x = f(x), ) [ x(0) x 0 < δ = x(t) x 0 < ε t 0] > 0 x(0) x 0 < = lim x(t) = x 0 ¾µ x = Ax, A R n n µ
|
|
|
- David Horáček
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ËØ Ð Ø Î Ø ØÓ Ô ØÓÐ Ù Ñ Þ Ú Ø ÓÚ Ò Ñ Ò ÔÖÓ ÓÙ Ó Ò Ó¹ Ò Ò º ÍÚ öù Ñ ÓÙ Ø ÚÙ ÖÓÚÒ x = f(x), ½µ f C 1 (Ω,R n ) Ω R n x : R Ωº Æ ð x 0 Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ø º f(x 0 ) = 0º Ó x 0 Ò ÞÚ Ø ÐÒ ØÐ ö ( ε > 0 )( δ > 0 ) [ x(0) x 0 < δ = x(t) x 0 < ε t 0] x(t) Ò ½µ ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò ÓÙ x(0) Ú t = 0º Ó x 0 Ò ÞÚ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ¹Ð Ø ÐÒ Ò Ú ( ) [ ] > 0 x(0) x 0 < = lim x(t) = x 0 ¾µ t Ó x 0 Ò ÞÚ Ò Ø ÐÒ Ò Ò ¹Ð Ø ÐÒ º Æ ÞÓÖÒ ÒÓ Ø Ð Ø ÞÒ Ñ Ò ö Ò Þ Ò Ð Þ Ó x 0 Þó Ø Ò Ð Þ Ó x 0 ÔÖÓ Ú Ò t 0º ÝÑÔØÓØ Ø Ð Ø ÞÒ Ñ Ò Ò Ú ö Ò Þ Ò Ð Þ Ó x 0 ÓÒÚ Ö Ù x 0 ÔÖÓ t º Ë ÑÓØÒ ÔÓ Ñ Ò ¾µ ö x 0 ØÞÚº ÐÓ ÐÒ ØÖ ØÓÖº Ì ØÓ ÔÓ Ñ Ò Ó Ò Ò ÑÔÐ Ù Ø Ð ØÙ Ú Þ Î ÒÓ Ö ÓÚóÚ Ý Ø Ñ Ò ö µº Ä Ò ÖÒ Ý Ø ÑÝ ÈÖÓ Ð Ò ÖÒ Ý Ø ÑÝ ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ Ø x = Ax, A R n n µ ØÙ ÒÓ Ù º  ¹Ð Ñ Ø A Ö ÙÐ ÖÒ Ñ ÖÓÚÒ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ó x 0 = 0 Ó Ø Ð Ø ÙÖ Ò Ò Ð Ù Ú ØÓÙº ÈÓ Ù A Ò Ò Ö ¹ ÙÐ ÖÒ Ñ ÖÓÚÒ Ð ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ó Ø ÒÑ ØÝÔ Ñ Ø Ð ØÝ ÔÐ Ø ÔÖÓ Ò Ø ö Ò Ð Ù Ú Ø ºµ Î Ø ½ Ä ÔÙÒÓÚÓÚ µº Â Ò ÓÙ Ø Ú µ ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ Ø Aº µ Ó 0 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÖ Ú Ýö Ñ Ú Ò ÚÐ ØÒ Ð A Þ ÔÓÖÒÓÙ Ö ÐÒÓ٠غ µ Ó 0 Ø ÐÒ ÔÖ Ú Ýö Ñ Ú Ò ÚÐ ØÒ Ð A Ò Ð ÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø ÂÓÖ ÒÓÚÝ Ù Ý Ô ÐÙ Ò ÚÐ ØÒ Ñ ÐóÑ ÒÙÐÓÚÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø Ñ Ú Ð Ó Ø Ò º ½
2 µ Ó 0 Ò Ø ÐÒ ÔÖ Ú Ýö Ñ ÔÓ ÒÓ ÚÐ ØÒ ÐÓ A Ð ÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø Ò Ó Ñ ÒÙÐÓÚÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø Ô ÐÙ Ò ÂÓÖ ÒÓÚ Ù Ñ Ú Ð Ó Ø ÔÓ ¾º Ì ØÓ Ú Ø ÔÐÝÒ Ò Þ ÚÔÓ ØÙ Ò Ú Þ Ô ØÓÐ Ó Ñ Ø ÓÚ ÜÔÓÒ Ò ¹ Ð º Ý ÓÑ Ù Ò Ò Ð ÚÝ ÓÚ Ò Ô ÔÓÑ Ñ ö ÑÒÓö ÒÙ ÚÐ ØÒ Ð Ñ Ø A Ò ÞÚ Ñ Ô ØÖ Ñ ÞÒ Ñ σ(a)º Ð Þ Ú Ñ ÓÞÒ Ò s(a) := max{reλ : λ σ(a)}º ÌÓØÓ ÐÓ Ø Ö Ñ Þ Ò ÚÞÒ Ñ ÔÖÓ Ø Ð ØÙ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ó Ò Ý Ò ÞÚ Ô ØÖ ÐÒ Ñ Þº È ÔÓÑ Ñ Ø Ð ÓÚ Ó Ó Ø Ö Ñ Ñ ö ÞÑ Ò Ð Ú Ô ØÓÐ Ó Ñ Ø ÓÚ ÜÔÓÒ Ò Ð ÔÖÓ ö β > s(a) Ü ØÙ M 1 Ø ö ÔÐ Ø e ta Me βt ÔÖÓ Ú Ò t 0. µ È Ð ½º Æ Ø Ò ÓÙ Ø ÚÝ x = x ÓÚ Ø ö Ú Ð Ú ÓÙÐ Ù ØÚÖÞ Ò Ñ Î ØÝ ½º à Ò º ÍÔÖ ÚÙ Ñ λ¹ñ Ø λ (λ 2 +9λ+14) λ+7 3 λ λ λ λ+2 0 (λ 2 +9λ+12) 5 0 (λ 2 +9λ+12) 5 3 λ λ (λ+2) 0 (λ+7)(λ 2 +4λ+2) 0 Ç ØÙ Þ Ú Ñ λ 1 = 7 λ 2,3 = 2± 2 x 2 (t) = ce 7t +de ( 2+ 2)t +fe ( 2 2)t, c,d,f R. Ð Þ Ñ ö Ø x 1 x 3 Ù ÓÙ Ð Ò ÖÒ Ñ ÓÑ Ò Ñ Ø ØÓ Ø ÜÔÓÒ Ò Ðº ÈÖÓØÓö Ú Ò λ Óö ÓÙ Ú ÙØ ÒÓ Ø ÚÐ Ò Ð Ñ Ø ÓÙ Ø Úݵ ÓÙ Þ ÔÓÖÒ Ò Ó Ø Ú Ñ ö x i 0 Ð Ò (0,+ ) ÔÖÓ i = 1,2,3 Ø Ý ÒÙÐÓÚ Ò ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º ÓÔÓ Ø Ñ ¹Ð x 1 x 3 Ó Ø Ò Ñ x 3 (t) = 2 5 ce 7t + 2de ( 2+ 2)t 2fe ( 2 2)t x 1 (t) = 8 15 ce 7t de ( 2+ 2)t fe ( 2 2)t. 3 ¾
3 ÈÓÞÒ Ñ º Â Ú Ó Ò Þ óö ÞÒ Ø ö Ö Ø Ö Ô ÓÞ Ú ØÝ Ò ÐÞ ÔÓÙö Ø Ú Ô Ô Ò ÙØÓÒÓÑÒ ÖÓÚÒ Ø º ÔÓ Ù A Þ Ú Ò º ÌÓ Ó ÐÙ ØÖÙ Ô Ð Äº Å ÖÙ Àº Ñ Ó ÙÚ öù Ñ Ñ Ø ( ) 3cos2t 1, 4 3sin2t A(t) = sin2t, 1 3cos2t ËÒ ÒÓ ÔÓ Ø ö ÔÖÓ ö t Ñ ÚÐ ØÒ Ð A(t) ØÖ ØÒ Þ ÔÓÖÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø Ó ÓÒ λ 1,2 = 1 4 ( 1± 7i) Ò Þ Ú Ð Ò tº Ú ÙÒ ( ) cost x(t) = e t sint Ò Ñ ÓÙ Ø ÚÝ x = A(t)x Ø Ý Ø ØÓ ÖÓÚÒ Ò Ø ÐÒ º Æ Ò Ô Ð Ø ö ÔÓ ÓÔ Ø ÔÓ Ø ØÙ ÙÚ Ò Ó ÔÖÓØ Ô Ð Ùº ËÓÙÚ Ø Ñ ö Ò Ú Ô Ô ÓÒ Ø ÒØÒ Ø ÐÒ Ñ Ø Ò Ò ÑÙ Ò Ù Ø Ð Ò Ô Ð öóú Ø ÒÙÐ º ÃÙÔ Ð Ù Ò ÓÙ Ø ÚÝ y = A(0)y ÔÓ Ý Ù ÔÓ Ð ÔØ Ô Ö Ð Þ Ó Ö Þ Ù Ô ØÖÒ ö Ú Ð Þ Ó Ø Ó Ý x ÚÞ ¹ Ð ÒÓ Ø Ó ÔÓ Ø Ù Ó Ò ÞÚ Ø Ù º Å Ø A(0) ÒÝÒ ÒÓ Ù Ú Ó ÒÓÙ ÖÝ ÐÓ Ø Ø Ñ Ú Ñ ÖÙ ÔÓ Ý Ù Ò Ñö Ó Ð Ñ ØÖÚ Ð Ó Ó ØÐ ÓÚ Ò Ø Ý Ò Ø Ð Øݺ ÐÓ Ý ½º Æ Ø Ò Ý Ø Ñó Ò Ð Ù Ñ Ñ Ø Ñ A ÓÚ Ø ö ÝÑÔØÓØ ÓÚ Ò Ó Ù ØÚÖÞ Ò Ñ Î ØÝ ½º A = , ,
4 ¾º Æ Ø ÒÙØÒÓÙ ÔÓ Ø Ù ÔÓ Ñ Ò Ù ÔÖÓ ØÓ Ý Ú Ò Ò ÖÓÚÒ µ ÝÐ ÓÑ Þ Ò Ò Rº º ÈÓ Ù ¼ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ó ÓÙ Ø ÚÝ µ Ó ÒØÝ Ñ Ø B R n n ÓÙ Ó Ø Ñ Ð Ô ¼ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ó ÓÙ Ø ÚÝ x = (A+B)xº º ÓÖÑÙÐÙ Ø ÒÙØÒ ÔÓ Ø Ù ÔÓ Ñ Ò Ý Þ Ò ö Ñ Ö ÐÒ Ñ Ø 2 2 ÚÐ ØÒ Ð Þ ÔÓÖÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø º º ÈÓ Ù Ü ØÙ Ò ÖÓÚÒ µ Ø Ö Ò ÓÑ Þ Ò Ò (0,+ ) Ô Ü ØÙ Ò ÒÙÐÓÚ Ò x 2 ÔÖÓ Ø Ö lim t x 2 (t) = 0º Ó öø Ò Ó Ò Ø ÔÖÓØ Ô Ð º º Í öø ö ÒÙÐÓÚ Ò Ð Ò ÖÒ ÐÓ Ý ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÖ Ú Ýö Ø ÒÓÑ ÖÒ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ø ÐÒ Ø º Ü ØÙ M c > 0 ÔÐ Ù x(t) Me ct x(0) º à Ò ½µ µ à Ò ÓÙ Ð Ò ÖÒ ÓÑ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð e 2t e 2t e t º à Ò Ñ Ò Ô Ð ØÖÓ x 2 (t) = C( 2 3 e t e2t e 2t ), x 1 (t) = C( 1 3 e t e2t 1 4 e 2t ), x 3 (t) = C( 1 3 e t e2t ), C Rº ËÐÓö Ý ØÓ ÓØÓ Ò Ð ö Ò ÓÒ ÒÙ ð ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Cµ ÓÐ Ñ Ð º ÆÙÐÓÚ Ò Ò Ø ÐÒ º ÎÐ ØÒ Ð Ñ Ø ÓÙ 2 2 1º µ à Ò ÓÙ x 2 (t) = 1 4 C 1 4 Ce 8t +D 3 8 F Fe 8t, x 1 (t) = 1 2 C 1 2 Ce 8t F Fe 8t, x 3 (t) = 3 4 C Ce 8t F 3 8 Fe 8t Ø º ÒÙÐÓÚ Ò Ø ÐÒ Ð Ò Ò ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º ÎÐ ØÒ Ð ÓÙ Ü ØÙ Ú ÚÐ ØÒ Ú ØÓÖÝ ÚÐ ØÒ ÑÙ ÐÙ ¼ Ø º Ú ÂÓÖ ÒÓÚÝ Ù Ý Ú Ð Ó Ø ½º µ à Ò ÓÙ Ð Ò ÖÒ ÓÑ Ò ÙÒ 1, e t/2 cos( 11/2t), e t/2 sin( 11/2t),
5 Ø º ÒÙÐÓÚ Ò Ø ÐÒ Ð Ò Ò ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º ÎÐ ØÒ Ð ÓÙ 0 1/2+i 11/2 1/2+i 11/2º ¾µ ÎÐ ØÒ Ð Ñ Ø A ÓÙ ÖÝÞ Ñ Ò ÖÒ Ñ ÂÓÖ ÒÓÚÝ Ù Ý Ú Ð Ó Ø ½º Î Ò Ò ÓÙ Ô Ð Ò ÖÒ Ñ ÓÑ Ò Ñ ÙÒ sinλ i t cosλ i tº µ à Ýö Ñ Ø C ÒÚ ÖØ ÐÒ B < C 1 1 Ô Ø C + B ÒÚ ÖØ ÐÒ Ò Óð C+B = C(I+C 1 B) (C+B) 1 = i=1 ( C 1 B) i C 1 º ÌÚÖÞ Ò Ó Ø Ò Ñ ÔÐ ØÓ ÓØÓ ØÚÖÞ Ò Ò C = λ A Ú ÓÑ Ò Ó Ñ (λ A) 1 1 kd(0,σ(a)) k R Þ Ú Ò Ò A Ò ÓÐ Ò λº µ ÈÖ Ú Ýö deta > 0 tra < 0º Æ ÚÓ ÔÓÐÝÒÓÑ x 2 +px+q Ñ Ó ÒÝ Þ ÔÓÖÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø ÔÖ Ú Ýö p > 0 q > 0º µ ÌÚÖÞ Ò Ò ÔÐ Ø ÔÖÓØ Ô Ð Ñ ( ) 0 1 A = 0 0 Ò x 1 (t) = (t,1)º Î Ò Ò ÓÙ Ð Ò ÖÒ Ñ ÓÑ Ò Ñ ÙÒ 1 tº µ ÈÐÝÒ Þ ÓÒ ØÖÙ e ta ÔÓÑÓ ÂÓÖ ÒÓÚ ØÚ ÖÙ Ñ Ø c = s(a)+ǫº Ä Ò Ö ÞÓÚ Ò Ø Ð Ø Ò Ø Ð Ø µ Å Ñ Ò Ð Ò ÖÒ Ý Ø Ñ ½µ Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ó x 0 º È ÞÒ Ò x = y +x 0 Ñóö Ñ Ô Ø y = f(y +x 0 ) = f(x 0 )+ f(x 0 )y +r(y) = Ay +r(y), r(y) = o( y ) ÔÖÓ y 0º Æ Ó ÓÐ Ó Ù x 0 Ò Ó Ð Ò ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø A = f(x 0 ) Ñ ÐÓÙ ÔÓÖÙ ÓÙ rº Æ Ò Ø Ý Ú Ð Ñ Ô Ú Ô Ò Ñ ö ÔÐ Ø Ò Ð Ù Ú Ø Î Ø ¾ Ä Ò Ö ÞÓÚ Ò Ò µ Ø Ð Ø ºµº Æ ð f(x) Ø Ý C 1 Ò Ó ÓÐ x 0 º ÒÙ Ñ Ñ Ø A := f(x 0 )º µ  ¹Ð s(a) < 0 x 0 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º µ  ¹Ð s(a) > 0 Ô x 0 Ò Ò Ø ÐÒ º ÈÓÞÒ Ñ º ÍÚ Ò Ú Ø Ò ÒÓ ÔÐ Ù Ó Ùö Ð Ú Ò ÔÓ ÖÚ Ú ¹ ÒÝ ÑÓöÒÓ Ø º Î Ø Ò Ò Ó Ö Ò Ò Ô Ô ÚÐ ØÒ Ð ÒÙÐÓÚÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø µ Ý Ñ Ð ÔÓÖÙ r Ñóö ÚÝ Ð Ø ÓÚ Ò Ò Ò ÒÙ
6 ÖÙ ÓÙ ØÖ ÒÙº Î Ø ÓÚ Ñ Ô Ô ÔÓØ ÔÓÙö Ø ÔÓ ÖÓ Ð Ø Ò Ý Ð ÔÙÒÓÚ ÙÒ Ò Ó Ä Ë ÐÐ Ó ÔÖ Ò Ô ÒÚ Ö Ò Ú Þ Ò Ð Ù Ø Ä ÔÙÒÓÚ Ø Ð Ø Ú Þ Ø ö Ô ØÓÐÙ ÝÒ Ñ Ý Ø ÑÝ µº È Ð ¾º Æ Ð ÞÒ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ò Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ ÖÓÞ Ó Ò Ø Ó Ø Ð Ø x = 2xy, z y = x 2z 2 +8, z = z 2 y 2. à Ò º ÈÖÚÒ ÖÓÚÒ ÚÝÒ Ó Ñ z 0 Ñ ÓÙ Ø ÚÙ 2xyz = 0, x 2z 2 +8 = 0, z 2 y 2 = 0. ÔÖÚÒ ÖÓÚÒ Ñ Ñ x = 0 Ò Ó y = 0 Ò Ó z = 0 Ð z = 0 Ùö Ñ ÚÝÐÓÙ Ð µº ÈÓ Ù y = 0 Ñ Ñ Þ Ø Ø ÖÓÚÒ z = 0 Óö ÔÓÖº Ú Ø Ý x = 0 Þ ÖÙ ÖÓÚÒ z = ±2 Þ Ø Ø y = ±2º Å Ñ Ø Ý Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý [0,2,±2] [0, 2,±2]º Ð Ñ Ñ 2yz 2xz 2xy f(x,y,z) = 1 0 4z. 0 2y 2z ÈÓ Ù Ñ y z Ø Ò ÞÒ Ñ Ò Ó Ø Ú Ñ f(0,±2,±2) = ±4 ÔÖÚ Ó Ù Ú Ñ ö 8 ÚÐ ØÒ ÐÓ ØÝØÓ Ó Ý ÓÙ Ø Ý Ò Ø ÐÒ º Ð f(0,2, 2) = Ø ÖÑ Ò ÒØ λ f(x 0 ) (λ + 8)(λ(λ + 4) + 32) Óö Ú Ó ÒÝ 8 2±2i 7 Ø º Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ø ÐÒ º Æ ÓÔ f(0, 2,2) =
7 Ú Ø ÖÑ Ò ÒØ (λ + 8)(λ(λ 4) + 32) Ø Ö Ñ ¾ ÓÑÔÐ ÜÒ Ó ÒÝ Ð ÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø º Ó [0, 2,2] Ø Ý Ò Ø ÐÒ º È Ð º È Ó Ñ ÔÓÐ ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ Ù öø ö ÔÓ Ø ÝÑÔØÓ¹ Ø Ý Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ò Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ Ô ØÓö Ü ØÙ ÒÙÐÓÚ ÚÐ ØÒ Ð Ñ Ø f(0)º x = (x 2 +y 2 )(2x+2y +y 2 ) y = (x 2 +y 2 )(x+2y). ÈÓÞÒ Ñ º Î ÐÓ ØÓÑÙØÓ Ø Ñ ØÙ Ò Ð ÞÒ Ø Ð Ô Ð Ý ÝÑÔØÓ¹ Ø Ý Ø ÐÒ Ò Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ó Ð Ò Ö ÞÓÚ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ù ÒÙÐÓÚ ÚÐ ØÒ Ð º Î Ô ØÓÐ Ó Ð ÔÙÒÓÚ Ø Ð Ø Ô Ò Ø Ô Ð ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ó Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ó Ù Ø Ö ÔÓ Ð Ò Ö Þ Ø Ò Ò Ø ÐÒ Ñ ÐÓ µº à Ò º Ú Ñ Ù Ø ØÙ x = rcosφ y = rsinφ Ó Ø Ò Ñ r cosφ rsinφφ = r 3 (2cosφ+2sinφ+rsin 2 φ) r sinφ+rcosφφ = r 3 (cosφ+2sinφ). ÈÖÚÒ ÖÓÚÒ ÚÝÒ Ó Ñ cosφ ÖÙ ÓÙ sinφ Ø Ñ r = r 3 (2+3sinφcosφ+rsin 2 φcosφ). ÈÖÓØÓö 3sinφcosφ 3/2 rsin 2 φcosφ > 1/2 ÔÖÓ Ó Ø Ø Ò Ñ Ð r ÔÖ Ú ØÖ Ò Ò Ó ÓÐ ¼ Ñ Ò Ò ö εr 3 Ò Ø Ý ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º ÈÓ ÖÓ Ò Ó ÓÚ Ò Ò Ò Ó ÓÐ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ó Ù ÓÚÓ À ÖØÑ Ò¹ ÖÓ Ñ ÒÓÚ Ú Ø º à Ò Ñ ö Ø ÓÒ ÖÒ Ó ÝÔ Ö ÓÐ ÔÓ Ù ö Ò ÚÐ ØÒ ÐÓ Ñ Ø f(x 0 ) Ò Ñ ÒÙÐÓÚÓÙ Ö ÐÒÓ٠غ Î Ø º Ù x 0 ÝÔ Ö ÓÐ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ÖÓÚÒ ½µ ÓÞÒ Ñ A := f(x 0 )º È Ü ØÙ U Ó ÓÐ ¼ V Ó ÓÐ x 0 ÓÑ ÓÑÓÖ ÑÙ Φ : U V Ø Ö ÞÓ Ö ÞÙ Ò Ð Ò ÖÒ ÖÓÚÒ µ Ò Ò Ò Ð Ò ÖÒ ÖÓÚÒ ½µº È Ð º Æ ÖØÒ Ø ÓÚ Ò Ò Ú Ó ÓÐ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ó x = x 2 +y 2 1 y = e x+y 1. à Ò º ÈÖÓØÓö Þ ÖÙ ÖÓÚÒ x + y = 0 Þ ÔÖÚÒ ÖÓÚÒ x 2 + y 2 = 1 Ñ Ñ Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý [ 2/2, 2/2] [ 2/2, 2/2]º Ä Ò Ö ÞÓÚ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Y = AY = f(x 0 )Y Ñ Ú ÔÖÚÒ Ñ Ó ØÚ Ö Y = ( ) Y.
8 ÎÐ ØÒ Ð Ø ØÓ Ñ Ø ÓÙ 1 2 ( 1+ 2± (1+ 2) 2 8 ) 2. ÎÐ ØÒ Ð ÓÙ Ø Ý ÓÑÔÐ ÜÒ Ð ÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø Ò Ø Ý Ò Ó ÓÐ Ó Ù [ 2/2, 2/2] ÓÚ Ó Ò Ø ÐÒ Ú Öº Î ÖÙ Ñ Ø ÓÒ ÖÒ Ñ Ó Ñ Ñ Y = ÎÐ ØÒ Ð Ø ØÓ Ñ Ø ÓÙ 1 2 ( 1 2± ( ) Y. (1 2) 2 +8 ) 2. ÎÐ ØÒ Ð ÓÙ Ö ÐÒ ÒÓ Ð Ò ÖÙ Þ ÔÓÖÒ Ò Ø Ý Ò Ó ÓÐ Ó Ù [ 2/2, 2/2] ÓÚ Ó ÐÓÚ Ó º ÐÓ Ý º ÈÖÓ Ø Ö Ó ÒÓØÝ Ô Ö Ñ ØÖó ÓÙ ÓÙ Ø ÚÝ x = x+ay y = x y Ø ÐÒ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ µ º ÎÝ Ø Ø Ø Ð ØÙ ÔÓ Ø Ù x = ax+by y = bx+ay º ÎÝ Ø Ø Ø Ð ØÙ ÔÓ Ø Ù x = 4(e x 1) 2y 4z +y 2 y = x 3y z +(x+y)y 2 z = 4z +sinhx+(x+y)z 2 x = 11x 48y 16z +xyz y = x+3y +2z +x 2 yz z = 2y +2z +sinx ½¼º Æ Ð ÞÒ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ò Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ ÖÓÞ Ó Ò Ø Ó Ø Ð Ø x = sin(xy) 1 2, y = xy y,
9 ½½º Æ Ð ÞÒ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ò Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ ÖÓÞ Ó Ò Ø Ó Ø Ð Ø x = 1 x 2 y 2, y = z 2 x y, z = z 2 1. ½¾º Æ Ð ÞÒ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ò Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ ÖÓÞ Ó Ò Ø Ó Ø Ð Ø x = xy 2x y +2, y = xy +yz +xz, z = 2y(z+1). ½ º ÍÚ öù Ø Ð ÖÒ ÖÓÚÒ x = f(x)º Æ ð f ÔÓ Ø f(x 0 ) = 0º µ Ô ÔÓ Ð ó ØÝÔÙ f > 0 f 0µ Ò (x 0,x 0 + δ) Ö Ôº Ò (x 0 δ,x 0 ) Þ ÓÖÑÙÐÙ Ø Ó öø ÔÓ Ø Ù ÔÓ Ñ Ò Ý ÔÖÓ Ø Ð ØÙ Ò Ø Ð ØÙ ÝÑÔØÓØ ÓÙ Ø Ð ØÙµ Ó Ù x 0 º µ Í öø ö Ú Ô Ô f (x 0 ) 0 Ó Ø Ú Ñ Ú ØÙ Ó Ð Ò Ö ÞÓÚ Ò Ò µ Ø ¹ Ð Ø Ó Ô ÐÒ Ô Ô º µ Æ ð f(x) = a(x x 0 ) n + g(x) g(x) = o((x x 0 ) n ) ÔÖÓ x x 0 a 0 n Nº ÔÓ Ñ Ò Ò a n x 0 Ø ÐÒ ½ º È Ó Ñ ÔÓÐ ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ Ù öø ö ÔÓ Ø Ò Ø ÐÒ Ø ¹ ÓÒ ÖÒ Ó Ò Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ Ô ØÓö Ð Ò Ö ÞÓÚ Ò ÓÙ Ø Ú Ø ÐÒ º x = y +x 3 y = x+y 3 È Ó Ñ ÔÓÐ ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ ØÙ Ù Ø Ø Ð ØÙ ÔÓ Ø Ù ½ º x = 2y +ax x 2 +y 2 y = 2x+ay x 2 +y 2 ½ º x = y +ax(x 2 +y 2 ) y = x+ay(x 2 +y 2 )
10 ½ º x = y axy 2 y = x+ax 2 y ½ º x = y(x 2 +y 2 a) y = x(x 2 +y 2 a) ½ º x = y( a+x 2 +y 2 ) y = x( a+x 2 +y 2 ) ¾¼º x = 2y +ax(x 2 +y 2 ) 2 y = 2y +ay(x 2 +y 2 ) 2 ¾½º x = 4y +ax x 2 +y 2 y = 4x+ay x 2 +y 2 ¾¾º ÎÝ Ø Ø Ø Ð ØÙ ÔÓ Ø Ù ÔÖÓ f ÑÓÒÓØ ÒÒ Ò Ó ÓÐ ÒÙÐÝ x = y +xf(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 y = x+yf(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 ¾ º Î ÒÓ Ö ÓÚóÚ Ý Ø Ñºµ Í öø ö ÔÓ Ø Æ Æ Ø ÐÒ Ø ö ÐÓ ÐÒ Ó ÓÒ ÐÓ ÐÒ µ ØÖ ØÓÖ ÔÖÓ ÓÙ Ø ÚÙ x = x 2 (y x)+y 5 y = y 2 (y 2x). ¾ º ÎÝ Ø Ø ÓÚ Ò Ò Ý Ø ÑÙ x = y +xr 2 sin(π/r) y = x+yr 2 sin(π/r) Ú Ó ÓÐ ÔÓ Ø Ù r = x 2 +y 2 µº Í öø ö Ü ØÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÖÙöÒ Ø ÖÑ ÓÒÚ Ö Ù Ò ÔÖÓ t ± º ½¼
11 ¾ º Æ ð ÔÓ Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ñ Ó Ñ Ý Ø ÑÙ Ø Ö ÔÓ Ô Ú Ò Ó ÔÓÐ ÖÒ ÓÙ Ò Ñ ØÚ Ö r = f 1 (r,φ) φ = f 2 (r,φ)º Æ ð ÔÓ Ø Ò Ò ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ñ Ó Ñº  ÔÖ Ú ö ÔÓ Ø Ò Ø ÐÒ Ó Ý ¹ Ø ÑÙ µ r = f 1 (r,φ)+g(r,φ) φ = f 2 (r,φ) µ r = f 1 (r,φ)+g(r,φ) φ = f 3 (r,φ) ÔÖÓ Ú Ò g > 0 f 3 ¾ º Æ ð x 0 Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ø ÑÙ µ Ø Ö Ò Ò ÝÑÔØÓ¹ Ø Ý Ø ÐÒ º Åóö Ü ØÓÚ Ø Ò ÒÙÐÓÚ ÙÒ g : R n R n g(x 0 ) = 0 Ø ÓÚ ö x 0 µ Ø ÐÒ µ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ó ÓÙ Ý Ø Ñó x = f(x)+g(x) x = f(x) g(x) Þ ÖÓÚ ¾ º Í öø ö Ò ÔÐ Ø Ò Ð Ù ØÚÖÞ Ò ÈÓ Ù ¼ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ø ÑÙ µ Ó ÒØÝ Ñ Ø B ÓÙ Ó Ø Ñ Ð ÔÓØÓÑ ¼ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ó Ý Ø ÑÙ x = f(x)+bxº ÈÓÖÓÚÒ Ø ÐÓ ÓÙ µ ¾ º Í öø ö ÔÖÓ Ò Ð Ò ÖÒ ÔÖÓ Ð ÑÝ Ò ÔÐÝÒ Þ ÝÑÔØÓØ Ø Ð ØÝ Ø ÒÓÑ ÖÒ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ø Ð Ø º ÈÓÖÓÚÒ Ø ÐÓ ÓÙ µ ¾ º Í öø ö ÔÐ Ø Ò Ð Ù Ò ÙØÓÒÓÑÒ Ú ÖÞ Ú ØÝ Ó Ð Ò Ö ÞÓÚ Ò Ø ¹ Ð Ø Æ ð 0 Ø ÓÒ ÖÒ Ñ Ó Ñ ÓÙ Ø ÚÝ x = Ax+g(t,x) Ø º g(t,0) = 0 ÔÖÓ Ú Ò t (T,+ )º µ Æ ð s(a) < 0 g(t,x) = o( x ) Ø ÒÓÑ ÖÒ ÚÞ Ð Ñ t Ø º x sup t (T,+ ) g(t,x) o( x )µ ÔÖÓ x 0º È 0 ÜÔÓÒ Ò ÐÒ µ ÝÑÔØÓ¹ Ø Ý Ø ÐÒ Ó ÖÓÚÒ º µ Æ ð s(a) > 0 g(t,x) = o( x ) Ø ÒÓÑ ÖÒ ÚÞ Ð Ñ t ÔÖÓ x 0º È 0 Ò Ø ÐÒ Ó ÖÓÚÒ º µ Æ ð s(a) < 0 g(t,x) g(t,y) L x y L Ó Ø Ñ Ð º È 0 ÜÔÓÒ Ò ÐÒ µ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ó ÖÓÚÒ º ¼º Ó öø ö ÔÓ Ù ¼ Ø ÒÓÑ ÖÒ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ø ÑÙ µ ÔÓØÓÑ µ s( f(0)) < 0º µ Ø Ø ÒÓÑ ÖÒ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ø ÐÒ Ó Ý Ø ÑÙ x = f(x)+bx ÔÓ Ù ÓÙ Ó ÒØÝ Ñ Ø B Ó Ø Ñ Ð º Æ ÖØÒ Ø ÓÚ Ò Ò Ú Ð Þ Ó Ø Ø ÓÒ ÖÒ Ó ó ÔÓÙö Ø À ÖØÑ Ò¹ ÖÓ Ñ ÒÓÚÙ Ú ØÙµ ½º x = exp(2x+2y)+x y = arccos(x x 3 ) π/2 ½½
12 ¾º x = ln(1 y) y = 3 x 4y +x 2 º x = ln(5 2x 2y) y = exp(xy) 1 º x = sinh(y x 2 x) y = 3x x 2 y º x = 2x+y 2 1 y = sinx y 2 +1 º à Ò x = ln(x+y) y = x 3 +y 3 1 µ µ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÖÓ a < 1 Ø ÐÒ ÔÖÓ a 1º µ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÖÓ a+ b < 0 Ø ÐÒ ÔÖÓ a+ b 0º µ ÎÐ ØÒ Ð 3 ± 10 ¹ Ò Ø ÐÒ µ ÎÐ ØÒ Ð ¹ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º ½¼µ ËØ ÓÒ ÖÒ Ó Ý [ 1,2kπ π/6] Ò Ø ÐÒ ÔÖÓ k > 0 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÖÓ k 0µ [ 1,2kπ 5π/6] Ò Ø ÐÒ ÔÖÓ k 0 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÖÓ k > 0µº ½½µ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó [1,0, 1] Ò Ø ÐÒ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý [1,0,1] [0,1,±1]º ½¾µ ËØ ÓÒ ÖÒ Ó Ý [1,0,0] [2,2, 1] Ó Ò Ø ÐÒ º ½ µ Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ñ Ú Ñ µ f 0 Ò (x 0,x 0 +δ) f 0 Ò (x 0 δ,x 0 ) = Ø Ð Ø µ ØÓØ ö Ó ØÖÑ ÞÒ Ñ Ò Ý = ÝÑÔØÓØ Ø Ð Ø µ f > 0 Ò (x 0,x 0 +δ) Ò Ó f < 0 Ò (x 0 δ,x 0 ) = Ò Ø Ð Ø µ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÓ Ù a < 0 n Ð Ò Ò Ø ÐÒ º ½¾
13 ½ µ Ó Ø Ú Ñ r = r 3 Ø Ý r ÖÓ Ø + º ½ µ óúó Ò Ø ö ÐÓ ÐÒ Ñ ÑÓ ÔÓ Ø µ ÐÞ Ò Ô Ø Ú ØÚ ÖÙ x(t) = r(t)cosφ(t) y(t) = r(t)sinφ(t) ÙÒ r(t) > 0 φ(t) ÓÙ Ð º Ç ÚÓ Ø ÖÓÚÒ ÔÖÓ r φ Ó Þ Ò Ñ Ó ÔóÚÓ Ò Ó Ý Ø ÑÙº Ý ÒÓÞÒ ÒÓ Ø Ò Ó Ú Ú Ð ÒØÒ ÔÓÔ ÔÖÓ Ð ÑÙ Þ Ñ Ò ÔÓÙÞ Ø Ð Ø ÖÓÚÒ ÔÖÓ r Ú Ó 0º r = ar 2 Ø ÐÒ ÔÖÓ a 0 ÝÑÔغ Ø º ÔÖÓ a < 0º ½ µ r = ar 3 Ø ÐÒ ÔÖÓ a 0 ÝÑÔغ Ø º ÔÖÓ a < 0º ½ µ r = 0 Ø ÐÒ ½ µ r = 0 Ø ÐÒ ½ µ r = 0 Ø ÐÒ ¾¼µ r = ar 5 Ø ÐÒ ÔÖÓ a 0 ÝÑÔغ Ø º ÔÖÓ a < 0º ¾½µ r = ar 2 Ø ÐÒ ÔÖÓ a 0 ÝÑÔغ Ø º ÔÖÓ a < 0º ¾¾µ r = f(r 2 ) ÔÓ Ù f < 0 Ò ÔÖ Ú Ñ Ó ÓÐ ÒÙÐÝ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÓ Ù f > 0 Ò Ø ÐÒ ÔÓ Ù f = 0 Ø ÐÒ Ð Ò ÝÑÔØÓØ Ýº ¾ µ à Ò Ò ÓÒ Ô ØÓÐݺ ¾ µ È Ú Ò Ñ Ó ÔÓÐ ÖÒ ÓÙ Ò Ó Ø Ú Ñ r = r 3 sin(π/r) φ = rº ÃÚ Ð Ø Ø ÚÒ Ò ÐÞ Ú Ú Ð º ¾ µ µ µ Æ Ò ØÓ ÔÖ Ú Ø ÚÞ Ø Ý Ø Ñ Þ Ñ ÒÙÐ ÐÓ Ý Ô Ø Ò ÑÙ ε(xr 2,yr 2 )º ¾ µ µ ÒÓ Ò Ô º x = y y = 2x g(x,y) = (0,x)º µ ÒÓ Ò Ô º Ý Ø Ñ Þ ÐÓ Ý ¾ ÙÒ g(x,y) := ǫ(xr 2,yr 2 ) r = x2 +y 2 º ¾ µ Æ Ô º x = y x 3 y = x y 3 Ô Ú Ò Ñ Ó ÔÓÐ ÖÒ ÓÙ Ò B = ǫiº ¾ µ Æ Ô º x = y x 3 y = x y 3 Ô Ú Ò Ñ Ó ÔÓÐ ÖÒ ÓÙ Ò º ¾ µ µ ó Þ ÔÖÓÚ Ø Ò Ó Ú ÙØÓÒÓÑÒ Ñ Ô Ô Ò Ó Ø ÔÐÝÒ Þ µµº µ ó Þ ÔÖÓÚ Ø Ò Ó Ú ÙØÓÒÓÑÒ Ñ Ô Ô º µ ÈÓÙö Ø Ð ÓÚ Ó µ ÔÓÑÓ Ú Ö ÓÒ Ø ÒØ Ù öø ö ÞÓ Ö Þ Ò Φ Ø Ö ÙÒ z Ô Ò ÖÓÚÒ x = Ax + g(t,z) ÓÒØÖ Ú Ú ÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÔÓ Ø ÙÒ f := sup{e ǫt f(t),t (T,+ )}µ ÔÖÓ Ó Ø Ñ Ð ǫº ÃÓÒ Ö ØÒ ǫ < s(a)/m M ÓÒ Ø ÒØ Þ Ó Ù µº ¼µ µ È ÔÓ Ð Ñ ö 0 Ø ÒÓÑ ÖÒ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ø ÐÒ ÔÖÓ x = Ax+g(x), ½
14 g(x) = o( x ) ÔÖÓ x 0º ÃÐ Ò ÚÐ ØÒ Ð ÐÞ ÚÝÐÓÙ Ø Ò Ý Î Ø ¾µº È ÔÓ Ð Ñ ö A Ñ ÚÐ ØÒ ÐÓ ÒÙÐÓÚÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø º ܹ ÔÓÒ Ò ÐÒ Ø Ð Ø ÔÖÓ x ÑÔÐ Ù Ø Ð ØÙ ÔÖÓ y(t) = x(t)exp(at) a > 0 Ñ Ð Ô ÚÒ º ÈÖÓ y Ñ Ñ ÖÓÚÒ y = (A+aI)y +e at g(e at y). ÇÚ Ñ (A+aI) Ñ ÚÐ ØÒ ÐÓ Ð ÒÓÙ Ö ÐÒÓÙ Ø Þ Ø ÑÓ h(x,t) = e at g(e at y) ÓÔ Ø Ñ Ð y ØÓ Ø ÒÓÑ ÖÒ Úó t 0 Þ Óö Ð Ô Þ ÐÓ Ý ÔÐÝÒ Ò Ø Ð Ø º µ ÈÐÝÒ Ò Þ µ ÐÓ Ý Ó Ø Ò Ñ ö s( f(0)+b) < 0 ÔÓ Ù B Ó Ø Ñ Ð º ÈÖÓØÓ s( f(0)+b+ǫi) < 0 0 Ø Ý ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ó ÔÖÓ x = f(x)+bx+εx Ø Ý ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ø ÐÒ ÔÖÓ x = f(x)+bxº ½µ Ó ( 1,1) λ 1,2 = 1,4 ÐÓµ v 1 = ( 1,2) v 2 = (2,1) ¾µ Ó (1,0) λ = 2/3±2 2i/3 Ø ÐÒ Ô Ö Ð Ð ÚÓØÓ Ú µ µ Ó (0,2) λ 1,2 = 1±i 3 Ø ÐÒ Ô Ö Ð Ð ÚÓØÓ Ú µ Ó (2,0) λ 1,2 = ±2 ÐÓµ v 1 = (1, 2) v 2 = (1,0) µ Ó (0,0) λ 1,2 = 1 ± 3 ÐÓµ v 1 = (1, 3) v 2 = (1, 3) Ó (1,2) λ 1,2 = 2± 2 Ø ÐÒ ÙÞ Ðµ v 1 = (1,1+ 2) v 2 = (1,1 2) µ Ó (0, 1) λ 1,2 = 2±i 2 Ò Ø ÐÒ Ô Ö Ð Ð ÚÓØÓ Ú µ Ó (0,1) λ 1,2 = ± 6 ÐÓµ v 1 = (1, 6/2 1) v 2 = (1, 6/2 1) µ Ó (0,1) λ 1,2 = 1 3 Ò Ø ÐÒ ÙÞ Ðµ v 1 = (1,0) v 2 = (1,2) Ó (1,0) λ 1,2 = (1± 13)/2 ÐÓµ v 1 = (2, 13 1) v 2 = ( 1,1+ 13) Ä ÔÙÒÓÚ Ø Ð Ø º Î Ø ØÓ Ô ØÓÐ Ô Ø Ú Ñ Ð ÔÓ Ø Ù ÔÓ Ñ Ò Ý ÔÖÓ Ø Ð ØÙ ÝÑÔØÓ¹ Ø ÓÙ Ø Ð ØÙ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ó Ù a Ý Ø ÑÙ x = f(x), µ Ð Ù Ñ Þ Ú Ø Ø Ð ØÓÙ Ò ÙØÓÒÓÑÒ Ó Ý Ø ÑÙ x = f(t,x) µ f ÔÓ Ø ÙÒ Ò I Ω I = (T,+ ) Ω R n+1 ÓØ Ú Ò º Î Ò ÙØÓÒÓÑÒ Ñ Ô Ô Ò Ñ ö a Ø ÓÒ ÖÒ Ó ØÐ ö f(t,a) = 0 ÔÖÓ Ú Ò t Iº Ó a Ò ÞÚ Ø ÐÒ ØÐ ö ( t0 > T )( ε > 0 )( δ > 0 )[ x 0 a < δ = x(t) a < ε t t 0 ] µ ½
15 x(t) Ò µ ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò ÓÙ x(t 0 ) = x 0 º Ó a Ò ÞÚ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ¹Ð Ø ÐÒ Ò Ú ( t0 > T )( > 0 )[ ] x 0 a < = lim x(t) = a µ t Ó a Ò ÞÚ Ò Ø ÐÒ Ò Ò ¹Ð Ø ÐÒ º ÊÓÞÑÝ Ð Ø ö ØÝØÓ Ò ÓÙ Ú ÓÙÐ Ù Ò Ñ ÔÖÓ ÙØÓÒÓÑÒ Ô Ô º Î Ð Ñ Ù Ñ Þ ÑÝ Ò Ó ÒÓ Ø Ô ÔÓ Ð Ø a = 0º Ò ½º Æ ð U Ó ÓÐ Ó Ù 0 Ú R n º ÙÒ V : I U R Ò ÞÚ Ð ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÖÓÚÒ µ Ú U ØÐ ö ÔÓ Ø µ V(t,0) = 0 ÔÖÓ Ú Ò t I µ Ü ØÙ ÔÓ Ø ÙÒ ω : U R ö V(t,x) ω(x) > 0 ÔÖÓ x U \{0} µ ÙÒ t V(t,x(t)) Ò ÖÓ ØÓÙ ÔÖÓ ö Ò x(t) ÖÓÚÒ µ Ú U Î Ø º Å ¹Ð ÖÓÚÒ µ Ú Ó ÓÐ 0 Ä ÔÙÒÓÚ ÓÙ ÙÒ Ó 0 Ø ÐÒ º Ò ¾º  ¹Ð ÙÒ V Ø Ý C 1 ÒÙ Ñ ÓÖ Ø ÐÒ Ö Ú ÚÞ Ð Ñ f Ó V f (t,x) = V(t,x) + x V(t,x) f(x) = V(t,x) + t t ÃÐ ÓÚ ÔÓÞÓÖÓÚ Ò ¹Ð x(t) Ò µ d dt V(t,x(t)) = V f (t,x(t))); n j=1 V(t,x) f j (x) x j Ô ÐÒ ÔÓ Ñ Ò V f (t,x) 0 Ò U Þ ÖÙ Ù µ Ú Ò Ð ÔÙÒÓÚ ÙÒ º Ð Ñ ¹Ð Ó Ò Ó Ø ÒØÓ Ô ÔÓ Ð Ñóö Ñ Ó Ø Ø ÝÑÔØÓØ ÓÙ Ø ¹ Ð ØÙº Î Ø º Å ¹Ð ÖÓÚÒ µ Ú Ó ÓÐ U Ó Ù 0 Ð ÔÙÒÓÚ ÓÙ ÙÒ V Ò Ú ÔÐ Ø µ Ü ØÙ ÔÓ Ø ÙÒ λ : U R λ(0) = 0 ö V(t,x) λ(x) ÔÖÓ x U \{0} ½
16 µ Ü ØÙ ÔÓ Ø ÙÒ η : U R η(0) = 0 ö V f (t,x) η(x) < 0 ÔÖÓ x U \{0} Ô Ó 0 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º Ú ÙØÓÒÓÑÒ Ñ Ô Ô ØÝØÓ Ó Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Ý ÞÖ Ù Ù Ò Ò ¹ Ð Ù Î Ø º Å ¹Ð ÖÓÚÒ µ Ú Ó ÓÐ U Ó Ù 0 Ð ÔÙÒÓÚ ÓÙ ÙÒ V Ø Ö Ò Þ Ú Ò t V f (x) < 0 Ô Ó 0 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º ÈÓÞÒ Ñ º ÈÓ Ð Å ÖÓÚÝ Ú ØÝ ½ ÔÖÓ ÙØÓÒÓÑÒ Ý Ø ÑÝ Ø ØÓ ÔÓ Ø Ù¹ ÔÓ Ñ Ò Þ ÖÓÚ ÔÓ Ñ Ò ÓÙ ÒÙØÒÓÙ Ø º ÔÓ Ù Ó ¼ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ó ÖÓÚÒ µ ÔÓØÓÑ Ü ØÙ Ð ÔÙÒÓÚ ÙÒ V Ò Þ Ú Ð Ò t ÔÐ Ù Vf (x) < 0º ÐÓ Ý º Æ ð q(y) ÔÓ Ø ÙÒ Ø Ö Þ ÓÚ Ú ÞÒ Ñ Ò Ó Ø º q(y)y 0 ÔÖÓ y 0ºµ Í öø ö Ô ÒÙÐÓÚ Ò ÖÓÚÒ Ø ÐÒ º  ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ x +q(x )+x = 0 º ÈÖÓ ÖÓÚÒ x = (t 2 1)x+x 3 Ù öø ö µ ÒÙÐÓÚ Ò ÙÒ ÓÖÑÒ Ø ÐÒ Ú (η, ) η > 0 Ô ÚÒ º µ ÒÙÐÓÚ Ò Ò Ò ÙÒ ÓÖÑÒ Ø ÐÒ Ú (0, )º ÍÒ ÓÖÑÒ Ø Ð ØÓÙ ÖÓÞÙÑ Ñ ö δ Ú µ ÐÞ ÚÓÐ Ø Ò Þ Ú Ð Ò t 0 µº º ÍÚ öù Ø ÖÓÚÒ ÞÔÓö Ò Ñ a b r ÓÙ Ð Ò ÓÒ Ø ÒØݵ x (t) = ax(t)+bx(t r). µ µ Æ ð φ(τ) : [ r,0] R ÔÓ Ø ÙÒ º È Ü ØÙ Ò ÙÒ x = x(t) Ò Ò Ñ Ó ÓÖ Ñ[ r, ) Ø ÓÚ ö x(τ) = φ(τ) ÔÖÓ τ [ r,0] x(t) ÔÐ Ù ÖÓÚÒ µ ÔÖÓ ö t > 0º µ Æ ð a < 0 b a º È ÒÙÐÓÚ Ò ÖÓÚÒ µ Ø ÐÒ º µ Æ ð a < 0 b < a º È ÒÙÐÓÚ Ò ÖÓÚÒ µ ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ º ÎÝ Ø Ø Ø Ð ØÙ ÔÓ Ø Ù ÔÖÓ Ò Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ ÐÞ ÔÓÙö Ø Ú ØÙ Ó Ð Ò Ö ÞÓÚ Ò Ò Ø Ð Ø µ ½ Å Ö ÂºÄº ÇÒ Ä ÔÓÙÒÓ ³ ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø Ð ØÝ ÒÒº Ó Å Ø º ¼ ½ µ ¼ ¾½º Ò Ó Ø Ì ÓÖ Ñ ½½ Ú Å Ö ÂºÄº ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ð ØÝ Ø ÓÖÝ ÒÒº Ó Å Ø º ¾µ ½ µ ½ ¾ ¾¼ º ½
17 ¼º x = 2y x 3 y = x y 3 ½º x = y 2x 3 y = 2x y 3 ¾º x = x y 2 y = xy x 2 y º x = xy 2 y = y 2x 2 y º x = 2y +x 3 y = x+y 3 º x = y +2x 3 y = 2x+y 3 º ÎÝ Ø Ø Ø Ð ØÙ ÔÓ Ø Ù ÔÖÓ Ý Ø Ñ x = 2y 3, y = x. ÎÝ Ø Ø Ø Ð ØÙ Ð Ò Ö ÞÓÚ Ò Ó Ý Ø ÑÙ º Æ Ø Ô Ð Ý Ø ÑÙ Ø Ö ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ð Ó Ð Ò ¹ Ö Þ Ò Ø ÐÒ º º Æ ð x 0 Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ý Ø ÑÙ µº È Ü ØÙ δ > 0 G : (0,δ) (0,+ ) Ø ÓÚ ö ÔÓ Ø ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ Ñ Ó Ñ Ý ¹ Ø ÑÙ x = f(x)+g(x) ÔÖÓ ö ÓÙ ÙÒ g Ø Ö Ò δ¹ó ÓÐ ÔÓ Ø Ù ÔÐ Ù g(x) < G( x )º Ó öø Ò Ó ÚÝÚÖ ðø º ½
18 º ÈÓ Ù Ü ØÙ Ð ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÔÐ Ù Ò Ó ÓÐ Ø ÓÒ ÖÒ Ó Ó Ù ¼ Ò ÖÓÚÒÓ Ø V(x) av(x) c 1 x b V(x) c 2 x b ÔÖÓ Ò a b c 1 c 2 > 0 ÔÓØÓÑ ¼ Ø ÒÓÑ ÖÒ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ø ÐÒ Ø º x(t) e at/b x(0) º à Ò µ Ä ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÓÒ ÐV = x 2 +y 2 y = x º Ç Ò Ò Ò ÝÑÔØÓ¹ Ø Ý Ø ÐÒ Ò Ô º q 0 ÒÓ ÔÓ Ù ÔÓ Ñ Ò Ù Þ Ð Ñ Ò q(y)y > 0 ÔÖÓ y 0 Ä Ë ÐÐ µº µ µ Ä ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÓÒ Ð V = x 2 e 2/t º µ ÎÓÐÑ δ > 0 Ø ö t 2 1 t 2 /2 ÔÖÓ t (0,2δ)º Ì Ý x x/(8δ 2 ) ÔÖÓ t (δ,2δ) Ô ÐÒ Ù öø ö Ò ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò ÓÙ x(δ) = δ Ù Ú Ð ÔÖÓ t = 2δº µ µ Æ ÚÓ ÔÓ ØÙÔÙ Ø ÔÓ ÒØ ÖÚ Ð Ð Ý rº µ Í öø ö ÙÒ t V(t) := x 2 (t)+ a x 2 (s)ds t r Ð x 2 V º µ Å ØÓ ÓÙ Ô Ð Ó Ó Ù Ù öø ö ÙÒ y(t) = x(t)exp(γt) ÓÑ Þ Ò ÔÓ Ù γ > 0 Ñ Ð º ¼µ Ä ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÓÒ Ð V = ax 2 + by 2 a b > 0 ÚÓÐ Ñ Ø ö Ô ÚÔÓ ØÙ d V dt ÚÝÔ ÒÓÙ Ð Ò ÖÒ Ð ÒÝ ÖÓÚÒ º V = x2 + 2y 2 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ½µ V = 2x 2 +y 2 ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ¾µ V = x 2 +y 2 Ú Ø Ð ØÙ Ð Ò ÓÐ ÝÑÔØÓØ ÓÙ Ø Ð ØÙº µ V = x 2 +y 2 Ú Ø Ð ØÙº Æ Ò ÝÑÔØÓØ Ý Ø ÐÒ ÔÖÓØÓö (ǫ,0) Ø ÓÒ ÖÒ Ò º µ V = x 2 +2y 2 Ú V f > 0 Óö Ú ÞÔ ØÒÓÙ ÝÑÔØÓØ ÓÙ Ø Ð ØÙ ÔÖÓ t µ Þ Óö ÔÐÝÒ Ò Ø Ð Ø ÖÓÞÑÝ Ð Ø µº µ V = x 2 +2y 2 Ú V f > 0 Ø Ý Ò Ø ÐÒ Ú Þ Ô ÓÞ ÐÓ µº µ Ä ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÓÒ Ð V = x 2 +y 4 ÑÔÐ Ù Ø Ð ØÙº Ä Ò Ö ÞÓÚ Ò ÓÙ Ø Ú Ò Ø ÐÒ µ Æ Ô º x = 2y 3 x 3 y = x y 3 º Ä ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÓÒ ÐV = x 2 +y 4 º µ ÈÓ Ð ÔÓÞÒ Ñ Ý Þ Î ØÓÙ Ü ØÙ Ð ÔÙÒÓÚ ÙÒ V V(x) > 0º ÈÖÓ ö t > 0 Ó Ø Ñ Ð Ü ØÙ Ð Ò Ñ Ò ÑÙÑ V (x) f(x) Ò {x : x = t} Ø Ý V (x) f(x) Ò Ú Ð Ò Ó Ñ Ò Ñ º  ¹Ð g Ó Ø Ñ Ð Ò Ø ØÓ Ô Ø V (x) (f(x)+g(x)) > 0 Ø Ý V Ð ÔÙÒÓÚ ÙÒ ÔÖÓ ÔÓÖÙ Ò Ý Ø Ñº ÊÓÞÑÝ Ð Ø ö ÙÒ G ÐÞ ÚÓÐ Ø Ø Ý ÝÐ ÔÓ Ø ÓٹРf V ÔÓ Ø º µ ÈÐÝÒ Þ Ó Ù c 1 x(t) b V(x(t)) e at V(x(0)) c 2 e at x(0) º ½
19 ÀÙÖÛ ØÞÓÚ Ú Ø È ÚÝ Ø ÓÚ Ò Ø Ð ØÝ ØÓ Ø ÙÖ Ø ÞÒ Ñ Ò Ö ÐÒ Ø ÚРع Ò Ð Ò Ñ Ø º ÌÓ Ú Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÚÝ Ø Ò Ö ÐÒ Ø Ó Òó Ô ÐÙ Ò Ó Ö Ø Ö Ø Ó ÔÓÐÝÒÓÑÙº Íö Ø ÒÓ Ø Ò Ð Ù Ú ØÝ Ô ¹ Ò ØÓ ÓØÓ ÔÖÓ Ð ÑÙ Þ ÚÒ º Ò º ÈÓÐÝÒÓÑ p(λ) Ò ÞÚ ÙÖÛ ØÞÓÚ ØÐ ö Ö ÐÒ Ø Ú Ó Ó Òó ØÖ ØÒ Þ ÔÓÖÒ º Î Ø ÀÙÖÛ ØÞµº Æ ð a 0,...,a n ÓÙ Ö ÐÒ Ð Ò ð a 0 > 0º ÈÓØÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ a 0 λ n +a 1 λ n 1 + +a n 1 λ+a n ÙÖÛ ØÞÓÚ ÔÖ Ú Ýö Ú ÒÝ Ð ÚÒ Ù Ø ÖÑ Ò ÒØÝ Ñ Ø a 1 a a 3 a 2 a a 2n 1 a 2n 2 a 2n 3... a n ÓÙ Ð Ò º Â Ó n n Ñ Ø ÔÖÚ Ý A ij = a 2i j Ð Ñ a k = 0 ÔÖÓ k / {0,1,...,n}º ó Ð º Æ ð a 0 > 0º ÈÓØÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÖÛ ØÞÓÚ ÔÖ Ú Ýö a 0 λ 3 +a 1 λ 2 +a 2 λ+a 3 a 1 > 0, a 1 a 2 a 0 a 3 > 0, a 3 > 0. ó Ð º Æ ð a 0 > 0º ÈÓØÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÖÛ ØÞÓÚ ÔÖ Ú Ýö a 0 λ 4 +a 1 λ 3 +a 2 λ 2 +a 3 λ+a 4 a 1 > 0, a 1 a 2 a 0 a 3 > 0, a 1 (a 2 a 3 a 1 a 4 ) a 0 a 2 3 > 0, a 4 > 0. ÈÓÞÒ Ñ º Æ ð a 0 > 0º ÈÓØÓÑ Þ ÀÙÖÛ ØÞÓÚÝ Ú Øݵ Ð Ò Ð Ò Ñ ö ÔÓÐÝÒÓÑ a 0 λ 2 +a 1 λ+a 2 ÙÖÛ ØÞÓÚ ÔÖ Ú Ýö a 1 > 0 a 2 > 0º Ç ØÙ ÔÓÑÓ ÖÓÞ Ð Ù Ò Ð Ò ÖÒ Ú Ö Ø Ð Òݵ ÔÐÝÒ Ò ÒÓ ÓÚ Ø ÐÒ ÒÙØÒ ÔÓ Ñ Ò Ý ÔÓÐÝÒÓÑ Ö ÐÒÑ Ó ÒØÝ ÝÐ ÙÖÛ ØÞÓÚ ¹Ð a 0 > 0 ÑÙ Ø Ú ÒÝ Ó Ø ØÒ Ó ÒØÝ Ð Ò º ½
20 à Ò Î ÒÓ Ö ÓÚÓÚ Ý Ø ÑÙ Î ÒÓ Ö ÓÚóÚ Ý Ø Ñ x = x 2 (y x)+y 5 y = y 2 (y 2x) óð ö Ø ÜÔÐ ØÒ Ô Ð ÖÓÚÒ ÔÖÓ Ò ö ÔÓ Ø Ò Ò Ø ÐÒ Ø ö ØÓ ÐÓ ÐÒ Ó ÓÒ ÐÓ ÐÒ µ ØÖ ØÓÖ Ø º Ô Ø Ù Ú Ò Ò ÔÖÓt º Î Ò ÓÐ ÖÓ Ò ØÖÒ Ñ ó Þ Ø ØÓ Øóº Æ ÔÖÚ Ù ö Ñ ö ÔÓ Ø ØÖ ØÓÖº ¼º ÃÊÇú ÈÖÓ y = 0 Ý Ø Ñ Ö Ù Ù Ò x = x 3 Ø Ý x(t) 0 ÔÖÓ t º ÊÓÚÒ Þ Ñ ÒÚ Ö ÒØÒ Úó ØÖ Ò ÓÖÑ (x,y) ( x, y) ÓÑ Þ Ñ Ø Ý Ò ÔÓÐÓÖÓÚ ÒÙ y > 0º ½º ÃÊÇú ÎÝ Ø Ñ ÔÖó Ò Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ñ Ú Ñ º  y = 0 ÔÖ Ú Ýö y = 2x Þ Ø ÑÓ x = 0 ÔÓ Ù x 2 y x 3 +y 5 = 0. Ì ØÓ ÖÓÚÒ Ô ØÖÒ Ò Ñ Ò ÔÓ Ù x < 0 Ñ Ò Ò y = φ(x) ÔÓ Ù x 0º ¾ ÙÒ φ(x) Ð Ú Ø Ó ÑÔк ÙÒ µ φ(0) = 0 ØÖ ØÒ ÖÓ ØÓÙ φ(x) < x Ò Óð x 2 y x 3 0µ Þ ÚÒ ÔÖÓ x Ú Ð Ù φ(x) x 3/5 º ÈÖÓ Ò ÔÓ Ø ØÒ ö Ú Ý y = 2x y = φ(x) ÖÓÞ Ð ÔÓÐÓÖÓÚ ÒÙ {y > 0} Ò Ø ØÓÖÝ Ω 1 = {(x,y) : x < 0 Ò Ó 0 2x < y} Ω 2 = {(x,y) : x > 0 Þ ÖÓÚ φ(x) < y < 2x} Ω 3 = {(x,y) : x > 0 Þ ÖÓÚ y < φ(x)} ÖÓÚÒ ÔÐÝÒ ö y ÖÓ Ø Ú Ω 1 Ð Ú Ω 2,3 Þ Ø ÑÓ x ÖÓ Ø Ú Ω 1,2 Ð Ú Ω 3 º à Ò Ú Ω 3 Ø Ý ÒÙØÒ Ñ Ù Ú Ð Ñ Ø Ó ÔÓ Ø Ù Ò Þ Ω 2 Þ ÚÒ Ú ÔÓÞ Ú ØÓÙÔ Ó Ω 3 º ÇÚ Ñ Ò Ú Ω 1 ÑÙ Ú ØÓÙÔ Ø Ó Ω 2 Ú Ω 1 ØÓØ ö x ØÖ ØÒ Ð Ò º Î Þ Ó Ö Þ Ò ö º Ì Ñ Ó Þ ÒÓ ö ÔÓ Ø ÐÓ ÐÒ µ ØÖ ØÓÖº ¾º ÃÊÇú Ú Ù Þ Ø ö ÔÓ Ø Ò Ø ÐÒ º Î ØÙ Ó Ð Ò Ö ÞÓÚ Ò Ø Ð Ø Ò ÐÞ Ô ÑÓ ÔÓÙö Ø Ò Óð Ö ÒØ Ú ÔÓ Ø Ù Þ Ñ ÒÙÐÓÚº  ÒÓÙ ÑÓöÒÓ Ø Ô Ø ÔÓÐ ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ Ø ÒØÓ ÔÓ ØÙÔ Ò ÞÒ ¹ Ò Ò ö ÃÊÇà µº ÄÞ Ú ÔÓÙö Ø Ò Ð Ù Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ö ÙÑ Òغ ¾ ËØ Ð ÔÐ Ø y > 0º ¾¼
21 ÍÚ öù Ñ ØÖÓ ÐÒ KÓÚÖ ÓÐ (0,0) (0,η) ( 1 η,η) η > 0 Ó Ø Ñ Ð ÙÖ Ñ Ð º ÇÞÒ Ñ Ð Ø K ÓÖÒ Ð Ú ÔÖ Ú ØÖ Ò µ Γ h = {(x,η); 0 < x < 1 η} Γ l = {(0,y); 0 < y η} Γ r = {(x,y); 0 < y η, x = y} Î Þ Ó Ö Þ Ò ÓÒ º Í ö Ñ ö ö Ò ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò ÓÙ ØÖ ØÒ ÙÚÒ Ø K ÓÔÙ Ø K ÖÞ ÓÖÒ ØÖ ÒÙΓ h º Ç Ù Ùö Þ Ñ ÔÐÝÒ Ó ÞÓÚ Ò Ò Ø Ð Ø Ò Óð ØÙØÓ ÔÓ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò Ù ÐÞ ÚÓÐ Ø Ð ÓÚÓÐÒ Ð Þ Ó (0,0)º ÈÖÓØÓö Ú Ñ ö ö Ñ Ü Ñ ÐÒ µ Ò ÑÙ ÓÑÔ ØÒ ÑÒÓö ÒÙ K ÓÔÙ Ø Ø Ø ÓÚ Ø ö ØÓ Ò ÒÙ Ý Ò ö ÖÞ Γ h º ÔÖÚ Ò Ò Ñóö ÙØ ÖÞ ÔÓ Ø Ò Óð ØÓ Ø ÓÒ ÖÒ Ó ÝÐ Ý ØÓ ÔÓÖ ÒÓÞÒ ÒÓ Ø º à Ò Ò Ñóö ÓÔÙ Ø Ø K Ò ÖÞ Γ l Ò Óð Þ ÔÐ Ø x = y 5 > 0 Ø º Ò Þ Ñ Ù ØÖ ØÒ ÓÚÒ Ø º Ó ö Ñ ÓÒ Ò ö Ô Ú Ó Ò ÚÓÐ η Ò Ñ Ù ÓÚÒ Ø Ò Γ p º à ØÓÑÙ Ø ÓÚ Ø ö dy dx = y x = y2 (y 2x) x 2 (y x)+y 5 > 1 ÔÖÓ Ú Ò (x,y) Γ p º È ÔÓ Ð Ò ÚÖ Þ ÙÔÖ Ú Ñ Ó Ò Ñ y 2 (y 2x) x 2 (y x)+y 5 = y2 x 2 y/x 2 (y/x 1)+ y3 y 2 ( 1 2) x 2 ( 1 1)+ 3 η 2 3 Ì Ùö Ò ÒÓ ÖÓÞÑÝ Ð Ñ ö ÔÖÓ > 0 η > 0 Ú Ó Ò ÞÚÓÐ Ò Ù ÔÓ Ð Ò ÚÖ Þ Ú Ø Ò ö 1 º Æ Ô º ØÓ ÖÓÞÑÝ Ð Ñ Ò ÔÖÚ ÔÖÓ η = 0 Ý ÔÓ ØÓ Ø ØÓ Ô Ù ÔÖ Ú ÔÖÓ η > 0 Ó Ø Ñ Ð ºµ Ñö ó Þ Ò Ø Ð ØÝ ÔÓ Ø Ù Þ ÚÖ Òº º ÃÊÇú ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ ó Þ Ò Ø Ð ØÝ ÔÓ Ø Ùºµ Æ ÔÖÚ Ô Ñ ÔÓÐ ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ r = r 3[ 3sinϕcos 3 ϕ sin2ϕ+1 2cos 2 ϕ ] +... ϕ = r 2[ sinϕcosϕ 3cos 3 ϕ+3cos 4 ϕ ] +... ½¼µ ÎÝÒ Ò Ð ÒÝ Ó Ù ÔÓ r 4 º ÇÔ Ø Ò ÐÞ ÔÓÙö Ø Ð Ò Ö ÞÓÚ ÒÓÙ Ø ¹ Ð ØÙ ÓÚ Ñ ÒÝÒ Ô ØÖ ÚÝ Ð Ò r 2 º È Ò ÔÓÙö Ñ Ò Ð Ù ÌÚÖÞ Ò º Æ ð Λ = Λ(X) Ò ÒÙÐÓÚ Ð ÖÒ ÙÒ º ÈÓØÓÑ Ò ÓÙ Ø ÚÝ X = F(X) ¾½
22 ÔÓ Ú Ó Ò Ö Ô Ö Ñ ØÖ Þ µ Ø ö Ò Ñ ÓÙ Ø ÚÝ X = Λ(X)F(X)  ÒÑ ÐÓÚÝ Ô Ò Ó Ò Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÓÐ Ð Ö Ñ Ò Ñ Ò Ú Ý Ò ÔÓÙÞ ÖÝ ÐÓ Ø ÔÖó Ùº È ÓÞ ØÚÖÞ Ò ÔÓÙö Ñ Ò ÓÙ Ø ÚÙ ½¼µ Ø º X = (r,ϕ) Ð ÖÒ ÙÒ Λ = r 2 º ÈÖÓØÓö Λ > 0 ÙÚ öù Ñ Ú ÔÖÓ r > 0µ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ñ Ò Ò ÑÝ Ð ÔÖó Ù Ò Ø Ý Ò Ñ Ò Ø Ð ØÙº ÆÓÚ ÚÝ Ð Ò µ ÓÙ Ø Ú Ñ ØÚ Ö r = r [ 3sinϕcos 3 ϕ sin2ϕ+1 2cos 2 ϕ ] +... ϕ = [ sinϕcosϕ 3cos 3 ϕ+3cos 4 ϕ ] +... ½½µ ÚÝÒ Ò Ð ÒÝ Ó Ù ÔÓ r 2 ÓÙ Ø Ý Þ Ò Ø ÐÒ Ô Ð Ò Ö ¹ Þ º ÆÝÒ Ó ö Ñ ö Ó (r,ϕ) = (0,π/2) Ò Ø ÐÒ ÔÖÓ ÓÙ Ø ÚÙ ½½µº ÊÙØ ÒÒ ÚÔÓ Ø Ú ö Ö ÒØ Ú ØÓÑØÓ Ó ( ) Ì º Ò Ø Ð Ø Ú Ñ ÖÙ rº Ð Ú ØÝ Ó Ò Ø ÐÒ Ú Ö Ø Ü ØÙ Ò Ý r(t) ÜÔÓÒ Ò ÐÒ ÚÝ Þ ÒÙÐÝ Þ Ø ÑÓ φ(t) π/2º ÈÖÓ ÔóÚÓ Ò Ý Ø Ñ ÞÔ Ø ÖØ Þ Ñ ÓÙ Ò Ñµ Ø Ý Ü ØÙ Ò ÚÝ Þ ÔÓ Ø Ù ÚÞ óöù ÔÓ Ó yº 2 vin1 osay ¾¾
23 Γ h Γ l Γ p Ç Ö Þ ½ ÃÊÇÃ ¾ ÑÒÓö Ò K ¾
Ó Ú Ø Ð ÓØÓ Ð ØÖ Ó ÚÙ ÔÓÚ úóú Ò Ò Ñ ÝÞ À ÒÖ À ÖØÞ ½ ß½ µ Òú ÖÓ Ù ½ Ô Ú ÔÓ Ù ÔÖÓ Þ Ø Ü Ø Ò Å ÜÛ ÐÐ Ñ Ô ÔÓÚ Þ Ò Ð ØÖÓ¹ Ñ Ò Ø ÚÐÒ Úõ ÑÐ ØÓ Ó ú Ó Ú ØÐ Ò õ
Ë ÅÁÆý ÁÃ ß ¾º ÖÓ Ò º ÐÓ Æ ÓÐ ÖÓ Ó Ñ ÖÓ Ú Ø ¾ ß ÓØÓ Ð ØÖ Ú Þ Ò ¾¼¼ µ ½ º ÞÒ ØÓ ÓØÓ ÖÓ Ù ÙÔÐÝÒÙÐÓ ØÓ Ð Ø Ó Ò Ý ÚÝõ Ð Ú Ò Ñ Ñ ÓÔ Ù ÒÒ Ð Ò Ö È Ý Ð Ò Ð ÖØ Ò Ø Ò ½ ß½ µ Ç ÒÓÑ ÙÖ Ø Ñ Ô ØÙ Ø Ñ ÚÞÒ Ù Ô Ñ ÒÝ Ú
Ç Ð Ò ËÐ Ø ÖÓÚ ØÖ ÔÐ ØÙ Ç Ð Ò ËÐ Ø ÖÓÚ ØÖ ÔÐ ØÙ Å ÐÓ Î Ó Ó Ø Ó ÖÚ ØÓ È Ò Ô Ó ÙÒ Ú ÖÞ Ø Ú ÈÐÞÒ ½¾º½¼º¾¼½½
Å ÐÓ Î Ó Ó Ø Ó ÖÚ ØÓ È Ò Ô Ó ÙÒ Ú ÖÞ Ø Ú ÈÐÞÒ ½¾º½¼º¾¼½½ Ç ÔÖ Þ ÒØ Ó ØÓ ËÐ Ø ÖóÚ Ñ ÎÐ ØÒ Ñ ØÝ Ñ ËÐ Ø ÖóÚ ÑÓ ËØÖÙ Ò ÔÓÔ ÙÔÖ ÚÓ Ú Ó Ö Ú Ñ ØÖÙ ÏÊ ÇË ¹¼ ¼ ÈÖÓ Ø È Ó ÐÞ ÔÓÑÓ ÙÔÖ ÚÓ Ú Ó Ö Ú Ñ ØÖÙ Ñ Ø ÈÖÓ Ó Ø
y x Yi, Y ˆi 4
ËØ Ø Ø ¼È¼ ¼È¼ ͵ Ã Ö Ð Ú Ö ¾¼º ÔÖÓ Ò ¾¼¼ Ô ÔÓ Ð Ý ÔÖÓ Ö Ö Ò ÑÓ Ð Ó Ò ØÚ Ö Þ Ú ÐÓ Ø ÞÒ Ñ ÚÝ Ú ØÐÓÚ Ò Ú Ð Ò Þ Ú Ò ÚÝ Ú Ø¹ ÐÙ ÓÑÓ Ø Ø ÔÖÓ Úõ ÒÝ ÓÑ Ò Ó ÒÓØ ÚÝ Ú ØÐÙ Ú Ð Ò ÖÓÞÔØÝÐ ÚÝ Ú ØÐÓÚ Ò Ú Ð ÒÝ ÓÒ Ø ÒØÒ
Ô Ð Ö Ó Ø ÓÙ Ô ÔÓÑ Ñ Ó Ù Ñ ÔÖ Ú ÔÓ Ó ÒÓ Ø õ Ø Ý Ó Ø n=100, n A =17, f A =0,17, 95% Òغ ÔÓк(0,10;0,24) Ó Ø n=100, n B =41, f B =0,41 95% Òغ ÔÓк(0,31
ËØ Ø Ø ¼È¼ ¼È¼ ͵ Ã Ö Ð Ú Ö ½ º Ð ØÓÔ Ù ¾¼¼ Ô Ð Ö Ó Ø ÓÙ Ô ÔÓÑ Ñ Ó Ù Ñ ÔÖ Ú ÔÓ Ó ÒÓ Ø õ Ø Ý Ó Ø n=100, n A =17, f A =0,17, 95% Òغ ÔÓк(0,10;0,24) Ó Ø n=100, n B =41, f B =0,41 95% Òغ ÔÓк(0,31;0,51)
K 3 K 4 K 5 K 6 K 2 C 6 C 5 C 3 C 4 P 2 P 3 P 4
Ë Ö Ð ß Ì ÓÖ Ö ÚÓ Þ Ð Ò Ò Î ÑÒÓ ØÓ Ú ÐÑ ÖÓÞÐ Ò Ô Ð ÐÞ Ø Ø ØÙ Ñ Ø Ö ÐÞ ÔÓÔ Ø ÔÓÑÓ ÑÒÓú ÒÝ Ó ÔÓ Ò Ñ Þ Ò Ø ÖÑ ÚÓ Ñ Ó º ÂÑ ÒÙ Ñ Ò Ñ Ø ÓÙ Ò Ô º Ö ÞÒ ÓÔÖ ÚÒ Ñ Ø Ó Ý ÑÓ ÓÙ ÞÒ Ø Ò Ô º Ö ÞÒ Ñ Ø ÔÓ Ò Ñ Þ Ú Ñ Ñ ØÝ
Ê ¾ À ¾ ÓÑ Ò ÒØÒ Þ Ò Ê(Ø) Ø ½ ÓÑ Ò ÒØÒ ÑÓØ Ê(Ø) Ø ¾/ ÈÖÓ Ð Ñ ÔÐÓ Ó Ú Ñ ÖÙ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÞÓÒØÙ ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ø ÑÓÒÓÔ Ðó ÁÒ Ò ÑÓ Ð ÖÓÞÔ Ò Ò ÒØÖÓÔ ÔÖ Ò Ô ÈÖÓ
ÃÓ ÑÓÐÓ Ô Ö ÓÜÝ ½ º Ù Ò ¾¼¼ Ê ¾ À ¾ ÓÑ Ò ÒØÒ Þ Ò Ê(Ø) Ø ½ ÓÑ Ò ÒØÒ ÑÓØ Ê(Ø) Ø ¾/ ÈÖÓ Ð Ñ ÔÐÓ Ó Ú Ñ ÖÙ ÈÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÞÓÒØÙ ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ø ÑÓÒÓÔ Ðó ÁÒ Ò ÑÓ Ð ÖÓÞÔ Ò Ò ÒØÖÓÔ ÔÖ Ò Ô ÈÖÓ Ú Ñ Ö ÔÐÓ Ω Ø ½ = ÙÒ Ω
K 4 K 5 K 6 C 5 P 5 P 6
Ë Ö Ð ß Ì ÓÖ Ö ÚÓ Þ Ð Ò Ò Î ÑÒÓ ØÓ Ú ÐÑ ÖÓÞÐ Ò Ô Ð ÐÞ Ø Ø ØÙ Ñ Ø Ö ÐÞ ÔÓÔ Ø ÔÓÑÓ ÑÒÓú ÒÝ Ó ÔÓ Ò Ñ Þ Ò Ø ÖÑ ÚÓ Ñ Ó º ÂÑ ÒÙ Ñ Ò Ñ Ø ÓÙ Ò Ô º Ö ÞÒ ÓÔÖ ÚÒ Ñ Ø Ó Ý ÑÓ ÓÙ ÞÒ Ø Ò Ô º Ö ÞÒ Ñ Ø ÔÓ Ò Ñ Þ Ú Ñ Ñ ØÝ
Matematika I, LS 2017/ přednáška
Matematia I, LS 2017/18 12. přednáša ½ ÌÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ú Ò È Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ Å Ø Ñ Ø Á ½¾º Èà Æýâà ½½º º ¾¼½ ÙÖ Ò Ú Ñ Ñ Ú Ñ º Ã Ú Ý Ñ ÔÓÐ Ò Ó Ò Ð ö Ú Ò ÖÓÚ Ò Ú Ñ ÓÙ»» Ø Ô Ñ º ¾ Ý È º ½ ØÖº Ôº Ô Ö ÓÐ Ó¹Ô Ö ÓÐ
n, π j = nπ j (1 π j ) nπ j (X j nπ j ) 2 χ 2 = χ 2 k 1 j=1
ËØ Ø Ø ¼È¼ ¼È¼ ͵ Ñ ÖÓ ¾¼¼»¾¼¼ Ã Ö Ð Ú Ö º Ð Ò ¾¼¼ ÖÓÞ Ð Ò ÑÙÐØ ÒÓÑ ÞÓ Ò Ò ÒÓÑ Ó ÖÓÞ Ð Ò Ò k¹ø Ò Ó Ò Ú Ð Ò X 1,..., X k Ô Ö Ñ ØÖÝ n, π 1,..., π k 0 < π j
ÈÖÓ Ð õù ú Ñ ÚÓ ÔÐÓÑÓÚÓÙ ÔÖ ÚÝÔÖ ÓÚ Ð ÑÓ Ø ØÒ Ú Ö Ò ÔÓ¹ Ùú Ø Ñ ØÓÚ Ò ÔÖ Ñ Ò º ËÓÙ Ð Ñ Þ Ô ÓÚ Ò Ñ ÔÖ º Î ÈÖ Þ Ò ½ º Ù Ò ¾¼¼½ Ñ Ð Â
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý Èý Ñ Ð Â Ü Ú Ò Ö ÙÐ ÖÒ ÙÒ Ú ÖÞ Ã Ø Ö Ø ÓÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø Ý Ñ Ø Ñ Ø ÐÓ Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Óº Æ Öº ÂÓ ÅР˺ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø ØÖÙ ØÙÖÝ ÈÖ ¾¼¼½ ÈÖÓ
m09 x, y, z ) J i = D i D i = k B T f i 6πηr i
Ò Ø µ ÚÐ ØÒÓ Ø ÙÞ Ð ¹ ÌÖ Ò ÔÓÖØÒ ÚÓ ÚÓ Ø ÓÒ Ù Ø Ú Ø µ Ú ÓÞ Ø Ú Ò ØÖ º º º Ò ÖÓÚÒÓÚ úò ÚÝ ÔÓ Ò ÔÖÓ Ù Ø ÔÐ ÒØÖÓÔ º Ùܵ Ø ú ÞÓ Ò Ò ØÓ µ ÑÓØÝ Ò Ó ÌÓ º º º Ø ÔÐ ÔÐÓõ º ÞÓ Ò Ò Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ µ Ð F È Ò ÔÓØ Ò ÐÙ Ö
Ø Ý ß ÚÓ ÚÓ Ø ÞÔ Ó Ò ÔÓ Ý Ñ Ð ØÖÓÒ ÙÚÒ Ø Ñ ú Ý Áº Ö Ø ÔÓÐÓÚÓ µ ÓÚÝ Ø Ý ß ÚÓ ÚÓ Ø ÞÔ Ó Ò ÔÓ Ý Ñ ÓÒØ ÁÁº ÖÓÞØÓ Ý Ø Ú Ò ÒÝ ÓÐ µ ÓÒØÓÚ Ø Ý ß ÚÓ ÚÓ Ø ÞÔ Ó
Ø Ý ß ÚÓ ÚÓ Ø ÞÔ Ó Ò ÔÓ Ý Ñ Ð ØÖÓÒ ÙÚÒ Ø Ñ ú Ý Áº Ö Ø ÔÓÐÓÚÓ µ ÓÚÝ Ø Ý ß ÚÓ ÚÓ Ø ÞÔ Ó Ò ÔÓ Ý Ñ ÓÒØ ÁÁº ÖÓÞØÓ Ý Ø Ú Ò ÒÝ ÓÐ µ ÓÒØÓÚ Ø Ý ß ÚÓ ÚÓ Ø ÞÔ Ó Ò ÔÓ Ý Ñ ÓÒØ ÚÓÐÒ Ð ØÖÓÒ ÁÁÁº ÔÐ ÞÑ µ s.1 Ð ØÖÓ Ñ È
ÈÖÓ Ð Ù ö Ñ ØÙØÓ ÔÐÓÑÓÚÓÙ ÔÖ ÚÝÔÖ ÓÚ Ð ÑÓ Ø ØÒ Ú Ö Ò ÔÓÙö Ø Ñ ØÓÚ Ò ÔÖ Ñ Òó Ð Ø Ö ØÙÖÝ Ð Ó ÓÖÒ Þ ÖÓ óº ÖÙ Ò Ú ÓÑ ö Ò ÑÓ ÔÖ ÚÞØ Ù ÔÖ Ú ÔÓÚ ÒÒÓ Ø ÚÝÔÐÚ
ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý Â Ò À Ñ ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÐÓ Ý Ó Ñ Ò Ã Ø Ö Ø Ý Ñ Ø Ñ Ø Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ËØÙ Ò Ó ÓÖ Óº ÊÆ Öº ÒØÓÒ Ò ËÐ Ú È º º Å Ø Ñ Ø ÅÁÍËËË ÈÖ ¾¼½ ÈÖÓ Ð Ù ö Ñ ØÙØÓ ÔÐÓÑÓÚÓÙ ÔÖ ÚÝÔÖ ÓÚ Ð ÑÓ Ø ØÒ Ú Ö
ÑÓÞ ÐРл ÓÑ» Ö»ÛÛÛ»»Þ»Ú Ø Ø» Ò Üº ØÑÐ s.1 B01 ÚÓ Ò Ò Ó ½ º ÞÒ ¾¼½½ ÃÓÐ Â ÝÞ ÐÒ Ñ Ø Ú ÈÖ Î ÀÌ Ñ ØÒÓ Ø ¾ Þ Ò Ñ Ú Ó Ñµ Ù ÓÚ Ö º ÓÐ Ú ØºÞ ¾ ¾¾¼ ØØÔ»»ÛÛÛº
ÑÓÞ ÐРл ÓÑ» Ö»ÛÛÛ»»Þ»Ú Ø Ø» Ò Üº ØÑÐ s.1 ÚÓ Ò Ò Ó ½ º ÞÒ ¾¼½½ ÃÓÐ Â ÝÞ ÐÒ Ñ Ø Ú ÈÖ Î ÀÌ Ñ ØÒÓ Ø ¾ Þ Ò Ñ Ú Ó Ñµ Ù ÓÚ Ö º ÓÐ Ú ØºÞ ¾ ¾¾¼ ØØÔ»»ÛÛÛºÚ ØºÞ»» È Ð Ô Ñ Ø ÎÙ È Ð Ö ÔØ ÈÓÑ Ý ¹Ô Ð Ò Ö Ú Þ À Æ ¼
B04. = x. z = z 2 z 1 = z(x 2,x 2 ) z(x 1,y 1 ) (x2,y 2 ) (x 1,y 1 )
ÞÜݻݺ s.1 z= z(x,y dz= ( z x y dx+ ( z y x dy ½º Ð ØÓÔ Ù ¾¼½¼ ÙÒ ÚÓÙ ÔÖÓÑ ÒÒ Á z = z 2 z 1 = z(x 2,x 2 z(x 1,y 1 = (x2,y 2 (x 1,y 1 Ò Þ Ú Ò Ø µ dz dz=0 ÇÔ Ò ÔÓ ØÙÔ dz= M(x,ydx+N(x,ydy È Ð z=sinxsiny Ü
ÈÖÓ Ð ÑÁÄÈ ÐÓ ÐÒ Ð Ò ÇØ Î ØÙÔ ÐÓ ÐÒ Þ Ü ØÙ ÐÓ ÐÒÚ ØÓÖÜ Ø ÓÚú Ü Ñ Ø ÐÓ ÐÒÚ ØÓÖ º ÖÒ ÔÖÓ Ö ÑÓÚ Ò µ È Ð Ò Ø Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ ¼ ½¼½ ¾½¼ ¾ ½ ¼ ½ ÈØ Ò ÖÓÚÒ Ñ Ø Ý Þ Ü ØÙ ÐÓ ÐÒ õ Ò Ò Ü½ ¾Ü¾ Ü Ü½ Ü Ð Ù ÓÙ Ø ÚÝ ¾Ü½ ܾ
m05 G id.směs m (p,t)= x i H mi i=1 x i S mi R k x i ln x i k x i G mi + RT k G mi = H mi TS mi k x i V mi V id.směs m (T,p)=
Ø ÐÓú Ú ÙÔ Ò ØÚ Ñ Þ Ø ÔÐÓØÝ ËØ Ò Ö Ò Ø Ú ÓÙ Ø ÚÝ ØÐ Ù ËØ Ò Ö Ò Ø Ú ÐÒ ÓÒ ÒÞÓÚ Ò Ñ s.1 ½ º ÞÒ ¾¼¼ Ó Ø ØÒ Ú Ð ÒÝ Ñ ÐÓ Þ Ú Ò ØÐ Ùµ Ò ÐÒ Ñ H d.směs m (p,t)= S d.směs m (p,t)= k k x H m x S m R k x ln x G d.směs
ÓÑ ØÖ Ñ ØÓ Ý ËØ Ò Ö Ò Ú Ý Ç Ø ØÒ Ñ ØÓ Ý ÃÓÖ Å Ñ Ú Ñ Ö ½½º Ù Ò ¾¼¼
Å Ñ Ú Ñ Ö ½½º Ù Ò ¾¼¼ Ñ Þ Ð Ñ ÔÓ ÎÞØ Ú Ñ Ó Ø Ó Ø ÖÑ Ø Ó Ø Ø Ò Ú Ð Â Ð ÒÝ Þ ÔÖÓ Ò Ð ö Ú Þ Ò ÈÓÙÞ Ó ÓÐ È Ö Ð Ü ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÎÞ Ð ÒÓ Ø Ò = ½ Í ½ Ô Ø Ò Ô [Ô] ÔÖÓ Ô ÒÓÙ ØÖÓÑ ØÖ Ë Ø Ð Ø ¼º¼¼½ Ö ÙÒ µ À ÔÔ ÖÓ ÔÖÓ
a +b +... c +d +... Ò Ó ν produkty >0 ν vých.látky <0µ
Ø ÔÐÓ Q Ê Ò r ÑÒÓú ØÚ Ø ÔÐ ÚÝÑ Ò Ò Ó ÓÐ Ñ Ô ÔÖ Ù Ö ÚÞØ ú Ò Ò Ö Ò Ó Ö Øº ÞÓØ ÖÑ Ñ s.1 º Ò ¾¼¼ Ì ÖÑÓ Ñ Ô Ö a +b +... c +d +... Ò Ó ν produkty >0 ν vých.látky
B10. p st. i plyny. = a Ç2 = p Ç 2. p st =
Ê ÔÐÝÒ ØÑ ÓÒ ÒÞÓÚ ÒÑ Þ Ñ ÞÒ ¾¼½½ ½ º Ô ÚÒ Ð Ø Ý Ô Ð ÒÝ Ò Ñ ÖÓÞØÓ Ýµ a Ø i = 1 Ò Þ ÖÒÙ Ñ Ó n (g) Ø Ñ Ò Ô ÔÐÝÒݵ Ò Ó ν (g) s.1 ÇÜ Ù ÐÒ Ø Ú ÔÓØÖÙ Ñ Ú Ò Ñú Ù ÖúÙ Ø ÔÐÓØ È Ð º à ØÐ ¾¼¾ È º È ØÓÑ Ñ ú ÔÖÓ Ø Ö
Ag + (aq)+e Ag(s) z=1
Ø Ý ß ÚÓ ÚÓ Ø ÞÔ Ó Ò ÔÓ Ý Ñ Ð ØÖÓÒ ÙÚÒ Ø Ñ ú Ý Áº Ö Ø ÔÓÐÓÚÓ µ ÓÚÝ Ø Ý ß ÚÓ ÚÓ Ø ÞÔ Ó Ò ÔÓ Ý Ñ ÓÒØ ÁÁº ÖÓÞØÓ Ý Ø Ú Ò ÒÝ ÓÐ µ ÓÒØÓÚ Ø Ý ß ÚÓ ÚÓ Ø ÞÔ Ó Ò ÔÓ Ý Ñ ÓÒØ ÚÓÐÒ Ð ØÖÓÒ ÁÁÁº ÔÐ ÞÑ µ s.1 ½¼º ÔÖÓ Ò
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý Ê ÃÖ ÅÓ Ð Ô ö Ò Ò ÖÙ ÓÚ Ñ Ó Þ Ù Ã Ø Ö ÒÙÑ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Óº ÊÆ Öº ÎÐ Ñ Ö Â ÒÓÚ Ö
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý Ê ÃÖ ÅÓ Ð Ô ö Ò Ò ÖÙ ÓÚ Ñ Ó Þ Ù Ã Ø Ö ÒÙÑ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Óº ÊÆ Öº ÎÐ Ñ Ö Â ÒÓÚ Ö˺ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø ÒÙÑ Ö ÚÔÓ ØÓÚ Ñ Ø Ñ Ø ¾¼¼
Ø Ð Ý ÔÓ ÓÚ Ø Þ Ñ Ò Ô ÒÙ ÔÖÓ ÓÖÙ Ë ÑÓÒÓÚ Þ ÔÓÑÓ Ô Ô ÓÚ Ò Ø ØÓ ÔÖ Ô Ú ÖÓ Ò Þ Ñ Ø Ö ÐÒ ÔÓ ÔÓÖÙº
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ Ã ÄýàËÃý ÈÊý Ö Ó Ò Ð Ë ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò Ã Ø Ö Ø ÓÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø Ý Ñ Ø Ñ Ø ÐÓ Ý Î ÓÙ Ð ÔÖ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ËØÙ Ò Ó ÓÖ ÔÖÓ º ÊÆ Öº È ØÖ Ë ÑÓÒ Ö˺ Å Ø Ñ Ø Ç Ò Ñ Ø Ñ
Å Ë Ê ÃÇÎ ÍÆÁÎ Ê ÁÌ È ÖÓ ÓÚ ÙÐØ Ø Ú Ø ÓÖ Ø ÝÞ Ý ØÖÓ ÝÞ Ý ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý ÅÓ ÐÓÚ Ò ÔÖÓÑ ÒÒÓ Ø Ú Þ Ý σ ÇÖ Å Ð Ò ÈÖÚ Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Óº Å Öº Â ÃÖØ È º º ¾¼½½
Å Ë Ê ÃÇÎ ÍÆÁÎ Ê ÁÌ È ÖÓ ÓÚ ÙÐØ Ø Ú Ø ÓÖ Ø ÝÞ Ý ØÖÓ ÝÞ Ý ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý ÅÓ ÐÓÚ Ò ÔÖÓÑ ÒÒÓ Ø Ú Þ Ý σ ÇÖ Å Ð Ò ÈÖÚ Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Óº Å Öº Â ÃÖØ È º º ¾¼½½ Ê Ý ÔÓ ÓÚ Ð Ô ÒÙ Óº Å Öº Â ÑÙ ÃÖØ ÓÚ È º º Þ ÒÒ Ö
x k = x k i w i/n. S(a) S(a) = (x i a) 2 w i = n(x a) 2 = n [x 2 2ax+a 2 ] = n(x2 x 2 ) n 1 = n(x2 2 x x+ x 2 ) n 1 s 2 = S( x) n(x x)2 i=1 (δx i) 2 º
![x k = x k i w i/n. S(a) S(a) = (x i a) 2 w i = n(x a) 2 = n [x 2 2ax+a 2 ] = n(x2 x 2 ) n 1 = n(x2 2 x x+ x 2 ) n 1 s 2 = S( x) n(x x)2 i=1 (δx i) 2 º](/thumbs/101/150759538.jpg "x k = x k i w i/n. S(a) S(a) = (x i a) 2 w i = n(x a) 2 = n [x 2 2ax+a 2 ] = n(x2 x 2 ) n 1 = n(x2 2 x x+ x 2 ) n 1 s 2 = S( x) n(x x)2 i=1 (δx i) 2 º")
ÈÓÔ Ò Ø Ø Ø ¾ Ò Å ÙÐ Ø Ú Ø ÓÖ Ø ÝÞ Ý ØÖÓ ÝÞ Ý È Å ÖÝ ÓÚÝ ÍÒ Ú ÖÞ ØÝ ÖÒÓ Ú Ò ö Ô ÖÓ Ñ Ò ÐÞ ÓÚ ÚÝÔÐ Ø ÔÖÓÚ Ø ó Ð Ò ÖÓÞ ÓÖ Ò Ñ ¹ Ò Ø Ý Ø Ô ÑÓ Ð ÞÚÓÐ Ø ÓÔØ Ñ ÐÒ ÞÔó Ó Ð Ó ÞÔÖ ÓÚ Ò º Ã ØÓÑÙ ÐÓÙö Ò ØÖÓ ÔÓÔ Ò
B06. p (1) = p (2) T (1) = T (2) n (1) 1 + n (2) 1 = n 1 =konst n (1) 2 + n (2) 2 = n 2 =konst
ÔÐÓØÑ Üº s.1 º Ò ¾¼¼ ÁÒØ ÒÞ ÚÒ ÔÓ Ñ Ò Ý ÖÓÚÒÓÚ Ý p (1) = p (2) T (1) = T (2) dg=dg (1) +dg (2) =0 ÔÓ Ñ Ò Ý n (1) 1 + n (2) 1 = n 1 =konst n (1) 2 + n (2) 2 = n 2 =konst µ (1) 1 = µ (2) 1 µ (1) 2 = µ (2)
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý º Å Ð âú Ö ÔØ ÚÒ ÓÖÑ ÔÖ Ú ÖÙ ÐÒÝ ÒØÓÚ Ã Ø Ö Ó ØÛ Ö ÚÙ Ý Ò ÓÖÑ Ø Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Å Öº ÌÓÑ ÈÐ
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý º Å Ð âú Ö ÔØ ÚÒ ÓÖÑ ÔÖ Ú ÖÙ ÐÒÝ ÒØÓÚ Ã Ø Ö Ó ØÛ Ö ÚÙ Ý Ò ÓÖÑ Ø Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Å Öº ÌÓÑ ÈÐ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ËØÙ Ò Ó ÓÖ Ì ÓÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÈÖ
ÐÒ ÙÐØ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÔÓÐÙÔÖ È ØÖ Ñ ËÚ Ñ ËÁ ÎÍÌ Â ÖÓÑ Ö Ñ Ú ÁÒØ Ö Ø ÙØ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ø Ù Ö Å ÐÓ Ð Ú Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ ÍÒ Ú ÖÞ Ø ÀÓÖ Ñ Ì Î Ê Í Ò ÔÓÐ ÒÓ Ø Ê ½ º
ÐÒ ÙÐØ Å Ø Ñ Ø Ó ÝÞ ÔÓÐÙÔÖ È ØÖ Ñ ËÚ Ñ ËÁ ÎÍÌ Â ÖÓÑ Ö Ñ Ú ÁÒØ Ö Ø ÙØ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ø Ù Ö Å ÐÓ Ð Ú Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ ÍÒ Ú ÖÞ Ø ÀÓÖ Ñ Ì Î Ê Í Ò ÔÓÐ ÒÓ Ø Ê ½ º ½º ¾¼¼ Ø Ú Ò Òú ÒÖ ØÚ ÒØ Ö ÐÒ Ó Ú ØÖÙ Ø Ú ÓÒ ØÖÙ ÌÎ
Ëà ΠËÇÃ Í Æ Ì ÀÆÁ à ΠÈÊ ÙÐØ ÖÒ ÝÞ ÐÒ Òö ÒÖ Ã Ø Ö Ñ Ø Ñ Ø Ý Ã ÄýàËÃý ÈÊý Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ú ÒÓ Ù ÝÞ ÐÒ Ý Ø Ñ Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ò Ë ÑÔÐÝ È Ý Ð ËÝ Ø Ñ ÈÓ ÐÙ â ÓÐ Ø
Ëà ΠËÇÃ Í Æ Ì ÀÆÁ à ΠÈÊ ÙÐØ ÖÒ ÝÞ ÐÒ Òö ÒÖ Ã ÄýàËÃý ÈÊý ¾¼¼ Å ÖØ Ò À ØÑ Ò Ëà ΠËÇÃ Í Æ Ì ÀÆÁ à ΠÈÊ ÙÐØ ÖÒ ÝÞ ÐÒ Òö ÒÖ Ã Ø Ö Ñ Ø Ñ Ø Ý Ã ÄýàËÃý ÈÊý Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ú ÒÓ Ù ÝÞ ÐÒ Ý Ø Ñ Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ò Ë ÑÔÐÝ È
ÇÖ Ò Ð Þ Ò Ù Ò Þ Ø ÓÖ Ò Ð Þ Ò º
Ô Ó ÙÒ Ú ÖÞ Ø Ú ÈÐÞÒ ÙÐØ ÔÐ ÓÚ Ò Ú Ã Ø Ö Ñ Ø Ñ Ø Ý ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ ÇÖ Ñ ÓÑ ØÖ ÓÒ ØÖÙ ÎÝÔÖ ÓÚ Ð º ÌÓÑ õ ÖØ Î ÓÙ ÔÖ Óº ÊÆ Öº Å ÖÓ Ð Ú Ä Ú È º º ÈÐÞ ¾¼½ ÇÖ Ò Ð Þ Ò Ù Ò Þ Ø ÓÖ Ò Ð Þ Ò º ÈÖÓ Ð õ Ò ÈÖÓ Ð õù ú Ñ ÔÐÓÑÓÚÓÙ
Ù Ú ÑÙ Ú ÓÙ ÑÙ ÊÆ Öº ËÚ ØÓÔÐÙ Ù ÃÖ ÐÓÚ È º º Þ Ø ÚÒ Ó Ø ÚÓÙ ÚÝØÖÚ ÐÓÙ ÔÓÑÓ Ñ ÚÝÔÖ ÓÚ Ú Ò ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ º Ì Ù Ð Ñ Ú Ñ Ð ÒóÑ Å Ø Ñ Ø Ó Ø ÚÙ ÍÃ Þ Ö Ý ÔÓ Ñ ØÒ
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý Å Ö Ó Ø ÐÓÚ ÌÛ ØÓÖÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖ Ú ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖÓÚ ÓÑ ØÖ Å Ø Ñ Ø Ø Ú ÍÃ Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ËØÙ Ò Ó ÓÖ ÊÆ Öº ËÚ ØÓÔÐÙ ÃÖ Ð È º º Å Ø Ñ Ø Å
Ø Ð Ý Ø ÑØÓ ÔÓ ÓÚ Ø ÚÓ Ú ÓÙ º ÃÓÖ ÓÚ Þ ÔÓÙ ØÙ Ù Ø Ö Ñ Ô ÚÝÔÖ ÓÚ Ò ÔÖ Ú ÒÓÚ Ð º Ò ÓÒ ÒÓÙ ØÖÔ Ð ÚÓ Ø Ó ÓØÙ Úó ÑÓöÒÓ Ø ÔÖ ÓÚ Ø Ô ØÖÝ Ú Þ Ý Î ÅÓÒ Ø Ö ÓÙ Ô
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ Ã ÄýàËÃý ÈÊý Ì Ö Þ Â ÓÚ ËÔ ØÖÓ ÓÔ Ò ÐÞ Ú Þ Ý Î ÅÓÒ ØÖÓÒÓÑ Ø Ú Íà ΠÓÙ Ð ÔÖ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ËØÙ Ò Ó ÓÖ Å Öº Ò Ð ÃÓÖ ÓÚ È º º ÝÞ Ó Ò ÝÞ ÈÖ ¾¼½ Ø Ð Ý Ø ÑØÓ ÔÓ ÓÚ
Æ ØÓÑØÓ Ñ Ø Ý Ø Ð ÔÓ ÓÚ Ø Ú Ñ Ó ÔÓ Ð Ð Ò ÚÞÒ Ù Ñ Ð ¹ ÔÖ º Ñ Ò Ý Ö ÔÓ ÓÚ Ð Ú ÓÙ ÑÙ ÁÒ º  ÖÓÑ ÖÙ ÀÓÖ ÓÚ Ö˺ ÓÒÞÙÐØ ÒØóÑ ÔÖÓ º ÊÆ Öº Ù Å ÖØ ÒÓÚ Ö˺ ÊÆ Ö
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ Ã ÄýàËÃý ÈÊý  ٠ŠРÃÓÒ ÒÓÔÖÚ ÓÚ ¾ ÓÖÑÙÐ Ú Ö Ð Ø ØÖÙ ØÙÖÝ Ô Ú Ð ÓÖÑ Ã Ø Ö Ó ÝÞ Ý Î ÓÙ Ð ÔÖ ÁÒ º  ÖÓÑ Ö ÀÓÖ Ö˺ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÝÞ ËØÙ Ò Ó ÓÖ Ç Ò ÝÞ ÈÖ ¾¼½½
Fyzikální praktikum 2
Ø Ú ÝÞ Ý ÓÒ ÒÞÓÚ Ò Ð Ø È ÖÓ ÓÚ ÙÐØ Å ÖÝ ÓÚ ÙÒ Ú ÖÞ Ø ÖÒÓ Fyzikální praktikum 2 Návody k ulohám Ondřej Caha, Dušan Hemzal, Luděk Bočánek Jiří Chaloupka, Petr Mikulík a Filip Münz Brno 2013 ¾ ÝÞ ÐÒ ÔÖ Ø
Ç ½ ÍÚÓ ¾ ½º½ ÍÚÓ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ó ØÚÓ Ö ÙÖ ØÚ ¾º½ ÙÖ ØÚ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÊÓ Ò ÓÚ ÔÖ ÙÖ ØÚ È ØÖ Ë Ú Ý ÝÑ Þ ÙÑ Ù Ò ÔØ Ñ ¾¼¼»¾¼¼ Ç ½ ÍÚÓ ¾ ½º½ ÍÚÓ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ó ØÚÓ Ö ÙÖ ØÚ ¾º½ ÙÖ ØÚ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý ÙÞ Ò ÀÓÖÓÚ ÑÓÒ ØÖ Þ Ð Ò ÚÐ ØÒÓ Ø õ Ò ÚÐÒ Ò Ø ÙÑ Ð ÖÙú Ã Ø Ö Ø Ý ÝÞ Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Óº ÊÆ Öº
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý ÙÞ Ò ÀÓÖÓÚ ÑÓÒ ØÖ Þ Ð Ò ÚÐ ØÒÓ Ø õ Ò ÚÐÒ Ò Ø ÙÑ Ð ÖÙú Ã Ø Ö Ø Ý ÝÞ Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Óº ÊÆ Öº ÇÒ Ë ÒØÓÐ Öº ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÝÞ ÈÖ ¾¼¼ Î ÐÑ Ù Óº ÊÆ
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ È ØÖ ÃÓÐ Ò Ô ÖÞ ÔÓÚÖ ÓÚ Ñ ÚÐÒ ÔÓ Ð ÚÝ Ö Ò ÙÖÓ ØÖ Ã Ø Ö Ó ÝÞ Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Óº ÊÆ Öº ÇÐ ÆÓÚÓØÒ Ëº Ó ÝÞ ÑÓÐÓ ÈÖ ¾¼¼ ÈÓ ÓÚ Ò Ú Ò Ú ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Ý Ö ÔÓ
½ºÖÓ Ò ºÐ Ø Å Ð õ Ø Ð Ð Óú Ùú Ñ Ñ ØÚÖØÓÙ Ö Þ ÓÙ Ò Ò õ ¹ Ò Ñ ÔÙ Ø Ø Ó Ðõ ØÓ Ô Ø Ö ÈÐ ú ÚÑ ÖÓ Ý ÓØ ÔÐÙ ÖÞÝ ú Ù Ö Ò ÔÓ º Â Ô Ø ÓÙ ÔÓÙ Ø ÐÙÒ Ò Ò ØÖ Ú Ò Ú
½ºÖÓ Ò ºÐ Ø Å Ð õ Ø Ð Ð Óú Ùú Ñ Ñ ØÚÖØÓÙ Ö Þ ÓÙ Ò Ò õ ¹ Ò Ñ ÔÙ Ø Ø Ó Ðõ ØÓ Ô Ø Ö ÈÐ ú ÚÑ ÖÓ Ý ÓØ ÔÐÙ ÖÞÝ ú Ù Ö Ò ÔÓ º Â Ô Ø ÓÙ ÔÓÙ Ø ÐÙÒ Ò Ò ØÖ Ú Ò Ú Ò Ù Ñ ¹ Ö Ýº Ð ÑÝ Ú Ñ ú Ø Ò õ ØÙ õ Ò ÃÓÃÓËÙº È Ñ Ó
s09 U = u(r)ρ4πr 2 dr. r c
1/9 s09 ½ º ÔÖÓ Ò ¾¼½¾ Î Ð Ó Ø Ý Ø ÑÙ Ó ÔÓØ Ò ÐÙ ËØ ÒÓÚ Ò Ú Ó Ò Ú Ð Ó Ø ÚÞÓÖ Ù ÓÖ Ð Ò Ð Ó ÔÓØ Ò ÐÙ 1000 Ø Ô Ð Ò > ÓÑÓÐ ÙÐÝ 10000 Ò ÒÓ ØÖÙ ØÙÖÝ ÖÝ Ø ÐÝ ÐÓ µ > 10 6 ÔÖÓ Ð Ñ õ ÐÓÚ Ò Ú Øõ ÚÞÓÖ Ðõ ÓÖ Ð Ò µ
ÈÖÓ Ø ÐÐËØÓÖ ¹ Ó ØÓÚ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÅÄ¹Ò Ø ÚÒ Ó Ëà Ã Ö Ð Ê Ø Å Ð Î Ð ÒØ Â Ò ÎÖ Ò Ã Ø Ö ÔÓ Ø ó Ä ÎÍÌ ÈÖ Ã ÖÐÓÚÓ Ò Ñ Ø ½ ½¾½ ÈÖ ¾ ßÖ Ø Ú Ð ÒØ ÚÖ ÒÝ ½Ð кÚÙغÞ
ÈÖÓ Ø ÐÐËØÓÖ ¹ Ó ØÓÚ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÅÄ¹Ò Ø ÚÒ Ó Ëà Ã Ö Ð Ê Ø Å Ð Î Ð ÒØ Â Ò ÎÖ Ò Ã Ø Ö ÔÓ Ø ó Ä ÎÍÌ ÈÖ Ã ÖÐÓÚÓ Ò Ñ Ø ½ ½¾½ ÈÖ ¾ ßÖ Ø Ú Ð ÒØ ÚÖ ÒÝ ½Ð кÚÙØºÞ ØÖ Ø Ð Ñ ÔÖÓ ØÙ ÐÐËØÓÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÅÄ¹Ò Ø ÚÒ Ó Ø ÞÓÚ
Æ ØÓÑØÓ Ñ Ø Ý Ö ÔÓ ÓÚ Ð Ú ÑÙ Ú ÓÙ ÑÙ ÊÆ Öº È ÚÐÙ ÃÓ ÒÓÚ È º º Þ ÙÚ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ý ÔÓÚÖ ó Ñ Ù Þ ÔÓ ÔÓÖÙ Þ ÚÝ Ð Ò Ð Ò ó ÔÖÓ ØÙØÓ ÔÖ Þ ÔÓÑÓ Ô Ò Ñ Ø ØÓ Ô
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ Ã ÄýàËÃý ÈÊý ÇÒ ÃÖ Ì ÓÖ Ø ÚÔÓ ØÝ Ø Ð ØÝ Ð ØÖÓÒÓÚ ØÖÙ ØÙÖÝ ÔÓÚÖ ó Ë Ã Ø Ö ÝÞ Ý ÔÓÚÖ ó ÔÐ ÞÑ ØÙ Î ÓÙ Ð ÔÖ ÊÆ Öº È Ú Ð ÃÓ Ò È º º ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÝÞ ËØÙ Ò Ó ÓÖ Ç
ýè Ç ËÃý ÍÆÁÎ Ê ÁÌ Î ÈÄ ÆÁ ÃÍÄÌ Ä ÃÌÊÇÌ ÀÆÁ Ãý Ã Ì Ê Ì ÀÆÇÄÇ Á Å à Æ Ð ÔÖ ÅÓ ÐÝ ÑÓ ÐÓÚ Ò ØÖ ÒÞ ØÓÖó ÑÓ Ø Î Ð Ú Ì ¾¼½ ØÖ Ø Ì ØÓ ÔÖ Þ Ú Ø Ñ Ø Ñ ÑÓ Ðó ÑÓ ÐÓÚ Ò ØÖ ÒÞ ØÓÖó ÅÇË Ìº Î Ò Ð Ù Ó Ø Ú ÖÓÞ Ö Ò ÔÖÓ
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ Ã Äý ËÃý ÈÊý Â Ò Ê Ò ÐÓÚ ÈÖÓ ÓÖÓÚ Ý Ø Ñ ÔÖÓ Þ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØÙ ÔÖÓ ØÙ ÙÑ Ò ÔÖÓ ÔÖ ÓÚ Ñ ÖÓ Ø Ã Ø Ö ÝÞ Ý ÔÓÚÖ Ô
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ Ã Äý ËÃý ÈÊý Â Ò Ê Ò ÐÓÚ ÈÖÓ ÓÖÓÚ Ý Ø Ñ ÔÖÓ Þ Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØÙ ÔÖÓ ØÙ ÙÑ Ò ÔÖÓ ÔÖ ÓÚ Ñ ÖÓ Ø Ã Ø Ö ÝÞ Ý ÔÓÚÖ ÔÐ ÞÑ ØÙ Óº ÊÆ Öº ÄÙ ÓÑ Ö È Öº ËØÙ Ò Ó ÓÖ Ç Ò ÝÞ ¾¼¼
Ä Ôõ ÚÓ Ý Ò ÚÝÑÝ Ð Ð Ó ÔÓ Ð Ð Ò õ ÑÙ Ô ÓÚ Ô ÔÖ ú Ó ÔÓÐ Ù Ø ÑÒ ËÔÓÐ ÒÓ Ø º Æ Ð Ù Ø ÜØ Þ ÞÒ Ð Ó Þ Ö Ú Ú Ò Ô ØÓÑÒÓ Ø Ó ÙØÓÖ Ò Ñ Ñ Þ Ø Ù ÐÙ ÓÚ Ó ÝÑÔ Þ ÔÓÞ
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Ö Ú Ó ØÙ Þ ÈÖ Ý Þ Ó úò»¾¼½ ¼ Ö ÖÓ ÓÖ ß Ù Ò Ò ½ ½ ËÔÓÐ ÒÓ Ø ËÝÑÔ Þ ÙÑ ¾¼½ ÆÓØÓ ÐÓÚ Ú ÈÖõØ Â ÖÓ Ð Ú ÈÖÓ Þ ß ¼ È Ø Ø Ð Ó Â Ó È Ú Ö Ò Þ ÒÝ Ú ÖÙ Ñ Ä Ôõ
ØÓ Ë ÙÖ ØÝ ÎÇ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ë Ö Ø»Ë Ö Ø Ñ Ò Ñ ÒØ ÇÖ Ò ØÓÖ ÁÒ Ù ØÖ Ð ËÓ ØÛ Ö ÁÆËÇ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ò Ò Ö Ò ÙÐØØ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ì Ò ÍÒ Ú Ö ØØ Ï Ò ÁÒ Ø ØÙØ
ØÓ Ë ÙÖ ØÝ ÎÇ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ë Ö Ø»Ë Ö Ø Ñ Ò Ñ ÒØ ÇÖ Ò ØÓÖ ÁÒ Ù ØÖ Ð ËÓ ØÛ Ö ÁÆËÇ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ò Ò Ö Ò ÙÐØØ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Ì Ò ÍÒ Ú Ö ØØ Ï Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÐÓÖ Ò Ò Ù Ö Ö ÒÞ Å Ö Ó Ö Ò ÒÐ ØÙÒ Ô Ð ÇÖ Ò ØÓÖ Ö Ë
ÎÝ Ó Í Ì Ú ÈÖ Þ ÙÐØ Ð ØÖÓØ Ã ÄýàËÃý ÈÊý Å Ð Ò ÈÖÓÙÞ ÈÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù ÓÖÑ ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØó Ã Ø Ö Ý ÖÒ Ø Ý Î ÓÙ Ð ÔÖ ÁÒ º ÎÓ Ø ÎÓÒ ÈÖ ¾¼½¾ ØÖ Ø ÓÖÑ ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØó ÓÙ Ñ Þ ØÙ ÐÒ Ñ Öó ÚÞ ÙÑÙ Ú ÑÓ ÐÒ ÖÓ ÓØ º óð ö
ÄÙ Å ÖÓÐ Â Ö ÑÖÑ Ò ÐÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ Ì Ò Ñ Þ Ð Ö Ò Ò ººº Ì ØÓ Ú Ø ÞÒ Ñ Ó Þ Ø ÓÔ ÚÓÚ Ò Ó ÓÔÐ Ú Ú Ò Ó Ð ½ ¾ µ Ó ÓÚ Ò Ó Ò Ò Ó Â ÖÓ Ð Ú À õ Ó Ó Ö Ñ ÚÓ Ù ÂÓ Ù Ú
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Î Ø Ú Ú ÓÐÒ ÃÓÙÒ Î Ø Ú ØÙ Ú ÖÒ ÅÖ ÞÙÚÞ ÓÖÒ ÓÔÙÒ ÒÓÚÙÞÖÓÞ Ò ÓÔÙÒ Ó ØÙ Ý ÚÝ Öú Ó Ò ÊÓÙ ÓÚ Ò Ú Ð Ò Ù Ù ÙÐ ÒØÝ Ó È ÚÓÚ Å Ù Ò ÓÔ ÓÑ Ý Ó Ò Ò Ó Ö Ô ÒÙ
ÚÓÐÙØ ¹ Ó ÙÑ ÒØ Â Ò ÃÓÐÓÑ ÞÒ
ÚÓÐÙØ ¹ Ó ÙÑ ÒØ Â Ò ÃÓÐÓÑ ÞÒ Ç Á Íö Ú Ø Ð Ó ÙÑ ÒØ ½ Íö Ú Ø Ð ÖÓÞ Ö Ò ½º½ Î ÛÔÓÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÓÒ ÓÐ º º º º º º º º º º º º º
( u,v W) : u W v W ( α R)( u,v W) : α W v W.
ÔÐ ÓÚ Ò Ð Ö Ú Ò µ ÇÐ ÎÐ Ò Ó Ø Ð ¾¼º Ù Ò ¾¼½ ½ ½ ½º½ È ÔÓÑ ÒÙØ Ò Ø Ö Ô ØÓÐ Þ Ð Ò ÖÒ Ð ÖÝ Î ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÝ ØÚ (V,F,, ) V ÑÒÓö Ò F Ø Ð Ó Ð Ô ÒÓ (F,+, ) Ø Ð Ó ÓÙ ÓÔ Ö : V V V : F V V Ò ÞÚ Ñ ÔÓ Ñ Ñ Ú ØÓÖÓÚ
Ç Þ Þ ÌÓ Ò Ò Ò Ò Þ Ú Ò Ô Ò Ý ØÓØÓ Ñ Ò Ô Ø Ð Ø Ú ÑÒÓ Ö ÞÒ ÓÙÚ ÐÓ ¹ Ø º Ì ÒØÓ ÚÓ Ò Ñ Ú Ú ØÒÙ Þ Ò Ð Ø ØÓ ÐÓÚÝ Ô Ò Ý Ã ÖÐ ÈÐ Ð ÈÖõ ººº ººº ÓÙ Ú Ò Ù ÔÖ ÐÓ
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Î Ø ÚÝ ØÙ ÖÒÓ ÞÐ Ø ÐÓ ÈÖ ØÙ Ñ ÔÓÞÓÖÙ Ñ Ô õ Ñ Ú Ö ÃÖ ÐÓÚ ß ÓØ Ú Ö Ò Þ ÒÝ Ë Ö Ù ÙÐ ÒØ Ö ÎÐ Ø Ò Ú ÖÒ ÅÓÖ ÚÙ Ä ÓÐ Ñ ÐÙ Ù ÂÓ Ç Ò Ð ß Ð Ø Å ÖÓ Ð Ú ÌÖØ
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý Å ØÓÙ Ê Ò Ð Å Ò Ø ÚÐ ØÒÓ Ø ÐÒ ÓÖ ÐÓÚ Ò Ð ØÖÓÒÓÚ Ý Ø Ñó Ø Ú Ø ÓÖ Ø ÝÞ Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ ÔÖÓ º
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý Å ØÓÙ Ê Ò Ð Å Ò Ø ÚÐ ØÒÓ Ø ÐÒ ÓÖ ÐÓÚ Ò Ð ØÖÓÒÓÚ Ý Ø Ñó Ø Ú Ø ÓÖ Ø ÝÞ Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ ÔÖÓ º ÊÆ Öº Î Ð Ú Â Ò Ö˺ ÝÞ ÐÒ Ø Ú Î Ê ÚºÚº º ËØÙ Ò ÔÖÓ
Ë ÔÖÚÒ Ñ Ò Ñ ÎÝÙú Ú Ñ ÔÖõ Ú Ò Ú Ô Ð Ò Ý Þ ÔÐÒ Ð Ô Ñ Ò Ý Ó Ö Þ Ý Ò Ð Ù ØÖ Ò Ý ÔÖÓ Ú õ Ó Ùõ Ö ØÖ Ð Ú Òݺ ÃÓÒ ÙÖ ÓÚ Ý Ø Ñ Ò Þ Þ ÑÓÚ Ò ÖÓ ØÐ Ò Ð Þ Ñ Ó õø
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½¾ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Þ Þ ØÙ Ý ØÙ Ó Í Ö Î Ø Ú Ò Ò Ù ÙÐ ÒØ Ú Ö Ñ Ú ÖÙ Ñ ËÝÑÔ Þ ÙÑ Ë Ø Ò ÒÓØÓ Ð Ê ÞÒ Úõ Ð Ó ÒÓÚ Ó Ú ËÔÓÐ ÒÓ Ø ÃÝØ Ð Å Ù Ò ÓÔ Ñ ÒÙØ ÀÈÌ ½ Ë ÔÖÚÒ Ñ Ò Ñ
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý Ù Ö ÙØÓÑ Ø Ô ÞÓÚ Ò ÚÞÒ ÑÙ Ë Ò ¹Ø Ò Ø Ú ÓÖÑ ÐÒ ÔÐ ÓÚ Ò Ð Ò Ú Ø Ý Î ÓÙ ÊÆ Öº Å Ö Ø ÄÓÔ Ø ÓÚ È
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý Ù Ö ÙØÓÑ Ø Ô ÞÓÚ Ò ÚÞÒ ÑÙ Ë Ò ¹Ø Ò Ø Ú ÓÖÑ ÐÒ ÔÐ ÓÚ Ò Ð Ò Ú Ø Ý Î ÓÙ ÊÆ Öº Å Ö Ø ÄÓÔ Ø ÓÚ È º º ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ËØÙ Ò Ó ÓÖ Å Ø Ñ Ø Ð Ò Ú
O x i, b; z = i, b; z i = 0 ÓÖ x i = 0 i, b 1; z i [N] Ò x i = 1º
![O x i, b; z = i, b; z i = 0 ÓÖ x i = 0 i, b 1; z i [N] Ò x i = 1º](/thumbs/99/141160995.jpg "O x i, b; z = i, b; z i = 0 ÓÖ x i = 0 i, b 1; z i [N] Ò x i = 1º")
Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÐÙÑÒ Ý Â Ó Ó ÌÓÖ Ò Ôغ Ì ÓÖ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØØ ÍÐÑ Ç Ö Ö Ð Ö ¼ ÍÐÑ ÖÑ ÒÝ Ó ÓºØÓÖ ÒÙÒ ¹ÙÐѺ ØØÔ»»Ø ÓÖ º Ò ÓÖÑ Ø ºÙÒ ¹ÙÐѺ»È Ö ÓÒ Ò» غ ØÑÐ ÉÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÝÓÙÒ Ö Ö Ö Ó ÒÖ Ò
Þ ÑÙ Ñ Å ÒÙÐ Ñ Ú Ø ØÙÐ Ù ÚÝÞÚ Ð ÌÖÓõ Ù Ó Ð Øº ÌÓ Ò ÓÒ ÔÓÚ ÐÓ Ò Ø Ð Ò Ñ ß Ó Ó ÔÓ ß Ú Ñ Ò Ó ÚÝ Ð ÔÓ Þ Ñº à ÓÒ Ò õø Ó Ò Ð Ø Ò ØÖÓÑ ÖÚ Ú ÐÑ ÓÔ ØÖÒ º Ç Ó Ú
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Þ Þ ØÙ Ú Ó Ò Ú Ö Ò Þ ÒÝ Ú ÖÙ Ñ Å ÑÓ Ò Ô Ò õ Ò Ú Ë ËÈÃË ÆÓØÓ Î Ø Ú Ù ÙÐ ÒØ Â Ú ÓÙ ØÙ Ò ËÔ õ ÃÝØ Ð ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÑÝÖ Ó Ø Ñ ÞÚÐ õò ÖÚ Þ ÑÙ Ñ Å ÒÙÐ Ñ
de = I(r,n,ν,t)dScosθdωdνdt, I ν J ν J(r,ν) = 1 2 J(r,ν) dν. µ E Ê (r) = 4π c
Èà ÊÇ ÇÎ Ãý ÃÍÄÌ Å Ë Ê ÃÇÎ ÍÆÁÎ Ê ÁÌ ËÌ Î Ì ÇÊ ÌÁ à Áà ËÌÊÇ Áà ÀÓÖ Ú Þ Ý ÁÁ  ÃÖØ ÖÒÓ ¾¼½ ½ ½º½ ØÑÓ ÖÝ ÓÖ Ú Þ ÈÓÔ Þ Ò Ú Ú Þ Ò ØÑÓ Ö Î ÔÓ Ø Ø Ú ÒÝ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ó Ú Þ Ñ Ñ Þ Ú Ñ ØÙ Ñ Ð ØÖÓÑ ¹ Ò Ø Ó Þ Ò º ÈÖÓØÓ
p99 /cygdrive/jan.hus/ $ startx -- :# /cygdrive/jan.hus/ $ setxkbmap us
Ñ ÖÓ ÖÝ Ø Ð 2 2 2 + Æ Ð Ú Ô ÔÖ ÚØ Ð ØÖÙ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ú ÙÙ Ø ÒØÓ ÑÓØ Ú 3 3 3 Ö Ø ÑÙÐÙ Ø ÖÝ Ø Ð Ú Ô Ö Ó Ö ÔÐ Ù Ø ÔÓ Ñ Ò Ó Ö ÓÚ s.1 Ë ÑÙÐ Ò ÔÖ Ø ÙÑ Ó Ø Ò ÑÓ ÐÙ Æ Ð ÓÐ Ó Ø Ò ÑÓ ÐÙ Æ Ð Ñ ØÓ ÓÙ ÞÓÒ ÐÒ Ø Ú Ý ËØ
 ÚÐ Ú Ò Ñººº ººº Ý Ú Ú ÒÙ Ñ Ò Ñ ÔÖ Ú Ø Ð Ñ Ð Ó ÒÓÙ Ø Ò Ø ÞÒ Ñ Ø ÖÓ ÒÓÙº ÈÖ Ú Ù Ñ ß Ú ÔÖÓ Ñ Ñ Ø Ò õ Ø Þ ÒÓÚÒ ººº Â Ò Ø Ò Ø ØÙÐ ÔÖ Ú Úº ÝØ Þ Ø Ñ Ò Ô Ò
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Æ õ Ð ÒÓÚ Ò Ø Î Ø Ú ØÙ Î Ø ÚÝ Ù ÓÒ ÙÖ Ò ËÔÓÐ Ò ÖÓÒ ß ÚÖÓ Ð Ò ÐÙ Ù ÃÝØ Ð ÌÖ Ó Ñ Ò ÙÑ À Ûºµ Ë Û ÒØ Â ÚÐ Ú Ò Ñººº ººº Ý Ú Ú ÒÙ Ñ Ò Ñ ÔÖ Ú Ø Ð Ñ Ð
½ Ú Ò Ô ØÒ Ø õ Ø Þ ØÙ Ø Ö Ñ ØÙ Ú Ñ ÔÖÓ Ú Þ ØÝ ÖÓ Ý Ò Ô Ð Ò ÑÓ ÚÝÑÝ Ð Ø ÐÓÙ Ò Ò Ô ÔÖÓ Ø ÒØÓ ÚÓ Ò ß Ô õ Ò ÓÔ Ò ÚÝ Ö Ø Ø Ò Ò Ú Ó Ò õ Þ Ò Ñ Ø ÚÓÚ Ø ÔÖÚÒ Ð
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ½»¾¼½¾ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ ÓØ Ò ÔÐ Ø ß ÚÝ Ð õ Ò ÓÙØ ú Þ Ò ÝØ Ý Ô Ò Ë Ø ÖÚÝ Ú Ô Ø ÈÓ Ò Ú Ú ß ÔÖ Ð ÂÙ Ð ÒØ ÎÐ Ñ Ö Ã õô Ö Ä Ø Ò ÞÖÙõ Ò Ú ÔÓÔ µ ÃÝØ Ð ß ÒÓ Ö Ù Ö ÑÙ ½ Ú Ò
ÈÒ õ ÎÝ ÞÒ Ú ÐØÖÓÒÓÚ ÓÔØ Ý ØÑ Ú ÚÓ ÚÓ ÎÝ ÓÒ ÞÔ Ó õò ß ß ÒÙÑÖÝ ÒÐÝØÝ ÎÝ ÞÒ ÈÓÖÙÓÚ ØÓÖ ÈÐ ÚÔÓØÙ ÔÖÞØÒÓ ÔÓÐ ÚÖ ÈÖÓ ÚÔÓØ ÚÐØÝ ÞÓÖÞÒ Ü ØÙ Ú ÐÚÒ ÞÔ ÓÝ õòº ÈÖÚÒ ÔÓÚ Ú ØÓÑ ú ÙÑ Ð ÔÖÓÐÑ õø ØÖØÒ ÒÙÑÖÝ Ó ÔÓÐ ú ÔÓ
Ù Ò ß õø Ø Ñ Ù Ñººº ºººÒ Ô Ñ Ô ÑÖ Þ Ú Ö Ò ÔÓÐÓÚ ÒÝ Ù Ò Ý Ó ÓÒ Ù Ô ÔÖ ÚÙ ØÓ ÓØÓ Þ ØÙº È ÚÓ Ò ØÓ Úõ Þ Ò ÐÓ Ø ØÓ ÈÖÓ ÐÙúÙ ÒÝ ÓÒ Þ ÑÝ Þ Ø Ù Ö Ú ÐÑ Ù Þ Òµ
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ¾»¾¼½¾ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ ÓØ Ò ÔÐ Ø ß ÙÞ Ú Ò ÓÙØ ú Ç ÈÓ Ð ß ÁÒ Ñ ÑÓÖ Ñ È Ò õ Ý Þ ÚÐ ØÒ ÎÖÓ Ò Ò ÆÓÚ Ð ÒÓÚ Ú ÓÖÙ ÓØ Ò Ò µð Ø Ò Æ Ò ÚõØ Ú Ú Ù ËÐ ÖÓ ØÙ ÔÓÐÝ Ò ØÖÙ Å ÑÑ ÐÐ
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ½»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ ËÝÑÔ Þ ÙÑ ¾¼½ Â ÓÙ ØÙ Ý Ú ÁÞÖ Ð ÎÐ Ñ Ö Ã õô Ö ß ÁÒ Ñ ÑÓÖ Ñ Ô Ô ÝÐÙÑ ÀÍ ß Ô ÖÓ Ò Ý Ö
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ½»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ ËÝÑÔ Þ ÙÑ ¾¼½ Â ÓÙ ØÙ Ý Ú ÁÞÖ Ð ÎÐ Ñ Ö Ã õô Ö ß ÁÒ Ñ ÑÓÖ Ñ Ô Ô ÝÐÙÑ ÀÍ ß Ô ÖÓ Ò Ý Ö Â Ñ Ø Ó Þ Ð Ú Þ ØÙ Ô õ ½»¾¼½ Þ Ò ÞÚÝ Ø Ò Ø ÒØÓ Ð ØÓÔÓ Ø
ÔÖÓ Ó Ù Â ÖÓ Ò Ñ Ô õðó Ð ØÓ Þ Ó Ú Ð Ú Ò Ñ Ò ÚÝÚ Ò Ò Ò õ ØÙ º ÈÓ Þ Ñ Ø Ñ Þ Ò Ù Úõ ÒÓ Þ ÐÓ ÔÖÓ ÓÙÞ Ø ÑÒÓÞ Ð ØÓ Ó Ó Ý Ø ÐÓ Ý Ý ÚÖ Ø Ð º Ç ÚÝ ÝÐÝ Ø ÒØÓ Ö
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ¾»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Ç ÐÒ ÚÖÓ Ò Ò Ð ú ØÓ Ø ÓØÓ Ö Ò ÔÐ Ø Æ ÖÓÞ Ò ÒÝ ÎÓÐÒ ØÖ ÙÒ ÝÑÒÓ ÐÝ ÙÑ Ð Ô ÒÙÑ Ï ÖÒ Ö Í ÐÑ ÒÒ ß ÁÒ Ñ ÑÓÖ Ñ ÃÝØ Ð ÆÓØÓ ØÙ Ù ÐÑ ÒÒ ÒÙ Ù Ò Ò ÔÖÓ Ó
arxiv: v1 [math.ca] 8 Aug 2008
![arxiv: v1 [math.ca] 8 Aug 2008](/thumbs/99/141244925.jpg "arxiv: v1 [math.ca] 8 Aug 2008")
Ö Ñ Ò Û Ú Ð Ø Ý Ø Ñ ÓÒ Ø Ô Ö Å Ö Ø È Ô ariv:0808.1173v1 [math.ca] 8 Aug 2008 ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó È Á Ø È ÀÙÒ ÖÝ Ô ÔÑØØ ºÔØ º Ù ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÓÖÑÙÐ Ø Û Ø Ú Ö ÓÒ Ó Ñ Ò ÑÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ½º µ ÓÒ Ø Ô Ö Ò Û ÓÛ Ø Ø ÓÖ
Ä ØÓ Ù ú ÔÓ Ú Ð ÒÓ Ø Ý ÖÓ ÔÓ Þ Ñ Þ Ñ Ò Ó ÔÓ ØÙ Ù Ý ÔÖÓ Ð Ð Ô Ò À Ö õø ÖÓ Ô º Ú Ð Ñ Ð ØÓ ÔÖÓØÓú ÓÒ Ò ß Ý Ñ ÖÒ ß Ù Ò Þ ÔÖõ ÐÓ Óú Ñ Ð Ò Ó ÔÓÑÓ ÐÓ Úõ ÑÙ ú
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ È Ö Ø Ý ÐÙ ÓÚ Ò ÓÚÒÝ Î Ø Ú ØÙ Æ Ô Ð Ø Ñ Æ ÚõØ ÚÝ ØÓÚ Ò ËÔÓÐ Ò ÖÓÒ ÃÝØ Ð ÒÓÔ Ù ÔÐÓØÙ Ä ØÓ Ù ú ÔÓ Ú Ð ÒÓ Ø Ý ÖÓ ÔÓ Þ Ñ Þ Ñ Ò Ó ÔÓ ØÙ Ù Ý ÔÖÓ Ð Ð
ÚÝ Ó Ù Ò Ø Ò Ú ÈÖ Þ ÙÐØ Ð ØÖÓØ Ò ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ú ÖÙ Ä Ò Æ ÔÖÓ ÈÓÛ ÖÈ ÔÓÖÓÚÒ Ò Ý Ø Ñ Ñ ËÓ Ø Æ ÔÐÓÑÓÚ ÈÖ ÈÖ ¾¼½¼ ÙØÓÖ º Å ÖØ Ò È Ø Ö ÈÓ ÓÚ Ò Ê Ý Ò ØÓÑØÓ Ñ Ø ÔÓ ÓÚ Ð Ú Ñ Ø Ñ ÔÓÑ Ð ÔÓ ÔÓÖÓÚ Ð Ñ Ô Ô Ò ÔÖ º Î
Æ ú Ð ØÓ Ó Ð Ø Ñ Ð ØÓõÒ Ó Ö Ñ ÐÝõ Ð ÑÒÓ Ó Ò ÔÓÚÞ Ò Ø Ñ Úõ ÒÓ Ð ØÓ ÙÖÝ Ð Ò ÝØ Ý Ð ÓÚ ÖÓÞ Ú ØÐÝ Ò Ù Ó Ø Ò Ú Ø ÚÙº Æ ÓÒ Ñ ØÝØÓ Ò Ý Ô õðý Ð Ñ Þ ÝØ Ò Ø ÐÓ
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Â Ò À Ö õø ß ¼ Ð Ø Î ØÓÖ Ì Ð Ò ß Ò Ñ ÑÓÖ Ñ Æ ÚõØ Ú Ù Ñ Ð Î õ È ØÖ Ë ĐÓÒ ß ØÙ ÓØÓ Ö ººº Î Ø Ú ØÙ ÓØÓ Ö ÓÚ Ò ß ÖÚÝ È Ö Ø Ý Ú Ö ÚÙ ÃÝØ Ð ß ÝÑÒÓ
Ã Ó Ú Ô ÖÓÞ ÎÐ ØÒ ú Ú Ð ÔÓ ÚÖÓ Ò Ð Ò Þ ÐÙ Ù Þ Ò ÔÓ Ò ÒÓÚ ØÙ ÖÓ º  РÓÞÚ Ø Ò ÝÐ Ø Ò Ñ ÒÙÐ Ò Ú Ñ Ò ÔÓ Ð Úõ Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ú Ò Ù Ô Ð õ ÚÝÑÝ Ø Þ Ùõ ÒÓ Ø Ñ Ô
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ¾»¾¼½½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ ººº ºººÎÖÓ Ò ÞÔÖ ÚÝ Ú ÓÖÙ ÂÙ Ð ÒØ ÇÐ ÃÓÔÔ Ç Ö Þ Ò ÔÐ Ø Ú Ø Ú Ã ØÙ Ý Ñ Þ Ð ÚÑ ÖÓ ØÐ Ò Ñ Æ ÚõØ Ú Ú ÈÐÞÒ ÈÓÐÒ Ð Ò Û Ù ÇÖ Ò Þ Ò Ð Ò ÚÞÚ ÃÝØ Ð ß
ÖÙ Ø Æ Ò ÑÝõÐ Ò Ó Ú úù Ô Ò Ú Ò ÔÓ Ø Ö Ý Ò ÔÓÔ Ð Ô Ô Ò Þ ØÙº È ÚÓ Ñ Ö Ú Ð Ø º ÐÓÚ Ý Ú Ø ØÙÐ Ù ÞÒ Ñ Ò ú Ùú Þ Ò Ñ Ù Ø Ô Ñ Ò Ó Þ ØÙ Ð ØÓ Ò ØÑ ÖÓ Ñº ÈÓÔÖÚ
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ½»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ ËÝÑÔ Þ ÙÑ Æ ÖÓÞ Ò ÒÝ ÆÓØÓ ÐÓÚ ÝÑÒÓ Ð ÃÝØ Ð Å ÑÑ ÐÐ Ö ÔÓ Ñ Ð Ø Ú Ð Ô ÖÙ Ø Æ Ò ÑÝõÐ Ò Ó Ú úù Ô Ò Ú Ò ÔÓ Ø Ö Ý Ò ÔÓÔ Ð Ô Ô Ò Þ ØÙº È ÚÓ Ñ Ö Ú Ð
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ ÈÖ ú ÝÑÔ Þ ÙÑ Æ õ Ú Ø Ú Ë Ø Ò Ò Òµ ÔÓÐ ØÙ ÃÝØ Ð Ê ÙØ Ó Ã ÖÐ Ã õô Ö
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ ÈÖ ú ÝÑÔ Þ ÙÑ Æ õ Ú Ø Ú Ë Ø Ò Ò Òµ ÔÓÐ ØÙ ÃÝØ Ð ÊÙØ Ó Ã ÖÐ Ã õô Ö ËÔ Ñººº ººº ÒÙ Ù ÔÓ ÖÓÚ Ø Ô Ò ÓÙ Ý ØÓÚÓÙ ÞÒ Ñº ÍÞ Ú Ö Þ ØÙ ÚÝ Þ ÞÖÓÚÒ Ú Ó Ô
ÑÒ Ô Ò ººº ººº ÚÒÓ Þ Ò Ñ º ØÙÑ ÚÝ Ò Ð ØÓõÒ Ó ÔÖÚÒ Ó Ð Ò õ Ó ÞÔÖ ÚÓ ØÓÑÙ Úõ Ò Ò Ú Ù º ØÓ Ò ÙÚ Ø ÐÒ Ñ Ñ ÔÓ Ú Ñ Þ ÑÒ Ñ Ô Ò Ù Ø Ö Ò ÓÒ Ðº Î Ð Ý ÑÓ Ð Ò Ð Ó
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ½ß¾»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ ÎÖÓ Ò Ð Ò Þ ÎÖÓ Ò ÞÔÖ ÚÝ ÎÓÐÒ ØÖ ÙÒ ËÝÑÔ Þ ÙÑ ÔÓ ÖÓ Ò ÃÝØ Ð ÄÓ Ú ÛÖ Ø Ò º Ú Öº Û ÒØ Ö Ò Ê Øغµ Ê Ù ÑÒ Ô Ò ººº ººº ÚÒÓ Þ Ò Ñ º ØÙÑ ÚÝ Ò Ð ØÓõÒ
J i = D i ci. c i = z
ÌÖÙ Í Ð Ý l = 20 Ñ ÔÖ ÞÙ A = 0.3 2 Ñ Ñ Ò È Ð º ØÚ ÖÙ Ö ØÙº Â Ò ÓÒ ÔÓÒÓ Ò Ú Ó ¹ ÓÐ ½½ Ѻ± Ù ÖÙµ ÓÒ Ó ÓÙ 1/26 ÙÞ ß Ñ ÖÓ ÓÔ ÔÓ Ð Ú ÓÒ J ÈÖÚÒ Þ ÌÓ i i 2 1 ÑÓÐ Ñ µ Ð Ø Ý ÒÓØ Ý J i = D i ci Ñ ÖÒ ÓÒ ÒØÖ Ö ÒØÙ
ÍÔÖÓ Ø Þ ÑÒ Ó Ô Ò Ù Æ ÑÝ Ð Ñ Ø ÒØÓ Ö Ø Ò Þ ÑÒ Ô Ò Ó Ò Ó Ó Ð Ù ÑÒÓ ú ÚÓ Ò õ ØÙ º ÈÓÞÓÖÙ Ô õ Ù Ô õ Ô Ô Ú Ø Ð Ò õ Ó ÞÔÖ ÚÓ º ÅÓ Ù ÔÓ ÓÚ Ø ß Ö ØÓ Ò Ñ ß ÔÓ
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ½»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ È Ö Ø Ý ÐÙ ÓÚ Ò ÓÚÒÝ ÃÝØ Ý Ô Ñ ÓØ Ò ÔÐ Ø ÎÞÚ Ð Ò Ñ È ÐÓ Ú Ø Ø Ø Ã ØÙ Ú ÖÓ ÃÝØ Ð ÀÙ ÖÒ Þ Ö Ò ÍÔÖÓ Ø Þ ÑÒ Ó Ô Ò Ù Æ ÑÝ Ð Ñ Ø ÒØÓ Ö Ø Ò Þ ÑÒ Ô
ÅÝ Ð ÖÓººº ººº Þ Ø Ñ Ô õ Ð ÑÖ Þº Á Ø ÒØÓ Ö Ø Þ Ò Ñ Ô Ò ÓÙº Ø ÜØ Úõ Ø Ú Ö ÒØ Ø Ö ÞÒ Ñ Þ Ò Ø Ñ ØÓ ÐÓÚݺ Æ Ò Ú ú ÔÓ Ð Þ Ú Ö ÒØÝ ÖÓÞ Þ º ËØ Ò Ò ÓÒ ÓÙ Ú Ú
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ¾»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ ÎÖÓ Ò Þ Ò Ð ú ØÓ Ø ÎÓÐÒ ØÖ ÙÒ ËÔÓÐ Ò ÖÓÒ ËÝÑÔ Þ ÙÑ Ò ÔÓ Ö ÓÚ Ò ß Ó ÓÒ Ò ÃÝØ Ð ÝÑÒÓ ØÙ Ù Ø ÖÖ Ò Ù Ó ÊÙ ÓÐ ÅÓÙÐ ÅÝ Ð ÖÓººº ººº Þ Ø Ñ Ô õ Ð ÑÖ
ÔÖ Ð Ô Ø Â Ô Ð Ù Ò ÓØ Ñ Ð ÚÙ ÓÔÖ Ú Ø Ñ Ñ Ñ Ó ÒÓµ Ù Ñ Ú Ñ Ò Ø Ñ ú Ñ Ô Ú Ð Ö ÓÚ Ð Þ ÚÝ Þ Ó ÐÙÒ ÑÓ Ö Ó ÐÓ Ý Ú Ð Ô ÚÐÓ Ý Ó Ö Ú Ò º È ÞÒ Ú Ñ ú Ñ ÑÙ Ð Ú Ð Ô
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ¾»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ ÎÖÓ Ò ÞÔÖ ÚÝ ÔÐ ÒÝ ÐÙ Ù ÔÖ Ú Ó ÒÒÓ Ø ÔÐ Ò ÀÓ ÔÓ Ò Ò Ò Ê Ú ÞÒ ÞÔÖ Ú À Ö ÙÖØ È ÞÓÚ Ò ËØÖÓÑ Ó ØÙ ÓÖÑ ß ß ÞÚÐ õøòó Ø Ó ÊÙ ÓÐ ÅÓÙÐ ÔÖ Ð Ô Ø Â Ô Ð
Ä ØÓÔ ÓÚ Ô Ò Ó Ð Ø Ùú РѺºº ºººÚ ØÖ Ð ÓÚ Ô Ò Ð Ò Ñº Ì Ñ Ò Ò Ò Ñ Ò ÔÓ Ô Ñ Ð ØÓÔ ÓÚ Ô Ò Ò ÐÓ٠Ѻºº Ë Ú Ð ÞÖÓÚÒ Ò Ò ÐÓÙ Ñ Ò Ø ÖÙõ Ø Ó ÒÙ ÔÓ Ô ÐÒÓ Ý Ñ Ú
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Þ Ò ÔÐÞ Ó Ø Ó Ä Ô ËÝÑÔ Þ ÙÑ Æ ÚõØ Ú Ù ÖÑÝ Ã Ö ÓÔ Ã ØÙ Ý ß ÚÞÚ Ð Ò Ñ ÐÙ Ù ÃÝØ Ð ÙÑÙÐÓÔÙÒØ ÖÓ Ò À ÒÖ ² Ö µ º Ê ØØ Ö Ä ØÓÔ ÓÚ Ô Ò Ó Ð Ø Ùú РѺºº
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Þ Ó ÖÙ Ñ ß Ú Ö Ò Þ ÒÝ ÔÖ Ú Þ Ú ÓÖÙ ËÔÓÐ ÒÓ Ø Ä ÓÐ Ñ ÐÙ Ù ÔÖ ÚÝ ÑÙØÒ Ö Ó ØÒ ËÝÑÔ Þ ÙÑ Æ Ú õð
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Þ Ó ÖÙ Ñ ß Ú Ö Ò Þ ÒÝ ÔÖ Ú Þ Ú ÓÖÙ ËÔÓÐ ÒÓ Ø Ä ÓÐ Ñ ÐÙ Ù ÔÖ ÚÝ ÑÙØÒ Ö Ó ØÒ ËÝÑÔ Þ ÙÑ Æ Ú õðó ÖÖ Ø ÃÝØ Ð ÙÔ ÓÖ ÖÙ ÒÓ Æ Ö Ò õ Ó Ó Ô ØÖÒ ÔÓ Þ Ñ ººº
Ñ Ñ Ø Ý Ô ººº Ø Ý ØÙ Ô º È Ò ÔÓ Ð ÒÓ Ó Ò ÑÖØ ÐÒ Ó ÚÖÓ Ù ú ØÙ Ñ Ø ÖÓ Ò Ó Ó ß ÖÓ Ð ØÓ Ô º Ø ÑÓ ÔÖÓ Ô ÖÓ Ù Ú Ó Ô Ò Ø Ò Ô ÚÝ Ò Ñµ Ò Ø Ú ß Ýú Ð ØÓ ÔÓÑ Ð Ú
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Þ Þ ØÙ Ý ØÙ Ú Ö Ò Þ ÒÝ Ú ÖÙ Ñ ÈÓ Þ ÑÒ ÝÑÔ Þ ÙÑ Î Ø Ú Ú ÃÖÓÑ ú ÂÙ Ð ÒØ ÎÐ Ø Ñ Ð Å Ò ÓØÓ Ö ÓÚ Ò ß ÖÓÞÐ õ Ò È ÞÓÚ Ò Ú Ð ÖÓ ØÐ Ò ÃÝØ Ð ß ÃØ Ö Ñ Ð
õò ÓÙØúÒ úóú Þ Ð»¾¼½ ½º º º º Ùõ ÔÖÓ ØÑ ÔÒÓ Ñº ½º Ò ÒÖ ÐÒ ÔÖ Ú ÔõÐ ÓÚÞØ Ó ØÖÓ úðþº ½º Ó ØÓ Þ ÖØ Ýú ÒÑ õ Ó ½º Ù Ñ Ú ÞÐÑØ ÐÒÒ ÞÒ ÑÝ ÒÚѺ ½º ÒÐ ÒÐÚÒõ ÔÖÞ
¾ ØÖÒ úóú ÚõÒÝ Ö ÐÒÑ ÚØÔÑ ÞÒ ß ÙÒ ¾¼½ ÖÓÒ ½ ¾¾ ¾ ½ Ü ½¼¼ Ü ¼¼ ÓÙØúÒ úóú ÐÓ ½ ½º ¹ Ý º º º ÓÓÒÒ Ú ØÒµº ¹ ½ Òµ ¹ º ¹ ¼ ¾º ½¾½¾ ¾¼¼¼ õò ÓÙØúÒ úóú Þ Ð»¾¼½ ½º º º º Ùõ ÔÖÓ ØÑ ÔÒÓ Ñº ½º Ò ÒÖ ÐÒ ÔÖ Ú ÔõÐ ÓÚÞØ
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ½»¾¼½½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ ººº ËÝÑÔ Þ ÙÑ È Ô Ú Ý Ø Ò ß ß Ô Ô ÝÐÙÑ Ö Ó Ý È Ö Ø Ý Ú Ò ÓÚÒ ÓØÓ Ö ÓÚ Ò ß ÔÖ ÚÝ Ó Ö Þ Æ Ø Ø ¼ ¼¼¼ ÃÝØ Ð ß Ö Ó ÖÔÙ ØÖ ÓÒÙ Ç ú Ò Ò ÚÖ ØÝ Ú ÔÖÓ
ÈÓÑ ÐÙ Úõ Ø Â ÓÒ Ù Ò Ñ ÔÓ Ð ØÓ Ú Ñ Ò Î Ð ÓÒÓ º Â ÖÓ Þ ÐÓ ÖÞÝ Ò Ô Ó Ð Ø Ó Ú Ô ÓÞ Ð Ø ÔÓÑ ÐÙ ØÓ ÚÝ ÙØÒ Ú º Ó Ò ØÓ Ò Ô ÖÓ ÖÓ Ò õ ÔÓÐ Þ Ö Þ Ö Ð Ò Â Ò Þ ØÚ
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ¾»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Ó ÒÓÚ Ó ÖÓ Ù ÒÓÚÑ Ú ÓÖ Ñ ÔÖ ÚÝ ÙÒ ÓÒ Ú ÓÖÙ ÆÓÚ Ð ÒÓÚ Ú ÓÖÙ ÓØ Ý Ò ÔÐ Ø Ê ØÖÓÔ Ò õ ËÔÓÐ Ò ÖÓÒ ß ÚÖÓ Ð Ò ÐÙ Ù ÃÝØ Ð È ÝÔÓ ÙÑ Ô ÒÓ ÙÑ Äº ºµ º º
¾ ÈÊ ÎÇ Â ÊÆÇËÌÁ ÈÊ Á ÃÇËÌ Ä Úº ÌÇÅ þ Ë Î ÊÆ ÅÓØØÓ Ø Ú ÃÖ ØÙ Â Þ þ ÝÞ Ø Ó ÔÖ Ð Ó È þò º Î Ò Ñ Þ ÔÙ Ø³Ø ÓÖ ÒÝ Ò Ò Ñ ÔÓ Ø ÚØ Þ þ Ð Ý ÞÒÓÚÙ ÞÒÓÚÙ ÚÞ þú Ø
¾ ÈÊ ÎÇ Â ÊÆÇËÌÁ ÈÊ Á ÃÇËÌ Ä Úº ÌÇÅ þ Ë Î ÊÆ ÅÓØØÓ Ø Ú ÃÖ ØÙ Â Þ þ ÝÞ Ø Ó ÔÖ Ð Ó È þò º Î Ò Ñ Þ ÔÙ Ø³Ø ÓÖ ÒÝ Ò Ò Ñ ÔÓ Ø ÚØ Þ þ Ð Ý ÞÒÓÚÙ ÞÒÓÚÙ ÚÞ þú Ø þ ݺ ÃÓ ½ ¹ Íþ ÚÓ Ò þ ÐÓÚÓ Î ØÓÑØÓ þ Ð ÖÒ þ Ó ÓÔ Ù
½ ÈÊ ÎÇ Â ÊÆÇËÌÁ ÈÊ Á ÃÇËÌ Ä Úº ÌÇÅ þ Ë Î ÊÆ ÅÓØØÓ ÚÓØ ÞÑ Ò º ÈÖ Ø Ò ¹Ð Ñ Ò Ø ÔÖ Ø Ò Þ þøº Ê Ò Ö À Íþ ÚÓ Ò þ ÐÓÚÓ Æ Þ þø Ù ÒÓÚ þ Ó ÓÐÒ þ Ó ÖÓ Ù Ý Ò Ú
½ ÈÊ ÎÇ Â ÊÆÇËÌÁ ÈÊ Á ÃÇËÌ Ä Úº ÌÇÅ þ Ë Î ÊÆ ÅÓØØÓ ÚÓØ ÞÑ Ò º ÈÖ Ø Ò ¹Ð Ñ Ò Ø ÔÖ Ø Ò Þ þøº Ê Ò Ö À Íþ ÚÓ Ò þ ÐÓÚÓ Æ Þ þø Ù ÒÓÚ þ Ó ÓÐÒ þ Ó ÖÓ Ù Ý Ò Ú ÔÖÚÒ þñ þ Ð ÌÓÑ þ Ø Ð Ö ¹ ÓÚ Ø Þ þñù Þ Ú þ Ò ÓÐ ÔÓÚÞ
Ä Ô Ö Ó ØÒ Æ Ò Ô Ñ ÞÖÓÚÒ ú Ò Ð Ôõ Ò Ô º ÅÓúÒ Ò Ø Þ Ú ÚÞÔÓÑ ÒÓÙ Ò Ù Ò ¹ Ð ÑÙ Ò Ú ÓÞ Ò Ð Ó Ø ß Ø Ý Þ Ð Ò ÒÓØ Ý ½ Ð º È Ò ØÓ ÑÒÓú ØÚ Ð Ó Ø Ó ú Ò Ú ÚÖÓ Ù
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ ½»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Á Ð Ý ÓÑ Ò Þ Ô Ò õ Ý Âº ÃÓÐ ËÝÑÔ Þ ÙÑ Ð Ò Ð Ò Ô Ò õ Ý ÝÑÒÓ Ð ¾»¾¼½ ÒÓÚÙ ÖÚ ÒÓ Ú Ø ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÃÝØ Ð ÒÓ Ö Ù ÖÖ Ö ÒÙ Ä Ô Ö Ó ØÒ Æ Ò Ô Ñ ÞÖÓÚÒ ú
ØÖ Ø Ì ØÓ Ø Ò ÞÔÖ Ú Ó ÙÑ ÒØ Ð ØÖÓÒ ÑÙ Ú Ð Ò Ò ÑÙ ÐÓÚÒ Ù ÐÓ¹ Ú Ø ØÓ Ö Ñ Ø ÓÙ ÒÓØ Ø Ö ÚÞÒ Ú ÒØÖÙ ÓÑÔÙØ Ò Ð Ò Ú Ø Ý Ó Ö ¾¼¼½º ÔÖ Ú Ó Ù Ô Ð ÔÓ Ó Ò Þ Ñ Ò Ô
ØÖ Ø Ì ØÓ Ø Ò ÞÔÖ Ú Ó ÙÑ ÒØ Ð ØÖÓÒ ÑÙ Ú Ð Ò Ò ÑÙ ÐÓÚÒ Ù ÐÓ¹ Ú Ø ØÓ Ö Ñ Ø ÓÙ ÒÓØ Ø Ö ÚÞÒ Ú ÒØÖÙ ÓÑÔÙØ Ò Ð Ò Ú Ø Ý Ó Ö ¾¼¼½º ÔÖ Ú Ó Ù Ô Ð ÔÓ Ó Ò Þ Ñ Ò ÔÖÓ Ø ÔÖÓ Ó Ø ØÒ ÞÝ Ý ÖÒÙ Ú ÓÞ ¹ ØÙ ÔÖÓ Ù ÓÚ Ò Ø ÓÚ
Matematika v proměnách věků. II
Matematika v proměnách věků. II Helena Durnová Matematičky včera a dnes In: Jindřich Bečvář (editor); Eduard Fuchs (editor): Matematika v proměnách věků. II. (Czech). Praha: Prometheus, 2001. pp. 106 137.
VECTOR r1, Ú ØÓÖ r2 r = (r.x,r.y,r.z) IF dr.x < -L/2 THEN dr.x := dr.x + L ELSE IF dr.x > L/2 THEN dr.x := dr.x - L
Ó Ò ÓÒ ÙÖ Ô ÖÝÚÝ ÑÓÐ ÙÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Å µ Ò Ù õô ØÒ ÒÓÚ Ò ÑÓ Ð ÌÁÈ È ºµ ÔÖÓ Ð Ñ ú ÓÚ Ò ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒµ Ð ÓÚ Ø Ö Ý ÖÓÚÒÓÚ ÔÖÓ Ð ÓÚ ÔÖÓ Ð º º º µ ÓÒÚ Ö Ò Ò ÑÙÐ Ü Ø Ô ¼¼º 1/23 ½ º ÔÖÓ Ò ¾¼½¾ Å ØÓ ÑÙÐ ËØ ÖØ ÑÙÐ ÔÓ
Abstract. 1 Introduction
Ý Ò ÔØ Ú Ø Ñ Ø ÓÒ Ì Æ ÜØ Ñ Ò ÓÒ Â ÒÒ Î ÃÙ Ð ÌÙÓÑ Â ÄÙ ÓÖ ÒØ Ö ÈÇ ÓÜ Á¹ ¼¼½ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÂÝÚĐ ÝÐĐ ÇØÓ Ö ¾¼¼ Abstract Ï ÔÖÓÔÓ Ò Û Ô Ý ÓÑ ØÖ ÑÓ Ð ÓÖ ØÛÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø ÑÙÐ Ù ÓÐÓÖ «Ö Ò ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ò Ø Ø Ö ÓÐ
SBORNÍK. 17. konference studentů v matematice června 2009 Lázně Bohdaneč. Komise JČMF pro matematiku na VŠTEZ Fakulta stavební ČVUT v Praze
Komise JČMF pro matematiku na VŠTEZ Fakulta stavební ČVUT v Praze SBORNÍK příspěvků ze 17. konference studentů v matematice na školách VŠTEZ 15. - 17. června 009 Lázně Bohdaneč Vydavatel: Vydavatelství
ÈÖõ ººº ººº Ú Þ Ý Ò ÔÐ Ø ÐÒÓÙ ÞÔ Ú Ñ ÔÓÐÙ Ö ÔÖÓ ÒÓÙººº ÞÔ Ú Ñ Þ Ã ÖÐ Ñ ÈÐ Ð Ñ ÙØÓÖ Ñ ÒØ ÖÔÖ Ø Ñ Ø ØÓ Ô Ò Ýº ÈÖÓØÓú Ñ ÚÖ ÚÖ Ø Ð Þ Þ ¹ Þ Ù Ö ÒÓ Ñ ÔÖÓ ÙÐ
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Þ Þ ØÙ Ò À ÒÓÙ Ï Ò ¾¼½ ÃÓÐÓ Ú ÙÑ ÈÐÞ Æ ÚõØ ÚÝ ØÓÚ Ò ß Ê ÙÐ ËÔÓÐ Ò ÖÓÒ ÊÓÑ Ö Ô ÃÝØ Ð ÏÒÖØ Ò ÙÑ ÒÒÒ Ö µ Ï ÖÖÑ ÒÒ ÈÖõ ººº ººº Ú Þ Ý Ò ÔÐ Ø ÐÒÓÙ ÞÔ
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Æ õ ÔÓ Þ ÑÒ ÝÑÔ Þ ÙÑ Ð Ø Ð ÖØÓ ÖÙ Ñ ËÔÓÐ Ò ÖÓÒ Ë Ø Ú Ò ØÓÚ Ò ÃÝØ Ð À Ð Û ÒØ Ö Ó ËØ Ò Ð Ú ËØ
ÔÖ ÚÓ ÃÐÙ Ù ØÙ ØÖÓÔ ÝØÙÑ ÖÒÓ»¾¼½ ÒÒÓ Ø ÐÙ Ù ß Ð Ò Ú ÓÖÓÚ Þ Æ õ ÔÓ Þ ÑÒ ÝÑÔ Þ ÙÑ Ð Ø Ð ÖØÓ ÖÙ Ñ ËÔÓÐ Ò ÖÓÒ Ë Ø Ú Ò ØÓÚ Ò ÃÝØ Ð À Ð Û ÒØ Ö Ó ËØ Ò Ð Ú ËØÙ Ð Ä Ø Ñ Ñ Ð Ø Ñººº ººº ØÓ Ó Ò ÐÓÙ Ñ Ñ Ð Ø Ñº Ú ÐÑ
Informatická sekce Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze. MIS 2006 14. 21. ledna 2006, Josefův Důl Sborník semináře
Informatická sekce Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze MIS 2006 14. 21. ledna 2006, Josefův Důl Sborník semináře PRAHA 2006 Všechna práva vyhrazena. Tato publikace ani žádná její částnesmí
IB109 Návrh a implementace paralelních systémů. Organizace kurzu a úvod. RNDr. Jiří Barnat, Ph.D.
IB109 Návrh a implementace paralelních systémů Organizace kurzu a úvod RNDr. Jiří Barnat, Ph.D. Sekce IB109 Návrh a implementace paralelních systémů: Organizace kurzu a úvod str. 2/25 Organizace kurzu
Stabilita. Lineární systémy. x = f(x), (1)
Stabilita V této kapitole se budeme zabývat chováním řešení pro čas jdoucí do nekonečna. Uvažujme soustavu rovnic x = f(x), (1) kde f C 1 (Ω, R n ), Ω R n, x : R Ω. Nechť x 0 je stacionární bod, tj. f(x
ÃÓÖ ÔÓÒÒÒ ÑÒ ÃÅ Å ÍÃ ÅÐÓ ØÖÒ Ò Ñ Ø ¼¼ ÈÖ º ÐÓ ÈÖÓ ÐÓÚÓÐÒ ÔÖÓÞÒ Ò ÙúØ ú Ò ¼ Ò Ò Ó Ò º ÐÓ ÍúØ ú ÔÖÓ ÔÖÓÞÒ Ð Ö ØÓÚ ú Ö ÔÐØ Ö ¼ Ö Ö Ö Ö µ Ö ¼
ÃÓÖ ÔÓÒÒÒ ÑÒ ÃÅ Å Íà ÅÐÓ ØÖÒ Ò Ñ Ø ¼¼ ÈÖ º Ö ÌÑ ÌÖÑÒ Ó Ð Ò ÃÓÖÐ ÓÚÝ ÒØØÝ ¼º ÞÒ ¼¼ º ÐÓ Æ µ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÔÖÓÞÒ Ðº ÍúØ ú ú ÔÖÓÞÒ Ò ÔÐÙ ÖÓÚÒÓ Ø Ò Ò Ò º ÐÓ ÍúØ ú ÔÖÓ ú ÔÖÓÞÒ Ò Ò ÐÙ ÖÓÚÒÓ Ø ÔÐÒÒ Ò ¼ Ò Ò Ò ¼
Ò Ø Ó ÎÀÌ ÈÐÝ ÐÓÝ Þ ÝÞ ÐÒ Ñ Á ÈÖÓº ÂÓ ÆÓÚ Ëº ÁÒº ÂÓ ÓÖ Ëº ÁÒº ÅÐ ÙÖõ ˺ ÁÒº ÃÖР˺ Óº ÄÑÐ ÖØÓÚ Ëº ÈÖ ¾¼¼¼ ¾ Ç ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÞÒÑ ÝÑÓÐ
ÖÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò ÈÖ Ù ÙÐØÝ Ó Å Ø Ñ Ø Ò È Ý Å ËÌ Ê ÌÀ ËÁË ÒØÓÒ Ê Ô Ó ÒØ Ê ÓÒ Ò Ò ØÓÑ ÆÙÐ ÁÒ Ø ØÙØ Ó È ÖØ Ð Ò ÆÙÐ Ö È Ý ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ó Ø Ñ Ø Ö Ø ÔÖÓ º ÊÆ Öº
ÖÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò ÈÖ Ù ÙÐØÝ Ó Å Ø Ñ Ø Ò È Ý Å ËÌ Ê ÌÀ ËÁË ÒØÓÒ Ê Ô Ó ÒØ Ê ÓÒ Ò Ò ØÓÑ ÆÙÐ ÁÒ Ø ØÙØ Ó È ÖØ Ð Ò ÆÙÐ Ö È Ý ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ó Ø Ñ Ø Ö Ø ÔÖÓ º ÊÆ Öº Â Ò ÃÚ Ð Ö˺ ËØÙ Ý ÔÖÓ Ö ÑÑ È Ý ËÔ Ð Þ Ø ÓÒ ÆÙÐ Ö Ò
ÅØ ÐÖ ÑØ ÅØ Ô ØÚÙ Þ ÐÒ ÔÖ Ø ÔÐÓÚÒ ÑØÑØÝ Ë ØÑØÓ ØÙÐÑ Ð Ø ¹ Ú Ñ Ø Ú úòñ úúóø ÈÐ ÎÞ ÐÒÓ ÑÞ Ñ ØÝ ÈÐ ÌÓÖ Ö Ç ØÖÚ ÇÐÓÑÓÙ ÖÒÓ Ç ØÖÚ ¼ ¼¼ ¼ ÇÐÓÑÓÙ ¼¼ ¼ ¼ ÖÒÓ
ÎÝ Ó õóð ß ÌÒ ÙÒÚÖÞØ Ç ØÖÚ ÙÐØ ÐØÖÓØÒÝ ÒÓÖÑØÝ ÄÁÆ ÊÆ Á ÄÊ ÔÖÓ Ð ØÙÙѵ ÄÓÖ ÒÐ Ç ØÖÚ ÅØ ÐÖ ÑØ ÅØ Ô ØÚÙ Þ ÐÒ ÔÖ Ø ÔÐÓÚÒ ÑØÑØÝ Ë ØÑØÓ ØÙÐÑ Ð Ø ¹ Ú Ñ Ø Ú úòñ úúóø ÈÐ ÎÞ ÐÒÓ ÑÞ Ñ ØÝ ÈÐ ÌÓÖ Ö Ç ØÖÚ ÇÐÓÑÓÙ ÖÒÓ
õ Ò Ô Ð Þ ÔÓ Ð Ò Ô ØÓÐÝ Ù Ò Ø ÜØ Ä Ò Ö Ð Ö Ó ÒØ ËÐÓÚ º Æ õ Ò ÔÓ Ð Ð Ú ÀÓÐ Â Ò ÅÝ Ð Ú ÇÒ È ÝÐ ÄÙ õ ÎÓ Ò º ½ º¾º Î ØÓÖÝ ÔÓ Ø Ò Ñ Ø Ñ ½º ÊÓÞ Ô Ò Ñ ÔÖÓ ÔÖ
õò Ð Þ Ó ÐÒ ØÓÐÝ ÙÒ ØÜØ ÄÒ Ö ÐÖ ÓÒØ ËÐÓÚ º Æ õò ÓÐÐ Ú ÀÓÐ ÂÒ ÅÝ ÐÚ ÇÒ ÈÝÐ ÄÙ õ ÎÓÒº ºº ÎØÓÖÝ ÓØ Ò ÑØÑ º ÊÓÞ ÒÑ ÖÓ ÖÚÒ Ö ÐÒ Ó Ñ ÝÓØÞ Ó «Ò «Ò «Ó «Ó úñ ÑØÑØÓÙ ÒÙ Ó «Ò «µ Ò «Ó «µ ÈÓÐ Ñ ú ÓúÓÚÒÓ ØÚÖÙº ÈÓØÓÑ
È Ð Ý Ó Ú Ò Þ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ý Ø Ø Ø ÝÞ Ý ½º ÎÝÔÓ Ø Ø Ú ÓÚ ÒØ Ö Ð Ê Ý ¾ Ü Ü ¾ Ý µ ÔÓ µ ÔÓ ÖÙ ÓÚ Ñ Ó ÐÓÙ Ù Ó Öº ½µº Ç Öº ½ ¾º ÎÝÔÓ Ø Ø Ú ÓÚ ÒØ Ö Ð Ê Ý Ü Ü
ÈÐÝ Ó ÚÒ ÖÑÓÝÒÑÝ ØØ Ø ÝÝ ½º ÝÔÓØØ ÚÓÚ ÒØÖ Ð Ê Ý ¾ ¾ Ý µ ÔÓ µ ÔÓ ÖÙÓÚÑ ÓÐÓÙÙ ÓÖº ½µº ÇÖº ½ ¾º ÝÔÓØØ ÚÓÚ ÒØÖ Ð Ê Ý Ý ÔÓ ÓÐÓÙ ÒÓØÓÚ ÖÙúÒ ÓÖº ¾µº ÇÖº ¾ º ÝÔÓØØ ÚÓÚ ÒØÖ Ð Ê Ý Ý ÔÓ ØÒ Ú Ó Ú Ô Ñ Ôк º ÝÔÓØØ ÚÓÚ