UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU Katedra informatiky a kvantitativních metod

Transkript

1 UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU Katedra informatiky a kvantitativních metod Sbírka úloh ze základů matematiky JIŘÍ HAVIGER, TATIANA GAVALCOVÁ, PAVEL PRAŽÁK, MAGDA SEDLÁČKOVÁ Tento studijní tet vznikl v rámci projektu operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost CZ..07/2.2.00/5.006 Inovace výuky matematiky v technickém a ekonomickém vzdělání s cílem sníˇzení studijní neúspěšnosti Projekt Univerzity Hradec Králové, řešený na Fakultě informatiky a managementu, je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky GAUDEAMUS 202

2 Recenzovali:... Tato publikace neprošla jazykovou úpravou. Vydalo nakladatelství Gaudeamus, Univerzita Hradec Králové Jako svou... publikaci. Hradec Králové, 202 ISBN WXY-Z

3 Obsah Úvod 5 Kapitola 0. Vybrané dovednosti středoškolské matematiky 7 Pouˇzité značení 7 Kapitola. Množiny, relace 3.. Číselné množiny 4.2. Mnoˇziny, systém podmnoˇzin dané mnoˇziny 4.3. Relace, vlastnosti relace 4 Kapitola 2. Zobrazení, funkce Tabulka definičních oborů elementárních funkcí, které nemají D(f) = R Definiční obory funkcí Sloˇzená funkce Funkce definované na konečné mnoˇzině Funkce definované rekurentně 22 Kapitola 3. Elementární funkce reálné proměnné Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 29 Kapitola 4. Limita funkce Tabulka typových it Definice ity, aritmetika it Limita sloˇzené funkce, typové ity 4 Kapitola 5. Spojitost funkce Body nespojitosti funkce Eistence řešení rovnic 50 Kapitola 6. Derivace funkce Tabulka derivací elementárních funkcí Výpočty derivací dle definice Výpočty derivací součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí Výpočty derivací dle věty o derivaci sloˇzené funkce Výpočty derivací dle věty o derivaci inverzní funkce 63 Kapitola 7. Aplikace derivací Tečna a normála grafu funkce Etrémy funkce na uzavřeném intervalu Intervaly monotonie funkce, stacionární body, lokální etrémy funkce l Hospitalovo pravidlo 7 Kapitola 8. Aproimace funkcí Diferenciál funkce Taylorův a Maclaurinův aproimační polynom Asymptoty grafu funkce 82 Kapitola 9. Průběh funkce 87 3

4 4 SBÍRKA ÚLOH ZE ZÁKLADŮ MATEMATIKY 9.. Průběh funkce Aplikace - eponenciální model 99 Kapitola 0. Primitivní funkce a neurčitý integrál Tabulka neurčitých integrálů elementárních funkcí Určení primitivní funkce a neurčitého integrálu 20 Kapitola. Metody výpočtu neurčitého integrálu 23.. Lineární substituce Metoda per partes První věta o substituci Druhá věta o substituci 28 Kapitola 2. Neurčitý integrál racionálních funkcí Neurčitý integrál ryze racionálních funkcí Dělení polynomu polynomem Neurčitý integrál funkcí ne ryze racionálních Substituce v integrálu vedoucí na integraci funkce racionální 39

5 Úvod Dostáváte do rukou publikaci, která vznikla v rámci projektu Inovace výuky matematiky v technickém a ekonomickém vzdělání s cílem sníˇzení studijní neúspěšnosti. Tato publikace je sbírkou řešených i neřešených příkladů pro předmět Základy Matematiky na Fakultě informatiky a managementu Univerzity Hradec Králové. Její členění i její obsah jsou tvořeny na základě předem definovaných poˇzadovaných výstupů ze studia. Ty jsou v rámci kaˇzdé kapitoly členěny do tří kategorií: () znalosti, jejich stručný přehled najdete v úvodu kaˇzdé kapitoly; (2) dovednosti, které získáte při studiu řešených příkladů a řešení úloh; (3) schopnosti, které získáte při studiu řešených aplikačních příkladů a řešení aplikačních úloh. Z názvu plyne, ˇze těˇziště této publikace leˇzí v řešených příkladech, neřešených úlohách a úlohách aplikačních, teoretické znalosti uvedeny pouze ve stručném přehledu. Publikace je členěna do třinácti kapitol. První z nich je značená číslicí 0, úlohy v ní jsou označeny 0. a obsahuje vybrané úlohy středoškolské matematiky, které by měl kaˇzdý student před studiem samotného předmětu zvládnout. Ostatní kapitoly korespondují s obsahem předmětu Základy matematiky. Protoˇze výstupy ze studia jsou klíčové pro studium jednotlivých kapitol, jsou na začátku kaˇzdé kapitoly popsány. Velmi děkujeme také recenzentům... za pečlivé pročtení tetu a za poznámky, které vedly k vylepšení obsahové i formální stránky tetu. Z našich kolegů děkujeme J.Lounkovi, I.Vojkůvkové a J. Sedláčkovi za pečlivé čtení a cenné připomínky k tetu, všem dalším kolegům z Katedry informatiky a kvantitativních metod a vedení Fakulty informatiky a managementu děkujeme za podporu. Za kolektiv autorů: J. Haviger, Hradec Králové,

6

7 KAPITOLA 0 Vybrané dovednosti středoškolské matematiky Tato kapitola obsahuje dovednosti, které by student měl znát před studiem předmětu Základy matematiky. Značení pouˇzívané v rámci celé sbírky. Pouˇzité značení A bod A množina, zobrazení a proměnná, neznámá, výrok [a, a 2 souřadnice bodu, uspořádaná dvojice a, a 2 uzavřený interval (a, a 2 ) otevřený interval {a, a 2,..., a n } množina zadaná výčtem prvků { Z 2 < 3} množina definovaná vlastností N množina všech čísel přirozených, N = {, 2,... } R, Q, Z mnoˇzina všech čísel reálných, resp. racionálních, resp. celých R + mnoˇzina všech čísel reálných kladných, R + = (0, ) R mnoˇzina všech čísel reálných rozšířená o prvky ± f : y = f() funkce f Dovednosti - úlohy Úloha 0. Výroky. Rozhodněte, které z následujících vět jsou výroky. a) Hradec Králové leží na soutoku Labe s Úpou. b) V Antarktidě lidé neˇzijí. c) At žije Petr! d) Někdo napsal 5. symfonii. e) Kolik je hodin? f) Úhlopříčky kaˇzdého čtverce jsou navzájem kolmé. g) Úhlopříčky čtverce nejsou navzájem kolmé. h) Číslo, které je sudé, musí být násobkem čísla 0. i) Celá čísla jsou bud sudá nebo lichá. j) Eistuje alespoň jedno záporné číslo, jehož druhá mocnina je menší neˇz 0. k) Kaˇzdé celé číslo dělitelné 3 lze zapsat ve tvaru 2k + pro nějaké celé číslo k. Úloha 0.2 Výroky. Utvořte negaci výroků. a) Pardubice jsou hlavním městem ČR. b) O prázdninách jsem byl u moře a také na horách. c) Alespoň jednou denně plavu. d) V zoo je nejméně 25 malých surikat. e) Každá číselná množina je konečná. f) Kaˇzdý student má rád bud matematiku, nebo angličtinu. [ výroky jsou: a, b, d, f, g, h, i, j, k; výroky nejsou: c, e. 7

8 8 SBÍRKA ÚLOH ZE ZÁKLADŮ MATEMATIKY g) Pro ˇzádné celé číslo k neplatí 3k > 0. h) Neeistuje přirozené číslo n s vlastností n 2 = 2. i) Byla tam Olga nebo Eliška. [ a) Pardubice nejsou hlavním městem ČR. b) O prázdninách jsem bud nebyl u moře nebo jsem nebyl na horách. c) Ani jednou denně neplavu. d) V zoo je nejvýše (maimálně) 24 malých surikat. e) Alespoň jedna číselná mnoˇzina není konečná. f) Alespoň jeden student má rád bud oba předměty, nebo ani jeden. g) Eistuje alespoň jedno celé číslo k, pro které platí 3k > 0 h) Eistuje alespoň jedno přirozené číslo n s vlastností n 2 = 2. i) Nebyla tam ani Olga ani Eliška. Úloha 0.3 Výroky. Necht p, q jsou následující výroky: p: Koupil jsem si los; q: Vyhrál jsem milion korun. Vyslovte následující výroky utvořené z těchto výroků: a) p q; b) p = q; c) p q; d) p q; e) p = q; f) p q; g) p (p q). [ a) Koupil jsem si los nebo jsem vyhrál milion korun; b) Jestliˇze jsem si koupil los, pak jsem vyhrál milion korun; c) Koupil jsem si los a vyhrál jsem milion korun; d) Koupil jsem si los právě tehdy, kdyˇz jsem vyhrál milion korun; e) Jestliˇze jsem si nekoupil los, pak jsem nevyhrál milion korun; f) p q; g) p (p q). Úloha 0.4 Výroky. Vyslovte stejným způsobem vytvořené výroky jako v předchozí úloze k těmto výrokům: p: Studoval jsem celý semestr; q: Úspěšně jsem udělal zkoušku. [ a) Studoval jsem celý semestr nebo jsem úspěšně udělal zkoušku; b) Jestliˇze jsem studoval celý semestr, pak jsem úspěšně udělal zkoušku; c) Studoval jsem celý semestr a úspěšně udělal zkoušku; d) Studoval jsem celý semestr právě tehdy, když jsem úspěšně udělal zkoušku; e) Jestliˇze jsem studoval celý semestr, pak jsem neudělal úspěšně zkoušku; f) p q; g) p (p q). Úloha 0.5 Výroky. Necht p, q, r jsou výroky, p je negace výroku p. Pomocí tabulek pravdivostních hodnot určete, zda jsou následující výrokové formule tautologiemi, které kontradikcemi a které nejsou ani tautologie, ani kontradikce: a) p p; b) (p q) = (p q); c) p (p q) = q; d) (p = q) ( p = q); e) (p q) ( p q); f) p = (p q); g) (p = q) = ( q = p); h) p = (p = q); i) ( p (p q)) = q. [ a,b,c,d,f,g,h,i - tautolgie; e - kontradikce. Úloha 0.6 Analytická geometrie - rovnice přímky. Rovnici přímky procházející danými body napište ve směrnicovém nebo v obecném tvaru: a) A[5, 7, B[ 3, 9; b) A[3,, B[ 3, ; c) A[,, B[3, 7; d) P [3, 0, Q[0, 2; e) M[ 2, 0, N[0, 5; f) K[, 2, L[, 4.

9 KAPITOLA 0. VYBRANÉ DOVEDNOSTI STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY 9 [ a) y = 2 3; b) y = ; c) y = 3 2; d) y = 2 2/; e) y = 5/2 + 5; f) = 0. Úloha 0.7 Analytická geometrie - rovnice přímky. V rovině jsou dány body A[3,, B[, 5. a) Napište rovnici přímky p určené body A, B; znázorněte graficky a zjistěte, zda přímka protíná souřadnicové osy o, o y. b) Jestliˇze ano, vypočítejte souřadnice průsečíků P, Q přímky p se souřadnicovými osami. c) Zjistěte, zda přímka p protíná přímku q o rovnici 3 + 4y = 3; jestliˇze ano, vypočítejte souřadnice průsečíku S těchto přímek. [ a) y = 7 2; b) P [7/2, 0, Q[0, 7; c) S[5, 3. Úloha 0.8 Analytická geometrie - rovnice přímky. Napište rovnici přímky procházející bodem P [4, 5 s vlastností: a) je rovnoběžná s osou o ; b) je rovnoběˇzná s osou o y ; c) je rovnoběˇzná s přímkou procházející body Q[0, 7, S[5, 3; d) je rovnoběˇzná s přímkou o rovnici y + 5 = 0; e) je rovnoběˇzná s přímkou o rovnici 2y 4 = ; f) je kolmá k přímce o rovnici 3 6y =. [ a) y = 5; b) = 4; c) y + 2 = 3; d) y + 5 = 25; e) y = 2 3; f) y + 2 = 3. Úloha 0.9 Analytická geometrie - rovnice přímky. V rovině jsou dány body A[6, 7, B[, 3, C[2, 2. a) Napište obecné rovnice přímek, ve kterých leˇzí strany trojúhelníka ABC. b) Dokaˇzte, ˇze trojúhelník ABC je pravoúhlý. c) Napište obecné rovnice středních příček trojúhelníku ABC. d) Napište obecné rovnice výšek v a, v b, v c trojúhelníku ABC. [ a) rovnice stran: a : + 9y + 6 = 0, b : 5 + 4y 2 = 0, c : 4 5y 59 = 0; b) pomocí vzorců pro délku úsečky: 82 = a 2 = b 2 + c 2 = 4 + 4; c) rovnice středních příček: S as b : 8 0y 77 = 0; S as c : 0 + 8y + 5 = 0; S b S c : 2 8y + 73 = 0; d) rovnice výšek: strany b, c jsou kolmé, proto pouze v a: y = 0. Úloha 0.0 Analytická geometrie - rovnice přímky. V rovině jsou dány body A[, 3, B[3,, C[5, 5. a) Dokaˇzte, ˇze tyto body leˇzí na jedné přímce (tj. jsou kolineární). b) Určete rovnici této přímky. [ a) body A, B, A, C je určena stejná přímka; b) y = Úloha 0. Analytická geometrie - rovnice přímky. V rovině je daná přímka p o rovnici y = Napište rovnici přímky souměrné s přímkou p podle a) osy o ; b) osy o y ; c) přímky y = ; d) přímky y = ; e) přímky y = 2. [ a) y = 3 8; b) y = 3 + 8; c) y = ( 8)/3; d) y = ( + 8)/3; e) y = 8. Úloha 0.2 Analytická geometrie - vzdálenost bodů v rovině. V rovině jsou dány body A[5, 5, B[,. a) Na ose o určete bod, který má stejnou vzdálenost od bodů A, B. b) Určete rovnici osy úsečky AB. c) Na přímce y = 2 určete bod, který se nachází ve stejné vzdálenosti od bodů A, B. [ a) [6, 0; b) 2 3y = 2; c) [ 3, 6.

10 0 SBÍRKA ÚLOH ZE ZÁKLADŮ MATEMATIKY Úloha 0.3 Vrchol paraboly. Určete, pro které nabývá funkce maima a také hodnotu tohoto maima: a) f : y = ; b) f : y = ; c) f : y = 2 2 +a a 2, a > 0; d) f : y = a 2 b 2 2, b 0. [ a) f(/4) = 7/8; b) f( 3/2) = 7/4; c) f(a/4) = 7a 2 /8; d) f(a 2 /(2b 2 )) = a 4 /(4b 2 ). Úloha 0.4 Vrchol paraboly. Určete, pro které nabývá funkce minima a také hodnotu tohoto minima: a) f : y = ; b) f : y = ; c) f : y = a a 4, a 0. [ a) f( 2) = 6; b) f(/4) = 5/24; c) f(0) = a 4. Schopnosti - aplikace Úloha 0.5 Výroky - rozhodování. v kraji se rozhoduje o řešení dopravy, radními jsou podávány tyto návrhy: p) Postaví se nový úsek dálnice. q) Rozšíří se úseky starších cest. r) Postaví se rychlostní komunikace po nových trasách. V diskusi se objevily varianty, s nimiˇz by bylo moˇzné souhlasit: () Pokud se rozšíří úseky starších cest nebo se postaví rychlostní komunikace po nových trasách, pak se nový úsek dálnice nebude stavět. (2) Bud se postaví nový úsek dálnice, nebo se rozšíří úseky starších cest, ale ne obojí. (3) Z variant p, q, r se uskuteční pouze 2. Je moˇzné najít rozhodnutí vyhovující všem variantám, 2, 3? Jaké rozhodnutí to bude? [ Všechny požadavky splňuje varianta (ne dálnice, ano rozšíření, ano rychlostní komunikace). Úloha 0.6 Vrchol paraboly - optimalizace zisku. Výrobce je schopen vyrábět lampy s celkovými náklady 20 korun na jeden kus. Lampy se prodávají za cenu 50 korun za kus; při této ceně spotřebitelé nakoupí 500 lamp za měsíc. Výrobce chce zvýšit cenu; odhaduje, ˇze za kaˇzdých 0 korun zvýšení ceny nad 50 korun budou spotřebitelé kupovat měsíčně o 20 lamp méně. Určete zisk výrobce za měsíc jako funkci ceny výrobku a určete cenu, při které zisk výrobce bude maimální. [ 260 korun. Úloha 0.7 Vrchol paraboly - optimalizace zisku. Hotel Blue Star v Las Vegas, který má přesně 300 pokojů, se plně obsadí každý den při ceně 80 dolarů za pokoj. Jestliže se cena za pokoj zvýší, pak se za každý dolar přidaný k původní ceně obsadí vˇzdy o 3 pokoje méně. Kaˇzdý obsazený pokoj znamená pro hotel výdaje dohromady 0 dolarů na úklid a sluˇzby. a) Vyjádřete zisk jako funkci hodnoty, o kterou se cena za pokoj zvýší. b) Vyjádřete zisk jako funkci ceny c za pokoj. c) Jak má management hotelu stanovit cenu za pokoj, aby jeho zisk byl maimální? d) Jaký je maimální zisk? e) Kolik pokojů zůstane přitom volných? [ a) P () = (300 3) (80 + ) (300 3) 0 = 3(00 )(70 + ); b) c = 80 + = P (c) = 3(80 )(c 0); c) 95 dolarů za pokoj; d) ma. zisk je dolarů; e) neobsazených zůstane 45 pokojů. Úloha 0.8 Analytická geometrie - vzdálenost bodů v rovině. Z křiˇzovatky dvou na sebe kolmých cest se začnou ve stejném okamˇziku pohybovat ve směrech na sebe kolmých dvě vozidla V, V 2, první stálou rychlostí 8 m/s, druhé stálou rychlostí 5 m/s. a) Jaká je jejich vzdálenost v čase 20 vteřin od začátku pohybu?

11 KAPITOLA 0. VYBRANÉ DOVEDNOSTI STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY b) Kdy budou vozidla vzdálena od sebe přesně 850 m? Znázorněte. [ a) 340 m; b) v čase 50 vteřin. Úloha 0.9 Průměrný plat. Předpokládejme, že někdo pracoval v určitém podniku přesně 0 let. Z toho v průběhu prvních 4 let vydělával přesně Kč měsíčně, v průběhu 5. a 6. roku dostával přesně Kč měsíčně, 7. a 8. rok Kč měsíčně a v devátém a desátém roce jeho plat činil Kč měsíčně. Určete, jaký byl průměrný plat za období a) prvních 5 let; b) prvních 8 let; c) za šestý aˇz desátý rok; d) všech 0 let? [ a) Kč; b) Kč; c) Kč; d) Kč. Úloha 0.20 Průměrná cena. Nakoupili jsme dohromady 8 kg broskví, z toho 8 kg za 42 Kč za jeden kilogram a 0 kg za 35 Kč za jeden kilogram. a) Jaká je průměrná cena, za kterou jsme koupili kg broskví? b) Na jakou hodnotu klesne průměrná cena za kilogram, jestliˇze dokoupíme ještě 0 kg broskví po 32,50 Kč? [ a) 38,0 Kč; b) asi 36 Kč. Úloha 0.2 Průměrná rychlost. Cyklista jede po rovině 5 minut rychlostí 24 km/h a do kopce pak 45 minut rychlostí 8 km/h. Vypočítejte jeho průměrnou rychlost a) za celý čas jízdy, t.j. 60 minut; b) za prvních 20 minut jízdy; c) za prvních 30 minut jízdy. d) Nalezněte vzorec pro průměrnou rychlost za celkový čas jízdy, pokud by cyklista jel t hodin rychlostí v km/h a t 2 hodin rychlostí v 2 km/h. [ a) 2 km/h; b) 20 km/h; c) 6 km/h; d) v = v t + v 2 t 2 t + t 2 km/h. Úloha 0.22 Průměrná spotřeba. Automobil zaznamenal během prvních 400 kilometrů jízdy průměrnou spotřebu 6,5 litrů benzínu na 00 km; následujících 500 km jel s průměrnou spotřebou 7,2 litrů na 00 km. a) Jaká byla jeho průměrná spotřeba na prvních 500 km jízdy? b) Jaká je průměrná spotřeba automobilu na 900 km jízdy? [ a) 6,64 l/00 km; b) 6,89 l/00 km. Otestujte se Úloha 0.23 Určete maimum funkce f : y = 2. [5/4. Úloha 0.24 V rovině jsou dány body A[ 2, 9, B[4, 6, C[, 0, D[ 5, 3. a) Dokaˇzte, ˇze čtyřúhelník ABCD je čtverec. b) Určete souřadnice středu S[ 0, y 0 tohoto čtverce. [ a) délky stran jsou stejné, strany kolmé; b) S[ /2, 9/2.

12 2 SBÍRKA ÚLOH ZE ZÁKLADŮ MATEMATIKY Úloha 0.25 Vyjádřete slovy R : < = sin > 0. [ Pro všechna reálná čísla platí: jestliˇze <, pak je sin > 0. Úloha 0.26 Vyjádřete symbolicky Pro všechna reálná čísla platí: jestliˇze je menší neˇz -, pak je e menší neˇz. [ R : < = e <. Úloha 0.27 Utvořte negaci výroků: a) Pro kaˇzdé kladné eistuje takové y záporné, ˇze + y = 5. b) R : < = sin > 0. [ a) Eistuje > 0 takové, že pro všechny y < 0 platí + y 5; b) R : ( < sin 0). Úloha 0.28 Rozhodněte, které z následujících tvrzení může být definice. a) Čtyřúhelník v rovině se nazývá obdélník právě tehdy, kdyˇz má obě úhlopříčky stejně dlouhé. b) Jestliˇze je v bodě 0 funkce nespojitá, pak v tomto bodě nemá derivaci. [ a) může, výrok je ve tvaru ekvivalence. b) nemůˇze, výrok je ve tvaru implikace.

13 KAPITOLA Mnoˇziny, relace Výstupy ze studia, Learning Outcomes Znalosti Po prostudování této kapitoly studující definuje kartézský součin; zavede pojmy (binární) relace, (binární) relace na mnoˇzině; vyjmenuje základní číselné mnoˇziny resp. číselné obory N, Z, Q a jejich vlastnosti. Dovednosti Po prostudování této kapitoly studující uvede příklady mnoˇzin a vhodně je zapíše (výčtem jejích prvků, intervalem, charakteristickou vlastností); nalezne prvky průniku, sjednocení, rozdílu, doplňku dvou mnoˇzin, zejména intervalů; vypíše (naznačí výpis) systému podmnoˇzin dané n-prvkové mnoˇziny; vyuˇzívá znázornění mnoˇzinových operací a vztahů pomocí Vennových diagramů; zapíše prvky kartézského součinu a znázorní jej v pravoúhlé soustavě souřadnic; nalezne (některé) relace příslušné kartézskému součinu; určí vlastnosti konkrétních relací na určité mnoˇzině (např. relace uspořádání, relace být podmnoˇzinou, relace být dělitelem). Schopnosti Po prostudování této kapitoly studující použije Vennovy diagramy a množinové operace pro řešení úloh reálné prae (úlohy rekreační matematiky, částečně zadané výsledky průzkumu a.j.); bezpečně ovládá znázorňování v kartézské soustavě souřadnic. 3

14 4 SBÍRKA ÚLOH ZE ZÁKLADŮ MATEMATIKY Znalosti - stručný přehled Mnoˇzina M všech uspořádaných dvojic prvků z mnoˇzin A a B se nazývá kartézský součin množin A a B a značí se M = A B, A B = {[a, b a A, b B}. Libovolná podmnožina R množiny A B se nazývá binární relace mezi množinami A a B, nebo stručněji jen relace, R A B. Příklad: relace je menší neˇz, }{{} < R R, častěji zapisovaná ve tvaru < y, kde, y R. R Jiný příklad: relace rovná se, }{{} = M M, častěji zapisovaná ve tvaru A = B, kde A, B R jsou podmnoˇziny mnoˇziny M. Dovednosti - řešené příklady.. Číselné mnoˇziny Příklad. Dané číselné množiny zapište pomocí intervalů nebo vyjmenováním jejich prvků a) A = { R 2 3 < 0}; b) B = { N 2 = 7}; c) C = { Z 2 8 < 0}. Řešení Nejprve vyřešíme příslušnou rovnici či nerovnici, poté výsledek porovnáme s mnoˇzinou, na které máme daný příklad řešit: a) 2 3 < 0 = ( 3) < 0. Řešíme na R např. metodou nulových bodů, A = (0, 3); b) 2 = 7 = { 3, 4}. Protoˇze -3 nepatří do N, výsledkem je B = {4}; c) 2 8 < 0 = ( 2 2, 2 2). Protože množinu hledáme jako podmnožinu Z, je řešením mnoˇzina C = { 2,, 0,, 2}..2. Mnoˇziny, systém podmnoˇzin dané mnoˇziny Příklad.2 Daná je dvouprvková mnoˇzina A = {0, }. Zapište systém všech její podmnoˇzin. Řešení V mnoˇzinách ani podmnoˇzinách nezáleˇzí na pořadí prvků, takˇze máme a) dvouprvkovou podmnožinu {0, }, b) jednoprvkové podmnožiny {0} a {}, c) prázdnou podmnoˇzinu. Mnoˇzina A má čtyři podmnoˇziny..3. Relace, vlastnosti relace Příklad.3 Určete graf relace R = {[, y R R 2 y 2 = 0}. Řešení Řešíme rovnici 2 y 2 = 0. 2 y 2 = 0 ( y)( + y) = 0 alespoň jeden výraz musí být roven nule y = 0 + y = 0 Grafem relace je tedy dvojice přímek, y = a y =, viz obrázek.

15 KAPITOLA. MNOŽINY, RELACE 5 OBRÁZEK. Graf relace R = {[, y R R 2 y 2 = 0} Dovednosti - úlohy Úloha. Číselné množiny. Dané číselné mnoˇziny zapište pomocí intervalů nebo vyjmenováním jejich prvků: a) { R < 0} ; b) { Z 8 5} ; c) { R < 5}; d) { Z 2 + < 5}; e) { R 2 8 = 0} ; f) { Z = 0} ; g) { Q 2 3 = 0} ; h) { Z ( ) 2 = 25} ; i) { N < 0}. [ a) (, 2/7); b) všechna celá čísla 2; c) /2, 2); d) {, 0, }; e) { 2 2, 2 2}; f) ; g) ; h) { 4, 6}; i). Úloha.2 prvků: Číselné množiny. Dané číselné množiny zapište pomocí intervalů nebo vyjmenováním jejich a) { R = 0}; b) { R ( + 5) 2 < 9}; c) { Z 2 = 3}; d) { R 2 4 = 7}; e) { R 2 + = }; f) { R = 3 }. [ a) ; b) ( 8, 2); c) {, 5}; d) { 3/2, /2}; e) { }; f) {3/2}. Úloha.3 Číselné množiny. Dané číselné množiny zapište pomocí intervalů nebo vyjmenováním jejich prvků: a) { N 2 9}; b) { Z ( + ) 2 4}; c) { Z > 20}; d) { R }; e) { Z 4 2 0}; f) { Z > 0}; g) { R < 0}; h) { R ( ) 3 < 0}; i) { R ( 2)( 4) < 0}; j) { R ( 2 4) 0}; k) { R ( 2 )( 2 4) > 0}; l) { R < 4}. [ a) {, 2, 3}; b) { 3, 2,, 0, }; c) všechna celá čísla < 4 a všechna celá > 4; d) R; e) {0, ±, ±2}; f) ; g) ( 4, 3/2); h) (, ); i) (, 0 2, 4 ; j) 2, 0 2, ); k) (, 2) (, ) (2, ); l) (, 5/7).

16 6 SBÍRKA ÚLOH ZE ZÁKLADŮ MATEMATIKY Úloha.4 Množiny, systém jejich podmnožin. Daná je tříprvková množina A = {0,, 2}. Zapište systém všech jejích podmnožin a znázorněte ho vhodným způsobem. [ 8 podmnožin Úloha.5 Množiny, operace s množinami. Mějme mnoˇzinu M všech celých čísel od po 30. Označme jako A její podmnoˇzinu obsahující právě všechna čísla dělitelná 2, B její podmnoˇzinu obsahující právě všechna čísla dělitelná 3 a C její podmnoˇzinu obsahující právě všechna čísla dělitelná 5. Pomocí mnoˇzinových operací s podmnoˇzinami A, B, C popište mnoˇziny všech čísel patřících do mnoˇziny M s vlastnostmi: a) jsou dělitelná 2 a současně 3; b) jsou dělitelná 2 nebo 3; c) jsou dělitelná 5 a nejsou dělitelná 3; d) nejsou dělitelná ani 3 ani 5. [ a) A B; b) A B; c) C B; d) M (B C). Úloha.6 Relace. Určete graf relace: a) R = {[, y R R 2 + y 2 = 0}; b) R = {[, y R R 3 y 2 = 0}. [ a) kružnice se středem v počátku a poloměrem ; b) tři přímky, y =, y = a = 0. Schopnosti - aplikace Úloha.7 Množiny, operace s množinami. Z 50 zaměstnanců firmy 30 ovládá jazyk anglický (A), 20 jazyk německý (N) a 5 zaměstnanců ovládá oba jazyky. Znázorněte vhodným diagramem a určete, kolik zaměstnanců: a) ovládá A, ale neovládá N; b) ovládá N, ale neovládá A; c) ovládá pouze jeden cizí jazyk; d) neovládá ani jeden z uvedených jazyků. [ a) 25; b) 5; c) 40; d) 5. Úloha.8 Množiny a podmnožiny. Management malé společnosti sestávající z prezidenta P a tří víceprezidentů V, V 2, V 3 chce pro řešení krizových situací zvolit z těchto 4 lidí dvojčlenný podvýbor. a) Kolika způsoby to lze udělat? Vypište moˇzné podvýbory. b) Kolika způsoby lze vybrat tříčlenný podvýbor? Vypište je. [ a) 6; b) 4. Otestujte se Úloha.9 Zapište dané číselné mnoˇziny pomocí intervalů nebo vyjmenováním jejich prvků: a) { R < 5}; b) { Z ( ) 2 6}; c) { R 2 > 3}.

17 KAPITOLA. MNOŽINY, RELACE 7 [ a) 3/2, 4); b) { 3, 2,, 0,, 2, 3, 4, 5}; c) (, ) (5, ). Úloha.0 Kolik má tříprvková mnoˇzina A = {a, b, c} všech podmnoˇzin? Zapište systém všech jejích podmnoˇzin a znázorněte ho vhodným způsobem (diagramem). Kolik různých neprázdných podmnoˇzin bude mít 4-prvková mnoˇzina B = {a, b, c d}? [ 8 podmnoˇzin; 5 podmnoˇzin. Úloha. Určete graf relace: a) R = {[, y R R y < 0}; b) R = {[, y R R y( 2 + y 2 4) = 0}. [ a) polorovina určená přímkou y= a bodem [0, ; b) osa a kružnice se středem v počátku a poloměrem r = 2.

18

19 KAPITOLA 2 Zobrazení, funkce Výstupy ze studia, Learning Outcomes Znalosti Po prostudování této kapitoly studující definuje zobrazení, definiční obor a obor hodnot zobrazení; vysvětlí skládání zobrazení; zavede pojem funkce jako zobrazení v R; orientuje se v různých způsobech zadání funkce - předpisem, tabulkou, grafem; chápe definiční obor funkce jako nedílnou součást zadání funkce; definuje součet, rozdíl, součin a podíl dvou funkcí, absolutní hodnotu funkce, mocninu funkce. Dovednosti Po prostudování této kapitoly studující pracuje s různými způsoby zadání funkce, přechází od jednoho způsobu zadání funkce k jinému způsobu zadání; určí na základě podmínek definiční obor funkce - rozpozná, jaké rovnice, nerovnice, nebo odpovídající soustavy rovnic nebo nerovnic, je nutné vyřešit; správně zapíše řešení těchto soustav; rozpozná základní vlastnosti funkcí z různých způsobů zadání funkce; vyjádří zápisem funkci sloˇzenou z daných funkcí, určí její definiční obor; naopak, je schopen rozpoznat strukturu sloˇzené funkce a rozloˇzit sloˇzenou funkci na jednotlivé sloˇzky. Schopnosti Po prostudování této kapitoly studující aplikuje získané znalosti a dovednosti při řešení úloh z prae - ve funkcionálních modelech. 9

20 20 SBÍRKA ÚLOH ZE ZÁKLADŮ MATEMATIKY Znalosti - stručný přehled Relace Z A B se nazývá zobrazení množiny A do množiny B a A b B : [a, b Z. def Zobrazení se značí Z : A B a bývá někdy předpisem pro jednotlivé prvky a množiny A, tedy Z : a Z(a) nebo Z : b = Z(a). Zobrazení Z : R R je například kvadratická funkce Z : 2, nebo jinak zapsané Z : y = 2. Jiný příklad je zobrazení Z : R 3 R 2 definované Z : [, y, z [, y. Mnoˇzina A z předchozí definice se nazývá definiční obor zobrazení Z : A B a označuje se D(Z). Množina H(Z) B se nazývá obor hodnot zobrazení Z : A B b H(Z) a D(Z) : [a, b Z, b B \ H(Z), a D(Z) : [a, b Z. def Slovně vyjádřeno: mnoˇzina H(Z) je mnoˇzina obrazů všech prvků mnoˇziny A. def Zobrazení f : A B se nazývá reálná funkce B = R, tedy právě tehdy, kdyˇz f : A R. def Zobrazení f : A R se nazývá reálná funkce jedné reálné proměnné A R. Reálná funkce reálné proměnné bývá vyjádřena předpisem pro jednotlivé prvky D(f), tedy f : f() nebo f : y = f(). V následujícím tetu bude pod pojmem funkce míněna vˇzdy reálná funkce jedné reálné proměnné. Mějme funkce f : f() a g : g(). Aritmetické operace součet, rozdíl, součin a podíl těchto dvou funkcí definujeme následovně: f + g : f() + g(); f g : f() g(); f g : f() g(); f/g : f()/g() g() 0. Mějme funkci g : g() a funkci f : f(), pro kterou H(g) D(f). Funkce h = g f se nazývá funkce složená z funkcí g a f def D(h) = { R D(f) f() D(g)}; g f : g(f()). Funkce definovaná na konečné n-prvkové mnoˇzině M se nazývá permutace na množině M def obor hodnot tvoří celá mnoˇzina M. 2.. Tabulka definičních oborů elementárních funkcí, které nemají D(f) = R. f : a a D(f) = R \ {0} f : a a D(f) = 0, ) f : a log b a D(f) = (0, ) f : a arcsin a D(f) =, f : a arccos a D(f) =,

21 KAPITOLA 2. ZOBRAZENÍ, FUNKCE 2 Dovednosti - řešené příklady 2.2. Definiční obory funkcí Příklad 2. Určete definiční obor D(f) funkce f: a) f : y = 2 3 ; b) f : y = 3 2 ; c) f : y = log ; d) f : y = arcsin(4 2 ). Řešení a) Dle tabulky definičních oborů musí být 3 0. Levou stranu upravíme na tvar ( )( + ) a určíme řešení rovnice ( )( + ) = 0, takˇze {, 0, }. Prvky této mnoˇziny nepatří do D(f), proto D(f) = R\{, 0, } b) dle tabulky definičních oborů musí být 3 2 0, tedy D(f) = (, /3 /3, ). c) dle tabulky definičních oborů musí být log 0 a současně musí být > 0. První podmínka vede na nerovnici log = log 0 log = (0 > 0), jejímˇz řešením je mnoˇzina (0, 0. 0 > 0 = D(f) = (0, 0. d) dle tabulky definičních oborů musí platit: 4 2, 4 2, coˇz vede na dvě nerovnice: 4 2 a současně 4 2. Jejím řešením jsou intervaly 5, 5 a (, 3 3, ). Hledaným definičním oborem je průnik těchto intervalů, tedy D(f) = 5, 3 3, Sloˇzená funkce Příklad 2.2 Určete předpis funkcí f g a g f, pokud f : y = 2 a g() = sin. Řešení máme určit f g, takˇze vloˇzíme předpis funkce g do předpisu funkce f: f(g()) = g() 2 = sin 2. D(f g): nejprve určíme D(g) = R a D(f) =,. Potřebujeme zjistit, pro která je g() D(f). Protoˇze g() = sin, = D(f), je zřejmě D(f g) = R. máme určit g f, takˇze vloˇzíme předpis funkce g do předpisu funkce f: g(f()) = sin(f()) = sin( 2 ). D(g f): nejprve určíme D(g) = R a D(f) =,. Měli bychom zjistit, pro která D(f) je f() D(g). Protoˇze je D(g) = R, je zřejmě tato podmínka splněná pro všechna D(f). Tedy D(g f) =,.

22 22 SBÍRKA ÚLOH ZE ZÁKLADŮ MATEMATIKY Příklad 2.3 Funkce f je definovaná tabulkou: 2.4. Funkce definované na konečné mnoˇzině 0 2 f() 2 0 a) Vytvořte sloˇzenou funkci f f a zapište ji tabulkou; b) určete definiční obor a obor hodnot funkce f. Řešení a) Protoˇze (f f)() = f(f()), platí 0 2 f() 2 0 f(f()) 0 2 V tomto případě je sloˇzená funkce f f totoˇzná s funkcí identickou, id : b) D(f) = H(f) = {0,, 2}. Příklad 2.4 Jestliˇze f 0 : y = 2.5. Funkce definované rekurentně + a f n+ = f 0 f n, kde n N, určete předpis pro funkci f n. Řešení Vytvoříme prvních několik funkcí, poté stanovíme hypotézu a tu indukcí dokážeme: ) f 0 : y = +, takˇze uvaˇzujeme, ˇze f n : y = f = f 0 f 0 : y = f 2 = f 0 f : y = (n+) +. 2) nechtˇ tedy pro nějaké n platí vztah f n : y = f n+ : y = (n+2)+ : fn+ = f0 fn : y = = 2 +, = 3 +,, zkusme dokázat, že pak nutně musí být (n + ) + (n+)+ (n+)+ + = (n + 2) + 3) Víme, ˇze vztah platí pro n = 0 a dále víme, ˇze kdyˇz platí pro n, pak platí i pro n +. Dokázali jsme, ˇze n N : f n : y = (n + ) + Dovednosti - úlohy Úloha 2. Definiční obor reálné funkce. Určete definiční obor D(f) funkce f: a) f : y = + 2 ; b) f : y = 3 2; c) f : y = ; d) f : y = ; e) f : y = 9 2 ; f) f : y = ln( ); g) f : y = ln + ( 2 ) ; h) f : y = ln [ a) R \ {, 0, }; b) R; c) R; d) (, 4 0, 4 ; e) 2, 3) (3, ); f), 2) (3, ) ; g) (, 2); h) (, ) (4, ).

23 KAPITOLA 2. ZOBRAZENÍ, FUNKCE 23 Úloha 2.2 Definiční obor reálné funkce. Určete definiční obor D(f) funkce f: a) f : y = cos 2 ; b) f : y = log(9 ) ; c) f : y = log ; d) f : y = log(log 2 5 log ); e) f : y = ; f) f : y = log( + 2 4); g) f : y = ; h) y = ln(2 cos2 + 5 cos + 2). [ a) π 3 + k 2π, π + k 2π, k Z; b) (, 8) (8, 9) ; c) (, 2/3); 3 d) (0, ) (0 5, ); e) ( 5, 5); f) (5, ); g) ( 5, 2 ( 3 + 4)); h) (, ) (4, ). Úloha 2.3 Operace s funkcemi (aritmetika funkcí), definiční obor funkce. Mějme lineární funkce f : y = +, g : y = 2. Utvořte funkce: a) f + g; b) f g; c) f g; d) f 2 ; e) f/g; f) g/f. Určete jejich definiční obory, případně znázorněte grafy těchto funkcí. [ a) f + g : y = 3, D(f + g) = R; b) f g : y = 2, D(f g) = R ; c) f g : y = 2 + 2, D(f g) = R; d) f 2 : y = ( + ) 2, D(f 2 ) = R; e) f/g : y = +, D(f/g) = R \ {2}; 2 2 f) g/f : y =, D(g/f) = R \ { }. + Úloha 2.4 Operace s funkcemi (aritmetika funkcí), definiční obor funkce. Mějme dvě funkce f : y =, g : y =. Utvořte funkce: a) f + g; b) f g; c) 2 + f 3 + g 2 Určete jejich definiční obory, případně znázorněte grafy těchto funkcí. [ a) f + g : y = +, D(f + g) = (0, ); b) f g : y = ( ), D(f g) = (0, ); c) 2+f 3+g 2 : y = f, D( 4 3+g 2 ) = 0, 4) (4, ). Úloha 2.5 Složená funkce, definiční obor funkce. Určete předpisy funkcí f g, g f, je-li: a) f : y = 2, g : y = 2 + ; b) f : y = 3 2, g : y = ; c) f : y = +, g : y = 2; d) f : y = 2 +, g : y =. [ a) f g : y = , D(f g) = R; g f : y = 4 2 +, D(g f) = R; b) f g : y = 3 2, D(f g) = R; g f : y = 3 2, D(g f) = R; c) f g : y =, D(f g) = (, ); g f : y = + 2, D(g f) = (, ); d) f g : y = +, D(f g) = (, ) (, ); g f : y = +, D(g f) = (, 0) (0, ). Úloha 2.6 Složená funkce. Je-li f : y =, určete předpis a definiční obor funkce: a) f f; b) f f f. [ a) (f f) : y =, D(f f) = R \ {0, }; b) (f f f) : y =, D(f f f) = R \ {0, }. Úloha 2.7 Složená funkce. Je-li f : y =, g : y = 2 a h : +. Určete předpis a definiční obor funkce f g h. Úloha 2.8 Složená funkce. Vyjádřete funkci F ve tvaru f g, kde a) F : y = ( 2 + ) 3 ; b) F : y = sin( ); c) F : y = cos ; d) F : y = ln ln [ y = +, D(f) = 0,

24 24 SBÍRKA ÚLOH ZE ZÁKLADŮ MATEMATIKY [ a) f : y = 3 g : y = 2 + ; b) f : y = sin g : y = ; c) f : y = g : y = cos ; d) f : y = g : y = ln. Úloha 2.9 Složená funkce. Nalezněte funkce f, g a h tak, ˇze F = f g h, kde: a) F : y = + ; b) F : y = [ a) f : y = /, g : y = +, h : y = ; b) f : y =, g : y = /, h : y = Úloha 2.0 Složená funkce. Vytvořte složené funkce pro h() = ln( 4) : a) h(5); b) h( ); c) h( ); d) h( + 4); e) h(/); f) h( 2 ); g) h(h()). Vypočítejte hodnoty (pokud eistují): h) h( ); i) h(0); j) h(5). [ a) h(5) = ln(5 4); b) h( ) = ln( 4); c) h( ) = ln( 3 ); d) h( + 4) = ln ; e) h(/) = ln(/ 4); f) h( 2 ) = ln( 2 4); g) h(h()) = ln(ln( 4) 4); h) h( ) nedef.; i) h(0) nedef.; j) h(5) = 0. Úloha 2. Složená funkce, definiční obor. Jsou dány funkce f, g. Vytvořte složené funkce f g, g f, f f, g g; určete definiční obory těchto složených funkcí: a) f : y = + 5, g : y = 2 3; b) f : y =, g : y = 3 ; c) f : y = 2, g : y = ; d) f : y = ln, g : y = 2 4; e) f : y = ln, g : y = ln( ). [ a) f g : y = 2 + 2, def. obor je R; g f : y = ( + 5) 2 3, R; f f : y = + 0, R; g g : y = ( 2 3) 2 3, R; c) f g : y =, R; g f : y = 2,, ; f f : y = 2 2 4, R; g g : y = 4, 0, ); e) f g : y = ln(ln( )); (, 0); g f : y = ln(ln ), (, ); f f : y = ln( ln ), (0, e); g g : y = ln( ln( )), ( e, ). b) f g : y = 2, (, 2 ; g f : y = 3,, ); f f : y =, 2, ); g g : y =, R; d) f g : y = ln( 2 4), (, 2) (2, ); g f : y = ln 2 4, (0, ); f f : y = ln(ln ), (, ); g g : y = , R; Úloha 2.2 Složené funkce. Necht f : y = 7, g : y =. Vytvořte sloˇzené funkce f g, g f a znázorněte grafy těchto sloˇzených funkcí. [ f g : y = 7; g f : y = 8. Úloha 2.3 Funkce definovaná na konečné množině. Dané jsou dvě konečné mnoˇziny A, B, přičemˇz A = {a, a 2, a 3 }, B = {0, }. Určete, kolik je všech různých funkcí f mnoˇziny A do mnoˇziny B. [ 8. Úloha 2.4 Funkce definovaná na konečné množině. Dané jsou dvě konečné mnoˇziny A, B, A = {a, a 2, a 3,..., a n }, B = {0, }. Určete, kolik je všech různých funkcí f mnoˇziny A do mnoˇziny B; jakým způsobem je lze zapsat?

25 KAPITOLA 2. ZOBRAZENÍ, FUNKCE 25 [ mnoˇzina přiřazených B v tabulce hodnot u kaˇzdé z funkcí jednoznačně koresponduje s výběrem podmnoˇziny prvků množiny A zobrazených právě na, proto je počet těchto funkcí 2 n ; kromě tabulek lze výčet všech takových funkcí provést vypsáním všech moˇzných různých řetězců - slov délky právě n sestávajících z 0 a. Úloha 2.5 Funkce definovaná na konečné množině - složená funkce. Funkce f je definovaná tabulkou: a) 0 2 b) 0 2 f() 2 0 f() 2 3 Vytvořte složené funkce f f, f f f a zapište je tabulkou; určete jejich definiční obor a obor hodnot. [ a) 0 2 f(f()) 0 0 f(f(f())) 0 0 b) 0 2 f(f()) f(f(f())) Úloha 2.6 Funkce definovaná na konečné množině - složené funkce. Funkce f, g jsou dány následujícími tabulkami: f() g() a) Napište tabulku pro sloˇzené funkce f g, g f, f f, g g a určete definiční obory a obory hodnot těchto funkcí. b)) Jsou funkce f nebo g permutace? Pokud ano, jedná se o cyklické permutace? [ a) f(g()) g(f()) f(f()) g(g()) b) ani funkce f ani funkce g nejsou permutace. Úloha 2.7 Funkce definovaná na konečné množině - složené funkce. Funkce c je definovaná na tříprvkové mnoˇzině {0,, 2}: 0 2 c() 2 0 a) Vytvořte sloˇzené funkce c c, c c c a zapište je pomocí tabulky. b) Jedná se o permutaci? Pokud ano, jedná se o cyklickou permutaci? [ a) 0 2 c() 2 0 c(c()) 2 0 c(c(c())) 0 2 b) jedná se o cyklickou permutaci. Úloha 2.8 Funkce definované rekurentně. Jestliˇze f 0 : y = 2 a f n+ = f 0 f n, kde n N, určete předpis pro funkci f n. [f n : y = (2n+).

26 26 SBÍRKA ÚLOH ZE ZÁKLADŮ MATEMATIKY Otestujte se Úloha 2.9 Určete definiční obory následujících funkcí: + a) f : y = ; b) f : y = log ( 2 ) ; c) f : y = 3 log 3 ( 3). Úloha 2.20 Řešte úlohu 2.0 pro funkci h() = + 5/. [ a) D(f) =, ); b) D(f) = (, 2) ( 2, ) (, 2) ( 2, ); c) D(f) = (3, 30) (30, ). [ a) h(5) = + /; b) h( ) = 5/; c) h( ) = 6 ; d) h( + 4) = ; e) h(/) = + 5; f) h(2 ) = + 5/ 2 ; g) h(h()) = 6+5 ; +5 h) h( ) = 4; i) h(0) nedef.; j) h(5) = 2. Úloha 2.2 Funkce f je definovaná tabulkou: f() Vytvořte sloˇzené funkce f f, f f f, zapište je tabulkou; určete jejich definiční obor a obor hodnot. [ f() f(f()) f(f(f())) Úloha 2.22 Jestliˇze f 0 : y = 2 a f n+ = f 0 f n, kde n N, určete předpis pro funkci f n. [ f n : y = (n + ) n (n + 2) (n + )

27 KAPITOLA 3 Elementární funkce reálné proměnné Výstupy ze studia, Learning Outcomes Znalosti Po prostudování této kapitoly studující definuje základní zkoumané vlastnosti reálných funkcí; vyjmenuje a nakreslí graf elementárních funkcí, konkrétně funkcí; konstantní funkce, identická funkce, lineární funkce; mocninná funkce s eponentem přirozeným, celočíselným a racionálním; polynomická funkce a některé vlastnosti polynomů; racionální funkce; eponenciální a logaritmické funkce; goniometrické a cyklometrické funkce; speciální funkce: funkce absolutní hodnota, signum, celá část; vyjmenuje základní vlastnosti jednotlivých elementárních funkcí. Dovednosti Po prostudování této kapitoly studující rozhodne o tom, zda je zadaná funkce rostoucí, klesající; rozhodne o tom, zda je zadaná funkce sudá, lichá; rozhodne o tom, zda je zadaná funkce prostá; nalezne předpis inverzní funkce pro funkci prostou; objasní vztah inverze mezi funkcí eponenciální a logaritmickou; objasní vztah inverze mezi funkcí goniometrickou a cyklometrickou. Schopnosti Po prostudování této kapitoly studující používá získané znalosti a dovednosti v dalších oblastech kalkulu, např. u ity a derivace funkce, při stanovení průběhu funkce, při určování primitivní funkce k dané funkci; aplikuje získané znalosti a dovednosti při řešení úloh z prae, např. ve funkcionálních modelech (modelování lineárními, kvadratickými, eponenciálními funkcemi), v analýze zlomového bodu; vyuˇzívá funkcionální modely v dalších oblastech kalkulu, např. v optimalizačních úlohách, v aplikacích určitého integrálu, v diferenciálních rovnicích. 27

28 28 SBÍRKA ÚLOH ZE ZÁKLADŮ MATEMATIKY Znalosti - stručný přehled Funkce f se nazývá rostoucí na množině M D(f) def a, b M : a < b = f(a) < f(b). Pokud je M = D(f), budeme pouˇzívat termín funkce rostoucí. Funkce f se nazývá klesající na množině M D(f) def a, b M : a < b = f(a) > f(b). Pokud je M = D(f), budeme pouˇzívat termín funkce klesající. Funkce f se nazývá sudá na množině M D(f) def a D(f) : a D(f), a D(f) : f( a) = f(a). Pokud je M = D(f), budeme pouˇzívat termín funkce sudá. Funkce f se nazývá lichá na množině M D(f) def a D(f) : a D(f), a D(f) : f( a) = f(a). Pokud je M = D(f), budeme používat termín funkce lichá. Funkce f se nazývá prostá na množině M D(f) def b R eistuje nejvýše jedno a D(f) : f(a) = b. Pokud je M = D(f), budeme pouˇzívat termín funkce prostá. Pokud je funkce f rostoucí, resp. klesající na M D(f), pak je také prostá na M D(f). Mějme funkci f, která je prostá. Funkce f se nazývá inverzní k funkci f D(f) : f (y) = f() = y. def Na příslušných definičních oborech platí: f f = id, f f = id, kde id : y = je identická funkce na příslušném definičním oboru. Funkce se nazývá signum a značí se f : y = sign() sign() = Funkce se nazývá celá část a značí se f : y = [ def, > 0,, < 0, 0, = 0. [ Z, [ < [ +. def současně platí: Slovně vyjádřeno, pokud je celé číslo, pak [ =, pokud není celé číslo, pak [ je největší menší celé číslo.

29 KAPITOLA 3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ 29 Dovednosti - řešené příklady 3.. Vlastnosti funkcí Příklad 3. Rozhodněte a zdůvodněte, zda je funkce f g rostoucí, klesající na D(f g), nebo žádnou tuto vlastnost nemá, je-li f rostoucí na D(f) a g klesající na D(g). Řešení (V řešení dávejte pozor na znaménka!) f je rostoucí na D(f), tedy dle definice g je klesající na D(f),tedy dle definice Pro sloˇzenou funkci platí: a, b D(f g) : a < b a, b D(f) : a < b = f(a) < f(b). a, b D(g) : a < b = g(a) > g(b). g kles. = g(a) > g(b) Složená funkce f g je tedy klesající na D(f g), protože a, b D(f g) : a < b = f(g(a)) > f(g(b)). f rost. = f(g(a)) > f(g(b)) 3.2. Inverzní funkce Příklad 3.2 Určete, zda eistuje funkce inverzní k funkci f : y = + na D(f), a pokud ano, určete 2 předpis inverzní funkce. Řešení Funkce f : y = + 2 je prostá na D(f) = eistuje funkce inverzní f. Pro funkci f : y = f() hledáme funkci inverzní, tedy f : = f (y). Z předpisu funkce f tedy vyjádříme : y = + 2, y ( 2) = +, y =2y +, (y ) =2y +, = 2y + y. Inverzní funkcí k dané funkci f je tedy funkce f : y = 2 +, její definiční obor je D(f ) = R \ {}. Příklad 3.3 Určete zda eistuje funkce inverzní k funkci f : y = e 3 na D(f) a pokud ano, určete její předpis. Řešení Funkce e je prostá, 3 je také prostá, tedy i sloˇzená funkce f : y = e 3 je také prostá = eistuje funkce inverzní f. Určeme předpis inverzní funkce k funkci f: y =e 3, ln(y) = 3, = ( ln y). 3

30 30 SBÍRKA ÚLOH ZE ZÁKLADŮ MATEMATIKY Inverzní funkcí je tedy funkce f : y = 3 ( ln()), její definiční obor je D(f ) = (0, ). Příklad 3.4 Určete, zda eistuje funkce inverzní k funkci f : vhodné podmnoˇzině, a pokud ano, určete její předpis. y = sin 2 na D(f), případně na jeho Řešení Funkce f : y = sin není prostá (na D(f)), proto se omezíme na mnoˇzinu, na níˇz je f prostá, tedy např. π/2, π/2. Funkce g : y = 2 je prostá. Složená funkce f g : y = sin 2 je prostá pro 2 π/2, π/2, tedy π/4, π/4. Na intervalu π/4, π/4 tedy eistuje funkce inverzní (f g) : y = sin 2 = 2 arcsin y Inverzní funkcí je tedy funkce (f g) : y = 2 arcsin, její definiční obor je D(f ) =,. Dovednosti - úlohy Úloha 3. Vlastnosti funkcí. Rozhodněte, zda je funkce f na D(f) sudá, lichá nebo ˇzádnou z uvedených vlastností nemá: a) f : y = 2 (e + e ); b) f : y = log ; c) f : y = ;. d) f : y = 3 ( 2) 2 ; e) f : y = ; f) f : y = ; g) f : y = ln ; h) f : y = sin [ a) sudá; b) lichá; c) sudá; d) ani sudá ani lichá; e) lichá; f) ani sudá ani lichá; g) lichá; h) sudá. Úloha 3.2 Vlastnosti funkcí. Rozhodněte a zdůvodněte, zda je funkce f g rostoucí, klesající na D(f g), nebo ˇzádnou takovou vlastnost nemá, je-li: a) f je rostoucí na D(f), g je rostoucí na D(g); b) f je rostoucí na D(f), g je klesající na D(g); c) f je klesající na D(f), g je klesající na D(g); d) f je klesající na D(f), g je rostoucí na D(g). [ a) rostoucí; b) klesající; c) rostoucí; d) klesající. Úloha 3.3 Vlastnosti funkcí. Rozhodněte a zdůvodněte, zda je funkce f g sudá, lichá na D(f g) nebo ˇzádnou tuto vlastnost nemá, je-li: a) f je sudá na D(f), g je sudá na D(g); b) f je sudá na D(f), g je lichá na D(g); c) f je lichá na D(f), g je lichá na D(g); d) f je lichá na D(f), g je sudá na D(g); [ a) sudá; b) sudá; c) sudá; d) lichá. Úloha 3.4 Vlastnosti funkcí. Rozhodněte a zdůvodněte, zda je funkce f g sudá, lichá na D(f g) nebo ˇzádnou takovou vlastnost nemá, je-li: a) f je sudá na D(f), g je sudá na D(g); b) f je sudá na D(f), g je lichá na D(g); c) f je lichá na D(f), g je lichá na D(g); d) f je lichá na D(f), g je sudá na D(g).

31 KAPITOLA 3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ 3 [ a) sudá; b) lichá; c) sudá; d) lichá. Úloha 3.5 Inverzní funkce. Zjistěte, zda funkce f je prostá na svém definičním oboru; pokud ano, určete k ní inverzní funkci f, najděte její definiční obor D(f ) a ověřte, zda sloˇzené funkce f f, f f jsou identická přiřazení (načrtněte grafy dvojice funkcí f, f ve stejném souřadnicovém systému): a) f : y = 2 3; b) f : y = + 2 ; d) f : y = + 4; e) f : y = c) f : y = 2 ; ; f) f : y = [ a) f : y = (2 )/3, D(f ) = R; b) f : y = + 2, D(f ) = R \ {}; c) f neeistuje, f není prostá (např. f(0) = f() = ); inverzní funkce k f eistuje např. na intervalu /2, ); d) f : y = 4 + ( ) 2, D(f ) = H(f) =, ); e) f neeistuje, f není prostá (např. f() = f( ) = /5); inverzní funkce k f eistuje např. na intervalu 0, ); ( ) f) f : y = + 2, D(f ) = H(f) = (, ) (, ). Úloha 3.6 Inverzní funkce. Jsou některé z následujících funkcí vzájemně inverzní? Ověřte, zda jejich sloˇzením vzniká identická funkce id: f : y = 4 +2 ; g : y = 2 log( + ); h : y = 2 + log 4 ( ); k : y = [ f a h. Úloha 3.7 Obor hodnot reálné funkce. Určete, zda pro funkci: a) f : y = je číslo 9 H(f); b) g : y = 2 je číslo 0 H(g). 5 [ a)ano; b) ano.

32 32 SBÍRKA ÚLOH ZE ZÁKLADŮ MATEMATIKY Úloha 3.8 Obor hodnot funkce. Určete obor hodnot H(f) funkce f, kde a, b R, b > 0 jsou parametry v předpisu funkce, případně zakreslete graf funkce: a) f : y = + /; b) f : y = a + b/; c) f : y = + ; d) f : y = + ; e) f : y = 2 ; f) f : y = 2 4; g) f : y = ln ; h) f : y = 2 sin ; i) f : y = sin ; j) f : y = + 2 sin ; k) f : y = + + ; l) f : y = [ a) (, 2 2, ); b) (, 2ab 2ab, ); c) (, 5/4 ; d) 3/4, ); e) 0, ; f) 0, ); g) (, ); h), 3 ; i), ; j), 3 ; k) 2, 2 ; l) 2, 2 2. Úloha 3.9 Inverzní funkce. Určete definiční obor funkce, předpis inverzní funkce k dané funkci a definiční obor inverzní funkce: a) f : y = 3 + ; b) f : y = + ln( + 2); c) f : y = ; d) f : y = ; e) f : y = + arccos 2 ; f) f : y = arcsin 2 2. [ a) f : y = 3 ; b) f : y = e 2; c) f : y = log 2 ( y y ); d) f : y = 2 log( y 2 y ); e) f : y = log 2 (cos( )); f) f : y = 2 +2 sin. Schopnosti - aplikace Úloha 3.0 Teplotní stupnice. Mezi Fahrenheitovou (F) a Celsiovou (C) stupnicí na měření teploty je lineární vztah, tudíž teplotu ve stupních F lze vypočítat z teploty určené ve stupních C pomocí lineární rovnice. a) Najděte tento vztah, jestliˇze víte, ˇze teplotě 0 st. Celsia odpovídá 32 st. Fahrenheita a teplotě 00 st. Celsia odpovídá 22 st. Fahrenheita. b) Kolika stupním F odpovídá 30 st. Celsia? c) Naměřeno bylo 00 st. Fahrenheita. Kolik je to ve stupních Celsia? d) Najděte vztah pro výpočet teploty ve stupních Celsia, jestliže znáte teplotu ve stupních Fahrenheita. e) Na pozorovací stanici v Antarktidě teplota v průběhu 24 hodin kolísala mezi 49 st. a 4 st. Fahrenheita. Určete toto rozmezí kolísání ve stupních Celsia. [ a) y =, ; b) 86 st. F; c) 340/9 st. C; d) = 5/9y 60/9; e) mezi 45 a 0 st. C. Úloha 3. Funkcionální model. Tlak p pod vodou podle zkušeností potápěčů závisí na hloubce v metrech, ve které je potápěč, lineárně podle závislosti p = kd +, kde k je nějaká konstanta. Na hladině (d = 0 metrů) je tlak atmosféra. Tlak v hloubce 00 metrů je přibliˇzně 0,94 atmosfér. Určete tlak v hloubce 50 metrů pod hladinou. [ p = 0, 0994d + atm.; pro d = 50 m je p = 5, 97 atm. Úloha 3.2 Funkcionální model - lineární závislost. Vodní nádrž Labutí jezero se v říjnu a listopadu vypouští. V průběhu celého října při rovnoměrném ubývání vody bylo. října v nádrˇzi 200 milionů litrů vody, 20. října obsahovala uˇz jenom 64 milionů litrů vody. Vypočítejte: a) kolik vody bylo v nádrˇzi 7. října; a) kolik vody bylo v nádrži 7. října. V průběhu celého listopadu voda ubývala rovnoměrně mírou 2 miliony litrů za den. Znázorněte mnoˇzství vody v nádrˇzi od začátku října a vypočítejte: c) kolik vody bylo v nádrˇzi 7. listopadu; d) kolik vody bylo v nádrˇzi 30. listopadu.

33 KAPITOLA 3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ 33 [ a) 26 mil. litrů; b) 76 mil. litrů; c) 86 mil. l; d) 60 mil. l. Úloha 3.3 Vzdálenost bodů v rovině. Světelný bod se pohybuje v. kvadrantu po přímce 4 + 5y = 20. Ve kterém bodě Q se bude nacházet nejblíˇze k pozorovateli v bodě [0, 0? Jaká je ta nejmenší vzdálenost? [ Q[80/4, 00/4, nejm. vzdálenost je Úloha 3.4 Vzdálenost bodů v rovině. Trajektorií, po které se pohybuje jiný světelný bod, je část přímky + 2y = 0 v. kvadrantu. a) Ve kterých bodech trajektorie se světelný bod nachází ve vzdálenosti 5 jednotek délky od pozorovatele v bodě [0, 0? b) Ve kterém bodě Q se bude nacházet nejblíˇze k pozorovateli v bodě [, 2? [ a) v bodech [0, 5 a [4, 3; b) [65/4, 2/4. Úloha 3.5 Vzdálenost bodů v rovině - navigační úloha. Bod P je umístěný na ose o ve vzdálenosti 52 cm od začátku souřadnicového systému, bod Q se nachází na ose o y v téˇze vzdálenosti 52 cm od začátku souřadnicového systému [0, 0. Bod P se bude pohybovat stálou rychlostí 4 cm/s směrem k začátku a bod Q se ve stejném okamˇziku pohybuje stálou rychlostí 8 cm/s také směrem k začátku. a) Vypočítejte vzdálenosti bodů P, Q v čase t = 0, po uplynutí vteřiny, resp. 3 vteřin a znázorněte graficky. b) Kdy při tomto pohybu bude vzdálenost bodů P, Q rovna přesně 26 cm? Jaká je tehdy poloha bodů P, Q? c) Dostanou se někdy body P, Q do nejmenší moˇzné vzdálenosti? Kdy to nastane a jaká bude ta nejmenší vzdálenost? [ a) V čase t = 0 vzdálenost d(p Q) = 52 2 cm, v čase t = d(p Q) = cm, v čase t = 3 d(p Q) = 52 cm; b) t = 6, 5 vteřin a také t 2 = 9, vteřin; c) nejmenší vzdálenost 23,255 cm v čase 7,8 vt. Úloha 3.6 Vzdálenost bodů v rovině - navigační úloha. Bod A umístěný na kladné poloose o se začne přibliˇzovat k začátku souřadnicového systému stálou rychlostí 4 cm za vteřinu, bod B umístěný na kladné poloose o y se začne ve stejném okamˇziku vzdalovat od začátku souřadnicového systému [0, 0 stálou rychlostí 7,5 cm za vteřinu. Po uplynutí 2 vteřin je vzdálenost bodů A, B právě 7 cm. a) Jaká byla poloha bodů A, B na souřadnicových osách na začátku pohybu? b) Jaká byla vzdálenost bodů A, B na začátku (v čase t = 0)? [ a) A[6, 0, B[0, 0; b) vzdálenost d(ab) = 6 cm. Úloha 3.7 Analýza zlomového bodu. Výrobce prodává svůj výrobek za cenu 0 dolarů za kus. Celkové náklady výrobce na výrobu tohoto výrobku sestávají z pevných nákladů dolarů a výrobních nákladů 60 dolarů na kus výrobku. a) Zjistěte, jak závisí příjem R() a celkové náklady C() výrobce na počtu vyráběných výrobků a znázorněte příjem a náklady graficky. b) Kolik výrobků musí výrobce prodat, aby se jeho příjem vyrovnal nákladům? Interpretujte. c) Jaký je zisk nebo ztráta výrobce při prodeji 00 kusů výrobku? (K tomu sestavte funkci zisku P () v závislosti na počtu vyráběných výrobků.) d) Kolik výrobků musí výrobce prodat, aby jeho zisk byl právě 250 dolarů? Kolik výrobků musí výrobce prodat, aby jeho zisk byl právě z dolarů? [ a) R() = 0, C() = ; b) 50 výrobků; c) P () = ; P (00) = dolarů (ztráta); d) 75 výrobků; = 50 + z/50.

34 34 SBÍRKA ÚLOH ZE ZÁKLADŮ MATEMATIKY Úloha 3.8 Analýza zlomového bodu. Firma produkující CD hudebních skupin má při jejich přípravě finí, konstantní náklady ve výši dolarů a variabilní náklady 3,5 dolarů na jeden kus (marketing, reklama atd.). Z prodeje má firma příjem 5 dolarů za CD. a) Zjistěte, jak závisí příjem R, náklady C a zisk P výrobce na počtu vyráběných CD a znázorněte tyto závislosti graficky. b) Kolik kusů musí firma prodat, aby dosáhla zisk nejméně dolarů? c) Pro jaký počet CD bude příjem firmy větší neˇz náklady nebo se jim bude rovnat? [ a) R() = 5, C() = , 5, P () = R() C(); b) dolarů; c) kusů. Úloha 3.9 Analýza zlomového bodu. Studenti si v létě pronajali garáˇz a montují v ní laminátové kajaky. Nájem za garáˇz je 800 dolarů za celé léto, náklady na postavení kajaku jsou 60 dolarů. Kajaky prodávají po 220 dolarech za kus. a) Kolik kajaků musí vyrobit, aby se jejich příjem z prodeje přesně vyrovnal nákladům? Znázorněte graficky. b) Kolik kajaků musí vyrobit, aby jejich zisk byl alespoň 600 dolarů? [ a) 5 kusů; b) 5 kajaků. Úloha 3.20 Analýza zlomového bodu. Členství v soukromém tenisovém klubu stojí korun ročně a poplatek za kaˇzdou hodinu hry je 50 korun. Ve druhém tenisovém klubu je roční poplatek 500 korun a za hodinu hry se platí 60 korun. Jestliˇze uvaˇzuje tenisový hráč jenom o finanční výhodnosti, podle čeho se rozhodne při výběru jednoho z klubů? Udělejte analýzu úlohy a znázorněte graficky. [ pro < 50 hodin hry ročně vybrát druhý klub, v opačném případě první klub. Úloha 3.2 Analýza zlomového bodu. Určité zboží má funkci nabídky S(p) = p 0 tisíc kusů (za určité časové období)a příslušná funkce poptávky je D(p) = 5 600/p tisíc kusů, kde p je cena tohoto zboˇzí v korunách. a) Znázorněte ve stejném souřadnicovém systému obě funkce poptávky a nabídky. b) Vypočítejte rovnováˇznou cenu p 0. Vypočítejte, jaká je poptávka, resp. nabídka při této rovnováˇzné ceně. [ b) p 0 = 80 korun; S(80) = D(80) = 70 tisíc kusů. Úloha 3.22 Analýza zlomového bodu. Půjčovna automobilů účtuje základní poplatek 420 korun a pak 4,50 korun za každý kilometr jízdy. Jiná agentura má základní poplatek 540 korun a za kilometr jízdy poˇzaduje 3,50 korun. Kterou agenturu si zákazník vybere? [ jestli si půjčuje na více než 20 km, zvolí druhou agenturu; jestli na méně neˇz 20 km, výběr první agentury bude výhodnější. Úloha 3.23 Analýza zlomového bodu. Jestliˇze se určitá elektrosoučástka prodává za cenu p korun za kus, výrobci ji budou dodávat na trh v mnoˇzství p 2 /4 kusů, zatímco poptávka po součástkách je určena jako (40 2p) kusů. Určete takovou cenu p 0, pro kterou je poptávka po součástkách rovna jejich nabídce na trhu; určete velikosti nabídky a poptávky při této ceně. [ p = 20 korun; poptávka a nabídka jsou tehdy stejné D(p) = S(p) = 00 kusů Úloha 3.24 Inverzní funkce. Předpokládejme, že automobil má spotřebu 6,4 litrů benzínu na 00 km. a) Jaká je spotřeba na 250 km? Na km? b) Kolik km ujede auto na litr, resp. na 20 litrů benzínu? Kolik km ujede na litrů? [ a) 6 litrů, 0, 064 litrů; b) 5,625 km, 32,5 km; 5, 625 km. Úloha 3.25 Inverzní funkce. Auto má spotřebu 5,5 l/00 km; jiné auto na litr benzínu téhoˇz druhu najede 8 km. Jestliˇze vezmeme v úvahu pouze spotřebu benzínu, jízda kterým autem je draˇzší? Znázorněte grafy spotřeby v l/00 km pro obě auta. [ spotřeba druhého je 5,56 l/00 km.