STATI Ι ARTICLES ODHAD PARAMETRŮ ROZŠÍŘENÉHO KALDOROVA MODELU A ANALÝZA STABILITY STACIONÁRNÍHO ŘEŠENÍ. Jan Kodera, 1 Quang Van Tran* Úvod

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STATI Ι ARTICLES ODHAD PARAMETRŮ ROZŠÍŘENÉHO KALDOROVA MODELU A ANALÝZA STABILITY STACIONÁRNÍHO ŘEŠENÍ. Jan Kodera, 1 Quang Van Tran* Úvod"

Transkript

1 STATI Ι ARTICLES ODHAD PARAMETRŮ ROZŠÍŘENÉHO KALDOROVA MODELU A ANALÝZA STABILITY STACIONÁRNÍHO ŘEŠENÍ DOI:.867/j.polk.96 Jan Kodra, Quang Van Tran* Abstract An Inflation Analysis Using an Endognous Businss Cycl Modl In this articl w analyz th continuous inflation dynamics using a four-quation modl. Whn constructing th modl, th traditional Kaldorian two-quation modl is xtndd by adding two othr quations. On of thm dscribs an adaptiv inflation xpctations and th othr continuous dynamics of th mony markt. In this stting, th instability vlocity of mony circulation is assumd du to th ffcts of xpctd inflation on mony circulation vlocity. Thn th paramtrs of th modl ar stimatd using th ral Czch conomic data. As it is a non-linar modl in its paramtrs, a non-linar stimation tchniqu is usd for this purpos. Furthr, th stationarity as wll as th stability of th stimatd modl is thoroughly xamind as its instability may indicat that th modl can gnrat som complx dynamics. Kywords: Kaldorian modl, montary inflation modl, nonlinar stimation, bootstrapping, stationary solution, stability analysis JEL Classification: C6, C88, E3 Úvod Stávající hlavní proud konomické vědy j zastoupný přdvším modly dynamické stochastické clkové rovnováhy tzv. modly DSGE vycházjící z zásadní prác o rálném hospodářském cyklu od Kydlanda a Prscotta (98), ktrá j postavna na mikrokonomickém základě. Pojtí clkové rovnováhy j mikrokonomickou konstrukcí, kdy spotřbitl maximalizuj užitkovou funkci při daném rozpočtovém omzní a výrobc maximalizuj zisk při tchnologickém omzní, ktré j dáno produkční funkcí. Struktura modlu j uzavřna rovnicmi tržní rovnováhy. Cny a mzdy v modlch DSGE jsou pružné, tj. okamžitě vyrovnávají komoditní a pracovní trh, nbo npružné tj. jsou pomalu adaptovány různými mchanismy adaptac (např. Calvův adaptační mchanismus). Modly s npružným cnovým a mzdovým mchanismm jsou obvykl nazývány modly nové kynsovské konomi. Tvary užitkových a produkčních funkcí jsou v modlch DSGE * Jan Kodra, Quang Van Tran (jan.kodra@vs.cz; tran@vs.cz), Vysoká škola konomická v Praz, Fakulta financí a účtnictví. Tnto článk byl zpracován v rámci institucionální podpory výzkumu na Fakultě financí a účtnictví VŠE v Praz č. IP 4. Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 769

2 spkulativní, jjich konstrukc j silně ovlivněna požadavkm snadného výpočtního zpracování. Navíc rdukované tvary těchto modlů jsou linarizovány, čímž ztrácjí schopnost zachytit složitější chování. Linarizac j prováděna z toho důvodu, ž odhad linárních modlů npřdstavuj závažnější problém. Dál linarizac vlmi usnadňuj násldné simulac. Simulovaná řšní linarizovaných modlů vytvářjí jdnoduchou dynamiku, ktrá j často v rozporu s ralitou vývoj konomických vličin. Výš uvdné ndostatky modlů DSGE nás vdou k tomu, ž v této stati s vracím k makrokonomickému modlování. Makrokonomický přístup zkoumá vztahy mzi konomickými agrgáty. Tnto tortický proud prožíval od 6. lt až do začátku 8. lt. stoltí značný rozvoj. V 8. a 9 ltch v rámci makrokonomického modlování nastal rozmach dynamických nlinárních modlů (modly ndognního cyklu). Přdností těchto modlů j, ž dokáží gnrovat složitější vývoj makrokonomických vličin, ktrý j konzistntní s rálným vývojm. Využití dynamických nlinárních modlů pro mpirické účly přinášlo značné problémy přdvším v oblasti odhadu paramtrů. Pravděpodobně z těchto důvodů byl rozvoj těchto modlů na přlomu tisíciltí utlumn a nastoupily modly DSGE, a tak v současné době nlinární dynamické makrokonomické modly zaujímají spíš marginální úlohu. Nicméně, vzhldm k tomu, ž modly DSGE nsplňují očkávání do nich vložné, v posldní době dochází k určitému oživní makrokonomických modlů (Hillingr, 5, ; Davanzati t al., 6), k ktrému chcm přispět mimo jiné i tímto článkm. Matmatická tori, ktrou využívají spojité nlinární dynamické makrokonomické modly j v značné části obsažna v známé kniz autorů Gucknhimra a Holms (986). Protož tato zajímavá část tori systémů j stál aktuální, můžm s stkat s řadou modrnějších publikací rozvíjjících dosavadní poznatky, jako např. Kuzntsov (998), Prko (). Makrokonomické dynamické modly jsou nlinární proto, ž obsahují invstiční a spotřbní funkc, ktré mají z podstaty problému nlinární tvar. Takové systémy jsou schopny gnrovat složitější dynamiku, viz např. Lornz (994), Chiarlla (99), Flaschl t al. (997), Rossr (999). Dosavadní snahy využít těchto nlinárních systémů pro modlování konomiky však končí pouz u odvozní modlů bz dalšího ověřní, zda tyto modly jsou schopny vygnrovat dynamiku podobnou skutčnému konomickému vývoji. Rovněž nbyl věnován dostatk pozornosti tomu, zda lz odhadnout paramtry těchto modlů z rálných konomických dat. V snaz zaplnit výš zmíněnou mzru s v této stati pokouším ověřit, zda kromě tortické analýzy, ktrá byla provdna dřív (Kodra t al.,, 3, 6 a 3), j možné na datch skutčné konomiky odhadnout paramtry těchto nlinárních dynamických modlů. Tnto úkol nmusí být zcla jdnoduchý, protož až na malé výjimky tortické modly jsou v vědcké litratuř většinou budovány jako spojité dynamické modly. Další problém ralizac tohoto záměru spočívá v tom, ž tyto modly jsou nlinární njn v proměnných, al často také v paramtrch. Kromě toho v nposldní řadě j také důlžité najít vhodné programovací prostřdí na ralizaci tohoto záměru. Pro náš záměr mpirického výzkumu j vybrán modl navržný Chiarllou (99). Jdná s o modl s dvěma rovnicmi s proměnnými očkávaná inflac a inflac. Chiarllovým modlm rozšířím původní Kaldorův modl (Kaldor, 94), ktrý má rovněž dvě rovnic. Spolčně tvoří spojitý dynamický systém s čtyřmi difrnciálními rovnicmi, z nichž něktré obsahují nlinarity. Naším hlavním cílm bud njprv provést odhad paramtrů. Protož námi navržný modl nní linární v paramtrch, bud nutno použít vhodné nlinární mtody odhadu. 77 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6

3 Kromě odhadů paramtrů pomocí nlinárních mtod s zaměřím na nalzní bodu rovnováhy modlu. Bod rovnováhy j v oblasti analýzy dynamických konomických modlů často nazýván stacionárním řšním. Zd j třba rozlišit tnto pojm v prostřdí nlinárních systémů, aby ndošlo k trminologické záměně s pojmm clková rovnováha modlu, ktrá j v oblasti dynamických modlů dfinována jako řšní dynamického modlu v formě časově proměnných trajktorií. V této souvislosti připomínám, ž v případě hlavního proudu konomického bádání (modly DSGE) j pro výzkumníky žádoucí, aby stacionární stav systému (tj. bod rovnováhy) byl stabilní. V případě nlinárních makrokonomických modlů jsou dalko zajímavější nstabilní rovnovážné body, protož v tomto případě řšní modlu přdstavované trajktorimi jho proměnných můž probíhat dalko od bodu rovnováhy a vykazovat znaky složitější dynamiky (priodické nlinární oscilac, apriodický pohyb atd.). Záměrm našho článku j tdy zkoumat, zda j možné rformulovat nlinární dynamické modly jako konomtrické modly, ktré obvykl jsou nlinární njn v proměnných, al i v paramtrch. To však, jak jsm již řkli, vyžaduj nlinární mtody odhadu. V tomto případě jak při sstrojní konkrétního tvaru věrohodnostní funkc, tak při nalzní optimálního řšní j nutné mnohm větší úsilí nž při řšní tradičních problémů. Pro řšní problému minimalizac věrohodnostní funkc jsm s rozhodli využít programovému prostřdku Mathmatica s tím, ž zárovň ověřujm jho schopnost takové problémy řšit. Pro odhad paramtrů modlu používám údaj o hrubém produktu, kapitálu, pněžní zásobě a cnové hladině čské konomiky v období lt 4. Po odhadu dotyčných paramtrů nlinárního dynamického modlu používám tyto paramtry pro výpočt bodu rovnováhy systému a jho stability, případně nstability. V našm případě čské konomiky indikujm nstabilitu bodu rovnováhy, jak uvidím v závěru článku. Zbývající část našho článku j strukturována násldovně: V druhé skci článku j formulován obcný dynamický modl, ktrý j rozšířním Kaldorova modlu o pněžní sktor a adaptivní očkávání inflac. V třtí skci spcifikujm nlinarity modlu. V čtvrté skci s věnujm stacionárnímu řšní obcného modlu a podmínkám stability. Pro podmínky stability stacionárního řšní jsou důlžitá vlastní čísla Jacobiovy matic soustavy. Jjich vlastnosti vyžadují rozsáhljší analýzu a odvozní něktrých vztahů. Abychom s vyhnuli znpřhldnění základního txtu, odvozní zmíněných vztahů jsm zařadili do dodatků. V páté skci řším odhady paramtrů modlu na čtvrtltních údajích čské konomiky od roku do 5. V šsté skci j analyzováno stacionární řšní odhadnutého modlu a jho stabilita. Výsldky jsou shrnuty v závěru. Obcná formulac modlu V této stati s zabývám analýzou původního Kaldorova modlu, ktrý rozšiřujm o modl popisující pněžní trh a adaptivní očkávání inflac, ktrý j uvdn v kniz Chiarlly (99). Modl j vytvořn dvěma difrnciálními rovnicmi. Tato prác navázala na výsldky dřívějších studií v této oblasti, jjich autoři jsou např. Timbrgm (93), Goodwin (95), Phillips (954), Alln (956) a Gabisch a Lornz (989). První rovnic j rovnicí pro dynamiku pněžního trhu, kd nrovnováha mzi pněžní nabídkou a poptávkou působí na vývoj cn. Jstliž například j nabídka pněz vyšší nž poptávka po pnězích, vznikají na běžných účtch konomických subjktů nadbytčné pníz, ktré subjkty použijí na nákup komodit, což zvýší cny a s jistým zpožděním Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 77

4 poptávku po pnězích a původní přvis nabídky pněz nad poptávkou s zmnší. Opačný procs nastan, j-li nabídka pněz nižší nž poptávka po pnězích. Zmíněný procs s nazývá Marshallův přizpůsobovací procs. Dynamika pněžního trhu j doplněna rovnicí pro adaptivní očkávání inflac. Právě jsm řkli, ž vyšší nabídka pněz vyvolá růst cn a růst cn vyvolá růst poptávky po pnězích. Dalším účinkm růstu cn j zvýšní očkávané inflac a zvýšní rychlosti obratu pněžního a násldné snížní poptávky po pnězích. Existují tdy dva procsy namířné proti sobě. Přímé působní cn na poptávku po pnězích a zárovň npřímý vliv přs očkávanou inflaci. Přdchozí úvahy zpřsním przntací modlu publikovaného v Chiarllově kniz. V daném modlu s jdná v podstatě o montární přístup k inflaci. Montární modly inflac s vyskytovaly vlic často v vědcké litratuř. V čské vědcké litratuř např. Arlt t al. (6). Základním východiskm pro modlování pněžního trhu v noklasických modlch j Fishrova rovnic pro urční množství pněz v oběhu, ktrou zadávám v důchodovém tvaru M d V = PY. () Symbolm M značím poptávku po pnězích V rychlost oběhu pněžního P cnovou hladinu a Y hrubý domácí produkt. Všchny uvdné proměnné závisí na čas. Rychlost oběhu pněžního v tradičním noklasickém pojtí j závislá na tchnologických podmínkách platbního styku. To znamná, ž jjí změna můž nastat v souvislosti s změnou těchto podmínk, j tdy většinou pomalá. Rychlá a vlká změna můž nastat pouz v případě rvolučních změn platbního styku. Modrní noklasická tori přdpokládá (Chiarlla, 99), ž rychlost pněžního oběhu rost v rámci tchnologických omzní s očkávanou inflací, protož konomické subjkty očkávají znhodnocní pněz a drží mnší množství pněz v hotovosti a na běžných účtch. Matmaticky j to vyjádřno funkcí očkávané inflac, ktrá j rostoucí a má infimum a suprmum. Označm očkávanou inflaci v čas t symbolm π(t), rychlost pněžního oběhu navrhnm v tvaru Vt (). ( ( t)) V Funkci θ budm uvažovat jako nlinární funkci proměnné π. Vzhldm k výš uvdnému vztahu má rovnic () po logaritmování tvar d m () t v () t y() t p(), t kd jsm pro označní logaritmů původních vličin použili malých písmn. Dynamika cn bud důsldkm nrovnováhy na pněžním trhu. Pněžní nabídku označím M(t) a jjí logaritmus m(t). Pro vyjádřní poptávky po pnězích použijm rovnic (), takž dostanm pt () mt () v () t yt () pt (). () Rovnic popisuj Marshallův přizpůsobovací procs na pněžním trhu, kdy přvaha nabídky pněz, tj. přbytk pněžních zůstatků na běžných účtch nad poptávkou po pnězích, j použit na nákupy zboží na komoditním trhu, a tak zvdá cnovou hladinu, zd ovšm vyjádřnou logaritmicky. Podobně přvaha poptávky po pnězích nad nabídkou vyvolá omzní nákupů na komoditním trhu a pokls cnové hladiny. 77 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6

5 Přdpokládám spojité adaptivní očkávání inflac, ktré j vyjádřno rovnicí () t p () t (). t (3) J-li historická inflac vyšší nž očkávaná inflac, dojd násldně k jjímu zvýšní. V případě mnší historické inflac dojd k snížní očkávané inflac. Rovnic (3) s upraví, přičmž s využij rovnic () tak, ž ji dosadím za pt () do rovnic (3) a dostanm: () t m() t v () t y() t p() t () t. (4) Difrnciální rovnic () a (4) popisují dynamiku cn p(t) a očkávané inflac π(t) pomocí nrovnováhy na pněžním trhu (rovnic ()) a pomocí adaptivního očkávání inflac (rovnic (4)). Vličiny m(t) a y(t) jsou xognní proměnné. Při rozšířní modlu budm ndognizovat vličinu y(t) a vličinu m(t) zvolím jako konstantní. Modl vytvořný rovnicmi () a (4) použijm na rozšířní původního Kaldorova modlu, ktrý j tvořn dvěma difrnciálními rovnicmi. První difrnciální rovnic popisuj dynamiku komoditního trhu. Původní vrz této rovnic j formulována jako Ẏ(t) = IY(), t K() t SY() t, (5) kd K j zásoba kapitálu I invstic jako rostoucí funkc produkc a klsající funkc kapitálu, S úspory jako funkc produkc (důchodu). Invstiční funkci upravím jako součin invstiční míry j a produkc. Funkc invstiční míry bud závist na produktivitě kapitálu, tdy Yt () yt () kt () IYt (), Kt () j Yt () j Yt () iyt () kt () Yt (). Kt () Podobně upravím funkci úspor tak, aby byla od určité úrovně důchodu rostoucí a konvxní, což odpovídá konomickým zkušnostm S Y( t) s s log Y( t) Y( t) s s y( t) Y( t). Z výš uvdných dvou rovnic dosadím do rovnic (5), vydělím obě strany rovnic Y(t) a dostanm yt () i yt () kt () s syt (). (6) Další rovnic popisuj tvorbu kapitálu K () t i y() t k() t Y() t ak(), t kd a > značí amortizaci. Obě strany rovnic vydělím K(t) a dostanm v logaritmickém vyjádřní proměnných yt () kt () kt () i yt () kt () a. (7) Rovnic (6) a (7) tvoří Kaldorův modl, zd jsm však jho původní tvar poněkud upravili. Přvrácnou hodnotu produktivity kapitálu nazývám kapitálovým koficintm. Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 773

6 . Spcifikac nlinarit v modlu V modlu tvořném rovnicmi (), (4), (5) a (6) jsou dvě nlinární funkc. J to funkc θ(π(t)), ktrá j logaritmm rychlosti oběhu pněžního (až na konstantu ν ) a funkc invstiční míry i(y(t) k(t)). Funkc θ(π(t)), j dfinována na intrvalu (, ), protož očkávaná inflac torticky nabývá všch záporných hodnot (dflac), nuly a všch kladných hodnot. Tchnologické paramtry silně dtrminují rychlost oběhu pněžního, takž funkční hodnoty funkc θ(π(t)) s pohybují v rlativně úzkém pásu, tdy tato funkc má své suprmum a infimum. Funkc invstiční míry i(y(t) k(t)) bud mít podobné vlastnosti. Bud dfinována na intrvalu (, ), protož fktivnost kapitálu Y(t) / K(t) bud torticky nabývat všch kladných hodnot, a tdy jjí logaritmus libovolných rálných hodnot. Infimum invstiční míry bud. Z konomické tori a prax vím, ž invstiční míra nmůž přkročit jisté procnto produktu. Tato funkc tdy bud mít i své infimum a suprmum. Pro aproximaci těchto vlastností s njlép hodí logistická funkc, ktrá má obcný tvar: L Lx ( ). l( xx ) Na základě vlastních zkušností s těmito funkcmi (Kodra t al., ) pro funkci θ volím násldující tvar: ( ) ;. Infimum výš uvdné funkc j a suprmum θ. Funkc invstiční míry j spcifickým případm logistické funkc a volím ji v tvaru: ( ) i iy k ; i ;,. ( y k i ) Infimum invstiční míry j a suprmum i. Dosadím-li spcifikac nlinarit do rovnic (), (4), (6) a (7), dostanm () () () () pt mt v yt pt (8) () t () () () mt v () yt pt t () t (9) i yt () s syt () yt () kt () i () i yt () kt () kt () a. yt () kt () i () Výš uvdné rovnic tvoří Kaldorův dynamický modl rozšířný o rovnic pněžního trhu. Na lvé straně jsou drivac ndognních proměnných dynamického systému podl času, na pravé straně jsou ndognní proměnné a xognní proměnná m(t). V násldující skci zjistím stacionární řšní a podmínky stability. 774 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6

7 3. Stacionární řšní modlu a podmínky stability Připomínám, ž stacionární řšní j takové řšní, ktré s nmění v čas. V našm případě toto řšní označím p,, y, k. Rovnic (8) () po dosazní těchto konstantních hodnot a úpravě získají tvar. mv y p () mv y p i ( s ( sy) y k i ) (3) (4) i yk a. (5) yki Njdřív začnm s řšním rovnic (5). Za tímto účlm položím X xp( y k) a rovnic (5) přjd v tvar: i X a. (6) i X Připomnm, ž X (, ). Výraz (6) upravím na ix a X i ( ). Po dalších úpravách spočívajících v přvdní na lvou stranu rovnic a vynásobní X dostávám násldující kvadratickou rovnici Brm v úvahu pouz kladný kořn i X ax a i. X i a a 4a i i. Z rovnic (4) vypočítám vličinu y snadno i y i s X Stacionární vličina kapitálu j dána vztahm k y log X. s. Srovnáním rovnic () a (3) zjistím, ž stacionární inflac j =. Potom z rovnic (8) snadno vypočtm: p mv y. Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 775

8 Modl popsaný rovnicmi (8) () má právě jdn stacionární bod určný rovnicmi () (5). Stabilitu nbo nstabilitu stacionárního bodu určím po vyřšní linarizované úlohy. Linarizaci soustavy provádím v okolí stacionárního řšní. Řšní linarizované soustavy j stabilní, právě když stacionární bod j stabilní. Připomnm stručně něktrá pravidla linarizac soustavy nlinárních difrnciálních rovnic. Vzměm soustavu xt () f xt (), (7) kd x(t) = (x (t),..., x n (t)) a f = (f,..., f n ) j vktor funkcí hladkých na. Symbolm x označm stacionární bod, tdy f(x)=. Soustavu rovnic () aproximujm linární soustavou d xt ( ) f ( x) x( t), dt x kd δx(t) aproximuj řšní x(t) x blízko stacionárního bodu a f (x) j hodnota x Jacobiho matic v stacionárním bodě. Nalzním vlastních čísl Jacobiho matic a prozkoumáním jjich vlastností vyřším otázku stability stacionárního bodu námi zkoumaného čtyřrozměrného modlu. Za účlm konstrukc Jacobiho matic sřadím proměnné soustavy difrnciálních rovnic (8) () do vktoru x(t) = (p(t), π(t), y(t), k(t)). Soustavu (7) budm drivovat podl x(t) a dosadím x. Pokud tnto postup aplikujm na soustavu (8) (), postupujm násldujícím způsobm. Drivujm (8) po řadě podl p(t), π(t), y(t), k(t) a po dosazní souřadnic stacionárního bodu p,, y, k dostávám A = γ (8) (9) [ ] A C = γ C =. Drivac jsm označili vlkými písmny zdánlivě npřirozným způsobm. Mám pro to však dobré důvody, jak později uvidím. Nyní budm drivovat rovnici (9) podl jdnotlivých proměnných a dosadím jdnotlivé souřadnic stacionárního bodu A () A [ ] () C C =. Rovnic () a () nobsahuj proměnné p(t) a π(t), takž drivac podl těchto proměnných budou nulové. Dál drivujm () podl y(t), k(t) a dosadím y, k : 776 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6

9 i ( yki ) B yki s () ( y k i ) i B ( yki ). (3) Drivací () podl y(t), k(t) a dosazní y, k dostanm i ( yki ) B ( yki ( ) ) yki i i( yki) B ( yki ( ) ) yki i i ( yk) ( yk). (4) (5) f Jacobiho matici (x) soustavy (8) () označím J. Snadno zjistím, ž platí: x A C J, B A A B B C C kd A, B, C,. A A B B C C Z tori dynamických systémů vím, ž pro analýzu stability stacionárního bodu j nutné znát charaktristická čísla matic linarizované soustavy. Charaktristická čísla matic jsou kořny tzv. charaktristické rovnic. Pro náš případ j charaktristická rovnic dána výrazm dt( I J) dt( I A)dt( I B), 4 kd jsm symbolm I n označili jdnotkovou matici o n řádcích a sloupcích a použili větu o rozvoji dtrminantu. Dosadím-li do přdšlého výrazu za A a B a spočtm-li dtrminanty, dostávám: [ ( A A ) A A A A ][ ( B B ) B B ]. Výš uvdná rovnic j algbraická rovnic 4. stupně, ktrá j součinm dvou kvadratických trojčlnů. Číslo λ j řšním dané rovnic, právě když j řšním kvadratické rovnic ( A A ) A A A A. (6) Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 777

10 nbo ( B B ) B B B B. (7) Pro řšní první kvadratické rovnic mám: ( ) 4 A A A A A A ( ) 4. A A A A A A Pro řšní druhé kvadratické rovnic platí: ( ) 4 B B B B B B 3 4 ( ) 4. B B B B B B Po dosazní z rovnic () (5) snadno zjistím, ž pro absolutní člny kvadratických rovnic (6) a (7) platí A A A A, B B B B. (8) Důkaz výš uvdných nrovností j provdn v dodatku. Vzhldm k tomu, ž absolutní člny kvadratických rovnic (6) a (7) jsou kladné, podl tori kvadratických rovnic platí: sgn(r ) sgn(r ) a sgn(r ) sgn(r ). 3 4 To j tak vš, co s dá o vlastnostch stacionárního bodu obcně zjistit. Charaktristická čísla mohou být rálná i imaginární, což závisí na znaménku diskriminantů Dál platí, ž pro ( A A ) 4 A A a ( B B ) 4 B B. j ( A A ) 4A A [ ] [ ] a pro ( yki) ( yki) i i s R s R, ( yki) ( yki) 778 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6

11 kd R = i ( yki ) i ( yki ( ) ) i yki yk j ( B B ) 4B B. Důkaz výš uvdných nrovností j provdn v dodatku. 4. Odhad paramtrů modlu Rozšířný Kaldorův modl j nlinární jak v proměnných, tak i v paramtrch, ktré chcm odhadovat. Paramtry modlu odhadnm z dat čské konomiky. Použijm čtvrtltní údaj rálného domácího produktu, pněžního agrgátu M, invstic a čtvrtltní míry inflac z období lt 4. Originální čtvrtltní data kapitálové zásoby njsou dostupná. Kapitál j totiž k dispozici pouz v ročních údajích. Data na první tři čtvrtltí daného roku jsm získali tak, ž jsm použili údaj o invsticích a odpisch a dopočtli jsm chybějící údaj o kapitálu. Jsm si samozřjmě vědomi problémů, ktré souvisjí s těmito úpravami. Použitá data pro odhad paramtrů Kaldorova modlu charaktrizujm popisnými statistikami v tabulc. Tabulka Popisné statistiky použitých dat HDP (v mil. Kč) Pněžní agrgát M (v mil. Kč) Zásoba kapitálu (v mil. Kč) Invstic (v mil. Kč) Cnový indx Průměr , ,3,63 Mdián 88 68, ,, Maximum , ,, Minimum 59 38, , 99, Směrodatná odchylka 5 79, , ,9,34536 Šikmost,4773,387,395,8,864 Špičatost,7473,788964,63464,4676 3,4568 Jarqu-Brra 5,6488 4,98 4,4454,84567,5576 Pravděpodobnost,75,33835,835,39739, Pozorování Zdroj: Čský statistický úřad, Čská národní banka (statistiky) a vlastní výpočty 4. Odhad paramtrů pro rovnici adaptivního očkávání inflac I když rovnic adaptivního očkávání j v základním tvaru modlu v pořadí druhá, použijm ji v rámci odhadu modlu jako první, protož pomocí odhadnutého tvaru této rovnic vypočítám časovou řadu očkávané inflac, ktrou budm používat v násldujícím Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 779

12 odhadu rovnic pro dynamiku cn, ktrá j v základním tvaru modlu jako první. Adaptivní očkávání j dáno rovnicí (9), al my použijm pro účly odhadu jjí základní tvar (3). Provdm násldující aproximaci. Okamžitou změnu očkávané inflac (t) aproximujm výrazm π t + π t a okamžitou změnu cnové hladiny p (t) aproximujm výrazm p t p t = Δp t. Po dosazní uvdných aproximací rovnic (3) dostan tvar. nbo t t ( p t t) t p t ( ) t, kd přdpokládám, ž (,). Když budm řšit výš uvdnou rovnici vzhldm k π t +, dostanm t k ( ω)k Δp t k. (9) Pro náš xprimnt budm řadu v výš uvdném výrazu aproximovat součtm prvních dvou člnů, tj. k =,. Po substituci Δp t + za π t + dostanm Δp t + = ωδp t + ω( ω) Δp t. Věrohodnostní funkc pro tnto odhad j nlinární a dokonc nkonvxní v paramtrch. Procdury na nalzní globálního minima nkonvxních funkcí nmohou být stoprocntně spolhlivé. Njvhodnější procdurou pro nalzní globálního minima s jví procdura ArgMin systému Mathmatica. Pro nalzní konfidnčních intrvalů nlinárních odhadů použijm mtody tzv. bootstrappingu podl Martinz (7). Bylo sstrojno mpirické rozdělní čtností a nalzny příslušné kvantily. Paramtr ω odhadnm z časových řad čtvrtltních cnových indxů čské konomiky. Výsldky jsou uvdny v tabulc. Odhad paramtru j statisticky významný a splňuj přdpoklad, ž (,), použijm ho tdy v rovnici (9). Tabulka Výsldky odhadu paramtrů rovnic adaptivního očkávání Paramtr Odhad,5-kvantil,975-kvantil ω,648,94, Zdroj: vlastní zpracování Časovou řadu očkávané inflac získám z aproximac rovnic (9), v tvaru πp t + = ωδp t + ω( ω) Δp t. Očkávanou inflaci použijm při odhadu rovnic (8). Mtoda bootstrappingu j statistická mtoda, ktrá využívá výpočtní tchniku k vygnrování tzv. bootstrapových výběrů, z ktrých lz vypočítat různé statistiky na urční přsnosti odhadu, intrvalu spolhlivosti a na tstování hypotéz. 78 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6

13 4. Odhad paramtrů pro rovnici dynamiky cn Výsldky odhadů rovnic (8) jsou uvdny v tabulc 3. Rovnici (8) jsm pro odhad upravili násldujícím způsobm: c pt () mt () c c yt () pt (). (3) () t Pro odhad jsm použili místo proměnné p (t) čtvrtltní difrnc logaritmu cnového indxu, místo m(t) čtvrtltní údaj o pněžní zásobě, místo π(t) data získaná autorgrsním modlm odhadnutým s difrncí logaritmů cnových indxů, místo y(t) čtvrtltní údaj o logaritmu hrubého domácího produktu a místo p(t) údaj o logaritmu cnového indxu. Rovnic j linární v paramtrch, proto jsm s rozhodli pro procduru LinarFit, ktrá j součástí softwar Mathmatica. Odhadnutou rovnici, ktrá bud mít tvar cˆ pt () mt () cˆ cˆ () yt () pt () t, dál upravím tak, ž vytknm ĉ a dostanm mt () cˆ cˆ / cˆ pt () cˆ () yt () pt (). t cˆ cˆ Všchny paramtry odhadu mají z hldiska konomické intrprtac správné znaménko a jsou statisticky významné. Pro xprimnty s odhadnutou rovnicí používám upravnou logaritmickou pněžní zásobu m s (t) = m(t)/ĉ. Tabulka 3 Výsldky odhadu paramtrů rovnic dynamiky cn Paramtr Odhad Směrodatná chyba t-statistika p-valu ĉ 8,676 8,4 3,5658,8 ĉ 5,9 5,8635 6,677 ĉ,88,556 35,5783 Zdroj: vlastní zpracování Položím cˆ,888, v cˆ cˆ 3, 733, 5,765 a dostanm cˆ cˆ numrické hodnoty paramtrů rovnic (8), ktré budm užívat v simulacích. Musím rovněž dosadit za m t. Za tuto hodnotu arbitrárně dosadím průměr logaritmů údajů o pněžní zásobě, což j 3,987. V modlu používám upravnou pněžní zásobu s mt () m ( t) 6, cˆ Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 78

14 4.3 Odhady paramtrů pro rovnici kapitálové tvorby Data pro kapitál a produkci použijm pro odhad tří paramtrů rovnic (). Rovnic j nlinární v paramtrch, proto používám mtodu ArgMin systému Mathmatica a pro stanovní konfidnčních intrvalů mtody bootstrappingu. Výsldky odhadu a oboustranné konfidnční intrvaly jsou uvdny v tabulc 4, kd vidím, ž hodnoty paramtrů i, i, a, lží uvnitř jjich konfidnčního intrvalu, jsou tdy statisticky významné. Tabulka 4 Výsldky odhadu paramtrů rovnic kapitálové tvorby Paramtr Odhad,5-kvantil,975-kvantil i,499945,376 3,953 i 8, ,3575,9943 a,847,757,45 Zdroj: vlastní zpracování Výsldky tohoto odhadu pokládám z hldiska významnosti za uspokojivé a použitlné v dalších výpočtch. Ekonomická intrprtac numrických výsldků odhadu můž být diskutabilní, což j u úloh tohoto typu j běžné. Například paramtr i =, j hodnota míry invstic při vysoké produkci 3. Číslo by s mohlo intuitivně zdát rlativně vysoké. Na druhé straně njd o pozorovanou hodnotu invstiční míry, al o prdikovanou hodnotu za podmínky normně vysoké produkc. Podobný případ j a =,847. Zd s jdná o míru amortizac kapitálu. Toto číslo j rlativně malé a intuitivně by s mohlo zdát, ž nodpovídá míř amortizac v praxi, ktrá j ovšm účtním pojmm. Paramtr a z tabulky 4, ktrý intrprtujm jako míru amortizac, byl získán odhadm z pozorovaných dat, takž j skutčně problém řšit otázku, ktrý paramtr j vhodnější pro analýzu. Dávám samozřjmě přdnost hodnotám odhadnutým. 4.4 Odhad paramtrů rovnic pro dynamiku produkc Dynamika produkc j dfinována rovnicí (), ktrá obsahuj výraz pro sklon k invsticím yt () kt () i i jhož paramtry jsm odhadli v subskci 4.3. Vypočtné hodnoty sklonu k invsticím jsm spolu s logaritmy produkc využili k odhadu paramtrů rovnic () v upravném tvaru i yt () s syt (), yt () kt () i takž nodhadujm paramtry přímo, al jjich funkc, z ktrých dané paramtry vypočítám. Protož rovnic () po j rovnic linární v paramtrch, použili jsm mtodu, 3 i j limita funkc invstiční míry, jakmil y divrguj do nkončna. 78 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6

15 LinarFit, ktrá j procdurou systému Mathmatica. Výsldky odhadu nalznm v tabulc 5. Výsldky odhadu jsou statisticky významné, proto j můžm použít pro další zpracování. Tabulka 5 Výsldky odhadu paramtrů rovnic dynamiky produkc Paramtr Odhad Směrodoatná chyba t-statistika p-valu α 34,373 64,65 4,867 αs 54,55 3,57 4,897 αs,646,735,387,94 Zdroj: vlastní zpracování Z tabulky 5 vypočtm násldující hodnoty paramtrů rovnic dynamiky produkc α = 34,373, s =,49356, s =,5. Ekonomicky intrprtovatlné jsou paramtry s a s, což j po řadě míra úspor a paramtr zakřivní funkc úspor, ktrý pro náš odhad j nízký oproti linárnímu člnu s. 5. Analýza stability stacionárního řšní odhadnutého modlu Použijm odhady získané v skci 5 a dostanm: Rovnic adaptivního očkávání: ( t),648 p ( t) ( t) Rovnic pro inflaci: pt 5, 765 ( ),888 6,7596 3,733 ( ) ( ) () t yt pt Rovnic kapitálové tvorby:, yt () kt () kt ( ),847 yt ( ) kt ( ) Rovnic dynamiky produkc:, yt ( ) 34, 373, 49356, 5 yt ( ) yt ( ) kt ( ) Stacionární stav modlu j dán rovnicmi: = 6, , 733 5, 3635 ( y p), yk, 847 ( yk ) Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 783

16 , (, 49356, 5 y). ( y k ) V druhé rovnici stacionárního stavu modlu jsm nchali hodnotu upravné pněžní s zásoby m 6,69857 sparovanou z intrprtačních důvodů. Totéž platí pro paramtr v 3, 733. Stacionární řšní výš uvdné soustavy provdm podl vzorců, ktré jsm odvodili v skci 4. Rovnici (5) jsm upravili na rovnici (6), ktrá po úpravě získá tvar kvadratické rovnic. Jjí kladný kořn má po dosazní hodnotu: X i i a a 4a, Dosadím-li odhady paramtrů a vypočtnou hodnotu X do násldující rovnic pro stacionární hodnotu produkc, dostanm i y s 8, i s X a pro stacionární hodnotu kapitálu mám k ylog X 3, Stacionární hodnota očkávané inflac = a stacionární hodnota cnové hladiny j p mv y 7, Pro výpočt charaktristických čísl matic linarizované soustavy byla využita procdura Eignvalus programu Mathmatica s násldujícími výsldky: Všchna charaktristická čísla jsou rálná a kladná. Modl má tdy nstabilní stacionární řšní. U nlinárních modlů to nmusí však znamnat xplozivní řšní jako u modlů linárních. U nlinárních modlů j kromě xplozivních oscilací možnost složitější dynamiky, tj. priodické nbo dokonc npriodické oscilac (viz Gucknhimr a Holms, 986; nbo Lornz, 994). Podrobnější analýza dynamiky tohoto modlu přsahuj však rámc tohoto článku. Závěr Nlinární dynamické makrokonomické modly, mzi něž patří i námi analyzovaný modl, jsou většinou analyzovány obcně, případně kalibrovány za účlm simulací. V této stati jsm s pokusili o odhad paramtrů modlu, i když jsm si byli vědomi problémů spojných s tím, ž nám nní známa litratura, ktrá by s odhadm nlinárních dynamických modlů zabývala. Z tohoto důvodu jsm odhad paramtrů Kaldorova rozšířného dynamického nlinárního modlu na datch čské konomiky zvolili za hlavní cíl článku. Dalšími cíli jsou vypočt stacionárního řšní odhadnutého modlu a analýza vlastnosti rovnovážného řšní s využitím linarizovaného modlu. Zásadním problémm při odhadu Kaldorova rozšířného modlu bylo, ž s jdná o modl, ktrý j nlinární v proměnných a paramtrch. Odhadové funkc dvou rovnic 784 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6

17 tohoto modlu jsou nkonvxní, proto j vlmi obtížné nalézt jjich globální minimum. Pro řšní tohoto problému jsm využili program ArgMin, ktrý j součástí systému Mathmatica. Pro tstování statistické významnosti odhadnutých paramtrů v těchto dvou rovnicích modlu jsm použili mtody bootstrappingu. Paramtry zbývajících dvou rovnic Kaldorova rozšířného modlu jsm odhadli linárními mtodami. Z důvodů kompatibility jsm zůstali u softwar Mathmatica a použili jsm funkci LinarFit. Výsldky, ktré jsm obdržli, jsou z hldiska statistické významnosti odhadů a jjich konomické intrprtac, přijatlné. Vlmi důlžitým poznatkm j zjištění, zda j zkoumaný modl stabilní nbo nstabilní, proto bylo nzbytné spočítat stacionární řšní odhadnutého modlu. Modl byl linarizován v stacionárním bodě. Vlastní čísla Jacobiho matic soustavy difrnciálních rovnic tvořících Kaldorův rozšířný modl jsou kladná, tdy stacionární řšní soustavy j nstabilní. Nstabilita nlinárních systémů má vliký význam pro tortické vysvětlní složité dynamiky skutčných konomických vličin, protož nstabilní nlinární konomické modly jsou za určitých podmínk schopny napodobit složitější dynamiku skutčných konomických vličin. Toto mpirické zjištění vd k myšlnc, ž simulac odhadnutého nlinárního Kaldorova modlu mohou lép napodobit skutčný vývoj konomických vličin nž často využívané modly DSGE. Provdní takových simulací přsahuj cíl tohoto článku a tak bud přdmětm násldujícího výzkumu. Litratura Alln, R. D. G. (956). Mathmatical Economics. London: Macmillan. Arlt, J.; Kodra, J.; Mandl, M.; Tomšík, V. (6). Montary Approach to Inflation: A Mdium Trm Structural Modl in a Small Opn Economy. Politická konomi, 54(3), , Chiarlla, C. (99). Th Elmnts of a Nonlinar Thory of Economic Dynamics. Brlin: Springr Vrlag. Davanzati, G. F.; Patalano, R.; Traficant, G. (6). Th Italian Economic Dclin in a Kaldorian Thortical Prspctiv. PKSG Working Papr No. 66. Flaschl, P.; Frank, R.; Smmlr, W. (997). Dynamic Macroconomics. Cambridg, Massachustts: MIT Prss. Gabisch, G.; Lornz, H. W. (989). Businss Cycl Thory. Brlin: Springr Vrlag. Goodwin, R. M. (95). Th Nonlinar Acclrator and Prsistnc of Businss Cycl. Economtrica, 9(), 7, Gucknhimr, J.; Holms, P. (986). Non Linar Oscillation, Dynamical Systms and Bifurcations of Vctor Filds. Nw York: Springr Vrlag. Hillingr, C. (5). Evidnc and Idology in Macroconomics: Th Cas of Invstmnt Cycl. Munich Discussion Papr No 5 6. Hillingr, C.; Sussmuth, B. (). Th Quantity Thory of Mony: An Assssmnt of Its Ral Linpinch Prdiction. CESifo Working Papr Sris No Kaldor, N. (94). A Modl of th Trad Cycl. Economic Journal, 5(97), 78 9, org/.37/574 Kodra, J. (). Four Equation Modl of Pric Dynamics, in Proc. th Intrnat. Confrnc Mathmatical Mthods in Economics, Univrsity of Economics, Ostrava, pp Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 785

18 Kodra, J.; Sladký, K; Vošvrda, M. (3). Th Extndd Kalcki-Kaldor Modl Rvisitd, in Proc. th Intrnat., M. Houška, d., Confrnc Mathmatical Mthods in Economics. Faculty of Economics, Czch Univrsity of Agricultur, Praha, pp Kodra, J.; Vošvrda, M. (6). Product, Capital and Pric dynamics in th simpl modl of closd conomy (Produkt, kapitál, a cnový pohyb v jdnoduchém modlu uzavřné konomiky). Politická konomi, 54(3), , Kodra, J.; Tran, Q. V.; Vošvrda, M. (3). Complx Pric Dynamics in th Modifid Kaldorian Modl. Pragu Economic Paprs, (3), , Kuzntsov, Y. A. (998). Elmnts of Applid Bifurcation Thory. Brlin: Springr Vrlag. Kydland, F. E.; Prscott, E. C. (98). Tim to Build and Aggrgat Fluctuations. Economtrica, 5(6), , Lornz, H. W. (994). Nonlinar Dynamical Economics and Chaotic Motion. Brlin: Springr Vrlag. Martinz, W. L.; Martinz, A. R. (7). Computational Statistics Handbook with Matlab. Nw York: Chapman & Hall. Prko, L. (). Diffrntial Equations and Dynamical Systms. Brlin: Springr Vrlag. Phillips, A. W. (954). Stabilisation Policy in a Closd Economy. Economic Journal, 64(54), 9 33, Rossr, J. B., Jr. (999). On th Complxitis of Complx Economic Dynamics. Th Journal of Economic Prspctivs, 3(4), 69 9, Tinbrgn, J. (93). Ein Schiffsbauzyklus? in Wltwirtschaftlichs Archiv Rprintd in Klaasn, L.H. t al. (959), d., Slctd Paprs, Amstrdam.959. Přílohy Dodatk V tomto dodatku dokážm, ž nrovnosti (8) platí. Njdřív položím X Potom po dosazní do (9) a () dostanm. A X, A ( X ). Připomnm jště, ž γ a A. Z výš uvdných vztahů dosadím do první nrovnosti (8) a dostanm (D.) ( X ) X. Vzhldm k tomu, ž γ > a ω >, uvdná nrovnost platí. Nyní přjdm k důkazu druhé nrovnosti (8). Položím ( yki ) i i U, V. ( yki ( ) ) yki 786 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6

19 Dosadím-li do () (5), dostanm B ( U s ), B U, B ( U V), B ( U V). yk yk Dosadím-li do druhé nrovnosti (8), dostanm Jlikož α >, a s >. Dodatk ( U s )( U V) U( U V) s ( U V). yk yk yk Njdřív s budm zabývat stabilitou a nstabilitou bodu rovnováhy. Jstliž A < a B B, (D.) potom j stacionární bod stabilní. Dosazním hodnotu A a A do první nrovnosti (D.) dostanm ( X ). Výš uvdný výraz nní obcně mnší nž nula, stačí aby γ i ω bylo rlativně vlké a první z dvou výrazů (D.) bud kladný. Jstliž dosadím hodnotu B a B do druhé nrovnosti dostanm: ( ) ( ) y U s U V k V tomto případě, jstliž U < s j i výš uvdný výraz záporný, ovšm pokud U > s a α dostatčně vliká j daný výraz kladný. Zajímavé bud zjistit, kdy charaktristická čísla zkoumané soustavy jsou imaginární. To nastává v případě, pokud ( A A ) 4A A nbo ( B B ) 4B B. Do první nrovnosti dosadím hodnotu A, A, A a A, a dostanm: X ( ) 4 X. Výš uvdný vztah j možné chápat jako rozdíl čtvrců, ktrý upravím násldujícím způsobm: ( X ) X ( X X) ( X X) Výš uvdný vztah j splněn pro ( X) ( X). ( X) ( X) kd X Ročník 64 číslo 7 6 POLITICKÁ EKONOMIE 787

20 Dosadím-li do druhého vztahu v (D.) hodnotu B, B, B a B, dostanm: yk yk ( U s ) ( U V) 4 U( U V). Výš uvdný výraz zjdnoduším tak, ž položím y k R ( U V). A tak dostanm Po úpravě mám ( U s ) R 4UR. ( U s ) ( URs R) R. Na výraz vlvo v dané nrovnosti nahlížím jako na polynom v proměnné α. Pro konvrguj do nkončna. Pro nás bud zajímavé, jstli bud mít dva od sb různé rálné kořny. Jstliž n, nmůž nabývat záporných hodnot a charaktristická čísla λ 3, λ 4 nbudou imaginární. Kořny kvadratického trojčlnu, jsou řšním rovnic (U s ) ( URs R) R. Jjí diskriminant j 4( U R UR s s R ) 4( U R UR s s R ) 6UR s.. Diskriminant j kladný a linární čln rovnic j (UR + s R) < tdy kořny rovnic jsou kladné. Jjich hodnoty vypočítám:, ( U s ) Us R, kd R ( U V) yk. J-li, j druhý z výrazů (D.) záporný a charaktristická čísla λ 3, λ 4 budou imaginární. 788 POLITICKÁ EKONOMIE Ročník 64 číslo 7 6

INTERGRÁLNÍ POČET. PRIMITIVNÍ FUNKCE (neurčitý integrál)

INTERGRÁLNÍ POČET. PRIMITIVNÍ FUNKCE (neurčitý integrál) INTERGRÁLNÍ POČET Motivac: Užití intgrálního počtu spočívá mj. v výpočtu obsahu rovinného obrazc ohraničného různými funkcmi příp. čarami či v výpočtu objmu rotačního tělsa, vzniklého rotací daného obrazc

Více

11. AGREGÁTNÍ NABÍDKA A PHILLIPSOVA KŘIVKA. slide 0

11. AGREGÁTNÍ NABÍDKA A PHILLIPSOVA KŘIVKA. slide 0 11. AGREGÁTNÍ NABÍDKA A PHILLIPSOVA KŘIVKA slid 0 Přdmětm přdnášky jsou tři modly agrgátní nabídky, v ktrých v krátkém období výstup pozitivně závisí na cnové hladině. Krátkodobý invrzní vztah mzi inflací

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodc studim V kapitol Difrnciální počt funkcí jdné proměnné jst s sznámili s drivováním funkcí Jstliž znát drivac lmntárních

Více

10. AGREGÁTNÍ NABÍDKA A PHILLIPSOVA KŘIVKA. slide 1

10. AGREGÁTNÍ NABÍDKA A PHILLIPSOVA KŘIVKA. slide 1 10. AGREGÁTNÍ NABÍDKA A PHILLIPSOVA KŘIVKA slid 1 Přdmětm přdnášky jsou tři modly agrgátní nabídky, v ktrých v krátkém období výstup pozitivně závisí na cnové hladině. Krátkodobý invrzní vztah mzi inflací

Více

základní pojmy základní pojmy teorie základní pojmy teorie základní pojmy teorie základní pojmy teorie

základní pojmy základní pojmy teorie základní pojmy teorie základní pojmy teorie základní pojmy teorie Tori v strojírnské tchnologii Ing. Oskar Zmčík, Ph.D. základní pojmy používaná rozdělní vztahy, dfinic výpočty základní pojmy žádnou součást ndokážm vyrobit s absolutní přsností při výrobě součásti dochází

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

L HOSPITALOVO PRAVIDLO

L HOSPITALOVO PRAVIDLO Difrnciální počt funkcí jdné rálné proměnné - 7 - L HOSPITALOVO PRAVIDLO LIMITY TYPU 0/0 PŘÍKLAD Pomocí L Hospitalova pravidla určt sin 0 Ověřní přdpokladů L Hospitalovy věty Přímočarým použitím věty o

Více

2. Frekvenční a přechodové charakteristiky

2. Frekvenční a přechodové charakteristiky rkvnční a přchodové charaktristiky. rkvnční a přchodové charaktristiky.. Obcný matmatický popis Přchodové a frkvnční charaktristiky jsou důlžitým prostřdkm pro analýzu a syntézu rgulačních obvodů a tdy

Více

Zjednodušený výpočet tranzistorového zesilovače

Zjednodušený výpočet tranzistorového zesilovače Přsný výpočt tranzistorového zsilovač vychází z urční dvojbranových paramtrů tranzistoru a pokračuj sstavním matic obvodu a řšním této matic. Při použití vybraných rovnic z matmatických modlů pro programy

Více

Přijímací zkoušky do NMS 2013 MATEMATIKA, zadání A,

Přijímací zkoušky do NMS 2013 MATEMATIKA, zadání A, Přijímací zkoušk do NMS MATEMATIKA, zadání A, jméno: V násldujících dsti problémch j z nabízných odpovědí vžd právě jdna správná. Zakroužkujt ji! Za každou správnou odpověď získát uvdné bod. Za nsprávnou

Více

I. MECHANIKA 8. Pružnost

I. MECHANIKA 8. Pružnost . MECHANKA 8. Pružnost Obsah Zobcněný Hookův zákon. ntrprtac invariantů. Rozklad tnzorů na izotropní část a dviátor. Křivka dformac. Základní úloha tori pružnosti. Elmntární Hookův zákon pro jdnoosý tah.

Více

Navazující magisterské studium MATEMATIKA 2016 zadání A str.1 Z uvedených odpovědí je vždy

Navazující magisterské studium MATEMATIKA 2016 zadání A str.1 Z uvedených odpovědí je vždy Navazující magistrské studium MATEMATIKA 16 zadání A str.1 Příjmní a jméno: Z uvdných odpovědí j vžd právě jdna správná. Zakroužkujt ji! V násldujících dsti problémch j z nabízných odpovědí vžd právě jdna

Více

část 8. (rough draft version)

část 8. (rough draft version) Gntika v šlchtění zvířat TGU 006 9 Odhad PH BLUP M část 8. (rough draft vrsion V animal modlu (M s hodnotí každé zvíř samostatně a současně v závislosti na užitkovosti příbuzných jdinců hodnocné populac.

Více

Lokální extrémy. 1. Příklad f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 + 5x + 2y. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule.

Lokální extrémy. 1. Příklad f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 + 5x + 2y. Spočteme parciální derivace a položíme je rovny nule. Lokální xtrémy - řšné příklady 1 Lokální xtrémy Vyštřt lokální xtrémy násldujících funkcí víc proměnných: 1 Příklad fx, y = x + xy + 3y + 5x + y Spočtm parciální drivac a položím j rovny nul Vznikn soustava

Více

Měrný náboj elektronu

Měrný náboj elektronu Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praz Úloha č. 12 : Měřní měrného náboj lktronu Jméno: Ondřj Ticháčk Pracovní skupina: 7 Kruh: ZS 7 Datum měřní: 8.4.2013 Klasifikac: Měrný náboj lktronu 1 Zadání 1. Sstavt

Více

4.3.2 Vlastní a příměsové polovodiče

4.3.2 Vlastní a příměsové polovodiče 4.3.2 Vlastní a příměsové polovodič Přdpoklady: 4204, 4207, 4301 Pdagogická poznámka: Pokud budt postupovat normální rychlostí, skončít u ngativní vodivosti. Nní to žádný problém, pozitivní vodivost si

Více

hledané funkce y jedné proměnné.

hledané funkce y jedné proměnné. DIFERCIÁLNÍ ROVNICE Úvod Df : Občjnou difrniální rovnií dál jn DR rozumím rovnii, v ktré s vsktují driva hldané funk jdné proměnné n n Můž mít pliitní tvar f,,,,, n nbo impliitní tvar F,,,,, Řádm difrniální

Více

ε, budeme nazývat okolím bodu (čísla) x

ε, budeme nazývat okolím bodu (čísla) x Množinu ( ) { R < ε} Okolím bodu Limit O :, kd (, ) j td otvřný intrval ( ε ε ) ε, budm nazývat okolím bodu (čísla).,. Bod R j vnitřním bodm množin R M, jstliž istuj okolí O tak, ž platí O( ) M. M, jstliž

Více

Funkce hustoty pravděpodobnosti této veličiny je. Pro obecný počet stupňů volnosti je náhodná veličina

Funkce hustoty pravděpodobnosti této veličiny je. Pro obecný počet stupňů volnosti je náhodná veličina Přdnáša č 6 Náhodné vličiny pro analyticou statistiu Při výpočtch v analyticé statistic s používají vhodné torticé vličiny, tré popisují vlastnosti vytvořných tstovacích charatristi Mzi njpoužívanější

Více

3.3. Derivace základních elementárních a elementárních funkcí

3.3. Derivace základních elementárních a elementárních funkcí Přdpokládané znalosti V násldujících úvahách budm užívat vztahy známé z střdní školy a vztahy uvdné v přdcházjících kapitolách tohoto ttu Něktré z nich připomnm Eponnciální funkc Výklad Pro odvozní vzorců

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2

( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 I Drivac jdnoduchých funkcí pomocí pravidl a vzorců Užitím P U druhého a třtího člnu použijm P Nní podl V a posldní čln podl V Použijm P Dál V a na drivaci trojčlnu v poldní závorc V a V Výsldk upravím

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Univrzita omáš Bati v Zlíně LABORAORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY II Názv úlohy: Voltampérová charaktristika polovodičové diody a žárovky Jméno: Ptr Luzar Skupina: I II/1 Datum měřní: 14.listopadu 7 Obor: Informační

Více

Úloha č. 11. H0 e. (4) tzv. Stefanův - Bo1tzmannův zákon a 2. H λ dλ (5)

Úloha č. 11. H0 e. (4) tzv. Stefanův - Bo1tzmannův zákon a 2. H λ dλ (5) pyromtrm - vrz 01 Úloha č. 11 Měřní tplotní vyzařovací charaktristiky wolframového vlákna žárovky optickým pyromtrm 1) Pomůcky: Měřicí zařízní obsahující zdroj lktrické nrgi, optický pyromtr a žárovku

Více

, je vhodná veličina jak pro studium vyzařování energie z libovolného zdroje, tak i pro popis dopadu energie na hmotné objekty:

, je vhodná veličina jak pro studium vyzařování energie z libovolného zdroje, tak i pro popis dopadu energie na hmotné objekty: Radiomtri a fotomtri Vyzařování, přnos a účinky nrgi lktromagntického zářní všch vlnových délk zkoumá obor radiomtri, lktromagntickým zářním v optické oblasti s pak zabývá fotomtri. V odstavci Přnos nrgi

Více

MA1: Cvičné příklady funkce: D(f) a vlastnosti, limity

MA1: Cvičné příklady funkce: D(f) a vlastnosti, limity MA: Cvičné příklady funkc: Df a vlastnosti, ity Stručná řšní Na zkoušc j samozřjmě nutné své kroky nějak odůvodnit. Rozsáhljší pomocné výpočty s tradičně dělají stranou, al bývá také moudré nějak naznačit

Více

STUDIUM DEFORMAČNÍCH ODPORŮ OCELÍ VYSOKORYCHLOSTNÍM VÁLCOVÁNÍM ZA TEPLA

STUDIUM DEFORMAČNÍCH ODPORŮ OCELÍ VYSOKORYCHLOSTNÍM VÁLCOVÁNÍM ZA TEPLA STUDIUM DEFORMAČNÍCH ODPORŮ OCELÍ VYSOKORYCHLOSTNÍM VÁLCOVÁNÍM ZA TEPLA Martin Radina a, Ivo Schindlr a, Tomáš Kubina a, Ptr Bílovský a Karl Čmil b Eugniusz Hadasik c a) VŠB Tchnická univrzita Ostrava,

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TEHNIKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADEH VIČENÍ Č. Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita

Více

Trivium z optiky 37. 6. Fotometrie

Trivium z optiky 37. 6. Fotometrie Trivium z optiky 37 6. Fotomtri V přdcházjící kapitol jsm uvdli, ž lktromagntické zářní (a tdy i světlo) přnáší nrgii. V této kapitol si ukážm, jakými vličinami j možno tnto přnos popsat a jak zohldnit

Více

Úvod do fyziky plazmatu

Úvod do fyziky plazmatu Dfinic plazmatu (typická) Úvod do fyziky plazmatu Plazma j kvazinutrální systém nabitých (a případně i nutrálních) částic, ktrý vykazuj kolktivní chování. Pozn. Kolktivní chování j tdy podstatné, nicméně

Více

Rekurzivní delta identifikace mnoharozměrového systému

Rekurzivní delta identifikace mnoharozměrového systému MODELLING, SIMULAION, AND IDENIFIAION OF PROESSES Rkurzivní dlta idntifikac mnoharozměrového systému Radk Dokoupil, Ptr Dostál Abstrakt Příspěvk rozbírá postup při sstavní algoritmu pro rkurzivní idntifikaci

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE DIPLOMOVÁ PRÁCE. 2008 Bc. Pavel Hájek

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE DIPLOMOVÁ PRÁCE. 2008 Bc. Pavel Hájek ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE DIPLOMOVÁ PRÁCE 8 Bc. Pavl Hájk ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavbní, Katdra spciální godézi Názv diplomové prác: Vbudování, zaměřní a výpočt bodového

Více

Fyzikální podstata fotovoltaické přeměny solární energie

Fyzikální podstata fotovoltaické přeměny solární energie účinky a užití optického zářní yzikální podstata fotovoltaické přměny solární nri doc. In. Martin Libra, CSc., Čská změdělská univrzita v Praz a Jihočská univrzita v Čských Budějovicích, In. Vladislav

Více

5. kapitola: Vysokofrekvenční zesilovače (rozšířená osnova)

5. kapitola: Vysokofrekvenční zesilovače (rozšířená osnova) Punčochář, J: AEO; 5. kapitola 1 5. kapitola: Vysokofrkvnční zsilovač (rozšířná osnova) Čas k studiu: 6 hodin íl: Po prostudování této kapitoly budt umět dfinovat pracovní bod BJT a FET určit funkci VF

Více

IMITANČNÍ POPIS SPÍNANÝCH OBVODŮ

IMITANČNÍ POPIS SPÍNANÝCH OBVODŮ IMITANČNÍ POPIS SPÍNANÝCH OBVODŮ Doc. Ing. Dalibor Biolk, CSc. K 30 VA Brno, Kounicova 65, PS 3, 6 00 Brno tl.: 48 487, fax: 48 888, mail: biolk@ant.f.vutbr.cz Abstract: Basic idas concrning immitanc dscription

Více

Metody ešení. Metody ešení

Metody ešení. Metody ešení Mtod šní z hldiska kvalit dosažného výsldku ) p ř sné mtod p ř ímé ř šní difrnciálních rovnic, většinou pro jdnoduché konstrukc nap ř. ř šní ohbu prutu p ř ímou intgrací ) p ř ibližné mtod náhrada hldané

Více

KIRSTEN BIEDERMANNOVÁ ANDERS FLORÉN PHILIPPE JEANJACQUOT DIONYSIS KONSTANTINOU CORINA TOMAOVÁ TLAKEM POD

KIRSTEN BIEDERMANNOVÁ ANDERS FLORÉN PHILIPPE JEANJACQUOT DIONYSIS KONSTANTINOU CORINA TOMAOVÁ TLAKEM POD 40 KIRSTEN BIEDERMANNOVÁ ANDERS FLORÉN PHILIPPE JEANJACQUOT DIONYSIS KONSTANTINOU CORINA TOMAOVÁ TLAKEM POD POD TLAKEM míč, hmotnost, rovnováha, pumpička, tlak, idální plyn, pružná srážka, koficint rstituc

Více

M ě ř e n í o d p o r u r e z i s t o r ů

M ě ř e n í o d p o r u r e z i s t o r ů M ě ř n í o d p o r u r z s t o r ů Ú k o l : Proměřt sadu rzstorů s nznámým odporm různým mtodam a porovnat přsnost jdnotlvých měřní P o t ř b y : Vz sznam v dskách u úlohy na pracovním stol Obcná část:

Více

Rovnovážné modely v teorii portfolia

Rovnovážné modely v teorii portfolia 3. září 2013, Podlesí Obsah Portfolio a jeho charakteristiky Definice portfolia Výnosnost a riziko aktiv Výnosnost a riziko portfolia Klasická teorie portfolia Markowitzův model Tobinův model CAPM - model

Více

je daná vztahem v 0 Ve fyzice bývá zvykem značit derivaci podle proměnné t (podle času) tečkou, proto píšeme

je daná vztahem v 0 Ve fyzice bývá zvykem značit derivaci podle proměnné t (podle času) tečkou, proto píšeme DERIVACE FUNKCE Má zásadí výzam při vyštřováí fukčích závislostí j v matmatic, al také v aplikacích, apř v chmii, fyzic, koomii a jiých vědích oborch Pricip drivováí formulovali v 7 stoltí závisl a sobě

Více

Otázka č.3 Veličiny používané pro kvantifikaci elektromagnetického pole

Otázka č.3 Veličiny používané pro kvantifikaci elektromagnetického pole Otázka č.4 Vličiny používané pro kvantifikaci lktromagntického pol Otázka č.3 Vličiny používané pro kvantifikaci lktromagntického pol odrobnější výklad základu lktromagntismu j možno nalézt v učbním txtu:

Více

Jednokapalinové přiblížení (MHD-magnetohydrodynamika)

Jednokapalinové přiblížení (MHD-magnetohydrodynamika) Jdnokapalinové přiblížní (MHD-magntohydrodynamika) Zákon zachování hmoty zákony zachování počtu lktronů a iontů násobny hmotnostmi a sčtny n t div nu ni divnu i i t div u M M (1) t i m n M n u u M i i

Více

1. Difuze vodní páry a její kondenzace uvnit konstrukcí

1. Difuze vodní páry a její kondenzace uvnit konstrukcí ř 1. Difuz vodní páry a jjí kondnzac uvnit konstrukcí Hodnocní ší ř ní vodní páry konstrukcí j jdnou z vlmi dů lžitých úloh stavbní tplné tchniky. Slouží k ově ní charaktru dlouhodobého tplně vlhkostního

Více

0.1 reseny priklad 4. z

0.1 reseny priklad 4. z Uvadim dva rsn priklad, abch pokud mozno napravil zmak na cvicni. Js o okomnuju pris.. rsn priklad 4. z 9.. Najd sandardni fundamnalni maici pro Cauchho ulohu = 7 + + 5 = Prislusna maic j 7 5 a jji vlasni

Více

GRAFEN. Zázračný. materiál. Žádný materiál na světě není tak lehký, pevný a propustný,

GRAFEN. Zázračný. materiál. Žádný materiál na světě není tak lehký, pevný a propustný, VLASTNOSTI GRAFENU TLOUŠŤKA: Při tloušťc 0,34 nanomtru j grafn milionkrát tnčí nž list papíru. HMOTNOST: Grafn j xtrémně lhký. Kilomtr čtvrčný tohoto matriálu váží jn 757 gramů. PEVNOST: V směru vrstvy

Více

ÚLOHY Z ELEKTŘINY A MAGNETIZMU SADA 4

ÚLOHY Z ELEKTŘINY A MAGNETIZMU SADA 4 ÚLOHY Z ELEKTŘINY A MAGNETIZMU SADA 4 Ptr Dourmashkin MIT 6, přklad: Vítězslav Kříha (7) Obsah SADA 4 ÚLOHA 1: LIDSKÝ KONDENZÁTO ÚLOHA : UDĚLEJTE SI KONDENZÁTO ÚLOHA 3: KONDENZÁTOY ÚLOHA 4: PĚT KÁTKÝCH

Více

Aplikace VAR ocenění tržních rizik

Aplikace VAR ocenění tržních rizik Aplkac VAR ocnění tržních rzk Obsah: Zdroj rzka :... 2 Řízní tržního rzka... 2 Měřní tržního rzka... 3 Modly... 4 Postup výpočtu... 7 Nastavní modlu a gnrování Mont-Carlo scénářů... 7 Vlčny vyjadřující

Více

Demonstrace skládání barev

Demonstrace skládání barev Vltrh nápadů učitlů fyziky I Dmonstrac skládání barv DENĚK NAVRÁTIL Přírodovědcká fakulta MU Brno Úvod Studnti střdních škol si často stěžují na nzáživnost nzajímavost a matmatickou obtížnost výuky fyziky.

Více

Postup tvorby studijní opory

Postup tvorby studijní opory Postup tvorby studijní opory RNDr. Jindřich Vaněk, Ph.D. Klíčová slova: Studijní opora, distanční studium, kurz, modl řízní vztahů dat, fáz tvorby kurzu, modl modulu Anotac: Při přípravě a vlastní tvorbě

Více

1 ) 3, a 5 6 b ( 4. x+2 x, b) f(x)= sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x ] (užijte vzorce: sin(α + β), sin 2x a cos 2x) f 1 : y = x 1. f 1 : y = 3 + ln x 1

1 ) 3, a 5 6 b ( 4. x+2 x, b) f(x)= sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x ] (užijte vzorce: sin(α + β), sin 2x a cos 2x) f 1 : y = x 1. f 1 : y = 3 + ln x 1 DOMÁCÍ ÚLOHY z MATEMATIKY VT) Opakování SŠ matmatiky Pomocí intrvalů zapišt nrovnosti: a), b) + >, c), d) > a),, b), 5), + ), c),, d), + ) Zjdnodušt výraz: a) 5 a a a ), b) a 5 6 b b 5 ) a b a a) a, a

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

(1) Známe-li u vyšetřovaného zdroje závislost spektrální emisivity M λ

(1) Známe-li u vyšetřovaného zdroje závislost spektrální emisivity M λ Učbní txt k přdnáš UFY Tplné zářní. Zářní absolutně črného tělsa Tplotní zářní a Plankův vyzařovaí zákon Intnzita vyzařování (misivita) v daném místě na povrhu zdroj j dfinována jako podíl zářivého toku

Více

Spolehlivost programového vybavení pro obvody vysoké integrace a obvody velmi vysoké integrace

Spolehlivost programového vybavení pro obvody vysoké integrace a obvody velmi vysoké integrace 48 INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGIES AND SERVICES, VOL. 8, NO., JUNE 0 Spolhlivost programového vybavní pro obvody vysoké intgrac a obvody vlmi vysoké intgrac Artm GANIYEV.1, Jan VITÁSEK 1 1 Katdra

Více

41 Absorpce světla ÚKOL TEORIE

41 Absorpce světla ÚKOL TEORIE 41 Absorpc světla ÚKOL Stanovt závislost absorpčního koficintu dvou průhldných látk různé barvy na vlnové délc dopadajícího světla. Proměřt pro zadané vlnové délky absorpci světla při jho průchodu dvěma

Více

02 Systémy a jejich popis v časové a frekvenční oblasti

02 Systémy a jejich popis v časové a frekvenční oblasti Modul: Analýza a modlování dynamických biologických dat Přdmět: Linární a adaptivní zpracování dat Autor: Danil Schwarz Číslo a názv výukové dnotky: Systémy a ich popis v časové a frkvnční oblasti Výstupy

Více

Úvod do fyziky plazmatu

Úvod do fyziky plazmatu Úvod do fyziky plazmatu 1 Dfinic plazmatu (S. Ichimaru, Statistical Plasma Physics, Vol I) Plazma j jakýkoliv statistický systém, ktrý obsahuj pohyblivé nabité částic. Pozn. Statistický znamná makroskopický,

Více

Vyvážené nastavení PI regulátorù

Vyvážené nastavení PI regulátorù Vyvážné nastavní PI rgulátorù doc. Ptr Klán, Ústav informatiky AV ÈR Praha a Univrzita Pardubic, Prof. Raymond Gorz, Cntr for Systms Enginring and Applid Mchanics, Univrsity d Louvain PI nbo PID rgulátory

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

Časopis pro pěstování matematiky

Časopis pro pěstování matematiky Časopis pro pěstování matmatiky Miroslav Brdička Užití tnsorové symboliky v lasticitě Časopis pro pěstování matmatiky, Vol. 77 (1952), No. 3, 311--314 Prsistnt URL: http://dml.cz/dmlcz/117036 Trms of us:

Více

Klasický a kvantový chaos

Klasický a kvantový chaos Klasický a kvantový chaos Pavl Cjnar Ústav částicové a jadrné fyziky MFF UK Praha cjnar @ ipnp.troja.mff.cuni.cz 7.4. 20, fi/fy sminář MFF UK Fyzika. druhu ( kódování ) složité chování jdnoduché rovnic

Více

FYZIKA 3. ROČNÍK. Nestacionární magnetické pole. Magnetický indukční tok. Elektromagnetická indukce. π Φ = 0. - magnetické pole, které se s časem mění

FYZIKA 3. ROČNÍK. Nestacionární magnetické pole. Magnetický indukční tok. Elektromagnetická indukce. π Φ = 0. - magnetické pole, které se s časem mění FYZKA 3. OČNÍK - magntické pol, ktré s s časm mění Vznik nstacionárního magntického pol: a) npohybující s vodič s časově proměnným proudm b) pohybující s vodič s proudm c) pohybující s prmanntní magnt

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

ZPRAVODAJSTVÍ. Newsletter ISSUE N 04 ÚNOR 2009 STRANA 2 & 4 NOVINKY Z BRUSELU STRANA 3 & 5 ČESKÉ PŘEDSEDNICTVÍ A ZLÍNSKÝ KRAJ

ZPRAVODAJSTVÍ. Newsletter ISSUE N 04 ÚNOR 2009 STRANA 2 & 4 NOVINKY Z BRUSELU STRANA 3 & 5 ČESKÉ PŘEDSEDNICTVÍ A ZLÍNSKÝ KRAJ SPECIÁLNĚ ZAMĚŘENO NA PŮLROK ČESKÉHO PŘEDSEDNICTVÍ ZPRAVODAJSTVÍ STRANA 2 & 4 NOVINKY Z BRUSELU Několik akcí dostalo Zlínský kraj v Bruslu na scénu! Na jdn týdn si události připravné zastoupním monopolizovali

Více

Electron Density. One-el. Functions. Traditional Ab initio. Model of independent electrons. Electron correlation neglected

Electron Density. One-el. Functions. Traditional Ab initio. Model of independent electrons. Electron correlation neglected CCSD(T) Stationary Schrödingr quation H Ψ = EΨ MP Elctron corrlation Expansion ovr Slatr dt. Φ= C0Ψ 0 + CSΨ S + CDΨ D + Non-rlativistic Hamiltonian Born-Oppnhimr approximaion occ Elctron Dnsity ρ( r) ϕ

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

SPOLUPRÁCE SBĚRAČE S TRAKČNÍM VEDENÍM

SPOLUPRÁCE SBĚRAČE S TRAKČNÍM VEDENÍM SPOLUPRÁCE SBĚRAČE S TRAKČNÍM VEDENÍM Josf KONVIČNÝ Ing. Josf KONVIČNÝ, Čské dráhy, a. s., Tchnická ústřdna dopravní csty, skc lktrotchniky a nrgtiky, oddělní diagnostiky a provozních měřní, nám. Mickiwicz

Více

TEPELNÁ ZÁTĚŽ VOZU MĚSTSKÉ HROMADNÉ DOPRAVY

TEPELNÁ ZÁTĚŽ VOZU MĚSTSKÉ HROMADNÉ DOPRAVY Simulac budov a tchniky prostřdí 214 8. konfrnc IBPSA-CZ Praha, 6. a 7. 11. 214 TEPELNÁ ZÁTĚŽ VOZU MĚSTSKÉ HROMADNÉ DOPRAVY Vladimír Zmrhal ČVUT v Praz Fakulta strojní, Ústav tchniky prostřdí -mail: Vladimir.Zmrhal@fs.cvut.cz

Více

INOVACE PŘEDNÁŠEK KURZU Fyzikální chemie, KCH/P401

INOVACE PŘEDNÁŠEK KURZU Fyzikální chemie, KCH/P401 Fakulta životního prostřdí v Ústí nad Labm INOVACE PŘEDNÁŠEK KURZU Fyzikální chmi, KCH/P401 - ZAVEDENÍ EXPERIMENTU DO PŘEDNÁŠEK Vypracovala Z. Kolská (prozatímní učbní txt, srpn 2012) K několika kapitolám

Více

Vliv prostupů tepla mezi byty na spravedlivost rozúčtování nákladů na vytápění

Vliv prostupů tepla mezi byty na spravedlivost rozúčtování nákladů na vytápění Vlv prostupů tpla mz byty na spravdlvost rozúčtování nákladů na vytápění Anotac Fnanční částky úhrady za vytápění mz srovnatlným byty rozpočítané frmam používajícím poměrové ndkátory crtfkované podl norm

Více

Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,

Více

ANALÝZA KATEGORIÁLNÍCH DAT PROBLÉM VÍCENÁSOBNÉ VOLBY V ODPOVĚDI. Julie Rendlová. Robust, Jeseníky,

ANALÝZA KATEGORIÁLNÍCH DAT PROBLÉM VÍCENÁSOBNÉ VOLBY V ODPOVĚDI. Julie Rendlová. Robust, Jeseníky, ANALÝZA KATEGORIÁLNÍCH DAT PROBLÉM VÍCENÁSOBNÉ VOLB V ODPOVĚDI Juli Rndlová Katdra matmatické analýzy a aplikací matmatiky, Přírodovědcká fakulta, Univrzita Palackého v Olomouci Robust, Jsníky, 5. 9. 26

Více

Vlny v plazmatu. Lineární vlny - malá porucha určitého v čase i prostoru pomalu proměnného stavu

Vlny v plazmatu. Lineární vlny - malá porucha určitého v čase i prostoru pomalu proměnného stavu Vlny v plazmatu linární nlinární Linární vlny - malá porucha určitého v čas i prostoru pomalu proměnného stavu Linární rozvoj vličin a = a + a ( r, t) b= b + b ( r, t) a, b mohou obcně být funkcmi r, t

Více

1. Základní p ístupy k syntéze adaptivních ídících systém, schématické vyjád ení, srovnání s p edpoklady a návrhem standardních regulátor

1. Základní p ístupy k syntéze adaptivních ídících systém, schématické vyjád ení, srovnání s p edpoklady a návrhem standardních regulátor T SZ AS 1,2 1 1. Základní p ístupy k syntéz adaptivních ídících systém, schématické vyjád ní, srovnání s p dpoklady a návrhm standardních rgulátor Standardní forma zp tnovazbního ízní: Stav systému rprzntuj

Více

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praz Úloha 3: Měrný náboj lktronu Datum měřní: 18. 3. 2016 Doba vypracovávání: 10 hodin Skupina: 1, pátk 7:30 Vypracoval: Tadáš Kmnta Klasifikac: 1 Zadání 1. DÚ: Odvoďt

Více

REGULACE. Rozvětvené regulační obvody. rozvětvené regulační obvody dvoupolohová regulace regulační schémata typických technologických aparátů

REGULACE. Rozvětvené regulační obvody. rozvětvené regulační obvody dvoupolohová regulace regulační schémata typických technologických aparátů REGULACE (pokračování 2) rozvětvné rgulační obvody dvoupolohová rgulac rgulační schémata typických tchnologických aparátů Rozvětvné rgulační obvody dopřdná rgulac obvod s měřním poruchy obvod s pomocnou

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

1.1. Formulace. Hledáme rychlost u = (u 1, u 2 ) T splněna Stokesova rovnice. a tlak p ve dvourozměrné oblasti Ω tak, aby byla. µ u + p = f v Ω, (1.

1.1. Formulace. Hledáme rychlost u = (u 1, u 2 ) T splněna Stokesova rovnice. a tlak p ve dvourozměrné oblasti Ω tak, aby byla. µ u + p = f v Ω, (1. Řšní nstlačitlného proudění tkutin mtodou spktrálních prvků Libor Črmák květn 2007 Abstrakt První kapitola obsahuj podrobný algoritmus pro řšní stacionárního Stoksova problému. Druhá kapitola j věnována

Více

ZJIŠŤOVÁNÍ FREKVENČNÍCH VLASTNOSTÍ OTEVŘENÉHO OBVODU V UZAVŘENÉ REGULAČNÍ SMYČCE

ZJIŠŤOVÁNÍ FREKVENČNÍCH VLASTNOSTÍ OTEVŘENÉHO OBVODU V UZAVŘENÉ REGULAČNÍ SMYČCE Nové mtod a postp v olasti přístrojové tchnik, atomatického řízní a informatik Ústav přístrojové a řídicí tchnik ČVUT v Praz odorný sminář Jindřichův Hradc, 28. až 29. května 2009 ZJIŠŤOVÁNÍ FREKVENČNÍCH

Více

Vlny v plazmatu. Lineární vlny - malá porucha určitého stacionárního konstantního nebo v čase a/nebo v prostoru pomalu proměnného stavu

Vlny v plazmatu. Lineární vlny - malá porucha určitého stacionárního konstantního nebo v čase a/nebo v prostoru pomalu proměnného stavu Vlny v plazmatu linární nlinární Linární vlny - malá porucha určitého stacionárního konstantního nbo v čas a/nbo v prostoru pomalu proměnného stavu Linární rozvoj vličin a a+ a(,) rt b b+ b(,) rt a, b

Více

, je vhodná veličina i pro studium vyzařování energie z libovolného zdroje a také i pro popis dopadu energie na hmotné objekty:

, je vhodná veličina i pro studium vyzařování energie z libovolného zdroje a také i pro popis dopadu energie na hmotné objekty: Radiomtri a otomtri Vyzařování, přnos a účinky nrgi lktromagntického zářní všch vlnových délk zkoumá obor radiomtri, lktromagntickým zářním v optické oblasti s pak zabývá otomtri. V odstavci Přnos nrgi

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

MATEMATICKÝ MODEL POHODLÍ CESTUJÍCÍCH NA LINCE VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY

MATEMATICKÝ MODEL POHODLÍ CESTUJÍCÍCH NA LINCE VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY MATEMATICKÝ MODEL POHODLÍ CESTUJÍCÍCH NA LINCE VEŘEJNÉ HROMADNÉ DOPRAVY Jaroslav Klprlík 1 Anotac: Článk uvádí algoritmus pro přiřazní dopravních prostřdků na linky s cílm dosáhnout maximální pohodlí cstujících.

Více

PŘÍKLAD 2 1. STANOVENÍ ÚSPOR TEPLA A ROČNÍ MĚRNÉ POTŘEBY TEPLA 1.1. GEOMETRICKÉ VLASTNOSTI BUDOVY 1.2. CHARAKTERISTIKA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ

PŘÍKLAD 2 1. STANOVENÍ ÚSPOR TEPLA A ROČNÍ MĚRNÉ POTŘEBY TEPLA 1.1. GEOMETRICKÉ VLASTNOSTI BUDOVY 1.2. CHARAKTERISTIKA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ PŘÍKLAD 2 1. STANOVENÍ ÚSPOR TEPLA A ROČNÍ MĚRNÉ POTŘEBY TEPLA pro clkové zatplní panlového domu Běhounkova 2457-2462, Praha 5 Objkt má dvět nadzmní podlaží a jdno podlaží podzmní, částčně pod trénm. Objkt

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS VI. Odpor a lktrický proud Obsah 6 ODPOR A ELEKTRICKÝ PROUD 6.1 ELEKTRICKÝ PROUD 6.1.1 HUSTOTA PROUDU 3 6. OHMŮV ZÁKON 4 6.3 ELEKTRICKÁ ENERGIE A VÝKON 6 6.4 SHRNUTÍ 7 6.5 ŘEŠENÉ

Více

SROVNÁNÍ KOLORIMETRICKÝCH ZKRESLENÍ SNÍMACÍCH SOUSTAV XYZ A RGB Jan Kaiser, Emil Košťál xkaiserj@feld.cvut.cz

SROVNÁNÍ KOLORIMETRICKÝCH ZKRESLENÍ SNÍMACÍCH SOUSTAV XYZ A RGB Jan Kaiser, Emil Košťál xkaiserj@feld.cvut.cz SROVNÁNÍ KOLORIMETRICKÝCH ZKRESLENÍ SNÍMACÍCH SOUSTAV XYZ A RGB Jan Kaisr, Emil Košťál xkaisrj@fld.cvut.cz ČVUT, Fakulta lktrotchnická, katdra Radiolktroniky Tchnická 2, 166 27 Praha 6 1. Úvod Článk s

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

1. Okrajové podmínky pro tepeln technické výpo ty

1. Okrajové podmínky pro tepeln technické výpo ty 1. Okrajové podmínky pro tpln tchncké výpo ty Správné stanovní okrajových podmínk j jdnou z základních součástí jakéhokol tchnckého výpočtu. Výjmkou njsou an tplně tchncké analýzy. V násldující kaptol

Více

1 Odvození poptávkové křivky

1 Odvození poptávkové křivky Odvození poptávkové křivky Optimalizační chování domácností (maximalizace užitku) vzhledem k rozpočtovému omezení. Nejprve odvodíme deterministický model, který potom rozšíříme o stochastické prvky. Odvozené

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

4. Aplikace matematiky v ekonomii

4. Aplikace matematiky v ekonomii 4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.

časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality. Modelování dynamických systémů Matematické modelování dynamických systémů se využívá v různých oborech přírodních, technických, ekonomických a sociálních věd. Použití matematického modelu umožňuje popsat

Více

Hodnocení tepelné bilance a evapotranspirace travního porostu metodou Bowenova poměru návod do praktika z produkční ekologie PřF JU

Hodnocení tepelné bilance a evapotranspirace travního porostu metodou Bowenova poměru návod do praktika z produkční ekologie PřF JU Hodnocní tlné bilanc a vaotransirac travního orostu mtodou Bownova oměru návod do raktika z rodukční kologi PřF JU Na základě starších i novějších matriálů uravil a řiravil Jakub Brom V Čských Budějovicích,

Více