Technologie výpočtu vybraných parametrů tíhového pole Země

Transkript

1 Techologie výpočtu vybraých parametrů tíhového pole Země ÚVOD Cílem bylo vytvořit a ověřit techologii pro výpočet parametrů tíhového pole Země pomocí webové aplikace. Techologie umožňuje výpočet parametrů růzých polí: tíhového a gravitačího pole Země W a V, ormálího tíhového a gravitačího pole Země W a V a poruchového pole T. Počítá se poteciál těchto polí z globálího modelu EGM08, jeho prví derivace ve směrech os sférického souřadicového systému a druhá derivace podle průvodiče r. Kromě toho techologie staovuje postup pro přímý výpočet (tz. bez explicitího zadáváí typu parametru a použitého pole) ěkterých běžě používaých parametrů: výškové aomálie a tížicové odchylky. Techologie využívá ojediělý (velmi rychlý a přesý) způsob výpočtu přidružeých Legedreových fukcí ezbytých pro výpočet uvedeých parametrů. Techologie popisuje dvě základí částí webové aplikace: výpočetí jádro - program v C++, který počítá výsledky a serveru VÚGTK a webový iterface v jazycích PHP a Pytho. Všechy uvedeé vzorce pro globálí modely předpokládají vstup ve sférických souřadicích (r,, ). Uživatel bude moci zadávat své souřadice buďto v systému WGS84/ETRS89 ebo v systému JTSK. Souřadice v systému JTSK budou ejprve trasformováy pomocí globálího trasformačího klíče pro ČR do ETRS89/WGS84. Následovat bude trasformace z geodetických souřadic do sférických souřadic (r,, ). Tyto trasformace jsou všeobecě zámé (*1+, *+). Chyby trasformace roviých souřadic ze systému JTSK do výše popsaých geocetrických systému ejsou z pohledu aší aplikace podstaté, protože jsou o ěkolik řádů meší ež rozlišeí použitých globálích i lokálích modelů (5 x5, resp. 30 x30 ). Lokálí modely jsou uložey ve formě rastru v souřadicovém systému WGS84. VÝPOČTY Z GLOBÁLNÍCH MODELŮ Protože koeficiety globálích modelů poteciálu (GGM) mají obecě jié parametry GM, a ež jsou parametry elipsoidu WGS84, je utá jejich trasformace *1+

2 (1), m : C C GM GM EGM WGS 84 a a EGM WGS 84 1, S S GM GM EGM WGS 84 a a EGM WGS 84 1 kde GM EGM, a EGM jsou parametry GGM a GM WGS 84, awgs 84 jsou parametry elipsoidu WGS84. C a S jsou (plě ormalizovaé) Stokesovy koeficiety GGM. V ásledujícím textu, eí-li uvedeo jiak, používáme zkratky GM = GM WGS 84, a = a WGS 84. Výpočet gravitačího poteciálu V Vstup: souřadice,, h v systému WGS84 Výstup: hodota V v jedotkách m.s - Nejprve trasformujeme souřadice do sférické soustavy souřadic (r,, ). Gravitačí poteciál V počítáme z aktuálího globálího modelu geopoteciálu (GGM) pomocí vzorce () N max GM a V ( r,, ) 1 V (, ), r r kde N max je ejvyšší stupeň a řád daého GGM,θ = 90 - je pólová vzdáleost a fukce T je fukce defiovaá předpisem: (3) V, ) C cos m S si m ( P (si ) m0 kdec, S jsou (plě ormalizovaé a trasformovaé podle (1)) Stokesovy koeficiety GGM a P jsou plě ormalizovaé přidružeé Legedrerovy fukce. Výpočet poteciálu ormálího tíhového pole U Vstup: souřadice, h v systému WGS84 (a souřadici výsledek ezávisí) Výstup: hodota U v jedotkách m.s -

3 Za ormálí pole bereme pole elipsoidu WGS84. Po trasformaci vstupích souřadic do sférické soustavy souřadic (r,, ) určíme hodotu ormálího poteciálu jako (4) U = V orm + Φ, kde V orm je ormálí gravitačí poteciál, který spočteme podle (5) V orm k GM a ( r, ) 1 J P (si ), r 1 r a Φ je odstředivý poteciál, který počítáme pomocí vztahu 1 (6) ( r, ) r si, RRR5 kde k určuje stupeň rozvoje ormálího poteciálu (stačí zvolit k=10) a P (cos θ) jsou Legedrerovy polyomy. Kostata J je pro elipsoid WGS84 pevě určea a koeficiety J se z í určují pomocí vzorce 1 3e (7) J ( 1) 1 J e 5 ( 1)( 3) Plě ormalizovaé koeficiety z ich spočítáme pomocí vztahu (8) J J 1 Výpočet tíhového poteciálu W Vstup: souřadice,, h v systému WGS84 Výstup: hodota W v jedotkách m.s - Hodotu W spočítáme sado pomocí vzorce (9) W(r,, ) = V(r,, ) + Φ(r, ), kde V spočítáme podle () a Φ podle (6).

4 Výpočet poruchového poteciálu T Vstup: souřadice,, h v systému WGS84 Výstup: hodota T v jedotkách m.s - Poruchový poteciál T se spočítáme podle vztahu (10) T(,, h) = W(,, h) - U(,, h), kde hodotu W(,, h) určíme podle () a U(,, h) podle (5). Poruchový poteciál můžeme rověž vyjádřit ve formě řady N max GM EGM GM WGS 84 GM a (11) T ( r,, ) T (, ), a r r kde WGS 84 (1) T T (, ) ( C (, ) 0 J m0 C ) P (si ) cos m S si m P pro liché C cos m S si m P(si ) pro sudé m1 (si ) Výpočet tíhové aomálie Δg Vstup: souřadice,, h v systému WGS84 Výstup: hodota Δg v jedotkách mgal (1 mgal = 10-5 ms - ) Opět ejprve trasformujeme geodetické souřadice do sférických a hodotu Δg vyjadřuje vzorec Nmax GM a (13) g( r,, ) ( 1) T (, ) r r Výsledek je uté vyásobit kostatou k=10 5, abychom dostali výsledek v mgal.

5 Výpočet radiálí derivace tíhového zrychleí g r Vstup: souřadice,, h v systému WGS84 Výstup: hodota g r v jedotkách mgal a km (fyzikálí rozměr s - ) Hodotu g r rozložíme a dvě složky (14) g r g r g h r Dílčí složky radiálí derivace spočítáme pomocí vztahů (15) e (1 h a f m f si ), a m e, kde je velikost ormálího zrychleí a elipsoidu, kterou spočítáme podle (19) a f jeho e zploštěí. Druhou složku spočítáme podle vzorce Nmax g GM a (16) ( )( 1) T (, ) 3 r r r Následě vyásobíme řešeí kostatou k=10 8, abychom dostali výsledek v požadovaých jedotkách. Výpočet výškové aomálie ζ Vstup: souřadice,, h v systému WGS84 Výstup: hodota ζ v jedotkách m Výškovou aomálii určíme ze vztahu (17) T(,, h) (,, h) (,, h) Výpočet velikosti vektoru ormálího zrychleí γ

6 Vstup: souřadice,, h v systému WGS84 Výstup: hodota γ v jedotkách mgal (1 mgal = 10-5 ms - ) (18) (19) 3 (, h) (,0) 1 (1 f m f si ) h h ), m a a b b a a 1 si a b (,0) a 1 e si a e Kostaty a, b, f, γ a, γ b, ω jsou parametry zvoleého elipsoidu. Parametry elipsoidu WGS84 jsou (podle [3]) a b = m = , 314 m e = 6, f = 1/98, ω = rad s -1 GM = , m 3 s - γ a = 9, m s - γ b = 9, m s - Parametry se pro růzé modely GGM, ale vždy jsou uvedey v jeho dokumetaci. GENEROVÁNÍ PŘIDRUŽENÝCH LEGENDREROVÝCH FUNKCÍ P Klasický způsob geerováí přidružeých Legedrerových fukcí je založe a rekuretích formulích. S těmi je možé počítat modely do stupě a řádu 360. Nový EGM08 ovšem obsahuje koeficiety do stupě a řadu 160. Pro takto vysoký stupeň a řád již elze pomocí těchto

7 jedoduchých rekuretích formulí přidružeé Legedrerovy fukce počítat a výpočet je uté podstatě modifikovat. VOLBA ALGORITMU Rešerší dostupé literatury zabývající se geerováím přidružeých Legedreových fukcí byl zvole jako ejvhodější algoritmus Forward colum (FC) algoritmus s umerickým řešeím problému podtečeí rozsahu pomocí škálováí. Pro stupeň a řád použitý v současém modelu EGM08 stačí kostatí škálováí (přibližě do stupě a řádu 800). Zároveň byla testováa metoda dyamického škálováí, kterou je možé užít i pro případé budoucí modely tíhového pole Země do vyšších řádů a stupňů (fuguje spolehlivě ejméě do stupě a řádu 0000). Pro účely aplikace byl však algoritmus mírě modifiková ásledujícím způsobem: Normovaé Legedreovy fukce mají tvar (pro bod o sférických souřadicích P[r, ]) Teto tvar je výhodý při výpočtech vysoko ad zemským povrchem, kdy může hodota dosáhout velmi vysokých hodot a hrozí přetečeí. Naše aplikace bude sloužit pro výpočty a povrchu Země či v jejím blízkém okolí, kde lze ukázat, že přetečeí z tohoto důvodu ehrozí. Proto postačí tvar ormovaých ALF který má tu výhodu, že ormovaé ALF jsou závislé pouze a polárí vzdáleosti a ikoliv a velikosti průvodiče r, což výrazě redukuje počet utých výpočtů ormovaých ALF při výpočtech v rastru a povrchu Země, kdy se pro daou zeměpisou šířku měí r ale zůstává kostatí. IMPLEMENTACE Protože pro uvedeý algoritmus eexistuje vhodá kihova, bylo přistoupeo k jeho implemetaci. Algoritmus byl implemetová ejprve v jazyce Matlab, ve kterém byla ověřea jeho spolehlivost a přesost. Metoda dyamického škálováí byla rověž implemetováa. Protože testy potvrdily vysokou přesost a efektivost metody kostatího škálováí pro model do stupě a řádu 190, bylo přistoupeo k její fiálí implemetaci v jazyce C++. Po úspěšém testováí přesosti implemetace v C++ byla věováa začá pozorost časové optimalizaci programu. V eoptimalizovaém kódu trvá výpočet ALF pro jede bod přibližě s,

8 po optimalizaci se podařilo dosáhout času přibližě 0,07 s / bod a běžém PC. Na výkoém serveru, kde aplikace poběží, lze předpokládat ještě výrazě vyšší rychlost. Hlavími metodami optimalizace bylo: 1. Důsledé využíváí všech jedou vypočítaých hodot i ve všech ásledujících výpočtech (apř. ormovací koeficiety).. Sekvečí přístup do polí v paměti pro lepší využití vyrovávací paměti procesoru. 3. Úprava ěkterých vzorců do rekurziví podoby (apř. časově áročé umocňováí je ahrazeo postupým ásobeím). Výsledkem optimalizace je velice rychlý program, což ukázaly i testy (viz dále). Detaily implemetace jsou patré z přiložeých zdrojových kódů a podrobé dokumetace programu. TESTY Protože eí možé testovat přímo hodoty ALF (chybí spolehlivý srovávací SW), byl program rozšíře a yí již umožňuje eje spočítat hodoty ALF, ale i provést sytézu a spočítat ěkteré parametry tíhového pole Země (zatím však pouze ve speciálích případech pro účely testováí s utostí modifikace zdrojového kódu, obecé řešeí bude řešeo v dalších aktivitách). Níže uvedeé testy tak testují eje geerováí samotých ALF, ale i celou řadu výpočetích postupů použitých v aplikaci (trasformace souřadic, korekce C 0 čleu, výpočty parametrů ormálího pole GRS80 elipsoidu ). TESTY PŘESNOSTI VÝPOČTU K porováí byly použity programy Syth *1+ a Gravsoft *+. Jak již bylo zmíěo, ai jede z těchto programů eumožňuje přímý výstup samotých ALF, proto byly porováy výsledky vhodé z ich z ich odvozeé veličiy. Takovou veličiou je výšková aomálie ζ, protože její výstup umožňují oba programy a zároveň je výpočet z ALF a koeficietů modelu C, S poměrě jedoduchý. Navíc má tato veličia rozměr *m+, což usadí kvatifikaci případých rozdílů ve výsledcích. Oba programy dávají růzé výsledky, lišící se přibližě o 1 m. Je to způsobeo použitím jiého systému pro Stokesův koeficiet modelu C 0 (zero-tide, resp. mea-tide) a také faktem, že Syth při výpočtu zaedbává vliv čleu ultého řádu v rozvoji (kvůli ezalosti přesého parametru GM jej elze spočítat přesě), kdežto Gravsoft teto čle počítá (i když pouze přibližě). Oba výsledky lze tedy považovat za správé. Naše aplikace umožňuje oba režimy výpočtu a je tak možé srováí s oběma programy. Testováí bylo provedeo a 10 bodech o růzé zeměpisé šířce, délce a výšce rovoměrě rozložeých a území ČR a v blízkém okolí. Výsledky shruje

9 tab. 1. Protože výsledky vychází absolutě shodě, testováí a dalších bodech eí považováo za uté. Některé chyby způsobeé podtečeím a přetečeím se projevují pouze v ěkterých zeměpisých šířkách. Proto byly uděláy další testy, které ukazují opět a absolutě shodé výsledky i pro tyto problematické šířky, pro účely aší aplikace však emají výzam a ejsou zde uvedey. souřadice bodu (GRS80) ζ ζ' φ λ h Gravsoft GeoCalc rozdíl Syth Geocalc rozdíl TESTY RYCHLOSTI VÝPOČTU tab. 1 - Porováí přesosti výpočtu Neoptimalizovaý výpočet parametrů tíhového pole Země trvá pro jede bod přibližě s (viz výše). Rychlost výpočtu je proto velmi důležitá. Provedli jsme proto srováí rychlosti všech tří použitých programů. Výsledky shruje tab. a graf 1. program / počet bodů GeoCalc Gravsoft

10 Syth Tab. - Porováí rychlosti výpočtu v [s] 00,0 180,0 160,0 140,0 y =,164x + 8,47 10,0 100,0 80,0 60,0 40,0 0,0 0,0 y = 0,148x + 34,46 y = 0,069x + 0, GeoCalc Gravsoft Syth Graf 1 Závislost výpočetího času jedotlivých programů a počtu bodů v [s] Výpočet byl provádě pro áhodě rozmístěé body, kdy jedotlivé programy emohly využít předchozích výsledků pro další body. Pokud se provádí výpočet v rastru geodetických souřadic, stačí počítat časově ejáročější ALF pouze pro každou zeměpisou šířku zvlášť. Neplatí to však již pro rastr v souřadicích S-JTSK a program Syth této vlastosti avíc dokáže využít pouze v případě, že jsou všechy body stejě vysoko ad referečí koulí, což výrazě limituje možost využití tohoto způsobu zrychleí výpočtu. Srováí výpočtu pro jedotlivé body lze proto považovat za ejobjektivější porováí rychlosti výpočtu. Výsledky jedozačě prokazují efektivitu implemetovaého algoritmu, který je více ež x rychlejší ež druhý ejrychlejší program Syth. Syth by avíc bylo v aplikaci obtížé použít kvůli velmi dlouhému spouštěí programu, který trvá přes 30 s i při výpočtu jediého bodu. To je způsobeo patrě pomalým ačítáím souboru Stokesových koeficietů, přestože byl celý teto soubor při všech testech ulože v paměťové cache a ebylo jej uto ačítat z pevého disku. SHRNUTÍ TESTŮ Provedeé testy ukazují a vyikající přesost i rychlost výpočtu poruchového poteciálu a výškové aomálie. Výsledky přesě odpovídají srovatelým programům (Gravsoft a Syth) a to při ěkolikaásobě (až řádově) kratším výpočetím čase.

11 ZÁVĚR pro výpočet ormovaých ALF byl zvole a implemetová algoritmus, jehož vysoká kvalita a efektivita byla potvrzea srovávacími testy s obdobými programy. Program je předá ve formě zdrojových kódu včetě obsáhlé dokumetace i ve formě spustitelého souboru. Testy jsou předáy ve formě textových dokumetů včetě tabulek a grafů. VÝPOČTY Z LOKÁLNÍCH MODELŮ Všechy výpočty z lokálích modelů se dělají pomocí iterpolace z předem připraveého rastru. Výhodou proti použití globálích modelů je vyšší rychlost výpočtu, vyšší prostorové rozlišeí lokálího modelu i jeho vyšší přesost. Nevýhodou ovšem je, že veličiy jsou vždy vztažey pouze k jedé ploše, a íž jsou spočítáy (topografie, geoid apod.). Z lokálího modelu lze pak iterpolovat hodoty opět pouze a této ploše. Většiu hodot počítaých z lokálích modelů tedy budeme určovat prostou iterpolací z předpočítaých rastrů. Některé hodoty však velmi silě závisí a výšce a uživatel musí svou přesou admořskou výšku pro výpočet zadat. Jedá se o velikosti vektoru tíhového zrychleí g a tíhovou aomálii Δg. Výpočet velikosti vektoru tíhového zrychleí g Vstup: souřadice, v systému WGS84, H admořská výška 1 (ormálí Moloděského) Výstup: hodota g v jedotkách m.s - Výpočet velikosti vektoru tíhového zrychleí a povrchu Země se bude počítat podle vzorce (0) g(,, g (, ) A (, ) A (, ) F( (, B B T 1 Výška H musí být výška a povrchu Země, tímto postupem elze iterpolovat hodoty ad zemským povrchem. Nelze ji ovšem brát z DMT, protože velikost tíže velmi silě závisí a výšce a proto musí být spočtea přesě pro uživatelem zadaou admořskou výšku.

12 Hodota (, ) je Bouguerova tíhová aomálie, která bude vyiterpolováa g B z předpočítaého rastru (výpočet je velmi áročý a elze jej provádět olie). A (, ) je gravitačí zrychleí geerovaé Bouguerovou sférickou slupkou, která bude iterpolovaá z předpočítaého rastru. A (, ) je teréí korekce ve sférické aproximaci, která bude rověž T iterpolovaá z předpočítaého rastru. Hodota F( je redukce ve volém vzduchu, která se spočítá podle vztahu (1) F( = 0,3086h a (, H ) je velikost ormálího zrychleí, které spočteme podle vzorce (18). B Výpočet tíhové aomálie Δg Vstup: souřadice, v systému WGS84, H admořská výška1 (ormálí Moloděského) Výstup: hodota Δg v jedotkách m.s - Hodotu spočítáme podle vztahu () g(,, g(,, (, Hodotu g(,, spočítáme pomocí (0) a (, H ) podle (18). Výpočet ostatích parametrů počítaých z lokálích modelů Vstup: souřadice, v systému WGS84.

13 Výstup: příčá složka tížicové odchylky η ve stupích meridiáová složka tížicové odchylky ξ ve stupích Bouguerova aomálie g B (, ) v mgal teréí korekce A T (, ) v mgal gravitačí zrychleí geerovaé Bouguerovou sférickou slupkou A B(, ) převýšeí kvazigeoidu ζ v m převýšeí geoidu N v m Tyto hodoty máme předpočítaé a uložeé ve formě rastru. Jedotlivé rastry jsou předpočítaé vždy vztažeé k ějaké výšce (ke geoidu, k topografii,...) a výsledek iterpolace je vždy vztaže k odpovídající výšce. Zadáváí výšky od uživatele zde tedy emá výzam. Iterpolace Hodoty z jedotlivých rastrů budeme iterpolovat pomocí bilieárí iterpolace z okolích buěk rastru (3), f, f f (, ) ( 1 ), f, 1 f, 1 kde i, i jsou souřadice okolích 4 buěk rastru, f( i, i )hodoty těchto buěk rastru a prostorové rozlišeí rastru., Popis jedotlivých předpočítaých rastrů Rastry máme uložeé v textovém formátu a v databázi GIS GRASS, která ám umožňuje export do celé řady dalších formátu. Kokrétí formát rastrových dat pro aplikaci bude zvole až ve fázi programováí zalostího systému. Podrobý popis těchto rastrů a jejich vziku zde ebude pro svůj rozsah uvádě, většiou jsou uvedey odkazy a čláky, ve kterých jsou data popsáa.

14 Digitálí model teréu Digitálí model hustoty hori Tíhové zrychleí a povrchu Země Popis těchto rastrů je uvede v *6+. Příčá složka tížicové odchylky η Meridiáová složka tížicové odchylky ξ Převýšeí geoidu N Tyto rastry byly spočítáy v rámci řešeí gratu MŠMT Řešeí přesých modelů geoidu a kvazigeoidu pro oblast středí Evropy P. Novákem. Jejich podrobý popis je uvede v *4+. Teréí korekce A (, ) T Výpočet teréí korekce pro území ČR je popsá v *5+. Gravitačí zrychleí geerovaé Bouguerovou sférickou slupkou A (, ) Teto jsme získali z rastru výšek pomocí jedoduchého vztahu (4) A B (, ) = 0,1119 H(, ) B Bouguerova aomálie (, ) g B Hodoty vygeerovaé a povrchu geoidu. Rastr Bouguerových aomálii jsme spočítali z rastru pozemích tíhových dat ( g (, ) ) a z digitálího modelu teréu ( podle zámého vztahu *3+ (5) g B (, ) g(, ) A (, ) A (, ) F( (, B T

15 POPIS UŽIVATELSKÉHO ROZHRANÍ Uživatelské rozhraí se skládá z těchto hlavích kompoet: Výpočetí program gravcalc, který počítá parametry tíhového pole Země z globálích modelů, zejméa EGM08. Teto program provádí časově velmi áročé operace a proto byl implemetová v jazyce C++. Testováím bylo ověřeo, že při zachováí stejé přesosti výpočtu jako obdobé programy používaé v odboré komuitě, je áš výpočetí program ásobě až řádově rychlejší ež obdobé programy GravSoft a hsyth. Program je multiplatformí a vstup probíhá pomocí parametrů příkazové řádky. Tím je zajištěa přeositelost programu a vysoký výko, ovšem za ceu ízkého uživatelského komfortu. Te je ásledě řeše webovým rozhraím, které fuguje jako frot-ed k výpočetímu jádru a vstupí webové formulářové jsou trasformovaé a požadovaé parametry příkazové řádky. Webový iterface. Teto webový iterface je aprogramová v jazycích PHP, HTML, JavaScript a Pytho. Má stejou strukturu jako ostatí aplikace projektu IGeoCalc: úvodí obrazovku, možost registrace uživatele, přehled projektů a oko s mapovým výstupem. Zadáí a zpracováí uživatelských dat je řešeo pomocí webových formulářů implemetovaých a straě serveru v jazyce Pytho. Webová aplikace je dostupá a serveru VÚGTK pod URL: Mapová aplikace pro vizualizaci dat. Pro mapový výstup je a straě severu použit MapSever a a straě klieta pro zvýšeí komfortu JavaScriptová kihova HSLayers.

16 REFERENCE [1] Heiskae, W. A., Moritz, H.: Physical geodesy. Freema ad Co., Sa Fracisco [] Cimbálík, M., Kostelecký, J.: Direct trasformatio betwee ETRS-89 ad the Czech Cadastral System S-JTSK. Report o the Symposium of the IAG Subcomm. for the EUREF held i Akara, Veroeff. der Bayer. Kommissio fuer It. Erdmessug der Bayer. Akad. der Wisseschafte, Heft No. 57, Mueche 1996, prited 1997, p ISSN , ISBN [3]Hoffma-Wellehof, B., Moritz, H.: Physical Geodesy. SprigerWieNewYork, Wie, 005. ISBN [4] Novák, P.: Evaluatio of local gravity field parameters from high resolutio gravity ad elevatio data. Cotributios to Geophysics ad Geodesy 36: [5] Kadlec, M.: Výpočet topografických oprav tíhových dat pro určeí přesého regioálího modelu geoidu. (007) JUNIORSTAV Sborík aotací, plé texty a CD, ISBN , Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Bro [6] Kadlec, M., Kostelecký J. ml., Novák P.: Databáze pro výpočty parametrů tíhového pole Země pro středí Evropu. (007) Geodetický a kartografický obzor, č. 1/007. KONTAKT Ig. Mila Talich Ph.D., Ig. Mgr. Marti Kadlec VÝZKUMNÝ ÚSTAV GEODETICKÝ, TOPOGRAFICKÝ A KARTOGRAFICKÝ, v. v. i Ústecká 98, Zdiby Tel Fax Mila.Talich@vugtk.cz Web: