Matematická statistika II

Transkript

1 Ig Pavla Hošová, PhD Pef 3 Pato č 49 Hoova@pefczucz Kozultačí hod: út - 4:3-5:3 atematcá tatta II předáš Předmět je zaoče zápočtem a zoušou Podmí po uděleí zápočtu: - Řádá účat a cvčeí ( toleací 3 aecí) - otolí tet výled jou započítává do výledé zám u zouš - Vpacováí pojetu vužtím tattcého pogamu SAS (pojet je ozámová a záma e započítává do zám u zouš) Studet teří zvol aalářou pác a atedře tatt, mohou pojet zpacovávat v ámc vé aalářé páce Otatí tudet am avhou téma, teé jm mí vučující chvált Zouša - Píemá a útí - Součátí oečého hodoceí, tz Do výledé zám, jou započítává taé dílčí zám a to: o Z předmětu SI o Z otolích tetů o Z pojetu Cíl předmětu Pohlout zalot ze záladího uzu matematcé tatt, zvládout amotaté používáí metodcého apaátu aalýz datových ouoů vužtím tattcého oftwau Oah předmětu - Regeí a oelačí aalýza - Aalýza ategoálích dat - etod aalýz čaových řad Dopoučeá lteatua Statta Káa, Svatošová Regeí a oelačí aalýza Aalýza závlotí Koelačí aalýza e zaývá vzájemým (většou leáím) závlotm, d e lade důaz především a teztu (ílu) vzájemého vztahu ež a zoumáí velč ve měu příča álede Regeí aalýza e zaývá jedotaým závlotm Jedá e o tuac, d pot oě tojí vvětlující (ezávle) poměá v úloze příč a vvětlovaá (závle) poměá v úloze áledů Dává odpověd a otáz tpu: jaý vztah etuje mez poměým X a Y (leáí, vadatcý atd), lze poměou Y odhadout pomocí poměé X a jaou chou? Stattcá aalýza má v těchto ouvlotech áledující cíle: - Potout číelé mí vztahu dvou poměých podoým způoem, jao půmě a měodatá odchla popjící chováí jedé poměé - Najít vzoce po optmálí pedc poměé, teou považujeme za závle poměou - Ohodott chu pedce - Ověřovat ůzé hpotéz o zoumaém vztahu Dvouozměá aalýza dat Záladí potup dvouozměé aalýz je podoý jao v jedoozměém případě: - Nejdříve e pouíme zoazt data gafc - Hledáme záladí ofguace a tedece v datech - Přdáváme umecé chaatet ůzých apetů dat - Čato e ám podaří vthout tučým způoem záladí ofguac dat pomocí pavděpodootího modelu - - Cht

2 atematcá tatta II předáš Bodový gaf po poouzeí závlot Y a X Hodot poměé Y Hodot poměé X Koelačí taula po za X a Y X Y j m j m j m j m j m j j m Cílem egeí a oelačí aalýz je pop tattcých vlatotí vztahu dvou eo více poměých Dvojozměý odový gaf eo oelačí taula dávají pví předtavu o ozděleí ledovaých poměých Gaf čato duje převapvé vlatot dat jao eleatu vztahu, ehomogetu eo přítomot odlehlých hodot Koelačí aalýza Koelace oecě ozačuje míu tupě závlot dvou poměých Říá e, že dvě poměé jou oelovaé, jetlže učté hodot jedé poměé mají tedec e vtovat polečě učtým hodotam duhé poměé ía této tedece může ahat od eetece oelace (všech hodot poměé Y e vtují tejě pavděpodoě aždou hodotou poměé X) až po aolutí oelac ( daou hodotou poměé X e vtuje pávě jeda hodota poměé Y) Př zoumáí oelačích vzathů má ozhodující výzam valtatví ozo podladových výdajů Nemá ml měřt závlot tam, de a záladě logcé úvah emůže etovat - - Cht

3 atematcá tatta II předáš Čato je ztečé měřt závlot v případech, dž je oelace způoea: - Fomálím vztah mez poměým - Nehomogetou tudovaého záladího mateálu - Půoeím polečé příč Fomálí oelace vzá apř tehd, dž e zjšťuje oelace pocetuálích chaatet, jež e avzájem doplňují do % (apř oelace pocetího zatoupeí ílov a tuu v potavách) Jetlže populace, teou tudujeme, oahuje upopulace, po ěž e půměé hodot poměých X a Y lší, vpočteé oelačí vztah jou touto ehomogetou lě ovlvě a jejch hodto epopují utečý vztah mez uvažovaým poměým Nehomogeta mateálu e pojeví a odovém gafu ta, že hlu odů po upopulace e udou acházet v ůzých olatech ouřadcového tému Příladem oelací způoeých polečou příčou jou vztah mez ěteým míam těla, apř mez délou pavé a levé u Zdálvé oelace jou způoeé čaovým fatoem eo fatoem modezace u dvou řad údajů Přílad zdálvé oelace Počet televzích přítojů a oou oeluje očeávaou délou žvota Ve tátech, de je moho televzích přítojů, doahují ovatelé voého věu Je možé změou počtu televzích přítojů doáhout podloužeí věu v olatech věta, de je žší očeávaá déla žvota? Podoým oelacím e ěd říá emlé oelace Hodota oelace je voá Nemlý l závě o příčém půoeí Koelačí závlot je zdůvoděa poměou áodí důchod, jež je polečou příčou oou poměých Komě půoeí poměé jao polečé příč mohou půot matoucí (ušvé) poměé, teé oelují ja cílovou poměou, ta poměou ovlvňující Poměá v tomto případě zeadňuje tepetac, potože elze ozlšt vlv matoucí a ledovaé ovlvňující poměé a cílovou poměou Potup po ověřováí auzálího vztahu Fomálí oelace? ANO NE Nehomogeta? ANO NE Půoeí třetí velč? (zdálvá oelace) ANO NE Kauzálí vztah Závlot příčá (auzálí) Př této závlot jede jev (příča) vvolává etec (vz, změu, zá apod) jevu duhého Jede jev (příča) podmňuje jev jý (úče, álede) Příčá závlot jevů má všeoecý chaate, eoť aždý jev je příčou a oučaě účem jevů jých, taže etuje všeoecé zřetězeí příč a účů Příčou ouvlotí mez apř dvěma jev e ozumí tuace, d výt učéh jevu ouví (má za álede, vvolává) etec jého jevu Peaoův oelačí oefcet - ejdůležtější ía íl vztahu dvou áhodých pojtých poměých X a Y Koelačí oefcet počítáme pomocí tzv Kovaace a měodatých odchle a oou poměých: Cht

4 atematcá tatta II předáš cov(, ), de ( )( ) Důležté vlatot oelačího oefcetu Platí - Jetlže, leží všech od a ějaé přímce 3 Jetlže, azýváme X a Y eoelovaé poměé Dvě áhodé poměé jou tím více oelová, čím líže je hodota čílům eo - V tom případě lze vztah oou poměých doře vjádřt přímou 4 Jeltže <, ep >, ta e Y v půměu zmešuje, ep zvětšuje př zvětšováí poměé X Říáme, že je oelace zápoá, ep ladá 5 Peaoův oelačí oefcet vjadřuje pouze ílu leáího vztahu Špatě měří jé vztah, ať jou jaol lé 6 Koelačí oefcet e ezměí, dž změíme jedot měeí poměých X a Y 7 Podoě jao půmě eo měodatá odchla, je oelačí oefcet velm ovlvě odlehlým hodotam 8 Koelačí oefcet eozlšuje mez závle a ezávle poměou 9 Koelačí oefcet eí úplým popem dat př velm lém leáím vztahu Po úplější pop potřeujeme zát ovc přím, teá vjadřuje tva vztahu Poud jeda z poměých emá áhodý chaate (její hodot jou pevě uče), eí vhodé oelačí oefcet použt Koelace, ať je jaol lá, ezameá ama o oě půaz příčého vztahu, ted toho, že změ poměé X utečě půoí změ poměé Y Těot závlot lze podoě hodott zhua tato: <,3 těot ízá,3,5 těot míá,5,7 těot výzačá,7 <,7 těot velá,9, těot velm voá Itepetace hodot oelačího oefcetu eí ta přímočaá, jao je tomu u větš jedoozměých chaatet Poto e dopoučuje dopočítat další chaatet, jao jou paamet položeé přím eo měodatá cha odhadu př ege Duhou mocou oefcetu oelace je oefcet detemace, teý udává, jaé poceto ozptýleí empcých hodot závle poměé je důledem ozptlu teoetčých hodot závle poměé odhadutých a záladě egeí přím Stupce těot závlot podle oefcetu detemace je zhua tato: < % těot ízá % < 5 % těot míá 5 % < 5 % těot výzačá 5 % < 8 % těot velá 8 % těot velm voá Koefcet detemace lze taé vjádřt jao pomě vvětleé valt celové vaaltě Y: ( ) ( ) Pozáma: ozptl vovaých hodot (teoetcý ozptl) vvětleá vaalta ( ) ozptl empcých (utečě zjštěých) hodot celová vaalta ( ) Cht

5 Přílad Hodotíme závlot výš (cm) a váh (g) u tudetů Dále jme zjtl: Výzam eploačího zoazeí dvouozměých dat atematcá tatta II předáš Studet č ( )( ) oučet ,3965 5, ( )( ) 59 5,9 5,3965*5,537667, ,9 % 5,9, ,4 9,4 7,46 8 6,58 8 6,95 8 8,4 8 6,77 8 5,76 3 7,58 3 8,74 3,74 8 7,7 9 8,8 9 8,77 9 7, 8 8,84 8,33 9,6 7,8 8 8,47 4 9,96 4 8, 4 8,84 8 7,4 6 7,4 6 6,3 6 6,8 8 5,5 4 4,6 4 3, 4 5,39 9,5,84 9,3 8,5 8 5,56 7 4,8 7 7,6 7 6,4 8 7,9 5 5,68 5 4,74 5 5,73 8 6,89 Záladí tattcé chaatet jou po všech ée dat tejé: 9; 3,3; 7,5;,3 a,86,5,5 9,5 8,5 7,5 6,5 5,5 4,5 Pví ée 3, ,5 9,5 8,5 7,5 6,5 5,5 4,5 3,5 Duhá ée, Cht

6 atematcá tatta II předáš Třetí ée Speamaův oelačí oefcet pořadí Používá e u méě ozáhlých ouoů eo v případě, že chceme zíat chlou předtavu o teztě závlot Koefcet zachcuje mootóí vztah (e pouze leáí, ale oecě otoucí eo leající); je eztetí vůč odlehlým hodotám Tímto oefcetem měříme ílu vztahu X a Y, dž emůžeme předpoládat leatu očeávaého vztahu eo omálí ozděleí poměých X a Y Jetlže, ep -, páové hodot (, ) leží a ějaé vzetupé, ep leající fuc Koefcet oelace pořadových číel (- ) e vpočte podle vztahu 6* ( d, ) de d jou ozdíl pořadí R a R hodot a vzhledem otatím hodotám eřazeého výěu podle velot Speamaův oefcet e ěd používá po odhad Peaoova oelačího oefcetu Po dvouozměě omálě ozděleé poměé Y a Y platí přlžý vztah ρ (,53 ρ) Speamaův oefcet oelace lze výhodou uplatt v tuacích, d - potřeujeme chlý a eztetí odhad oelačího oefcetu - tetujeme chopot zoumaé oo pávě řadt ojet eo vlatot podle učtých hlede ta, že j echáme eřadt tto ojet eo vlatot a toto eřazeí pa ováme e tadadem, - tetujeme možot přítomot mootóího tedu v čaové řadě měřeí Přílad potupu př výpočtu Speamaova oelačího oefcetu pořadí R R d R - R d ,5 3,5, ,5 8 -,5, ,5 -,5, ,5 4, ,5 -,5, Součet ,5,5 9,5 8,5 7,5 6,5 5,5 4,5 Pví ée 3, ,8;,8,8;,69,5 9,5 8,5 7,5 6,5 5,5 4,5 3,5 3,5,5,5,5 9,5 8,5 7,5 6,5 5,5 Čtvtá ée 4, *6,84 ( ) Duhá ée, Cht

7 Třetí ée atematcá tatta II předáš,8;,99,8;,5 3,5,5,5,5 9,5 8,5 7,5 6,5 5,5 Čtvtá ée 4, ; Pátá ée,5 9,5 8,5 7,5 6,5 5,5 4,5 3,5,5 3,5 5,5 7,5 9,5,5 3,5 5,5 Šetá ée ,77; - mootóí vztah Odhad a tetováí oelačího oefcetu Povádí e za předpoladu, že polečé ozděleí oou poměých lze modelovat dvouozměým omálím ozděleím eo ja vjádřeo ozděleí oou poměých je omálí a jejch vztah je přlžě leáí Tetuje e hpotéza o ulové hodotě oelačího oefcetu záladího ouou, ted H: ρ Hpotéza předpoládá, že oelace eetuje, tz velč X a Y jou ezávlé Alteatví hpotéza je potavea a etec oelace, ted H: ρ Tet hpotéz e povádí pomocí tetového téa t *, teé má za platot H Studetovo t-ozděleí f tupích volot V případě, že vpočteá hodota tetového téa pade do tcého oou, zamítá e ulová hpotéza a etece leáí oelačí závlot e považuje za poázaou t f t ( ) H α e zamítá Itevalový odhad oelačího oefcetu V případě, že výěový ouo má dotatečě velý ozah ( > ), lze ozděleí výěového oelačího oefcetu apomovat omálím ozděleím Ooutaý teval polehlvot je v daém případě možo pát: P ( u * ρ u * ) α, α α přčemž Ve většě případů (především, d < ) e vša vužívá Fheov tafomace, eoť výěový oefcet oelace eodpovídá téím odového odhadu íto výěového oefcetu oelace e zavádí tafomovaá velča z z acta h( ) l Cht

8 atematcá tatta II předáš Touto tafomací e ozšířl teval hodot a teval - z Nová poměá má přlžě půmě µz a měodatou odchlu z µ z l, z 3 Dvoutaý teval polehlvot po tafomovaou velču záladího ouou má vjádřeí: P ( z t z t * ), α * µ α ( ) z z α ( ) z Zpět do měříta oelačího oefcetu převedeme oa ají od tevalu pomocí vezí tafomace z-: e e z z Zíáme ta teval polehlvot po oelačí oefcet ρ Přílad 3;,7778; t,5(8),48 H: ρ H: ρ,7778 t * 3 5,44399,7778 f t H e zamítá t α z z,77 l,96,77, ,96,48*,945,96,48*,945 µ z (,468,9574 ), 95 P µ z P,468 ρ,866, ( ) 95 Regeí aalýza Jde o přeější pop tvau vztahu mez poměým X a Y a chaatezováí jeho vhodot po pedc hodot závle poměé pomocí hodot ezávle poměé ůže jít apř o áledující tuace: - Koelačí oefcet gaf poazují leáí vztah mez potřeou zemího plu v tě v závlot a veoví teplotě Otáza zí, ja přeě můžeme pedovat potřeu pomocí teplot - Ve potovím výzumu máme apř data o chlot oaů a haě můtu a doažeé délce ou Zajímá á, jaý je mez m vztah: lze pomocí chlot pedovat délu ou, jaou přeotí, je vztah leáí? V egeí aalýze oecě aalzujeme vztah mez jedou poměou zvaou cílová eo závlá poměá (Y) a ěola dalším, teé azýváme ezávlé eo ovlvňující poměé (X) Vztah epezetujeme matematcým modelem, což je ovce, jež vazuje závle ezávle poměou a pavděpodootí předpolad, teé měl vztah plňovat Závle poměá e pojea ezávle poměým fucí azývaou egeí fucí, jež oahuje ěol ezámých paametů Jetlže tato fuce je leáí v těchto paametech (emuí ýt leáí v poměých), mluvíme o leáím egeím modelu Stattcé polém, teá á zajímají v egeí aalýze, jou: - zíáí tattcých odhadů ezámých paametů egeí fuce, - tetováí hpotéz o těchto paametech, - ověřováí předpoladů egeího modelu Cht

9 atematcá tatta II předáš Poládáí dat přímou áme dpozc upořádaé dvojce číelých údajů (, ), (, ),, (, ) po poměé X a Y Jetlže gaf uáže leáí vztah mez poměým, ulujeme o zachceí vztahu tím, že od položíme přímu Hledáme přímu, jež je epemetálím odům co možá ejlíže (žádá příma epote všech od) Sažíme e učt taovou přímu, teá ude co ejlépe pedovat -hodot pomocí -hodot Záladí model egeí závlot jedou ezávle poměou X vjadřuje lovolou hodotu závle poměé Y jao: f ) e, ( de f() je tzv egeí fuce a e je áhodá (ezduálí) odchla -tého pozoováí poměé Y Rezduálí odchla (cha pedce) ozdíl mez aměřeou a očeávaou hodotou Doře položeá příma a * mmalzuje velot ezduálích hodot po hodot (, ), teým přímu poládáme Po taoveí paametů e ejčatěj používá metoda ejmeších čtveců Hodot paametů a, přím a * zíáme touto metodou ta, a oučet duhých moc ezduálích hodot l mmálí vzhledem paametům a, e ( a ) malzuje ečteé čtvece úeče, teé vzačují vzdáleot odu od položeé přím ve měu o Y Výpočet tohoto mma vede optmálím hodotám *, a, de je oelace oou poměých a, jou měodaté odchl aměřeých hodot poměých X a Y Hodota ` je odhad cílové poměé pomocí egeího vztahu (` a ): ezduálí hodota aměřeá hodota pedovaá hodota ` Rozptýleot odů olem přím je chaatezováa ztovým (ezduálím) ozptlem, případě měodatou chou odhadu př ege (lze taé pooudt přeot povedeých egeích odhadů jao míu ch) e ( ) Jedotaá závlot poměá X je ezávle poměá a Y pa závle poměá Ooutaá závlot elze přeě ozhodout, teá poměá je závlá a teá ezávlá a a Vztah po ege X a Y zíáme vhodou záměou ve vzocích (apř */, de je oelačí oefcet) ez měcem oou egeích příme a etuje vztah * Cht

10 atematcá tatta II předáš ůžeme ted alézt dvě egeí přím, teé e udou potíat v odě a tvoří jaé ůž Čím větší je oelace, tím více jou ůž tut 3,5,5 ; 9,5 7,5 5,5 3,5 3,5 5,5 7,5 9,5,5 3,5 etoda ejmeších čtveců potup taoveí paametů u jedoduché leáí závlot a ( ) Z podmí mmálot čtveců jou vvoze omálí ovce, ze teých e jejch řešeím vpočtou ezámé paamet a a f ( a, ) á-l tato fuce f(a,) mmum, muejí e její pví pacálí devace podle otat a a ovat ule f ( a, ) a f (a, ) Ted platí ( ( m [ ( a )] m ( ( a )( ) a Váoeím aždé z ovc /, ozvedeím oučtů a oamotatěím oučtů oahujících e zíá outava omálích ovc Řešeím outav omálích ovc odžíme: a )( ) ) a ) a a ( a ) ( a ) a * - - Cht

11 atematcá tatta II předáš Jedotaá závlot poměá X je ezávle poměá a Y pa závle poměá Ooutaá závlot elze přeě ozhodout, teá poměá je závlá a teá ezávlá (dužeé přím) a a Vztah po ege X a Y zíáme vhodou záměou ve vzocích (apř */, de je oelačí oefcet) ez měcem oou egeích příme a etuje vztah * ůžeme ted alézt dvě egeí přím, teé e udou potíat v odě a tvoří jaé ůž Čím větší je oelace, tím více jou ůž tut 3,5,5 ; 9,5 7,5 5,5 3,5 3,5 5,5 7,5 9,5,5 3,5 atcové vjádřeí egeího polému Leáí (teoetcý) model lze zapat jao Xβ ε, ve teém: -čleý áhodý veto apozoovaých (zjštěých) hodot vvětlovaé poměé Y, X eáhodá matce tpu () zvoleých omací hodot vvětlujících poměých, β je ()čleý veto ezámých paametů modelu, ε -čleý veto epozoovatelé ušvé (áhodé) lož Po lepší předtavu X L L L β β β β ε ε ε ε Z uvedeého zápu je vdět, že v leáích ovcích je p ezámých egeích paametů a hodot áhodé lož Soutavu omálích ovc po hledaou fuc X ε lze pa v matcovém tvau vjádřt tato: X X X Za předpoladu, že matc X`X etuje matce vezí, dotaeme veto odhadovaých paametů podle vztahu ( X X) X - - Cht

12 atcově lze taovt hodotu oelačího deu I X ( ) ( ) atematcá tatta II předáš Předpolad metod ejmeších čtveců Regeí paamet β mohou aývat lovolých hodot V techcé pa vša čato etují omezeí paametů, teá vcházejí z jejch fzálího mlu Regeí model je leáí v paametech a platí adtví vztah Xβ ε Vvětlující poměé X, X,, X jou eáhodé a eetuje mez m fučí leáí závlot Po daou omac hodot vvětlujících poměých jou hodot epozoovatelé ušvé lož ε omálě ozděleé, ezávlé áhodé velč ulovým tředím hodotam a e tejým (otatím) ozptlem σ Neol veto hodot ušvé lož ε má -ozměé omálí ozděleí N(, σ) vetoem tředích hodot E(ε) a ovaačí matcí σ E, de E je jedotová matce Náhodé ch ε mají ulovou tředí hodotu E(ε), otatí a oečý ozptl E(ε) σ Taé podmíěý ozptl D(/) σ je otatí a jde o homoedatcý případ Náhodé ch ε jou vzájemě eoelovaé a platí cov (ε, εj) E(ε, εj) Poud mají ch omálí ozděleí, jou ezávlé ( ε ) D cov( ε ε) cov( ε ε ) cov( ε ε) Odhad v egeí aalýze Itepolace předmětem zájmu je ěteá z použtých omací vvětlujících poměých Etapolace pozoot je upřea a hodotu poměé Y po předpoládaé udoucí eo výzumě zajímavé omace hodot poměé Y Je uté odlšt dva výzamově záadě odlšé případ: Odhad půměé hodot Y eol odhad podmíěé tředí (očeávaé) poměé Y vzhledem e zvoleé hodotě (omac hodot) vvětlující poměé Odhad oétí hodot ` eol předpověď ` a hodot poměé Y vzhledem e zvoleé hodotě (omac hodot) vvětlující poměé Pá polehlvot olem egeí přím Z ovce egeí přím zoumaého ouou lze učovat teoetcou hodotu závle poměé přílušející učté utečé hodotě ezávle poměé Avša utečé oétí hodot závle poměé jou více méě ozptýle olem taoveé egeí přím Se zvoleou pavděpodootí je možo učt tzv pá polehlvot, v ěmž e tto utečé (empcé) hodot acházejí jao ± t α je měodatá cha, teá je ova cov( ε ε ) D ( ε ) cov( ε ε ) L L L cov( εε ) cov( ε ε ) D σ ( ) ε σ L L L σ e ( ), přčemž ( a ) a t α jou (-α/)% vatl Studetova t-ozděleí (-) tup volot - - Cht

13 atematcá tatta II předáš Přílad Po závlot poměé Y a poměé X la taovea egeí příma ve tvau ` 4,375,994 a pomocé výpočt 7, 6,35 6,35 ( 4,375 7,,998 35,4) t-α/ (),8 (m, ma) 4,375,994 ±,8 *,8 Zameá to, že dolí mez po utečé hodot je (m),96456,994 a hoí mez (ma) 6,7866, ,4, Tet výzamot egeího oefcetu Nulová hpotéza předpoládá, že výěový oefcet egee je odhadem egeího oefcetu ZS, o ěmž e předpoládá, že má ulovou hodotu, tz že platí H: β Tetové téum má tva t, de * t f tα ( ) H e zamítá V případě, že e zamítá H, je etece leáí závlot poázáa a odvozeou egeí fuc lze použít pováděí egeích odhadů Itevalový odhad egeího oefcetu Ooutaý teval polehlvot po egeí oefcet je vmeze áledujícím způoem: ( t β t * ) P α ( ) * α ( ) α Přílad - ` 4,375,994 H: β t,5(),8,3365 * 4,67,635697, Cht

14 ,9949 t,7658 P P,646 Tet výzamot egeí přím K tetováí lze použít upaveý model aalýz ozptlu atematcá tatta II předáš t f tα H e zamítá (,994,8*,7658 β,994,8*,7658), 95 (,88 β,37), 95 p počet paametů ověřovaé fuce Jetlže F > Fα [(p-); (-p)], zamítáme H Přílušé oučt čtveců e taoví áledujícím způoem: po vaaltu egee po vaaltu olem egee po celovou vaaltu S S S ( ) ( ) ( ) Přílad Po závlot poměé Y a poměé X la taovea egeí příma ve tvau ` 4,375,994 ` - ` 68 8,7 9,79,5,46 3,,5976,744,54 3 8,8 8,8679,8754,5 3 9,3 8,438,789, ,7 9,35,9,386 38,,9668,348, ,3,48,4353,5 35,,85685,67,84 75,4 9,8597,3, ,6 8,7964,7,6 48,5 9,35,9, ,3,897,3,677 celem ,944, Cht

15 9,75833 S 7,944 S,787 S 9,649 F 7,944,787 F,5 [(-); (-)] 4,96 F > Fα [(p-); (-p)] zamítáme H atematcá tatta II předáš S 7,944 p 6,786 7,944 S,787,787 p Itevalový odhad egeí přím Iteval polehlvot, teý daou pavděpodootí poývá hledaou egeí přímu záladího ouou `j α βj, je uče a záladě egeí přím výěového ouou ` a a je vjádře tato: P u α ( ) ( ) j u α j ( H, D) ± t α ( ) ozptl poměé X měodatá odchla poměé Y α, ,9 4,67,3365,3858 j( H, D) 4,3754,994 ±,8,3858 ( 69,9) 84,994 ` `j(h) `j(d) 68 9,7 8,86,58 3,598 9,389,86 3 8,83 7,544, 3 8,44 6,83,4 48 9,3 8,355,88 38,97 9,463,37 33,48 9,33,56 35,857 9,45,6 75 9,86 8,994,75 8 8,73 7,368, ,3 8,355,88 88,9 9,85, Cht

16 atematcá tatta II předáš Stadadím výtupem větš pogamů egeí aalýz je závě Fheova-Sedecoova F-tetu o výzamot egeí přím a výled Studetova t-tetu o výzamot jedotlvých paametů vetou β (veto egeích paametů modelu) F-tet učuje záoveň multáí výzamot všech lože vetou β omě aolutího čleu ohou ted atat tto případ: - F-tet vchází evýzamý, všech t-tet vchází ověž jao evýzamé odel e pa považuje za evhodý, potože evthuje vaaltu poměé - F-tet všech t-tet vchází výzamé odel e považuje za vhodý vtžeí vaalt poměé To vša ještě ezameá, že je model avže pávě - F-tet vchází výzamý, ale t-tet evýzamé u ěteých egeích paametů odel je považová za vhodý a povádí e případé vpouštěí těch vvětlujících poměých, po teé jou paamet β evýzamě odlšé od ul - F-tet ce vchází výzamý, ale t-tet paametů β dují evýzamot všech vvětlujících poměých To je paado, potože fomálě ce model jao cele vhovuje, ale žádá z vvětlujících poměých eí ama o oě výzamá Jde o důlede multoleat Cht

17 atematcá tatta II předáš Hodoceí valt egeího modelu Po hodoceí valt aždého modelu je vžd ozhodujícím téem cíl aalýz, a tím použtelot výledů Vážé důled má eje vola špatého tpu egeího modelu a edotat použtých tattcých údajů, jaož výě evhodé metod odhadu paametů, ale eopávěot ěteých (ěd evědomě učěých) předpoladů a podmíe Potíž je v tom, že ejůzější vtující e aušeí modelu, dat, metod č předpoladů ývají vzájemě atol popojeá, že zolovaý eo potupý způo hodoceí ůzých apetů úloh emuí ýt dotatečý a popěšý V této ouvlot á mohou zajímat ůzé otáz, apř: - Jaé máme věcé eo empcé fomace - Jaým způoem la data pořízea a jaá je jejch valta - Kteé jou ozhodující a méě důležté vvětlující poměěé - Dopoučeý eo vzoušeý tp modelu a egeí fuce - Ja jou plěé podmí a předpolad leáího modelu - Jaá je přeot egeích odhadů - Jaé jou důvod případé edotatečé přeot odhadu Regeí dagota Povádí e v případě, d ejou plě předpolad o datech a egeím modelu a d eí metoda ejmeších čtveců vhodá e taoveí egeích paametů Regeí dagota oahuje potup detfac: - valt dat po avžeý model, - valt modelu po daá data, - plěí záladích předpoladů metod ejmeších čtveců V ámc zvoleých potupů lze do egeí dagot zahout metod po půzumovou aalýzu jedotlvých poměých, metod po aalýzu vlvých odů a metod po odhaleí poušeí předpoladů NČ Záladí ozdíl mez egeí dagotou a lacým tet počívá v tom, že u egeí dagot eí třea přeě fomulovat alteatví hpotézu a jou přtom odhale tp odchle od deálí tuace Cht

18 atematcá tatta II předáš Vužtí půzumové aalýz V egeí aalýze e vužívá těchto metod: - po učeí tattcých zvláštotí jedotlvých poměých eo ezduí, - poouzeí páových vztahů mez všem ledovaým poměým, - ověřeí předpoladů o ozděleí poměých eo ezduí ez záladí tech půzumové aalýz patří taoveí vol ozahu a ozmezí dat, jejch vaalt a přítomot vočujících pozoováí Pře voj jedoduchot umožňuje půzumová aalýza detfovat před vlatí egeí aalýzou: - evhodot dat (malé ozmezí eo přítomot vočujících odů), - epávot avžeého modelu (té poměé čato ouví čaem eo pořadím měřeí), - multoleatu, - eomaltu v případě, d jou vvětlující poměé áhodé velč Poouzeí valt dat - úzce ouví užtým egeím modelem Př pouzováí e leduje především výt vlvých odů, teé jou hlavím zdojem polémů, jao je zeleí odhadů a ůt ozptlů až apoté epoužtelot egeích odhadů paametů (ve zvláštích případech vša zlepšují pedčí chopot modelů) Vlvé od lě ovlvňují většu výledů egee a lze je ozdělt do tří záladích up: - Hué ch, teé jou způoe měřeou velčou vočující pozoováí eo evhodým ataveím vvětlujících poměých etém Jou očejě důledem ch př mapulac dat - Bod voým vlvem jou pecálě vaé od, teé l přeě změře a teé ovle ozšřují pedčí chopot modelu - Zdálvě vlvé od vzají jao důlede epávě avžeého egeího modelu Podle toho, de e vlvé od vtují, lze povét děleí a: - vočující pozoováí, teé e a oe výazě lší od otatích, tz taové voé č ízé hodot, teé e záadě lší od otatích hodot vvětlovaé poměé Y - etém, teé e lší v hodotách a oe eo v jejch omac (v případě multoleat) od otatích odů předtavují záadě odlšou omac hodot vvětlujících poměých Vtují e vša od, teé jou ja vočující, ta etémí O jejch výledém vlvu vša především ozhoduje to, že jou etém K detfac vlvých odů tpu vočujícího pozoováí e vužívá zejméa aalýza ezduí a detfac etémů pa dagoálích pvů tzv poječí matce Stattcá aalýza ezduí Rezdua jou záladí dagotcým átojem, a to eje př hodoceí valt egeí fuce a dat, ale oecěj př pouzováí opávěot předpoladů zvoleého leáího egeího modelu Rezdua lze zjedodušeě chaatezovat jao leáí omac všech ch Lze říc, že jaáol tematčot (eáhodot) zjštěá u ezduí duje ějaý (zatím edetfovaý) edotate odhadutého egeího modelu ůže to ýt chě zvoleý tp egeí fuce, evhodý plá epemetu, eáhodý výě, epávě zvoleé vvětlující poměé, eplěí předpoladů modelu, špaté předtav o modelu, chá eo přílš vlvá pozoováí, lá vzájemá závlot vvětlujících poměých, ale já aušeí egeí úloh Neí ta podtaté, zda jde o vočující pozoováí eo etém, ale aždopádě oecě velým polémem odhadů pořízeých NČ je jejch emíá ctlvot a pozoováí, teá e od jých v ěčem důležtém výazě lší Cht

19 atematcá tatta II předáš Tp ezduí a jejch vlatot Klacá ezdua Jou ozdíl mez utečým a odhadutým hodotam vvětlovaé poměé Y ( `) Klacá ezdua jou oelovaá, eotatím ozptlem, jeví e omálější a emuí dovat lě odchýleé od Pedovaá ezdua Rezdua počítaá ez -tého pozoováí jou zavea vlvu tohoto pozoováí `(-) je vovaá hodota zíaá a záladě - pozoováí př vpuštěí -tého pozoováí Odpovídající pedovaé ezduum je vpočteo jao ozdíl utečé hodot a tato odhaduté hodot `(-) e(-) - `(-) Pedovaá ezdua jou oelovaá, mají omálí ozděleí ulovou tředí hodotou a etejým ozptlem Nomovaá ezdua Soudí e o ch, že jou to omálě ozděleé velč ulovou tředí hodotou a jedotovým ozptlem K oceěí jejch vlvu e používá pavdla 3σ, tj hodot větší ež ± 3σ jou á za vočující Rozhodě je vša elze dopoučt po detfac odlehlých pozoováí (lě vlvé etémí od), potože ado může dojít vloučeí pávých pozoováí a zachováí chých začě odlehlých hodot Stadadzovaá ezdua ají otatí ozptl a vzou děleím ezduí jejch měodatou odchlou, tz mají ulovou tředí hodotu a jedotový ozptl Jacfe ezdua Jou alteatvou e tadadzovaým ezduím Jejch výpočet je podoý jao u tadadzovaých ezduí, míto měodaté odchl ezduí e vša použje měodatá odchla zíaá př vecháí -tého odu Tato ezdua mají za předpoladu omalt ch Studetovo ozděleí m tup volot Tato ezdua e vužívají po odhaleí ezámých přílš vlvých č podezřelých pozoováí (vočujících odů), emuí vša ýt polehlvá v případě etémů Neoelovaá ezdua V oétí egeí úloze je možé etavt je p eoelovaých ezduí, teá vžd etují Neoelovaá ezdua jou leáí tafomací lacých ezduí e tejým ezduálím oučtem čtveců Reuzví ezdua (dopředá eo zpětá) Jou tpem eoelovaých ezduí př vužtí euzví NČ, jejímž pcpem je opaovaý teatví odhad paametů egeího modelu NČ tím, že v aždé teac e potupě přdává do výpočtu jede od (řáde matce X a hodota ) Odpovídající euzví ezdua umožňují detfovat etaltu modelu, apř v čae Gafcá aalýza ezduálích hodot Pomáhá ověřt valtu položeí dat přímou a odhalt eovlé hodot (vočující pozoováí, etém, vlvé od) Patří em tř záladí tp gafů: Tp I: Gaf závlot ezduí e a deu Tp II: Gaf závlot ezduí e a poměé Tp III: Gaf závlot ezduí e a pedc ` Nedopoučuje e otuovat gaf závlot ezduí e a aměřeých hodotách, potože jde o oelovaé velč Lze tvdt, že předpolad leáího vztahu je doře plě Cht

20 atematcá tatta II předáš Oáze duje, že ozptl odů olem egeí přím e zvšuje otoucím X Kofguace azačuje utot použtí ěteé eleáí egeí řv Př zoazeí páových hodot (t, e), de t je čaový oamž -tého měřeí, můžeme dotat ofguac, teá upozoňuje a to, že čaový fato měl ýt oučátí egeího modelu Gaf oahuje dva eovlé od, jež mohou ýt lafová jao odlehlá hodota - - Cht

21 atematcá tatta II předáš Odlehlý od je taový, teý leží mmo záladí ofguac odů v gafu Údaj může ýt odlehlý ve měu Y, ve měu X eo v oou měech Odlehlý údaj ve měu ezávle poměé e azývá vočující Bod azýváme vlvý, poud e po jeho odtaěí podtatě změí poloha egeí přím Bod, jež jou odlehlé ve měu X, jou čato vlvé Na oázu je taovým odem od Bod a předtavuje pa vočující pozoováí Vlvá pozoováí Vlvé od jou taové od, jejchž vecháím dochází záadí změě egeích chaatet (odhadu paametů, vovaých hodot, odhadů ovaačí matce č dalších) Tto od je uté detfovat, potože jou-l ché, dochází e začému zeleí egeích výledů Po detfac vlvých odů jou ejvhodější tech, teé jou založeé a hodoceí důledů vpuštěí -tého odu a egeí chaatet (apř gafcé zázoěí pedovaých ezduí) Potup př leáí egeí aalýze Potup př všetřováí a otuc leáího egeího modelu e ládá z těchto fází: - Návh modelu začíá e od ejjedoduššího modelu, de e evtují žádé teačí čle (vztah mez poměým) V případě, d je předem zámé, že model má oahovat fuce vvětlujících poměých, může ýt výchozí model patřčě upave dle těchto požadavů - Předěžá aalýza dat leduje e pomělvot jedotlvých poměých a možé páové vztah - Odhadováí paametů povádí e lacou NČ, tejě jao učeí záladích tattcých chaatet Náleduje tet výzamot jedotlvých paametů pomocí Studetova t-tetu a oefcetu oelace - Regeí dagota je pováděa detface vlvých odů a ověřeí, jou-l plě předpolad metod ejmeších čtveců Na záladě alezeých vlvých odů e ozhoduje, zda je uté tto od z dat elmovat, eo je možé tto od v datech poechat Poud dojde úpavě dat, je třea povét zovu egeí dagotu e zaměřeím a poušeí předpoladů NČ - Kotuce zpřeěého modelu apř vužtím metod vážeých ejmeších čtveců, metod zoecěých ejmeších čtveců, metod podmíových ejmeších čtveců, metod ozšířeých ejmeších čtveců, outích metod po já ozděleí dat ež omálí a data vočujícím hodotam a etém - Zhodoceí valt modelu vužtím lacých tetů, potupů egeí dagot a doplňových fomací e povede zhodoceí valt avžeého leáího egeího modelu - Tetováí ůzých hpotéz ve zvláštích případech, jao je poováí ěola příme atd, e povádí tetováí pomocí dalších tetů ověřováí ozlčých tpů hpotéz Neleáí egeí model V ěteých případech vple z úvah eo gafcého zázoěí odů (, ), že egeí vztah poměých X a Y elze popat přímou Potom hledáme jé jedoduché egeí řv, teé doáží popat ledovaou závlot V ěteých případech předěžá zalot a teoetcý ozo tuace vede ěola možým eleáím vztahům, mez teým je třea a záladě pozoovaých hodot vat Na duhé taě v případě empcých modelů, otuovaých pouze a záladě pozoovaých dat, je vhodé uvážt možot použtí leáího modelu, teý umožňuje pacovat potup zámým z leáí egee a vhout e polémům pojeých aplací eleáího modelu Jde hlavě o případ edotatečé předtav o vhodém modelu eo velého počtu vvětlujících poměých Je třea uvědomt, že a ozdíl od leáích paametů mají v modelech vzajících v ejůzějších olatech techcých, chemcých č eoomcých aplací paamet jaý výzam a přeou tepetac učují chlotí otat, mateálové chaatet, chlot ůtu apod Vzhledem půěhu egeích fucí, teým je závlot popáa, mohou mít paamet výzam po učeí tvau egeí fuce jou to apř amptot, měce, fleí od Poto jou čato cílem aalýz hodot paametů (v případě egeího modelu ovšem jejch odový odhad) Na duhé taě je třea př tepetac odhadů modelových paametů át v úvahu, že jde o áhodé velč, teé mají ejeom vůj ozptl, ale ývají čato lě oelovaé Jedoduché eleáí model ta mohou př zpacováí přášet řadu polémů, a to ja z hleda pávot odhadů paametů, ta jejch tepetace Čato e lze etat přeceňováím možotí eleáích modelů odel ývají používá mmo ozah vé platot a předpoládá e, že mohou doplňovat chějící fomace v datech Výlede eleáí egee záví a valtě egeího tpletu data model téum egee Jejch pávé zadáí vede odhadům paametů vhovujícím po táce fomálí, fzálí tattcé (příp jé) - - Cht

22 atematcá tatta II předáš Nejpoužívaější tp jedoovcových egeích modelů Zcela leáí model Je učtě pávý v případě víceozměého omálího ozděleí uvažovaých áhodých velč, ale leáí zjedodušeí ývá úpěšé ve všech úlohách větším počtem vvětlujících poměých, eaízí-l teoe daého vědího oou jé ozumé alteatv Ve zcela leáím modelu e předpoládá oučtový vlv všech čtelů a egeí fucí je ovce adov Y β βx βx ε, ve teé β je aolutí čle a β, β,, β jou tutuí paamet eo též (dílčí) egeí oefcet Napřílad paamet β je tepetová jao očeávaá změa velč Y př jedotovém ůtu velč X za předpoladu už uvažovaého, a tudíž tattc otatího vlvu vvětlujících poměých X, X3,, X (aalogc je hodoce výzam otatích dílčích egeích oefcetů) odel egeí přím Y β βx ε je pecálí případ po jedu vvětlující poměou a model egeí ov Y β βx βx ε je pecálí případ po dvě vvětlující poměé Racoálí celtvé a lomeé fuce Velm čato e používá egeí model, teý je leáí z hleda všech paametů, ale eleáí z hleda vvětlujících poměých Olíeé jou především model jedou vvětlující poměou V této upě je a ejzámější model egeí paaol -tého tupě Y β βx βx βx ε a zvláště egeí paaola duhého tupě, d Čatý je model egeí hpeol -tého tupě Y β βx- βx- βx- ε a její pecálí případ, d odel leáí v paametech Zoecěím předchozích dvou a dalších případů je model, teý je leáí z hleda všech paametů Y β βf βrf ε, ve teém f f(x, X,, X), f f(x, X,, X),, fr fr(x, X,, X) jou lovolé, ale zámé fuce (tzv egeo) vvětlujících poměých, eoahující žádé další ezámé paamet Předpoládá e, že aždá z vvětlujících poměých je v egeím modelu zatoupeá apoň jedím z R egeoů, taže R Používáí pojmu egeo míto jž zavedeého pojmu vvětlující poměá eí fomálě utá, ale je to výhodé po odlšeí ouou původích (zvoleých eo zjštěých) hodot poměých od uměle vtvořeých (vpočteých) hodot egeoů Ve zcela leáím modelu je aždá vvětlující poměá zatoupea pávě jedím egeoem (R ) a po acoálí celtvou eo lomeou fuc jedou vvětlující poměou je, ale R odel převodtelé tafomací a leáí model Po epoecálí, mocé, ůzě omovaé a další egeí fuce je ozumější předpoládat oecě oučový (multplatví) tp egeího modelu ve tvau Y εη, ve teém η je egeí fuce (hpotetcá) a ε ušvá loža Čaté je použtí leáí epoecálí egeí fuce η ββx eo zapaé jao η ep(β βx), modelu vadatcé epoecál ve tvau η ep(β βx βx ε), jaož oecého leáě-epoecálího egeího modelu vvětlujícím poměým zapaého ve tvau ep(β βx βx ε) Olíeé jou ověž ůzé tp mocých egeích fucí eo další omace uvedeých jých tpů odel eleáí z hleda paametů Leáí model jou po vou jedoduchot velm olíeé, ale utečé vztah mez velčam ůzých vědích ooů ývají většou eleáí Neleáí model je možé třídt podle odlšých téí a ta dojít velému počtu ozmatých tpů, e teým e lze etat v příodích, techcých, polečeých č eoomcých vědách (apř eleáí podučí fuce, fuce poptáv, vetc) Neleáí model je možé třídt apř podle tupě a fom eleat Po jedu vvětlující poměou ývá zvem eleáí egeí fuce třídt podle tvau řv Jedou z možotí je vjít z geometcých vlatotí fucí zíaých ůzou volou otat A, B, C v ovc Y XC(β βb)a Jedotlvé tp e odlšují apř tím, zda jou otoucí eo leající, ez omezeí eo do učtého odu, oveí eo oáví, mají eo emají loálí etém č fleí od atd - - Cht

23 atematcá tatta II předáš Neleáí egeí model Budeme uvažovat egeí model popaý eleáí egeí fucí f(, β) v adtvím tvau Y f(, β) ε, de je -čleý veto vvětlujících poměých a β je p-čleý veto ezámých egeích paametů Na áhodé ch ε (,,, ) udeme lát předpolad lacého egeího modelu, ted E(ε) a D(ε) σ, de ε jou omálě ozděleé áhodé velč V eleáí ege je vša čato uté uvažovat model áhodým cham v multplatvím tvau č míšeý model oahující áhodé vlv v adtvím multplatvím tvau a předpoládat oecé pavděpodootí ozděleí áhodých ch Neleáí egeí model, teé lze vhodou tafomací eo epaametzací převét a leáí, azveme vtřě leáím Taovým je apřílad model eθ ε, teý je zavedeím ového paametu α ep (θ) možé převét a leáí model ez aolutího čleu αε, eo model θθ eε, teý je leáí po logatmcé tafomac modelu a lze jej po epaametzac α l(θ), β l(θ) zapat ve tvau l() α β ε Uvedeé model e považují za leazovatelé a patří em taové eleáí model, u teých lze převét a leáí je egeí fuc f(, β) a model př zaedáí áhodé lož přlžě zapat ve fomě f(, β) Příladem jou adtví model egeím fucem α β ; teé jou př vecháí ε leazovatelé logatmem, duhou mocou č ecpočí fucí a leáí model l Tto leazačí tafomace ce eeou v úvahu áhodou ložu, ale potují jedoduchou možot, ja vužít leáí egeí odhad v případě eleáího modelu Avša po ezaedatelé ch ε ejou uvedeé tafomace pávé a dochází e vzu heteoedatct Př leazac je ejdříve třea odhadout paamet leazovaého modelu a z jejch hodot zpětou tafomací učt odhad paametů původího modelu Na záladě odhadutých ozptlů odhadů paametů leazovaého modelu (případě ovaací odhadů) lze zíat taé odhad těchto chaatet po paamet původího eleáího modelu Tato zíaé odhad vša emají vlatot zámé z leáích egeích modelů (ejou apřílad ezeleé) Přetože e teto potup čato vužívá, je lepší odhad paametů z leazovaých modelů vímat je jao pví užtečou fomac a používat je jao ultý odhad př dalších optmalzačích algotmech Tp jedoduchých eleáích egeích fucí Nejčatěj e př vjádřeí eleáí egee používají poměě jedoduché tp řve Adtví tp fucí Kvadatcá (paaola tupě) Kucá (paaola 3 t) Leáí lomeá (hpeola t) Kvadatcá lomeá (hpeola t) Iacoálí ( α β ), α β; ( ) l( α ) β l( ), α β, α β a c a c d a c a a c 3 Logatmcá a log ultplatví tp fucí Epoecálí ocá a a Cht

24 atematcá tatta II předáš Př výěu tpu fuce je třea vcházet eje z fomálího hleda, podle ěhož ejvýtžěj poládá empcé hodot egeí fuce ejmeším oučtem čtveců odchle teoetcých od empcých hodot závle poměé (ejvšší hodota deu oelace), ale z hleda věcě logcého, podle věcé podtat zoumaé závlot Př odhadu ezámých paametů v eleáím modelu lze použít opět metodu ejmeších čtveců, dž e čato volí já téa č potup (ěd e a záladě předpoladu o tpu ozděleí áhodých ch hledají mamálě věohodé odhad) V případě eleáí egee vímáme ezduálí oučet čtveců především jao fuc ezámých paametů β a mmalzovaý výaz zapíšeme ve tvau e [ ( )] f, β vzhledem vetou ezámých paametů β Je-l od mma vtřím odem paametcého potou, ze teého ezámé paamet víáme, je možé mmum fuce paametů alézt jao od, ve teé jou pacálí devace podle paametů ulové Devováím potupě podle paametů βj (j,,, p) a jejch aulováím dotáváme outavu p omálích ovc V případě eleáích modelů je vša eleáí vzhledem paametům tato outava a řešeí (až a výjm) elze zapat v eplctím matcovém tvau ta, ja je to možé v případě modelu leáího Rovce mají po jedoduché egeí fuce elatvě ložtý tva, taže př řešeí omálích ovc je třea použít ějaou vhodou umecou metodu (teace) Navíc emuí ýt řešeí outav ovc jedé a ulovot pacálích devací ještě ezaučuje, že v daém odě etuje mmum Případě alezeý etém fuce emuí ýt gloálí mmum, může to dooce ýt loálí mamum eo edlový od Něteé tattcé pogam aízí potup založeé a devačích metodách po metodu ejmeších čtveců Jejch algotm vžadují uď aaltcý výpočet devací (pvích, případě duhých) egeí fuce, eo v aždém ou používají elatví příůt fuce, a ted umecé odhad hodot devace Samoté metod používají pa teace, teé otuují poloupot přlížeí ta, a ovegovala hledaému odu mma Na ozdíl od leáích egeích modelů je třea u eleáích modelů počítat řadou omplací: - eodhadutelotí ěteých paametů, - etecí mma fuce je po ěteé egeí model, - výtem loálích mm a edlových odů, - špatou podmíěotí paametů v egeím modelu, - malým ozmezím epemetálích dat (zejméa u paametů vjadřujících lmtí chováí modelu) etoda ejmeších čtveců po vaé eleáí fuce Výpočet paametů vchází z podmí mmálot čtveců ( ) m Doazeím do výazu za ` a devováím podle jedotlvých paametů fuce lze dopět outavě omálích ovc, ze teých e paamet vpočítají Nomálí ovce lze etavovat mechac, až jejch vvozeí muelo ýt patováo potředctvím pacálích devací Setavují e ta, že e aždý čle ovce potupě áoí přílušou multáí fucí ezávle poměé u jedotlvých paametů egeí ovce a vžd po váoeí jedotlvým multáím fucem e povede oučet Předpoladem vša je, a egeí ovce la adtvího tpu a multáí fuce ezávle poměé ez ezámých paametů U závle poměé e uvádějí empcé hodot Ta pví omálí ovce po fuc a e zíá váoeím jedčou, eoť př paametu a je multáí fuce ova ( ), a oučtem, ted a Cht

25 atematcá tatta II předáš Cht d c a d c a d c a d c a Duhá omálí ovce e odží váoeím a áledým oučtem, ted Podoým způoem lze vtvořt outavu omálích ovc po všech otatí egeí fuce adtvího tvau Polomcá egee Epoecálí fuce Odhad paametů, teé ejou leáí v paametech, epovádíme NČ přímo, potože její použtí vede outavě eleáích ovc, z chž zpavdla edoážeme odhadout přímo paamet ve fomě vhodých výpočetích vzoců Poto e př odhadu paametů eleáích egeích fucí většou potupuje ta, že e ajde jejch vhodý počátečí odhad a potupým zlepšováím řešeí alezeme odhad požadovaou přeotí Používá e ted způo, d učtou egeí fuc, teá je eleáí z hleda paametů, převedeme pomocí leazující tafomace a fuc leáí v paametech Tafomace počívá vtom, že pomocí logatmů, převáceím hodot apod dojdeme taovému tvau egeí fuce, že její paamet ude už možé odhadovat NČ Řešeím jou paamet ve tvau log a a log Poud chceme epoecálí fuc vjádřt v původím tvau, je potřea povét odlogatmováí fucí 3 d c a a a log a a log log log log c a c a c a c a p p p p p p p p p K K K a a log log log log log log log log log a a

26 atematcá tatta II předáš Kvadatcá egeí fuce 8,5 8 7,5 7 Y 6,5 Y 6 5, X Epoecálí fuce Logatmcá fuce X 5 4 Y X Cht

27 atematcá tatta II předáš ocá fuce,,, Y 9, 8, 7, 6, X Lomeá fuce Y X Chaatet oelace u eleáí egee Pomáhají ám př poouzeí valt egeí fuce a e zjštěí íl závlot Pouzovaý vztah je tím lější a egeí fuce tím lepší, čím více jou empcé hodot vvětlovaé poměé outředěé olem odhaduté egeí fuce, a aopa tím laší, čím více jou empcé hodot vzdále hodotám vovaým Umožňuje taé pooudt přeot egeích odhadů čím více e jedotlvé apozoovaé hodot outřeďují olem zvoleé egeí čá, tím je závlot těější a odhad přeější Př otuc mí uazující a ílu závlot vcházíme ze vztahu empcých a vovaých hodot, d pomocí těchto hodot můžeme otuovat tř ozptl ůzou vpovídací chopotí: - ozptl empcých (utečě zjštěých) hodot ( ), - ozptl vovaých hodot (teoetcý ozptl) ) (, - ozptl utečě zjštěých hodot olem egeí čá, tj ozptl empcých hodot od hodot vovaých (ezduálí ozptl) Cht

28 ( ) ( ) ( ) atematcá tatta II předáš Lze doázat, že př použtí metod ejmeších čtveců mez uvedeým ozptl platí vztah ( ) Rozptl empcých hodot lze ted ozložt a ozptl vovaých hodot a ozptl ezduálích hodot Podíl lože a empcém ozptlu - teoetcý ozptl, taže ( ) Jde o ají případ, d je ` ezávlé a, d jde vlatě o egeí přímu ovoěžou oou v daém případě jde o ezávlot - ezduálí ozptl taže ( ), Duhý ají případ, d je aždé ` hodé Všecha empcá pozoováí vhovují teoetcým hodotám a egeí přímce Jde o pevou závlot - teoetcý ozptl,, taže ( ) ( ) Závlot poměé Y a poměé X ude zřejmě tím lější, čím větší ude podíl ozptlu vovaých hodot a celovém ozptlu, a tím laší, čím ude podíl tohoto ozptlu meší Sílu závlot je ted možé měřt poměem V daém případě jde o volou závlot I Teto pomě e azývá de detemace V případě fučí závlot aude hodot, v případě ezávlot hodot Čím více e ude lížt jedé, tím e závlot považuje za lější, a ted doře vtžeou zvoleou egeí fucí Ide detemace v pocetcém vjádřeí udává, jaé poceto ozptýleí empcých hodot závle poměé je důledem ozptlu teoetcých hodot závle poměé odhadutých a záladě přílušé egeí fuce Kvaltu egeí fuce a teztu závlot můžeme hodott podle toho, ja e podílí a ozptlu utečě zjštěých hodot ozptl vovaých hodot, příp ozptl odchle olem egeí čá Je třea mít a zřetel, že velot deu detemace je zcela ovlvěa tím, zda e podařlo alézt vhodý tp egeí fuce po pop daé závlot Nízá hodota deu detemace emuí ještě zameat ízý tupeň závlot mez poměým, ale může to galzovat chou volu egeí fuce Ide detemace lze taé otuovat epřímo, tj ve tvau I ( ) K měřeí těot závlot e v pa čatěj používá odmoca deu detemace, teá e azývá de oelace I Ide oelace potuje tejé fomace o těot závlot jao de detemace, ja vša má meší vpovídací chopot Doadíme-l do vzoce deu oelace za oa ozptl, dotaeme výpočetí vzoec ve fomě I ( ) ( ) Ide oelace e používá měřeí těot závlot po lovolou egeí fucí, jejíž paamet l odhadut metodou ejmeších čtveců Po doazeí do uvedeých vzoců deu oelace je potřeé vpočítat po aždou hodotu podle oétí egeí fuce teoetcé hodot ` a pa tepve počítat přílušé oučt čtveců po teoetcý č lépe ezduálí ozptl Cht

29 Sadější a výhodější je áledující potup výpočtu I přčemž ( ) ( ) Např v případě vadatcé fuce lze pát atematcá tatta II předáš ( ) ( ), ( ) a c a c Koelačí pomě Poud elze z jaýcholv důvodů učt oétí tva vovávající egeí fuce, používá e učeí těot závlot mí, teá e azývá oelačí pomě V učtém mlu je to oecější mía závlot ež de č oefcet oelace, potože a ozdíl od ch ezáví a tvau egeí fuce Z defce oelačí závlot vplývá, že e změam hodot vvětlující poměé e tematc měí podmíěé půmě závle poměé V taovém případě e v podmíěých půměech pojevuje učtá vaalta, teou lze měřt ozptlem podmíěých půměů Vlv otatích čtelů a závle poměou e pa pojevuje tím, že v podmíěých ozděleích závle poměé dochází e olíáí jedotlvých hodot závle poměé oolo podmíěých půměů Toto olíáí e měří půměem z podmíěých ozptlů Závlot Y a X lze ted zřejmě považovat za tím lější, čím větší je vaalta podmíěých půměů ve ováí vaaltou hodot v podmíěých ozděleích Potože platí, je zřejmé, že lze tuto míu těot závlot otuovat jao pomě Teto pomě udávaý v % e azývá pomě detemace a udává, jaé % ozptlu závle poměé lze vvětlt vlvem ezávle poměé X Doplě do % pa udává vlv líže epecfovaých čtelů Čím více e líží pomě detemace jedé, tím je závlot poměé Y a poměé X lější V případě, že vaalta hodot v podmíěých ozděleích je ulová, je pomě detemace ove a jde ted o úplou závlot mez oěma poměým Naopa v případě, že jou všech podmíěé půmě tejé, je pomě detemace ulový a jde ted o oelačí ezávlot Y a X K měřeí těot závlot e pa používá odmoca z poměu detemace, teá e azývá oelačí pomě η Koelačí pomě lze taé vpočítat epřímo ve tvau: η Za předpoladu, že závlot mez poměým la zoumáa a dotatečě velém počtu pozoováí, d podmíěé půmě závle poměé Y emohou ýt výazěj ovlvňová ahodlým vlv, lze pa pozoováím velot oelačího poměu a deu oelace (příp oefcetu) uuzovat a vhodot použté fuce Čím více e udou hodot oou mě oě přlžovat, tím e ude použtá egeí fuce považovat za vhodější zoazeí daé závlot atcový způo taoveí paametů eleáích fucí ( X X) X Cht

30 atematcá tatta II předáš Cht Kvadatcá fuce Hpeola (lomeá) Odmocá fuce Logatmcá fuce Epoecálí fuce atcově lze taovt hodotu oelačího deu Stattcá aalýza v eleáím modelu Itevalové odhad paametů Bodové odhad egeích paametů β jou ze tattcého hleda ezceé, potože c euvádějí o tom, v jaých mezích lze očeávat výt utečých hodot β Odhad jou áhodé velč učeé a záladě výěu dat o velot U eleáích egeích modelů e př otuc tevalů polehlvot používá převážě leazace, teá je vša použtelá pouze v případech, d model eí lě leáí a mí eleat, amete a vchýleí odhadů jou malé Potup po taoveí tevalových odhadů jedotlvých paametů je aalogcý tevalovému odhadu egeího oefcetu v případě leáích modelů Zaedává e zde vlv otatích paametů Potože jou vša většou pv vetou (veto egeích paametů) vzájemě oelovaé, ývají teval tato taoveé podceěé, tj přílš úzé Po eleáí model je možé taé taovt teval polehlvot pedce, včíleé v celém ozmezí hodot ezávle poměé, tz taovt pá polehlvot Tet hpotéz o odhadech paametů Tetováí hpotéz ouví úzce otucí olatí polehlvot Poud paamet β leží v 95% olat polehlvot olem, lze a hladě výzamot α,5 považovat ozdíl (β - β) za tattc evýzamé Samoté tet pa lze otuovat tejě jao v leáím modelu (za předpoladu alepoň přlžé omalt odhadu metodou ejmeších čtveců) Idvduálí tet o ulových hodotách paametů vša emají v eleáí egeí aalýze doý výzam, potože záme-l vhodou egeí fuc, jou případé zjedodušeé model těžo tepetovatelé V jých případech je třea tetovat jé hodot paametů ež ulové ε ε ε ε X X X log log log X X log log log a log log ( ) ( ) I X

31 atematcá tatta II předáš Těot položeí egeí řv U leáích egeích modelů louží aalýza ezduí ověřováí ěteých předpoladů o chách ε, u eleáích modelů pa především poouzeí doažeé těot položeí vpočteé egeí řv daým epemetálím od Aalýzou vlvých odů e detfují od, teé lě ovlvňují odhadovaé egeí paamet v modelu, což umožňuje učt vočující pozoováí eo etém Stattcá aalýza ezduí Po adtví model měřeí a užívaou NČ jou ezdua defováa vztahem e f(, ) K aalýze ezduí e užívá jeda ázoého gafcého zoazeí vetou ezduí a jeda umecé aalýz měřující e tattcému tetováí Gafcá aalýza ezduí Gafcou (předěžou) aalýzou ezduí počívající v potém zoazeí vetou ezduí, lze ado odhalt: - odlehlé (etémí) hodot v ouou ezduí, - ted v ezduích, - edotatečé třídáí zaméa u ezduí, - chý model eo vzájemou závlot ezduí, - heteoedatctu (eotatot ozptlu) závle poměé velč Y, - áhlou změu podmíe př měřeí hodot Stattcá (umecá) aalýza ezduí Aalýza ezduí je hlaví dagotcou pomůcou př hledáí a ozlšeí egeího modelu a avíc těot doažeého položeí epemetálím od je míou věohodot alezeých odhadů ez ejčatěj užívaé tatt patří především tředí hodota ezduí E(e), teá e měla ovat ule, dále půměé ezduum, měodatá odchla tředí hodot ezduí a oečě oefcet šmot a oefcet špčatot ezduí Po omálí ozděleí ezduí e měl oefcet šmot ovat ule a oefcet špčatot třem Poz Dagotcé metod ejou vžd polehlvé, potože ezdua emají ulovou tředí hodotu, jou vchýleá, jou přlžě leáí omací ch a avíc závejí a utečých hodotách paametů β (teé jou užvatel ezámé) Přílad Poměá X Poměá Y 6,5 3,5 4,5 5,5 3 3,5, Cht

32 atematcá tatta II předáš Čeá čáa egeí fuce, čeveé čá tevalový odhad egeí fuce, falová čáa pá polehlvot Cht

33 atematcá tatta II předáš Víceáoá egee a oelace Komě poouzeí jedoduchých vztahů mez dvěma poměým je mohd účelé vthout vlv více poměých a jedu poměou V tom případě ted zoumáme, ja záví poměá eje a vvětlující poměé, ale též a dalších poměých,, etod zoumáí tohoto tpu e azývají víceáoou (mohoáoou) oelačí závlotí Dílčí vlv aždé ze zúčatěých ezávle poměých pa lze pooudt tzv dílčí oelačí závlotí Odoě jao u jedoduché oelačí závlot je možo ověž u víceáoé a dílčí oelačí závlot chaatezovat potředctvím egee očeávaou úoveň, ep změu závle poměé podle úoví, ep změ ezávle poměých a potředctvím oelace tupeň (těot) vztahu ohoáoá egee je potředem zoumáí tattcé závlot pomocí modelu, jež zahuje jedu závle poměou a ěol ezávlých poměých Data zíáme ta, že u pvů výěu zjtíme hodot všech uvažovaých poměých Rozlšujeme tř duh úloh, po jejchž řešeí je vhodé aplovat mohoáoou egeí aalýzu: - Chceme pozat efet, teý má a cílovou poměou Y ouh změ ovlvňujících paametů X, X,, X - Chceme pedovat hodotu závle poměé Y po udoucí hodot poměých X, X,, X - V ámc eploačí tattcé aalýz chceme vhledat tattcé vztah mez závle poměou a ěola ezávle poměým Víceáoou ege lze vjádřt jeda podmíěým půmě závle poměé, jeda víceáoou egeí fucí, teá je čatější Je potřea vžd zvolt taovou fuc, teá co ejpřeěj vthuje daou utečot z věcého přítupu a přtom teá plňuje fomálí podmí z přítupu matematco-tattcého a jejíž řešeí je elatvě ejjedodušší Vola vhodého tpu víceáoé egeí fuce je v tomto případě otížá (tém pou oml) Odpadá zde totž možot zachceí gafcého půěhu závlot logcého poouzeí vhodot učtého tpu egeí fuce Př hledáí vhodého tpu víceáoé egeí fuce e poto opíáme hlavě o matematco-tattcá téa (mí těot, měodaté ch egeích oefcetů, ůzé tet apod), teá ám zpavdla z velého ouhu ůzých tpů egeích fucí umoží vat tu ejvhodější Velm čato e př hledáí vhodého tpu mohoáoé egeí fuce potupuje ta, že e aalzuje zvlášť závlot mez závle poměou a jedotlvým vvětlujícím poměým,,, a výledou egeí fuc pa otuujeme jao oučet jedoduchých egeích fucí Víceáoé fuce mohou ýt taove uď jao leáí eo jao eleáí Data zachcujeme taulou, de po aždý ojet uvádíme hodot ezávlých poměých a závle poměé Např zjšťujeme u žáů hodot ezávle poměých X, X,, X a závle poměou Y atce měřeí X má pa tva: žá: žá : žá : ( ( (,,, Řádu v matc e říá veto měřeí,,, L L L,,, ) ) ) Jetlže je závle poměá leáě závlá a aždé z vvětlujících poměých,,, (jedoduché závlot jou leáí) a jou-l záoveň tto vvětlující poměé vzájemě ezávlé (eo alepoň ovlvňují změ závle poměé všech jedím měem), používáme po vtžeí vývoje závle poměou víceáoou leáí fuc poměých,,, Předpoládejme ted v ouladu úvaham o jedoduché ege, že závlot lze chaatezovat ovcí Y ε, de ε jou opět ezduálí (ahodlé) odchl, teé lze tepetovat jao důlede půoeí ahodlých vlvů včetě evetuálí edooalot zvoleé fuce Regeí fuc Y lze pa vjádřt ve tvau Y β β β β, de β, β, β,, β jou ezámé paamet a,, jou vvětlující poměé Odhadutou egeí fuc lze zapat ve tvau Cht