matematických úloh N2612 Elektrotechnika a informatika 1802T007 Informační technologie Bc. Zdeněk Kybl RNDr. Dana Černá, Ph.D.

Transkript

1 Aplikce pro numerické řešení mtemtických úloh Diplomová práce Studijní progrm: Studijní obor: Autor práce: Vedoucí práce: N2612 Elektrotechnik informtik 1802T007 Informční technologie Bc. Zdeněk Kybl RNDr. Dn Černá, Ph.D. Liberec 2015

2 Applictions for the numericl solution of mthemticl problems Diplom thesis Study progrmme: Study brnch: Author: Supervisor: N2612 Electrotechnology nd informtics 1802T007 Informtion technology Bc. Zdeněk Kybl RNDr. Dn Černá, Ph.D. Liberec 2015

3 Tento list nhrd te originálem zdání.

4 Prohlášení Byl jsem seznámen s tím, že n mou diplomovou práci se plně vzthuje zákon č. 121/2000 Sb., o právu utorském, zejmén 60 školní dílo. Beru n vědomí, že Technická univerzit v Liberci (TUL) nezshuje do mých utorských práv užitím mé diplomové práce pro vnitřní potřebu TUL. Užiji-li diplomovou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si vědom povinnosti informovt o této skutečnosti TUL; v tomto přípdě má TUL právo ode mne poždovt úhrdu nákldů, které vynložil n vytvoření díl, ž do jejich skutečné výše. Diplomovou práci jsem vyprcovl smosttně s použitím uvedené litertury n zákldě konzultcí s vedoucím mé diplomové práce konzultntem. Součsně čestně prohlšuji, že tištěná verze práce se shoduje s elektronickou verzí, vloženou do IS STAG. Dtum: Podpis:

5 Abstrkt Diplomová práce si klde z cíl vytvoření rešerše vybrných numerických metod zhotovení plikce, jež slouží zejmén jko didktická pomůck studentům při studiu problemtiky numerické mtemtiky. Teoretická část je rozdělen do šesti kpitol, přičemž v kždé kpitole jsou chrkterizovány hlvní principy numerických metod jednoho odvětví numerické mtemtiky. Práce postupně seznmuje s lgoritmy zbývjícími se proximcí interpolcí funkce, numerickou integrcí derivcí, řešením nelineárních rovnic, metodmi pro řešení soustv lineárních rovnic s lgoritmy sloužícími pro výpočet vlstních čísel vlstních vektorů reálných symetrických mtic. V prktické části je nejprve předstven plikce implementovná v jzyce C# z pohledu jejího návrhu, kdy jsou blíže předstveny všechny vrstvy plikce. Později je ilustrován interkce jednotlivých vrstev plikce dění v pozdí plikce při jejím užívání uživtelem. Pro zjištění dosttečné didktické úrovně využívá plikce nástrojů, pomocí nichž dochází k zobrzení nejen získného řešení, le i postupu, který vedl k jeho dosžení. V přípdě proximce interpolce funkce, řešení nelineárních rovnic numerické integrce je didktická úroveň umocněn grfickou interpretci úlohy jejího řešení. Aplikce dále obshuje sdu cvičných úloh podporuje exporty do dlších formátů. Pro distribuci plikce byly zhotoveny webové stránky. Kĺıčová slov Numerická mtemtik, proximce funkcí, numerická integrce, numerická derivce, nelineární rovnice, soustvy lineárních rovnic, vlstní čísl vektory symetrických mtic, didktická plikce, postup výpočtu, cvičné úlohy, export 5

6 Abstrct The im of the thesis is review of numericl methods nd mnufcturing pplictions, which re minly used s didctic id for students studying the problems of numericl mthemtics. The theoreticl prt is divided into six chpters, where ech chpter outlines the min principles of numericl methods, one brnch of numericl mthemtics. Work grdully introduces lgorithms deling with pproximtions nd interpoltion functions, numericl integrtion nd differentition, solution of nonliner equtions, methods for solving systems of liner equtions nd lgorithms serving for clculting eigenvlues nd eigenvectors of rel symmetric mtrices. The prcticl prt is firstly introduced by ppliction implemented in lnguge C# in terms of its design, which introduces ech ppliction lyer in more detils. Then the interction of the lyers of the ppliction during its use is illustrted. To ensure sufficient levels of eductionl uses the ppliction uses tools for viewing not only the results, but lso the process leding to their chievement. In the cse of pproximtion nd interpoltion functions, solving nonliner equtions nd numericl integrtion didctic level is enhnced by grphicl interprettion of the exmples nd its solutions. The ppliction lso includes set of trining tsks nd supports exports to other formts. The websites were mde for distribution of the ppliction. Keywords Numericl methods, pproximtion of function, numericl integrtion, numericl differentition, nonliner equtions, liner equtions, eigenvlues nd eigenvectors of symmetric mtrices, didctic pplictions, clcultion procedure, prctice tsks, export 6

7 Poděkování Rád bych poděkovl vedoucí mé práce RNDr. Dně Černé, Ph.D. z odborné vedení, cenné rdy, trpělivost ochotu, kterou mi v průběhu zprcování diplomové práce věnovl. 7

8 Obsh Seznm zkrtek Seznm obrázků Seznm tbulek Úvod 13 1 Aproximce funkce Aproximce interpolčním polynomem Interpolce spline funkcemi Metod nejmenších čtverců Numerická derivce Derivce pomocí interpolce Richrdsonov extrpolce Numerická integrce funkcí Newton-Cotesovy vzorce Metod polovičního kroku Rombergov kvdrtur Gussov kvdrtur Nelineární rovnice Metod půlení intervlu Metod regul flsi Metod sečen Newtonov metod Steffensenov metod Hlleyov metod Sturmov posloupnost Lineární rovnice Zákldní pojmy Přímé metody Iterční metody Soustvy s obdélníkovou mticí

9 6 Vlstní čísl vlstní vektory mtic Zákldní pojmy Částečný problém vlstních čísel Úplný problém vlstních čísel Implementce plikce Implementční vrstv plikce Kontrolní výpočetní vrstv Prezentční vrstv plikce Ilustrce interkce vrstev plikce Distribuce instlce plikce Závěr 98 Litertur 100 A Ukázky plikce 105 B Obsh DVD 116 9

10 Seznm zkrtek N R C f(x) f (x) b Množin přirozených čísel Množin reálných čísel Množin komplexních čísel Hodnot funkce f v bodě x Hodnot první derivce funkce f v bodě x f(x)dx Integrál funkce f n intervlu, b lim x 0 f δ ij C n+1 (I) Π n Π n A T A 1 A + h(a) I det(a) λ, b (, b) ρ(a) σ i x AJAX BMP GIF GUI HTML JPG LIFO MthML MSIE PDF PNG RPN TIFF XML XSD Limit funkce f pro x jdoucí k nule Kroneckerovo delt Pro všechn Existuje Je prvkem Prostor (n + 1) spojitých derivcí n intervlu I Prostor polynomů stupně nejvýše n Prostor normovných polynomů stupně nejvýše n Trnsponovná mtice k mtici A Inverzní mtice k mtici A Pseudoinverzní mtice k mtici A hodnost mtice A Jednotková mtice Determinnt mtice A Vlstní číslo mtice Uzvřený intervl Otevřený intervl Spektrální poloměr mtice A i-té singulární číslo Euklidovská norm vektoru x Absolutní hodnot Asynchronous JvScript nd XML Bit Mpped Picture Grphic Interchnge Formt Grphic User Interfce HyperText Mrkup Lnguge Joint Photogrphic Experts Group Lst In First Out Mthemticl Mrkup Lnguge Microsoft Internet Explorer Portble Document Formt Portble Network Grphics Reverzní polská notce Tg Imge File Formt Extensible Mrkup Lnguge XML Schem 10

11 Seznm obrázků 6.1 Odvození Householderovy mtice Odvození mtice rovinné rotce Zjednodušený digrm návrhu plikce Ukázk převodu výrzu do MthML Zjednodušený postup výpočtu úlohy obdélníkovým prvidlem s následným zobrzení pomocí Awesomi Digrm znázorňující nčtení cvičné úlohy Ukázk postupu generování HTML pro Gussovu eliminci jeho zobrzení pomocí Awesomi Ukázk postupu při exportu do PDF

12 Seznm tbulek 2.1 Richrdsonov extrpolce Uzly váhy Gussovy kvdrtury Priorit operátorů v metodě RPN

13 Úvod Skoro kždý člověk moderního svět denně využívá technických pomůcek či vymožeností, niž by si uvědomovl, že z jejich objevením stojí velice čsto různá odvětví mtemtiky. Při vývoji těchto moderních výdobytků čsto nrážíme n velice složité mtemtické modely metody. V předpočítčové éře bylo nprosto nepředstvitelné provádět velké množství početních opercí, proto se odborníci plikovné mtemtiky snžili nlézt řešení nlytickým způsobem, pomocí něhož došlo k redukci počtu prováděných opercí. Ovšem získání tohoto přesného řešení je mnohdy nemožné, či velice složité prcné. Nštěstí se ukzuje, že pro reálné využití nám ve většině přípdů postčí pouze řešení přibližné. A v tuto chvíli přichází n řdu numerická mtemtik. Numerická mtemtik zznmenl prudkého rozmchu ž s rozvojem počítčů, kdy došlo k výrznému zlevnění početní operce. Proto mohly přejít do popředí výpočty čsto cyklického chrkteru, v nichž můžeme uvžovt dříve nemyslitelné počty opercí. I přes nesporné využití numerické mtemtiky mtemtiky obecně při řešení reálných problémů (jmenujme npříkld odvětví strojírenství, teorie obvodů či stvitelství) není o studium této problemtiku příliš velký zájem. Z tohoto důvodu si předkládná diplomová práce klde nejprve z úkol seznámit čtenáře s vybrnými numerickými metodmi z oblsti proximce funkce, numerického výpočtu určitého integrálu derivce, s postupy pro řešení nelineárních rovnic či metodmi pro řešení soustv lineárních rovnic v neposlední řdě tké s lgoritmy pro výpočet vlstních čísel vlstních vektorů reálných symetrických mtic. N zákldě této teoretické stti si diplomová práce klde z cíl vytvoření didktické plikce, která n rozdíl od již existujících mtemtických progrmů, bude kromě smotného řešení uživteli interpretovt i postup výpočtu, pomocí něhož bylo řešení dosženo. Implementovná plikce by měl dále obshovt soubor cvičných úloh včetně podpory pro vykreslování grfů exportů dt. Pro snzší distribuci plikce přípdnému čtenáři bude v rámci řešení diplomové práce zhotoven webová stránk, která bude obshovt zhotovenou plikci. Předkládná diplomová práce by tedy měl sloužit zejmén jko studijní opor součsně jko výuková pomůck pro zájemce zbývjící se problemtikou numerické mtemtiky. 13

14 1 Aproximce funkce V první kpitole se budeme zbývt metodmi pro interpolci proximci funkce. Princip proximce funkce spočívá v nhrzení jisté funkce f jinou funkcí φ, která je v jistém smyslu původní funkci podobná. Aproximující funkce φ by měl být co možná nejjednodušší, zároveň by měl být zdným bodům f(x i ) pro i = 0,...., n co nejblíže. Využití proximcí funkce je poměrně různorodé. Pokud npříkld chceme n počítči vypočítt funkční hodnotu jisté funkce, tk výpočet této hodnoty se čsto děje právě pomocí proximcí funkcí, kdy je vstupní funkce f nhrzen jistým polynomem P, to zejmén z důvodu sndné hlvně rychlé práce s mnohočleny. Polynomy jsou totiž poměrně sndno vyčíslitelné, jejich derivce i integrály jsme schopni sndno rychle vypočítt. Dlší oblstí, které se budeme věnovt později kde můžeme vidět využití proximcí funkce, je výpočet integrálu, kdy opět nhrzujeme vstupní funkci f jistým polynomem P. Nyní vyvstává otázk, jk nlézt funkci, která bude proximovt původní funkci. Existuje několik typů metod pro její určení. Prvním typem, se kterým se budeme blíže seznmovt, je proximce interpolčním polynomem. 1.1 Aproximce interpolčním polynomem O interpolci mluvíme tehdy, je-li úkolem stnovit hodnotu funkce f v bodech ležících mezi dvěm tbulkovými body. Snžíme se nlézt funkci, která v bodech x 0, x 1, x 2,..., x n nbývá hodnoty f(x 0 ), f(x 1 ), f(x 2 ),..., f(x n ). Body x 0, x 1, x 2,..., x n nzýváme uzlové body Lgrngeův interpolční polynom Lgrngeov interpolce je proximce polynomem L n, pro který pltí, že splňuje zákldní úlohu interpolce. Definice Uvžujme n + 1 bodů, které jsou nvzájem různé. Hledáme polynom L n stupně nejvýše n tkový, že pltí f(x i ) = L n (x i ), i = 0,..., n. Tento problém budeme oznčovt jko zákldní úlohu interpolce. Polynom L n se nzývá Lgrngeův interpolční polynom. 14

15 Vět Mějme dány body [x i, f(x i )], i = 0,..., n. Pk existuje právě jeden interpolční polynom L n stupně nejvýše n tkový, že L n (x i ) = f(x i ), i = 0,..., n. Důkz. Předpokládejme, že existují dv polynomy L n R n stupně nejvýše n tkové, že L n (x i ) = R n (x i ) = f(x i ) pro i = 0,..., n. Ukážeme, že jsou tyto dv polynomy shodné. Položme Q n = L n R n. Potom Q n (x i ) = L n (x i ) R n (x i ) = 0. Polynom Q n je polynom stupně n, který má n + 1 nulových bodů. Podle zákldní věty lgebry je tento polynom identicky roven nule, tedy L n R n. Hledáme polynom stupně nejvýše n, který splňuje podmínku interpolce. Máme tedy n + 1 bodů, kterými musí grf hledného polynomu procházet. Tuto úlohu můžeme řešit jko soustvu lineárních rovnic, kdy bychom zjistili hodnoty koeficientů hledného polynomu (pomocí tzv. Vndermondovy mtice). Nicméně tento způsob řešení se příliš nevyužívá lze se mu vyhnout pomocí Lgrngeov interpolčního polynomu. Vět Lgrngeův interpolční polynom lze vyjádřit ve tvru kde g i (x) = j=0,j i x x j x i x j. L n (x) = f(x i )g i (x), (1.1) i=0 Vět Necht f C n+1 (I), kde I je nejmenší intervl obshující x 0, x 1, x 2,..., x n 1, x n, x x 0, x 1, x 2,..., x n jsou nvzájem různé uzly. Pk x I ξ I, pro které pltí: kde ω n+1 (x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x n ). Důkz. Předpokládejme, že x i = x. Potom Z vlstnosti interpolce plyne Pokud x i x, potom definujme funkci kde x I, t R. f(x ) L n (x ) = f (n+1) (ξ) ω n+1(x ) (n + 1)!, (1.2) f(x i ) L n (x i ) = f n+1 (ξ) ω n+1(x i ) (n + 1)!. (1.3) f(x i ) L n (x i ) = 0. (1.4) F (x) = f(x) L n (x) tω n+1 (x), (1.5) 15

16 Funkce F (x) má n + 1 nulových bodů (uzlové body x i ). Hledáme tkové t, by byl splněn rovnost F (x ) = 0. (1.6) To splňuje t = f(x ) L n (x ). (1.7) ω n+1 (x ) Funkce F má tedy n+2 nulových bodů. Z Rolleovy věty plyne, že F má lespoň n + 1 nulových bodů. F má lespoň n nulových bodů. F (n+1) má lespoň jeden nulový bod ξ, F (n+1) (ξ) = 0. (1.8) Protože L (n+1) n Dosdíme z proměnnou t 0, dostneme vyjádříme výslednou chybu F (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) 0 t(n + 1)!. (1.9) 0 = F (n+1) (ξ) = f (n+1) (ξ) f(x ) L n (x ) (n + 1)! (1.10) ω n+1 (x ) f(x ) L n (x ) = f (n+1) (ξ) ω n+1(x ) (n + 1)!. (1.11) Více informcí nlezneme npříkld v [1] nebo [2] Newtonův interpolční polynom Tento polynom je pro n + 1 uzlových bodů interpolčním polynomem stupně nejvýše n. Bude se tedy jednt o nový způsob zápisu Lgrngeov interpolčního polynomu. Tento polynom budeme hledt ve tvru N n (x) = (x x 0 ) + 2 (x x 0 )(x x 1 ) +... (1.12) + n (x x 0 )(x x 1 )... (x x n 1 ). Newtonův interpolční polynom tedy musí vyhovovt podmínce interpolce N n (x i ) = f(x i ), i = 0, 1,..., n. (1.13) Koeficienty i, i = 0,..., n, vyjádříme pomocí poměrných diferencí. Definice Poměrná diference nultého řádu je definován: f[x i ] = f(x i ), i = 0,..., n. (1.14) 16

17 Poměrná diference prvního řádu je definován: f[x i, x i+1 ] = f[x i+1] f[x i ] x i+1 x i, i = 0,..., n 1. (1.15) Poměrná diference k-tého řádu je definován rekurentně: f[x i, x i+1,..., x i+k ] = f[x i+1,..., x i+k ] f[x i, x i+1,..., x i+k 1 ] x i+k x i. (1.16) Newtonův interpolční polynom můžeme zpst pomocí poměrných diferencí: N n (x) = f[x 0 ] + f[x 0, x 1 ](x x 0 ) + f[x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) f[x 0, x 1,..., x n ](x x 0 )(x x 1 )... (x x n 1 ). (1.17) Newtonov interpolce má oproti Lgrngeově interpolci podsttnou výhodu, která spočívá v tom, že je výpočetně méně náročné přidt dlší bod s jeho funkční hodnotou, protože některé výpočty zůstnou beze změny (npříkld předchozí koeficienty k se nezmění). Bližší informce jsou k nlezení npříkld v [1]. 1.2 Interpolce spline funkcemi Pro intervly větší délky je použití interpolčního polynomu nízkého stupně mnohdy nepřesné použití interpolčního polynomu vyšších stupňů nevhodné vzhledem k vlstnosti, kdy interpolční polynom n krjích intervlů nepříjemně osciluje. Vhodnější je využití interpolčních spline funkcí, které jsou po částech polynomy. Princip spline interpolce spočívá v rozdělení intervlu n podintervly. N kždém z těchto podintervlů poté budeme konstruovt obecně jiný polynom. Mezi nejčstěji využívné spliny ptří lineární kubický [3] Lineární interpolční spline Definice (Lineární interpolční spline) Lineárním splinem nzýváme funkci φ(x), která je spojitá n intervlu x 0, x n n kždém podintervlu x i, x i+1, i = 0,..., n 1 je polynomem prvního stupně. Lineární interpolční spline, který prochází uzlovými body, tj. φ(x i ) = f(x i ), n podintervlu x i, x i+1, i = 0,..., n 1 můžeme zkonstruovt následujícím způsobem φ i (x) = f(x i ) + f(x i+1) f(x i ) h i (x x i ), (1.18) kde h i = x i+1 x i. Grfem tohoto spline je lomená čár. Více informcí lze získt npříkld v [4]. 17

18 1.2.2 Kvdrtický interpolční spline Definice (Kvdrtický interpolční spline) Kvdrtickým splinem nzýváme funkci φ(x), která je spojitá n intervlu x 0, x n, přičemž n kždém podintervlu x i, x i+1, i = 0,..., n 1, je polynomem druhého stupně. Tyto polynomy n sebe v uzlových bodech hldce nvzují mjí spojitou první derivci. Kvdrtický interpolční spline procházející uzlovými body, tj. φ(x i ) = f(x i ), n podintervlu x i, x i+1, i = 0,..., n 1, můžeme zkonstruovt následujícím způsobem φ i (x) = d i+1 d i 2(x i+1 x i ) (x x i) 2 + d i (x x i ) + f(x i ), (1.19) kde d i+1 = 2 f(x i+1) f(x i ) x i+1 x i, i = 0, 1,..., n 1. Hodnoty d i vycházejí z podmínky první spojité derivce ve vnitřních bodech kvdrtického splinu. Jednotlivé spline n intervlech tedy ve výsledku tvoří hldkou křivku. Jelikož se budeme zbývt přirozeným kvdrtickým splinem, kldeme d 1 = 0. Více informcí týkjící se konstrukce kvdrtického interpolčního splinu můžeme nlézt v [5] Kubický interpolční spline Interpolce pomocí kubických splinů je nejčstěji využívnou spline interpolcí, protože podle [3] se ukzuje, že právě tto po částech polynomiální interpolce doshuje nejlepších výsledků. Definice Kubickým splinem nzveme funkci φ(x), která má n intervlu x 0, x n dvě spojité derivce n kždém podintervlu x i, x i+1, i = 0,..., n 1, je polynomem třetího stupně. Konstrukce přirozeného kubického spline Mějme v uzlových bodech x i dány funkční hodnoty f(x i ), i = 0,..., n, funkce f. Nším úkolem je sestrojit kubický interpolční polynom, který splňuje zákldní úlohu interpolce. Z definice kubického polynomu φ(x) = x 3 + bx 2 + cx + d plyne, že kubický polynom je určen čtyřmi koeficienty. Máme-li n + 1 bodů, budeme mít n intervlů. Z toho vyplývá, že φ(x) je n intervlu x 0, x n určen 4n prmetry. Podmínky spojitosti φ(x), φ (x) φ (x) ve vnitřních bodech intervlu x 0, x n dávjí dlších 3n 3 podmínek. Interpolční podmínky nám djí n + 1 podmínek. Celkem tedy máme 4n 2 podmínek pro 4n neznámých. Protože konstruujeme přirozený kubický spline, zbylé dvě podmínky doplníme tk, že položíme druhé derivce v krjních bodech intervlu x 0, x n rovny nule. Pokud budeme vycházet z předpokldu, že φ(x) je kubický polynom, pk φ (x) je kvdrtický polynom φ (x) je lineární polynom, který prochází body [x i, M i ] 18

19 [x i+1, M i+1 ], kde M i = f (x i ) M i+1 = f (x i+1 ) jsou tzv. momenty splinu. Jelikož je přímk jednoznčně určen dvěm body, můžeme položit φ (x) = L 1 (x) s nulovou chybou, zároveň můžeme odvodit vzthy pro výpočet kubické interpolční spline funkce: φ i (x) = L 1 (x) = f (x i ) x x i+1 x i x i+1 + f (x i+1 ) x x i x i+1 x i (1.20) = M i x x i+1 h i x x i x x i+1 x x i + M i+1 = M i + M i+1, (1.21) h i h i h i φ i(x) = M i 2h i (x x i+1 ) 2 + M i+1 2h i (x x i ) 2 + A i, (1.22) φ i (x) = M i 6h i (x x i+1 ) 3 + M i+1 6h i (x x i ) 3 + A i (x x i ) + B i, (1.23) kde h i = x i+1 x i A i B i jsou integrční konstnty. Nyní určíme integrční konstnty, přičemž využijeme skutečnosti, že funkce φ i (x) musí n intervlu x i, x i+1 splňovt podmínky interpolce: Dostneme φ i (x i ) = f(x i ) φ i (x i+1 ) = f(x i+1 ). φ i (x i ) = M i 6h i (x i x i+1 ) 3 + M i+1 6h i (x i x i ) 3 + A i (x i x i ) + B i (1.24) = M i 6h i ( h i ) 3 + B i (1.25) můžeme vyjádřit Anlogicky dostneme B i = f(x i ) M i 6 h i 2. (1.26) φ i (x i+1 ) = M i 6h i (x i+1 x i+1 ) 3 + M i+1 6h i (x i+1 x i ) 3 + A i (x i+1 x i ) + B i (1.27) = M i+1 6h i h 3 i + A i h i + B i (1.28) = M i+1 6 h2 i + A i h i + f(x i ) M i 6 h i 2. (1.29) Z těchto vzthů vyjádříme A i = f(x i+1) f(x i ) + M i M i+1 h i. (1.30) h i 6 Nyní určíme momenty splinu M i. Protože konstruujeme přirozený kubický spline, tk M 0 = M n = 0. Momenty splinu určíme pomocí dlší podmínky, kterou musí 19

20 funkce φ i (x) splňovt. Poždujeme, by derivce funkce φ i (x) byl zlev i zprv spojitá, tj. φ i 1(x i ) = φ i(x i ). Jelikož víme, že Potom φ i(x) = M i 2h i (x x i+1 ) 2 + M i+1 2h i (x x i ) 2 + A i. (1.31) φ i 1(x i ) = M i 1 (x i x i ) 2 + M i (x i x i 1 ) 2 + A i 1 (1.32) 2h i 1 2h i 1 Anlogicky dostneme = M i 2h i 1 (h i 1 ) 2 + A i 1 (1.33) = M i 2h i 1 (h i 1 ) 2 + f(x i) f(x i 1 ) h i 1 + M i 1 M i h i 1 (1.34) 6 = M i 1 + 2M i h i 1 + f(x i) f(x i 1 ). (1.35) 6 h i 1 φ i(x i ) = M i 2h i (x i x i+1 ) 2 + M i+1 2h i (x i x i ) 2 + A i (1.36) = M i 2h i ( h i ) 2 + A i (1.37) = M i 2 h i + f(x i+1) f(x i ) + M i M i+1 h i h i 6 (1.38) = M i+1 + 2M i h i + f(x i+1) f(x i ). 6 h i (1.39) Nyní můžeme npst následující rovnost: M i 1 + 2M i h i 1 + f(x i) f(x i 1 ) = M i+1 + 2M i h i + f(x i+1) f(x i ), (1.40) 6 h i 1 6 h i M i 1 + 2M i 6 h i 1 + M i+1 + 2M i h i = f(x i+1) f(x i ) f(x i) f(x i 1 ). (1.41) 6 h i h i 1 Při předpokldu ekvidistntního dělení intervlu pltí: h i 1 = h i. M i 1 + 2M i h i + M i+1 + 2M i 6 6 h i = f(x i+1) f(x i ) h i f(x i) f(x i 1 ) h i,(1.42) M i 1 + 4M i + M i+1 h i = f(x i+1) 2f(x i ) + f(x i 1 ). (1.43) 6 h i Při prktickém výpočtu interpolce pomocí kubické spline funkce postupujeme v níže nznčených krocích. Nejdříve vypočteme pomocí rovnic (1.41) momenty splinu M i, i = 1,..., n 1. V prxi se při výpočtu momentů splinu při předpokldu konstrukce přirozeného 20

21 kubického splinu využívá Gussov elimince plikovná n třídigonální mtici pro řešení n 1 rovnic o n 1 neznámých. Soustv má tvr h 0 +h 1 3 h h i 1 6 h i 1 +h i 3 h i h n 2 6 h n 2 +h n 1 3 M 1. M i 1 M i M i+1. M n 1 = g 1. g i 1 g i g i+1. g n 1, (1.44) kde g i = f(x i+1) f(x i ) h i f(x i) f(x i 1 ) h i 1. Po výpočtu momentů splinu musíme určit integrční konstnty A i, i = 1,..., n, B i, i = 1,..., n, podle vzthů (1.26) (1.30). V tuto chvíli již známe všechny neznámé můžeme vypočítt kubické spliny n jednotlivých intervlech doszením do vzthu (1.23). Bližší informce lze nlézt ve [2] [6]. 1.3 Metod nejmenších čtverců Metod nejmenších čtverců již není interpolční metod. Její princip můžeme popst tk, že zdnými body [x i, y i ] pro i = 1,..., n prokládáme funkci φ tk, by součet druhých mocnin rozdílu hodnot y i funkčních hodnot φ(x i ) byl minimální. Odvození metody nejmenších čtverců pro lineární regresi Uvžujme množinu n bodů [x i, y i ] pro i = 1,..., n. Vzdálenost bodů od přímky y = x + b můžeme vyjádřit jednoduchým způsobem s i = x i + b y i, kde i = 1,..., n. Smyslem této metody je minimlizovt funkci S(, b) = n i=1 (x i + b y i ) 2. Protože je známo, že lokální extrém diferencovtelné funkce může nstt pouze ve stcionárním bodě, využijeme pro minimlizci funkce S prciální derivce ( ) S = 2 (x i + b y i )x i = 2 x 2 i + b x i x i y i, (1.45) S b = 2 i=1 ( (x i + b y i ) = 2 i=1 i=1 x i + b i=1 i=1 1 i=1 i=1 ) y i. (1.46) Proto nyní položíme tyto prciální derivce rovny nule: ( ) 2 x 2 i + b x i x i y i = 0, (1.47) 2 i=1 ( i=1 x i + b i=1 i=1 1 i=1 ) y i i=1 = 0. i=1 21

22 Tyto rovnice uprvíme jednoduchými úprvmi n následující tvr, x 2 i + b x i = i=1 i=1 x i + bn = i=1 x i y i, (1.48) i=1 y i. i=1 čímž získáme soustvu rovnic s neznámými, b. Pokud tedy chceme njít proximční polynom prvního řádu φ(x) = x + b, musíme zjistit hodnotu koeficientů, b. Tyto koeficienty zjistíme vyřešením soustvy (1.48). Protože všechny hlvní subdeterminnty mtice jsou kldné, je kvdrtická form pozitivně definitní. Podle Sylvestrov kritéri je tedy nlezený stcionární bodem minim. Pro proximci obecným polynomem φ(x) = m i=0 b ix i řešíme následující soustvu rovnic: nb 0 + x i b 1 + i=1 x i b 0 + i=1 x m i b 0 + i=1 x 2 i b i=1 x 2 i b i=1 i=1 x m+1 i b i=1 x m i b m = i=1 i=1 x m+1 i b m =. x 2m i b m = y i, (1.49) i=1 x i y i, i=1 x m i y i. i=1 Dlší informce lze nlézt v [7]. 22

23 2 Numerická derivce Ve druhé kpitole této práce se budeme zbývt metodmi pro určení numerické derivce funkce f v bodě. Definice Funkce f má v bodě x 0 derivci, je-li definován v okolí bodu x 0 existuje limit f(x 0 + h) f(x 0 ) lim. (2.1) h 0 h Tuto limitu nzýváme derivcí funkce f v bodě x 0 znčíme ji f (x 0 ). Metody pro výpočet numerické derivce v bodě vycházejí přímo z definice nebo npříkld z myšlenky nhrzení funkce f v okolí bodu x 0 interpolčním polynomem (funkci lze nhrdit npříkld i proximcí získnou metodou nejmenších čtverců, nebo Čebyševovými polynomy) [8]. 2.1 Derivce pomocí interpolce V následujících odstvcích ukážeme, jk můžeme odvodit vzthy pro výpočet derivce funkce v bodě pomocí interpolce. Funkci f můžeme proximovt Lgrngeovým interpolčním polynomem f(x) = f(x) = L n (x) + f(x i )l i (x) + i=0 Pro chybu Lgrngeovy interpolce pltí kde ω n+1 (x) = n (x x i ). i=0 f(x) L n (x) = Zderivujeme-li ω n+1 (x) podle proměnné x, dostneme ω n+1(x) = 1 (n + 1)! f (n+1) (ξ)ω n+1 (x), (2.2) 1 (n + 1)! f (n+1) (ξ)ω n+1 (x). (2.3) 1 (n + 1)! f (n+1) (ξ)ω(x), (2.4) n i=0 j=0,j i (x x j ). (2.5) 23

24 Nyní provedeme derivci funkce f ( f (x) = f(x i )l i(x) 1 + (n + 1)! f (n+1) (ξ) i=0 i=0 n j=0,j i (x x j ) ) (2.6) pro derivci funkce f v bodě x 0 tedy pltí ( ) f (x 0 ) = f(x i )l i(x 1 n 0 ) + (n + 1)! f (n+1) (ξ) (x 0 x j ). (2.7) Podle vzthu (2.7) můžeme tedy konstruovt vzthy pro výpočet derivce funkce f(x) v bodě x 0. Nyní odvodíme vzth pro derivci v bodě pomocí interpolčního polynomu prvního stupně. Funkci f nhrdíme v okolí bodu x 0 interpolčním polynomem prvního stupně. Tento polynom poté zderivujeme podle proměnné x. Sestrojíme interpolční polynom prvního stupně pro body [x i, f(x i )] [x i + h, f(x i + h)], L 1 (x) = f(x i ) x (x i + h) x i (x i + h) + f(x x x i i + h) (2.8) (x i + h) x i = f(x i ) x (x i + h) h Polynom L 1 (x) zderivujeme podle proměnné x. Dostneme j=1 + f(x i + h) x x i h. (2.9) L 1(x) = 1 h (f(x i + h) f(x i )) (2.10) f (x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) 1 h 2 f (2) (ξ)h. (2.11) Pokud stejným způsobem využijeme pro určení první derivce funkce f(x) v bodě x 0 interpolční polynom druhého řádu dostáváme L 2(x) = 1 2h (f(x i + h) f(x i h)), (2.12) f (x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 h) 1 2h 6 f (3) (ξ)h 2. (2.13) Jestliže L 2 zderivujeme ještě jednou dostáváme předpis pro proximci druhé derivce funkce f v bodě x 0 f (x 0 ) = f(x 0 + h) 2f(x 0 ) + f(x 0 h) h 2. (2.14) Při prktickém výpočtu numerické derivce funkce f(x) v bodě x 0, musíme dbát n vliv zokrouhlovcích chyb, které mohou mít podsttnou měrou vliv n výsledek. Jmenovtelé uvedených vzorců obshují krok h, který musí být jkýmsi kompromisem mezi dosttečně přesnou proximcí, která vyžduje dosttečně mlý krok h, zokrouhlovcí chybou, která se nopk při mlém h zvyšuje. Bližší informce v [3] nebo [9]. 24

25 2.2 Richrdsonov extrpolce Richrdsonov extrpolce je technik, která je v prxi hojně využívná. Setkáme se s ní npříkld v numerické integrci v Rombergově kvdrtuře nebo npříkld v Bulirsch-Stoerovu lgoritmu, jenž se zbývá řešením obyčejných diferenciálních rovnic. Její podstt vychází z předpokldu, že ze dvou přibližných výsledků můžeme pomocí lineární kombince vypočítt třetí, který bude přesnější, přičemž tto nová hodnot se nchází mimo intervl, ohrničený předcházejícími dvěm hodnotmi (proto hovoříme o extrpolci). Odvození Richrdsonovy extrpolce Mějme funkci R krok h. Předpokládejme, že funkci R je možné vyjádřit mocninnou řdou R (h) = h + 2 h h h (2.15) Jestliže h < 1, pk je R(h) dobrou proximcí členu 0. Lepší proximci ovšem získáme, když určíme hodnotu funkce R s krokem h 2 ( ) ( ) 2 ( ) 3 h h h h R = (2.16) 2 2 } {{ } O(h 2 ) Pomocí vhodné lineární kombince můžeme vyjádřit člen 0 s chybou O(h 2 ). Ve vyjádření (2.15) (2.16) znedbáme dlší členy rozvoje R R (h) 0 = 1 h + O ( h 2), (2.17) ( ) h h 0 = O ( h 2). (2.18) Rovnici (2.17) odečteme od dvojnásobku rovnice (2.18) ( ) h R 2 (h) = 2R R (h) = 0 + (2) 2 (h) 2 + (2) 3 (h) (2.19) 2 } {{ } O(h 2 ) Pomocí vhodné lineární kombince vzthů, z nichž ob proximují hodnotu funkce R s chybou O(h), jsme vyjádřili vzth pro 0 s chybou O(h 2 ). Podle [13] pltí, že (2) i < i. R 2 (h) je lepší proximce než R(h) pro mlé h je i lepší proximcí než R( h). 2 Obecný vzth pro Richrdsonovu extrpolci můžeme zpst pomocí následující iterční formule: ( ) h R j+1 (h) = R j + R ( h ) j 2 Rj (h), kde j = 1, 2,.... (2.20) 2 2 j 1 Výpočet můžeme uspořádt do následující tbulky: 25

26 R(h) R( h) 2 R 2(h) R( h) 4 R 2( h) 2 R 3(h) R( h) 8 R 2( h) 4 R 3( h) 2 R 4(h) R( h ) 16 R 2( h) 8 R 3( h) 4 R 4( h) 2 R 5(h) O(h) O(h 2 ) O(h 3 ) O(h 4 ) O(h 5 ) Tbulk 2.1: Richrdsonov extrpolce Při výpočtu postupujeme po řádcích, přičemž prvek v prvním sloupci vypočteme pomocí zákldní metody. Osttní prvky v řádku vypočteme pomocí vzthu (2.20). Výpočet ukončíme ve chvíli, kdy je rozdíl dvou digonálních prvků tbulky menší než poždovná přesnost. Více npříkld v [10], [11], [12] nebo [13]. 26

27 3 Numerická integrce funkcí Ve dlší kpitole se budeme zbývt numerickou integrcí. Je-li funkce f(x) n intervlu, b spojitá známe její primitivní funkci F (x), můžeme hodnotu určitého integrálu b f(x)dx určit pomocí Newton - Leibnizov vzthu b f(x)dx = F (b) F (). (3.1) V prxi ovšem čsto nemůžeme primitivní funkci F (x) njít nlyticky nebo je nlytický výpočet integrálu příliš složitý prcný. V tuto chvíli využijeme metody numerické kvdrtury, kdy funkci f(x) obvykle nhrzujeme jednodušší proximující funkcí φ(x)(nejčstěji polynomem), hodnotu integrálu f(x) položíme přibližně hodnotě integrálu φ(x) [14]. Definice Vyjádřeme integrál ve tvru I(f) = b f(x)dx I h (f) = b φ(x)dx = α i f(x i ) (3.2) i=0 kde I h (f) = n i=0 α if(x i ) se nzývá kvdrturní formule, α i jsou koeficienty kvdrturní formule, které nezávisí n funkci f(x), x i jsou uzly kvdrturní formule, přičemž x i, b. Chybu kvdrturní formule R n (f) vyjádříme R n (f) = I(f) I h (f). U kvdrturních formulí nás zjímá, jkou přesnost dná kvdrturní formule při proximci určitého integrálu má. Řekneme, že kvdrturní formule je řádu n, když integruje polynomy stupně n s nulovou chybou polynomy stupně n + 1 integruje s nenulovou chybou [2]. To nás vede k následující definici. Definice Řád kvdrturní formule I h(f) = n i=0 α if(x i ) je mximální číslo m N {0} tkové, že b p(x)dx = n i=0 α ip(x i ), kde p(x) je polynom stupně m. 3.1 Newton-Cotesovy vzorce Velkou skupinou v oblsti numerické integrce funkcí předstvují Newton-Cotesovy vzorce. Tyto kvdrturní vzorce předpokládjí ekvidistntní dělení intervlu integrce. 27

28 Newton-Cotesovy vzorce lze rozdělit do dvou podskupin. První skupinu oznčujeme jko otevřené druhou jko uzvřené. Rozdíl mezi těmito skupinmi spočívá v přístupu ke krjním bodům intervlu integrce. Uzvřené vzorce tyto body povžují z uzly kvdrtury, otevřené nikoli. Uzly kvdrtury otevřených vzorců jsou určeny symetricky podle středu intervlu. Newton-Cotesovy kvdrturní vzorce proximují hodnotu integrálu pomocí nhrzení funkce f(x) Lgrngeovým interpolčním polynomem L n (x). Více npříkld v [2], [15]. Odvození Newton-Cotesových vzorců Nyní odvodíme obecný tvr Newton - Cotesových vzorců. Hodnotu integrálu funkce f n intervlu, b proximujeme pomocí Lgrngeov interpolčního polynomu L n (x). = b f(x i ) i=0 b n j=0,j i f(x)dx b L n (x)dx = ( ) x xj dx = x i x j } {{ } l i (x) f(x i ) l i (x)dx, } {{ } i=0 b α i (3.3) kde = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b. Určíme koeficienty α i. Položme h = b n Nyní provedeme substituci x 0 = + 0h, x 1 = + h,..., x n = + nh. (3.4) Použitím substituce došlo ke změně integrčních mezí x = + th, dx = hdt. (3.5) t = x h. (3.6) Pokud z proměnnou x dosdíme dolní mez intervlu integrce dostáváme jko novou dolní mez nulovou hodnotu. Dosdíme-li do vzthu (3.6) z proměnnou x výrz b = + nh, dostáváme pro novou horní mez integrálu hodnotu n: n α i = h 0 n j=0,j i ( ) t j dt. (3.7) i j Z Newton - Cotesových vzorců lze poměrně jednoduše odvodit prvidl jejich složené vrinty pro výpočet určitého integrálu. Princip proximce určitého integrálu pomocí složených vzorců spočívá v rozdělení intervlu n jednotlivé podintervly. Přičemž n kždý z podintervlů použijeme jednoduché Newton - Cotesovy vzorce. Hodnotu integrálu poté proximujeme hodnotou, kterou vypočteme jko součet obshu ploch n jednotlivých intervlech, čímž dostáváme přesnější proximci dného integrálu. 28

29 Šířku intervlu h určíme jko h = b, kde m je počet podintervlů. Dlší informce můžeme nlézt v [2] nebo m [16]. Vět Kvdrturní formule získná integrcí interpolčního polynomu pro uzlové body [x i, f(x i )] pro i = 0,..., n má stupeň přesnosti lespoň n. Důkz. Uvžujme integrál I(f), který proximujeme Lgrngeovým interpolčním polynomem L n stupně n s chybou E n (f) I(f) = Uprvíme prvou strnu rovnosti b L n (x) + E n (f)dx. (3.8) I(f) = = = b i=0 b i=0 f(x i )l i (x) + E n (f)dx (3.9) f(x i )l i (x)dx + i=0 b f(x i ) l i (x)dx + b b E n (f)dx. b E n (f)dx, kde l i (x)dx = α i. Nyní vyjádříme chybu E n (f) I(f) f(x i )α i = b i=0 E n (f)dx. (3.10) Přičemž pro chybu Lgrngeovy interpolce pltí E n (f) = f (n+1) (ξ) ω n+1(x) (n + 1)!. (3.11) Nyní můžeme vidět, že vyjádření chyby E n (f) obshuje (n + 1)-ní derivcí funkce f. Z toho přímo plyne, že chyb interpolční kvdrturní formule bude nulová pro všechny polynomy stupně nejvýše n řád přesnosti bude tedy lespoň n. Později ukážeme, že interpolční kvdrturní formule má řád přesnosti pro n + 1 bodů nejvýše 2n + 1. Dlší informce v [17] (Složené) obdélníkové prvidlo Je nejjednodušším vzorcem pro kvdrturu řdíme jej mezi otevřené Newton - Cotesovy vzorce. Jeho řád přesnosti je jedn, ovšem je vhodné jej využít v přípdě, 29

30 kdy nemůžeme vypočíst integrál složitějšími metodmi z důvodu nemožnosti určení funkční hodnoty n krjích integrálu. Princip tohoto prvidl spočívá v určení funkční hodnoty středu intervlu. Hodnot určitého integrálu je tk proximován jko obsh obdélníku, kdy jedn strn je určen šířkou intervlu druhá funkční hodnotou.dostneme b ( ) + b f(x)dx hf. (3.12) 2 Pokud jsme ovšem schopni určit funkční hodnoty i n krjích integrčních mezí, je vhodnější použít dále popsné metody. Předpis pro proximci určitého integrálu pomocí složeného obdélníkového prvidl: b f(x)dx h kde m je počet podintervlů. Dlší informce lze nlézt v [3]. m ( ) xi 1 + x i f, (3.13) 2 i= (Složené) lichoběžníkové prvidlo Jedná se o jednoduchou metodu s řádem přesnosti jedn, která je sndno implementovtelná pomocí počítče. Hodnot integrálu je vypočten jko obsh lichoběžníku, kdy funkci f nhrzujeme Lgrngeovým interpolčním polynomem prvního řádu. Pokud využijeme složenou vrintu tohoto prvidl je intervl rozdělen n části n kždé této části je zkonstruován lichoběžník. Hodnot integrálu je určen jko součet obshu jednotlivých lichoběžníků. Použitím vzthu (3.3) odvodíme vzth pro lichoběžníkové prvidlo. Určíme šířku intervlu h = x 1 x 0, kde = x 0 < x 1 = b. Integrál funkce f n intervlu, b proximujeme pomocí Lgrngeov interpolčního polynomu prvního stupně 0 b j=0,j i f(x)dx 1 α i f(x i ). (3.14) Pro koeficienty α i dle vzthu (3.7) pltí 1 n ( ) t j α i = h dt, (3.15) i j 1 t 1 α 0 = h 0 1 dt = h α 1 = h t dt = h i=0 [ ] 1 1 tdt = h t t2 2 0 [ ] t 2 1 tdt = h Tímto dostáváme vzth pro lichoběžníkové prvidlo b 2 0 = h 2, (3.16) = h 2. (3.17) f(x)dx h [f() + f(b)]. (3.18) 2 30

31 Předpis pro proximci určitého integrálu pomocí složeného lichoběžníkového prvidl: [ ] b f(x)dx h 2 f(x 0 ) + 2 m 1 i=1 f(x i ) + f(x m ) kde m je zvolený počet podintervlů. Více npříkld v [3], [18] (Složené) Simpsonovo prvidlo, (3.19) Dlší metodou vycházející z Newton - Cotesových vzorců je Simpsonovo prvidlo. Ze zdného intervlu vybereme body n obou krjích intervlu bod uprostřed tohoto intervlu. Tyto body proložíme křivkou, která je grfem polynomu druhého řádu-prbolou. Hodnot integrálu je určen jko obsh plochy pod prbolou. b f(x)dx h 3 [ f() + 4f ( ) + b 2 ] + f(b), (3.20) kde h = b. 2 U složené vrinty tohoto prvidl rozdělujeme dný intervl n sudý počet podintervlů v kždém intervlu x 2i, x 2i+2, i = 0,..., m 1, se provede náhrd 2 původní funkce polynomem druhého řádu. Hodnot integrálu se určí jko součet ploch pod těmito prbolmi. Předpis pro proximci určitého integrálu pomocí složeného Simpsonov prvidl (hodnot h opět předstvuje šířku podintervlu m počet podintervlů): b f(x)dx h f(x 0 ) m m f(x 2i 1 ) + 2 f(x 2i ) + f(x m ), (3.21) i=1 kde h = b. Bližší informce jsou k nlezení v [19]. m (Složené) tříosminové prvidlo K určení hodnoty integrálu využívá tto metod plochy pod grfem kubického polynomu, který je určen čtyřmi body, které se ncházejí n obou krjích intervlu součsně v jedné druhé třetině dného intervlu. Pokud zvolíme složenou vrintu tohoto prvidl, je nutné, by počet poždovných podintervlů byl dělitelný třemi. i=1 b f(x)dx 3h 8 [ f() + 3f ( ) ( ) 2 + b + 2b + 3f 3 3 ] + f(b), (3.22) kde h = b 3. 31

32 Předpis pro proximci určitého integrálu pomocí složeného tříosminového prvidl: m b f(x)dx 3h 3 f(x 0 ) + 3 (f(x 3i 1 ) + f(x 3i 2 )) (3.23) 8 i=1 m f(x 3i ) + f(x m ), i=1 kde h = b. Podrobnější informce získáme v [20]. m (Složené) Boolevo prvidlo Booleovo prvidlo je dlším z uzvřených Newton - Cotesových vzorců má z uvedených vzorců nejvyšší řád přesnosti, protože je přesný ž pro polynomy pátého stupně. K výpočtu hodnoty integrálu využívá kromě bodů n krjích intervlů prostředního bodu tké dlší dv, které jsou umístěny v jedné třetí čtvrtině intervlu. Pokud zvolíme složenou vrintu tohoto prvidl, je nutné, by počet poždovných podintervlů byl dělitelný čtyřmi. Vzorec má tvr: b f(x)dx h [ ( ) ( ) 3 + b + b 7f() + 32f + 12f (3.24) ( ) ] + 3b + 32f + 7f(b), 4 kde h = b. 4 Předpis pro proximci určitého integrálu pomocí složeného Booleov prvidl: m b f(x)dx h 4 7f(x 0 ) + 32 (f(x 4i 1 ) + f(x 4i 3 )) (3.25) 90 i=1 m m f(x 4i 2 ) 14 f(x 4i ) + 7f(x m ), i=1 kde h = b, více npříkld v [16]. m Chyb Newton - Cotesových vzorců Z věty plyne, že pro chybu Newton - Cotesových vzorců pltí: R n (f ) = f (n+1 ) (ξ) (n + 1)! kde ω n+1 (x) = (x x 0 )(x x 1 )... (x x n ). b i=1 ω n+1 (x), (3.26) 32

33 V prxi můžeme hodnotu f n+1 (ξ) omezit mx x,b f (n+1) (x). Pokud intervl integrce rozdělíme n m podintervlů n kždém z nich proximujeme funkci f(x) Lgrngeovým interpolčním polynomem stupně n, budeme chybu R n (f) odhdovt jko součet chyb n dílčích intervlech. Tedy b f(x)dx = R n (f) = x i i=1 x i 1 f(x)dx x i i=1 x i 1 L n,i (x)dx, (3.27) R n,i (f), (3.28) i=1 kde R n,i (f) oznčuje chybu n intervlu x i 1, x i. V následujících odstvcích odvodíme chybu pro lichoběžníkové prvidlo. Oznčíme h = b, = x 0 < x 1 = b, (3.29) x 0 = + 0h, x 1 = + h, použijeme substituci Pro chybu pltí x = + th, dx = hdt. (3.30) R 1 (f) = f (ξ) 2 b = f (ξ) 2 h 1 = f (ξ) 2 h3 (x )(x b)dx (3.31) ( + th )( + th ( + h))dt t(t 1 )dt = f (ξ) h 3 12 = f (ξ) (b ) Je-li funkce f n intervlu [, b] spojitá, existuje bod ξ, b tkový, že pltí f (ξ 1 ) + f (ξ 2 ) f (ξ m ) = mf (ξ). (3.32) Pro odhd chyby složeného lichoběžníkového prvidl, kde h = b, pk dostáváme m R 1 (f) = m f (ξ) 12 h3 (3.33) (b )h2 = f (ξ) (3.34) 12 33

34 Anlogicky bychom mohli odvodit vzthy pro chyby dlších prvidel. Chyb Simpsonov prvidl je dán vzthem Pro chybu jeho složené vrinty pltí Více npříkld v [1] nebo [18]. R 2 (f) = f (4) (ξ) h 5. (3.35) 90 R 2 (f) = 3.2 Metod polovičního kroku (b )h4 f (4) (ξ). (3.36) 180 Chybu numerické kvdrtury lze odhdnout pomocí vzthů (3.26). V těchto vztzích se vyskytuje mximální hodnot derivce n intervlu (, b), kterou není jednoduché zjistit. Odhd chyby je tké hodně pesimistický, protože ve skutečnosti je chyb mnohem menší. Z toho důvodu se pro odhd chyby využívá nejčstěji metod polovičního kroku. Metod polovičního kroku vychází z myšlenky, že chybu lze vyjádřit v v závislosti n kroku h následující řdou. R(h) = k h k + k+1 h k , kde k = 0, 1,..., (3.37) pokud pro chybu metody pltí, že je řádu O(h k ). Pro obdélníkovou lichoběžníkovou metodu je k = 2, pro Simpsonovu metodu tříosminové prvidlo je k = 4 k = 6 v přípdě Booleov prvidl. Odvození metody polovičního kroku Spočteme integrál I(f) s dvěm různými kroky h 1 h 2 dostneme Oznčme Znedbáme vyšší členy v rozvoji chyby I(f) = I(h 1 ) + k h k 1 + k+1 h k+1 1, (3.38) I(f) = I(h 2 ) + k h k 2 + k+1 h k+1 2. (3.39) E(h) = I(f) I(h). (3.40) I(f) I(h 1 ) + k h k 1, (3.41) I(f) I(h 2 ) + k h k 2. (3.42) Od rovnice (3.42) odečteme rovnici (3.41). Tím dostneme 0 [I(h 2 ) I(h 1 )] + k h k 2 k h k 1, (3.43) 0 [I(h 2 ) I(h 1 )] + k (h k 2 h k 1), k [I(h 2) I(h 1 )], h k 1 h k 2 34

35 proto E(h 1 ) k h k 1 [I(h 2) I(h 1 )] h k h k 2 h 1. (3.44) k 1 Pokud zvolíme h 1 = h h 2 = h (odtud název metod polovičního kroku) 2 dostáváme po jednoduché úprvě pro chybu s krokem h [ ( ) ] E(h) = 2k h I I(h), (3.45) 2 k 1 2 kde k = 1,.... Metod polovičního kroku je tedy zložen n stejné myšlence jko jeden krok Richrdsonovy extrpolce. Více v [21]. 3.3 Rombergov kvdrtur Rombergov kvdrtur vychází z myšlenky Euler - Mclurinov vzorce, kdy můžeme chybu složeného lichoběžníkového (CT h (f)) prvidl rozvinout do řdy sudých mocnin integrčního kroku h CT h (f) = I(f) + i h 2i. (3.46) Tím zjistíme vyšší přesnosti kvdrturních vzorců. Tuto myšlenku vyjádříme pomocí vzthu. K tomu Rombergov kvdrtur využívá tzv. Richrdsonovy extrpolce (2.2), která je využíván i při výpočtech numerické derivce. V prxi bývá Rombergov kvdrtur znázorňován pomocí stejné tbulky jko u Richrdsonovy extrpolce (2.1), kde hodnoty n digonále předstvují proximci integrálu s chybmi řádu O(h 4 ), O(h 6 ),.... První sloupec (při znázornění Rombergovy kvdrtury pomocí tbulky) odpovídá složenému lichoběžníkovému prvidlu s kroky h/2, h/4,..., druhý složenému Simpsonovu prvidlo třetí složenému Booleovu prvidlu. Pltí, že n - tý sloupec je kvdrturní formule řádu 2n+1 s krokem h n. Tento způsob výpočtu je vhodný pro počítče, protože pro výpočet lepší proximce určitého integrálu využíváme hodnoty, které jsou již vypočtené. Dlší informce jsou k nlezení v [13] [15]. Odvození Rombergovy kvdrtury pro chybu O(h 6 ) Vyjádřeme postupně chybu integrálu O(h 6 ) pro kroky h, h, h. Ze vzthu (3.46) 2 4 plyne i=1 I(f) CT h (f) = 1 h h 4 + O(h 6 ) (3.47) ( ) 2 ( ) 4 h h I(f) CT h (f) = O(h 6 ) (3.48) ( ) 2 ( ) 4 h h I(f) CT h (f) = O(h 6 ). (3.49)

36 Nyní pomocí vhodné lineární kombince vyjádříme I(f) s chybou O(h 6 ). Rovnici (3.47) vynásobíme neznámou x 1. Rovnici (3.48) vynásobíme neznámou x 2. Rovnici (3.49) vynásobíme neznámou x 3. Následně tyto rovnice sečteme. Celkově tedy dostáváme (x 1 + x 2 + x 3 )I(f) = x 1 CT h (f) + x 2 CT h 2 + x 1 1 h 2 h 2 + x x 3 1 h x 1 2 h 2 + x 2 2 h x 3 2 h 2 (f) + x 3 CT h (f) + (3.50) O(h6 ). Nyní sestvíme soustvu rovnic tk, bychom u I(f) dostli hodnotu 1 eliminovli členy s koeficienty 1, 2 3. Dostáváme soustvu x 1 + x 2 + x 3 = 1, (3.51) x 1 + x x 3 16 = 0, x 1 + x x = 0. Vyřešením této soustvy tří rovnic se třemi neznámými (npř. Gussovou elimincí) získáme x 1 = 64, x 45 2 = 20 x 45 3 = 1. Integrál I(f) s chybou 45 O(h6 ) vypočteme tedy I(f) 64CT h(f) 20CT h (f) + CT h (f). (3.52) 45 Obecný vzth pro Rombergovu metodu můžeme zpst pomocí následující iterční formule: I (k) 2h = 4k I (k) 2h 1 I(k 1) h 4 k Gussov kvdrtur, kde k = 1, 2,.... (3.53) V přípdě Newton-Cotesových vzorců jsme předpokládli ekvidistntní dělení intervlu, n kterém jsme chtěli proximovt hodnotu integrálu. Pokud upustíme od poždvku ekvidistntního dělení intervlu, jsme schopni dosáhnout vyšší lgebrické přesnosti. Vět Řád kvdrturní formule pro n + 1 bodů je nejvýše 2n + 1. Důkz. Necht polynom p(x) = n i=0 (x x i) 2 Π 2n+2, kde x i jsou uzly kvdrturní formule. Polynom p(x) je nezáporná funkce n intervlu, b, pro který pltí b p(x) > 0. Kvdrturní formule (3.2) je ovšem rovn nule, což je spor. Pro tento polynom tedy není kvdrturní formule přesná řád přesnosti je tedy nejvýše 2n

37 Kvdrturní formule, konstruovná tk, že její řád je 2n+1, se nzývá Gussov. Předtím, než budeme definovt Gussovy kvdrturní vzorce, je nezbytné, bychom si objsnili pojem ortogonální polymony Ortogonální polynomy Zved me množinu Π n pro množinu všech polynomů stupně nejvýše n. Symbolem Π n budeme znčit množinu všech normovných polynomů stupně nejvýše n (jejich koeficient u nejvyšší mocniny je roven jedné). Definice Necht ω je funkce, o které předpokládáme, že je integrovtelná nezáporná n intervlu, b ω(x) > 0 skoro všude n [, b]. Tkovou funkci budeme nzývt váhovou funkcí. Použitím váhové funkce ω(x) se můžeme podle [17] vyhnout řdě problémů. Jedním z nich je npříkld singulrit integrndu v bodech, které jsou uzly kvdrturní formule. V dlší části se proto budeme zbývt výpočtem integrálu b Dále definujeme sklární součin funkcí. ω(x)f(x)dx. (3.54) Definice Sklárním součinem n prostoru spojitých reálných funkcí n uzvřeném intervlu,b budeme rozumět f, g = b ω(x)f(x)g(x)dx Definice Jestliže f, g = 0, říkáme, že funkce f, g jsou ortogonální n intervlu, b. Vět Pro váhovou funkci ω(x) n intervlu, b existují polynomy p j j = 0, 1, 2,... tkové, že p i, p k = 0 pro i k. Π j Tyto polynomy lze sestrojit pomocí Grm - Schmidtov ortogonlizčního procesu. Vět Kždý polynom p Π k lze vyjádřit jko lineární kombinci ortogonálních polynomů p i Π i, i k. 2. Polynom p n Π n je ortogonální ke všem polynomům p Π n Kořeny kždého polynomu z posloupnosti ortogonálních polynomů jsou reálné, jednoduché leží v (, b). Nyní již můžeme přistoupit k smotné chrkterizci Gussov kvdrturního vzorce. Bližší informce jsou k nlezení v [2], [17] [22]. 37

38 3.4.2 Gussův Kvdrturní vzorec Vět Necht kvdrturní formule ve tvru (3.2) má stupeň přesnosti lespoň n. Předpokládejme, že p n Π n, n = 0, 1,..., jsou ortogonální polynomy n intervlu, b vzhledem k váhové funkci ω. Pk tto formule má stupeň přesnosti 2n + 1, právě tehdy, když uzly x i pro i = 0, 1,..., n této kvdrturní formule jsou kořeny polynomu p n+1 Π n+1. Důkz. Uvžujme kvdrturní formuli (3.2), která má stupeň přesnosti lespoň n. Tuto formuli můžeme podle věty získt npříkld integrcí interpolčního polynomu. Dále uvžujme polynom q(x) Π 2n+1. Zřejmě pltí, že q(x) = p n+1 (x)s n (x) + r n (x), (3.55) kde s n je podíl po dělení polynomu q(x) polynomem p n+1 (x) r n (x) je zbytek po tomto dělení. Nyní vypočteme chybu R(q). R(q) = = = + b b b b ω(x)q(x)dx α i q(x i ) (3.56) i=0 ω(x) [p n+1 (x)s n (x) + r n (x)] dx ω(x) [p n+1 (x)s n (x)] dx ω(x)r n (x)dx i=0 α i [p n+1 (x i )s n (x i ) + r n (x i )] i=0 α i p n+1 (x i )s n (x i ) i=0 α i r n (x i ) Polynom p n+1 (x) je ortogonální s vhou ω(x) k polynomu s n (x). Zároveň pltí, že uzly x i jsou kořeny polynomu p n+1 (x). První sčítnec je tedy roven nule. Z předpokldu plyne, že stupeň přesnosti kvdrturní formule je lespoň n. Proto je i druhý sčítnec roven nule. Pro chybu R(q) pltí, že je rovn nule pro libovolný polynom q(x) Π 2n+1. Stupeň přesnosti kvdrturní formule je tedy 2n + 1. Připomeňme, že tková formule se nzývá Gussov. Gussovy interpolční kvdrturní vzorce volí tedy koeficienty uzly kvdrtury tk, by jejich řád přesnosti byl mximální. Více npříkld v [3] nebo [17]. Odvození Gussov kvdrturního vzorce Podle [2] určíme koeficienty α i Gussovy kvdrtury, tk by pltilo b ω(x)q(x)dx = α i q(x i ), (3.57) i=0 kde q(x) Π 2n+1. Uvžujme ortogonální systém polynomů p 0, p 1,..., p n+1 kořeny x i polynomu p n+1. 38

39 Polynom q(x) můžeme vyjádřit následujícím způsobem q(x) = p n+1 (x)s(x) + r(x), (3.58) kde s Π n je podíl po dělení polynomu q(x) polynomem p n+1 (x) r(x) Π n je zbytek po tomto dělení. Podle (3.4.3) můžeme polynomy s(x) r(x) vyjádřit jko lineární kombinci ortogonálních polynomů. Integrál b ω(x)dx můžeme vyjádřit tkto b ω(x)q(x)dx = b ω(x)s(x)p n+1 (x)dx + b ω(x)r(x)dx. (3.59) Z vlstnosti ortogonálních polynomů uvedených ve větě plyne, že polynom p n+1 (x) je ortogonální ke všem polynomům nižšího stupně. Proto tedy b b ω(x)q(x)dx = ω(x)s(x)p n+1 (x)dx + } {{ } b =0 ω(x)q(x)dx = b b ω(x)r(x)dx, (3.60) ω(x)r(x)dx. (3.61) Polynom r(x) můžeme opět podle věty vyjádřit jko lineární kombinci ortogonálních polynomů. Položme r(x) = Nyní vyjádříme druhý sčítnec β j p j (x), kde p 0 (x) = 1. (3.62) j=0 b ω(x)q(x)dx = = = b b ω(x) ω(x) β j p j (x)dx (3.63) j=0 β j p j (x)p 0 (x)dx j=0 b β j ω(x)p j (x)p 0 (x)dx. j=0 Pokud využijeme větu 3.4.2, je druhý sčítnec, tedy levá strn rovnosti (3.57) rovn b β 0 ω(x)dx. (3.64) Zbývá vyjádřit prvou strnu rovnosti (3.57), která je proztím vyjádřen ve tvru α i q(x i ). (3.65) i=0 39

40 Jestliže využijeme vyjádření (3.58), pk pro prvou strnu rovnosti pltí α i [p n+1 (x i )s(x i ) + r(x i )]. (3.66) i=0 Protože body x i jsou kořeny polynomu p n+1 (x), pltí α i p n+1 (x i )s(x i ) +r(x } {{ } i ). (3.67) i=0 =0 S využitím (3.62) dostneme rovnici b β 0 ω(x)dx = α i i=0 j=0 β j p j (x i ), (3.68) kterou můžeme vyjádřit v mticovém tvru: p 0 (x 0 ) p 0 (x 1 )... p 0 (x n ) α b 0 p 1 (x 0 ) p 1 (x 1 )... p 1 (x n ) α 1 ω(x)dx.... = 0.. (3.69) p n (x 0 ) p n (x 1 )... p n (x n ) 0 Uzlové body x i budeme proto nyní volit podle tvru tzv. váhové funkce ω(x). Jedná se o kořeny polynomů, které jsou ortogonální s váhovou funkcí ω(x). Vlstností, která je pro Gussovu kvdrturu nejpodsttnější je, že pro stejný počet uzlových bodů je přesnější než výsledky získné metodmi zloženými n Newton - Cotesových vzorcích. V rámci práce byl implementován Gussův-Legendrův kvdrturní vzorec s váhovou funkcí ω(x) = 1 n intervlu 1, 1. Odvod me Guss-Legendrovu kvdrturu řádu 5 n intervlu 1, 1, přičemž budeme uvžovt první čtyři Legendrovy ortogonální polynomy p 0 = 1, p 1 = x, p 2 = x 2 1, p 2 3 = x 3 3x. 5 Podle věty je kvdrturní formule Gussov právě tehdy, když jko uzly kvdrtury x i pro i = 0, 1,..., n volíme kořeny polynomu p n+1 (x) Π n+1. Zjistíme proto kořeny polynomu p 3 = x 3 3x. Tyto kořeny jsou x 5 0 = 0, x 1 = α n 3, x 5 2 = Integrál 1 ω(x)dx = 2. 1 Nyní již můžeme sestvit mticovou rovnici tří rovnic o třech neznámých, jejímž řešením jsou koeficienty α i kvdrturní formule α α 1 = 0. α