MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Tnto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

2 Názv: MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH Autor: Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vdání: první, Počt stran: 7 Náklad: 5 Jazková korktura: nbla provdna. Tto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu Opračního programu Vzdělávání pro konkurncschopnost. Názv: Modrnizac výukových matriálů a didaktických mtod Číslo: Ralizac: CZ..7/../5.6 Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava ISBN CZ..7/../5.6

3 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava ISBN Tnto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

4 OBSAH CVIČENÍ Č..... Příklad... POUŽITÁ LITERATURA... CZ..7/../5.6

5 Cviční č. CVIČENÍ Č. STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Dělní polnomů Rozklad na parciální zlomk MOTIVACE: Mnoho funkcí vsktujících s při řšní praktických problémů bývá v tvaru racionální lomné funkc. Proto j vlmi důlžité umět s těmito funkcmi pracovat. CÍL: Umět dělit polnom a rozložit racionální lomnou funkci na parciální zlomk. CZ..7/../5.6

6 Cviční č.. PŘÍKLADY Racionální lomnou funkcí nazvm funkci v tvaru podílu dvou polnomů: Pn ( ) R ( ) Q ( ), kd P n () j polnom stupně n a Q m () j polnom stupně m. Racionálně lomné funkc dělím na dvě skupin podl vzájmného vztahu stupně čitatl a jmnovatl: ) j-li n < m, pak s jdná o rz lomnou racionální funkci ) j-li n m, pak j to nrz lomná racionální funkc a tu j možno dělním upravit na součt polnomu a rz lomné racionální funkc Příklad : m Vjádřt funkci R ( ) jako součt polnomu a rz lomné racionální funkc. Řšní: Vidím, ž v čitatli funkc j stupň polnomu tři a polnom v jmnovatli j. stupně. Stupň v jmnovatli j mnší, polnom td můžm dělit. Dělím tak, ž vžd vzmm čln v čitatli s njvšší mocninou a vdělím člnm s njvšší mocninou v jmnovatli: dělím, dostávám. Dalším krokm j vnásobní výsldku získaného dělní s jmnovatlm ( ) a odčtní od původního polnomu v čitatli (snížím stupň čitatli) ( ) ( ). Zkontrolujm, pokud získaný polnom má již mnší stupň nž polnom v jmnovatli. Pokud ano, jdná s o zbtk (rz lomná funkc), pokud n, musím dělit dál. ( ) : ( ) Danou racionální funkci můžm zapsat v tvaru:. CZ..7/../5.6

7 CZ..7/../5.6 5 Cviční č. Příklad : Vjádřt funkci ) ( R jako součt polnomu a rz lomné racionální funkc. Řšní: ( ) ( ) : Danou racionální funkci můžm zapsat v tvaru:. Každou rz lomnou racionální funkci lz rozložit na součt parciálních zlomků: ), (... ) ( ) ( ) ( R R Q P s kd R (),...,R s () jsou parciální zlomk (počt odpovídá stupni polnomu v jmnovatli). Parciální zlomk jsou spciální racionální lomné funkc. Rozlišujm tp: k A ( α), kd N k, R A, α a k q p N M ) (, kd N k,,,,, R q p N M. < q p Každému k-násobnému rálnému kořnu mnohočlnu Q() odpovídá v rozkladu k člnů prvního tpu, tj. k k A A A ) (,..., ) (, α α α a každé l-násobné dvojici komplně sdružných kořnů přísluší l zlomků druhého tpu, tj.. ) (,..., l l l q p N M q p N M Postup nalzní koficintů rozkladu: ) Zjistím, zda j zadaná funkc rz lomná. Pokud n, přvdm ji dělním na součt polnomu a rz lomné funkc.

8 Cviční č. 6 ) Najdm kořn polnomu v jmnovatli. ) Napíšm přdpokládaný tvar rozkladu. ) Potřbujm najít koficint rozkladu. Vnásobím clou rovnici rozkladu funkcí Q(). 5) Získanou rovnici můžm řšit dvěma způsob: Příklad : a) Srovnávací mtoda. Dva polnom s rovnají, jstliž jsou stjného stupně a mají stjné koficint u stjným mocnin proměnné. Porovnáním těchto koficintů dostanm podmínk pro čísla A, A,..., B,..., M,... Tto podmínk jsou vjádřn soustavou linárních rovnic pro nznámé A, A,... Tato soustava j vžd řšitlná jdnoznačně. b) Dosazovací mtoda. Jstliž má jmnovatl rálné kořn, j výhodné dosadit j do vzniklé rovnic. Všchn čln s nznámými koficint až na jdn totiž vmizí, a tak snadno dostanm za každý takový kořn jdn nznámý koficint. c) Kombinac obou mtod. Dosazovací mtodou získám několik rovnic, ktré vřším mtodou srovnávací. Rozložt funkci R( ) na parciální zlomk. Řšní: ) Polnom v čitatli j stupně a polnom v jmnovatli j stupně ( >) jdná s o rz lomnou funkci (nmusím dělit) ) Najdm kořn polnomu v jmnovatli, tzn. hldám řšní této rovnic:. Zkusím lvou stranu rovnic rozložit na součin: ( ) ( )( ). Řším td: ( )( ). Vidím, ž rovnic má jdnoduché rálné kořn, a. ) Napíšm přdpokládaný tvar rozkladu. Jlikož mám rálné kořn, budm mít An parciální zlomk prvního tpu, kd k a n,, k ( ) n A A A ( ), td A A A ) A A A rovnici násobím polnomm v jmnovatli v tvaru ) a dostávám rovnost dvou polnomů: součinu ( ( )( ) ( )( ) A ( ) A ( ) A CZ..7/../5.6

9 Cviční č. 7 5) Potřbujm najít A, A a A. Ukážm si obě mtod nalzní koficintů. a) Rovnici upravím (roznásobím) a porovnám koficint u stjných mocnin. ( ) A ( ) A ( ) A u A A A : u : A A u A : Dostali jsm soustavu tří linárních rovnic o třch nznámých (počt rovnic vžd odpovídá počtu koficintů). Po vřšní soustav dostanm: A, A 8, 5 A. 8 b) Jlikož mám rálné kořn, bud výhodnější vužít dosazovací mtod. Do rovnic postupně dosadím všchn kořn. ( )( ) A ( ) A ( ) A : A ( ) A : 8A A 8 : 5 8A A 5 8 c) Můžm i kombinaci obou mtod (al v tomto případě j to zbtčné). A A A Po urční koficintů dosadím zpět do 5 a dostávám hldaný rozklad:. 8 8 ( ) ( ) Příklad : Rozložt funkci R( ) na parciální zlomk. Řšní: ) Polnom v čitatli j stupně a polnom v jmnovatli j stupně ( >) jdná s o rz lomnou funkci (nmusím dělit) CZ..7/../5.6

10 Cviční č. 8 ) Najdm kořn polnomu v jmnovatli, tzn., hldám řšní této rovnic: ( ) ( ). Vidím, ž rovnic má jdnoduchý rálný kořn a dvojnásobný rálný kořn., ) Napíšm přdpokládaný tvar rozkladu. Jdnoduchému rálnému kořnu odpovídá A parciální zlomk prvního tpu a dvojnásobnému rálnému kořnu odpovídají An parciální zlomk prvního tpu, kd k, a n, k ( ) n A A A ( ) ) A A A rovnici přnásobím polnomm v ( ) jmnovatli v tvaru součinu ( ( ) ) a dostávám rovnost dvou polnomů: ( ) A ( ) A A 5) Potřbujm najít A, A a A. Jlikož mám rálné kořn, použijm kombinovanou mtodu. Do rovnic postupně dosadím všchn známé kořn. ( ) A ( ) A A : A : A A A Známé koficint dosadím zpět do rovnic: ( ) A ( ) a porovnáním u po úpravě dostávám: ( ) A ( ) A. : Druhou možností j dosazní dalšího rálného čísla do A ( ) A ( ) A, např. : A A A A A Výsldk: Hldaný rozklad: ( ) ( ). CZ..7/../5.6

11 Cviční č. 9 Příklad 5: Rozložt funkci Řšní: ( R ) na parciální zlomk. ( )( ) ) Polnom v čitatli j stupně a polnom v jmnovatli j stupně ( >) jdná s o rz lomnou funkci (nmusím dělit) ) Najdm kořn polnomu v jmnovatli, tzn. hldám řšní této rovnic:. Výraz na lvé straně již nlz dál rozložit na součin v rálném oboru rovnic má komplně sdružné kořn a jdn rálný kořn. ) Napíšm přdpokládaný tvar rozkladu. Komplně sdružným kořnům odpovídají M N parciální zlomk druhého tpu a rálnému kořnu parciální zlomk p q A prvního tpu. A ( )( ) ) rovnici přnásobím polnomm v jmnovatli ( ( )( ) dvou polnomů: M N ( ) M ( ) N ( ) A ) a dostávám rovnost 5) Potřbujm najít A, M a N. Jlikož mám komplní kořn a jn jdn rálný, použijm srovnávací mtodu. u A M : u : M N u A N : Vřším soustavu a dostávám: A, M, N. Výsldk: Hldaný rozklad: ( )( ) ( ) ( ) ( ). CZ..7/../5.6

12 Použitá Litratura POUŽITÁ LITERATURA [] KREML P.a kol.: Matmatika II.. Učbní tt VŠB-TUO, Ostrava, 7, ISBN [] VRBENSKÁ H.: Základ matmatik pro bakalář II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 998, ISBN [] lktronický učbní tt: CZ..7/../5.6

13 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava ISBN Tnto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

14 OBSAH CVIČENÍ Č..... Příklad... POUŽITÁ LITERATURA... 8 CZ..7/../5.6

15 Cviční č. CVIČENÍ Č. STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Hldání primitivních funkcí Výpočt tabulkových intgrálů Aplikac vlastností nurčitého intgrálu MOTIVACE: Intgrál j jdním z základních pojmů matmatik. Intgrální počt j vužíván njn v matmatických disciplínách, al i v fzic, mchanic, statistic, chmii, konomii a dalších tchnických oborch. Například v dnamic s nurčitý intgrál vužívá při výpočtu rchlosti a dráh při rovnoměrně zrchlném pohbu nbo při určování momntu strvačnosti v gomtrii hmot (např. tč rotující kolm os, výroba motorů.) atd. CÍL: Chápat pojm primitivní funkc a nurčitého intgrálu. Umět intgrovat tabulkové funkc s vužitím vlastností nurčitého intgrálu. CZ..7/../5.6

16 Cviční č.. PŘÍKLADY Příklad : Nakrslt graf funkc (,) f ( ) a rozhodnět, zda k [, ) f () istuj primitivní funkc na intrvalu I R. Řšní: Graf: Z grafu vidím, ž funkc f () nní spojitá na I > na I primitivní funkc k f () nistuj. Pokud bchom al intrval I rozdělili na dva intrval I ( ) a [, ) funkc b již istoval: Příklad : F ( ) na I a, I, primitivní F ( ) na I. K jaké funkci j funkc F( ) arctan( ) primitivní? cos Řšní: cos 6sin musí platit: f ( ) F ( ) > F ( ) f ( ) ( ) cos Příklad : Určt křivku, ktrá prochází bodm A [,] a jjíž tčna má v libovolném bodě směrnici. Řšní: vím, ž směrnic tčn k grafu funkc v bodě j drivac funkc v daném bodě znám drivaci, hldám primitivní funkci procházjící bodm A CZ..7/../5.6

17 Cviční č. 5 ( ) d c stačí najít c, pro ktré primitivní funkc prochází bodm A c c c hldaná křivka má přdpis: Příklad : Vpočtět násldující nurčité intgrál: / 5 / / / 9 a) d d d d d c c / 5/ 5 b) d c c d arctan arctan 5 c) cos d d d d c cos sin ln 5 d) d (upravím výraz pod odmocninou na tvar -(ab) : ( ) ( ) ( ) ) d arcsin ( ) ( ) c ) d (všimnm si, ž drivac jmnovatl j rovna výrazu v čitatli) ln d f) ( cos sin ) d c c d g) ( ) d d c h) d cos sin cos sin d cos sin cos cos sin d sin cos sin d d sin cos d cot tan c i) d d ln( ) c d d tan c cos cos sin cos cos cos j) d d CZ..7/../5.6

18 Cviční č. 6 ( )( ) d k) d d d ( ) d arctan t t t ( )( ) t l) dt dt ( ) t t t dt t c Další řšné příklad: Nřšné příklad: Vpočtět násldující nurčité intgrál: c a) b) ( ) d 5 d ln c c d c) ( ) d) ( )( ) ) d g) ( ) d h) cot g d i) cos d cos j) d sin sin d c 5 6 c 5 c [ 6 ln c] [ cot c] ( sin ) c cot c d k) 6 CZ..7/../5.6 arctan 8 c

19 Cviční č. 7 l) 5 d Další příklad najdt v kapitol 5. v sbírc úloh: ln5 5 c CZ..7/../5.6

20 Použitá Litratura 8 POUŽITÁ LITERATURA [] KREML P.a kol.: Matmatika II.. Učbní tt VŠB-TUO, Ostrava, 7, ISBN [] JARNÍK V.: Intgrální počt I. Praha, 97. [] VRBENSKÁ H.: Základ matmatik pro bakalář II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 998, ISBN [] lktronický učbní tt: CZ..7/../5.6

21 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava ISBN Tnto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

22 OBSAH CVIČENÍ Č..... Příklad... POUŽITÁ LITERATURA... 9 CZ..7/../5.6

23 Cviční č. CVIČENÍ Č. STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Výpočt intgrálů substitucí tpu Výpočt intgrálů substitucí tpu ϕ ( ) t ϕ(t) Výpočt intgrálů pomocí mtod pr parts MOTIVACE: Drivování j mchanický procs, intgrování j již složitější. N všchn intgrál lz řšit pomocí základních vzorců (např. intgrac součinu, podílu a složných funkcí). Tto intgrál lz často řšit substituční mtodou nbo mtodou pr parts tak, abchom dostali jdnodušší intgrál. CÍL: Pochopit princip substituční mtod a mtod pr parts a dokázat poznat základní tp intgrálů, ktré lz těmito mtodami řšit. Umět aplikovat zmíněné mtod při výpočtch intgrálů. CZ..7/../5.6

24 Cviční č.. PŘÍKLADY Příklad : Vpočtět násldující intgrál d. arctan ( ) Řšní: Njdná s o tabulkový intgrál a ani žádné úprav npovdou k tabulkovému intgrálu, takž musím při řšní zvolit jdnu z vužívaných mtod při řšní intgrálů. Vidím, ž intgrand j složn z součinu funkcí: arctan ( ) d. Z znalosti drivací hnd vím, ž ( arctan ), což j přsně to, co potřbujm v substituční mtodě prvního tpu - součin složné funkc a drivac vnitřní funkc. Rozhodli jsm s td pro arctan. substituční mtodu a zkusím ji aplikovat a intgrál vpočítat. arctan t d ( ) dt arctan d dt t dostali jsm nový intgrál proměnné t, ktrý již spočítat umím (použití substituc blo správné) t dt t dt t původního intgrálu: c. Tď už musím jn vrátit substituci arctan t a dostávám řšní ( ) d arctan arctan c. Drivací nalzné primitivní funkc můžm ověřit správnost výsldku: ( arctan c) ( arctan ) arctan ( ) Příklad : Vpočtět násldující intgrál d ( ). Řšní: Opět s njdná s o tabulkový intgrál. Budm zjišťovat, ktrou mtodu použít. Njd o žádný z základních tpů pro vužití pr parts, proto první zkusím substituční mtodu. tpu. Napadn nás tato substituc t, ověřím, zda mám v intgrandu potřbný CZ..7/../5.6

25 Cviční č. 5 součin. Po difrncování zvolné substituci mám d dt, což znamná, ž potřbujm v čitatli, to tam nní a z toho důvodu tato substituc nní možná. Zkusím substituci. tpu - pod odmocninou j tomu s zbavím odmocnin. d costdt dt ( ) ( ) ( sin t) ( cos t ), vím, ž sin cos a dík sin t d cost cost cost dt cos t cos t t arcsin dt dt dostali jsm nový intgrál proměnné t, ktrý již spočítat umím (použití substituc blo správné) dt tan t c.vrátím substituci t arcsin a dostanm řšní původního intgrálu: cos t d ( ) tan ( arcsin ) c. Příklad : ln Vpočtět násldující intgrál d. Řšní: Opět s njdná o tabulkový intgrál. Opět jako první zkusím substituční mtodu. V intgrandu j součin funkcí ln a. Z znalosti drivací vím, ž ( ) ln, al n, ktrou mám v intgrálu substituc použít nlz. Jdná s o součin dvou odlišných funkcí, takž vzkouším mtodu pr parts. Funkci umím jdnoduš intgrovat i drivovat, funkci ln umím drivovat za funkci, ktrou budm drivovat, zvolím ln a za funkci, ktrou budm intgrovat, zvolím ln u ln u d v v d ln d ln po použití mtod pr parts jsm dostali jdnodušší intgrál (tabulkový) ln d ln c CZ..7/../5.6

26 Cviční č. 6 Příklad : Vpočtět násldující nurčité intgrál: tan a) d cos (uvědomím si, ž ( ) t t dt c tan c b) ( ) d tan cos tan t ) tan d cos d dt cos u u součin polnom a p.fc pr parts v v u u v v ( ) ( ) d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) c ( ) c d t sin d linární sub. a, b- d dt sin tdt cos( ) c d dt c) ( ) d) cos(ln ) d u sin(ln ) v u cos(ln ) u sin(ln ) v v u cos(ln ) v cos(ln ) cos(ln ) sin(ln ) sin(ln ) d cos(ln ) d dostali jsm stjný intgrál vnásobný konstantou různou od, použijm obratu cos(ln ) d cos(ln ) sin(ln ) cos(ln ) d cos(ln ) sin(ln ) cos(ln ) d t ( cos(ln ) sin(ln ) ) c ) cos ( ) d tdt t c ( ) c cos sin sin d dt cos(ln ) d CZ..7/../5.6

27 Cviční č. 7 t dt f) d d d dt ln arcsin ( ) ln t ln d dt ln c t cost sin t u ( ) g) cot d d dt cot tdt dt du sin t costdt du u d dt ln ( ) c u c ln sin t c ln sin t h) 7d d dt tdt c ( 7) c d Další řšné příklad: 7 t dt tml Nřšné příklad: 6 Vpočtět násldující nurčité intgrál: d a) arctan ( ) cos b) sin d [ arctan c] cos [ c] c) ( ) ln ( ) ln c d cos [ ( sin cos ) c] d) d ) d c CZ..7/../5.6

28 Cviční č. 8 g) d cos arctan h) d [ tan ln cos c] arctan c cos i) sin ( ) d c sin Další příklad najdt v kapitol 5. a 5. v sbírc úloh: CZ..7/../5.6

29 Použitá Litratura 9 POUŽITÁ LITERATURA [] KREML P.a kol.: Matmatika II.. Učbní tt VŠB-TUO, Ostrava, 7, ISBN [] JARNÍK V.: Intgrální počt I. Praha, 97. [] VRBENSKÁ H.: Základ matmatik pro bakalář II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 998, ISBN [] lktronický učbní tt: CZ..7/../5.6

30 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava ISBN Tnto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

31 OBSAH CVIČENÍ Č..... Příklad... POUŽITÁ LITERATURA... CZ..7/../5.6

32 Cviční č. CVIČENÍ Č. STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Výpočt intgrálů rozkladm na parciální zlomk Intgrování funkcí složných z goniomtrických funkcí Aplikac vlastností při výpočtu určitých intgrálů MOTIVACE: Již umím počítat nurčité intgrál úpravou na základní intgrál mtodou pr parts a substituční. U racionálních lomných funkcí nám tto mtod npomohou, proto si ukážm podrobný postup, ktrý nám umožní intgrovat libovolnou racionální lomnou funkci. Dál s podívám na intgrování funkcí složných z goniomtrických funkcí. Takové intgrál s často vsktují v praktických úlohách (při řšní vícnásobných intgrálů např. v fzikálních aplikací - hmotnost a statický momnt rovinné dsk či souřadnic těžiště, atd.). Určitý intgrál má řadu vužití v vlkém množství aplikací. CÍL: Umět řšit intgrál, kd j intgrandm racionální lomná funkc či funkc složná z goniomtrických funkcí. Pochopit základní vlastnosti určitého intgrálu a umět aplikovat dané vlastnosti při výpočtch určitých intgrálů. CZ..7/../5.6

33 Cviční č.. PŘÍKLADY Příklad : Vpočtět násldující intgrál 5 ( ) d. Řšní: Jdná s o intgraci racionální lomné funkc, kd drivac jmnovatl s nrovná funkci v čitatli, a proto si musím pomoci rozkladm funkc na parciální zlomk. Stupň polnomu v čitatli j mnší nž stupň polnomu v jmnovatli, z toho důvodu nmusím dělit a hnd s pustím do rozkladu. Kořn polnomu v jmnovatli jsou řšním rovnic mám jdn rálný kořn a dva komplní kořn. ( ) Odhadovaný tvar rozkladu j: 5 ( ) vnásobím clou rovnici A ( ) B C, a srovnávací mtodou určím koficint A, B, C. V intgrálu nahradím původní funkci nalzným rozkladm a vřším. ln 5 d ( ) ln( ) arctg( ) c Příklad : d Vpočtět násldující intgrál. cos Řšní: d ln ln ( ) d ( ) Jdná s o intgrál funkc složné z goniomtrické funkc. Tnto intgrál můžm vřšit dvěma způsob. a) Můžm si uvědomit, ž si intgrál můžm napsat také cos d, což j přsně m n intgrál tpu cos sin d, kd mocnina u funkc kosinus j lichá. Z toho důvodu půjd určitě použít substituc tvaru sin t, jn musím původní intgrand upravit. cos cos cos sin t dt d d d cos cos cos sin cos d dt t CZ..7/../5.6

34 Cviční č. 5 Po úpravě a aplikaci zvolné substituc jsm dostali intgrál z racionální lomné funkc. Rozklad: A B t t t A, B dt d d sin t t c t t ln ln ln t sin c b) Můžm při řšní použít i univrzální substituc. Příklad : tg t t t dt d d d cos dt t t t cos t t t d dt t tg ln t ln t c ln c tg Vpočtět intgrál f ( ) d, kd 5 pro [,] f ( ) pro [,]. pro [, ] Řšní: Daná funkc j spojitá v intrvalu [,5] Nwton-Libnizov formul. i ohraničná, tzn., můžm při výpočtu vužít CZ..7/../5.6

35 Cviční č Příklad : f ( ) d ( 5 7) 5 d d d [ ] ( ( ) ) ( 9 ) Vpočtět intgrál d a d Řšní: Podívjm s na graf funkc f ( ). Vidím, ž funkc nní na intrvalu [, ] nspojitosti. druhu) a proto intgrál d nní dfinován. spojitá (ani po částch, v bodě má bod Al na intrvalu [,] již funkc spojitá j, takž intgrál d jsm schopni určit. d [ ln ] ln ln ln. Příklad 5: Vpočtět intgrál d. Řšní: Z dfinic absolutní hodnot vím, ž platí CZ..7/../5.6

36 CZ..7/../5.6 7 Cviční č. [ ] [ ],,, viz graf. Intgrál d istuj, protož funkc j na daném intrvalu spojitá a ohraničná. ( ) ( ) 9 d d d Příklad 6: Vpočtět násldující nurčité a určité intgrál: a) d sin cos ( ) ( ) dt t t dt d t d d sin cos cos sin cos sin sin cos ( ) ( ) ( ) ( ) c dt t t t t cos cos cos cos ln b) d 8 ( ) ( )( ) ( )( ),, 5 8 C B A C B A c d d d d ln ln ln 5 5 8

37 Cviční č. 8 sin cos cos d cos tg t t d dt cos c) d tg cos t ( t ) dt c 6 π tg 5 tg c 5 π sin cos d) d d d cos cos cos cos cos π [ tg ] π ) d d ln ln ( ln ) Další řšné příklad: π tml tml t 5 t 5 Nřšné příklad: Vpočtět násldující nurčité a určité intgrál: 6 a) d ( ) ln arctg c cos b) cos d c) d ( 5 ) 5 cot g c CZ..7/../5.6

38 Cviční č. 9 d) d d ) 65 6 ln 5 Další příklad najdt v sbírc úloh v kapitol 5., 5.6 a první příklad v kapitol 6.: CZ..7/../5.6

39 Použitá Litratura POUŽITÁ LITERATURA [] KREML P.a kol.: Matmatika II.. Učbní tt VŠB-TUO, Ostrava, 7, ISBN [] JARNÍK V.: Intgrální počt I. Praha, 97. [] VRBENSKÁ H.: Základ matmatik pro bakalář II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 998, ISBN [] lktronický učbní tt: CZ..7/../5.6

40 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava ISBN Tnto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

41 OBSAH CVIČENÍ Č..... Příklad... POUŽITÁ LITERATURA... 9 CZ..7/../5.6

42 Cviční č. CVIČENÍ Č. STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Výpočt určitých intgrálů substituční mtodou Výpočt určitých intgrálů mtodou pr parts Výpočt obsahu rovinných obrazců pomocí určitých intgrálů Výpočt délk křivk pomocí určitých intgrálů MOTIVACE: Stjně jako u výpočtu nurčitých intgrálů si i při řšní určitého intgrálu nvstačím pouz s tabulkovými intgrál, proto s naučím aplikovat již známé mtod (substituční a pr parts) v určitém intgrálu. Ukážm si, jak lz určitého intgrálu vužít v gomtrických aplikacích jako j výpočt obsahu rovinné oblasti či délk křivk. CÍL: Umět používat substituční mtodu a mtodu pr parts při řšní určitých intgrálů. Pochopit základní gomtrické aplikac (obsah ploch a délka křivk) určitého intgrálu a umět správně sstavit vztah pro výpočt daných aplikací. CZ..7/../5.6

43 Cviční č.. PŘÍKLADY Příklad : π sin Vpočtět intgrál cos d. Řšní: π Zavdm substituci: sin t cos d dt Přpočítám mz: horní mz π : sin π dolní mz : sin π π Vidím, ž po přpočítání mzí jsm obdržli rovnost horní a dolní mz a z znalosti vlastností určitého intgrálu vím, ž dál nmusím počítat a takový intgrál j rovn nul. Ověřím výpočtm: Poznámka: t d t [ ] Kdž si vkrslím graf původní funkc, uvidím, ž pro π, π s jdná o lichou funkci, tzn., ž obsah jdnotlivých částí s odčtou a clkový obsah j rovn. Příklad : Vpočtět intgrál ln( ) d. Řšní: Ukážm si dva způsob řšní: ) mtoda pr parts: CZ..7/../5.6

44 Cviční č. 5 Volím: ln( ) u, u v, v Dostávám: ( ) d ln ln( ) d ln d ln ln ( ) ln ln ln ln ln ) kombinac substituční mtod a mtod pr parts Zavdm substituci: t d dt a přpočítám mz. ln( ln Příklad : ln t ) d ln tdt t t ln Vpočtět obsah rovinného obrazc ohraničného graf funkcí: Řšní: f : g : ( ) [ t ln t] dt ln ln [ t] Rovinný útvar j ohraničný pouz dvěma funkcmi, takž musím první určit -ové souřadnic průsčíků křivk (řším rovnici f ( ) g( ) ). 5 5, CZ..7/../5.6

45 CZ..7/../5.6 6 Cviční č. Z grafu vidím, ž platí ) ( ) ( f g, tzn. vztah pro výpočt obsahu oblasti mzi křivkami j: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 ) ( ) ( d d d f g P Příklad : Vpočtět délku křivk, pro,. Řšní: ( ) ( ) [ ] d d d d l Příklad 5: Vpočtět vlikost dráh, ktrou urazí bod od t do t při pohbu po křivc dané paramtrickými rovnicmi 5, t t. Řšní: t t

46 Cviční č. 7 l 9 Příklad 6: ( t ) ( t) 6 u du 7 Vpočtět určité intgrál: dt 9t 6 [ u ] ( 6 6 ), 7 7 t dt t 9t dt 9t u 8 tdt udu tdt udu 9, 6 a) ln t t ln d d dt tdt, π / π / π / b) sin d cos cos d sin cos sin π / Příklad 7: Určt délku křivk mzi osou a přímkou. Řšní: ± / / 9 l d 9d 9 / ( 9) ( 6 ) 7 7 CZ..7/../5.6

47 Cviční č. 8 Další řšné příklad: Nřšné příklad: Vpočtět násldující určité intgrál: π / cos a) sin b) ( ) d [ ln ] [ ] c)určt obsah čočk ohraničné křivkami,. d)určt obsah obrazc ohraničného jdním obloukm ckloid a osou. [ a π ] Další příklad najdt v sbírc úloh v kapitol 6. příklad,, a v kapitol 6.. a 6..: CZ..7/../5.6

48 Použitá Litratura 9 POUŽITÁ LITERATURA [] KREML P.a kol.: Matmatika II.. Učbní tt VŠB-TUO, Ostrava, 7, ISBN [] JARNÍK V.: Intgrální počt I. Praha, 97. [] VRBENSKÁ H.: Základ matmatik pro bakalář II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 998, ISBN [] lktronický učbní tt: CZ..7/../5.6

49 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 5 Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava ISBN Tnto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

50 OBSAH CVIČENÍ Č Příklad... POUŽITÁ LITERATURA... 8 CZ..7/../5.6

51 Cviční č. 5 CVIČENÍ Č. 5 STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Výpočt objmu rotačních těls pomocí určitých intgrálů Výpočt povrchu pláště rotačního tělsa Výpočt momntu strvačnosti a souřadnic těžiště rovinné křivk Výpočt momntu strvačnosti a souřadnic těžiště rovinné oblasti MOTIVACE: Určitý intgrál j vužíván v npřbrném množství praktických problémů. Zaměřím s na jdnoduché aplikac v mchanic, jako j výpočt souřadnic těžiště či momntů strvačnosti hmotných křivk a rovinných oblastí. Další vužití intgrálního počtu j například při výpočtu tlakové síl, prác, pohbu, atd. CÍL: Pochopit základní gomtrické a fzikální aplikac určitého intgrálu a umět správně sstavit vztah pro výpočt daných aplikací. CZ..7/../5.6

52 CZ..7/../5.6 Cviční č. 5. PŘÍKLADY Příklad : Vpočtět objm rotačního tělsa vtvořného rotací obrazc ohraničného graf funkcí: : : g f Řšní: Nakrslím si graf funkcí: Vpočtm průsčík grafů obou funkcí:, Vidím, ž na intrvalu, j ) ( ) ( f g, tzn., vztah pro výpočt objmu rotačního tělsa dostanm pomocí vztahu: ( ) ) ( ) ( d d d f g V π π π π π π Příklad : Vpočtět povrch rotačního tělsa vzniklého rotací křivk kolm os pro,. Řšní: Vím, ž obsah pláště rotačního tělsa vpočtm jako ( ). ) ( ) ( b a d f f S π Určím druhou mocninu drivac funkc: ( ) a dosadím.

53 Cviční č. 5 5 S π d π d π π 6 Příklad : π [ 7 5 ] ( ) 6 ( ) π d / / Určt -ovou souřadnici těžiště křivk, ktrá j grafm funkc délková hustota ρ ( ). Řšní: f :,,, j-li Souřadnici těžiště určím pomocí statického momntu S (C) a hmotnosti. hmotnost... M ( C) ρ ( ) [ f ( ) ] b a Určím druhou mocninu drivac funkc a dosadím. d f [ f ( ) ] ( ) t t M ( C) d d tdt t dt, statický momnt... S ( C) f ( ) ρ ( ) [ f ( ) ] d, S ( C) ρ ( ) [ f ( ) ] b a b a d S t ( C) d d tdt, ( t ) t dt 5 t 5 t 5 -ová souřadnic těžiště: T S ( C) M ( C) 5 Příklad : Určt momnt strvačnosti a souřadnic těžiště podgrafu funkc ( ), j-li ρ. ( ) Řšní: Určím mz: ( ), CZ..7/../5.6

54 CZ..7/../5.6 6 Cviční č ) ( ) ( ) ( 5 d d f M b a ρ ( ) ) ( ) ( d d f S b a ρ ( ) ) ( ) ( 6 5 d d f S b a ρ souřadnic těžiště: M S T, 8 M S T momnt strvačnosti: ( ) ) ( ) ( d d f I b a ρ ) ( ) ( ) ( 7 6 d d f I b a ρ Další řšné příklad: Nřšné příklad: Vpočtět násldující určité intgrál: a) Určt objm tělsa vzniklého rotací podgrafu P funkc π,, sin kolm os. [ ] π b) Určt objm tělsa vzniklého rotací paramtrick zadané funkc, t t, t

55 Cviční č. 5 7 t, kolm os. 7 π c) Vpočítjt povrch tělsa, ktré vznikn rotací oblasti dané funkcí,, kolm os (kulový vrchlík). [ π ].[, ] 5 d) Vpočtět souřadnic těžiště homognní křivk cos t, sin t, t, π ) Určt souřadnic těžiště homognní rovinné oblasti ohraničné křivkou, a osou. Další příklad najdt v sbírc úloh v kapitol 6.. a 6..: [, ] CZ..7/../5.6

56 Použitá Litratura 8 POUŽITÁ LITERATURA [] KREML P.a kol.: Matmatika II.. Učbní tt VŠB-TUO, Ostrava, 7, ISBN [] JARNÍK V.: Intgrální počt I. Praha, 97. [] VRBENSKÁ H.: Základ matmatik pro bakalář II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 998, ISBN [] lktronický učbní tt: CZ..7/../5.6

57 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 6 Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava ISBN Tnto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

58 OBSAH CVIČENÍ Č Příklad... POUŽITÁ LITERATURA... 9 CZ..7/../5.6

59 Cviční č. 6 CVIČENÍ Č. 6 STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Určování dfiničních oborů funkcí dvou proměnných Výpočt parciálních drivací prvního řádu Výpočt parciálních drivací prvního řádu v bodě Výpočt parciálních drivací všších řádů MOTIVACE: K popisu mnoha rálných situací obvkl s jdnou proměnnou nvstačím. V mnoha praktických problémch zjistím, ž určitá vličina závisí na dvou či víc jiných vličinách. CÍL: Umět správně napsat omzující podmínk potřbné pro urční dfiničního oboru. A násldně umět daný dfiniční obor znázornit. Pochopit princip parciálního drivování. CZ..7/../5.6

60 Cviční č. 6. PŘÍKLADY Příklad : Určt a zakrslt dfiniční obor funkcí. a) z 6 b) z ln(sin( )) c) z d) z arcsin Řšní: a) v přdpisu funkc s vsktují pouz odmocnin podmínk: 6 řším: 6 D f {[, ] R :, (,, ) } b) podmínka: sin( ) > k π < < (k ) π, k Z osamostatním : π kπ > > (k ) π D f [, ] R : kπ > > (k ), k Z CZ..7/../5.6

61 CZ..7/../5.6 5 Cviční č. 6 c) podmínk: Vidím, ž pravá strana první podmínk j rovnicí kružnic s střdm v počátku a poloměrm (tj. bod (,)) a druhá podmínka j splněna vžd, tzn., dfiničním oborm budou všchn bod rovin kromě bodu (,) [ ] { } :, R D f d) podmínka: Jdná s o soustavu nrovnic v podílovém tvaru. Vřším postupně a udělám průnik: ) > < > < ) < > < >

62 Cviční č. 6 6 Všchn výsldné podmínk zakrslím a znázorním dfiniční obor dané funkc. Příklad : Vpočítjt první parciální drivac funkc z ln ( sin( ) ) Řšní: První nalznm parciální drivaci funkc podl proměnné, tzn., na proměnnou s budm dívat jako na konstantu. z cos( ) sin( ) Nní nalznm parciální drivaci podl. z cos( ) sin( ) Příklad : Vpočítjt druhé parciální drivac funkc z arcsin() Řšní: První parciální drivac: z 9 9 z První parciální drivaci budm znovu parciálně drivovat. ln ln CZ..7/../5.6

63 CZ..7/../5.6 7 Cviční č. 6 ( ) ( ) ln 9 7 z ( ) ( ) ( ) ln 9 ln z Zbývá nám určit druhé parciální drivac z první parciální drivac podl. ( ) ( ) ( ) ln 9 ln z ( ) ( ) ln 9 7 z Příklad : Určt f funkc ), ( f v bodě [ ], A. Řšní: Z označní vidím, ž budm hldat parciální drivaci čtvrtého řádu. Budm třikrát podl a jdnou podl. Zálží na nás, v jakém pořadí. ( ) f ( ) ) ( f ( ) ln ) (9 ) (8 f ) ( ) (9 ln ) )( (9 ) )( (8 f f v bodě: do výsldné čtvrté drivac dosadím za a za 7 66 ) ( ) ( ln ) )( ( ) )( ( ) ( A f

64 Cviční č. 6 8 Další řšné příklad: Nřšné příklad: Určt dfiniční obor funkc: a) z ln b) z { } arcsin [ D f [, ] R : R {} ; ] D [, ] f Vpočtět všchn parciální drivac prvního řadu funkc: [ { R : ± } ] a) z ln( ) z, z z ( ) z ( ) b) z ( ), ( ) ( ) Najdět parciální drivac druhého řádu funkc: sin cos [ z sin, z cos sin, z cos ] a) z 5 b) z [ z 6 6, z, z ] Další příklad najdt v sbírc úloh v kapitol 7. a 7.: CZ..7/../5.6

65 Použitá Litratura 9 POUŽITÁ LITERATURA [] KREML P.a kol.: Matmatika II.. Učbní tt VŠB-TUO, Ostrava, 7, ISBN [] JARNÍK V.: Intgrální počt I. Praha, 97. [] VRBENSKÁ H.: Základ matmatik pro bakalář II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 998, ISBN [] lktronický učbní tt: CZ..7/../5.6

66 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 7 Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava ISBN Tnto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

67 OBSAH CVIČENÍ Č Příklad... POUŽITÁ LITERATURA... 7 CZ..7/../5.6

68 Cviční č. 7 CVIČENÍ Č. 7 STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Určování totálního difrnciálu Výpočt přibližných hodnot funkc Urční rovnic tčné rovin a normál MOTIVACE: V fzic často nějaká vličina závisí na jiných vličinách (např. na čas). Změna vličin, ktrá j funkcí dvou proměnných, lz vjádřit pomocí difrnciálu. Toho lz vužít například při sstavování difrnciálních rovnic, ktré popisují vztah mzi vličinami a jjich změnami nbo při výpočtu změn objmu (povrchu) válc, atd. CÍL: Umět určit totální difrnciál a pochopit jho vužití při hldání tčné rovin a normál k grafu funkc. CZ..7/../5.6

69 Cviční č. 7. PŘÍKLADY Příklad : Určt totální difrnciál funkc z. Řšní: Vím, ž pokud j funkc difrncovatlná, pak totálním difrnciálm j výraz f f df (, ) d d. Potřbujm určit parciální drivac prvního řádu dané funkc. f ( ) ( ) f ( ) Dosadím: df (, )... totální difrnciál d ( ) ( ) d Příklad : Srovnjt totální difrnciál a totální přírůstk funkc přírůstk h, a h,. z v bodě A [,], jsou-li dán Řšní: totální přírůstk: z f (.,.) f (,),,, 7 f f totální difrnciál: df ( A) ( A) h ( A) h f f, df (,),,,7 Závěr: V blízkém okolí bodu lz přírůstk nahradit totálním difrnciálm. CZ..7/../5.6

70 Cviční č. 7 5 Příklad : Pomocí totálního difrnciálu vpočtět přibližnou hodnotu ln, sin, 6. Řšní: a totálního difrnciálu dané funkc v bodě (,) Můžm vužít funkc f (, ) ln sin s difrncmi d,,, d,6, 6. f f (,) ln sin f (, ) f (,) (, ) cos f (,) Dosadím do výrazu pro totální difrnciál z z f, ) d f (, d : ( ) ln, sin,6,,6,6 (Můžt porovnat s přsnou hodnotou vpočtnou na kalkulačc.) Příklad : Určt rovnici tčné rovin a paramtrické rovnic normál k grafu funkc z P,,?. v bodě [ ] Řšní: Opět vužijm vztahu pro totální difrnciál: τ f ( P) ( ) f ( P) ( : z z Potřbujm určit z, f (P) a f (P). Všimnm si, ž funkc j v zadání daná implicitně. Upravím a dostanm přdpis funkc: z. z 8 f (, ) f ( P) f (, ) f ( P) Dosadím: τ : z ( ) Upravím: τ : z 7... rovnic tčné rovin ) Normála: η : t,, z t, t R CZ..7/../5.6

71 Cviční č. 7 6 Další řšné příklad: Nřšné příklad: ) Určt pomocí difrnciálu přibližnou hodnotu,6, 9. [, 99 ] ) Najdět rovnici tčné rovin k grafu funkc z f (, ) : a) z 5, ktrá j rovnoběžná s rovinou α : z. [ τ : z 5 ] b) b) z v bodě A [,,? ] [ τ : z ] Další příklad najdt v sbírc úloh v kapitol 7.: CZ..7/../5.6

72 Použitá Litratura 7 POUŽITÁ LITERATURA [] ŠKRÁŠEK J. a kol.: Základ aplikované matmatik I. a II. SNTL, Praha, 986. [] DOBROVSKÁ V., VRBICKÝ J..: Difrnciální počt funkcí víc proměnných - Matmatika IIb. Skriptum VŠB-TU, Ostrava,, ISBN [] VRBENSKÁ H.: Základ matmatik pro bakalář II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 998, ISBN [] lktronický učbní tt: CZ..7/../5.6

73 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 8 Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava ISBN Tnto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

74 OBSAH CVIČENÍ Č Příklad... POUŽITÁ LITERATURA... 7 CZ..7/../5.6

75 Cviční č. 8 CVIČENÍ Č. 8 STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Určování volných lokálních trémů funkc dvou proměnných Výpočt vázaných lokálních trémů MOTIVACE: Etrém funkcí jsou jdnou z njdůlžitějších aplikací difrnciálního počtu a stkávám s s nimi takřka všud. CÍL: Umět určit stacionární bod funkc a nalézt volné a vázané lokální trém funkc dvou proměnných. CZ..7/../5.6

76 Cviční č. 8. PŘÍKLADY Příklad : Určt lokální trém funkc f (, ) 6. Řšní: D f R R f 6, f 6 Lokální trém můž nastat v stacionárních bodch, ktré dostanm řšním soustav 6 6 Z druhé rovnic si vjádřím proměnnou pomocí a dosadím do první rovnic, dostávám: 8 a 6. Dosadím do první rovnic a vpočtm k každému příslušné. Pro dostanm. Pro 6 dostanm 8. Mám td dva stacionární bod A [,], B [6,8]. parciální drivac istují v všch bodch dfiničního oboru žádné další bod (kromě stacionárních) podzřlé z trému nistují Vpočtm hodnot druhých drivací f 6, f 6 f, a určím hodnot dtrminantů Pro bod A [,] : Dtrminant j záporný, proto v bodě A [,] nmá funkc trém. CZ..7/../5.6

77 Cviční č. 8 5 Pro bod B [6,8]: f ( B) Dtrminant j kladný, proto má funkc v bodě B [6,8] trém. Výraz 6 j záporný, v bodě B [6,8] má daná funkc lokální maimum. Hodnota tohoto maima j f ( B). Příklad : Určt vázané trém funkc z za podmínk. Řšní: z vazbní podmínk lz plicitně vjádřit proměnnou, takž vužijm přímé mtod dosadím do přdpisu funkc a dostanm funkci jdné proměnné ( ) f ( ) hldám lokální trém funkc proměnné D f R najdm stacionární bod: 8 f ( ) 8, rozdělím dfiniční obor na intrval a budm zjišťovat monotónnost na jdnotlivých intrvalch, : f ( ) 8 ( ) 6 < na, j funkc klsající, : f () > na, j funkc rostoucí (, ) : f () 8 8 < na (, ) j funkc klsající monotónnost s v bodě mění z klsající na rostoucí v bodě j lokální minimum monotónnost s v bodě mění z rostoucí na klsající v bodě j lokální maimum CZ..7/../5.6

78 Cviční č. 8 6 Závěr: v bodě 7,, 7 v bodě (,,5) má funkc f (, ) vázané lokální minimum má funkc f (, ) vázané lokální maimum Další řšné příklad: Nřšné příklad: ) Určt lokální trém funkc f (, ) v, má lokální maimum ) ) Určt lokální trém funkc f (, ) ln. [nmá lok. trém] ) Určt vázané trém funkc f (, ) 5 vzhldm k podmínc. [ v [,-] vázané lokální minimum] Další příklad najdt v sbírc úloh v kapitol 7.: CZ..7/../5.6

79 Použitá Litratura 7 POUŽITÁ LITERATURA [] ŠKRÁŠEK J. a kol.: Základ aplikované matmatik I. a II. SNTL, Praha, 986. [] DOBROVSKÁ V., VRBICKÝ J..: Difrnciální počt funkcí víc proměnných - Matmatika IIb. Skriptum VŠB-TU, Ostrava,, ISBN [] VRBENSKÁ H.: Základ matmatik pro bakalář II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 998, ISBN [] lktronický učbní tt: CZ..7/../5.6

80 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 9 Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava ISBN Tnto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

81 OBSAH CVIČENÍ Č Příklad... POUŽITÁ LITERATURA... 9 CZ..7/../5.6

82 Cviční č. 9 CVIČENÍ Č. 9 STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Řšní difrnciálních rovnic. řádu sparací proměnných MOTIVACE: V podobě difrnciálních rovnic lz formulovat vlkou spoustu vědckých problémů, a tak s difrnciální rovnic objvují snad v všch vědckých oborch. Njvětší zastoupní mají v matmatic a fzic. CÍL: Poznat sparovanou difrnciální rovnici a umět nalézt obcné i partikulární řšní dané rovnic. CZ..7/../5.6

83 Cviční č. 9. PŘÍKLADY Příklad :. Určt obcné řšní rovnic ( ) Řšní: Musím zjistit, o jaký tp rovnic jd. Zkusím osamostatnit na lvé straně rovnic drivaci. jdná s o sparovatlnou rovnici, jlikož jsm na pravé straně dostali součin f ( ) g( ) ( f ( ) a g ( ) ) rovnici vdělím funkcí f () a drivaci si přpíšm pomocí difrnciálů d přvdm na pravou stranu k funkci g () a dostanm již sparovanou rovnici d d d d d d při řšní intgrálu na lvé straně si pomůžm substitucí a pak rozkladm na parciální zlomk t d dt dt d ( ) ( t ) t ( t ) t A t B t A t B ( t ) dosazním kořnů dostanm hldané koficint rozkladu: t B t A A vrátím substituci a dosadím do rovnic dt ln ln ln dt t t ( t ) t t t t t CZ..7/../5.6

84 Cviční č. 9 5 ln c obcné řšní na lvé straně rovnic všl po intgraci logaritmus řšní upravím ln c ln ln ln c ( ) C označili jsm c C C C upravné obcné řšní na obrázku jsou intgrální křivk pro C,,,,, a singulární řšní Příklad : Určt partikulární řšní rovnic Řšní: ( ) cot za podmínk π. ( ) cot sparovatlná (j v tvaru f ( ) g( ) ) cot za přdpokladu d d cot d cot d sparovaná CZ..7/../5.6

85 Cviční č. 9 6 d cot d ln ln sin c obcné řšní jlikož na lvé straně všl logaritmus, obcné řšní upravím ln ln sin ln C označili jsm c ln C z důvodu, ž i na pravé straně všl po intgraci logaritmus, dostávám podmínku pro C > ln / ln C C ( sin C) C sin sin sin ( C sin ) hldám partikulární řšní, proto musím určit konstantu C dosazním počátční podmínk π π do upravného obcného řšní, tzn. a π C sin C C C C, ± Z podmínk C > dostávám pouz jdno řšní pro C a to C. Dosadím do obcného řšní a mám hldané partikulární řšní. ( sin ) partikulární řšní (na obrázku vkrslno modř) obcné řšní rovnic ( ) cot pro C,,,, 5 CZ..7/../5.6

86 Cviční č. 9 7 Příklad : Určt tvar křivk řtězu závěsného mostu (viz obrázk), přdpokládám-li, ž zatížní j rozložno rovnoměrně horizontálně po délc řtězu. Hmotnost řtězu zandbám. Řšní: Na řtěz působí tíhová síla mostovk a tahová síla závěsů řtězu. Na část řtězu délk mg působí tíhová síla F G, kd m j clková hmotnost mostu, l j délka mostu a dvě l tahové síl. Nchť řtěz svírá s horizontální rovinou v bodě úhl α, pak pro tnto úhl platí: d tg α. Tahovou sílu můžm rozložit do dvou složk: F F cosα a F F sinα. d Jlikož j řtěz v rovnováz, musí být výsldnic sil nulová, tzn. v směru os : F F cosα v směru os : F sinα FG Po úpravě dostávám (z první rovnosti si vjádřím F F a dosadím do druhé) cosα F FG sinα FG tgα tgα cosα F mg lf d d mg lf mg označím jako konstantu pro daný druh řtězu, tj. lf a dostávám difrnciální rovnici d d mg lf o, ktrá j sparovatlná a vřším: d o d d o d o c vrátím substituci za o a dopočítám intgrační konstantu z počátčních podmínk - pokud j, musí být i o CZ..7/../5.6

87 Cviční č. 9 8 mg lf řtěz má tvar parabol Další řšné příklad: Nřšné příklad: Nalznět řšní rovnic π a) a) sin ln za podmínk tg b) b) ( ) d d C c) c) [ C( )] Další příklad najdt v sbírc úloh v kapitol 8..: CZ..7/../5.6

88 Použitá Litratura 9 POUŽITÁ LITERATURA [] VLČEK J., VRBICKÝ J.: Difrnciální rovnic - Matmatika IV. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 997, ISBN [] KALAS J., RÁB M.: Občjné difrnciální rovnic. Masarkova univrzita,. vd, Brno,, ISBN [] VRBENSKÁ H.: Základ matmatik pro bakalář II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 998, ISBN [] lktronický učbní tt: CZ..7/../5.6

89 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava ISBN Tnto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

90 OBSAH CVIČENÍ Č..... Příklad... POUŽITÁ LITERATURA... 9 CZ..7/../5.6

91 Cviční č. CVIČENÍ Č. STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Řšní homognní difrnciální rovnic Řšní aktní difrnciální rovnic Řšní linární difrnciální rovnic MOTIVACE: Ukážm si postup při řšní dalších tpů difrnciálních rovnic. řádu. Budm s věnovat aktním rovnicím, ktré hrají významnou roli v aplikacích v fzic a linárním rovnicím, ktré patří v praktických úlohách k njčastějším. CÍL: Poznat tp difrnciální rovnic prvního řádu a umět dané rovnic vřšit. CZ..7/../5.6

92 Cviční č.. PŘÍKLADY Příklad : Určt obcné řšní rovnic ( cos cos ) d ( sin sin ) d. Řšní: Určím tp: vidím, ž rovnic j v tvaru P (, ) d Q(, ) d, mohlo b s td jdnat o aktní rovnici - ověřím, musí platit: P Q P sin cos, cos sin rovnost j splněna, jdná s td opravdu o aktní difrnciální rovnici Q Pd cos sin Qd sin cos kmnová funkc vznikn součtm intgrálů, kd stjné čln uvažujm pouz jdnkrát: F(, ) cos sin obcné řšní: cos sin C Příklad : Určt partikulární řšní rovnic ( ) Řšní: za podmínk ( )., rovnic j v tvaru a( ) b( ), tzn., jdná s o linární difrnciální rovnici první vřším příslušnou homognní LDR - v rovnici nchám pouz čln s a (pravou stranu nahradím ) sparovatlná rovnic d d ln ln ln c CZ..7/../5.6

93 CZ..7/../5.6 5 Cviční č. c obcné řšní homognní LDR mtoda variac konstant - konstantu c nahradím funkcí proměnné : ) c( c ) ( c, drivujm: ) ( ) ( c c a dosadím do původní nhomognní LDR ) ( ) ( ) ( c c c, upravím a zkontrolujm, ž s nám čln s ) ( c vruší ) ( c ) ( c c c d c ) ( ) ( dosadím do ) ( c a dostávám obcné řšní LDR c c hldané partikulární řšní získám dosazním počátční podmínk ( ) do nalzného obcného řšní, c c partikulární řšní:

94 Cviční č. 6 Příklad : Určt obcné řšní rovnic ln. Řšní: určím tp DR: proměnná s vsktuj v argumntu logaritmické funkc njd o linární DR ln osamostatním drivaci:... njd o sparovatlnou DR, jlikož na pravé straně ndostanm součin funkc proměnné a funkc proměnné, vidím al, ž na pravé straně s proměnné vsktují v tvaru : ln jdná s o homognní DR zavdním substituc z, z z upravím na sparovatlnou DR z z z ln z z z ln z z dz z ( ln z ) d ln ln z ln ln c ln z c vrátím substituci a dostávám hldané obcné řšní DR ln c c c Příklad : Tplota káv j v počátční fázi v bodu varu ( C ). V pokoji, kd s šálk nachází j C. Určt, jak s bud vvíjt tplota káv v čas. Řšní: du Situac j popsána Nwtonovým zákonm ochlazování: λ ( u u p ), kd λ > j dt konstanta úměrnosti, u j tplota káv v čas t a u p j tplota pokoj. Po dosazní dostávám difrnciální rovnici tvaru: u λ ( u ) s počátční podmínkou u ( ). CZ..7/../5.6

95 Cviční č. 7 Jdná s o linární difrnciální rovnici. První vřším rovnici v zkrácném tvaru. u λ u u λu du u λ dt u c k nalzní řšní nhomognní rovnic použijm mtodu variac konstant c c(t) λt u c ) λt ( t, u c ) λt λt ( t) λ c( t dosadím do původní rovnic λt λt λt c ( t) λ c( t) λ c( t) λ λt λt c ( t) λ c( t) λ dt c( t) dosadím do odhadovaného řšní a užitím počátční podmínk určím konstantu c: u u ( c) λt λt λt c obcné řšní λ c 78 c hldaná funkc popisující vývoj tplot káv v čas j: u 78 Další řšné příklad: λt λt c CZ..7/../5.6

96 Cviční č. 8 Nřšné příklad: Nalznět řšní rovnic a) ( ) b) b) za podmínk ( ) [ ln ] [ ( c) ] arctg [ arctg C ] c) c) ( ) arctg Další příklad najdt v sbírc úloh v kapitol 8.., 8.. a 8..5: CZ..7/../5.6

97 Použitá Litratura 9 POUŽITÁ LITERATURA [] VLČEK J., VRBICKÝ J.: Difrnciální rovnic - Matmatika IV. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 997, ISBN [] KALAS J., RÁB M.: Občjné difrnciální rovnic. Masarkova univrzita,. vd, Brno,, ISBN [] VRBENSKÁ H.: Základ matmatik pro bakalář II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 998, ISBN [] lktronický učbní tt: CZ..7/../5.6

98 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava ISBN Tnto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

99 OBSAH CVIČENÍ Č..... Příklad... POUŽITÁ LITERATURA... 8 CZ..7/../5.6

100 Cviční č. CVIČENÍ Č. STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Nalzní charaktristické rovnic a jjí řšní Řšní homognní linární difrnciální rovnic. řádu MOTIVACE: Difrnciální rovnic druhého řádu jsou často vužíván v oblasti fzik pro popis fzikálních vztahů. CÍL: Umět vřšit zkrácnou linární rovnici - vtvořit charaktristickou rovnici a na základě jjího řšní dokázat určit správný tvar obcného řšní příslušné LDR. řádu. Pomocí wronskiánu dokázat ověřit, ž dané funkc tvoří fundamntální sstém řšní rovnic. CZ..7/../5.6