Sbírka p íklad k p edná²ce Matematická analýza I a II. Lubo² Pick

Transkript

1 Sbírka p íklad k p edná²ce Matematická analýza I a II Lubo² Pick

2

3 Obsah Kapitola. Opakování st edo²kolské látky, logika, aiomy reálných ísel. Opakování st edo²kolské látky, logika, matematická indukce Výsledky 2 2. Aiomy reálných ísel 2 Výsledky 3 Kapitola 2. Posloupnosti 5 3. Vlastní ita posloupnosti 5 Výsledky 6 4. V ty o itách 6 Výsledky 7 5. Monotónní posloupnosti, nerovnosti s logaritmy, íslo e 7 Výsledky 9 P íklady písemkové obtíºnosti Kapitola 3. ady 6. Konvergence ad úvod Výsledky 7. ady s nezápornými leny Výsledky 3 8. ady s reálnými leny 3 Výsledky 4 Kapitola 4. Limity funkcí 5 9. Limity funkcí 5 Výsledky 6. Derivace funkce, l'hospitalovo pravidlo 6 Výsledky 7. Pr b h funkce 7 Kapitola 5. Taylor v polynom 9 2. Taylor v polynom 9 Kapitola 6. Primitivní funkce 2 3. Snadné úpravy 2 4. Integrace trigonometrických funkcí 2 5. Metoda integrování per partes Substituce Lepení Integrace racionálních funkcí Integrace iracionálních funkcí Eulerovy substituce 22 Kapitola 7. Funkce více prom nných Základní pojmy 23 Výsledky 23 iii

4 iv OBSAH 22. Limita a spojitost 24 Výsledky Derivace a totální diferenciál 26 Výsledky etízkové pravidlo 28 Výsledky Implicitní funkce 29 Výsledky 29 Kapitola 8. Metrické prostory II Úplné metrické prostory Banachova v ta o kontrakci Souvislé prostory 33 Kapitola 9. Oby ejné diferenciální rovnice Základní rovnice, separace prom nných Homogenní rovnice Eaktní rovnice Lineární rovnice. ádu Lineární rovnice vy²²ího ádu Systémy lineárních rovnic. ádu 39 Kapitola. Lebesgue v integrál v R n Konvergence Lebesgueova integrálu 4 Výsledky Zám na ady a integrálu 43 Výsledky Zám na ity a integrálu Integrál závislý na parametru 44 Výsledky 46 Kapitola. K ivkový a plo²ný integrál v R n K ivkový integrál. druhu 47 Výsledky K ivkový integrál 2. druhu 49 Výsledky 5 4. Greenova v ta 5 Výsledky Plo²ný integrál. druhu 5 Výsledky Plo²ný integrál 2. druhu 52 Výsledky 53

5 KAPITOLA Opakování st edo²kolské látky, logika, aiomy reálných ísel. Opakování st edo²kolské látky, logika, matematická indukce.. V oboru reálných ísel e²te nerovnost log )..2. Nakreslete graf funkce f) =..3. Ur ete deni ní obor a obor hodnot funkce f) = Rozhodn te o správnosti následujících výrok a napi²te jejich negace. N y N : z > y < z) a R ε > α R R : a, a + ε) α < ); a R ε > α R R : a, a + ε) α < )..5. Hádanky z ostrova poctivc a padouch podle R. Smullyana): i) Jdete kolem t í obyvatel ostrova a zeptáte se: Kolik je mezi vámi poctivc? A odpoví nez eteln, tak se zeptáte B: Co íkal A? B odpoví: A íkal, ºe je mezi námi jediný poctivec. Nato ekne C: Nev te B, ten lºe! Co jsou B a C? ii) A ekne: Bu jsem já padouch a nebo B je poctivec. Co jsou A a B? iii) A ekne: Já jsem padouch, ale B je poctivec. Co jsou A a B? iv) A ekne: B a C mají stejnou povahu. Nato se zeptáte C: Mají A a B stejnou povahu? Co odpoví C?.6. i) Dokaºte, ºe 2 + 3) Q. ii) Pro která n N platí: n Q? iii) Dokaºte pomocí vhodného protip íkladu, ºe neplatí výrok iv) Nyní dokaºte, ºe neplatí ani výrok n N : n 2 + n + 4 je prvo íslo. n N, n < 4 : n 2 + n + 4 je prvo íslo..7. Dokaºte, ºe následující vztahy platí pro v²echna n N: ) ) ) n + n n = + ; k + k k + n ) n = 2 n ; k k= n ) n k = n2 n. k k=.8. Dokaºte zobecn nou Bernoulliovu nerovnost: n N 2 : + ) n + n. Návod: pouºijte matematickou indukci s krokem n n + 2.)

6 2. OPAKOVÁNÍ ST EDO KOLSKÉ LÁTKY, LOGIKA, AXIOMY REÁLNÝCH ƒísel.9. Spo t te n k= kk + )... Nech a,..., a n jsou kladná reálná ísla. Ozna me postupn A n, G n, H n aritmetický, geometrický a harmonický pr m r ísel a,..., a n, tedy Dokaºte nerovnost A n = a + + a n, n G n = n a a 2... a n, n H n = a + +. a n H n G n A n. Druhá z t chto nerovností se asto ozna uje jako tzv. AG nerovnost. Návod: pouºijte matematickou indukci s krokem n 2n a potom znovu se zp tným krokem n n k d kazu druhé nerovnosti. První nerovnost pak dokaºte pouºitím druhé nerovnosti na p evrácené hodnoty ísel a,..., a n.).. Dokaºte nerovnost.2. Dokaºte nerovnost n N : n + n n > ) n + n. n n) Návod: pouºijte AG nerovnost pro ísla a = a 2 = = a n = Výsledky n n, a n =.) Cvi ení.4: V²echny výroky jsou pravdivé. Cvi ení.5: i) B je padouch a C je poctivec; ii) oba jsou poctivci; iii) oba jsou padou²i; iv) ano. Cvi ení.6: ii) n = k 2, k N; iii) n = 4; iv) n = 4. Cvi ení.9:. Aiomy t lesa. 2. Aiomy reálných ísel jsou jednozna n deno- 2.. Dokaºte následující tvrzení: i) Jestliºe pro n jaké, y, z R platí + y = + z, pak y = z. ii) Nech R,. Pak opa ný prvek ) a inverzní prvek vány. iii) Platí: R : =. iv) Platí:, y R : ) y) = y.

7 VÝSLEDKY Nech a, b R. Dokaºte následující vztahy: 2.) = ; 2.2) a) = a; 2.3) a = ) a; 2.4) a) b = a b) = a b). Aiomy uspo ádání ) Nech, y R. Dokaºte následující vztahy: < ; 2.6) 2.7) 2.8) < < ; < y < + y 2 < < y < y < ; < y, kde 2 = + ; 2.9) 2.) 2.) Aiom o supremu. < ; < < y y < ; < < < Zjist te, zda následující mnoºiny mají supremum a inmum. Pokud ano, ur ete je. A = { n } ; n N ; { } n + ) n B = ; n N ; n { } C = n )n ; n N ; { D = q Q; q < } 3 ; E = {sin cos ; R}. Výsledky Cvi ení 2.4: sup A =, inf A = ; sup B = 3, inf B = ; 2 sup C neeistuje, inf C = ; sup D = 3, inf D neeistuje; sup E = 2, inf E = 2.

8

9 KAPITOLA 2 Posloupnosti 3.) 3.2) 3.3) 3.4) 3.5) 3.6) Limita posloupnosti základy. 3.. Který z následujících výrok platí? 3. Vlastní ita posloupnosti n = A n+ = A; n+ = A n = A; n = A 2n = A; 2n = A n = A; a n b n n n; a n < b n n < n Nalezn te p íklad posloupnosti a n takové, ºe a n konverguje, ale a n diverguje M jme dánu posloupnost {a n }. Zkonstruujeme z ní novou posloupnost {b n } pomocí jedné z následujících úprav: vyhodíme z {a n } kone n mnoho len ; p idáme do {a n } kone n mnoho len ; vyhodíme z {a n } nekone n mnoho len ; p idáme do {a n } nekone n mnoho len ; vyhodíme z {a n } kaºdý sudý len; p idáme do {a n } íslo mezi kaºdé dva leny; zp eházíme kone né mnoºství len. Rozhodn te, která z t chto operací bude mít vliv na konvergenci {b n } v závislosti na konvergenci {a n } Pomocí denice ity posloupnosti ur ete, která z následujících posloupností má a která nemá itu. V p ípadech, kdy ita eistuje, ji ur ete. 3.7) 3.8) 3.9) ) n ) 6n 2, n 5n 2, 7n 3 )n n + 2n 2 4n 4 ; sin n n 2, n + 3 n, 3 n n ; 2 n n!, n 5 2 n, n! n n Spo ítejte následující ity: 3.) 4 n n + 3 n n, n + 4) n + 3) n + 2) n ; ) ) ) 3.) n, n 2 n ) ; 3.2) n 2 n + 3 n + )n n n 5, n 2;

10 6 2. POSLOUPNOSTI 3.3) n k= kk + ), )n n3 n n n Udejte p íklad posloupnosti racionálních ísel, která konverguje k iracionálnímu íslu. Udejte p íklad posloupnosti iracionálních ísel, která konverguje k racionálnímu íslu Jestliºe se reálné íslo b opakuje nekone n mnohokrát jako len konvergentní posloupnosti {a n }, pak a n = b. Dokaºte! Výsledky Cvi ení 3.: V²echny výroky jsou platné krom 3.4) a 3.6). Cvi ení 3.2: ) n. Cvi ení 3.4: 3.7) neeistuje, 6 5,. V²echny ostatní ity jsou rovny. Cvi ení 3.6: + n )n, π n. 4. V ty o itách 4.. Vyberte konvergentní podposloupnost divergentní posloupnosti a n = ) n 2 n 2 ) Nech a n konverguje k a nech b n je omezená. Potom a nb n =. Dokaºte! 4.3. Vy²et ete konvergenci posloupnosti n n! 4.4. Rozhodn te, která z následujících posloupností je i) omezená, ii) monotonní, iii) konvergentní. Pokud eistuje ita, ur ete ji. 4.) n n, n n, n + n, n 2 + ) n, 3 /n, sin π 2n Dokaºte následující Stolzovu v tu: Nech {a n }, {b n } jsou dv posloupnosti, {b n } je rostoucí a neomezená a platí: a n+ a n = A. b n+ b n Potom také a n = A. b n 4.6. Vypo ítejte pro pevné p N p + 2 p + + n p p + 2 p + + n p 4.2) n p+ ; n p n ). p + Návod: pouºijte Stolzovu v tu.)

11 5. MONOTÓNNÍ POSLOUPNOSTI, NEROVNOSTI S LOGARITMY, ƒíslo e 7 Rekurentn zadané posloupnosti Spo ítejte itu následující rekurentn zadané posloupnosti: a = k, k, a n+ = k + a n Nech, y jsou kladná reálná ísla. Denujeme a = y, a n = ) + a n. 2 a n Dokaºte, ºe a n je klesající a konverguje k, a to bez ohledu na volbu y. Pouºijte a 4 k p ibliºnému výpo tu Spo ítejte itu následující rekurentn zadané posloupnosti: a =, a 2 =, a n = 2 a n 2 + a n ). 4.. Spo ítejte itu následující rekurentn zadané posloupnosti: a = a, a 2 = b, a n = a n 2 a n, a, b >. Výsledky Cvi ení 4.: 2 n 2 ). Cvi ení 4.3: Cvi ení 4.6: Cvi ení 4.7: Cvi ení 4.9: diverguje k +. p+, 2p. 2 + k a 5. Monotónní posloupnosti, nerovnosti s logaritmy, íslo e 5.. Nech {a n } a {b n } jsou posloupnosti reálných ísel, spl ující Dokaºte, ºe potom {a n } má itu. a n+ a n b n, n N, b n = Dokaºte, ºe posloupnost + n )n je rostoucí a ºe posloupnost + n )n+ je klesající. Odtud vyvo te, ºe ob tyto posloupnosti mají spole nou itu. Tuto itu ozna íme symbolem e. Pro kaºdé n N tedy platí 5.) + n) n < e < + ) n+ n 5.3. Nech {a n } je posloupnost kladných reálných ísel spl ující Dokaºte, ºe potom a a n =. + ) an = e a n ) an = e. a n

12 8 2. POSLOUPNOSTI 5.2) 5.3) 5.4) 5.4. Nalezn te následující ity: 5.5. Dokaºte nerovnost + 2 n) n, + n 2 ) n + 2n 2 + n) 3n, n ; n) + ) 2 2 n ; ) n, + n) n e. Návod: pouºijte Bernoulliovu nerovnost a p íklad 5.2.) 5.6. Dokaºte nerovnost 2 n n k + < log + ) < k k, k N. Návod: pouºijte nerovnost log + ), která platí pro v²echna > a pro v²echna je ostrá), a vztah + k = k+ ).) 5.7. Dokaºte nerovnost n < log n < , n N, n 2. n Návod: pos ítejte nerovnosti v p íkladu 5.6 pro k =,..., n.) 5.8. Dokaºte, ºe konverguje posloupnost a n = log n. n Návod: dokaºte, ºe posloupnost je monotónní a omezená.) 5.9. Spo t te itu ) n. n + + n n ). 2n 5.. Dokaºte nerovnosti ) n n + n ) n n! <, n! < e, n Návod: pouºijte matematickou indukci, Bernoulliovu nerovnost a denici ísla e.) 5.. Dokaºte nerovnost n ) n 5.5) < n! < e 2 n ) n+, n 2. e e Návod: pouºijte matematickou indukci a elementární nerovnosti 5.).) 5.2. Dokaºte následující v tu: Nech {a n } je posloupnost s kladnými leny, spl ující podmínku a n+ = A. a n Potom také n an = A Dokaºte, ºe n n! n = e. Návod: pouºijte v tu z p íkladu 5.2. Elementární d kaz plyne z odhad 5.5) a v ty o dvou policajtech.)

13 VÝSLEDKY Dokaºte, ºe v ta z p íkladu 5.2 neplatí obrácen. Návod: a n = 3+ )n 2 n+.) P íklady pro koumáky Spo t te itu 5.6. Nech n n ), >. b = 2, b n+ = 2 + b n, n N. Spo t te itu 2n 2 b n. Návod: Poloºte b n = 2 cos β n pro vhodné β n Bu te a n, b n posloupnosti, a n = A, b n = B. Poloºme t n = n n a k b n k. k= Dokaºte, ºe posloupnost t n konverguje a najd te její itu. Co by se stalo, kdybychom vynechali faktor n? P íklad pro etrémní koumáky Nech posloupnost {a n } spl uje podmínku Potom eistuje a m+n a m + a n, m, n N. Dokaºte! a n n. Výsledky Cvi ení 5.4: 5.2) e 2, e 3, e. 5.3),. 5.4) e,. Cvi ení 5.9: log 2. Cvi ení 5.5: log. Cvi ení 5.6: π 2.

14 2. POSLOUPNOSTI 5.9. Spo t te itu posloupnosti P íklady písemkové obtíºnosti n8 ) 2 cos n n ) Spo t te itu posloupnosti pro a, b R, a >, b >, 3 ) 3 2n + a 2n + b 3 n + )3n + 2) Pro která α R je posloupnost {a n } i) omezená, ii) konvergentní: ) ) α a n = loge n2 + ) arcsin n 4 ) n Spo t te itu posloupnosti pro α R n + α ) ) n e α. n Spo t te itu posloupnosti Spo t te itu posloupnosti + log + )) n 2 +. n n2 + π 2 arctg n ).

15 KAPITOLA 3 ady 6. Konvergence ad úvod 6.. Zjist te, zda následující ady konvergují a pokud ano, ur ete jejich sou et. 6.) nn + ), ) n n2 + 3n + 4 2n 2, ; 6.2) n= n= ; 6.3) ; { a n, kde a n = n jestliºe n je d litelné t emi; 6.4) jestliºe n není d litelné t emi. n= 6.2. M jme dánu adu n= a n. Provedeme jednu z následujících úprav: vyhodíme kone n mnoho len ; p idáme kone n mnoho len ; vyhodíme nekone n mnoho len ; p idáme nekone n mnoho len. Rozhodn te, která z t chto operací m ºe mít vliv na konvergenci. n Výsledky 7.) 7.2) Cvi ení 6.: 6.) konverguje k sou tu, diverguje, konverguje k sou tu ) diverguje. 6.3) konverguje k sou tu. 6.4) diverguje. Srovnávací kritérium. 7. ady s nezápornými leny 7.. Pomocí srovnávacího kritéria zjist te, zda následující ady konvergují i divergují. n= n 2 + 3n + 4 2n 2 + 5) 2, n 2 n 3 +, n= n= n= 3 n n n. 2 + n 3n ; 7.2. Dokaºte následující v tu: ada n= n, α R, je konvergentní práv tehdy, kdyº α >. α Návod: dokaºte, ºe pro α > lze adu n= n odhadnout shora konvergentní geometrickou α adou ) n, n= 2 a ºe pro α lze adu α n= n odhadnout zdola divergentní harmonickou α adou.)

16 2 3. ADY Cauchyovo, d'alembertovo a Raabeovo kritérium Zjist te, zda následující ady konvergují i divergují. Pouºijte bu srovnávací nebo Cauchyovo nebo d'alembertovo nebo Raabeovo kritérium. 7.3) 7.4) 7.5) 7.6) n= n! 2 n2, 2 n n!, n!) 2 2n)!, n! n n ; n= n= ) )... ) 2n+ 2 2 ; n= n= n 2 ) n= 2 + n, n n= n ) n) n 3 n, n= n log n, n= n n+ n ) n + n ; n= n ) 2n log n + cos n. 2 + cos n 7.4. Ur ete, pro které hodnoty a > konvergují následující ady. 7.7) 2n)! n!) 2 a n ; 7.8) 7.9) 7.) n= n= a n n! n n ; n a logn + ) log n) 4 ; n=2 n= n!e n n n+a. Návod: pro 7.9) pouºijte nerovnosti v p íkladu 5.6 a pro 7.) pouºijte Raabeovo kritérium.)

17 8. ADY S REÁLNÝMI ƒleny 3 Výsledky Cvi ení 7.: 7.) konverguje, diverguje, diverguje. 7.2) konverguje. Cvi ení 7.3: 7.3) konverguje Cauchy & Cvi ení 3.4), konverguje d'alembert), konverguje Cauchy & Cvi ení 5.3). 7.4) konverguje Cauchy, Cvi ení 4.3 & 3.9)), konverguje d'alembert). 7.5) konverguje Cauchy), diverguje není spln na nutná podmínka konvergence), diverguje není spln na nutná podmínka konvergence). 7.6) konverguje Cauchy), konverguje funkce + 2+ je rostoucí na intervalu [, ], a tedy adu lze shora odhadnout konvergentní adou 2 2n log n. n= 3) Cvi ení 7.4: 7.7) konverguje práv kdyº a 4, ) d'alembert a Raabe), 7.8) konverguje práv kdyº a, e) d'alembert a první nerovnost ve Cvi ení 5.), log+) 7.9) konverguje práv kdyº a, 3) základní ita ení 7.2) = a v ta z Cvi- 7.) konverguje práv kdyº a 3 2, ) Raabe). 8. ady s reálnými leny Dirichletovo, Abelovo a Leibnizovo kritérium. 8.. Vy²et ete konvergenci ad ) ) 8.) n n 3, 8.2) n= n= sinπn/3) n +, R zná kritéria pro konvergenci ad. n= n= n= 3 n + ) n 2 n n 4 n + ) n n ; cos n 2 ) n6 + n n 3). n= 8.2. Ur ete, pro která z R konvergují následující ady n 3 z n 2 n 2 n 8.3), n! zn, n 2 zn, 8.4) ) n+ z n, n n= n= z n n 2, n= n= n= n 3 3 n zn ; ) n+ z 2n+. 2n P esv d te se, ºe pro vy²et ení konvergence ady [ ] n ) a n, kde a n =, n n= nelze pouºít Cauchyovo, d'alembertovo ani Raabeovo kritérium. Dokaºte, ºe tato ada diverguje.

18 4 3. ADY Výsledky Cvi ení 8.: 8.) konverguje neabsolutn Leibniz), konverguje absolutn adu lze shora odhadnout konvergentní adou n= 3 4) n). 8.2) konverguje neabsolutn Dirichlet), konverguje absolutn adu lze shora odhadnout konvergentní adou n= n6 + n n 3) ).

19 KAPITOLA 4 Limity funkcí 9. Limity funkcí 9.. Spo t te následující ity: 9.) 9.2) sina), a >, tg 2 ), tg sin cos 3 3, sin2). cos 2 ; 9.2. Spo t te následující ity: a e 2 9.3), a >, Najd te a, b R tak, aby 2 + a b) = Spo t te následující ity: e sin cos 9.4), + 9.5) + m) n + n) m 9.5. Spo t te následující ity: + 2, m, n N, π 3 log e e. + ) ; tg 3 3 tg cos + π 6 ). 9.6) tg ) tg2), π ) 2, log ) + 4 log3 ) Spo t te následující ity: log + sin ) 9.7), e sin2) e arcsin e 2 sin π 6, + ). tg tg 9.8) 9.9) 9.7. Spo t te ity následujících posloupností: Spo t te: n n 2 ), n4 + 2n 3 n 4 + ) n ; sin2π n 2 + ). 9.) 9.) + arcsin ) log + ), + sinπ))cotgπ) ; 2 + sin cos. 5

20 6 4. LIMITY FUNKCÍ Výsledky Cvi ení 9.: a, 2, 2, 2, 3 4. Cvi ení 9.2: log a, 2 3, e. Cvi ení 9.3: a =, b = 2. Cvi ení 9.4:, 2, mn 2 m n), 2. Cvi ení 9.5: e, 3 5, 4 log 3. Cvi ení 9.6: 2,, 3. Cvi ení 9.7: e, log 2,. Cvi ení 9.8:, e, Derivace funkce, l'hospitalovo pravidlo.. Spo t te: ).) π 4 arctg Spo t te následující ity:.2) + cos )), + cos cos ), ± e 2.3. Denujme funkci f) = { e pro ; 2 pro =. Ur ete, zda má funkce f derivaci v bod a pokud ano, spo t te ji..4. Spo t te následující ity:.3).4) π 4 arcsin 3 tg 2 sin 2, 2 )tg π 2 ) ; ) 2, a + ) a 2, a >..5. Najd te asymptotu funkce pro +. f) = + + ).6. Spo t te ity následujících funkcí:.5) sin ) cos ; e e 2 sin, π 2 arctg ).

21 . PR B H FUNKCE 7.7. Spo t te derivace i jednostranné, pokud oboustranná neeistuje) následujících funkcí:.6) f) = { arctgtg 2 ) pro π 2 + kπ, k Z, π 2 pro = π 2 + kπ, k Z;.7) f) = ma{min{cos, /2)}, /2)};.8) f) = e 2 ;.9).).).2) f) = arccos + 2 ; { 2 sin f) = + cos ) pro, pro = ; f) = ), pro > ; f) = ma{ + 4 arctgsin ), }. Výsledky Cvi ení.: 2. Cvi ení.2: e 2,, ±. Cvi ení.3: f ) = 2. Cvi ení.4:.3) 3, e 2 π..4) e 6, a. Cvi ení.5: e + 2e. Cvi ení.6: e 3, 2, e 2 π..). Pr b h funkce.. Vy²et ete pr b hy následujících funkcí f) = arcsin ;.2) f) = ;.3) f) = log e; f) = log tg.4) ; 4.5) f) = sin ) cos ;.6) f) = Vy²et ete pr b hy funkcí v prvních dvou p íkladech nemusíte vy²et ovat konveitu) f) = cos cos 2, f) = cos )e 2 3 sin, f) = log ) 3 3 log, f) = ) ep + ).

22 8 4. LIMITY FUNKCÍ.3. Vy²et ete pr b h funkcí: sin 3 + cos 2, 2 π arctg 2, ), arccos 2, 4 arcsin π arctg ) 2.

23 KAPITOLA 5 Taylor v polynom 2.) 2.2) 2.3) 2.4) 2.5) 2.6) 2.7) 2.8) 2.9) 2. Taylor v polynom 2.. Napi²te Taylor v polynom funkce f) = e 2 2 stupn 3 v bod Napi²te Taylor v polynom funkce f) = stupn 3 v bod Spo t te p ibliºn e²te p ibliºn rovnici e 3 ) 3 =. Porovnejte s p esným e²ením = Pomocí Taylorova polynomu spo t te následující ity. cos e ; a + a 2 2 ; e sin + ) 3 ; sinsin ) ; cotg ; ) 6 5 ; 2 log + )) ; cos ) sin 3 ; sin e Ur ete, pro které α R jsou následující veli iny srovnatelné s α pro. Poté spo t te 2.) 2.) 2.2) Potom 2.7. Nech Dokaºte! f) α. f) = tgsin ) sintg ), = +; f) = + ), = +; f) = ), =. f) = + k + o). f)) = e k. 9

24

25 KAPITOLA 6 Primitivní funkce 3. Snadné úpravy 3.. Spo t te následující primitivní funkce: 3.) + 5) 3 d, sin2 + 7) d, 3.2) 3.3) 3.4) d 2 5, d 2 3 2, tg 2 d, sin2) d, d, d, + ) 2 d; + 2 d; arctg + 2 d; d + cos Pomocí jednoduchých substitucí spo t te následující primitivní funkce: sinlog ) d 3.5), d + ), d 2 ; 3.6) sin 2 + d, cos d, d; 3.7) d e +, d, d e ). 4. Integrace trigonometrických funkcí 4.. Pomocí trigonometrických vzorc ur ete následující primitivní funkce: 4.) sin 2 d, sin 3 d, sin 4 d; 4.2) d sin 2 cos 2, sin cos sin 4 + cos 4 d, d sin cos 3 ; 4.3) d d d cos 4 sin 3 cos 5 sin 2 cos ; 4.4) d sin sin 3 cos 5 + sin d, d 2 sin cos

26 22 6. PRIMITIVNÍ FUNKCE 5. Metoda integrování per partes 5.. Pomocí metody integrování per partes spo t te následující primitivní funkce: 5.) e sin d, arcsin d, log d; arcsin d 5.2) 2 d, + 2 ) n, arctg ) d Pomocí metody integrování per partes odvo te formule pro následující primitivní funkce: 5.3) e a sin b d, arcsin d, sinlog ) d. 6. Substituce 6.. Pomocí vhodné substituce spo t te následující primitivní funkce: log 2 3 d, 8 2 d, cos 6.) ; 2 + cos2) 6.2) 2 + d, d, 7. Lepení log + + 2) + 2 d. 7.. Procvi te si lepení primitivních funkcí na následujících p íkladech: 7.) d, e d, ma{, 2 } d; d 7.2) + sin 2 ; 2 + d; + ) d. 8. Integrace racionálních funkcí 8.. Pomocí rozkladu na parciální zlomky spo t te následující primitivní funkce: d, 2 2 d, 4 8.) ; 8.2) 3 d, d + 6, d. 9. Integrace iracionálních funkcí 9.. Spo t te následující primitivní funkce: e 2 9.) e + 2 d, 2 d, 9.2) + d, d + + +, 2. Eulerovy substituce d ; d. 2.. Pomocí Eulerových substitucí spo t te následující primitivní funkce: 2.) d , d + 2 ; , 2 2.2) 2. 2

27 KAPITOLA 7 Funkce více prom nných kde 2. Základní pojmy 2.. Na rtn te grafy následujících funkcí: f, y) = 3 2 y ), 2, y 4 2; 4 f, y) = 9 2 y 2 ; f, y) = 2 + y 2 ; f, y) = 2 + y Na rtn te graf funkce jedné prom nné) F t) = fcos t, sin t), f, y) = { y ); y < ) Ur ete a na rtn te deni ní obory následujících funkcí: f, y) = + y ; f, y) = 2 y 2 ; f, y) = 2 + y 2 ; ) f, y) = arccos ; f, y) = log y; f, y) = sin + y 2 + y Ur ete a na rtn te vrstevnice následujících funkcí: f, y) = + y; f, y) = 2 + y 2 ; f, y) = 2 y 2 ; f, y) = + y) 2 ; f, y) = y ; f, y) = 2 + 2y 2 ; f, y) = y; f, y) = e 2 2 +y 2 ; f, y) = y > ) Spo t te f, y 2y ), jestliºe f, y) = 2 +y Ur ete ft), jestliºe f ) y 2 +y = 2 > ) Nech z = y + f ) a z = pro y =. Ur ete funkce f a z Nech z = + y + f y) a z = 2 pro y =. Ur ete funkce f a z Ur ete f, y), jestliºe f + y, y ) = 2 y 2. Výsledky Cvi ení 2.: Cvi ení 2.2: trojúhelník, sféra, kuºel, paraboloid. F t) = { [ 3 4 π + 2kπ, π 4 + 2kπ]; π 4 + 2kπ, 5π 4 + 2kπ). 23

28 24 7. FUNKCE VÍCE PROM NNÝCH Cvi ení 2.3:, ) [, ); kruh { 2 + y 2 } ; dopln k téhoº kruhu v R 2 ; plocha ohrani ená dv ma tupými úhly vymezenými p ímkami y = a y = 2 bez po átku; polorovina { + y < }; sjednocení mezikruºí {2kπ 2 + y 2 2k + )π}. Cvi ení 2.4: rovnob ºné p ímky, soust edné kruºnice, hyperboly se spole nou asymptotou y = ±, rovnob ºné p ímky, svazek paprsk vycházejících z po átku bez po áte ního bodu; soust edné podobné elipsy, hyperboly leºící v kvadrantech I a III s asymptotami blíºícími se k sou- adným osám; k ivky y = C log. Cvi ení 2.5: f, y ) = f, y). Cvi ení 2.6: ft) = + t 2. Cvi ení 2.7: ft) = 2t + t 2, z, y) = + y. Cvi ení 2.8: ft) = t 2 t 2, z, y) = 2y + y) 2. Cvi ení 2.9: f, y) = 2 y +y. 22. Limita a spojitost 22.. Nech Dokaºte, ºe a tedy neeistuje Nech Dokaºte, ºe sice ale p esto neeistuje. f, y) = y + y. ) f, y) =, y f, y) = y f, y) [,y] [,] ) f, y) = y 2 y 2 2 y 2 + y) 2. y f, y) [,y] [,] ) f, y) =, ) f, y) =, Nech Dokaºte, ºe sice ani jedna z it neeistuje, ale p esto eistuje. ƒemu se tato ita rovná? f, y) = + y) sin f, y) y ) f, y) [,y] [,] ) ) sin. y ) f, y) y

29 22. LIMITA A SPOJITOST 25 kde Spo t te ) f, y) a y b a y b f, y) = 2 + y y 4, a = b = ; y ) f, y), a f, y) =, a =, b = +; + y ) π f, y) = sin, a = b = ; 2 + y y + y ), a =, b = ; f, y) = y tg f, y) = log + y), a =, b = Spo t te následující ity: = + y [,y] [, ] 2 y + y 2 ; Dokaºte, ºe funkce = siny) ; [,y] [,a] = [,y] [,a] 2 + y 2 ) 2 y 2 ; = [,y] [,a] + ) 2 +y ; = log + ey ) [,y] [,] 2 + y. 2 f, y) = { 2y 2 +y y 2 ); 2 + y 2 = ), je spojitá jako funkce prom nné i prom nné y, ale není spojitá jako funkce dvou prom nných Dokaºte, ºe funkce f, y) = { 2 y 4 +y y 2 ); 2 + y 2 = ), je spojitá v bod [, ] po v²ech p ímkách = t cos α, y = t sin α, t, ), α [, 2π], ale p esto není v bod [, ] spojitá Zjist te, zda je funkce spojitá na svém deni ním oboru Zjist te, zda lze funkci f, y) = arcsin ) y f, y) = 2 + y 2 2 y y 2 dodenovat v bod [, ] tak, aby byla spojitá na R Zjist te, zda lze funkci f, y) = 3 y 3 y dodenovat na p ímce y = tak, aby byla spojitá na R 2.

30 26 7. FUNKCE VÍCE PROM NNÝCH 22.. Zjist te, zda lze funkci f, y) = dodenovat v bod [, ] tak, aby byla spojitá na R 2. sin) sin3 y) cos 2 + y 2 ) Najd te podmínky na konstanty a, b, c, aby eistovala ita = y [,y] [,a] a 2 + by + cy 2. Výsledky Cvi ení 22.3: Cvi ení 22.4:, ; 2, ;, ;, ;,. Cvi ení 22.5: ; a; ; e; log 2. Cvi ení 22.8: ano Cvi ení 22.9: ano, f, ) =. Cvi ení 22.: ano, f, ) = Derivace a totální diferenciál 23.. Dokaºte, ºe pro funkci dvou prom nných f, y) a pro libovolné pevné a R platí Spo t te f d, a) = f, a) d ) f, ), jestliºe f, y) = + y ) arcsin. y Spo t te f, ), f y, ), jestliºe f, y) = 3 y. Má funkce f, y) v bod [, ] totální diferenciál? Má funkce v bod [, ] totální diferenciál? Má funkce v bod [, ] totální diferenciál? f, y) = y 3 f, y) = e 2 +y Spo t te pro funkce f, y) = f, f y, 2 f 2, 2 f y, 2 f y 2 f, y) = 4 + y y 2 ; f, y) = y + y ; f, y) = y 2 ; cos 2 y f, y, z) = ; f, y) = y ; f, y) = log + y 2) ; f, y) = arctg y ; ) z ; f, y, z) = y z ) ; f, y, z) = y z). y

31 VÝSLEDKY Nech Dokaºte, ºe Nech Dokaºte, ºe neeistuje f, y) = {y 2 y 2 2 +y, y 2 ;, 2 + y 2 =. 2 f y, ) 2 f, ). y f, y) = { 2y 2 +y, y 2 ;, 2 + y 2 =. 2 f, ). y Spo t te první a druhý diferenciál následujících funckí: f, y) = m y n, f, y) = y, f, y) = log 2 + y 2 ; f, y) = e y, f, y) = y + yz + z, f, y) = z 2 + y Odhadn te chybu následujících veli in v závislosti na chyb jednotlivých promn nných: ) + y + ) m + ) n, log + ) log + y), arctg. + y 23.. Objem válce s podstavou o polom ru r a vý²ce h je dán vzorcem V = πr 2 h. Je-li vý²ka v = 5 cm zm ena s p esností na.5 cm a polom r podstavy r = 3 cm je zm en s p esností na. cm, ur ete, s jakou nejv t²í moºnou chybou je ur en objem válce V Plocha trojúhelníka ABC je dána vzorcem P = bc sin α 2 Víme-li, ºe veli iny b, c, α byly nam eny s p esností na % a úhel α byl zm en na π/4, dokaºte, ºe výsledná plocha je ur ena s maimální chybou men²í neº 2.8%. Výsledky Cvi ení 23.2:. Cvi ení 23.3:,, ne. Cvi ení 23.4: ne. Cvi ení 23.5: ano. Cvi ení 23.: + m + ny, y, + y. Cvi ení 23.:, 345π.

32 28 7. FUNKCE VÍCE PROM NNÝCH 24. etízkové pravidlo 24.. Spo t t kde a Spo t t kde a T r a T θ, T, y) = 3 y + y 3 = r cos θ, y = r sin θ. dh dt, Ht) = sin 3 y = 2t 2 3, y = t2 2 5t Polom r podstavy r rota ního kuºele roste o 2 cm za sekundu a vý²ka h roste o 3 cm za sekundu. Spo t t míru r stu objemu V v okamºiku, kdy r = 5 cm a h = 5 cm Lokální atmosférická teplota T závisí na prostorových sou adnicích, y, z daného bodu a na ase t podle vzorce T, y, z, t) = y + t). + z Teplom r je p ipevn n k meteorologickému balónu, který se pohybuje atmosférou po k ivce dané parametrickými rovnicemi Ur ete míru zm ny teploty v ase t =. = t, y = 2t, z = t t 2. Výsledky Cvi ení 24.: T r = 3r2 cos 3 θ + sin 3 θ ) 2r cos θ sin θ, T θ = 3r2 sin θ cos θ) cos θ sin θ + r 2 sin 2 θ cos 2 θ ). Cvi ení 24.2: dh dt = t + 5) cos 2 t2 + 5t ). Cvi ení 24.3: dv dt = 25π cm3 s. Cvi ení 24.4: teplota roste o 4 stup za hodinu.

33 VÝSLEDKY Implicitní funkce 25.. Vypo ítejte derivaci y ) implicitní funkce y = y) denované následujícími p edpisy: ) y 2 + 2y y 2 = a 2, log 2 + y 2 = arctg ; ) y ε sin y = < ε < ); y = y y), y = 2 arctg y ) Vypo ítejte parciální derivaci z y implicitní funkce z = z, y) denované p edpisem z 2 + y 3 = z y Vypo ítejte parciální derivaci y implicitní funkce = y, z) denované p edpisem y 3 = y z Vypo ítejte parciální derivaci y z implicitní funkce y = y, z) denované p edpisem e yz 2 z log y = π Vypo ítejte parciální derivaci z implicitní funkce z = z, y) denované p edpisem F 2 z 2, y 2 + z) =, kde F je diferencovatelná funkce dvou prom nných. Výsledky Cvi ení 25.: + y y, + y y, ε cos y, y 2 log ) 2 log y), y. Cvi ení 25.2: 3y 4 + z y 2zy 2. Cvi ení 25.3: 3y 2 y 3. Cvi ení 25.4: 2 y log y y 2 e yz yze yz 2. z Cvi ení 25.5: 2 F 2 z 2, y 2 + z ) + z F 2 z 2, y 2 + z ) 2z F 2 z 2, y 2 + z) F 2 z 2, y 2 + z).

34

35 KAPITOLA 8 Metrické prostory II 26. Úplné metrické prostory 26.. Zopakujte si d leºité denice z teorie metrických prostor : metrika, metrický prostor, koule, otev ená mnoºina, uzav ená mnoºina, vnit ek, uzáv r, konvergentní posloupnost, ita posloupnosti, kompaktní mnoºina, omezená mnoºina, spojité zobrazení Pr m rem neprázdné mnoºiny A v metrickém prostoru P, ϱ) nazveme íslo diam A = sup {ϱ, y);, y A}. Ur ete pr m r následujících mnoºin: [, ],, 2), {3} [, ), jednotková koule v R n, jednotková krychle v R n,, ), interval, 5) s diskrétní metrikou Charakterizujte v²echny neprázdné podmnoºiny metrického prostoru P, ϱ), které mají nulový pr m r Dokaºte diam A = diam Ā Nech P, ϱ) je metrický prostor a nech { n } P je posloupnost. ekneme, ºe { n } je cauchyovská, jestliºe spl uje BolzanovuCauchyovu podmínku, tedy ε > n m, n n : ϱ n, m ) < ε. V prostoru reálných ísel s eukleidovskou metrikou platí, ºe posloupnost je konvergentní práv kdyº je cauchyovská. Dokaºte na p íkladu, ºe v obecném metrickém prostoru toto tvrzení neplatí Metrický prostor P, ϱ) se nazývá úplný, jestliºe kaºdá cauchyovská posloupnost { n } P je konvergentní. Dokaºte, ºe i) prostor a, b) není úplný; ii) prostor [a, b] je úplný; iii) prostor C[, ]) s metrikou je úplný. ϱf, g) = sup f) g) [,] Charakterizujte v²echny cauchyovské posloupnosti v diskrétním prostoru. Je diskrétní prostor úplný? Dokaºte následující Cantorovu v tu: Metrický prostor P, ϱ) je úplný práv tehdy, kdyº má následující vlastnost: pro libovolnou posloupnost uzav ených mnoºin spl ující P A A 2 A n... diam A n je mnoºina n N A n jednobodová. Návod: K d kazu nutnosti vezm te pro kaºdé n libovolný bod n A n a dokaºte, ºe posloupnost { n } je cauchyovská a tedy konvergentní a ºe její ita je zárove jediným bodem v pr niku mnoºin A n. 3

36 32 8. METRICKÉ PROSTORY II K d kazu posta itelnosti denujte pro danou cauchyovskou posloupnost { n } mnoºiny A n = { n, n+, n+2,... } a dokaºte, ºe mají jednobodový pr nik, který je zárove itou posloupnosti { n } Ukaºte na p íkladu, ºe odstraníme-li z Cantorovy v ty p edpoklad diam A n, pak se m ºe stát, ºe pr nik mnoºin A n bude prázdný. Shoduje se tento fakt s va²í intuitivní p edstavou? 26.. Nech P = R a je-li, y = ; y je-li =, y ; ϱ, y) = je-li = y; + y je-li, y, y. Ur ete, zda i) P, ϱ) je metrický prostor; ii) P, ϱ) je úplný; iii) P, ϱ) je kompaktní. Ur ete diam P. Najd te v²echny otev ené mnoºiny a v²echny kompaktní mnoºiny prostoru P, ϱ). 27. Banachova v ta o kontrakci 27.. Zobrazení T : P P se nazývá kontrakcí, jestliºe eistuje γ [, ) tak, ºe ϱt, T y) γϱ, y) pro kaºdé, y P. Dokaºte následující tvrzení: Nech T je kontrakce na P a P je libovolný bod. Denujeme posloupnost { n } p edpisem n+ = T n, n N. Potom { n } je cauchyovská Dokaºte, ºe d sledkem tvrzení z p íkladu 27. je následující Banachova v ta o kontrakci : Nech P, ϱ) je úplný metrický prostor a nech T : P P je kontrakce. Potom T má na P práv jeden pevný bod, to jest eistuje práv jedno P takové, ºe T = Nech P = N a ϱm, n) = m n. Ur ete, zda i) P, ϱ) je metrický prostor; ii) P, ϱ) je úplný; iii) P, ϱ) je kompaktní. Ur ete diam P. Najd te v²echny otev ené mnoºiny a v²echny kompaktní mnoºiny prostoru P, ϱ). Jsou jednobodové mnoºiny otev ené? Nech P = N a ϱm, n) =. Denujeme zobrazení m n T : n n +. Zobrazení T z ejm nemá pevný bod. Lze odtud usoudit, ºe T není kontrakce na P? Jestliºe ne, dokaºte to n jak jinak Nech P = N \ {} a ϱm, n) =. Denujeme zobrazení m n T : n n 2. Zobrazení T z ejm nemá pevný bod. Dokaºte, ºe p esto je T kontrakce na P. Jak je to moºné? Nech P, ϱ) je metrický prostor a nech T : P P spl uje ϱt, T y) < ϱ, y) pro kaºdé, y P, y. Uv domte si, ºe T nemusí být kontrakce na P! Zobrazení mající tuto vlastnost nazýváme neepanzívní. Najd te p íklad metrického prostoru a neepanzívního zobrazení, které není kontrakcí.

37 28. SOUVISLÉ PROSTORY Platí následující modikace Banachovy v ty pov²imn te si, ím je vyváºeno zeslabení p edpokladu na zobrazení T ): Nech P, ϱ) je kompaktní metrický prostor a nech T : P P je neepanzívní. Potom T má na P práv jeden pevný bod. Dokaºte! Návod: Studujte vlastnosti funkce f : P R denované p edpisem f) = ϱ, T ). 28. Souvislé prostory 28.. V prostoru C[, ]) se supremovou metrikou denujeme pro dv dané funkce g, h C[, ]) úse ku: f : [, ] C[, ]), fa) = g + ah g). Dokaºte, ºe: i) úse ka je oblouk; ii) f je stejnom rn spojitá na [, ]; iii) C[, ]) je obloukov souvislý prostor. V²imn te se, ºe sta í dokázat jen jedno z tvrzení i)iii). Které? Zkoumejte, jaké vlastnosti musíme vyºadovat od metrického prostoru, aby v n m bylo moºno n jakým rozumným zp sobem zadenovat úse ku a aby platila analogie tvrzení z p edcházejícího p íkladu. Pro jakou t ídu metrických prostor takto automaticky zajistíme obloukovou souvislost? Ukaºte na p íkladu, ºe uzáv r obloukov souvislé mnoºiny nemusí být obloukov souvislá mnoºina. Návod: Graf funkce f) = sin ),, ) Ukaºte p íklad mnoºin A, B takových, ºe A B A, A je obloukov souvislá mnoºina, B není obloukov souvislá mnoºina. Návod: V R 2 vezm te v²echny úse ky délky vycházející z po átku a mající sm rnice n, n N. To je mnoºina A. Mnoºinu B vytvo te tak, ºe k A p idáte je²t úse ku {[, y] R 2 ; [ 2, ], y = }. Je A obloukov souvislá? Co je A? Platí A B A? Je B obloukov souvislá?

38

39 KAPITOLA 9 Oby ejné diferenciální rovnice 2. Základní rovnice, separace prom nných 2.. Uhodn te n jaká e²ení následujících diferenciálních rovnic. Najdete v²echna e²ení? y = ; y = 5; y = 3; y = sin2); y = 4y Uhodn te partikulární e²ení diferenciálních rovnic, která spl ují p íslu²nou okrajovou podmínku: y = 3, y2) = 4; y = 4y, y) = Zkuste najít n které obecné e²ení diferenciální rovnice y + λ 2 y =. Nyní najd te partikulární e²ení, které spl uje okrajové podmínky y) = 4, y ) = Najd te v²echna maimální e²ení diferenciálních rovnic y = + y 2 ; y = sin y 2 + 2y + ) { ; y y log 2 y), y >, = y =. Na rtn te integrální k ivky e²ení v²ech uvedených rovnic! 2.5. Jestliºe se potkají dv e²ení rovnice y = f, y), kde f je spojitá funkce dvou prom nných, pak na sebe tato dv e²ení navazují hladce. Dokaºte! Rovnici y = y log y e²í nap íklad funkce y a y = e, R. Tato dv e²ení se potkávají v bod [, ], ale nenavazují na sebe hladce. Pro to není ve sporu se shora uvedeným tvrzením? 2.6. Najd te maimální partikulární e²ení diferenciální rovnice y sin = y log y, procházející bodem [ π 2, e] a na rtn te jeho graf. Jaký je maimální interval, na který lze toto e²ení roz²í it? 2.7. Najd te v²echna maimální e²ení diferenciálních rovnic Na rtn te integrální k ivky e²ení! y = +y ; y y = b + 2 y ), y) = Primitivní popula ní model popisuje vývoj ur ité populace tak, ºe r st po tu jedinc P v ase t je p ímo úm rný P, takºe podle tohoto modelu je vývoj populace ízen diferenciální rovnicí dp dt = kp, kde k > je konstanta úm rnosti, závislá na typu populace, kterou studujeme. Dokaºte, ºe pak P t) = Ae kt, 35

40 36 9. OBYƒEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE kde A je n jaká kladná konstanta daná po áte ním stavem populace. Promyslete si sestavení a vy e²ení obecné rovnice a pak spo ítejte následující p íklad. Bakteriální kultura roste v ase t úm rn po tu jednotlivých bakterií P = P t). Na za átku je 5 bakterií, po jednom dni máme 8 bakterií. Bude jich po dal²ích 2 hodinách více neº? Vedla by lineární aproimace ke stejnému záv ru? 2.9. Podstatn lep²í popula ní model neº ten, který byl popsán v p edcházejícím p íkladu, bere v potaz tzv. maimální kapacitu ºivotního prost edí. Ta je dána íslem N, coº je nejvy²²í moºný po et len dané populace, který se je²t v daném ºivotním prost edí uºiví. Ov te si, ºe podle tohoto modelu je vývoj populace ízen diferenciální rovnicí dp = kp N P ). dt Dokaºte, ºe vývoj stavu populace je pak dán funkcí P t) = knent + ke Nt, kde k je konstanta úm rnosti. Vy e²te si obecnou rovnici a na rtn te její integrální k ivky. Porovnejte s p íkladem 2.8! Pak spo ítejte následující p íklad. Na ostrov, který skýtá pastvu pro nejvý²e 2 králík, dorazilo 3 králík. Po prvním roce jich zde ºije jiº 8. Bude jich za dal²í rok více neº? 2.. Králík roste podle tzv. allometrického zákona d dv = k v, kde, v ozna ují ²í ku a vý²ku králíka a k je konstanta úm rnosti. Na za átku má králík ²í ku 5 cm a vý²ku 5 cm. Po n jaké dob má králík cm vý²ky a 5 2 cm ²í ky. Králík má k dispozici noru o ²í ce 2 cm a vý²ce 24 cm. Ur ete, zda mu bude d ív úzká nebo nízká. 2.. Brouk Pytlík nemá rád teplotu niº²í neº 6 mraven ích stup. V 8 hodin ráno mravenci zatopí v peci, na níº Pytlík leºí, na stup, a odejdou do práce. Ve 3 hodin je teplota v místnosti 8 stup. Místnost vychládá rychlostí úm rnou rozdílu okamºité teploty v místnosti a venkovní teploty, která je stabiln rovna 2 stup m. Vydrºí Pytlík do 8 hodin, kdy se mravenci vrátí z práce a zatopí? 2.2. P i pádu s padákem je sm rem dol p sobící gravita ní síla rovna G = mg, kde m je hmotnost para²utisty a g je konstantní gravita ní zrychlení. Sm rem vzh ru p sobící síla F zp sobená odporem padáku je úm rná kvadrátu okamºité rychlosti, tedy F = kv 2, kde k je materiálová konstanta vyjad ující kvalitu padáku. Vývoj okamºité rychlosti sm rem dol v = vt) v ase t je tedy ízen diferenciální rovnicí mg kv 2 = m dv dt. Dokaºte, ºe bez ohledu na po áte ní rychlost v) se bude rychlost po dost dlouhé dob za p edpokladu, ºe para²utista ská e z dostate né vý²ky) blíºit konstantní rychlosti v = mg k Popi²te k ivku v rovin, která prochází bodem [2, 3] s následující vlastností: úse ka libovolné její te ny, vymezená pr se íky této te ny se sou adnými osami, se p lí v bod dotyku. 2. Homogenní rovnice 2.. Má-li diferenciální rovnice tvar y = f y ), lze ji p evést substitucí z = y z ) + z) = fz), na tvar coº je rovnice se separovanými prom nnými. e²te diferenciální rovnice y = y + sin 2 y ), y = y2 + y, y = y, y = y log,, y >. y

41 22. EXAKTNÍ ROVNICE e²te diferenciální rovnice 2.3. e²te diferenciální rovnice y = e y/ + y, y = y2 2 2, Má-li diferenciální rovnice tvar 2 + y 2) y = 2y. y = + y y, y = y + y. 22. Eaktní rovnice 22.) h, y)y + f, y) = a eistuje-li funkce dvou prom nných u, y) taková, ºe 22.2) u y = h, y), u = f, y), pak se taková rovnice nazývá eaktní. Dosud jsme chápali u jako funkci dvou prom nných. Protoºe ale y = y), m ºeme chápat u = u, y)) jako funkci jedné prom nné ). Pak ji derivujeme neparciáln,tj. du d. Pov²imn me si, ºe eaktní rovnici 22.) lze p epsat ve tvaru du d = a ºe v²echna e²ení této rovnice jsou implicitn popsána pomocí k ivek tvaru u, y) = C, C R. Jak rozpoznat, zda je daná rovnice eaktní? Jsou-li funkce h a f spojité, pak k tomu, aby rovnice 22.) byla eaktní, musí platit h = f y. Tento vztah lze povaºovat za test eaktnosti rovnice. Navíc jej lze snadno ov it. Jestliºe je rovnice eaktní, jak najít funkci u? M ºeme se nap íklad pokusit tuto funkci uhodnout. Pokud to nejde, m ºeme funkci u získat integrací vztah 22.2). 22.3) 22.4) 22.5) 22.. e²te diferenciální rovnice y logsin ) 3y 2) + y cotg + 4 =, y 3 2 y 2 + e y) + 2y = ; y + y 2 = y ; y 2 siny) 2y ) + cosy) y siny) =. Jestliºe rovnice není eaktní, m ºeme ji n kdy p evést na eaktní tvar pomocí integra ního faktoru. Rovnici 22.) vynásobíme zatím neznámou funkcí ϕ. Aby byla tato nová rovnice eaktní, musí splnit test, tj. musí platit hϕ) = fϕ) y, tedy 22.6) ϕ h + h ϕ = f ϕ y + ϕ f y, coº je ale parciální diferenciální rovnice pro ϕ. To je úloha t º²í neº p vodní rovnice. Z tohoto d vodu v t²inou hledáme funkci ϕ závislou jen na jedné ze dvou prom nných. Pokud nap. ϕ = ϕ), pak je ϕ y = a 22.6) získá tvar ϕ ϕ = h f y h ), a to je jiº snadno e²itelná rovnice pro ϕ se separovanými prom nnými Uvaºujte diferenciální rovnici y 3y = 2) + y 2 6y =. P esv d te se, ºe rovnice není eaktní. Hledejte integra ní faktor ve tvaru ϕ = ϕy) a rovnici vy e²te.

42 38 9. OBYƒEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 23.. Diferenciální rovnice tvaru 23. Lineární rovnice. ádu y + p)y = q), kde p, q jsou funkce jedné prom nné, se nazývá lineární rovnicí. ádu. e²te následující diferenciální rovnice pomocí integra ního faktoru. y + y = ; y 4y = Rovnice tvaru y + y = 2, y2) = 3 ; y + 3y =, y) = ; y 2y = 4 + e, y) = ; y + y e =, ya) = b a)y ) + b)y) α = b), α,, se nazývá Bernoulliova. Substitucí y = z α p evedeme Bernoulliovu rovnici na lineární. Tu vy e²íme a dopo ítáme y ze substituce. e²te následující Bernoulliovy diferenciální rovnice: y + y = y 2 log ; y + 2y = 2 3 y Lineární rovnice vy²²ího ádu 24.. U následujících diferenciálních rovnic nalezn te fundamentální systém e²ení a uhodn te alespo jedno partikulární e²ení. y 5y + 4y = e 3 ; y y + y y = sin ; y y = e 2 + ). Návod: Partikulární e²ení hledejte po ad ve tvaru y = ae 3, y = a sin) + b cos) a y = ae 2 + be + ce, dosa te do rovnice a dopo ítejte reálné koecienty a, b, c U následujících diferenciálních rovnic nalezn te reálný fundamentální systém e²ení a uhodn te partikulární e²ení. y + 4y = cosn); y y = 3. Návod: Partikulární e²ení hledejte ve tvaru y = a sinn) + b cosn), respektive ve tvaru y = a 3 + b 2 + c + d, dosa te do rovnice a dopo ítejte reálné koecienty a, b, c, d Zrekonstruujte nehomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koecienty, jestliºe víte, ºe její fundamentální systém e²ení je [e, e ] ; [, 2 ] Metodou sniºování ádu vy e²te rovnici Návod: Poloºte z = y. y = 4 y, y) =, y ) = y ) =.

43 25. SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ROVNIC. ÁDU Nalezn te reálný fundamentální systém e²ení následujících lineárních homogenních diferenciálních rovnic: y 4) + y 3y 5y 2y = ; y 4) + 2y + y = ; y + 4y + 3y = ; y + y 2y =. 25. Systémy lineárních rovnic. ádu 25.. Nech, y, z jsou diferencovatelné funkce prom nné t R. e²te systém diferenciálních rovnic = 2 y z y = 2 y 2z z = 2z + y Nech, y, z jsou diferencovatelné funkce prom nné t R. e²te systém diferenciálních rovnic = 3 2y z y = 3 4y 3z z = 2 4y Nech, y, z jsou diferencovatelné funkce prom nné t R. e²te systém diferenciálních rovnic = 2 + 2z y y = + 2z z = y z Nech, y, z jsou diferencovatelné funkce prom nné t R. e²te systém diferenciálních rovnic = 2y z y = y + z z = y Nech, y, z jsou diferencovatelné funkce prom nné t R. e²te systém diferenciálních rovnic = 4 + 5y 2z y = 2 2y + z z = y + z Nech, y, z jsou diferencovatelné funkce prom nné t R. e²te systém diferenciálních rovnic = y + z y = + y z z = 2z y.

44 4 9. OBYƒEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Nech, y, z jsou diferencovatelné funkce prom nné t R. e²te systém diferenciálních rovnic = 2 + y y = 2y + 4z z = z.

45 KAPITOLA Lebesgue v integrál v R n 35. Konvergence Lebesgueova integrálu 35.. Vy²et ete, pro které hodnoty p íslu²ných parametr konvergují následující Lebesgueovy integrály: 35.) 35.2) 35.3) s log ) k e d, k Z; p ) q d; p e d; log α 35.4) + k d; π/2 35.5) tg ) a d; 35.6) + q d; 35.7) 35.8) 35.9) 35.) 35.) π p cos a p log sin a d; a d; a + d; log p d; d; 35.2) log + e ) d; 35.3) 35.4) sin p d; sin d Vy²et ete, pro které hodnoty p íslu²ných parametr konvergují následující Lebesgueovy integrály: 35.5) 35.6) π 2 arctg ) α d; arccos log q /) d. 4

46 42. LEBESGUE V INTEGRÁL V R n Výsledky Cvi ení 35.: 35.) : s >, k > ; 35.2) : p, q > ; 35.3) : p > ; 35.4) : α >, k > ; 35.5) : a, ); 35.6) : < p + < q; 35.7) : a R < p < 3; 35.8) : < a ; 35.9) : a R; 35.) : a, 2 ); 35.) : p > 2 ; Cvi ení 35.2: 35.2) : konverguje; 35.3) : nekonverguje pro ºádné reálné p; 35.4) : nekonverguje. 35.5) : α < ; 35.6) : q < 3 2.

47 VÝSLEDKY Zám na ady a integrálu 36.. V následujících p íkladech rozvi te integrovanou funkci v adu, ov te moºnost zám ny ady a integrálu a vyjád ete integrál jako íselnou adu. 36.) log + ) d; 36.2) 36.3) 36.4) 36.5) 36.6) 36.7) 36.8) 36.9) 36.) 36.) Cvi ení 36.: 36.5) : log ) d; e d; e + d; p + q d; e cos d; p log d; p log + d; p log + 2 d; log log ) d; log log + ) d. Výsledky 36.) : π ) : π2 6 ; π ) : 6 ; π ) : 2 ; ) ) k p + kq, < p < q; p k + )q k= 36.6) : ) k k! 2k)! ; k= ) ) :, p > ; p + k + k=

48 44. LEBESGUE V INTEGRÁL V R n 36.8) : ) 2 ) k, p > ; p + k + k= 36.9) : ) k+ 2k + p + ; k= 36.) : 2 π2 6 ; 36.) : π log Zám na ity a integrálu 37.. V následujících p íkladech vy²et ete, zda lze zam nit itu a integrál, a pokud ano, spo t te itu. 37.) 37.2) 37.3) 37.4) 37.5) n p + n 2 2 d; n d; + 2n d + d; n )n /n log + n) n e n d. e cos d; 38. Integrál závislý na parametru 38.. Vy²et ete deni ní obor funkce F a její spojitost, najd te ity v krajních bodech nebo se o to aspo pokuste), vyjád ete derivaci funkce podle v ty o derivování integrál závislých na

49 38. INTEGRÁL ZÁVISLÝ NA PARAMETRU 45 parametru. 38.) 38.2) 38.3) 38.4) 38.5) 38.6) 38.7) 38.8) 38.9) 38.) 38.) F a) = F a) = F a) = F a) = F a) = F a) = F a) = F a) = F a) = F a) = F a) = π π a e d; a + 2 d; + a d; e a cos d; sin a + 2 d; sin + a 2 d; a log d; e a d; log + a sin ) arcsin a tg a d. d; d;

50 46. LEBESGUE V INTEGRÁL V R n Rozhodn te, pro které hodnoty parametr konvergují následující Lebesgueovy integrály a spo t te jejich hodnoty pomocí v ty o derivování integrál závislých na parametru. 38.2) 38.3) 38.4) 38.5) 38.6) 38.7) 38.8) 38.9) Cvi ení 38.2: Ja) = π F a, k) = Ka, b) = F a) = F p, q) = F a, b) = F a) = F a) = log + a cos ) d; cos k sina) e d; π 2 loga ) b d; arctga sin ) d; sin p ) q ) d; log arctga) arctgb) d; e a d; a log d. Výsledky 38.2) : Ja) = π arcsin a, a [, ]; a ) 38.3) : F a, k) = arctg, a R, k, ); k 38.4) : Ka, b) = π log a + b ), a, b R, b ; b 38.5) : F a) = π 2 log a + ) + a ) : F p, q) = log, a R; ) p + q +, p >, q >, p + q > ; p + )q + ) 38.7) : F a, b) = π 2 log a, a, b > nebo a = b R; b 38.8) : F a) = π2 6a 2 ; 38.9) : F a) = log a +.

51 KAPITOLA K ivkový a plo²ný integrál v R n 39.. Spo t te délku oblouku mezi body [,, ] a [3, 3, 2]. 39. K ivkový integrál. druhu C = {[, y, z] R 3 ; = 3t, y = 3t 2, z = 2t 3 } Spo t te délku k ivky C = {[r, ϕ] R 2 ; r = a sin 3 ϕ ), ϕ [, 3π]} 3 kde a > Spo t te délku prostorové k ivky C, zadané rovnicemi y = a arcsin a, od bodu [,, ] do bodu [, y, z ], kde a >. a 2 z = a 4 log a a Ur ete, která k ivka má v t²í délku, zda kruºnice o polom ru a nebo elipsa s poloosami, 2a, kde a > Spo t te k ivkový integrál C 2 + y 2 ds, kde C je kruºnice se st edem v bod [ 2, ] o polom ru Spo t te k ivkový integrál C e 2 +y 2 ds, kde C je konvení uzav ená k ivka sloºená ze t í oblouk, zadaných v polárních sou adnicích pomocí následujících parametrizací: kde a >. ϕ =, r [, a]; r = a, ϕ [, π 4 ]; ϕ = π, r [, a], Spo t te k ivkový integrál 2 + y 2 + z 2) ds, kde C je oblouk ²roubovice, zadaný parametricky = a cos t, y = a sin t, z = bt, t [, 2π]. C 47

52 48. K IVKOVÝ A PLO NÝ INTEGRÁL V R n Spo t te k ivkový integrál kde C je obvod astroidy, kde a >. C ) y 3 ds, C = {[, y] R 2 ; y 2 3 = a 4 3, T ºi²t drátu tvaru rovinné k ivky C, jehoº lineární hustota je dána f, y), má sou adnice T = [, y ], kde = f, y) ds, y = yf, y) ds, M C M C p i emº M = f, y) ds je hmotnost drátu. C Ur ete sou adnice t ºi²t oblouku homogenní cykloidy, zadané parametricky kde a >. = at sin t), y = a cos t), t [, π], 39.. Dokaºte, ºe je-li k ivka zadána v polárních sou adnicích v R 2 tak, ºe r = rϕ) kde jako obvykle = r cos t, y = r sin t), pak platí vztah 39.) ds = rϕ) 2 + r ϕ) 2 dϕ S pomocí 39.) spo t te k ivkový integrál I = y ds, kde C je Bernoulliova lemniskáta, zadaná rovnicí 2 + y 2) 2 = a 2 2 y 2), kde a > S pomocí 39.) spo t te délku kardioidy srdcovky), zadané rovnicí ) y 2 = y 2 C Výsledky Cvi ení 39.: Cvi ení 39.2: Cvi ení 39.3: Cvi ení 39.4: Cvi ení 39.5: Cvi ení 39.6: Cvi ení 39.7: Cvi ení 39.8: πa + z elipsa 2 πe a 4a + 2e a ) ) a2 + b 2πa π)3 b 2 3 4a 7 3

53 4. K IVKOVÝ INTEGRÁL 2. DRUHU 49 Cvi ení 39.9: Cvi ení 39.: Cvi ení 39.: T = [ 4a 3, 4a ] 3 2a 2 2 2) 8 4. K ivkový integrál 2. druhu 4.. Spo t te k ivkový integrál 2 2y) d + y 2 2y) dy, C) kde C je ást oblouku paraboly y = 2 s po áte ním bodem [, ] a koncovým bodem [, ] Spo t te k ivkový integrál C) + y) d y) dy 2 + y 2, ) kde C je kladn orientovaná kruºnice o polom ru a se st edem v po átku Spo t te k ivkový integrál kde C je cykloida, zadaná parametricky C) 2a y, ) d s, = at sin t), y = a cos t), t [, 2π], jejíº orientace je dána touto paramaterizací, a kde a > Spo t te k ivkový integrál C) kde C je ást oblouku asteroidy, zadané rovnicí kde a >, z bodu [, a] do bodu [a, ]. y 2 d + 2 dy, y y 2 3 = a 2 3, 4.5. Spo t te k ivkový integrál yz d + z dy + y dz, C) kde C je jeden závit ²roubovice, zadané parametricky ) b ϕt) = a cos t, a sin t, 2π t, t [, 2π], jejíº orientace je dána touto paramaterizací, a kde a, b > Spo t te k ivkový integrál y d + z dy + dz, C) kde C je pr se nice ploch, zadaných rovnicemi z = y, 2 + y 2 =, jejíº orientace je dána kladnou orientací pr m tu této k ivky do roviny y.

54 5. K IVKOVÝ A PLO NÝ INTEGRÁL V R n 4.7. Vypo t te práci silového pole F, y, z) =, y, z y) po obvodu k ivky jejíº orientace je dána touto paramaterizací. {[t 2, 2t, 4t 3 ], t [, ]}, 4.8. Vypo t te práci silového pole, které p sobí v kaºdém bod [, y, z], [, y] [, ] mimo osu z) silou nep ímo úm rnou druhé mocnin vzdálenosti od osy z a mí í kolmo k ose z. jaká práce se vykoná p i pohybu hmotného bodu po tvrtkruºnici C = {[cos t,, sin t], t [, π 2 ]}? 4.9. Kapalina proudí rychlostí V, y) =, 2y). Ur ete mnoºství kapaliny, která prote e za jednotku asu elipsou, zadanou rovnicí Cvi ení 4.: Cvi ení 4.2: Cvi ení 4.3: Cvi ení 4.4: Cvi ení 4.5: Cvi ení 4.6: Cvi ení 4.7: Cvi ení 4.8: kde k je konstanta úm rnosti. Cvi ení 4.9: y2 9 =. Výsledky 4 5 2π 2πa πa 4 3 π 5 2 ) 2 k, 2 8π 4. Greenova v ta 4.. Pomocí Greenovy v ty vypo ítejte k ivkový integrál y 3 + log ) d y 2 ) dy, C) kde C) je kladn orientovaná hranice oblasti { G = [, y] R 2, 2 + y 2 6, y } Pomocí Greenovy v ty vypo ítejte k ivkový integrál y 2 dy 2 y d, kde C) je kladn orientovaná kruºnice 2 + y 2 = a 2, a >. C)

55 42. PLO NÝ INTEGRÁL. DRUHU Pomocí Greenovy v ty vypo ítejte k ivkový integrál + y) d y) dy, kde C) je kladn orientovaná elipsa 2 a + y2 2 b =, a, b >. 2 C) 4.4. Pomocí Greenovy v ty vypo ítejte k ivkový integrál I = e cos y) d y sin y) dy), C) kde C) je kladn orientovaná hranice oblasti Cvi ení 4.: Cvi ení 4.2: Cvi ení 4.3: Cvi ení 4.4: 42.. Spo t te obsah sféry Spo t te obsah rovinné plochy G = { [, y] R 2, < < π, < y < sin }. Výsledky 63π 2 πa 4 2 2πab 5 eπ ) 42. Plo²ný integrál. druhu M = {[, y, z] R 3, 2 + y 2 + z 2 = r 2 }, r >. M = {[, y, z] R 3, z = a + by, 2 + y 2 }, a, b > Spo t te obsah ásti povrchu rota ního hyperboloidu M = {[, y, z] R 3, z = y, 2 + y 2 } Spo t te obsah st ny nádoby tvaru rota ního paraboloidu M = {[, y, z] R 3, z = 2 + y 2), 2 + y 2 } Spo t te obsah povrchu anuloidu, jehoº pr ez má polom r R 2, p i emº vzdálenost st edu pr ezové kruºnice od jeho osy je R, R > R Spo t te plo²ný integrál. druhu kde M je helikoid, zadaný parametrizací M z ds, M = {[t cos s, t sin s, s] R 3, T ºi²t plochy M je dáno vzorcem T = [ t, y t, z t ] = ds M M t [, a], s [, 2π]}. ds, Vypo ítejte t ºi²t homogenního rota ního paraboloidu M y ds, M z ds. M = {[, y, z] R 3, 2 + y 2 = 2z, z 2}.