ROVNICE KUŽELOSEČEK A KVADRIK V OBECNÉ POLOZE.

Transkript

1 ROVNICE KUŽELOSEČEK A KVADRIK V OBECNÉ POLOZE. Bakalářská práce Studijní program: Studijní obory: Autor práce: Vedoucí práce: B1101 Matematika 7504R015 Matematika se zaměřením na vzdělávání 7507R036 Anglický jazyk se zaměřením na vzdělávání Martina Chlumská RNDr. Martina Šimůnková, Ph.D. Liberec 2014

2

3

4

5 Poděkování Děkuji RNDr. Martině Šimůnkové, Ph.D. za vedení a pomoc a děkuji své rodině za podporu a trpělivost.

6 Anotace Tato bakalářská práce se zabývá analytickým pojetím kuželoseček. Hlavním cílem práce je poskytnout čtenáři návod, jak z grafického znázornění kuželosečky sestavit její obecnou rovnici, a naopak, jak najít kuželosečku, která je zadána obecnou rovnicí. V první části práce jsou zopakovány a rozšířeny středoškolské znalosti o kuželosečkách. Po zavedení důležitých pojmů je ukázáno několik postupů, které je možné pro přechod mezi rovnicí kuželosečky a jejím grafickým znázorněním použít. Využita je především transformace soustavy souřadnic. Jednotlivé postupy jsou doplněny řešenými příklady. V závěru práce jsou stručně shrnuty a zopakovány pojmy lineární algebry, které byly v práci použity. Znalost těchto pojmů je nezbytná pro porozumění textu. Klíčové pojmy Kuželosečka, rovnice kuželosečky, transformace, lineární algebra.

7 Annotation This bachelor thesis deals with the analytical concept of conic sections. The main aim of this work is to give us a guide how to make a general equation of conic section from its graphical representation, and on the contrary how to find the conic section that is given by a general equation. In the first part of this work, the high-school attainment about conic sections is revised and upgraded. After setting of important terms several methods are shown here. These methods can be used for a changeover from the conic section equation to its graphical representation. The transformation of coordinate system is mainly used for that. Each of these methods is supported with solved problems. Linear algebra terms used in this work are briefly summarised and revised in the last part of this bachelor thesis. Knowing these terms is necessary for understanding the text. Key words Conic section, equation of conic section, transformation, linear algebra.

8 Obsah Seznam symbolů 9 1 Úvod 10 2 Historický úvod 11 3 Kuželosečky na ZŠ a SŠ 12 4 Kartézská a lineární soustava souřadnic Kartézská soustava souřadnic Lineární soustava souřadnic Transformace souřadnic v rovině Kuželosečky a jejich vlastnosti Definice kuželosečky Průsečík přímky s kuželosečkou Klasifikace kuželoseček Asymptotické směry kuželosečky Hlavní směry kuželosečky Střed kuželosečky, singulární bod Od rovnice ke kuželosečce Od rovnice ke kuželosečce na SŠ Kvadratická forma Zkoumání středů Od kuželosečky k rovnici Od kuželosečky k rovnici na SŠ Transformace Závěr 42 9 Dodatek 43 Literatura 50 7

9 Seznam obrázků 1 Kartézská soustava souřadnic Lineární soustava souřadnic Transformace souřadnic Příklad 1 elipsa na SŠ Příklad 1 parabola Příklad 2 hyperbola Příklad 2 hyperbola Elipsa rovnoběžná osa Transformace soustavy Příklad elipsa Symetrie

10 Seznam použitých symbolů A matice deta determinant matice A E jednotková matice A 1 A T inverzní matice k matici A transponovaná matice C množina všech komplexních čísel R množina všech reálných čísel v vektor x norma 9

11 1 Úvod Na kuželosečky je možné pohlížet dvěma způsoby a to geometricky a analyticky. V geometrickém pojetí jsou kuželosečky bud definovány jako rovinné křivky, vznikající průnikem roviny a rotační kuželové plochy, nebo jako množiny bodů daných vlastností. V této práci se ale budeme zabývat přístupem druhým, analytickým, kde jsou kuželosečky vnímány jako množiny všech bodů jejichž souřadnice splňují obecnou rovnici kuželosečky. Základní čtyři typy kuželoseček (rovnice, elipsa, parabola a hyperbola) známe již ze střední školy, zajímavé ale jsou i další útvary, které daná rovnice popisuje a kterým jsme na střední škole zatím nevěnovali pozornost, tzv. degenerované kuželosečky. Hlavním cílem následujícího textu je ukázat, jak sestavit obecnou rovnici pro graficky zadanou kuželosečku a naopak jak najít kuželosečku, která je zadaná obecnou rovnicí. Zatímco přechod od rovnice ke kuželosečce je v literatuře poměrně přehledně zpracován, opačný postup od kuželosečky k rovnici, se v literatuře téměř neobjevuje. V textu je uvedeno několik postupů, u každého z nich je uveden řešený příklad. Pro snažší porozumění a názornost je text doplněn obrázky. V první části textu jsou shrnuty a rozšířeny středoškolské znalosti o kuželosečkách, které jsou pro tento přechod mezi obecnou rovnicí kuželosečky a jejím grafickým znázorněním třeba. Na konci práce je pak stručně shrnuto a zopakováno to, co je k takovému přechodu od rovnice ke kuželosečce a od kuželosečky k rovnici potřeba znát některé pojmy a operace lineární algebry (maticový počet, vektory, vlastní čísla, apod.) a také některé důležité geometrické pojmy, které jsou v první části práce použity. Znalost těchto pojmů a postupů je nezbytně nutná k porozumění textu. 10

12 2 Historický úvod Pojem kuželosečka byl znám již učencům ve starověku. Prvním z nich byl Menechmos (kolem roku 350 př.n.l.), který se zdvojením krychle pokoušel řešit jeden z klasických problémů geometrie, tzv. delský problém. Obyvatelé města Delos měli bohu Apollónovi postavit nový oltář ze zlata, který měl být stejného tvaru jako oltář stávající, ale jeho objem měl být dvojnásobný. Menechmos řešil tento problém, který vede na algebraickou rovnici 2x 3 = a 3, pomocí průsečíků kuželoseček y = 2x 2 a xy = a 3. Přitom si byl již vědom toho, že každá kuželosečka je průnikem rotační kuželové nebo válcové plochy a roviny. Samotné pojmy, které dnes pro označení kuželoseček používáme (tj. elipsa, parabola a hyperbola) zavedl ve svých osmi knihách o kuželosečkách Apollonios z Pergy (kolem roku 200 př.n.l.). V těchto knihách jsou podány zcela nové definice kuželoseček a rotačních těles kuželosečky definoval nejen pomocí řezů kužele rovinou, ale také jako geometrické místo bodů určitých vlastností. Apollonios již znal pojmy jako sdružené průměry, asymptoty a ohniska kuželoseček, jeho knihy jsou dodnes fascinující pro jejich úplnost. Další rozkvět kuželoseček přichází až v 17. století a souvisí s astronomickými objevy Johannese Keplera ( ) a Isaaca Newtona ( ). V této době J. Kepler objevil, že se planety pohybují po eliptických drahách, jejichž jedno ohnisko leží ve středu Slunce. Tyto elipsy mají velmi malou výstřednost a jen velmi málo se liší od kružnic. Keplerovy zákony byly později potvrzeny objevem Newtonova gravitačního zákonu. Užitím tohoto zákona lze dokázat, že i družice planety Země se pohybují po kuželosečkách a jejich jedním ohniskem je střed Země. Analytická geometrie kuželoseček vznikla zároveň s analytickou geometrií. Její základ položil René Descartes ( ) ve svém spisu Géometrie, kde již pohlíží na některé algebraické rovnice druhého stupně jako na rovnice kuželoseček. Z jeho jména (Cartesius latinský přepis) také vzniká název kartézská soustava souřadnic. Ve stejné době, píše pojednání o analytické geometrii také jiný francouzský matematik Pierre de Fermat ( ), je ale vydáno až po jeho smrti, a proto je za zakladatele analytické geometrie považován Descartes. S analytickou geometrií kvadrik přichází až v 18. století Leonhard Euler ( ). Úplnou klasifikaci kvadrik podává Augustin L. Cauchy ( ). [1] [7] 11

13 3 Kuželosečky na ZŠ a SŠ Přestože se žáci s kuželosečkami setkávají již na základní škole (kružnice, grafy, apod), samotný pojem kuželosečka a její rovnice jsou zaváděny až na střední škole (analytická geometrie). Probírány jsou obvykle pouze čtyři základní typy kuželoseček kružnice, elipsa, parabola a hyperbola, tedy kuželosečky tzv. pravé. Žáci znají rovnice těchto kuželoseček (obecné a středové/vrcholové) a nejdůležitější pojmy, které s kuželosečkami souvisí (ohnisko, řidící přímka, hlavní osa, excentricita, asymptota, apod), umí určit vzájemnou polohu přímky a kuželosečky nebo dvou kuželoseček a řešit jednodušší metrické úlohy. Také umí ze zadaných parametrů rovnice sestavit, případně ze zadané rovnice určit druh kuželosečky a sestavit rovnice asymptot a tečen. 4 Kartézská a lineární soustava souřadnic V Euklidovské rovině lze k bodu A přičíst vektor u, výsledkem je bod B této roviny, tedy B = A + u. Stejně tak jeden vekor je určen dvěma body tak, že platí u = B A (vektor u je rozdílem bodů B a A). Toto přičítání a odečítání bodů splňuje dvě navzájem ekvivalentní podmínky (A + u) + v = A + ( u + v ) (B A) + (C B) = C A. Dále každým dvěma vektorům u, v z Euklidovské roviny je přiřazeno reálné číslo u. v zvané skalární součin daných vektorů a to tak, že jsou splněny tyto podmínky u. v = v. u (a. u + b. v ). w = a.( u. w ) + b.( v. w ); a, b R u 0 u. u > 0. Číslo u = u. u je velikost vektoru u. Vzdálenost AB bodů A, B je rovna B A. Úhel γ dvou nenulových vektorů u, v je dán vztahem u. v cos γ = u. v. Je tedy zřejmé, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, je-li jejich skalární součin nulový. [1] [5] 12

14 4.1 Kartézská soustava souřadnic Kartézská soustava souřadnic je v Euklidovské rovině dána bodem P (ten je obvykle označovaný jako počátek) a uspořádanou dvojicí dvou navzájem kolmých jednotkových vektorů e, d. Každý vektor u, který leží v této rovině, se dá právě jedním způsobem zapsat ve tvaru u = u. e + v. d. Uspořádaná dvojice reálných čísel (u, v) představuje souřadnice vektoru u vzhledem k bázi { e, d }.Každý její bod X můžeme jednoznačně zapsat ve tvaru X = P + x. e + y. d, jsou tedy definovány kartézské souřadnice x, y bodu X vzhledem ke zvolené kartézské soustavě souřadnic {P, e, d }. (Obr. 1) Obrázek 1: Kartézská soustava souřadnic Jestliže je přímka p v této rovině určena jedním bodem A a nenulovým vektorem u, pak může být každý její bod zapsán ve tvaru X = A + t. u, kde t R. 13

15 Tento tvar označujeme jako parametrické vyjádření přímky p. Je-li X = [x, y], A = [a, b] a u = (u, v), můžeme tuto rovnici rozepsat do jednotlivých souřadnic x = a + t.u, y = b + t.v. Vyloučením parametru t z těchto dvou rovnic získáme po jednoduchých úpravách neparametrické vyjádření přímky px + qy + r = 0, kde alespoň jeden z koeficientů p, q 0, které nazýváme obecná rovnice přímky; vektor p = (p, q) je na tuto přímku kolmý.[1] [5] 4.2 Lineární soustava souřadnic Lineární soustava souřednic je dána bodem P a dvěma vektory e, d, které jsou lineárně nezávislé, ale (na rozdíl od vektorů v kartézské soustavě souřadnic) nemusí být ani navzájem kolmé, ani jednotkové. I v tomto případě platí, že každý vektor u může být jednoznačně zapsán ve tvaru u = u. e + v. d, a tedy i každý bod lze zapsat ve tvaru X = P + x. e + y. d. Stejně jako v kartézské soustavě souřadnic dostáváme vzájemně jednoznačné zobrazení roviny na množinu všech uspořádaných dvojic reálných čísel. (Obr. 2) 4.3 Transformace souřadnic v rovině Mějme v rovině pevně zvolenou lineární soustavu souřadnic {P, e, d } a další lineární soustavu souřadnic {P, e, d }. Bod P má vzhledem k první soustavě souřadnice [p, q], vektor e souřadnice (α, β) a vektor d souřadnice (γ, δ). Vektory e a d jsou nezávislé, proto platí α.δ β.γ 0. Označíme-li souřadnice bodu X dané roviny vzhledem ke druhé soustavě souřadnic x, y, pak můžeme psát X = P + x. e + y. d. 14

16 Obrázek 2: Lineární soustava souřadnic 15

17 Jedná se o vztah mezi geometrickými objekty, zvolíme si novou soustavu a pomocí původní soustavy určíme souřadnice. x p α γ y = q + x β + y δ Můžeme tedy psát ( x y Rozepíšeme-li rovnici ) = ( p q ) ( α + x β ) ( γ + y δ ) pro jednotlivé souřadnice, dostáváme X = P + x. e + y. d x = αx + γy + p, y = βx + δy + q. Tyto tranformační rovnice udávají vztah mezi souřadnicemi x, y (druhá soustava) a souřadnicemi x, y (původní soustava) téhož bodu X. Má-li vektor u = (u, v) vzhledem ke druhé soustavě souřadnic souřadnice (u, v ), pak můžeme psát u = u e + v d. Po rozepsání této rovnice do souřadnic, dostáváme x = αu + γv, y = βu + δv. Pomocí těchto rovnic transformujeme souřadnice vektoru. Jestliže jsou obě soustavy souřadnic kartézské, jsou tedy vektory e, d jednotkové a navzájem kolmé a proto platí α 2 + β 2 = 1, γ 2 + δ 2 = 1, αγ + βδ = 0. Pak zvolíme úhel ω tak, aby α = cos ω a β = sin ω (úhel ω je orientovaný úhel, který mezi sebou svírají vektory e a e - otáčíme kartézskou soustavu souřadnic). Musí tedy platit i vztahy γ = sin ω a δ = cos ω (resp. γ = sin ω a δ = cos ω; v závislosti na tom, na kterou stranu soustavu otáčíme). [1] 16

18 [4] Transformační rovnice, vyjadřující vztah mezi souřadnicemi téhož bodu X vzhledem ke dvěma kartézským soustavám, mají tvar a naopak x = x cos ω + y sin ω, y = y cos ω x sin ω, x = x cos ω y sin ω, y = y cos ω + x sin ω. V případě, že P P mají transformační rovnice tvar x = x cos ω y sin ω + p, y = y cos ω + x sin ω + q. Pro větší přehlednost můžeme vztah zapsat i maticově ( ) ( ) ( ) x cos ω sin ω x y =, sin ω cos ω y Obrázek 3: Transformace souřadnic 17

19 K transformaci soustavy souřadnic lze přistupovat ze dvou pohledů lze bud otáčet objektem na jednu stranu (aktivní transformace afinita) nebo objekt zůstává na místě a otáčíme soustavu na druhou stranu (pasivní transformace způsob uváděný v této kapitole). [10] 18

20 5 Kuželosečky a jejich vlastnosti 5.1 Definice kuželosečky Kuželosečku můžeme definovat jako rovinnou křivku, která vzniká průnikem roviny a rotační kuželové plochy = geometrický přístup. Podle úhlu, který svírá rovina s osou rotační kuželovou plochou můžeme rozlišit čtyři základní typy kuželoseček kružnice - rovina kolmá na osu rotační kuželové plochy elipsa - rovina svírá s osou rotační kuželové plochy úhel menší než 90, ale větší než polovina vrcholového úhlu kuželové plochy parabola - rovina rovnoběžná s právě jednou z přímek kuželové plochy hyperbola - rovina svírá s osou roteční kuželové plochy úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželové plochy V případě, že rovina prochází vrcholem kuželové plochy, vznikají tzv. degenerované kuželosečky. V této práci se ale budeme upřednostňovat následující analytický přístup ke kuželosečkám. [7] [3] Předpokládáme-li, že se nacházíme v rovině (dvourozměrném euklidovském nebo afinním prostoru), kde je pevně zvolena kartézská soustava souřadnic daná počátkem P a dvojicí vektorů e, d, potom množinu všech bodů X = [x, y] ležících v této rovině, jejichž souřadnice splňují rovnici nazveme kuželosečkou. ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0, (1) Výraz na levé straně rovnice lze vyjádřit v maticovém tvaru ( x ) a b d x y 1 b c e y = (X) T A(X) = } d e {{ f 1 }}{{} A X = ((ax + by + d)x + (bx + cy + e)y + (dx + ey + f)) = = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f Definice. Necht je dána rovnice (1), v níž je alespoň jedno z čísel a, b, c různé od nuly, popřípadě její libovolný nenulový násobek. Pak množinu všech bodů X = [x, y], jejichž souřadnice vyhovují rovnici (1), nazveme 19

21 kuželosečkou o rovnici (1). Body jejichž souřadnice této rovnici vyhovují, jsou jejími body. Pokud rovnici nevyhovují souřadnice žádného bodu, označujeme tuto kuželosečku jako formálně reálnou. V opačném případě ji nazýváme kuželosečkou bodově reálnou. [1] 5.2 Průsečík přímky s kuželosečkou Hledejme průsečíky přímky p dané bodem M = [m, n] a nenulovým vektorem u = (u, v), tedy a kuželosečky dané rovnicí (1). Maticový zápis rovnice přímky x y = 1 dosazením do (1) dostáváme p : x = m + ut, y = n + vt, m n 1 } {{ } M +t u v 0, }{{} U (M + tu) T A(M + tu) = t 2 U T AU + 2tMAU + M T AM, tedy rovnici ve tvaru At 2 + 2Bt + C = 0. Potom mohou nastat tyto případy [1] A 0, B 2 AC > 0, rovnice má dva různé reálné kořeny přímka má s kuželosečkou právě dva různé společné body A 0, B 2 AC = 0, rovnice má jeden dvojnásobný kořen přímka má s kuželosečkou právě jeden společný bod A 0, B 2 AC < 0, rovnice nemá reálné kořeny přímka nemá s kuželosečkou žádný společný bod (přímka kuželosečku neprotíná) A = 0, B 0, rovnice je lineární a má právě jeden kořen přímka má s kuželosečkou právě jeden společný bod 20

22 A = 0, B = 0, C 0, rovnice nemá žádný kořen přímka nemá s kuželosečkou žádný společný bod A = 0, B = 0, C = 0, každé t splňuje rovnici každý bod dané přímky je zároveň i bodem kuželosečky (přímka je částí kuželosečky) 5.3 Klasifikace kuželoseček Jak již bylo v předchozím textu řečeno rozlišujeme čtyři základní typy tzv. pravých neboli nedegenerovaných kuželoseček (v případě, že kružnici považujeme za samostatnou kuželosečku). Kromě nich ale existují ještě degenerované kuželosečky ty vznikají průnikem kuželové plochy rovinou procházející vrcholem kuželové plochy. Označme = a b d b c e d e f δ = a b b c. Definice. Kuželosečka, pro níž je determinant roven nule, se nazývá singulární (nepravá, nevlastní, degenerovaná) kuželosečka. Kuželosečka pro níž je determinant různý od nuly se označuje jako regulární (pravá, vlastní, nedegenerovaná). Důkaz lze najít v [4] Kuželosečky pak můžeme klasifikovat následovně Regulární kuželosečky 0 δ 0 středová kuželosečka jetsliže δ > 0, < 0 imaginární elipsa jestliže δ > 0, > 0 elipsa jestliže δ < 0 hyperbola δ = 0 nestředová kuželosečka jestliže δ = 0 parabola Sigulární kuželosečky ( = 0) jestliže δ < 0 dvě různoběžky jestliže δ > 0 bod jestliže δ = 0 dvě různé rovnoběžky, dvě splývající rovnoběžky (přímka) nebo prázdná množina 21

23 5.4 Asymptotické směry kuželosečky Mějme kuželosečku = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0, označme δ = a b b c tzv. malý determinant kuželosečky. Věta. Je-li δ > 0, kuželosečka nemá žádný asymptotický směr - o takové kuželosesečce říkáme, že je eliptického typu. Je-li δ = 0, kuželosečka mé právě jeden asymptotický směr říkáme, že kuželosečka je parabolického typu. Je-li δ < 0, má kuželosečka dva různé asymptotické směry říkáme, že kuželosečka je hyperbolického typu. Reálná přímka, která nemá s kuželosečkou společný žádný bod a její směr je asymptotický, se nazývá asymptota této kuželosečky. Důkaz v [4] Definice. Směr v rovině daný nenulovým vektorem u = (u, v) se nazývá asymptotickým směrem kuželosečky k, jestliže platí au 2 + 2buv + cv 2 = 0, což můžeme přepsat do tvaru (v 0) u(au + bv) + v(bu + cv) = 0, u bu + cv = v au + bv. Hledáme tedy takové reálné číslo λ, aby platilo u(au + bv) + v(bu + cv) = 0, au + bv = λv, bu + cv = λu. Rovnice asymptoty je dána středem a asymptotickým směrem. 5.5 Hlavní směry kuželosečky Mějme kuželosečku ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0, pak směry určené nenulovými vektory u = (u, v) a u = (u, v ) nazýváme sdruženými směry kuželosečky, právě tehdy, platí-li vztah auu + b(uv + u v) + cvv = 0. 22

24 Můžeme psát ( ) ( a b u v b c ) ( u v ) = u(au + bv ) + u(bu + cv ) Definice. Hlavním směrem kuželosečky nazveme takový směr, který je sdružený se směrem k němu kolmým. Mějme dány dva libovolné sdružené směry, které jsou určeny vektory u = (u, v) a u = (u, v ), kde u = bu cv, v = au + bv. Směry určené vektory u, u jsou na sebe kolmé, právě tehdy, jsou-li vektory ( v, u) a ( bu cv, au + bv) lineárně závislé. Tedy existuje číslo λ takové, že platí Tuto soustavu upravíme na tvar au + bv = λu, bu + cv = λv. (a λ)u + bv = 0, bu + (c λ)v = 0. Tato soustava má vzhledem k neznámým u, v nenulové řešení jen tehdy, je-li determinant soustavy rovný nule, tedy a λ b b c λ = 0 Vypočítáme kořeny λ a dosadíme je do soustavy, vektory u, u hledané hlavní směry kuželosečky. Důkaz je podrobně proveden v [4]. Věta. Každá kuželosečka má alespoň dva k sobě kolmé hlavní směry. určují parabola jeden z těchto hlavních směrů je asymptotickým směrem paraboly, druhý hlavní směr je k němu kolmý elipsa, hyperbola právě dva hlavní směry kružnice nekonečně mnoho hlavních směrů, každý směr je jejím hlavním směrem Definice. Průměr kuželosečky, který je kolmý na směr s ním sdružený, nazýváme osa kuželosečky. Průsečík osy s kuželosečkou se nazývá vrchol kuželosečky. Tedy parabola má jednu osu. Středové kuželosečky (kromě kružnice) elipsa, hyperbola mají dvě osy a kružnice má nekonečně mnoho os. 23

25 5.6 Střed kuželosečky, singulární bod Definice. Středem kuželosečky k : (X) T A(X) = 0 rozumíme bod M takový, že obsahuje-li přímka procházející bodem L bod L k, obsahuje i bod L k takový, že S je středem úsečky LL. Je ale třeba ověřit, zda se skutečně jedná o střed kuželosečky - je totiž možné, že kuželosečka má i jiné body souměrnosti. V takovém případě můžeme postupovat následovně mějme kuželosečku k : (X) T A(X) = 0 a bod M = [m, n]. Bodem M proložíme přímku p p : x = m + ut, y = n + vt, t R hledáme průsečíky přímky p s kuželosečkou k (stejně jako v předchozí kapitole), po úpravách dostáváme rovnici (M + tu) T A(M + tu) = t 2 U T AU + 2tMAU + M T AM, Aby bod M byl středem kuželosečky k, pak jestliže kořen t je kořenem této rovnice, pak jejím kořenem musí být i t. Pro splnění této podmínky stačí, když koeficient u t bude roven nule - tato rovnost nastane bez ohledu na volbu vektoru u = (u, v), pokud souřadnice bodu M splňují rovnice am + bn + d = 0, bm + cn + e = 0. Na kuželosečce tedy s každým bodem M + t u leží také bod M t u. Maticově píšeme ( ) a b d m am + bn + d m m n 1 b c e n = bm + cn + e n = d e f 1 dm + en + f 1 = (am + bn + d)m + (bm + cn + e)n + (dm + en + f). Věta. Bod M = [m, n] je středem kuželosečky k právě tehdy, když platí am + bn + d = 0, bm + cn + e = 0. Definice. Bod kuželosečky, který je zároveň jejím středem, nazýváme singulární bod kuželosečky. 24

26 Jestliže je bod M = [m, n] středem kuželosečky a zároveň na této kuželosečce leží, z rovnice kuželosečky k vypadne absolutní člen. Protože je bod M středem a bodem kuželosečky, oba průsečíky přímky p splývají s bodem M - koeficient u lineárního členu t musí být opět nulový. Musí tedy platit i rovnice dm + en + f = 0. Věta. Bod M = [m, n] je singulárním bodem kuželosečky právě tehdy, splňuje-li rovnici a b d m 0 b c e n = 0, d e f 1 0 což je rovnice pro střed, který leží na kuželosečce. [1] Věta. Každá přímka, která prochází singulárním bodem kuželosečky, leží bud celá na kuželosečce (její směr je zároveň asymptotickým směrem kuželosečky) nebo má s kuželosečkou společný pouze tento singulární bod (její směr není asymptotickým směrem kuželosečky). Věta. Obsahuje-li kuželosečka singulární bod, je tato kuželosečka singulární. Kuželosečka, na které leží singulární bod je tedy tvořena dvěma různoběžkami, jedinou přímkou nebo pouze tímto jediným bodem a to v závislosti na počtu asymptotických směrů má-li dva asymptotické směry dvě různoběžky, jeden asymptotický směr přímka, žádný asymptotický směr bod. Jestliže je kuželosečka přímkou, pak je každý její bod singulární (má nekonečně mnoho středů). 25

27 6 Od rovnice ke kuželosečce V obecné rovnici kuželosečky rozlišujeme tři druhy koeficientů ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 koeficienty u kvadratických členů a, b, c určují typ kuželosečky koeficienty u lineárních členů d, e posouvají kuželosečku absolutní člen f posouvá kuželosečku Samotnou konstrukcí kuželoseček se v této práci zabývat nebudeme. Nejznámější konstrukce kuželoseček (Rytzova konstrukce, konstrukce pomocí oskulačních kružnic) jsou podrobně vysvětleny například v pomocném učebním textu Deskriptivní geometrie 1, S. Tomiczková. 6.1 Od rovnice ke kuželosečce na SŠ Úlohy, v nichž mají žáci z obecné rovnice kuželosečky určit, jak kuželosečka vypadá, jsou zadávány již na střední škole. Všechny rovnice z těchto středoškolských příkladů se ale vyznačují tím, že neobsahují smíšený kvadratický člen. V takovém případě obecnou rovnici pouze upravíme na středový tvar (doplníme na čtverec) postup je zřejmý a v tomto textu ho nebudeme uvádět. Můžeme ho ale najít například v [8]. Po převedení rovnice na středový tvar provedeme klasifikaci kuželosečky. Zapíšeme-li obecnou rovnici ve tvaru Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0, potom platí-li A = B 0 podezření na kružnici A.B > 0 podezření na elipsu A.B < 0 podezření na hyperbolu A.B = 0 A + B 0 podezření na parabolu O typu kuželosečky můžeme navíc rozhodnou již podle znaménka u koeficientů a a c a > 0, c > 0 kružnice, elipsa nebo formálně reálná elipsa a > 0, c < 0 (nebo naopak) hyperbola 26

28 a = 0 c = 0 parabola Příklad 1 Zjistěte jakou kuželosečku popisuje rovnice Doplníme na čtverec po úpravě dostáváme rovnici Když rovnici převedeme do tvaru x 2 + 4y 2 6x + 32y + 48 = 0. (x 3) [(y + 4) 2 16] + 48 = 0, (x 3) 2 + 4(y + 4) 2 = 25. (x 3) (y + 4)2 25 = 1, je zřejmé, že jde o rovnici elipsy. Jejím středem je bod S = [3, 4], a = 5 (délka hlavní poloosy), b = 5/2 (délka vedlejší poloosy. V případě potřeby můžeme ještě najít souřadnice ohnisek, případně hlavní i vedlejší vrcholy. (Obr. 4) Příklad je převzat z [8]. V následujících dvou podkapitolách se budeme zabývat obecnými rovnicemi kuželoseček, které smíšený kvadratický člen obsahují. 6.2 Kvadratická forma Chceme-li z obecné rovnice kuželosečky určit, jak kuželosečka vypadá, musíme z rovnice odstranit smíšený kvadratický člen. Naším cílem je zjistit, která rovinná křivka vyhovuje zadané rovnici. Volbou vhodné kartézské soustavy zjednoduššíme rovnici kuželosečky na nejjednodušší možný tvar (tzv. kanonický tvar) a teprve potom provedeme klasifikaci. Kvadratickou část obecné rovnice kuželosečky označíme K, tedy K = ax 2 + 2bxy + cy 2. K je nenulová kvadratická forma v R 2. Formu K chceme převést na diagonální tvar. Jedna z možností, jak postupovat je popsána v [5], my ji zde ve zkratce uvedeme. Nejprve určíme matici A příslušnou k této kvadratické formě, sestavíme charakteristickou rovnici a najdeme vlastní čísla λ 1, λ 2 a vlastní vektory 27

29 Obrázek 4: Příklad 1 elipsa na SŠ (postup je podrobněji popsán v dodatku této práce). Vektory volíme tak, aby v = (v 1, v 2 ) a w = ( v 2, v 1 ) taková volba má dvě výhody za prvé vektory v, w jsou vzájemně kolmé a za druhé mají stejnou velikost ( v = w ). Nová soustava, kterou získáme otočením, bude mít tedy kolmé osy a jednotky budou stejné i když nemusí být jednotkové ( skoro kartézská soustava). Volíme ortonormální bázi, ve které má forma K diagonální tvar (koeficient b = 0) λ 1 u 2 η λ 2 u 2 η 2 2. Takovou bází je báze složená z vektorů f 1 = v / v a f 2 = w / w provedli jsme normalizaci vektorů v a w. Této změně odpovídají nové souřadnice ζ 1 = η 1 v ζ 2 = η 2 v. Sestavíme matici M přechodu od původní báze k bázi nové, tvořené vektory f 1 a f 2 M = 1 ( ) v1 v 2 v v 2 v 1 a v původní obecné rovnici provedeme substituci, kde x a y jsou řádky transponované matice M T (tedy sloupce matice M). Rovnici upravíme. [5] [4] [10] 28

30 Příklad 1 Zjistěte jakou kuželosečku popisuje rovnice Obecná rovnice kuželosečky má tvar 16x 2 8xy + y 2 + 4x 2y = 0. ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0. Nejprve určíme příslušnou matici kvadratické formy ( ) 16 4 L =. 4 1 Poté sestavíme charakteristickou rovnici det(l λe) = 16 λ λ = λ2 17λ = 0, řešením charakteristické rovnice jsou dvě vlastní čísla λ 1 = 0, λ 2 = 17. Vlastními vektory jsou například vektory v = (1, 4) a w = ( 4, 1). Jejich norma je N = 17. Vektory v, w jsou navzájem kolmé. Znormujeme je a dosadíme do matice M. M = 1 ( ) Použijeme substituci x = 1 17 (ζ 4η) y = 1 17 (4ζ + η). Z původní rovnice v zadání získáme po úpravě rovnici tu můžeme ještě upravit do tvaru ( 17 η η η = 4 17 ζ, ) 2 = 4 17 ( ζ ze kterého je již zřejmé, že se jedná o parabolu původně s vodorovnou osou, vrcholem V = [ ; ] =. [ 0, 29; 0, 13]; parabola popsaná zadanou rovnicí vznikla z původní paraboly otočením o úhel arctan 4 = a 17 její vrchol má souřadnice [ 225; 72] =. [ 0, 19; 0, 25]. (Obr. 5) ),

31 Obrázek 5: Příklad 1 parabola 30

32 Příklad je převzat z [5]. Příklad 2 Zjistěte jakou kuželosečku popisuje rovnice Nejprve určíme příslušnou matici 16xy + 4x 28y 15 = 0. L = ( ). Poté sestavíme charakteristickou rovnici det(l λe) = λ 8 8 λ = λ2 64 = 0, řešením charakteristické rovnice jsou dvě vlastní čísla λ 1 = 8, λ 2 = 8. Vlastními vektory jsou například vektory v = (1, 1) a w = ( 1, 1). Jejich norma je N = 2 2. Vektory jsou navzájem kolmé provedeme normalizaci a dosadíme je do matice M Použijeme substituci M = ( ). x = (ζ η); y = 2 2 (ζ + η). 2 Z původní rovnice v zadání získáme po úpravě rovnici ( ζ 3 ) 2 ( 2 η + 2 2), 2 ze kterého je již zřejmé, že se jedná původně o rovnoosou hyperbolu, se 3 středem S = [ 2 ; 2] =. [1, 06; 1.41]; hyperbola popsaná zadanou rovnicí 2 vznikla z původní rovnoosé hyperboly otočením o úhel arctan 1 = 45 a její střed má souřadnice [ 7; 1 ] = [1, 75; 0, 25]. (Obr. 6) 4 4 Příklad je převzat z [5]. 31

33 6.3 Zkoumání středů Obrázek 6: Příklad 2 hyperbola Z hodnoty determinantu příslušného k matici kuželosečky snadno určíme, zda se jedná o kuželosečku singulární ( = 0) nebo regulární ( 0). Z hodnoty determinantu kvadratických členů (tzv. malého determinantu) určíme, zda je kuželosečka středová nebo nestředová. Jestliže δ = 0, je kuželosečka parabolického typu, má jediný asymptotický směr a je tedy nestředová. Jestliže δ > 0, pak je kuželoseečka eliptického typu, nemá žádný asymptotický směr a je středová. A jestliže δ < 0, kuželosečka je hyperbolického typu, má dva různé asymptotické směry a je středová. Středové kuželosečky mají právě jeden střed, zatímco nestředové kuželosečky bud nemají žádný střed nebo mají nekonečně mnoho středů. V případě vyšetřování rovnice kuželosečky nejprve vypočteme determinanty a δ (hodnota determinantu nám ukazuje, zda je kuželosečka singulární nebo regulární, zatímco hodnota determinantu δ určuje typ kuželosečky). Střed kuželosečky S = [m, n] je dán soustavou dvou rovnic o dvou neznámých am + bn + d = 0, bm + cn + e = 0. Pokud je třeba najdeme asymptotické směry, které jsou dány rovnicí au 2 + 2buv + cv 2 = 0, 32

34 tedy u(au + bv) + v(bu + cv) = 0, au + bv = λv, bu + cv = λu. Asymptoty jsou pak dány středem a asymptotickým směrem. V případě potřeby můžeme ještě najít osy a vrcholy kuželosečky. [1] [4] Příklad 1 Vyšetřete kuželosečku danou rovnicí 3x 2 2xy + 2y 2 4x 2y + 3 = 0. Sestavíme determinant příslušný k matici této kuželosečky a determinant kvadratických členů δ = = 0 δ = = 5 > 0 Kuželosečka je tedy singulární ( = 0) a je tvořena pouze jedním bodem (δ > 0). Tento jeden bod je středem této kuželosečky. Souřadnice středu S získáme vyřešením soustavy dvou rovnic o dvou neznámých 3x y 2 = 0, x + 2y 1 = 0. Středem zadané kuželosečky je bod S = [1, 1]. Příklad převzat z [4]. Příklad 2 Vyšetřete kuželosečku danou rovnicí 2x 2 12xy 7y 2 + 8x + 6y = 0. Sestavíme determinant příslušný k matici této kuželosečky a determinant kvadratických členů δ = = 50 33

35 δ = = 38 < 0 Kuželosečka je tedy regulární a je hyperbolického typu. Její střed je dán rovnicemi 2x 6y + 4 = 0, 6x 7y + 3 = 0. Středem zadané kuželosečky je bod S = [ 1/5, 3/5]. Asymptotické směry jsou dány rovnicí 2u 2 12uv 7v 2 = 0, můžeme tedy dosadit u(2u 6v) + v( 6u 7v) = 0, 2u 6v = λv, 6u 7v = λu. Dostáváme λ = ±5 2. Jeden asymptotický směr je dán rovnicí 2u + ( )v = 0, je tedy určen vektorem u 1 = ( , 2). Druhý asymptotický směr je dán rovnicí 2u + ( 6 5 2)v = 0, je určen vektorem u 2 = ( 6 5 2, 2). Pomocí středu a nalezeného asymptotického směru můžeme sestavit rovnici asymptot. První asyptota má parametrické vyjádření x = 1/5 t( ), y = 3/5 2t, vyloučením parametru získáme neparametrickou rovnici asymptoty 2x ( )y = 0. Stejným způsobem sestavíme i rovnici druhé asymptoty 2x (6 5 2)y = 0. 34

36 Dále můžeme ještě najít osy kuželosečky a vrcholy kuželosečky (průsečíky os s kuželosečkou). Osami kužeosečkami jsou ty průměry, které jsou kolmé na sdružený směr. Tento sdružený směr musí splňovat rovnice au + bv = ρu, pro zadanou kuželosečku tedy bu + cv = ρv, po úpravě dostáváme 2u 6v = ρu, 6u 7v = ρv, (2 ρ)u 6v = 0, 6u (7 + ρ)v = 0, ρ 2 + 5ρ 50 = 0. Kořeny této soustavy jsou tedy ρ 1 = 5 a ρ 2 = 10. Po dosazení je zřejmé, že první takový směr je dán rovnicí 3u + 6v = 0, tedy vektorem u 3 = ( 2, 1), a druhý 12u 6v = 0, tedy vektorem u 4 = (1, 2). Protože průměr sdružený k vektoru u 3 je na něj kolmý, má směr totožný s vektorem u 4 a obráceně. Proto směry vektorů u 3, u 3 udávají přímo směry os. Osy samotné procházejí středem, proto jejich rovnice můžeme dostat jako rovnice průměrů, sdružených s vektory u 3 a u 3. Rovnice první osy bude mít tvar ( 2a + b)x + ( 2b + c)y + ( 2d + e) = 0, Rovnice druhé osy 10x + 5y 5 = 0, 2x + y 1 = 0. (a + 2b)x + (b + 2c)y + (d + 2e) = 0, 10x 20y + 10 = 0, x + 2y 1 = 0. 35

37 Vrcholy jsou průsečíky os kuželoseečky s kuželosečkou samotnou. Proto z rovnice pro první osu vyjádříme y, dostáváme a dosadíme do rovnice kuželosečky Po úpravě dostáváme y = 2x + 1, 2x 2 12xy 7y 2 + 8x + 6y = 0. x = 1 5 ± 2 10, y = ± 5. Souřadnice vrcholů jsou tedy [ A = , 3 ] [ 2 5 +, B = , 3 ] Druhá osa kuželosečku neprotíná. (Obr. 8) Příklad převzat z [1]. 36

38 Obrázek 7: Příklad 2 hyperbola 37

39 7 Od kuželosečky k rovnici 7.1 Od kuželosečky k rovnici na SŠ Žáci na středních školách jsou schopni sestavit obecnou rovnici graficky zadané kuželosečky, v případě, že osy této kuželosečky jsou rovnoběžné s osami kartézské soustavy souřadnic. V takovém případě pouze dosadíme potřebné parametry (souřadnice středu, délky os, apod.) do středového tvaru rovnice dané kuželosečky a rovnici upravíme. Obrázek 8: Elipsa rovnoběžná osa 7.2 Transformace Chceme-li z grafického znázornění kuželosečky sestavit její rovnici, pak v případě, že osy kuželosečky nejsou rovnoběžné s osami soustavy souřadnic, potřebujeme pomocí transformačních rovnic získat smíšený kvadratický člen. Nejprve tedy zvolíme vhodnou kartézskou soustavu souřadnic a pomocí souřadnic v této nové (otočené a posunuté) soustavě vyjádříme souřadnice v soustavě původní {P, e, d }. [10] [4] 38

40 Transformační rovnice pro posunutí x = x m, y = y n. Transformační rovnice pro otočení x = x cos ω y sin ω, y = y cos ω + x sin ω. Obrázek 9: Transformace soustavy V případě, že jsme kartézskou soustavu souřadnic {P, e, d } posunuli do bodu P a zároveň jsme vektory e, d otočili kolem počátku o orientovaný úhel ω, můžeme transformační rovnice psát ve tvaru ( ) ( ) ( x y = x y cos ω sin ω sin ω cos ω ) + ( p q ), 39

41 nebo po složkách ve tvaru x = x cos ω y sin ω + p, y = y cos ω + x sin ω + q. Je patrné, že matice přechodu je ortogonální a její deta = 1. Potřebujeme-li tedy vyjádřit nové souřadnice pomocí původních - uvědomíme si, že A 1 = A T. ( ) ( ) cos ω sin ω cos ω sin ω A = A 1 = sin ω cos ω sin ω cos ω transformační rovnice tedy můžeme upravit ( ) ( ) ( ) x y cos ω sin ω = x y ( p q ) ( cos ω sin ω sin ω cos ω sin ω cos ω po složkách píšeme x = (x p) cos ω + (y q) sin ω, y = (x p) sin ω + (y q) cos ω. Transformační rovnice můžeme psát i takto ( ) ( x y 1 = x y 1 ) cos ω sin ω 0 sin ω cos ω 0. p q 1 Příklad 1 Sestavte rovnici zobrazené kuželosečky. (Obr. 10) Kanonická rovnice elipsy má tvar ( ) x 2 ( ) y 2 + = 1 ), a b Ze zadaného grafu kuželosečky dále určíme, že M = [3, 4], úhel ω = π/6; hlavní poloosa a = 3, vedlejší poloosa b = 1. Použijeme transformační rovnice ( ) ( ) ( x y cos ω sin ω = x y sin ω cos ω ) ( cos ω sin ω (p, q) sin ω cos ω ), 40

42 Obrázek 10: Příklad elipsa dosadíme ( ) ( ) ( ) x y 3/2 1/2 = x y (3, 4) 1/2 3/2 rozepíšeme na složky x = (x 3) 3/2 + (y 4)1/2, y = (x 3)1/2 + (y 4) 3/2. ( 3/2 1/2 1/2 3/2 ), Tyto souřadnice dosadíme do rovnice elipsy v kanonickém tvaru. Rovnici upravíme. Rovnice zadané elipsy má tvar 0.67x 2 1, 54xy + 1, 56y 2 + 2, 16x 7.83y = 0. 41

43 8 Závěr V textu jsou shrnuty a rozšířeny středoškolské znalosti kuželoseček, především z analytického pohledu. Jsou zde zopakovány afinní vlastnosti kuželoseček a je ukázáno, jak transformovat souřadnice v rovině. Hlavním záměrem práce bylo poskytnout přehledný návod pro čtenáře, jak přecházet mezi obecnou rovnicí kuželosečky a jejím grafickým znázorněním, tedy zmapovat oblast, která se v literatuře příliš často neobjevuje. Geometrický přístup ke kuželosečkám byl v této práci potlačován. Text je doplněn řešenými příklady a obrázky nakreslenými v programu GeoGebra. 42

44 9 Dodatek Matice, operace s maticemi Maticí A typu (m, n) nazýváme obdélníkové schéma m x n reálných (resp. komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n A = a m1 a m2 a m3... a mn V případě, že m = n, pak matici A nazýváme čtvercovou maticí n-tého řádu. Prvky a 11, a 22, a 33,..., a nn tvoří hlavní diagonálu této matice a prvky a 1n, a 2,n 1, a 3,n 2,..., a n1 diagonálu vedlejší. Čtvercovou matici E označujeme jako jednotkovou, právě tehdy, když { 1, i = j e ij = 0, i j Matici A T, která vznikne vzájemnou výměnou řádků a sloupců z matice A označujeme jako transponovanou matici. Pro jednotlivé prvky v této matici tedy platí a T ij = a ji. a 11 a 21 a a m1 A T a 12 a 22 a a m2 = a 1n a 2n a 3n... a mn Matice A se nazývá symetrická, jestliže platí A = A T. Dvě matice se rovnají, jsou-li stejného řádu a rovnají se všechny jejich odpovídající si prvky. Sčítání,odčítání a násobení matic číslem α R provádíme tzv. po složkách. Sčítat a odčítat můžeme pouze matice stejného typu. a a 1n b b 1n a 11 + b a 1n + b 1n A+B = =....., a m1... a mn b m1... b mn a m1 + b m1... a mn + b mn a a 1n αa 11 α... αa 1n αa = α..... = a m1... a mn αa m1... αa mn 43

45 Násobíme-li dvě matice A, C, musí být počet sloupců matice A roven počtu sloupců matice C (násobíme-li matici typu (m, n) s maticí typu (n, p), výsledná matice D musí být typ (m, p). Násobení matic není komutativní. A.B = a a 1n c c 1p a m1... a mn c n1... c np = d d 1p..... d m1... d mp = D kde prvek d ik = a i1 c 1k + a i2 c 2k a in c nk. To znamená, že prvek matice D na i-tém řádku a v k-tém sloupci je skalárním součinem i-tého řádku matice A a k-tého sloupce matice C. Matici A nazýváme inverzní, pokud k ní existuje matice B taková, že AB = BA = E. V takovém případě matici B nazýváme inverzní maticí k matici A a značíme ji A 1. Determinant matice A je zobrazení, které každé matici A přiřadí číslo (skalár); obvykle ho značíme deta nebo a 11 a a 1n a 21 a a 2n deta = a n1 a n2... a nn, Pro výpočet determinantů druhého a třetího řádu používáme Sarrusovo pravidlo. Determinantem matice třetího řádu rozumíme číslo a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 33(a 11 a 22 a 21 a 12 ) a 32 (a 11 a 23 a 21 a 13 ) + a 31 (a 12 a 23 a 22 a 13 ), determinatem matice druhého řádu rozumíme číslo a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12. [7] [1] Vektory, operace s vektory Z geometrického hlediska je vektor veličina určená směrem, velikostí a orientací. Výjimku tvoří nulový vektor, což je vektor o nulové velikosti a nemá tedy ani směr ani orientaci. Vektory stejné velikosti a stejného směru, ale s opačnou orientací nazýváme opačné vektory. 44

46 Je-li vektor u určen orientovanou úsečkou AB, nazývají se čísla u 1 = b 1 a 1, u 2 = b 2 a 2 souřadnice vektoru u (v rovině) souřadnice vektoru u. Pro každé dva vektory u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ) platí u + v = (u1 + v 1 ; u 2 + v 2 ). Velikost vektoru u = (u 1, u 2 ) spočítáme vztahem u = u 12 + u 22. Vektor jehož velikost se rovná jedné nazýváme jednotkový vektor. Skalární součin dvou vektorů u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ) v rovině je číslo u 1 v 1 + u 2 v 2. Definice. Necht je dána konečná posloupnost vektorů. Říkáme, že vektory jsou lineárně závislé, jestliže je alespoň jedna jejich netriviální lineární kombinace rovna nulovému vektoru. Naopak, je-li každá jejich netriviální lineární kombinace nenulová, říkáme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé. Norma Norma je nezáporná reálná funkce,která každému nenulovému vektoru přiřazuje kladné reálné číslo (délku, velikost). V rovině R 2 normu definujeme jako x := (x.x). Norma má tyto vlastnosti: [5] x = 0 x = 0; x X; α R αx = α. x ; x X; y X x + y x + y ; tzv. trojúhelníková nerovnost. Vlastní čísla, vlastní vektory Definice. Necht A je čtvercová matice typu n n a E je jednotková matice typu n n, potom říkáme, že λ C je vlasní číslo matice A, je-li řešením rovnice det(a λe) = 0. 45

47 Tuto rovnici nazýváme charakteristickou rovnicí matice A. a 11 λ a a 1n a 21 a 22 λ... a 2n det(a λe) = a n1 a n2... a nn λ }{{} charakteristický polynom matice A Každá čtvercová matice A typu n n má právě n vlastních čísel, počítámeli každé vlastní číslo v jeho násobnosti. V případě, že je matice A symetrická, jsou všechny kořeny rovnice det(a λe) = 0 reálná čísla. Říkáme, že n-rozměrný vektor v je vlastní vektor matice A příslušný k jejímu vlastnímu číslu λ, je-li v nenulovým řešením rovnice (A λe) v = 0. Věta. Vlastní vektory příslušné k různým vlastním číslům symetrické matice A jsou ortogonání - jejich skalární součin je rovný nule. [5] [4] [2] Symetrie Symetrii můžeme definovat jak geometricky, tak analyticky. Definice. Říkáme, že body K = [k, l ], K = [k, l ] jsou symetrické vzhledem k přímce p, je-li K p a K p, přímka procházející těmito dvěma body je kolmá k přímce p,oba body mají od této přímky stejnou vzdálenost a leží v různých polorovinách určených přímkou p. (Obr. 11) Množinu N R 2 označujeme jako symetrickou vzhledem k přímce p, leží-li v N spolu s každým bodem K i bod K symetrický s K vzhledem k p; v takovém případě přímku p nazýváme osou symetrie množiny N. Má-li množina N nějakou osu symetrie, říkáme o ní, že je osově symetrická. Definice. Říkáme, že body K = [k, l ], K = [k, l ] jsou symetrické vzhledem k bodu K 0 = [k 0, l 0 ], platí-li 1 2 (k + k ) = k 0, 1 2 (l + l ) = l 0. Množina N R 2 se nazývá symetrická vzhledem k bodu K 0, obsahujeli spolu s každým bodem K i bod K s ním symetrický vzhledem k bodu K 0 ; každý takový bod K 0 budeme nazývat střed symetrie množiny N. Má-li množina alespoň jeden střed symetrie, říkáme o ní, že je středově symetrická. 46

48 Každá kuželosečka je osově souměrná kružnice, jednobodová množina, prázdná množina - nekonečně mnoho os symetrie parabola, rovnoběžky - právě jedna osa symetrie elipsa (kromě kružnice), hyperbola, dvojice různoběžek - právě dvě osy symetrie Obrázek 11: Symetrie Každá kuželosečka kromě paraboly je středově souměrná elipsa (včetně kružnice), hyperbola, dvojice různoběžek a jednobodová množina- jeden střed symetrie rovnoběžky, prázdná množina - nekonečně mnoho středů symetrie parabola - žádný střed symetrie 47

49 Afinita Afinita je prosté zobrazení afinního prostoru na sebe; (A B C ) = (ABC). Jedná se vlastně o rovnoběžné promítání bodů jedné roviny do roviny druhé. Afinita je určena osou a uspořádanou dvojicí bodů AA, tyto body určují směr osové afinity. Vzor a obraz přímky (různoběžné s osou) se protínají na ose afinity. Body na ose afinity jsou silně samodružné a přímky rovnoběžné se směrem afinity jsou slabě samodružné. Afinita zachovává rovnoběžnost, dělící poměr(tato vlastnost je důležitá zejména proto, že střed úsečky opět odpovídá středu úsečky) a incidenci. Na rovnoběžkách s osou afinity se zachovává i délka úsečky. Naopak velikost úhlu není zachována. Podle směru rozlišujeme tři základní případy osové afinity - kosoúhlá afinita, pravoúhlá afinita a elace. [3] 48

50 Přehled kuželoseček A. Kružnice střed v počátku, resp. v bodě (x 0, y 0 ), poloměr r x 2 + y 2 = r 2, resp. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. B. Elipsa střed v počátku, resp. v bodě (x 0, y 0 ); hlavní poloosa a, vedlejší poloosa b ( x ) 2 ( y ) ( ) 2 2 ( ) 2 x x0 y y0 + = 1, resp. + = 1. a b a b B. Hyperbola střed v počátku, resp. v bodě (x 0, y 0 ); hlavní poloosa a, vedlejší poloosa b, hlavní osou je osa x ( x ) 2 ( y ) ( ) 2 2 ( ) 2 x x0 y y0 = 1, resp. = 1, a b a b hlavní poloosa b, vedlejší poloosa b, hlavní osou je osa y ( y ) 2 ( x ) ( ) 2 2 ( ) 2 y y0 x x0 = 1, resp. = 1. b a b a D. Parabola vrchol v počátku, resp. v bodě (x 0, y 0 ); osa y je osou paraboly osa x je osou paraboly y = ±2ax 2, resp. y 0 = y 0 ± 2a(x x 0 ) 2, x = ±2by 2, resp. x 0 = x 0 ± 2b(y y 0 ) 2. E. Dvojice různoběžných přímek průsečík v počátku, resp. v bodě (x 0, y 0 ) ( x ) 2 ( y ) ( ) 2 2 ( ) 2 x x0 y y0 =, resp. =. a b a b F. Dvojice rovnoběžných přímek rovnoběžných s osou x rovnoběžných s osou y y 2 = b 2, resp. (y y 0 ) 2 = b 2, x 2 = a 2, resp. (x x 0 ) 2 = a 2. G. Jednobodová množina bod (0, 0), resp. (x 0, y 0 ) ax 2 + by 2 = 0, resp. a(x x 0 ) 2 + b(y y 0 ) 2 = 0. H. Prázdná množina ax 2 + by 2 = ρ, resp. a(x x 0 ) 2 + b(y y 0 ) 2 = ρ. 49

51 Literatura [1] [2] [3] BOČEK, L. Analytická geometrie kuželoseček pro III. ročník gymnázií se zaměřením na matematiku. 1.vydání. Praha: SPN,1977. JANYŠKA, J., SEKANINOVÁ, A. Analytická teorie kuželoseček a kvadrik [online]. Brno, Dostupné z: vondra/ums/kuakv/skripta.pdf. TOMICZKOVÁ, S. Deskriptivní geometrie 1, pomocný učební text [online]. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, Dostupné z: [4] PECH, P. Kuželosečky [online]. České Budějovice: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, Dostupné z: ISBN [5] [6] [7] [8] ČERNÝ, I. Kuželosečky a kvadriky [online]. 3. upravené a doplněné vydání. Praha: Univerzita Karlova, Dostupné z: MIROVÁ, A. Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás [online]. Dostupné z: HÁJKOVÁ, I. Kuželosčky a kvadriky ve výuce na SŠ diplomová práce [online]. Brno: Masarykova univerzita, Dostupné z: KOČANDRLE, M., BOČEK, L. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. 3.vydání. Praha: Prometheus,1995. ISBN [9] HAVEL, V., HOLENDA, J. Lineární algebra. Nakladatelství technické literatury,1984. [10] Ústní sdělení RNDr. Martina Šimůnková, Ph.D. 50