Spojité deterministické modely II cvičení

Podobné dokumenty
časovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Spojité deterministické modely I 1. cvičná písemka

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Charakterizace rozdělení

Funkce jedné proměnné

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

24. Parciální diferenciální rovnice

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

1 Funkce dvou a tří proměnných

Diferenciální rovnice

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

22 Základní vlastnosti distribucí

Aplikovaná numerická matematika

Příklady pro cvičení 22. dubna 2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

které charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017

KMS cvičení 6. Ondřej Marek

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

5. cvičení z Matematiky 2

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

VYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

X31EO2 - Elektrické obvody 2. Kmitočtové charakteristiky

Stochastické diferenciální rovnice

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

Nerovnovážné systémy Onsagerova hypotéza, fluktuačně disipační teorém

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83

13. Lineární procesy

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce

1. Obyčejné diferenciální rovnice

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

Pojistná matematika. Úmrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití. Silvie Kafková

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

1.8. Mechanické vlnění

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic

Funkce dvou a více proměnných

Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:

1 Topologie roviny a prostoru

Inverzní Laplaceova transformace

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

10 Funkce více proměnných

12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY

Co jsme udělali: Au = f, u D(A)

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015

Buckinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

Bakalářská matematika I

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

MATEMATICKÉ MODELY DYNAMIKY POPULACÍ CONTINUOUS MATHEMATICAL MODELS OF POPULATION DYNAMICS

OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.

Matematická analýza III.

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

Transkript:

Spojité deterministické modely II cvičení 1. Parciální diferenciální rovnice prvního řádu model věkově strukturované populace Uvažujme populaci, která se vyvíjí podle McKendrickova-vonFoersterova modelu a má stabilizovanou věkovou strukturu, tj. asoučasně (t, a) + (t,a) = µ(a)u(t,a), t >0, a >0, t a u(0,a)=ϕ(a), a >0, u(t,0)= 0 b(ξ)u(t, ξ)dξ, t > 0 u(t,a)=ϕ(a)e λt. Přitom u(t, a) je velikost(hustota) věkově homogenní subpopulace věku a v čase t(což znamená, že celková velikost populace v čase t je u(t, ξ)dξ), µ je věkově specifická úmrtnost, b je věkově specifická 0 porodnost, ϕ vyjadřuje věkovou strukturu ( věkově ) stabilizované populace a λ růstový koeficient. Dále a zavádíme funkci přežití l(a) = exp µ(ξ)dξ. 1. Reprodukční hodnotu jedince věku a definujeme vztahem 0 v(a)= a e λξ l(ξ)b(ξ)dξ e λa. l(a) a) Interpretujte tuto veličinu biologicky. b) Jaké kvalitativní charakteristiky tato veličina má(vyšetřete nebo odhadněte průběh funkce v jakožto funkce nezávisle proměnné a.) 2. a) Určete očekávanou délku přežití jedinců populace, tj. průměrný věk v okamžiku smrti všech jedinců, kteří se narodili ve stejném okamžiku(tzv. kohorty). b) Určete průměrný věk všech jedinců, kteří umírají ve stejném okamžiku. c) Porovnejte tyto veličiny a výsledek interpretujte. 3. Uvažujme populaci jedinců, rozmnožujících se dělením. Předpokládejme, že každý jedinec, který se dožijevěku a 0 serozdělí. a) Určete podmínky, za jakých může taková populace dlouhodobě přežívat. b) Předpokládejmedále,žespecifickáúmrtnostjelineárnífunkcívěku, µ(a)=µ 0 +αa.určete průběh stabilizované struktury populace ϕ a určete čas, za jaký se velikost populace zdvojnásobí. 4. Odložená plodnost Uvažujmepopulaci,vnížženyzačínajíbýtplodnévevěku a m,jejichplodnostkončívevěku a M amaximálníplodnosti b max dosahujívevěku a F ;přitomsamozřejměplatí a m < a F < a M.Na intervalech(a m,a F )a(a F,a M )jevěkověspecifickáporodnostlineární.specifickáúmrtnostjeod věku a m dověku a M konstantníarovnahodnotě µ 0.Určetezávislostrůstovéhokoeficientuna hodnotě a F. 1

5. Bříměpolygamie Představmesihypotetickoupopulaci,vnížsekaždýmužženívečtyřicetiletechaberesidvě manželkyvevěkudvacetlet.předpokládejmedále,žeúmrtnostmužůaženjestejnáanezávisína věku, porodnost žen je ve věku 20 40 let konstantní, jinak je nulová, poměr novorozených chlapečků a holčiček je 1. Může taková populace dlouhodobě přežívat? Určete věkovou strukturu ϕ v závislosti na hodnotách porodnosti a úmrtnosti. 6. Hodnoty funkcí l a b pro populaci hrabošů Microtus agrestis byly v laboratorních podmínkách určeny takto: i a i [týdny] l(a i ) b(a i ) 1 0 1.0000 0.0000 2 8 0.8335 0.6504 3 16 0.7313 2.3939 4 24 0.5881 2.9727 5 32 0.4334 2.4662 6 40 0.2928 1.7043 7 48 0.1813 1.0815 8 56 0.1029 0.6683 9 64 0.0535 0.4286 10 72 0.0255 0.3000 Odhadněte růstový koeficient λ a určete stabilizovanou věkovou strukturu ϕ. 2

2. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu model populace v prostoru 1. Populace tvořená potomky jediného páru který se nacházel v počátku souřadného systému se v prostoru vyvíjí podle rovnice (t,x,y) t = D u(t,x,y)+αu(t,x,y), u(t,x,y)vyjadřujepopulačníhustotuvčase tnamístě(x,y), D, αjsoukladnékonstanty.vypočítejte R 2 u(t,x,y)dxdy. 2. Uvažujme stejnou populaci jako v předchozím případě. a)definujme čelopopulačnívlny jakokružniciopoloměru R 1 (t)takovém,že u(t,x,y)=εpro x 2 + y 2 = R 1 (t) 2 ;přitom εjepředemdanémaléčíslo.určeteasymptotickévyjádření R 1 (t) jakofunkcečasuvpřípadě α 0aα=0. b) Určetepočetpárůkterésevčase tnacházejívněkruhuopoloměru R 1. c) Definujme čelopopulačnívlny jinak:jakokružniciopoloměru R 2 (t)takovém,ževněkruhu otomtopoloměrujeméněnež mpárů;přitom mjepředemdanémaléčíslo.určeteasymptotickévyjádření R 2 (t)jakofunkcečasuvpřípadě α 0aα=0. d) Porovnejte výsledky a), c). 3. J. G. Skellam v roce 1951 studoval šíření dubů od konce poslední doby ledové. Zformuloval předpoklady: (i) Dubysemnožísrůstovýmkoeficientem α >0adookolníhoprostředísešířídifúzískoeficientem D >0. (ii) Dubžijeaprodukuježaludynejméně60let. (iii) I v panenském prostředí má jeden dub nejvýše 9 milionů plodných potomků. (iv) Střední kvadratická vzdálenost žaludů od stromu je nejvýše 50 metrů(střední kvadratická vzdálenost je odmocnina z průměru druhých mocnin vzdálenosti všech žaludů od mateřského stromu). a) Napište rovnici pro vývoj populační hustoty dubů na základě předpokladu(i). b) Za pomoci zbývajících předpokladů najděte horní odhady parametrů D a α.[můžete předpokládat, že na počátku času byl jediný dub v počátku souřadnic místa.] c) Ověřte hypotézu, že duby se v Británii rozšířily difúzí podle uvedených předpokladů. Duby se odposlednídobyledové(zanejvýše20000let)rozšířilynavzdálenostzhruba1000km. 4. Uvažujte rovnici reakce-difúze definovanoupro t >0, x R. t = 2 u x 2+u2 (1 u), a) Napište obyčejnou diferenciální rovnici pro řešení ve tvaru putující vlny U = U(z), tj. z= x ct, U(x ct)=u(t,x), lim U(z)=1, lim U(z)=0. z z b) Najděte minimální rychlost c putující vlny. c) Pokuste se najít počáteční podmínku takovou, aby počáteční úloha pro uvažovanou rovnici byla explicitně řešitelná. 3

3. Parciální diferenciální rovnice druhého řádu modely morfogeneze 1. Uvažujte rovnici reakce-difúze w τ = D 2 w ξ 2 +f(w) proneznámoufunkci w=w(τ,ξ)definovanoupro τ >0,0<ξ < L,sDirichletovouokrajovou podmínkou w(τ,0)=w(τ,l)=u. Přitom u Rjetakovéčíslo,že f(u )=0. a) Změňte měřítko časové proměnné τ i prostorové proměnné ξ tak, aby se rovnice transformovala na rovnici v t = v D 2 x 2+γ2 f(v) s Dirichletovou okrajovou podmínkou b) Odvoďte linearizovanou rovnici v(t,0)=v(t,π)=u. s homogenní Dirichletovou okrajovou podmínkou c) Řešte úlohu(1),(2) s počáteční podmínkou t = u D 2 x 2+γ2 f (u )u (1) u(t,0)=u(t,π)=0. (2) u(0,x)=u 0 (x)=sinx. d) Nechť f (u ) >0.Rozhodněte,zdazvětšenídifuzivity Dnebovelikosti Lsystémstabilizuje nebo destabilizuje. 2. Uvažujte vektorovou rovnici reakce-difúze t = D u+αf(u) definovanounaoblastiω= { (x,y) R 2 : a 2 < x 2 +y 2 <(a+δ) 2}.(Tatorovnicemůžebýtpovažována za model růstu chapadel u nezmara.) Parametr δ považujte za tak malý, že rozdíl koncentrací u při změně souřadnic x, y o vzdálenost nepřevyšující δ je zanedbatelný. Najděte podmínky, za jakých má řešení rovnice n lokálních extrémů v oblasti Ω.(Takové řešení popisuje nezmara s n chapadly.) 3. Systém rovnic reakce-difúze aktivátoru a inhibitoru je v bezrozměrných veličinách tvaru t = 2 u x kde badjsoukladnékonstanty. 2+ u2 v bu, v t = v d 2 x 2+u2 v, a) Která z funkcí u, v představuje koncentraci aktivátoru a která koncentraci inhibitoru? b) Ukažte, že v prostorově homogenním případě(bez difúzních členů) má reakce aktivátoru a inhibitoru asymptoticky stabilní řešení. c) Najděte hodnoty parametrů b a d, pro které difúze systém destabilizuje, a načrtněte je v rovině (b,d). 4

4. Obyčejné diferenciální rovnice se zpožděním 1. Jeden z modelů růstu populace velryby grónské(používaný International Whaling Commision) je zapsán rovnicí { [ ( ) z ]} dn(t) N(t T) = µn(t)+µn(t T) 1+q 1, K kde µ úmrtnost, q maximální možný nárůst porodnost oproti úmrtnosti, K kapacita prostředí, T doba k dosažení dospělosti, z míra citlivosti populace na její velikost(tj. vnitrodruhovou konkurenci). Všechny parametry jsou kladné. Ukažte, že rovnice popisující vývoj malých odchylek od rovnovážné velikosti populace je dn(t) µn(t) µ(qz 1)n(t T) a stabilita rovnovážného stavu je tedy určena reálnou částí řešení λ rovnice Odvoďte, že rovnovážný stav je stabilní, pokud λ= µ [ 1+(qz 1)e λt]. µt < µt c = π cos 11 b b2 1 astabilníprolibovolné T,pokud b <1. 2. Růst populace lze modelovat následující rovnicí dn(t), b=qz 1 >1 = αn(t τ)e βn(t τ) δn(t), kde N= N(t) velikostpopulacevčase t, α maximální porodnost, δ úmrtnost, e βn mírazmenšeníporodnostizpůsobenávnitrodruhovoukonkurencí populace velikosti N. Najděte netriviální rovnovážnou velikost populace. Linearizujte rovnici v okolí rovnovážného stavu. Najděte hranice oblastí v rovině(δτ, ατ), ve kterých malé odchylky od rovnovážného stavu (a) monotonně rostou, (b) monotonně klesají, (c) oscilují s klesající amplitudou, (d) oscilují s rostoucí amplitudou. (Uvedený model použil R. May v roce 1975 k modelování populace Lucila cuprina a ukázal dobrou shodu s daty naměřenými Nicholsonem roku 1957.) 5

3. Model krvetvorby. Nechť c(t)označujekoncentracikrvinekvkrvi(rozměrveličiny cje,řekněme,početbuněk/mm 3 ). Předpokládáme, že krvinky z cirkulující krve mizejí rychlostí úměrnou koncentraci s konstantou úměrnosti g(jejírozměrjeden 1 ).Kostnídřeňreagujesasišestidennímzpožděním T nadeficit krvinek a produkuje je v závislosti na jejich koncentraci v krvi. Z těchto předpokladů plyne, že modelem krvetvorby je rovnice tvaru dc(t) Jedenzmožnýchtvarů produkčnífunkce λje = λ ( c(t T) ) gc(t). λ(ξ)= am ξ a m +ξ m, kde a, m jsou kladné konstanty. Najděte bezrozměrný tvar modelu, jeho stacionární stavy, vyšetřete lineární stabilitu a najděte podmínky pro nestabilitu modelu. 4. Koncentrace kysličníku uhličitého v krvi I. Předpokládá se, že koncentrace kysličníku uhličitého v krvi závisí na intenzitě dýchání a zpětně řídí intenzitu dýchání s jistým zpožděním τ > 0. Jednoduchý model vývoje koncentrace v bezrozměrných veličinách lze zapsat ve tvaru dx(t) =1 ax(t)v ( x(t τ) ), V(x)= xm 1+x m, kde a, m jsou kladné konstanty. Ukažte,žeexistujekritickézpoždění τ c takové,žepro τ > τ c jestacionárnířešení x(t) x nestabilní.vypočítejte x aodhadněte periodu řešenívpřípadě,že τ= τ c +ε,přičemž0<ε 1. (Přesněji,najdětenejmenší p >0takové,žezrelací x(t 0 )=x, x (t 0 ) >0plynou x(t+p) x, x(t 0 +p) >0.) 5. Koncentrace kysličníku uhličitého v krvi II. Jiný model vývoje koncentrace c = c(t) kysličníku uhličitého v krvi je tvaru dc(t) = p V ( c(t τ) ) c(t)=p bv maxc(t)c(t τ) m a m +c(t τ) m, kde p, b, a, τ jsou kladné konstanty. Vyjádřete tento model v bezrozměrných veličinách, najděte stacionární řešení a vyšetřete jeho stabilitu v závislosti na parametrech. 6