KOMBINATORIKA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Transkript

1 KOMBINATORIKA Gymázium Jiřího Wolera v Prostějově Výuové materiály z matematiy pro vyšší gymázia Autoři projetu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiy a gymáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Teto projet je spolufiacová Evropsým sociálím fodem a státím rozpočtem Česé republiy Prostějov 00

2 KOMBINATORIKA Úvod Vytvořeý výuový materiál porývá předmět matematia, terá je vyučováa v osovách a tematicých pláech a gymáziích ižšího a vyššího stupě. Mohou ho vša využít všechy středí a záladí šoly, de je vyučová předmět matematia, a teré mají dostatečé techicé vybaveí a zázemí. Cílová supia: Podle chápáí a schopostí studetů je staovea úroveň áročosti vzdělávacího pláu a výuových materiálů. Zvláště výhodé jsou tyto materiály pro studety s idividuálím studijím pláem, teří se emohou pravidelě zúčastňovat výuy. Tito studeti mohou s pomocí ašich výuových materiálů částečě ompezovat svou eúčast ve vyučovaém předmětu matematia, formou e-learigového studia.

3 KOMBINATORIKA Obsah Záladí ombiatoricá pravidla... Pravidlo součtu... Pravidlo součtu Variata A... 6 Pravidlo součtu Variata B... 9 Pravidlo součtu Variata C... Pravidlo součiu... Pravidlo součiu Variata A... Pravidlo součiu Variata B... 6 Pravidlo součiu Variata C... 8 Souhré přílady procvičeí... 0 Fatoriál... Fatoriál Variata A... Fatoriál Variata B... Fatoriál Variata C... 7 Souhré přílady procvičeí... 9 Kombiačí číslo... 0 Vlastosti ombiačích čísel... 0 Vlastosti ombiačích čísel Variata A... Vlastosti ombiačích čísel Variata B... Vlastosti ombiačích čísel Variata C... 7 Souhré přílady procvičeí... 0 Biomicá věta... Biomicá věta Variata A... Biomicá věta Variata B... Biomicá věta Variata C... 7 Souhré přílady procvičeí:... 0 Variace... Variace Variata A... Variace Variata B... Variace Variata C... 8 Permutace Permutace Variata A... 6 Permutace Variata B... 6 Permutace Variata C... 66

4 KOMBINATORIKA Souhré přílady procvičeí Kombiace Kombiace Variata A... 7 Kombiace Variata B... 7 Kombiace Variata C... 7 Souhré přílady procvičeí Variace s opaováím Variace s opaováím Variata A... 8 Variace s opaováím Variata B... 8 Variace s opaováím Variata C Permutace s opaováím Permutace s opaováím Variata A Permutace s opaováím Variata B... 9 Permutace s opaováím Variata C... 9 Kombiace s opaováím Kombiace s opaováím Variata A Kombiace s opaováím Variata B Kombiace s opaováím Variata C... 0 Souhré přílady procvičeí... 0 Literatura:... 0

5 KOMBINATORIKA Záladí ombiatoricá pravidla Pravidlo součtu Jsou-li pa možia A, A,, A K oečé možiy s A A K A má α, α, K, α prvy a jsou-li aždé dvě disjutí, α α K α prvů. Přílad: Určete počet všech přirozeých dvojciferých čísel, v jejichž deadicém zápisu se evysytuje 0 a zbývajících 9 číslic se aždá vysytuje ejvýše jedou. Řešeí: počet všech dvojciferých čísel je počet všech dvojciferých se stejými ciframi... 9 počet všech dvojciferých obsahujících ulu... 9 počet všech dvojciferých s růzými ciframi bez uly... p platí vztah p p 7 Počet všech dvojciferých čísel, teré odpovídají zadaým podmíám je 7.

6 6 KOMBINATORIKA Pravidlo součtu Variata A Přílady: ) Ve třídě je dětí, z ichž se učí ěmecy a 8 špaělsy. Koli dětí se učí aglicy, jestliže ai jedo z dětí emá dva jazyy. ) Koli přirozeých čísel meších ež 0 očí trojou? Řešeí: ) Žádé dítě emá dva jazyy, hledaý počet bude zbyte z po odečteí ěmecy a špaělsy se učících dětí. 8 ) Možia všech jedociferých čísel očících trojou A{} Možia všech dvojciferých čísel očících trojou B{;;;;;6;7;8;9} Možia všech dvojciferých čísel očících trojou C{0;;;;} Stačí sečíst počty čleu jedotlivých moži 9 Přílad: Variata A Variata B Variata C Výslede řešeí: ) Aglicy se učí dětí. ) Počet přirozeých čísel meších ež 0 očících trojou je.

7 KOMBINATORIKA 7 Přílady procvičeí: ) Sportoví oddíl avštěvuje díve a chlapců. Na začátu aždé sezoy si mezi sebou zvolí apitáa. Koli mají možostí volby? [Mají možostí volby.] ) Na meziárodí výstavě psů se sešlo 7 labradorsých retrívrů, zlatých retrívrů, ěmecých ovčáu a 6 bílých ovčáů. Na oci výstavy rozhodčí vyberou jedoho absolutího vítěze. Koli mají možostí, ja vybrat? [Mají 8 možostí, ja vybrat.] ) Veroia jede a lyžařsý urz, a protože od loňsého rou hodě vyrostla, rozhodou se rodiče, že jí oupí ové lyže. Když přijdou do obchodu, zjistí, že mají šest růzých zače lyží. V délce, terou rodiče Veroiy požadují, mají od aždé začy čtyři páry. Z olia lyží mohou Veroičiy rodiče vybírat, jestliže lyže dvou zače jsou ad jejich fiačí možosti? [Mohou vybírat z 6 lyží.] ) V meziárodí autobusové lice se a cestě z Bratislavy do Vídě achází dívy, děti ze Slovesa, 6 můžu, 6 dětí z jié země ež je Sloveso, Slováů, z ichž je mužů, a žey jié státí příslušosti. Je autobus zaplě, jestliže se do ěj vejde lidí? [Neí, protože se v autobuse achází lidí.] ) Na meziárodím žáovsém hoejovém utáí mezi Švédsem a Fisem je v hledišti 6 můžu, 6 chlapců, 6 dětí ze Švédsa, 0 dětí z Fisa, 00 Švédů, z ichž je polovia mužů, a 9 že z Fisa. Koli lidí je v hledišti? [V hledišti je 09 lidí.] 6) Určete počet všech dvojciferých přirozeých čísel, a) v jejichž deadicém zápisu se aždá číslice vysytuje ejvýše jedou. [8] b) v jejichž deadicém zápisu se evysytuje jediča. [7] 7) Určete počet všech přirozeých ejvýše dvojciferých čísel, v jejichž deadicém zápisu se aždá číslice vyytuje ejvýše jedou. [90]

8 8 KOMBINATORIKA 8) Určete počet všech přirozeých trojciferých čísel, a) terá jsou meší ež 6 a terá jsou sudá. [] b) terá jsou meší ež 0 a dělitelá. [0] c) terá jsou meší ež 0, větší ež 00 a v jejich deadicém zápisu se evysytuje ula. [6] 9) Jaý je počet všech přirozeých čísel, terá jsou meší ež 06 a v jejichž deadicém zápisu se vysytuje šesta ejvýše jedou? [8]

9 KOMBINATORIKA 9 Pravidlo součtu Variata B Přílady: ) Určete počet všech přirozeých trojciferých čísel, v jejichž deadicém zápisu se aždá číslice vysytuje ejvýše jedou. ) Ve supiě uchazečů o práci ovládá aždý uchazeč alespoň jede ze dvou jazyů. 0 uchazečů mluví aglicy a fracouzsy. 0 uchazečů mluví oběma jazyy. Koli uchazečů je a ourzu? Řešeí: ) Počet všech trojciferých čísel 900 Počet všech trojciferých čísel se dvěma stejými číslicemi Počet všech trojciferých se třemi stejými číslicemi ) Počet uchazečů mluvících aglicy 0 Počet uchazečů mluvících fracouzsy Počet uchazečů mluvících oběma jazyy 0 Poud bychom sečetli pouze uchazeče mluvící aglicy a fracouzsy, uchazeči ovládající oba jazyy by byli započteí dvarát. Proto je musíme odečíst. 0 0 Přílad: Variata A Variata B Variata C Výslede řešeí: ) Počet všech trojciferých čísel, v ichž se aždá číslice vysytuje ejvýše jedou, je 68 ) Na ourz přišlo uchazečů

10 0 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: ) Určete počet všech trojciferých přirozeých čísel, ve terých se aždá číslice vysytuje právě jedou. [0] ) Určete počet všech trojciferých přirozeých čísel, ve terých se aždá číslice vysytuje alespoň dvarát. [] ) Ve supiě 0 lidí ovládá aždý člově alespoň jede programovací jazy. 0 lidí ovládá programovací jazy Pascal, 6 lidí ovládá ja programovací jazy Pascal, ta programovací jazy Delphi. Koli lidí ve supiě ovládá programovací jazy Delphi? [6] ) V pousé laboratoři se lé A testuje a 6 pousých myších, lé B se testuje a pousých myších, myší dostává oba léy ajedou. Koli pousých myší mají v laboratoři? [66] ) Na ofereci se sejde 6 vědců. 0 vědců ovládá Agličtiu, 60 vědců ovládá Fracouzštiu, 7 vědců ovládá Němčiu. Agličtiu a Fracouzštiu zároveň ovládá 0 vědců, Agličtiu a Němčiu zároveň ovládá 70 vědců a Fracouzštiu a Němčiu zároveň ovládá 0 vědců. Všechy jazyy ovládají pouze tři vědci. a) Koli vědců ovládá alespoň jede ze tří jazyů? [0] b) Koli vědců eovládá ai jede ze tří jazyů? [] 6) V zábavím paru fugují tři atrace. Prví atraci absolvovalo jedoho 8 dětí, druhou atraci absolvovalo 6 dětí, třetí atraci absolvovalo 68 dětí. Prví a druhou atraci zvládlo avštívit 80 dětí, druhou a třetí atraci 70 dětí a prví a třetí atraci 60 dětí. Všechy tři atrace zvládlo za jede de je dětí. Koli dětí avštívilo zábaví par, jestliže aždé dítě bylo alespoň a jedé atraci? [7]

11 KOMBINATORIKA Pravidlo součtu Variata C Přílady: Určete počet všech možých tahů oěm a šachovici 88. Řešeí: Koěm můžeme táhout vždy do tvaru písmee L (jaýmoli směrem). Rozdělíme si políča do moži podle počtu tahů, teré lze z daého políča udělat. A B C C C C B A Z políča ozačeého písmeem A je možo táhout B C D D D D C B dvěma způsoby, písmeem B třemi způsoby, C D E E E E D C písmeem C čtyřmi způsoby, písmeem D šesti způsoby C D E E E E D C a písmeem E osmi způsoby. C D E E E E D C C D E E E E D C Políča ozačeá písmeem A jsou, B C D D D D C B celový součet možých tahů z políča A je 8. A B C C C C B A U dalších písme postupujeme obdobě. Jedotlivé součty můžeme sečíst, protože možiy druhů políče jsou disjutí Přílad: Variata A Variata B Variata C Výslede řešeí: Počet všech možých tahů oěm a šachovici je 6.

12 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: ) Určete počet všech možých tahů oěm a šachovici 88, jestliže můžu táhout pouze z čerého políča. [68] ) Určete počet všech možých tahů rálem a šachovici 88. [0] ) Určete počet všech možých tahů rálem a šachovici, jestliže a) lze táhou z bílého políča pouze a bílé políčo a z čerého políča pouze a čeré políčo. [0] b) lze táhout z čerého políča pouze a bílé políčo a z bílého políča pouze a čeré políčo. []

13 KOMBINATORIKA Pravidlo součiu Počet všech uspořádaých -tic, jejichž prví čle lze vybrat způsoby, druhý čle po výběru prvího čleu způsoby atd. až -tý čle po výběru všech předcházejících čleů způsoby, je rove.... Přílad: Určete počet všech pěticiferých čísel, v jejichž deadicém zápisu se aždá číslice vysytuje ejvýše jedou. Řešeí: Na místě desetitisíců můžeme vybírat z devíti číslic,,, 9, taže 9. Na místě tisíců může být jaáoli cifra, romě té, terá byla a místě desetitisíců, taže 9. Na místě stove může být jaáoli cifra, romě těch, teré byly a místě tisíců a desetitisíců, taže 8. Dále uvažujeme podobým způsobem 7 a 6. Nyí už stačí počty je vyásobit Počet všech pěticiferých čísel, terá odpovídají zadaým podmíám, je 7 6.

14 KOMBINATORIKA Pravidlo součiu Variata A Přílady: ) Určete počet všech přirozeých trojciferých čísel, v jejichž deadicém zápisu se aždá číslice vysytuje ejvýše jedou a terá začíají jedičou. ) Karel chce zabalit dáre pro amaráda, ale zapoměl oupit balicí papír. Když přijde těsě před zavírací dobou do obchodu, mají už je dva druhy balicího papíru a tři barvy stuh. Kolia způsoby lze zabalit dáre? Řešeí: ) Prví čle je daý. Na místě desíte může být jaáoli číslice romě jedičy, protože číslice se esmí opaovat. Dohromady je to devět možostí. Na místě jedote může být jaáoli číslice romě jedičy a číslice, terá je a místě desíte. Máme tedy osm možostí ) Ke aždému ze dvou balicích papírů můžeme dát jedu ze tří stuh. Celem tedy máme 6 možostí Přílad: Variata A Variata B Variata C Výsledy řešeí: ) Počet trojciferých čísel, terá odpovídají zadáí je 7. ) Karel má 6 možostí ja zabalit dáre.

15 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: ) Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel, v jejichž deadicém zápisu se aždá číslice vysytuje ejvýše jedou. [ 6] ) Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel utvořeých z číslic,,,,, 6, 7, 8, 9, v jejichž deadicém zápisu se aždá číslice vysytuje ejvýše jedou. [0] ) Určete počet všech šesticiferých přirozeých čísel utvořeých z číslic 0,,,, 6, 8. [8 880] ) Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, teré mají a místě jedote dvoju a a místě tisícove troju. [68] ) Určete počet všech šestimístých telefoích čísel. Koli z ich začíá pětou? [, 9 09] 6) Kód zámu a olo je trojmístý a sládá se z číslic. Ja dlouho budu odemyat záme, dyž zapomeu ód a uhodu ód až posledím možým pousem. Vytočeí jedoho ódu trvá dvacet vteři. [ 80 vteři] 7) Ve vrhu jezevčía je šest fee a čtyři psi. Kolia možými způsoby lze provést výběr dvou štěňat, jestliže chci, aby jedo byl pes a druhý fea. [] 8) V misce je sedm žlutých jable, osm zeleých jable a deset červeých jable. Kolia způsoby lze provést výběr tří jable, jestliže chci, aby aždé bylo jié barvy. [60]

16 6 KOMBINATORIKA Pravidlo součiu Variata B Přílady: ) Hloupý Hoza cestuje z rálovství Za Sedmero řeami do rálovství Za Osmero řeami. Cestou se musí zastavit v hospodě U Draa. Z rálovství Za Sedmero řeami vedou do hospody čtyři cesty a z hospody do rálovství Za Osmero řeami vedou tři cesty. Určete počet způsobů, jimiž lze vybrat cestu. a) Z jedoho rálovství do druhého a zpět b) Z jedoho rálovství do druhého a zpět ta, že žádá cesta eí použita dvarát. ) V misce je gumových bobou a 0 hašlere. Aiča si může vybrat buď hašleru, aebo gumový bobo ta, aby Pavla, terá si po í vybere jedu hašleru a dva gumové boboy, měla co ejvětší možost výběru. Řešeí: ) a) Ke aždé ze čtyř cest z prvího rálovství do hospody můžeme přiřadit jedu ze tří cest z hospody do druhého rálovství. Cesta zpět je obdobá. b) Na cestu do druhého rálovství má Hoza stejě možostí jao v případě a), a cestu zpět má Hoza dvě možosti ja se vrátit do hospody a tři možosti, ja s e dostat z hospody do rálovství Za Sedmero řeami. Rovice vypadá ásledově. 7 ) Poud si Aiča vybere gumový bobo, ta bude mít Pavla možostí výběru. Poud si Aiča vybere hašleru, bude mít Pavla 9 08 možostí výběru. Přílad: Variata A Variata B Variata C Výsledy řešeí: ) a) Cestu tam a zpět lze vybrat způsoby. b) Cestu lze vybrat 7 způsoby. ) Aiča si musí vybrat hašleru

17 KOMBINATORIKA 7 Přílady procvičeí: ) Ze Žďáic do Bečvár vede jeda silice, dvě lesí cesty a jeda cylosteza. Určete počet způsobů, terými je možo se dostat a) ze Žďáic do Bečvár a zpět. [6] b) ze Ždáic do Bečvár a zpět ta, aby cesta zpět do Žďáic byla jiá ež cesta do Bečvár. [] c) ze Žďáic do Bečvár a zpět ta, aby byla silice použita právě jedou. [6] ) Jaa s Pavlem se rozhodou, že v Ledicém areálu chtějí avštívit záme, romaticou zříceiu a Miaret. Mezi zámem a zříceiou fuguje pěší cesta, droža a loď, mezi zříceiou a Miaretem fuguje cesta pro pěší a loď a mezi zámem a Miaretem fuguje cesta pro pěší, loď a droža. Určete, olia způsoby lze vyoat cestu. a) ze zámu a zříceiu do Miaretu a zpět do zámu (v tomto pořadí). [8] b) ze zámu do Miaretu ta, že aždým místem můžu projít ejvýše jedou. [9] c) ze zříceiy a Miaret a zpět, jestliže mezi Miaretem a zříceiou efuguje přímá cesta z důvodu reostručích prací. [8] ) Ve sříi jsou sešity a propisy. David si má vybrat sešit ebo propisu ta, aby Mire, terý přijde po ěm a vezme si dvě propisy a sešit, měl co ejvětší možost výběru. Co si vybere David, jestliže ve sříi je a) 0 propise a sešitů. [David si vybere sešit.] b) propise a 0 sešitů. [David si vybere sešit] c) 0 propise a 0 sešitů. [Je jedo, co si David vybere.] ) V obchodě mají 6 čerých abátů, 7 hědých abátů a 9 zeleých abátů. Jaý abát si vybere paí Sromá, aby paí Nerozhodá, terá přijde po í a vybere si od aždého barvy abátu jede abát, měla co ejvětší možost výběru. [Paí Sromá si vybere zeleý abát.] ) V misce jsou dva druhy polodrahoamů. Žaeta přijde misce a vybere si jede ametyst. Sylva přijde po Žaetě a z misy si vybere jede ametyst a acháty. Koli muselo být v misce miimálě achátů, jestliže víme, že si Žaeta vybrala ta, aby Sylva měla co ejvětší možost výběru a v misce bylo 6 ametystů. [V misce bylo miimálě achátů.]

18 8 KOMBINATORIKA Pravidlo součiu Variata C Přílady: ) Určete počet všech trojciferých čísel, jejichž deadicý zápis je slože z číslic 0,,,,6,7,8 (aždá z ich se může opaovat), terá jsou dělitelá dvěma. ) Je dá čtverec EFGH a a aždé jeho straě vitří body. Určete počet všech trojúhelíu ABC, jejichž vrcholy leží v daých bodech a růzých straách čtverce EFGH. Řešeí: ) Aby bylo číslo dělitelé dvěma, musí mít a oci sudou číslici, taže je možostí, teré můžou být a místě jedote. Čísla se mohou opaovat, proto a místě desíte můžou být všechy číslice ze zadáí příladu, taže 7. Na místě stove může být jaáoli číslice romě uly, taže ) Vrchol A může zvolit a jaéoli straě, taže pro ěj máme možosti, ja ho vybrat. Bod B lze vybrat už je a třech straách, taže je způsobů, ja ho vybrat. Bod C lze vybrat už je a dvou straách, taže je způsobů, ja ho vybrat. Ale šest uspořádaých trojic tato vybraých trojúhelíů určuje stejý trojúhelí. Taže musíme daý počet vydělit šesti. 6 Přílad: Variata A Variata B Výsledy řešeí: ) Počet čísel je 0. ) Počet trojúhelíů je. Variata C

19 KOMBINATORIKA 9 Přílady procvičeí: ) Určete počet všech pěticiferých přirozeých čísel, ve terých se aždá číslice vysytuje ejvýše jedou a teré jsou dělitelé a) [7] b) [670] ) Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel, terá jsou dělitelá a) [980] b) [0] ) Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel větších ež 000, terá jsou dělitelá a) [98] b) 0 [78] ) Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel meších ež 8000, ve terých se aždá číslice vysytuje ejvýše jedou a terá jsou dělitelá. [78] ) Je dá čtverec XYVW a a aždé jeho straě vitřích bodů. Určete počet všech trojúhelíu ABC, jejichž vrcholy leží v daých bodech a růzých straách čtverce XYVW. [00] 6) Je dá čtverec XYVW a a aždé jeho straě ( ) vitřích bodů. Určete počet všech trojúhelíu ABC, jejichž vrcholy leží v daých bodech a růzých straách čtverce XYVW. [ 6 8] 7) Je dá pětiúhelí EFGHI a a aždé jeho straě je 6 vitřích bodů. Určete počet všech trojúhelíů XYZ, jejichž vrcholy leží v daých bodech a růzých straách pětiúhelíu EFGHI. [ 60] 8) Je dá pětiúhelí EFGHI a a aždé jeho straě je m vitřích bodů. Určete počet všech trojúhelíů XYZ, jejichž vrcholy leží v daých bodech a růzých straách pětiúhelíu EFGHI. [ 0 m ]

20 0 KOMBINATORIKA Souhré přílady procvičeí ) Určete počet všech trojciferých čísel, ve terých se aždá číslice vysytuje ejvýše jedou a terá mají a místě desíte 0. a) Počítejte pomocí ombiatoricého pravidla součtu. [7] b) Počítejte pomocí ombiatoricého pravidla součiu. [7] ) Určete, olia způsoby lze a šachovici 88 vybrat dvě růzobarevá políča? Kolia způsoby to lze udělat ta, aby obě eležela ve stejé řadě ai ve stejém sloupci. [ 0,768] ) Mějme čtverec o straě, terý je rozděle rovoběžami se straami a 9 jedotových čtverců. Určete oli je v daém obrazci čtverců. [] ) Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel, jejichž deadicý zápis je slože z číslic,,,, (aždá se může opaovat), terá jsou dělitelá a) dvěma [0] b) pěti [] ) Z místa P do Q vedou dvě růzé trasy, z místa Q do R vede šest růzých tras. Určete, olia způsoby lze vybrat trasu a) z P do R a zpět. [] b) z P do R a zpět ta, že žádá z těchto osmi tras eí použita dvarát. [60] c) z P do R a zpět ta, že právě jeda z těchto osmi tras je použita dvarát. [] d) z P do R ta, že právě dvě z těchto osmi tras jsou použity dvarát. []

21 KOMBINATORIKA Fatoriál Fatoriál čísla (začíme ) je číslo rové součiu všech ladých celých čísel meších ebo rových. Pro aždé přirozeé číslo defiujeme: ( )... 0 Poz.: Při úpravách výrazů s fatoriály často využíváme fatu, že platí: Přílad: Upravte výraz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Řešeí: Využijeme vztahu, že ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22 KOMBINATORIKA Fatoriál Variata A Přílady: ) Vypočítejte 6 7 ) Zjedodušte 8 7 Řešei: ) Využijeme toho, že a 0 ) Využijeme, že , atd., pa vyteme a dopočítáme ( 6 7 6) 89 7 ( ) 68 0 Přílad: Variata A Variata B Variata C Výslede řešeí: ) 0 ) 7 0

23 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: 9) Vypočítejte c) [] d) 6 0 [00] e) 7 9 [6] f) 8 0 [] g) [6] h) ( ) 0 0 [6006] i) ( ) [60] 0) Zjedodušte a vypočtěte a) b) c) d) e) f) g) h) 8 6

24 KOMBINATORIKA Fatoriál Variata B Přílady: ) Zjedodušte. Předpoládejte přípusté hodoty proměých. ( ) ( ) ) Řešte rovici v možiě N. Řešeí: ( ) ( ) 0 ) Rozložíme ( ) ( ) ( ) a ( ) převedeme a společého jmeovatele a dopočítáme. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 0 ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) využijeme, že ( ) ( ) ( ) dopočítáme Z.: pro L 0 0 P 0 L P Přílad: Variata A Variata B Variata C Výsledy řešeí: ) ( ) )

25 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: ) Zjedodušte, předpoládejte přípusté hodoty proměých a) ( ) ( ) [ ] b) ( ) [ ] c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) [ ] e) ( ) ( ) ( ) ( ) f) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 g) ( ) ( ) ( ) ( ) h) ( ) ( ) ( ) [ ] i) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] j) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

26 6 KOMBINATORIKA ) Řešte rovice v možiě N a) b) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ NŘ ] ( ) d) ( ) ( ) ( ) [ ] e) ( ) 8 ( ) [ ] f) ( ) ( ) [ ] [ ]

27 KOMBINATORIKA 7 Fatoriál Variata C Přílady: ) Vyjádřete pomocí fatoriálu ( ) ( )... ( ) ) Doažte, že pro všechy přípusté hodoty platí: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Řešeí: ) Nejprve musíme rozšířit výrazem ( ) ( )... ( ) ( )... rove, jmeovatel je po rozšířeí rove ( )., čitatel je po rozšířeí ( ) ( )... ( ) ( )... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Upravíme levou strau rovice. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Přílad: Variata A Variata B Variata C Výsledy řešeí: ) ( ) ) Platí

28 8 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: ) Vyjádřete pomocí fatoriálu a) b) c) d) ( A B) ( A B ) ( A B )... ( A B ) ) Doažte, že pro všechy přípusté hodoty platí a) [ ( )] ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) d) ( ) e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A B) ( ) A B g) ( )

29 KOMBINATORIKA 9 Souhré přílady procvičeí ) Upravte a společého jmeovatele a) 6 90 b) c) d) ) Zjedodušte a určete podmíy ( ) a) ( ) b) ( ) ( 0) c) ( 9) ( ) d) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) ( ) g) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Řešte v N erovice ( ) a) [( ) ( ), N, 0] [( ) ( ), N, ] 9, N, 0 [, N, ] 8, N, ( ) [, N, ] ( ) [ ] b) ( ) ( ) [ ] c) ( ) 6 ( ) [ ] d) ( ( [, N

30 0 KOMBINATORIKA Kombiačí číslo Vlastosti ombiačích čísel Pro všecha ezáporá celá čísla,, je ( ) Symbol se azývá ombiačí číslo a čteme ho e ad á Kombiačí číslo určuje počet všech -prvových podmoži -prvové možiy Pro všecha ezáporá celá čísla,, platí: - Pro všecha ezáporá čísla,, platí: Přílad: Doažte tvrzeí: Pro všecha ezáporá čísla,, platí: Řešeí: Kombiačí čísla apíšeme ve tvaru zlomu dle defiice ombiačího čísla, fatoriály upravíme ta, abychom dostali zlome ve tvaru ( ) ( ) ( ), terý lze opět podle defiice apsat ve tvaru ombiačího čísla. ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tvrzeí je doázaé.

31 KOMBINATORIKA Vlastosti ombiačích čísel Variata A Přílady: Nechť N 0, spočítejte 0 ) ) 0 0 ) ) Řešeí: ) Upravíme a zlome dle defiice ombiačího čísla, dopočítáme ) Upravíme a zlome dle defiice ombiačího čísla, dopočítáme 0 0 ) Upravíme a zlome dle defiice ombiačího čísla, dopočítáme ) Nejprve využijeme, že platí, pa upravíme a zlome podle defiice ombiačího čísla a dopočítáme Přílad: Variata A Variata B Variata C Výsledy řešeí: ) ) b) ) )

32 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: ) Vypočítejte a) [ ] 0 b) 6 [ ] c) [ ] 8 d) 6 6 [ ] 680 e) [ ] 6 f) g) h) 9 [ ] 0 i) 6 [ ] j) 7 6 [ ]

33 KOMBINATORIKA ) Zjedodušte, předpoládejte přípusté hodoty a) [ ] b) c) d) e) f) 0 7 g) 7 [ ] h) [ ] i) 0 [ ] j) 0 [ ]

34 KOMBINATORIKA Vlastosti ombiačích čísel Variata B Přílady: ) Vyjádřete jediým ombiačím číslem a) 0 0 b) ) Řešte v N - Řešeí: ) a) Podle vztahu - platí, že 0 0, dále využijeme toho, že platí b) , v dalších úpravách využíváme vztahu

35 KOMBINATORIKA ) Kombiačí čísla v rovici upravíme podle defiice ombiačího čísla, úpravou fatoriálů dojdeme e vadraticé rovici. - ( ) ( ) ( ) 6 0 ±, eí z oboru přirozeých čísel Z. pro L() P() je řešeí rovice L() P() Přílad: Variata A Variata B Variata C Výsledy řešeí: ) a) b) 0 )

36 6 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: ) Vyjádřete jedím ombiačím číslem a) 6 b) 7 7 c) d) e) f) ) Řešte v N rovice a) 0 6 [ ] 6 b) 0 [ ] 6 c) [ ] d) [ ] 0 e) [ ] f) 6 [ ] g) 7 8 [ ] h) [ ]

37 KOMBINATORIKA 7 Vlastosti ombiačích čísel Variata C Přílad: Nechť je dáo ásledující schéma Toto schéma se azývá Pascalův trojúhelí. Napište pátý řáde Pascalova trojúhelíu.

38 8 KOMBINATORIKA Řešeí: Jestliže ombiačí čísla v tomto schématu vyčíslíme apř. pro, dostaeme schéma ve tvaru Sobě rová čísla jsou rozmístěa podle svislé přímy procházející jeho vrcholem. Můžeme vidět, že platí, že součet dvou libovolých sousedích čísel v aždém jeho řádu je rove číslu, teré se achází pod jejich středem v řádu ásledujícím. To zameá, že můžeme určit libovolý řáde Pascalova trojúhelíu, záme-li řáde předcházející. Přílad: Variata A Variata B Variata C Výslede řešeí: Pátý řáde Pascalova trojúhelíu: 0

39 KOMBINATORIKA 9 Přílady procvičeí: ) Napište a) šestý řáde Pascalova trojúhelíu 0 b) řáde Pascalova trojúhelíů odpovídající c) (). řáde Pascalova trojúhelíu 7 0 K ) Napište devátý řáde Pascalova trojúhelíu, ombiačí čísla vyčíslete. [ ] ) Napište řáde Pascalova trojúhelíu odpovídající 6, ombiačí čísla vyčíslete. [ ] ) Dopište druhou poloviu 0. řádu Pascalova trojúhelíu: [ ] ) Sedmý řáde Pascalova trojúhelíu je Odvoďte z ěj šestý řáde. [ ] 7 7

40 0 KOMBINATORIKA Souhré přílady procvičeí ) Určete, terá z ásledujících ombiačích čísel jsou si rova, aiž je vyčíslíte. a),, 8,,,,, b), 0 0,,, 0, 0, 0 ) V N řešte erovice a) 8 [ ] N, b) [ ] N, c) 0 [ ] N, d) [ ] N, ) Doažte, že pro všecha ezáporá čísla, platí:. ) Doažte, že pro všecha ezáporá čísla, taová, že je meší ež platí:. i.,

41 KOMBINATORIKA Biomicá věta Pro všecha čísla b a, a aždé přirozeé číslo platí: ( ) b a b ab b a b a a b a Kombiačí čísla se azývají biomicé oeficiety. -tý čle biomicého rozvoje má tvar: ( ) b a Přílad: Určete 6. čle biomicého rozvoje výrazu ( ) 0. Řešeí: Dosadíme do vzorce pro výpočet -tého čleu biomicého rozvoje., a, b, 6 0 ( ) Šestý čle biomicého rozvoje je 806.

42 KOMBINATORIKA Biomicá věta Variata A Přílady: ) Vypočtěte pomocí biomicé věty a) ( 6) b), ) Určete pátý čle biomicého rozvoje výrazu ( a i) 8. Řešeí: ) a) Dosadíme dle defiice 0 ( 6) 6 ( 6) ( 6) ( 6) b) Číslo, lze apsat jao ( ) a dopočítáme. 0 0, dále dosadíme dle defiice biomicé věty ( 0 ) 0 ( 0 ) ( 0 ) 8, 0,06 0,00 9,6 ) Dosadíme do vzorce pro výpočet -tého čleu biomicého rozvoje. a 0, b i,, a Pátý čle biomicého rozvoje je 0a. ( i) a ( 6) ( 6) a 0a Přílad: Variata A Variata B Variata C Výsledy řešeí: ) a) b) 9, 6 ) 0a

43 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: ) Vypočtěte pomocí biomicé věty a) ( ) 6 [ 08 0 ] b) ( ) [ 0 0 ] c) ( a b) 6 6 [ a 6a b a b 0a b a b 6ab b ] d) ( 6 a) [ 6 8 6a a 6a 6a ] e) ( y) [ 0 y 70 y 080 y 80y y ] f) ( i ) [ 7 ( i) ] g) y y y 6 y h) ( ) [ 0 0 ] ) Vypočtěte pomocí biomicé věty a),00 [, ] b) 0,98 [ 0,99] c),6 [,76] d) 0,0 [ 0,000007] ) Určete třetí čle biomicého rozvoje výrazu a) ( ) 7 [ 67 ] b) c a a c) ( i) 0 ac 8 y [ 0680 y ] ) Určete pátý čle biomicého rozvoje výrazu a) ( z w ) 8 [ 70 z w ] b) y y c) ( ) 7 i [ 670i] y

44 KOMBINATORIKA ) Určete. čle biomicého rozvoje výrazu a) ( ) 7 6 [ 680 ] 8 y [ 060 y ] b) ( y) 8 c) i y 6 0 y

45 KOMBINATORIKA Biomicá věta Variata B ) Vypočtěte pomocí biomicé věty ( ) ( ). ) Který čle biomicého rozvoje výrazu 6 6 je absolutí? Řešeí: ) Dosadíme dle defiice 0 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 0 ) Použijeme vzorec pro výpočet -tého čleu biomicého rozvoje. Absolutí čle je te, terý eobsahuje. ( 6 ) ( ) Aby ebyla ve výrazu obsažea ula, musí platit: Přílad: Variata A Variata B Variata C Výslede řešeí: ) 6 ) Absolutí je pátý čle biomicého rozvoje.

46 6 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: ) Vypočítejte pomocí biomicé věty a) ( ) ( ) [ ] b) ( i) ( i) [ i] [ y 6y ] c) ( y) ( y) d) ( a) 9 ( a) 9 [ 0 ] y [ y 8y 8y ] y y [ 9y 9 9] y e) ( ) ( y ) f) ( ) ( ) ) Určete, terý čle biomicého rozvoje výrazu, je absolutí. [Absolutí je. čle.] ) Určete, terý čle biomicého rozvoje a a, je absolutí. [Absolutí je 7. čle.] ) Určete, terý čle biomicého rozvoje výrazu 7 y y i,obsahuje a) y [0. čle] b) y [7. čle] ) Určete, terý čle biomicého rozvoje výrazu a) eobsahuje a [8. čle]. b) eobsahuje b [. čle] ab 6 ab 6 6) Určete, terý čle biomicého rozvoje výrazu ( ) a) je absolutí [9. čle] b) obsahuje [. čle],

47 KOMBINATORIKA 7 Biomicá věta Variata C ) V biomicém rozvoji výrazu ( ) 0 určete oeficiet čleu obsahujícího 6. ) S využitím biomicé věty vyjádřete jao jedo číslo součet Řešeí: ) Musíme zjistit, terý čle obsahuje biomicého rozvoje. 0 0 ( ) 0 ( ) Koeficiet musí být rove šesti dosadíme do téhož vzorce a dopočítáme Použijeme vzorec pro výpočet -tého čleu ( ) Koeficiet je 6 0. ) Je vidět, že daý součet odpovídá biomicému rozvoji ( ) ( ) 0 0 Přílad: Variata A Variata B Variata C Výslede řešeí: ) Koeficiet je 6 0. ) 0

48 8 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: ) V biomicém rozvoji výrazu ( ) a) b) 8 [] 6 [ 0 ] ) V biomicém rozvoji výrazu ( ) 8 a) b) 6 [ 608] 0 [ 6 ] určete oeficiet čleu obsahujícího určete oeficiet čleu obsahujícího ) V biomicém rozvoji výrazu y určete oeficiet čleu obsahujícího a) b) y 00 y [ 00 ] ) V biomicém rozvoji výrazu a) b) y [ 986] 8 y [ 6 ] y y y 6 určete oeficiet čleu obsahujícího ) Nalezěte oeficiet čleu, terý obsahuje u mohočleu ( ) ( ). [ 6] 6) Nalezěte oeficiet čleu, terý obsahuje ( ) u mohočleu ( ) 0. [ 77] 7) Nalezěte oeficiet čleu, terý obsahuje 6 ( ) ( ) ( ) 7 6 u mohočleu. [-9]

49 KOMBINATORIKA 9 8) S využitím biomicé věty vyjádřete jao jedo číslo součet a) [ ] 8 b) [ ] c) [ ] d) 0 L [ ] e) ( ) ( ) 0 L [ ] 0 f) 9 0 L [ ] g) ( ) ( ) 8 0 L ( ) [ ]

50 0 KOMBINATORIKA Souhré přílady procvičeí: ) S využitím biomicé věty řešte rovici a) ( y ) ( y ) 9 b) ( ) ( ) ( ) 8 [, ] 0 [ ] ) V biomicém rozvoji výrazu ( ) 6 je čtvrtý čle rove číslu 60. Vypočtěte. ) V biomicém rozvoji výrazu 0 je třetí čle rove číslu. Vypočtěte y. y [ y ] ) V biomicém rozvoji výrazu ( ) y je jedeáctý čle rove číslu 8. Vypočtěte y. ) V biomicém rozvoji výrazu ( ) určete ta, aby třetí čle byl tvaru y 8. [ 6] 6) V biomicém rozvoji výrazu 00 y. y určete ta, aby sedmý čle byl tvaru y [ 0] 7) Určete počet racioálích čleů biomicého rozvoje výrazu a) ( ) [ 6 ] b) ( ) 6 [ ] 8) Určete všechy čley biomicého rozvoje výrazu ( ) 7 číslem. 9) V biomicém rozvoji výrazu určete čle, terý obsahuje 7, teré jsou racioálím [ 0 ], a dále určete 7 pro terá je teto čle rove. 7,±

51 KOMBINATORIKA 9 0) V biomicém rozvoji výrazu určete, terý čle obsahuje, a dále určete, pro terá Z. čle, Z 0 je teto čle větší ebo rove ež -. [ ] ) V biomicém rozvoji výrazu je oeficiet u druhého čleu 7-rát větší ež oeficiet u posledího čleu. Určete absolutí čle. [ ] ) V biomicém rozvoji výrazu je oeficiet u druhého čleu o větší ež oeficiet u posledího čleu. Určete absolutí čle. [ ] ) V biomicém rozvoji výrazu je oeficiet u třetího čleu 9-rát větší ež oeficiet u posledího čleu. Určete absolutí čle. [ 00 ] ) V biomicém rozvoji výrazu je oeficiet u třetího čleu o 6 větší ež oeficiet u posledího čleu. Určete absolutí čle. [ 9 ]

52 KOMBINATORIKA Variace Nechť je dáa eprázdá oečá možia, terá má prvů. Každá uspořádaá -tice, sestaveá z těchto prvů ta, že aždý se v í vysytuje ejvýše jedou, se azývá -čleá variace (variace -té třídy) z prvů. Počet ( ) V, všech -čleých variací z prvů je: ( ) pro všecha ( ) V, ( ) ( )... ( ) Přílad: Řešeí: Určete počet všech přirozeých trojciferých čísel, v jejichž deadicém zápisu se aždá z číslic 0,,,,7 vysytuje ejvýše jedou. Tvoříme uspořádaé trojice z pěti růzých číslic. Jejich počet je V (,) 60 Nesmíme zapomeout, že je třeba odečíst všecha čísla začíající ulou. Jejich počet je V (,) V (,) V (,) 60 8 Počet všech trojciferých čísel vyhovujících zadaým podmíám je 8.

53 KOMBINATORIKA Variace Variata A Přílady: ) Vytvořte všechy variace druhé třídy z prvů možiy M {, y, z} prve vysytuje ejvýše jedou. ) Z olia růzých prvů je možé vytvořit variací druhé třídy? ta, že se aždý Řešeí: ) Tvoříme uspořádaé dvojice ze tří prvů. Jejich počet bude V (,) 6 [, y], [, z], [ y, z], [ y, ], [ z, ], [ z, y] ) Použijeme vzorec pro výpočet počtu -čleých variací z prvů. Sestavíme ásledující rovici, terou upravíme. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z, 0 ± 8 Záporý počet prvů je esmysl. Přílad: Variata A Variata B Variata C Výsledy řešeí: ) [, y], [, z], [ y, z], [ y, ], [ z, ], [ z, y] ) variací. třídy je možé vytvořit z prvů.

54 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: ) Vytvořte všechy uspořádaé trojice z prvů možiy {,,, } M ta, že se aždý prve vysytuje ejvýše jedou. [[,,],[,,],[,,],[,,],[,,], [,,],[,,],[,,],[,,],[,,], [,,],[,,],[,,],[,,],[,,], [,,],[,,],[,,],[,,],[,,], [,,],[,,],[,,],[,,]] ) Koli variací páté třídy je možé sestavit z osmi růzých prvů? [670] ) Koli uspořádaých čtveřic lze vytvořit z třiceti růzých prvů, jestliže se v ich žádý prve eopauje? [ 87] ) Z olia růzých prvů lze vytvořit 0 variací prví třídy? [0 ] ) Z olia růzých prvů lze vytvořit 7 variací druhé třídy? [] 6) Určete počet prvů, z ichž lze utvořit a) 7 dvoučleých variací. [7] b) dvoučleých variací. [] 7) Určete počet prvů, jestliže počet variací druhé třídy bez opaováí je rát meší ež počet variací třetí třídy bez opaováí. [7] 8) Z olia prvů lze vytvořit rát více variací čtvrté třídy ež variací třetí třídy? [7] 9) Určete počet prvů, z ichž lze utvořit a) 6 rát více čtyřčleých variací ež dvoučleých variací. [0] b) 0 rát méě variací třetí třídy ež variací páté třídy. [9] 0) Zvětšíme-li počet prvů o jede, zvětší se počet variací třetí třídy bez opaováí o 0. Určete původí počet prvů. [] ) Zvětší-li se počet prvů o dva, zvětší se počet dvoučleých variací z těchto prvů a) o 6 b), rát Určete původí počet prvů. [a) 6, b) ] ) Zmeší-li se počet prvů o dva, zmeší se počet variací čtvrté třídy rát. Určete původí počet prvů. [0] ) Zmeší-li se počet prvů o, zmeší se počet variací druhé třídy z těchto prvů vytvořeých o 8. Určete původí počet prvů. []

55 KOMBINATORIKA Variace Variata B Přílady: ) Koli růzých trojciferých přirozeých čísel dělitelých deseti lze sestavit z číslic 0,,,,,, 6, 7, 8, 9, jestliže se žádá číslice eopauje. ) Mistrovství světa v hoeji se účastí 6 mužstev, Koli růzých umístěí může být a prvích třech místech. Řešeí: ) Čísla dělitelá deseti musí mít a oci ulu, taže sestavujeme uspořádaé dvojice z devíti prvů. 9 7 Jejich počet je V (,9) ) Máme vytvořit uspořádaé trojice z 6 prvů. 6 Jejich počet je V (,6) 6 60 Přílad: Variata A Variata B Variata C Výsledy řešeí: ) Počet všech trojciferých přirozeých čísel dělitelých deseti je 7. ) Na prvích třech místech může být 60 růzých umístěí.

56 6 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: ) Koli růzých dvojciferých přirozeých čísel lze sestavit z číslic,, 6, 8, jestliže se žádá číslice eopauje. [ (,) V ] ) Koli růzých trojciferých přirozeých čísel lze sestavit z číslic,,, 7, 9, jestliže se žádá číslice eopauje. [ (,) 60 V ] ) Koli je čtyřciferých přirozeých čísel s růzými ciframi, jestliže tato čísla eobsahují cifry 0,,. [ (,7) 80 V ] ) Koli je trojciferých přirozeých dvojou dělitelých čísel s růzými ciframi, jestliže tato čísla eobsahují cifry 0,, 6, 8. [ (,) 0 V ] ) Koli čtyřciferých přirozeých čísel lze sestavit z číslic,,,, 6, 7, jestliže se žádá číslice eopauje a a místě desíte je šesta. [ (,) 60 V ] 6) Koli čtyřciferých přirozeých čísel lze sestavit z číslic,,,, 7, 9 ta, aby se žádá číslice eopaovala. Koli jich je dělitelých dvěma? [ V (,6) 60, (,) 60 V ] 7) Kolia způsoby lze rozdělit tři medaile mezi 8 účastíů soutěže v orietačím běhu? [ (,8) 966 V ] 8) V hoejové etralize je mužstev. Kolia způsoby může být a oci ligového ročíu obsazeo prví, druhé a třetí místo. [ (,) 8 V ] 9) V aglicé prví fotbalové lize hraje 0 mužstev, z ichž se do ligy mistrů mají možost valifiovat prví čtyři. Kolia způsoby může být a oci soutěže obsazeo prví, druhé, třetí a čtvrté místo? [ (,0) 680 V ] 0) V zastupitelstvu zasedá 0 lidí. Kolia způsoby můžeme zvolit starostu a místostarostu? [ (,0) 80 V ] ) V seátu zasedá 8 seátorů. Kolia způsoby lze zvolit předsedu a místopředsedu? [ (,8) 680 V ] ) Pavel chce mít aždou stěu v pooji abarveou jiou barvou. K dispozici má 8 růzých barev (bílou, modrou, žlutou, čerou, červeou, modrou, zeleou, oražovou). Kolia způsoby, může vymalovat obývací pooj, jestliže stěu, terá je aproti ou, chce mít vymalovaý bílou barvou. [ (,7) 0 V ] ) K otevřeí trezoru je třeba zát šestimístý číselý ód. Koli eistuje možostí, ja ód sestavit, jestliže se žádá číslice eopauje. [ ( 6,0) 00 V ]

57 KOMBINATORIKA 7 ) K otevřeí trezoru je třeba zát šestimístý číselý ód. Koli eistuje možostí, ja ód sestavit, jestliže se žádá číslice eopauje a ód je dělitelý padesáti. [ (,8) 680 V ] ) Do stojau a CD a DVD se vejde 0 CD ebo DVD. Kolia způsoby do ěj lze dát růzých CD? [ (,0) V ] 6) Čtyři přátele si slíbili, že si aždý ro o Váocích pošlou pohledici. Koli pohledic bylo rozesláo? [ (,) V ]

58 8 KOMBINATORIKA Variace Variata C Přílady: ) Na parovišti je pět řad parovacích míst. Do aždé řady se vejdou čtyři auta. Dvě místa v prví řadě jsou rezervováa pro hadicapovaé. Kolia způsoby může zaparovat šest růzých aut, jestliže pa Slabozraý bude parovat a místě pro hadicapovaé. (Nido jiý a místě pro hadicapovaé parovat ebude). ) Koli růzých přirozeých čísel větších ež 00 a meších ež 000 lze utvořit ta, aby se v jejich deadicém zápisu žádá číslice eopaovala? Řešeí: ) Pa Slabozraý má dvě možosti, ja zaparovat, zbyte aut může parovat a terémoli z dalších 8 míst. Taže budeme tvořit uspořádaé pětice z osmácti prvů, teré vyásobíme dvěma. 8 V (,8) ) Sestavujeme troj a čtyř a pěticiferá čísla z desíti číslic. Počet všech trojciferých číslic větších ež 00, terá ezačíají ulou je V (,0) V (,9) Počet všech čtyřciferých číslic, terá ezačíají ulou je V (,0) V (,9) Pěticiferá čísla musí být meší ež 000, taže musí začíat jedičou a a místě tisícove musí být ula. Počet taových pěticiferých čísel je V (,8) V 0 7 (,0) V (,9) V (,0) V (,9) V (,8) Přílad: Variata A Variata B Variata C Výsledy řešeí: ) Auta mohou zaparovat 06 0 způsoby. ) Je možo sestavit 0 taových čísel.

59 KOMBINATORIKA 9 Přílady procvičeí: ) Koli čtyřciferých přirozeých čísel s růzými číslicemi lze sestavit z číslic 0,,,,, 6, 7. [ ( 7,) V ( 6,) 70 V ] ) Koli růzých přirozeých ejvýše trojmístých čísel s růzými číslicemi lze sestavit z číslic 0,,,,,, 6, 7. [ 7 ( 8,) V ( 7,) V ( 8,) V ( 7,) 0 V ] ) Jsou dáy cifry,,,,. Cifry elze opaovat. Koli je možo vytvořit z těchto cifer přirozeých čísel, terá jsou čtyřmístá sudá. [ (,) 8 V ] ) Určete počet všech přirozeých čísel meších ež 8, v jejichž deadicém zápisu jsou pouze cifry,, 7, 9, aždá ejvýše jedou. [ (,) 7 V ] ) Určete počet všech přirozeých čísel meších ež 76, v jejichž deadicém zápisu jsou pouze cifry,, 7, 9, aždá ejvýše jedou. [ (,) V (,) V ] 6) Určete počet všech lichých trojciferých přirozeých čísel s růzými číslicemi, jejichž deadicý zápis je tvoře z číslic 0,,,,, 6. [ (,) V (,) V ] 7) Určete počet všech sudých trojciferých čísel s růzými číslicemi, jejichž deadicý zápis je tvoře z číslic 0,,,,, 6. [ (,) V (,) V (,) 68 V ] 8) O telefoím čísle víme, že je devítimísté, eobsahuje žádé dvě stejé číslice, ezačíá ulou a je dělitelé 0. Koli telefoích čísel přichází v úvahu. [ ( 7,8) 680 V ] 9) Ve třídě. B je 8 lavic, teré jsou uspořádáy do šesti řad po třech lavicích. Do aždé lavice se můžou posadit dva studeti. Kolia způsoby lze rozmístit 0 studetů, jestliže a) Mare a Kamila budou sedět spolu. [ V ( 6, 9) b) Rade chce sedět v prví řadě. [ 6 V (, 9) 7,76 0 ] 7 8,6 0 ] c) Lucie echce sedět s Hozou. [ ( ) ( ) 8 V 06 6 V 8,,0 0 ] d) Karolía echce sedět v posledí řadě. [ ( ) 8 0 V,9,06 0 ] 0) V chemicé učebě je lavic, teré jsou spořádáy do pěti řad po třech lavicích. Do aždé lavice se můžou posadit dva studeti. Kolia způsoby lze rozmístit studetů ta, a) aby aždý seděl v lavici sám. [ V (, ),08 0 ] b) aby druhá a čtvrtá řada byla prázdá. [ ( ) V,8, 0 ] c) aby Petr a Libor eseděli spolu. [ ( ) ( ) 7 V,0 0 V,8 7, 0 ] d) aby Haa seděla v prví řadě v prostředí lavici. [ ( ) 6 V,9,97 0 ]

60 60 KOMBINATORIKA Permutace Permutace z prvů je uspořádaá -tice sestaveá z těchto prvů ta, že aždý se v í vysytuje ejvýše jedou. Počet P ( ) všech -čleých permutací z prvů je: ( ) P Přílad: Řešeí: Kolia způsoby lze zamíchat balíče aret? Rozlišujeme čísla i barvy, taže budeme tvořit uspořádaé -tice z prvů. Jejich počet je ( ) P,6 0 Karty lze zamíchat,6 0 způsoby.

61 KOMBINATORIKA 6 Permutace Variata A Přílady: ) Vytvořte všechy uspořádaé trojice z prvů možiy M { A, B, C} ta, aby se žádý prve eopaoval. ) Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel, terá lze sestavit z číslic,,, ta, aby se žádá číslice eopaovala. Řešeí: ) Jedá se o permutaci ze tří prvů, počet taových trojic bude P ( ) 6 [ A, B, C], [ A, C, B], [ B, A, C], [ B, C, A], [ C, A, B], [ C, B, A] ) Tvořím uspořádaé čtveřice ze čtyř prvů Jejich počet je P( ) Počet všech čtyřciferých čísel sestaveých z daých číslic je. Přílad: Variata A Variata B Variata C Výsledy řešeí: ) [ A, B, C], [ A, C, B], [ B, A, C], [ B, C, A], [ C, A, B], [ C, B, A] ) Počet všech čtyřciferých čísel sestaveých z daých číslic je.

62 6 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: ) Vytvořte všechy uspořádaé dvojice z prvů možiy {, } M ta, aby se žádý prve eopaoval. [[, ],[, ]] ) Vytvořte všechy uspořádaé čtveřice z prvů možiy M { w,, y, z} ta, aby se žádý prve eopaoval. [[w,, y, z],[w,, z, y],[w, y,, z],[w, y, z, ], [w, z,, y],[w, z, y, ],[, w, y, z],[, w, z, y], [, y, w, z],[, y, z, w],[, z, w, y],[, z, y, w], [y, w,, z],[y, w, z, ],[y,, w, z],[y,, z, w], [y, z, w, ],[y, z,, w],[z, w,, y],[z, w, y, ], [z,, w, y],[z,, y, w],[z, y, w, ],[z, y,, w]] ) Koli permutací bez opaováí je možé sestavit z pěti růzých prvů? [0] ) Koli uspořádaých osmic lze vytvořit z osmi růzých prvů ta, aby se žádý prve eopaoval? [0 0] ) Koli šesticiferých přirozeých čísel lze sestavit z číslic,,,,, 6, jestliže se v žádém čísle emá opaovat žádá číslice. [70] 6) Koli čtyřciferých přirozeých čísel je možé sestavit z číslic,, 6, 8, jestliže se v žádém čísle emá opaovat žádá číslice. [] 7) Koli čtyřciferých přirozeých čísel dělitelých pěti je možé sestavit z číslic, a) 0,,, 6, b),, 6, 7, jestliže se v žádém čísle emá opaovat číslice. [a) 6, b) 6] 8) Koli pěticiferých přirozeých lichých čísel lze sestavit z číslic,,, 6, 8, jestliže v jejich deadicém zápisu jsou aždé dvě číslice růzé. [] 9) Kolia způsoby lze postavit do řady vojáů? [,08 0 ] 0) Ve třídě.a je 0 míst a v plém počtu 0 studetů. Kolia způsoby lze sestavit zasedací pořáde? [,6 0 ] ) Na vědecé ofereci má vystoupit 7 růzých vědců. Určete počet všech možých pořadí jejich vystoupeí. [ 00]

63 KOMBINATORIKA 6 ) Koli růzých slov majících i emajících smysl lze vytvořit z písme slova a) FLORIDA [ 00] b) JUDITA [70] c) KNIHA [0] ) Závod v triatlou má účastíů. Určete počet všech možých výsledů této soutěže, jestliže a) všichi závod doočí. 67 [ 8,07 0 ] b) polovia závodíů závod vzdá. 6 [,0 0 ]

64 6 KOMBINATORIKA Permutace Variata B Přílady: ) Zvětší -li se počet prvů o dva, zvětší se počet permutací bez opaováí z těchto prvů 0 rát. Určete původí počet prvů. ) Určete, olia způsoby lze přemístit písmea slova KOMBINACE ta, aby v tomto přemístěí ějaá supia po sobě jdoucích písme tvořila slovo EMA. Řešeí: ) Dle zadáí vytvoříme rovici P( ) 0P( ) přirozeé číslo. P ( ) 0 P( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0, terou vyřešíme. Řešeí musí být 8 0, ± ) Trojici písme EMA bereme jao jedo písmeo. Budeme tvořit uspořádaé sedmice ze sedmi prvů. Jejich počet je P ( 7 ) 7 00 Přílad: Variata A Variata B Variata C Výsledy řešeí: ) Prvy jsou. ) Písmea slova KOMBINACE lze požadovaým způsobem přemístit 00 rát.

65 KOMBINATORIKA 6 Přílady procvičeí: ) Určete počet prvů ta, aby z ěj bylo možé vytvořit a) 00 permutací bez opaováí [7] b) 0 permutací bez opaováí. [] ) Zvětší-li se počet prvů o jede, zvětší se počet permutací bez opaováí z těchto prvů a) 7 rát. b) rát. Určete původí počet prvů. [a) 6, b) ] ) Zvětší-li se počet prvů o dva, zvětší se počet permutací bez opaováí z těchto prvů a) 7 rát. b) rát. c) 0 rát d) 80 rát. Určete původí počet prvů. [a) 7, b) 0, c), d) 8 ] ) Zmeší-li se počet prvů o, zmeší se počet permutací bez opaováí z těchto prvů a) rát. b) 60 rát. Určete původí počet prvů. [a), b) ] ) Na meziárodí vědecé ofereci vystoupí 8 vědců z osmi růzých zemí. Určete počet pořadí, a) v ichž vědec z Fisa vystupuje ihed po vědci z USA. [ P( 7) 00] b) v ichž vědec z Němeca vystupuje mezi vědcem z Holadsa a Rusa. [ P( 6) 70] 6) Závodu v moderí gymastice se účastí 7 děvčat. Určete počet všech možých pořadí, de a) se Aeta umístí ihed za Kamilou. [ P( 6) b) Klára sočí mezi Domiiou a Moiou. [ P( ),09 0 ], 0 ] 7) Určete, olia způsoby lze přemístit písmea slova EVROPA ta, aby v tomto přemístěí ějaá supia po sobě jdoucích písme tvořila slovo EPO. [ P( ) ] 8) Určete oli růzých přirozeých osmiciferých čísel lze vytvořit z číslic,,,,, 6, 7, 8 ta, aby se žádá číslice eopaovala a aby dvoja byla ihed za jedičou. [ P( 7) 00]

66 66 KOMBINATORIKA Permutace Variata C Přílady: ) Kolia způsoby lze seřadit lidí, jestliže Moia a David echtějí stát vedle sebe. ) Určete, olia způsoby můžeme avléout a it deset růzě barevých orálů. Koec itě poté svážeme. Řešeí: ) Počet všech možostí, ja vedle sebe seřadit lidí je P ( ). Počet všech možostí, ja vedle sebe seřadit lidí je, dyž David a Moia stojí vedle sebe je ( 0) 0 P P. ( ) P( 0) ) Uspořádáí, teré se liší je otočeím v ruhu, epovažujeme za růzé. Nejprve určíme počet všech uspořádáí, jao dybychom avléali vedle sebe P ( 0 ) 0. V tomto počtu jsou ale započítáy i umístěí, terá se liší je otočeím v ruhu. Těchto umístěí je deset pro aždé upořádáí. ( 0) P Přílad: Variata A Variata B Variata C Výsledy řešeí: ) Lidi lze seřadit způsoby. ) Korály můžeme avléout způsoby.

67 KOMBINATORIKA 67 Přílady procvičeí: ) Určete, olia způsoby může dětí astoupit do řady, jestliže a) dvě děti chtějí stát vedle sebe. [ P( ) ] b) jedo dítě chce stát a raji. [ P( ) ] c) dvě děti chtějí stát vedle sebe a jedo a raji. [ ( ) P 00] d) tři děti chtějí stát vedle sebe. [ ( ) P( ) e) dvě děti echtějí stát vedle sebe. [ ( ) P( ) P ] P ] f) jedo dítě echce stát a raji. [ ( ) P( ) P ] ) Novoročího plavecého závodu ve Vltavě se vůli velé zimě zúčastilo je 8 plavců. Určete počet pořadí, v ichž pa Vodruša doplaval za paem Štiou. [ P () 8 060] ) Určete počet všech způsobů, jaými lze postavit do řady muže a že ta, aby všechy žey stály před muži. [ () P() P 70] ) Určete počet všech šesticiferých přirozeých čísel, v ichž se číslice eopaují a terá lze utvořit z číslic,,,, 6, 7 ta, že a) sudé číslice stojí a lichých místech a liché číslice stojí a sudých místech. [ () P() P 6] b) žádé dvě sudé ai žádé dvě liché číslice estojí vedle sebe. [ () P() P 7] ) Určete, olia způsoby se můžou posadit rytíři ulatého stolu, jestliže záleží je a vzájemém umístěí. Rytířů je. [ ( ) P 6,0 0 ] 6) Na duchoví seaci přijde 6 účastíů. Kolia způsoby se můžou rozesadit oolo ulatého stolu, jestliže záleží je a vzájemém pořadí. [ P( 6) 6 0]

68 68 KOMBINATORIKA Souhré přílady procvičeí ) Vypočtěte a) V (,) P( ) b) P ( ) P( ) c) V (,6) V (,6) V (,6 ) d) V (,) P( ) V (,) ) Řešte rovice [-] [0] [6] [0] a) V (, ) 0 [ 9] b) V (, ) 0 [ emá řešeí ] c) V (, ) [ ] d) V (, ) [ ] ) Řešte v N erovice a) V (, ) 0 [ N ] b) V (, ) 0 [ N ] c) V (, ) 60 [ N 6] ) Určete, olia způsoby může (m) chlapců a () díve astoupit do zástupu ta, aby ejdříve stály všechy dívy a pa všichi chlapci. [( m ) ( ) ] ) V biochemicé laboratoři se rozhodlo prozoumat účiost pěti léů, teré měl být podáváy pousým myším vždy po dvou, přičemž chtěli zjistit, zda záleží a pořadí užívaých láte. Každý poud byl provede a jedé myši. Koli myší bylo potřeba? [0] 6) Marti byl s přáteli a utáí v házeé, po terém šel s přáteli oslavit svůj sváte do oblíbeé hospůdy, de vypil 0 piv. Doma se ho mažela ptala, ja utáí sočilo, ale Marti si po deseti vypitých pivech byl schope vzpomeou pouze a to, že utáí esočilo erozhodě a že žádé z obou družstev evstřelilo vice ež 7 a méě ež 6 ošů. Určete počet všech možých výsledů. [] 7) Koli růzých výsledů může mít zápas ve florbale, jestliže obě mužstva astřílí ejvýše po čtyřech gólech, přičemž hostující mužstvo dostae alespoň jede gól a remíza astae pouze v případě, že obě mužstva střelí pouze dva góly. [7]

69 KOMBINATORIKA 69 8) Koli pěticiferých čísel bez opaováí je možo sestavit z cifer,,,,, jestliže čísla mají začíat ebo ebo. [7] 9) Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel, v jejichž deadicém zápisu je aždá z číslic obsažea 0,,, právě jedou. Koli z těchto číslic je větších ež 000. [8, ]

70 70 KOMBINATORIKA Kombiace K-čleá ombiace z prvů je euspořádaá -tice sestaveá z těchto prvů ta, že aždý se v í vysytuje ejvýše jedou. Počet K (, ) všech -čleých ombiací z prvů je: K (, ) Přílad: Do taečích chodí díve a 8 chlapců. Koli růzých párů mohou vytvořit? Řešeí: Tvoříme euspořádaé dvojice { díva, chlapec}. Počet všech možostí, ja vybrat dívu je K (,). Počet možostí, ja vybrat chlapce je K (,8). Oba počty vyásobíme. Využíváme ombiatoricé pravidlo součiu. K 8 (,) K(,8) Můžeme vytvořit 896 růzých párů.

71 KOMBINATORIKA 7 Kombiace Variata A Přílady: ) Vytvořte všechy euspořádaé trojice z prvů možiy M { a, b, c, d} ta, že aždý prve se v í vysytuje ejvýše jedou. ) Řešte v N rovici K (, ) Řešeí: ) Jedá se o troj-čleou ombiaci ze čtyř prvů. Počet taových ombiací je K(,). { a, b, c} { a, c, d} { b, c, d} { a, b, d} ) Kombiačí číslo ahradíme zlomem, rovici upravíme. K (, ) ( ) ( ) ( ) 6 0, ± eí přirozeé číslo, taže výslede je pouze číslo Přílad: Variata A Variata B Variata C Výsledy řešeí: ) { a, b, c} { a, c, d} { b, c, d} { a, b, d} )

72 7 KOMBINATORIKA Přílady procvičeí: ) Vytvořte všechy euspořádaé dvojice z prvů možiy M ta, že aždý prve se v í vysytuje ejvýše jedou. a) M {,,, } {,}{,} {,} {,},} {, b) M {,, },}{, {, [ { }] [{ } }] ) Určete počet všech pětičleých ombiací z a) deseti prvů. [] b) patácti prvů. [00] ) Řešte v N rovice a) K(, ) b) K(, 0) 0 c) K(, ) d) K(, ) e) K(, ) 0 f) K(, ) [ ] [ ] [ ] [ v N emá řešeí] [ v N emá řešeí] [ 8] g) K(, ) K(,6) K(, ) K(,) K(,8) K(, ) [ ] h) K(, ) K(,) K(, ) K(,6) K(,) [ ] ) Řešte v N erovice K [ N 8] a) (, ) 6 K [ N 9] b) (, 6) K [ N 9] c) (, ) K (, )

73 KOMBINATORIKA 7 Kombiace Variata B Přílady: Ve třídě je děvčat a chlapců. Kolia způsoby je možé vybrat studety ta, aby ve supiě byli ) samí chlapci ) samé dívy ) chlapci a jeda díva Řešeí: ) Vybírám trojici chlapců z patácti. Je mi jedo v jaém pořadí. Taže tvoříme euspořádaé trojice z patácti prvů. K,. Jejich počet je ( ) 7 ) Vybírám trojici díve z třiácti. Je mi jedo v jaém pořadí. Taže tvoříme euspořádaé trojice z prvů. K,. 0 Jejich počet je ( ) 86 ) Vybírám dvojici chlapců z patácti a jedu dívu z třiácti. Je mi jedo v jaém pořadí. Počet všech možostí ja vybrat chlapce je K (,) Počet všech možostí ja vybrat dívy je K (,) Oba počty vyásobíme K (,) K(,) 7 6 Přílad: Výsledy řešeí: Variata A ) Studety je možé vybrat způsoby. Variata B ) Studety je možé vybrat 86 způsoby. Variata C ) Studety je možé vybrat 6 způsoby.