f se nzývá integrování. Poznámk. Pro výpočty se využívá následující znčení: f(x)... integrovná funkce nebo-li integrnd, x... integrční proměnná, dx... symbol, který určuje, podle které proměnné se integruje. 6

8 .. Metody výpočtu Proces integrce nebo-li integrování je výrzně složitější než proces derivování. Mnohdy nejsme ni schopni určit primitivní funkci, i když existuje. Existují zde pouze doporučené postupy k integrování všech elementárních funkcí. Ze známých vzorců z diferenciálního počtu plynou tyto vzorce:. dx = x + c R, x R. x n dx = xn+ n+ + c n N, x R. x α dx = xα+ α+ + c α R \ { }, x R+ 4. dx = ln x + c x R \ {} x 5. e x dx = e x + c x R 6. x dx = x ln + c R+ \ { }, x R 7. sin x dx = cos x + c x R 8. cos x dx = sin x + c x R 9. dx = tn x + c x R \ { π + kπ, k Z} cos x. dx = cotg x + c x R \ {kπ, k Z} sin x. +x dx = rctn x + c x R. x dx = rcsin x + c. f (x) f(x) dx = ln f(x) + c c x (, ), kde c R R 4. f(x + b) dx = F (x + b) + c c R Výše zmíněné vzorce budeme užívt při výpočtu primitivních funkcí. 7

9 Vět. Nechť k funkcím f g existují primitivní funkce n I nechť c R. Potom funkce f ± g, c f mjí primitivní funkce n I pltí (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx, c f(x) dx = c f(x) dx. Pokud tedy integrujeme součet funkcí, můžeme tyto funkce integrovt zvlášť pokud se jedná o součin funkce s konstntou c, můžeme c vytknout integrovt pouze funkci. Příkld. [Děmidovič, př. 75] Njděte primitivní funkci k funkci f(x), která má následující zdání x (, ), f(x) = x + x,, x x (, ). Řešení: Výpočet budeme provádět po jednotlivých intervlech. Pro x (, ) pltí dx = x + c, pro x, pltí (x + )f dx = x + x + c pro x (, ) pltí x dx = x + c. Výsledné řešení bude kvůli spojitosti ve tvru x + c x (, ), x F (x) = + x + c x,, x + + c x (, ). Povšimněme si, že v intervlu (, ) je odlišný výsledek, než ke kterému jsme došli ve výpočtech. Je tomu tk, protože v intervlu, se nchází funkce x + x + c v bodě [, ] v tomto bodě je potřeb nvázt i funkcí x + c. Proto se přičítá k této funkci. 8

10 Příkld. [Děmidovič, př. 78] Njděte primitivní funkci k funkci f(x), je-li f (x ) =, x >. x Řešení: Určíme si tedy f (x) = x, x > vypočteme neurčitý integrál x dx = x = x + c, c R. Čsto se používjí k výpočtu neurčitého integrálu složitější metody než pouhá plikce známých vzorců plynoucích z diferenciálního počtu. V následujícím textu si předstvíme metodu per prtes substituční metodu, které ovšem neopomeneme kombinovt se známými vzorci. V integrálním počtu se objevuje jedn z obtíží to, že neexistuje vzorec n primitivní funkci součinu. Přesto je tu le řešení - metod per prtes. Tto metod nám umožňuje převést součin funkcí n jiný součin funkcí, což v některých přípdech usndní hledání primitivní funkce. Vět 4. (Metod per prtes) Nechť funkce u v mjí n intervlu I derivce u v. Existuje-li n I primitivní funkce k jedné z funkcí u v, uv, existuje i k druhé z nich pltí u(x)v (x) dx = u(x)v(x) u (x)v(x) dx. Příkld 4. [Děmidovič, př. 76] Njděte primitivní funkci k funkci xf (x). Řešení: xf (x) dx = u = x u = v = f (x) v = f (x) = xf (x) f (x) dx = xf (x) f(x) + c, c R. 9

11 Příkld 5. [Děmidovič, př. 6] Njděte primitivní funkci k x rctn( x) dx. Řešení: x u = rctn( x) u = rctn( x) dx = x(+x) v = x v = x = x rctn( x) x x( + x) dx = x rctn( x) x + dx = + x x rctn( x) x + ln + x x + x dx = x rctn( x) + x dx = x rctn( x) = (x rctn( x) x + ln + x ) + c, c R. Metodu per prtes je výhodné plikovt npříkld n tyto typy funkcí: P (x) sin(αx), P (x) cos(αx), P (x)e αx, P (x) ln x, P (x) rctn x, kde P oznčuje polynom. Při výpočtu složitých výrzů se snžíme situci co nevhodněji zjednodušit, k čemuž využíváme metodu substituce. Vět 5. (První vět o substituci) Má-li funkce ϕ : I I derivci v kždém bodě intervlu I je-li F primitivní funkce k funkci f : I R n intervlu I, potom n intervlu I pltí f(ϕ(x))ϕ (x) dx = f(t) dt, t = ϕ(x). Nyní si ukážeme použití první věty o substituci n příkldech. Příkld 6. [Děmidovič, př. 77] Njděte primitivní funkci k funkci f (x). Řešení: f (x) dx = = x d = dx = f () d = f() = f(x) + c, c R.

12 Příkld 7. [Děmidovič, př. 9] Njděte primitivní funkci k Řešení: = = xn d = nx n dx = n x n x n x n + dx = x n x n x n + dx. n x n + dx = x n x n n x n + dx = x n nx n n x n + dx = + d = + d = ( n + n + = n ( ln + ) = n (xn ln x n + ) = xn n ln xn + + c, c R. n ) d = K výpočtům je někdy velmi nápomocná druhá vět o substituci, kterou si předstvíme tktéž n příkldě. Vět 6. (Druhá vět o substituci) Nechť f je funkce definovná n intervlu I, ϕ je funkce mjící nenulovou derivci n intervlu I nechť ϕ(i ) = I. Potom n intervlu I pltí f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt, t = ϕ (x). Nutno ještě poznment, že metodu per prtes metody substituce lze kombinovt dohromdy. Příkld 8. [Děmidovič, př. 54] Vypočtěte sin x cos x sin x + 4 cos x dx. sin x cos x Řešení: Funkce sin x + 4 cos x je definovná n intervlu I = R. Potřebujeme njít funkci ϕ, která má nenulovou derivci n intervlu I, ϕ(i ) = R hlvně, by šl primitivní funkce f(ϕ(t))ϕ (t) dt určit. V tomto přípdě bude vhodné zvolit ϕ(t) = tn x, t I = ( π + kπ, π + kπ), kde k Z. Pltí tedy ϕ(i ) = R. K výpočtu primitivní funkce využijeme vzthu sin x = t + t cos x = t. Z užité substituce vyjádříme x = rctn t dx = dt. Po + t +t doszení sin x cos x sin x + 4 cos x dx = 4t t +t +t ( t +t ) + 4 ( t dt ) + t = +t t + 4t t 4 + t + dt.

13 Zlomek t + 4t t 4 + t + lze rozložit n prciální zlomky t + 4t t 4 + t + = t + 4t (t t + )(t + t + ) = u + u t t t + + u 4 + u t t + t +. Odtud vyjádříme t + 4t = (u + u t)(t + t + ) + (u 4 + u t)(t t + ) úprvou získáme soustvu rovnic = u + u 4, 4 = u + u + u u 4, = u + u u + u 4, = u + u. Řešením soustvy rovnic je u =, u =, u =, u 4 = 5. Po doszení do neurčitého integrálu obdržíme ( + t t t t ) dt = + t t + t + 4 t t + dt + 5 t 4 t + t + dt = = ( ) t 4 t t dt + ( ) t t t + 4 t + t + 4 dt = t + t + = t 4 t t + dt + dt t t + + t 4 t + t + dt dt t + t +. Pro integrál t 4 t t + dt užijeme substituci = t t +, d = (t ) dt podobně u integrálu t 4 t + t + dt užijeme b = t + t +, db = (t + ) dt, dojdeme k d 4 + dt t t + db 4 b dt t + t +. Výrzy t t + t + t + uprvíme n čtverec ( t ) +, ( ) t Užijeme substituce n uprvené výrzy c = t, dc = dt e = t +, de = dt, dostneme d 4 + de 4 dc c db b de e e +. = 4 d + 4 dc 4 c + db 4 b

14 Provedeme-li dlší substituce f = c, df = dc g = e, dg = de, lehce získáme primitivní funkci d 4 + df f + 4 db b dg g + = ln + rctn f 4 ln b rctn g = 4 4 ln + rctn f rctn g, b zpětným doszením všech užitých substitucí obdržíme 4 ln tn x tn x + tn x + tn x + + rctn ( tn x ) rctn ( tn x + ). Argument logritmu tn x tn x + sin x tn x + tn x lze uprvit n. Protože je funkce + + sin x rctn(x) lichá, pltí rctn(x) = rctn( x) pomocí vzorce uprvíme rozdíl rctn ( ) x y rctn(x) + rctn( y) = rctn + xy ( tn x ) rctn Výslednou primitivní funkci si oznčíme F (x) ( tn x + ) ( = rctn F (x) = ( 4 ln sin x + sin x + ) rctn + tn x. + tn x Primitivní funkce F (x) je řešením pouze n intervlech ( π + kπ, π + kπ), kde k Z. V krjních bodech vypočteme limity ( lim F (t) = ) ln + rctn = + rctn =, t π + 4 ( lim F (t) = ) ln + rctn = + rctn =. t π 4 ).

15 Výsledné řešení n celé množině R je F (x) + c, c R, k Z, kde ( F (x) = 4 ln sin x + sin x + ) rctn + tn x x ( π + kπ, π + kπ), x = π + kπ.. Určitý integrál Vývoj určitého integrálu prošel dlouhou cestou. N jeho vývoji se podílel frncouzský mtemtik Augustin-Louis Cuchy o to, jk ho dnes známe, se zsloužil především německý mtemtik Georg Friedrich Bernhrd Riemnn. Proto se určitý integrál nzývá Riemnnův integrál. Název určitý integrál stejně tk jko název neurčitý integrál zvedl Leibnizův žák Johnn Bernoulli. V této kpitole se změříme n definice, podmínky integrovtelnosti, vlstnosti výpočet určitého integrálu... Definice určitého integrálu Určitý integrál byl vyvíjen především z účelem určení obshu plochy pod nezápornou omezenou funkcí f(x) n intervlu, b, viz obrázek. Ploch pod funkcí f(x) se proximuje pomocí útvrů, jejichž obsh umíme sndno počítt - obdélníků. Definice. Dělením uzvřeného intervlu, b nzýváme jkoukoliv konečnou množinu bodů D = {x, x,..., x n } ležících v intervlu, b tkovou, že = x < x <... < x n < x n = b. Body x, x,..., x n se nzývjí dělící body intervlu, b ; intervl x i, x i se nzývá i-tý dělící intervl; číslo x i = x i x i se nzývá délk i-tého dělícího intervlu. Kždý intervl, b lze dělit nekonečně mnoh různými způsoby. Množin všech dělení intervlu, b se znčí D(, b ) nebo jen D, pokud je zřejmé, že jde o intervl, b. 4

16 y y = f(x) O b x Obrázek Definice 4. Nechť je funkce f omezená n intervlu, b nechť D = {x,..., x n } je nějké dělení intervlu, b. Oznčme pro všechn i =,..., n m i = inf{f(x); x x i, x i }, M i = sup{f(x); x x i, x i }. Potom číslo s(f, D) = n m i (x i x i ) = i= n m i x i i= nzveme dolním (Riemnnovým) součtem funkce f při dělení D číslo S(f, D) = n M i (x i x i ) = i= n M i x i i= nzveme horním (Riemnnovým) součtem funkce f při dělení D. Číslo s(f, D) vyjdřuje součet obshů obdélníků pod funkcí f(x), kde uvžujeme nejmenší hodnoty m i číslo S(f, D) vyjdřuje součet obshů obdélníků pod funkcí f(x), kde uvžujeme největší hodnoty M i, viz obrázky. 5

17 y x = x x x x x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = b Obrázek : s(f, D) y x = x x x x x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = b Obrázek : S(f, D) Z obrázků je ptrné, že dolní horní součty budou tím lépe proximovt obsh pod funkcí f(x), čím jemněji rozdělíme intervl, b. Zjemnění intervlu, b provedeme přidáním k původnímu dělení dlší dělící body. 6

18 Vět 7. Nechť f je omezená n intervlu, b nechť D, D D(, b ). Potom pltí m (b ) s(f, D ) S(f, D ) M (b ), kde m = inf {f(x); x, b }, M = sup {f(x); x, b }. Z věty 7 je ptrné, že funkce f n intervlu, b nbývá své nejmenší hodnoty m své největší hodnoty M. V tomto přípdě je horní i dolní součet funkce f omezený shor i zdol to nás oprvňuje zvést definici 5. Definice 5. Nechť f je omezená n intervlu, b. Potom se číslo b f(x) dx = sup {s(f, D); D D(, b )} nzývá dolní (Riemnnův) integrál funkce f n intervlu, b číslo b f(x) dx = inf {s(f, D); D D(, b )} se nzývá horní (Riemnnův) integrál funkce f n intervlu, b. Definice 6. Nechť f je omezená n intervlu, b. Jestliže b f(x) dx = b f(x) dx, říkáme, že funkce f je riemnnovsky integrovtelná n, b, znčíme f R(, b ). Společnou hodnotu dolního horního Riemnnov integrálu nzveme Riemnnovým integrálem funkce f n intervlu, b, znčíme b f(x) dx ( přípdně (R) b ) f(x) dx. 7

19 Funkce, která není riemnnovsky integrovtelná, je npříkld Dirichletov funkce. Tto funkce má dolní integrál menší než horní integrál, tudíž není splněn vzth z definice 6. Dirichletov funkce není spojitá n intervlu, b, proto neexistuje Riemnnův integrál... Podmínky integrovtelnosti Abychom mohli funkci f integrovt n uzvřeném intervlu, b, musí splňovt následující podmínky. Vět 8. (Nutná postčující podmínk) Nechť f je omezená n intervlu, b. Potom f R(, b ) ε > D D(, b ) : S(f, D) s(f, D) < ε. Vět 9. Nechť f splňuje jednu z podmínek: monotónnost n intervlu, b, spojitost n intervlu, b, omezenost n intervlu, b nechť má n, b jen konečně mnoho bodů nespojitosti. Pk f R(, b ). Nutnou podmínkou integrovtelnosti je, by funkce f byl omezená n intervlu, b. Postčující podmínkou je, by funkce f byl n intervlu, b omezená, monotónní nebo spojitá. Vět. Nechť f g jsou omezené n intervlu, b nechť f g jen v konečně mnoh bodech z, b. Potom f R(, b ) g R(, b ), přičemž se integrály těchto funkcí rovnjí. 8

20 .. Vlstnosti R-integrálu Vlstnosti Riemnnov určitého integrálu rozlišujeme v závislosti n funkci, kterou budeme integrovt v závislosti n intervlu, přes který integrujeme. Nejprve se změříme n závislost n funkci poté n závislost n intervlu. ) v závislosti n funkci, kterou integrujeme V následující větě si uvedeme vlstnosti R-integrálu, které je nutné při výpočtech zohledňovt. Integrce součtu funkcí nebo součinu konstnty funkce má podobné vlstnosti jko pro neurčitý integrál. Vět. Nechť pltí f, g R(, b ) c R: pokud čísl k, K R jsou tková, že k f(x) K x, b pltí k (b ) b f(x) dx K (b ), pk f + g R(, b ) b (f(x) + g(x)) dx = b f(x) dx + b g(x) dx, pk c f R(, b ) pltí b c f(x) dx = c b f(x) dx, pokud f(x) g(x) x, b, pk pltí b f(x) dx b g(x) dx, pk f R(, b ) pltí b f(x) dx b f(x) dx, pltí f g R(, b ), pokud c > tk, že g(x) c n, b pltí f g R(, b ). 9

21 b) v závislosti n intervlu, přes který integrujeme V některých přípdech je vhodné určitý integrál funkce f(x), která je definovná n intervlu, b, rozdělit n součet dvou určitých integrálů, jejichž meze odpovídjí podintervlům, c c, b, což je grficky znázorněno n obrázku 4 popsáno v následující větě. y f(x) c b x Obrázek 4 Vět. Nechť < c < b,, b, c, R, nechť f R(, c ) f R( c, b ). Potom f R(, b ) pltí b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx. Vět. Nechť f R(, b ) c, d, b. Potom f R( c, d )..4. Výpočet R-integrálu Pro výpočet určitého integrálu se používá substituční metod metod per prtes stejně jko u výpočtu neurčitého integrálu. Nejdříve si uvedeme Newton- Leibnizův vzorec, bychom mohli tyto metody výpočtu používt. Vět 4. (Newton-Leibnizův vzorec) Nechť f R(, b ) F je primitivní funkce k f n, b. Potom pltí b f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F ().

22 Poznmenejme, že u určitého integrálu už neuvádíme konstntu c, protože výsledná hodnot b f(x) dx n ní nezávisí, pltí totiž b f(x) dx = [F (x) + c] b = = (F (b) + c) (F () + c) = F (b) + c F () c = F (b) F (). Pro jednoduchost tedy volíme c =. Vět 5. (Metod per prtes) Nechť funkce u v mjí derivce n intervlu, b nechť u, v R(, b ). Potom b b u(x)v (x) dx = [u(x)v(x)] b u (x)v(x) dx = = u(b)v(b) u()v() b Příkld 9. [Děmidovič, př. 4] Vypočtěte integrál Řešení: Integrál mezemi e e e ln x dx + u (x)v(x) dx. e e ln x dx. ln x dx lze rozdělit n součet dvou integrálů s rozdílnými e ln x dx, což nám podsttně usndní výpočet. Odtud lze použít n ob integrály stejnou metodu per prtes jednoduše dojít k řešení ( ) e ln x dx + e e + ([x ln x] e ( ( = e e ln x dx = u = ln x u = x v = v = x = [x ln x] e ) (( dx = + ) ) [x] + ((e ) [x] e e ) = e )) ) + = e ( + = ( + (e (e )) = e e dx + e Vět 6. (Substituční metod) Nechť má funkce t = ϕ(x) spojitou derivci n, b nechť f je spojitá n H ϕ (obor hodnot funkce ϕ). Potom b f(ϕ(x)) ϕ (x) dx = t = ϕ(x) dt = ϕ (x) dx x = t = ϕ() x = b t = ϕ(b) = ϕ(b) ϕ() f(t) dt. ).

23 Poznámk. Pokud měníme proměnnou, npř. u substituce, tk musíme uprvit integrční meze. U substituce můžeme zvolit i jiný postup vyhnout se přepočítání mezí. Lze nejprve určit primitivní funkci, pk se vrátit k původní proměnné následně dosdit do Newton-Leibnizov vzorce. Poznámk. Pokud je = b, pk definujeme b f(x) dx =. A pokud je b < f R(, b ), definujeme b f(x) dx = b f(x) dx. Příkld. Vypočtěte integrál Řešení: x(x 4) 4 dx = x(x 4) 4 dx. = x d = x dx = dx = d d = x 5 4 d = [ 5 5 ] 5 = 54, kde jsme přepočítli horní mez 4 = 5 dolní mez ( ) 4 =. Druhou možností je vypočítt nejdříve primitivní funkci x(x 4) 4 dx = = = x 4 4 d = x dx = dx = d d = x do Newton-Leibnizov vzorce 4 d = (x 4) 5 + c pk dosdit [ (x x(x 4) 4 4) 5 dx = ] = 55 = 54.

24 π Příkld. [Děmidovič, př. 79] Vypočtěte integrál e x cos x dx. Řešení: Nejdříve provedeme úprvu výrzu cos x pomocí známých goniometrických vzorců n cos cos x + x =. Dosdíme-li uprvený vzorec do integrálu, dojdeme k π e x cos x dx = π e x (cos x + ) dx = Nyní se podíváme blíže n výpočet výrzu π π e x dx + e x cos x dx. π e x cos x dx. π e x cos x dx = u = [ ] ex u = e x π π v = cos x v = = sin x ex sin x ex sin x dx = ( ) = eπ π e x sin x dx = u = ex u = e x v = sin x v = = cos x = ([ ] π ex cos x + π ) ( ) e e x π cos x dx = π e x cos x dx 4 4 Vidíme, že jsme došli zse ke stejnému výrzu proto π ( ) e e x π cos x dx = π e x cos x dx, 4 4 Pk tedy 5 4 π π e x cos x dx = eπ, 4 e x cos x dx = 4 ( ) e π 5 4 = eπ. 5 π e x dx + π = 5eπ 5 + e π e x cos x dx = [ex ] π + eπ 5 = 6eπ 6 = 5 (eπ ). = eπ + eπ =

25 Příkld. [Děmidovič, př. 7] Vypočtěte integrál Řešení: e (x ln x) dx = e x = e e ln x x dx = ([ x ln x = e e = 5e 7 ( e x ln x dx = u = ln x u = ln x x v = x v = x ( ) e e ] e e ) x dx = e ) = e e 9 + e 7 e (x ln x) dx. [ x = ln x ] e x ln x dx = u = ln x u = x v = x = v = x ( ) e + [ ] x e = = 9e 6e + e 7 = Příkld. [Děmidovič, př. 76] Vypočtěte integrál π dx sin 4 x + cos 4 x. Řešení: V tomto přípdě nejdříve vyšetříme primitivní funkci poté dosdíme do Newton-Leibnizov vzorce. K výpočtu užijeme substituce u = tn x, protože zde pk pltí vzthy sin x = u + u cos x =. Ze substituce vyjádříme + u x = rctn u, dx = du. Po doszení + u dx sin 4 x + cos 4 x = u 4 + (+u ) (+u ) du + u + u = + u du. 4 Zlomek + u rozložíme n prciální zlomky + u4 u + u 4 + = u + (u u + )(u + u + ) = t + t u u u + + t 4 + t u u + u +. Vyjádříme si u + = (t +t u)(u + u+)+(t 4 +t u)(u u+) úprvou 4

26 získáme soustvu rovnic = t + t 4, = t + t + t t 4, = t + t t + t 4, = t + t. Řešením soustvy rovnic je t =, t =, t =, t 4 =. Po doszení obdržíme u + u 4 + du = = (u u + ) + (u + u + ) du = du u u + + du u + u +. Výrzy u u + u + u + uprvíme n čtverec (u ) +, (u + ) +. N uprvené výrzy plikujeme substituci = u, d = du b = u +, db = du, dojdeme k d + + db b + = d + + db b +. Použijeme-li substituci c =, dc = d e = b, de = db, vypočítáme primitivní funkci dc c + + de e + = rctn c + rctn e. Zpětným doszením všech užitých substitucí získáme (rctn( tn x ) + rctn( ) tn x + ), ( ) x + y využitím vzorce rctn(x) + rctn(y) = rctn uprvíme n xy ( ) tn x rctn. 5

27 Primitivní funkce, ke které jsme došli je pouze řešením n otevřených intervlech ( π 4 + k π, π 4 + k π ), kde k Z. Jk je vidno, primitivní funkce není spojitá v krjních bodech proto v těchto bodech vypočteme limity ( ) tn t lim rctn = ( ) rctn = rctn( ) = π t ( π 4 +k π )+, ( ) tn t lim rctn = ( ) rctn = rctn( ) = t ( π 4 +k π ) π. Aby byl primitivní funkce spojitá ne celé množině R je nutné tuto funkci uměle npojit. Primitivní funkce je rovn F (x) + c, c R, k Z, kde ( ) tn x rctn + k π ) x ( π4 + k π, π4 + k π, F (x) = π + k π x = ( π + kπ, π + kπ). 4 4 Konečně se dostáváme k výpočtu určitého integrálu. Meze určitého integrálu se pohybují v uzvřeném intervlu, π. Pro výpočet F () využijeme předpis pro k = F () = ( ) tn rctn + π = rctn = pro výpočet F (π) využijeme předpis k = 4 F (π) = ( ) tn π rctn + 4 π = rctn + π = π. Konečný výsledek určitého integrálu π dx sin 4 x + cos 4 x F (π) F () = π = π. vypdá tkto 6

28 . Nevlstní integrál V předchozí kpitole, která se věnovl určitému integrálu jsme předpokládli, že integrujeme přes intervl, který je uzvřený funkce y = f(x) je omezená. Pokud le není některý z těchto předpokldů splněn, pk mluvíme o nevlstním integrálu. Můžeme se setkt npříkld s otevřenými intervly typu (, b,, ) nebo (, ). Rozlišujeme nevlstní integrál prvního druhu druhého druhu. Rozlišení integrálu n vlstní nevlstní určitý integrál provedl ve své hbilitční práci Georg Friedrich Bernhrd Riemnn. Definice 7. Nechť funkce f je riemnnovsky integrovtelná n intervlu, x pro všechn x > existuje konečná lim nevlstním integrálem. druhu píšeme t t f(x) dx, pk tuto limitu nzveme f(x) dx = lim t t f(x) dx. Poznámk 4. Obdobně definujeme nevlstní integrál. druhu vzhledem k dolní mezi b f(x) dx = lim t b t f(x) dx. Jedná-li se o nevlstní integrál vzhledem k dolní i k horní mezi, pk lze tento integrál vyjádřit jko součet dvou integrálů, z kterých je jeden nevlstní vzhledem k dolní mezi druhý je nevlstní k horní mezi. Definice 8. Nechť funkce f je definovná n omezeném intervlu, b) není omezená n žádném levém okolí bodu b, existuje-li konečná lim t b tuto limitu nzveme nevlstním integrálem. druhu píšeme t f(x) dx, pk b f(x) dx = lim t b t f(x) dx. 7

29 Poznámk 5. Obdobně definujeme nevlstní integrál. druhu vzhledem k dolní mezi b f(x) dx = lim t + b t f(x) dx. Jestliže se jedná o nevlstní integrál, který obshuje nevlstní integrál prvního i druhého druhu, pk tkový integrál rozdělíme n součet dvou integrálů, ze kterých je kždý nevlstním integrálem právě jednoho druhu. Můžeme se setkt s odlišnými názvy nevlstních integrálů, kdy nevlstní integrál prvního druhu bývá nzýván jko nevlstní integrál vlivem meze nevlstní integrál druhého druhu jko nevlstní integrál vlivem funkce. Příkld 4. [Děmidovič, př. 4] Vypočtěte nevlstní integrál dx ( x) x. Řešení: Nejprve si vypočítáme primitivní funkci dx ( x) x = = x d = dx = = d ( + ) + = b = + = b = db = d + b + db = rctn b = rctn + = rctn x nyní výslednou primitivní funkci rctn x dosdíme zpět do nevlstního integrálu dx t ( x) x = lim dx t ( x) x = lim [ ] t rctn x = t = rctn + rctn = + π 4 = π. 8

30 x + Příkld 5. [Děmidovič, př. 4] Vypočtěte nevlstní integrál x 4 + dx. Řešení: Nejprve si rozložíme zlomek x + x 4 + n prciální zlomky x + x 4 + = x + (x x + )(x + x + ) = t + t x x x + + t 4 + t x x + x +. Odtud vyjádříme x + = (t + t x)(x + x + ) + (t 4 + t x)(x x + ) úprvou získáme soustvu rovnic = t + t 4, = t + t + t t 4, = t + t t + t 4, = t + t. Řešením soustvy rovnic je t =, t =, t =, t 4 =. Po doszení do nevlstního integrálu obdržíme x + x 4 + t ( dx = lim t (x x + ) + (x + x + ) ) dx, nevlstní integrál lze rozdělit n součet dvou nevlstních integrálů se stejnými mezemi provedeme vytknutí konstnty, tzn. t lim t x x + dx + t lim t Ob jmenovtele uprvíme n čtverec t lim t dx (x ) + + t lim t x + x + dx. dx (x + ) + 9

31 dále plikujeme substituce t lim t dx (x ) + + t lim t dx (x + ) + = = x d = dx = = lim t t d + + t lim t dx (x + ) + = u = x + du = dx = = lim t t d + + lim t t+ du u + = b = db = d = lim t t db b lim t t+ du u + = v = u dv = du = lim t t db b + + lim t t+ dv v +. Odtud už lze lehce dopočítt primitivní funkci lim [rctn b] t t + lim [rctn v] t+ t = = ( lim (rctn( t )) + π ) + ( lim t 4 (rctn( t + )) π ) = t 4 = ( π + π ) + ( π 4 π ) = π. 4

32 4. Aplikce integrálního počtu v ekonomii Integrální počet nbízí širokou pletu možností při řešení problémů v reálném světě, je využíván především ve vědních oborech, npříkld ve fyzice, mtemtice, sttistice, ekonomii v mnoh dlších. V této kpitole se podíváme n plikci integrálního počtu v ekonomii, konkrétně v oblsti celkových mezních veličin, dále budeme pokrčovt investicemi tvorbou kpitálu, součsnou hodnotou csh-flow n závěr se změříme n Domrův model růstu. 4.. Celkové mezní veličiny Celkové mezní veličiny spdjí do ekonomické teorie mezního (mrginálního, hrničního) užitku, která se zbývá změnmi nbídky poptávky. Zákldy této teorii položili Crl Menger Willim Stnley Jevons. Úloh o nlezení celkové veličiny prostřednictvím mezní veličiny je jednou z nejčstěji řešených úloh pomocí neurčitého integrálu v oblsti ekonomie. Mezní veličin je přírůstková veličin vyjdřuje změnu celkové veličiny při velmi mlé změně proměnné. Mezní veličin je vyjádřen jko derivce celkové veličiny f(x) podle proměnné x, tzn. mezní veličin = df(x) dx, kde předpokládáme, že celkové i mezní veličiny jsou spojité. Z předchozího textu vzthu mezi diferenciálním integrálním počtem vyplývá, že celkovou veličinu f(x) získáme integrcí mezní veličiny f(x) = mezní veličin dx.

33 Mezních veličin existuje nespočet proto si uvedeme pouze jedny z nejužívnějších: mezní nákldy MC = dt C dq, mezní příjem MR = dt R dq, mezní užitek MU = dt U dx, mezní sklon ke spotřebě mpc = dc dy, mezní sklon k úsporám mps = ds dy, kde jsou T C celkové nákldy, T R celkové příjmy, Q celková produkce, T U celkový užitek, x sttek, Y důchod, C spotřeb S úspor. V jiných literturách se můžeme setkt se změněním pojmu mezní veličiny s pojmem mrginální veličiny, le jedná se stále o tutéž mikroekonomickou veličinu. Příkld 6. [Ching, str. 464] Nechť je zdná mrginální funkce důchodu: ) R (Q) = 8Q e,q, b) R (Q) = ( + Q). Njděte v jednotlivých přípdech celkovou funkci důchodu R(Q). Řešení: d ) R(Q) = R (Q) dq = t =, Q Q = dt =, dq = 8 dq = dt,, d b) R(Q) = R (Q) dq = = dt = t t = t (8Q e,q ) dq = 8 Q dq e,q dq = e t dt = 4Q et = 4Q e,q + c, c R dq = ( + Q) = + Q + c, c R dq ( + Q) = t = + Q dt = dq =

34 Příkld 7. [Ching, str. 465] Nechť je zdán funkce mezního sklonu k importu M (Y ) =, informce, že M = při Y =. Njděte funkci importu M(Y ). Řešení: M(Y ) = M (Y ) dy =, dy =, Y + c, c R Dosdíme-li do rovnice známé informce, vypočítáme konstntu c. M(Y ) =, Y + c =, + c c = Konečná funkce importu je M(Y ) =, Y +. Příkld 8. [Ching, str. 465] Nechť je zdán funkce mezního sklonu ke spotřebě C (Y ) =, 8 +, Y informce, že C = Y při Y =. Njděte funkci spotřeby C(Y ). Řešení: C(Y ) = C (Y ) dy = (, 8 +, Y ) dy =, 8Y +, Y + c, c R Dosdíme-li do rovnice známé informce, vypočítáme konstntu c. C(Y ) =, 8Y +, Y + c =, 8 +, + c c = 8 = 8 Konečná funkce spotřeby je C(Y ) =, 8Y +, Y + 8.

35 4.. Investice tvorb kpitálu Problemtiku investicí tvorby kpitálu lze řešit jk pomocí neurčitého, tk určitého integrálu. Pomocí určitého integrálu budeme řešit úlohy, kde potřebujeme njít množství kpitálu z určitý čsový intervl. Investicí rozumíme část příjmů, které jsou vloženy do kpitálu, konkrétně do dlouhodobých sttků, které přinášejí prospěch. Tvorb kpitálu je tvořen n zákldě investic, kde dochází ke změně zákldního kpitálu. Předpokldem zde ovšem je úspor peněžních prostředků jejich následné investování do kpitálu. Pokud tento proces budeme pozorovt spojitě v čse, lze vyjádřit zákldní kpitál jko funkci čsu K(t). Zderivujeme-li funkci zákldního kpitálu podle proměnné t, dostneme se k míře tvorby kpitálu. Mír tvorby kpitálu je totožná s mírou toku čisté investice v čse I(t). Pltí tedy I(t) dk dt potom K(t) = I(t) dt = dk dt dt. Abychom pochopili rozdíl mezi veličinmi K(t) I(t) je nutné zdůrznit, že kpitál K má kumulující chrkter, kdežto investice I je průtokového chrkteru. Funkce K(t) odráží množství kpitálu v dném okmžiku funkce I(t) nás informuje o rychlosti investice z rok nebo určitý čsový intervl. Občs se do modelu zhrnou i hrubé investice I g, které obshují mortizci. Pro hrubé čisté investice pltí vzth I g = I + δk, kde δ předstvuje odpisovou szbu z kpitálu δk obměnu investic. 4

36 Příkld 9. [Ching, str. 465] Předpokládejme, že mír investic je popsán funkcí I(t) = t pltí K() = 5. ) Určete čsový průběh zákldního kpitálu. b) Určete množství kumulce kpitálu během příslušných čsových intervlů,,. Řešení: d ) K(t) = I(t) dt = t dt = 4 t 4 = 9t 4 + c, c R Nyní srovnáme výši zákldního kpitálu v čse, tedy t =, odtud zjistíme výši konstnty c K() = 9 + c, je zjevné, že c = 5 dosdíme zpět do rovnice. Čsový průběh zákldního kpitálu se tedy rovná K(t) = 9t d b) K výpočtu zvolíme určitý integrál ve tvru dosdíme intervly,,. N intervlu, pltí b I(t) dt, kde z intervl, b K(t) = I(t) dt = t dt = [ 4 t 4 ] ( ) = = 4 = 9 n intervlu, pltí K(t) = I(t) dt = t dt = [ 4 t 4 ] ( ) = 4 4 = 9( ). 4 5

37 4.. Součsná hodnot csh-flow V této části využijeme znlostí určitého integrálu při stnovení součsné hodnoty csh-flow ve spojitém přípdě. Csh-flow předstvuje pohyb peněžních prostředků z určité období. Součsná hodnot je vztžen k referenčnímu dtu, které je dopředu dné v tomto přípdě leží před všemi pltbmi. Tudíž se všechny pltby musí převádět v čse směrem zpět k referenčnímu dtu pomocí diskontního fktoru v = + i, kde i předstvuje úrokovou míru vyjádřenou desetinným číslem. Referenční dtum lze chápt jko součsnou čsovou pozici. Při omezení se n jednu budoucí hodnotu V existují hodnotové vzorce: A = V ( + i) t A = V e rt diskrétní přípd, spojitý přípd, kde t oznčuje počet let r diskontní roční szbu. Nyní všk budeme předpokládt tok budoucích hodnot, npříkld sérii výnosů nebo pohledávek v různých čsech nebo nákldové výdje spltné v různých čsech. Pro diskrétní přípd budeme pro jednoduchost uvžovt tři budoucí příjmy R t (t =,, ), které jsou k dispozici vždy n konci t-tého roku. Součsná hodnot budoucích příjmů R t tedy bude R ( + i), R ( + i), R ( + i), kde i reprezentuje roční diskontní szbu. Tyto vzthy lze přepst pomocí sumy π = R t ( + i) t, t= kde π oznčuje součsnost. 6

38 Poznámk 6. Všimněme si, že pro jednu budoucí hodnotu pro tok budoucích hodnot, je tu pouze rozdíl v tom, že V bylo změněno s R t ve výpočtu přibyl sum. Ve spojitém přípdě budeme uvžovt kontinulitu peněžního toku. Jestliže oznčíme příjmy z rok jko R(t), pk to znmená, že v čse t = t je průtok příjmů ročně roven R(t ) pro t = t je průtok příjmů ročně roven R(t ). Pokud necháme čsový intervl dt nekonečně mnohokrát projít kždým okmžikem t, pk se výše příjmu v intervlu t, t + dt rovná R(t) dt. Při trvlém diskontování szbou r z rok, by měl být součsná hodnot rovn R(t)e rt dt. Pro předchozí diskontní přípd, kdy jsme řešili součsnou hodnotu tříletého proudu, bychom nšli odpověď použitím určitého integrálu π = R(t)e rt dt. () Poznámk 7. Oproti přípdu s uvžovnou jednou budoucí hodnotou jsme zde opět změnili V s R t přidli do výpočtu určitý integrál. Nutno poznment, že pokud jsou roční příjmy R(t) konstntní, oznčujeme je konstntou D, která vyjdřuje výši dolrů z rok. Příkld. [Ching, str. 465] Nechť je spojitý tok příjmů při konstntní rychlosti ve výši $/rok. ) Jká bude součsná hodnot π, jestliže tok příjmů trvá roky spojitá diskontní szb je, 5 z rok? b) Jká bude součsná hodnot π, jestliže tok příjmů končí přesně po letech diskontní szb je, 4? Řešení: d ) Podle předchozího vzthu () vypočítáme určitý integrál s mezemi y y R(t)e rt dt = y y De rt dt = D e rt dt = = rt d = r dt dt = r d == D ry e r d = = D r [e ] ry = D r ( e ry e ) = D r ( e ry ) = D r ( e ry ). 7

39 Nyní dosdíme z D =, r =, 5 y = dojdeme k součsné hodnotě toku příjmů π = ( ) e,5. = $9., 5 d b) Zde bychom stejně jko v předchozím bodě vypočítli neurčitý integrál, po doszení z D =, r =, 4 y =, dojdeme k π = D r ( ) e ry = ( ) e,4. = $87., Součsná hodnot věčného csh-flow Csh-flow může tké trvt věčně to v přípdě, že se jedná o vlstnictví věčného dluhopisu nebo o příjmy z nezničitelného mjetku, jko jsou pozemky. V tomto přípdě využíváme nevlstního integrálu součsná hodnot věčného csh-flow je rovn π = R(t)e rt dt. () Příkld. [Ching, str. 465] Určete součsnou hodnotu věčného peněžního toku při: ) $45 z rok diskontní szbě r = 5%, b) $46 z rok diskontní szbě r = 8%. Řešení: d ) Podle vzthu () vypočítáme neurčitý integrál R(t)e rt dt = = D r [e ] = D r = rt De rt dt = D e rt e dt = d = r dt = D dt = d r d = r ( ) e lim e = D r ( ) = D r. Po doszení D = 45 r =, 5, vypočteme součsnou hodnotu věčného peněžního toku π = 45, 5 = $9. 8

40 d b) Po vzoru předchozího bodu vypočteme neurčitý integrál dosdíme z D = 46 r =, Domrův model růstu π = D r = 46, 8 = $75. Po II. světové válce se mnozí ekonomové snžili o dynmizci Keynesovy Obecné teorie, včetně Američn E. D. Domr. Ve 4. letech. století Domr zveřejnil svou modelovou teorii růstu, le v téměř stejný okmžik byl zveřejněn Hrrodov teorie růstu. Tyto teorie nezávisle n sobě došly ke stejným závěrům proto se v litertuře čsto používá oznčení Hrrod-Domrův model růstu. Tento model je povžován z zákldní mkroekonomický model modeluje hospodářský růst. O něco později následovli modely dynmizce od N. Kldor, J. Robinsonové dlších. Evsey Dvid Domr žil v letech byl zástupcem keynesiánské školy, která věří, že zvyšování objemu peněz vede ke snižování nezměstnnosti. Nejdříve si předstvíme veličiny, se kterými budeme v následujícím textu prcovt: Velkým písmenem I budeme oznčovt investice. Pod pojmem investice si předstvíme tu část příjmu (důchodu), která je vložená do kpitálu. Investicím jsme se již věnovli v předchozím textu, konkrétně v kpitole 4.. Písmeno Y oznčuje důchod, nebo-li příjem. Mlé písmeno s je mezní sklon k úsporám, který vyjdřuje rekci úspor n změnu disponibilního důchodu. Pokud bychom chtěli zjistit celkovou výši výdjů, užijeme výdjový multiplikátor, který bude oznčen zlomkem. Výdjový multiplikátor vyjdřuje vzth mezi velikostí původního výdje s následný přírůstkem celkových výdjů. 9

41 Kpitál je oznčen písmenem K, kterým rozumíme vše, co je vkládné do výroby z účelem vzniku dlší hodnoty. κ znčí kpcitu nebo potencionální výstup průtoku z rok. ρ nám bude vyjdřovt kpcitu kpitálu. Po zvedení oznčení předstvení veličin vyslovíme zákldní poždvky n model: Změn v rychlosti přílivu investic z rok I(t) bude mít dvojí vliv to n gregátní poptávku n výrobní kpcitu ekonomiky. Při zvýšení I(t) se zvýší rychlost příjmů z rok Y (t), kde Y (t) = I(t) s s vyjdřuje mezní sklon k úsporám. Předpokld, že I(t) předstvuje výdjový tok, který ovlivňuje rychlost příjmového toku Y (t), nás oprvňuje k tvrzení, že dy dt = di dt s. () Kpcitní efekt investic se měří jko změn v rychlosti potenciálního výstupu, který dokáže ekonomik vyprodukovt. Z předpokldu, že je kpcit kpitálu konstntní, můžeme psát κ K = ρ, kde κ znčí kpcitu nebo potencionální výstup průtoku z rok ρ oznčuje kpcitu kpitálu. Ekonomik je potenciálně schopná vyprodukovt roční produkt nebo příjem ve výši κ ρk dolrů, kde K(t) oznčuje zásoby kpitálu v čse t. Rovnici κ ρk nzýváme jko produkční funkci vyplývá odtud, že dκ = ρ dk tedy pltí dκ dt = ρdk dt = ρi. (4) 4

42 V Domrově modelu růstu je rovnovážná situce v přípdě, že je výrobní kpcit plně využit. Pokud chceme dosáhnout rovnováhy, je nutné, by se gregátní poptávk přesně rovnl potencionálnímu výstupu vyrobeného v roce, kdy pltí Y = κ. Jestliže zčínáme v rovnovážném stvu, je nutné poždvek snížit n rovnost příslušných změn kpcity celkové poptávky, by pltilo dy dt = dκ dt. (5) Největší problém v tomto modelu je, jk stnovit čsový průběh investice I(t), bychom dosáhli rovnováhy z všech okolností. Dosdíme-li vzthy () (4) do rovnice (5) dostneme vzth di dt s = ρi nebo di I dt = ρs, (6) ze kterého bychom měli být schopni njít rovnováhu nebo poždovný čsový průběh investice. V tomto přípdě je řešením integrce obou strn druhé rovnice ze vzthu (6) s ohledem n t. Skutečnost, že obě strny jsou v rovnováze stejné, zjišťuje rovnost integrálů di I dt dt = ρs dt, kde ρ s předstvují konstnty. Po provedení úprv se dostneme k di I = ρs dt ln I = ρst + c e ln I = e ρst+c I = e ρst e c = Ae ρst, kde A e c. Pokud bychom uvžovli investici pozitivního chrkteru, pk I = I dostli bychom I(t) = Ae ρst, kde A je libovolná konstnt. Abychom se této libovolné konstnty zbvili, stnovíme t =, pk I() = Ae = A. Potom můžeme psát I(t) = I()e ρst, (7) 4

43 kde I() oznčuje počáteční míru investice. Příkld. [Ching, str. 469] Pokud víte, že konstnt r v exponenciální funkci Ae rt předstvuje rychlost růstu funkce, plikujte tuto skutečnost odvoďte vzth I(t) = I()e ρst bez použití integrce. Řešení: Ze zdání je ptrné I(t) = Ae rt. Nyní odvodíme vzth I(t) = I()e ρst, kdy se vrátíme v textu ke vzthu (6) budeme jej uprvovt di dt s = ρi. Zderivujeme-li investici I(t) podle proměnné t, dojdeme k rae rt = ρi, kde s je zřejmé, že rae rt = ri, můžeme tedy psát ri = ρi. Dále převedeme všechny s proměnné n levou strnu srovnáme s nulou ri ρi =, odtud lze vytknout s I z podmínky I vyjádřit r: I( r ρ) =, s r s = ρ, r = ρs. Pokud dosdíme do původní rovnice I(t) = Ae rt vypočítné r, dokážeme dný vzth I(t) = Ae ρst = I()e ρst, I() = Ae = A. Příkld. [Ching, str. 469] Dokžte, že i když bude investice ve stejné rovnici I = Ae ρst negtivní, n definici libovolné konstnty A se stále nic nezmění skončíme opět u řešení I(t) = I()e ρst. Řešení: Budeme vycházet z řešení předešlého příkldu, protože zdání se liší jen v detilech. 4

44 Ze zdání je ptrné I(t) = Ae rt. Dále je postup totožný jko v příkldě. Opět tedy zderivujeme investici I(t) podle proměnné t, převedeme proměnné n levou strnu srovnáme s nulou, vytkneme I z podmínky I vyjádříme r. N závěr dosdíme do rovnice I(t) = Ae rt vyjádřené r = ρs opět skončíme u stejného řešení I(t) = Ae ρst = I()e ρst, I() = Ae = A. Příkld 4. [Ching, str. 469] Dokžte, že výsledek I(t) = I()e ρst můžeme lterntivně získt nlezením srovnáním určitých integrálů n obou strnách vzthu di dt s Řešení: Zlomek di dt = ρi s ohledem n proměnnou t s limity integrce t = t = t. s = ρi, kde I di dt Tkto uprvený vzth zintegrujeme t jsou funkce proměnné t, uprvíme n di (t) dt I(t) = ρs. di (u) dt I(u) du = t ρs du n integrál n levé strně užijeme substituci ω = I(u), dω = di (u)du, tzn. dt Dojdeme k I(t) I() odkud vyjádříme poždovný vzth ω dω = t ρs du. [ln ω ] I(t) I() = [uρs]t, ln I(t) ln I() = tρs, ln I(t) I() = tρs, I(t) = I()e ρst. 4

45 Závěr Cílem práce bylo předstvit některé plikce integrálního počtu v ekonomii. V práci jsou uvedeny jk zákldní pojmy, vlstnosti vzthy integrálního počtu, tk i ekonomické plikce neurčitého, určitého i nevlstního integrálu. Aplikcí integrálního počtu v ekonomii existuje mnohem více než je zde uvedeno, le doporučený rozsh této práce nedovoluje věnovt pozornost všem. Integrální počet má v ekonomii nezstupitelnou roli, především určitý integrál. Použitím jeho integrčních mezí se djí vyčíslit ekonomické ukztele z určitý čsový intervl. Při psní práce jsem se potýkl s jediným nedosttkem, to s mlým množstvím litertury v oblsti plikcí integrálního počtu v ekonomii. 44

46 Litertur [] Děmidovič, Boris Pvlovič: Sbírk úloh cviční z mtemtické nlýzy,. vydání. Brno: Frgment,. [] Ching, Alph C.: Fundmentl Methods of Mthemticl Economics,. vydání. USA: McGrw-Hill, 984. [] Mošová, Vrtislv: Mtemtická nlýz I,. vydání. Olomouc: Nkldtelství Olomouc, s.r.o.,. [4] Krátká, Miroslv: Tvorb obrázků pro mtemtické texty pomocí metpostu. Brno: Msrykov univerzit,. [5] Mrtn, F., Rozenský, Z., Brbec, J.: Mtemtická nlýz I,. vydání. Prh: SNTL, 985. [6] Novák, Vítězslv: Integrální počet v R,. vydání. Prh: Státní pedgogické nkldtelství, 986. [7] Schwbik, Š., Šrmnová, P.: Mlý průvodce historií integrálu,. vydání. Prh: Prometheus, 996. [8] Soukupová, J., Hořejší, B., Mcáková, L., Soukup, J.: Mikroekonomie,. vydání. Prh: Mngement press,. [9] Jurečk, Václv: Úvod do ekonomie,. vydání. Ostrv: VŠB - Technická univerzit, 9. [] Mcáková, Libuše kolektiv: Mikroekonomie, 8. vydání. Slný: Melndrium,. [] Holmn, Robert kolektiv: Dějiny ekonomického myšlení,. vydání. Prh: C. H. Beck,. [] Neurčitý integrál [online], dostupné z: resource/content/ /KMA%M 9.pdf [citováno..] [] Určitý integrál [online], dostupné z: resource/content/ /KMA%M.pdf [citováno 5..] [4] Určitý integrál - podmínky integrovtelnosti vlstnosti [online], dostupné z: resource/content/ /KMA%M.pdf [citováno..] 45

47 [5] Určitý integrál - výpočet R-integrálu [online], dostupné z: resource/content/ /KMA%M 4.pdf [citováno 8..] [6] Věty o substituci [online], dostupné z: xschlesi/bklrk/integrly/sec/.html, [citováno 4.4.] [7] Primitivní funkce [online], dostupné z: tomecek/vyuk/mi/ prim fce.pdf, [citováno 4.4.] [8] Dirichletov funkce [online], dostupné z: inf/externi/kt inf 6498/knkm 84/ tsk /4dirichletovfunkce.pdf, [citováno 8.4.] [9] E. D. Domr [online], dostupné z: resource/content/ /Pred 4bnew.pdf [citováno..] [] Teorie mezního užitku [online], dostupné z: ] [citováno 46