= mechanická práce. Práce a energie. F s

Transkript

1 Páce a enegie Po voji záadní dležitot bývá mechanicá páce vyvtlována jao jeden z dled pobení íly na hmotný objet (hmotný bod tzv. dáhový úine íly. Ze tední šoly znáte záladní definici fyziální veliiny mechanicé páce teou vyoná ontantní íla pobící na hmotný bod m na pímé dáze dély pod ontantním úhlem α (vzhledem pímce dáhy viz ob.: coα [ Joule] [ J ] α Síla je amozejm veto a jetliže definujeme i dáhu jao veto (je to úea taí jí piadit oientaci napílad ve mu pohybu potom je výše uvedený vztah vlatn aláním ouinem dvou veto : mechanicá páce Po výpoet páce v eálných podmínách dy dáha pohybu je libovolná (pojitá iva a pobící íla není ontantní ale libovolná (pojitá vetoová funce míta muíme nyní tento vztah zobecnit : Kivu dáhy ozdlíme (myšlenov na velý poet ( úe o veliotech (viz. ob: 4... d d

2 Z dvodu jejich velého potu jou tyto úey dáhy nepatné poto je lze pibližn považovat za úey (pen to bude platit až v limit po jejich neonený poet a pidáním oientace ve mu pohybu z nich mžeme vytvoit vetoy : 4... Páv poto že aždý z tchto úe je velmi malý (v limit pa neonen malý nemže e na nm píliš mnit ani veliot íly ani její m (je to pojitá funce - pobící ílu na celém úeu je tedy možno považovat za ontantní veto : 4... yní je ale ituace na tchto úecích dáhy tejná jao v úvodní definici - ontantní íla pobí na pímé dáze - a mžeme poto na aždém úeu vypoítat vyonanou páci podle záladního vztahu : celovou páci vyonanou na celé dáze potom zíáme etením všech tchto jednotlivých (dílích elementáních pací :... Podmíny tohoto výpotu a tedy i uvedený vzoec platí ovšem tím penji ím menší jou jednotlivé úey dáhy tedy ím vtší je jejich poet. Exatní vztah poto dotaneme až v limit po neonený poet úe. V tomto pípad pa ale neonená uma neonen malých len je vlatn matematicou definicí uitého integálu : d lim Jetliže dále využijeme znalotí z inematiy že difeenciální úe dáhy je oven difeenciálu pvodie mžeme taé pát : d d mechanicá páce na obecné dáze Defininím oboem tohoto uitého integálu je zoumaná iva dáhy matematicy e tedy jedná o tzv. ivový integál.

3 Výaz za znaem integálu je elementání páce vyonaná na difeenciálním úeu dáhy a jde vlatn o difeenciální vyjádení jednotlivých len pvodní umy : d d elementání páce Celová páce vyonaná na dané dáze je tedy integálem (limitním outem elementáních pací. Dále : Pi onání páce v eálné ituaci dyž napílad chceme pounout tleo po pedepané dáze vždy muíme pitom vojí ilou peonávat njaé jiné íly. Tyto íly jou ato dledem pobení zných ilových polí na dané tleo (napílad gavitaní pole eleticé a magneticé pole pole pužných il pole tecích il Zabývejme e poto v dalších ádcích pedevším výpotem páce v obyejném gavitaním poli naší Zem ve teém všichni žijeme : Páce v gavitaním poli potenciální enegie Centální tleo hmotnoti M (hmotný bod umítné ve vauu v poátu outavy ouadnic pobí na duhé zušební tleo hmotnoti m teé je v mít ilou : M m κ o ewtonv gavitaní záon de κ je univezální gavitaní ontanta a o je jednotový veto pvodie : κ [ SI] o z - o M 0 o m y x

4 Po doazení jednotového vetou dotaneme jiný tva gavitaního záona : M.m κ ato používaným pojmem je intenzita gavitaního pole : M K κ m o Slovní vyjádení : Intenzita gavitaního pole je (íeln ovna íle pobící na zušební tleo jednotové hmotnoti. Je zejmé že na povchu Zem ( z je tato veliina ovna gavitaní tíhové ontant (zemému tíhovému zychlení : m M g κ z o ebo alán : m M g κ z m. yní poome dále a onétn vypoítejme páci teou vyonáme v gavitaním poli pi (velmi pomalém pounutí tlea o hmotnoti m (hmotného bodu po njaé zadané dáze (ivce z jejího poáteního bodu do oncového bodu. Potože ilové pole pobí na tleo ilou muíme my (tedy vnjší íla - vnjší vzhledem danému poli pobit na tleo ilou tejn veliou a opan oientovanou tj. abychom ílu pole peonali. Pozn. : Penji vzato muíme pobit ješt malou pídavnou ilou navíc po uvedení tlea do pohybu teou lze ale zejm v limit - pi požadavu velmi pomalého pounu - zanedbat. Záladní vztah po páci vyonanou vnjší ilou v ilovém poli pi pohybu tlea na dáze poto bude : d ( páce vnjší íly v ilovém poli Je zejmé že tejný integál ale bez záponého znaména u íly by vyjádil páci ilového pole na této dáze : d ( páce íly pole 4

5 yní doadíme za gavitaní ílu a vytneme ontanty ped integál : Mm o d ( κ o d κ M m ( ( Situace pi výpotu páce je znázonna na obázu. Upavíme dále alání ouin v integálu pitom využijeme známé velioti jednotového vetou : o d o d coα d coα } α o ( t ( t dt o 0 Z obázu je zejmé že alání ouin je pmtem difeenciálu pvodie d do mu pvodie (do mu jeho jednotového vetou a že je tedy vlatn oven difeenciálu velioti pvodie d : o d d coα d Tím e výazn zjednoduší výpoet vyonané páce nebo integál již neobahuje vetoové veliiny : d [ ] M m M m κ κ κ M m κ M m κ M m ( Z výledu vidíme že vyonaná páce vbec nezávií na dáze (na jejím tvau ale závií pouze na poátením a oncovém bodu dáhy. Dále i pedtavme že bychom umožnili zptný pohyb tlea z oncového bodu do bodu poáteního a již bychom tento pohyb nija neovlivovali tj. nechali bychom pacovat ílu gavitaního pole - pa by vyonaná páce byla tejn veliá a my ta voji pvodn vyonanou páci dotaneme zpt : d d 5

6 Vnjší ilou pvodn vyonaná páce je tedy jaoby uchována - zaonzevována v oncovém bodu dáhy a tleo (vlatn pen eeno ilové pole má v tomto mít chopnot vyonat tejn veliou páci (pi návatu do výchozího míta. Silové pole taovou význanou vlatnotí teá umožuje zachování zaonzevování vyonané páce e nazývá onzevativní ilové pole. Tato chopnot tlea vyonat páci pojená jeho (oncovou polohou e nazývá potenciální enegie tlea (hmotného bodu a její veliot e definuje jao veliot této páce tj. páce vyonané tleem pi peunu do polohy poátení. (Tuto páci pojujeme daným tleem v pincipu ji ovšem onají íly pole a ovná e taé páci vyonané námi - vnjší ilou - pi pvodním pohybu z poáteního do oncového bodu. Potože vyonaná páce nezávií na tvau dáhy mezi obma body poátením a oncovým je potenciální enegie jednoznanou funcí míta (tento oncový bod pvodn zvolené dáhy je ovšem jao obecn pomnná veliina ve funci zcela libovolným bodem v potou píšeme ho tedy obecn dále bez indexu a amozejm je taé funcí míta (zde je namít ponechání indexu nebo tento bod je ice taé obecn zcela libovolný ale pi ešení daného poblému e pedem zvolí a ve funci dále vytupuje jao ontanta matematicy to je vlatn paamet funce. Bodové tleo (hmotný bod má tedy v daném mít vzhledem mítu potenciální enegii : p ( κ M m κ M m gavitaní potenciální enegie (obecný tva Kvli záadnímu významu této veliiny zopaujme znovu : gavitaní potenciální enegie je definována jao páce teou vyoná gavitaní pole pi pohybu tlea z daného míta do zvoleného výchozího míta (a je taé ovna páci teou muí nejpve vyonat vnjší íla pi peunu tlea opaným mem - z výchozího míta do daného míta. Poznáma : Ze tední šoly i jit pamatujete jednoduchý vzoec po potenciální enegii : p mgh ení tento vztah v ozpou naším poledním vzocem? Uažte i na cviení že nioliv a že jde pouze o jeho limitní tva. 6

7 dále - zejména v teoeticých výpotech e po potenciální enegii vtšinou volí výchozí míto v neonenu tj. matematicy zapáno : V této limit je potom ve vztahu po potenciální enegii duhý len nulový - zbavíme e ta záviloti na poátením tavu tlea (na jeho poátení poloze a dotáváme velmi jednoduchý tva : p ( κ M m gavitaní potenciální enegie (peciální tva Stanovme opt význam : je to páce teou vyoná gavitaní pole pi pohybu tlea z daného míta do neonena (a je taé ovna páci teou muí nejpve vyonat vnjší íla pi peunu tlea opaným mem - z neonena do daného míta. S využitím poledního vztahu mžeme nyní nadno zapat pvodní vyonanou páci (vnjší ilou pi peunu tlea mezi dvma míty : M m κ d κ M m Páce potebná po pemítní tlea mezi dvma míty je tedy ovna ozdílu potenciálních enegií mezi tmito míty. (omáln tejný vztah platí pi jaéoliv volb výchozího míta doažte ami. p ( p ( p p ato používanou veliinou v gavitaním poli je taé : p ϕ ( m gavitaní potenciál Význam gavitaního potenciálu je opt velmi názoný : Je to potenciální enegie tlea jednotové hmotnoti - tedy páce gavitaního pole potebná peneení tlea jednotové hmotnoti z daného míta do neonena. Pa lze zapat vyonanou páci taé pomocí ozdílu potenciál mezi dvma míty : p p m ( ϕ ϕ Poovnejte píští emet tento gavitaní potenciál potenciálem eletotaticým teý je vli jeho atému používání v eletotechnice amozejm daleo známjší fyziální veliinou. Dále zavedeme pojem ineticé enegie. 7

8 Kineticá enegie yní i budeme všímat zmny pohybového tavu hmotného bodu pojené onáním páce mezi dvma míty dáhy. ejpve upavíme pohybovou ovnici : m a m dv dt bychom dotali vztah po elementání páci vynáobíme ovnici alán difeenciálem pvodie: d m dv d m dv v dt K úpav vznilého aláního ouinu na pavé tan použijeme vztah po veliot vetou : v v v Tuto ovnici deivujeme podle au nebo jednodušeji difeencujeme : v dv Dotaneme : v dv dv v v dv v dv dv v Což doadíme do vztahu po elementání páci : d m dv v m v dv by bylo možno jednoznan tanovit ouvilot veliinami pedchozího odtavce budeme dále pedpoládat že páce e opt oná v ilovém poli gavitaní íly. Výše uvedenou elementání páci na difeenciální dáze 8 d nech tedy oná íla gavitaního pole a z ovnice (z její pavé tany vidíme že dledem je vzni difeenciálu tj. pítu ychloti hmotného bodu. Konání páce ilovým polem má tedy za nálede zvyšování ychloti tlea (pedtavte i napílad volný pád v gavitaním poli Zem. Pedpoládejme onétn že onáním páce pobící ilou pole na njaé dáze mezi poátením bodem a oncovým bodem e zvýší ychlot tlea (hmotného bodu z hodnoty v na v. Vyonaná páce tedy bude (její oznaení je ve hod oznaením páce gavitaního pole v pedchozím odtavci o potenciální enegii : d Po doazení za elementání páci mžeme lehce povét výpoet uitého integálu : v v v d m v dv m v dv m v mv v v v [ ] mv

9 Vidíme že tejn jao u potenciální enegie ani tato páce nezávií na tvau dáhy doonce ani nezávií na poloze poáteního a oncového bodu dáhy - dležitý je pouze poátení a oncový pohybový tav tlea (poátení a onená ychlot. Mžeme ontatovat že vyonaná páce je opt uladnna zaonzevována tentoát ovšem v pohybovém tavu tlea a to má tedy v tomto tavu opt chopnot vyonat tejn veliou páci (pi návatu do pvodního pohybového tavu tj. pi zabzdní tlea. Tato chopnot tlea vyonat páci pojená jeho pohybovým tavem e pa nazývá ineticá enegie tlea. bychom tejn jao u potenciální enegie vylouili závilot na poátením tavu tlea (nyní pohybovém pedpoládejme poátení nulovou ychlot (v 0. Potom je duhý len na pavé tan oven nule a ineticá enegie je tedy definována jednoduchým vztahem : ( v mv ineticá enegie (hmotného bodu Kvli záadnímu významu této veliiny opt zopaujme : Kineticá enegie je definována jao páce teou tleo (hmotný bod hmotnoti m vyoná dyž bude zabzdno z ychloti v do lidového tavu (a teou njaá pobící íla napílad ilové pole muí nejpve vyonat pi uvedení tlea z lidu do pohybu touto ychlotí v. Pozn. : yní pi znaloti ineticé enegie už jit ozumíme požadavu na velmi pomalé poouvání tlea na dáze pi definici enegie potenciální. S využitím veliiny ineticé enegie pa taé mžeme pepat vztah po páci pobící íly (ilového pole do tvau : d mv mv Páce potebná po pemítní tlea mezi dvma míty (pobící ilou - ilovým polem je tedy ovna ozdílu ineticých enegií mezi tmito míty. ( v ( v Z pedchozího odtavce ale taé víme že páci pi pemítní tlea lze ovnž vyjádit ozdílem potenciálních enegií mezi tmito míty.. až nyní tedy vlatn matematicy uplatníme pedpolad že tleo e pohybuje v ilovém (gavitaním poli : d d p p 9

10 Dotáváme ta vztah po potenciální a ineticé enegie hmotného bodu v poátením a oncovém bodu dáhy : p p Po peupení len vznine velmi záadní ovnice po ouet obou enegií v tchto bodech : p p Poátení a oncové body dáhy tejn jao dáha ama jou ovšem v potou (v ilovém poli obecn zcela libovolné potom tedy mžeme ontatovat že : Souet potenciální a ineticé enegie má v jaémoliv mít onzevativního ilového pole tále tejnou hodnotu. Tento ouet e nazývá celová mechanicá enegie a dopli jme ta velmi dležitému záonu mechaniy : p ont. záon zachování celové mechanicé enegie Uvedený záon byl odvozen po hmotný bod platí ovšem i po všechny hmotné objety (teé jou vlatn z hmotných bod atom - loženy. Jediným pedpoladem záona zachování enegie je onzevativní ilové pole. Kom gavitaního pole je onzevativní taé pole eletotaticé a pole pužných il výpoty v tchto polích jou ta díy platnoti záona zachování mechanicé enegie velmi pohodlné. Konzevativnot bohužel nejeví napílad pole magneticé a pole tecích il. Dležitot onzevativnoti ilového pole podthuje ješt náledující átý odtavec. Další vlatnoti onzevativního pole Víme už že v taovém ilovém poli nezávií vyonaná páce pi peunu tlea z míta do míta na tvau dáhy. Jetliže tedy zvolíme dv zné dáhy (ivy a pojující oba body (viz ob. pa muí být páce na tchto dahách napoto tejné : 0

11 ( d ( d nezávilot páce na dáze U pavého integálu pa pehodíme meze - tím zmní znaméno - a pevedeme ho na levou tanu : ( d ( d 0 yní lze oba integály na levé tan ovnice eít (pojit do jediného integálu po výledné ivce ložené z obou jednotlivých ive (jde o tzv. uzavenou ivu a integál má peciální oznaení : d 0 integál po uzavení ivce Potože ob pvodní ivy byly libovolné a pojovaly libovolné dva body platí integál po jaouoliv uzavenou ivu v potou ilového pole a nepíšeme poto žádné oznaení této ivy : d 0 celová páce na libovolné uzavené dáze (je nulová Slovní vyjádení : Celová vyonaná páce na uzavené dáze (pi obhu uzavené ivy tj. pi návatu do výchozího míta je nulová. Pozn. : Pitom amozejm na nteých átech dáhy je vyonaná páce ladná a na jiných átech dáhy je záponá Tento vztah po mnoho taletí velmi znenadoval nadšeným vynálezcm ontuci mechanicého vn pacujícího toje - pepetua mobile (. duhu.

12 V onzevativním eletotaticém poli je výše uvedený vztah záladem Kichhofova záona o obhu uzavené myy eleticého obvodu (ouet naptí zdoj a úbyt naptí na odpoech je nulový nebo všechno to jou páce v eleticém poli ladné i záponé. V temodynamice mají podobnou vlatnot tavové veliiny (to jou tavové pomnné jao tla objem teplota ale jde hlavn o tavové funce jao je vnitní enegie entopie entalpie volná enegie atd. obecn temodynamicé potenciály uzavenou ivou zde ovšem není utená dáha v potou ale tejn geometicy uzavená iva uhového dje v gafu tavových pomnných (napílad v pvdiagamu. V píštím emetu (Y i ješt uážeme další vztahy ve tvau difeenciálních opeátoových ovnic po intenzitu a potenciál eletotaticého pole teé jou evivalentní výše uvedeným integálním vztahm : E ot E gadϕ 0 V našem gavitaním poli pa platí analogicé ovnice po gavitaní intenzitu (nebo ílu : K gadϕ ot K onec apitoly K. Ruá veze 0/006 ev. 0/007