Příklady k přednášce 4 -Vlastnosti systému

Příklady k přednášce 4 -Vlastnosti systému Michael Šebek Automatické řízení 08-3-8

Příklad: Tužka na lavici Automatické řízení - Kybernetika a robotika Postavte tužku na lavici bez držení. Proč to nejde? Model nelineární g ϕ sinϕ = 0 l a lineární g ϕ ϕ = 0 l Řešení Laplaceovou transformací L { } ϕ( t) = sfs ( ) sϕ(0 ) ϕ(0 ) ϕ() s = sϕ(0 ) ϕ (0 ) g s l V časové oblasti sϕ(0 ) ϕ (0 ), () g g g = ps = s = s s ps () l + l l Michael Šebek Pr-ARI-04-05 ϕ l r Fg = mg g g g g t t t t l l l l ϕ( t) = e + e ϕ(0 ) e e ϕ (0 ) gl

Proč zrovna v levé polorovině? Automatické řízení - Kybernetika a robotika Odezva na počáteční podmínky / stav Po rozkladu na parciální zlomky každému reálnému kořenu si = a at i at i k at i e, te,, t e a každé komplení dvojici kořenů násobnosti l odpovídají at i at i e sin bt i, e cos bt i, at i at i te sin bit, te cos bit, at i t e sin bt, t e cosbt l at i l i Všechny tyto průběhy (a každý zvlášť) odezní do nuly Re s = a < 0 i { } i i as + + a y + + a ys () = as ( ) () s = a dj( si A) ( 0 ) as ( ) n ( n ) ( n ) (0 ) n (0 ) násobnosti k odpovídají módy si = ai ± jbi mez stability patří do nestabilní oblasti Im stabilní nestabilní Polynom s kořeny jen vlevo se nazývá stabilní v Hurwitzově smyslu i Michael Šebek ARI-04-06 3 y Re

Jak se odhadne stabilita polynomu Nutná podmínka stability polynomu (A. Stodola): n Stabilní polynom ps () = s + + a má všechny koeficienty kladné Pro druhý stupeň je to nejen podmínka nutná, ale i postačující: Polynom p() s s as a je stabilní, právě když a, a > 0 Vysvětlení (pro stupně a platí oběma směry):,comple Pro vyšší stupně je to jen nutné: Násobením členů. a. řádu s kladnými koeficienty už nekladné koeficienty nevzniknou 3 Ale není to postačující, p3() s = ( s + )( s+ ) = s + s + s+ viz protipříklad:, Michael Šebek ARI-04-05 4 0 = + + 0 0 p () s = s+ a p,real( s) = s + a s + b = s + ( a + b) s + ab, ( a + b) > 0& ab > 0 a, b > 0 p ( s) = ( s+ c+ jd)( s+ c jd) = ( s+ c) + d = s + cs+ c + d ( )( ) ( ) ( ) ( c> 0&( c + d ) > 0) ( c> 0) s = ± j

Jak se testuje stabilita polynomu Výpočet kořenů, případně rovnou jejich zobrazení v minulosti se neumělo (Mawell), dnes je to nejčastější moderní SW a numerická matematika to rychle vypočtou Dost přesné vyjma případu vícenásobných kořenů, což ale pro test stability většinou nevadí Matlab: roots, v toolboech často předefinováno, dále Symbolic Math Tb: solve (pozor na Abela) Control Systems Tb: pzplot Polynomial Tb: zpplot Speciální metody Hurwitzova metoda (hlavní minory Hurwitzovy matice > 0) Routh-Hurwitzův test stability - mechanická rutina Dnes se užívá pro jiné účely, k testování stability zřídka Naučte se ji sami z učebnic (např. Franklin 5/e s 3-33) Michael Šebek ARI-04-07 5

Příklady Hurwitzovy matice Automatické řízení - Kybernetika a robotika n p() s = as + a s + + as+ a H( p) = n n n 0 an an 3 an 5 0 an an a n 4 0 a a a n n 3 n 5 = 0 an an an 4 0 0 0 0 0 0 0 a0 n n p () s = s+ a 0 p () s = s + as+ a 0 p() s = s + as + as+ a 3 3 0 p () s = s + a s + a s + as+ a 4 3 4 3 0 H( p ( s)) = H( p ( s)) Michael Šebek Pr-ARI-04-05 6 [ a ] 0 a 0 = a 0 a a0 0 H( p3( s)) = a 0 0 a a 0 H( p ( s)) 4 0 = 0 a3 a 0 a3 a 0 0 a a 0 0 a a 0

Pozor na nestabilní soustavy Automatické řízení - Kybernetika a robotika Odstrašující příklad at e Jaký mód/pól odpovídá průběhu výkonu? a = Michael Šebek ARI-04-08 7

Příklad: Vliv nestabilních nul Automatické řízení - Kybernetika a robotika Jedna nestabilní nula systém se zpočátku pohne špatným směrem - operátor musí být trpělivý možný je i opak: zpočátku správná reakce se později ukáže nesprávnou Gs () = s ( s + ) Gs () = s ( s ) + Dvě nestabilní nuly vedou na dvojitou změnu směru Podobně dvojice kompleně sdružených nestabilních nul Gs () = ( s ) ( s + ) 3 Michael Šebek Pr-ARI-04-07 8

Příklad: Nestabilní nula a problémy při couvání čtyřkolové auto, které neklouže, y pracovní bod: konstantní rychlost vp, θ p = 0 model bočního pohybu lineární odchylková aproimace v okolí pracovního bodu přenos vstupu (řídicího úhlu ψ ) na souřadnici y středu přední nápravy je s+ vp L gs () = vp s Při jízdě dopředu je v > 0, tedy přenos má stabilní nulu p v Při couvání je v a nula je nestabilní p < 0 Proto je při couvání boční odezva na skok řídicího úhlu obrácená a na počátku je podkývnutí Proto je couvání obtížnější, i pro člověka - řidiče Vymyslete další příklady Michael Šebek Pr-ARI-04-06 9

Oboustranné kolo Automatické řízení - Kybernetika a robotika Michael Šebek Pr-ARI-04-05 0

Oboustranné kolo Automatické řízení - Kybernetika a robotika Michael Šebek Pr-ARI-04-05

Zjednodušený přenos výchylky výškovky hs ( ) 30( s 6) = δ s ss + s+ e( ) ( 4 3) Odezva na záporný δ-impuls krátká výchylka výškovky nahoru (minus je konvence) rotace letadla (ocas, nos ) vyvolá počáteční pokles po rotaci se zvětší úhel náběhu (mezi tětivou křídla a směrem pohybu) zvětší se vztlak a letadlo stoupá Nestabilní nula se projeví poklesem kvůli počáteční rotaci letadla moc to nevadí, ale zpomaluje odezvu Nestabilní nula - Boeing 747 Jumbo Jet δe na letovou výšku h má nestabilní nulu Michael Šebek Pr-ARI-04-08

Minimální fáze = systém i jeho inverze jsou ryzí a stabilní /pro spojité LTI as (), bs () Tedy stabilní a deg as ( ) = deg bs ( ) Pak jsou ve frekvenční oblasti amplituda a fáze vázány Hilbertovou transformací { ω } arg f( jω) = H ln f( j ) ln f( jω) = ln f( j ) + arg ( ) Systém s minimální fází bs () as () f() s =, finv () s, f() s finv () s as () = bs () = def g( ω) H { g( ω)} = dτ. π ω τ H( jω) = e αω ( ) + jφω ( ) H { f jω } φω ( ) = H { αω ( )} αω ( ) = α( ) + H { φω ( )} Obecně mezi nimi žádný vztah není Systém s minimální fází má mezi systémy se stejnou amplitudovou charakteristikou minimální přírůstek fáze při přechodu ω :0 Systém s maimální fází = všechny kořeny čitatele nestabilní, maimální přírůstek fáze při ω :0 Mezi tím: smíšená neboli neminimální fáze Michael Šebek ARI-04-05 3

3 systémy se stejnou amplitudovou frekvenční charakteristikou Minimální fáze Smíšená fáze Maimální fáze f 3 Fáze: minimální - smíšená - maimální ( s+ )( s+ ) f() s = ( s+ 3)( s+ 4) ( s )( s+ ) f() s = ( s+ 3)( s+ 4) ( s )( s ) () s = ( s+ 3)( s+ 4) fi () s 5 ( s+ 5) f (0) i Fáze na začátku: klesá klesá roste Michael Šebek Pr-ARI-04-05 4

Operační zesilovač má velkou vstupní impedanci, takže rezistory R, R protéká stejný proud Is () = ( Vs i () V0 () s ) ( R+ R) V () s = A( V () s V () s ) V() s = IsR () + V() s 0 V () s = RV () s + RV () s Pro R = R RC 3 = je přenos odezva na skok ( ) A( R RR 3Cs) ( )( R + R ( + A) ) a normalizovaná odezva bez nuly Neminimálně fázový elektronický obvod 0 () () Cs 0 R+ R V s = V s i R 3 + Cs R s 0() A RRC 3 3 V s R R R Cs R = = V () i s R3Cs + R3RCs + R R s + RC 3, 0 V () 0 s ( s 0) = V() s ( s + 0) ( s 0) hs () =, ht () = e ( s + 0) s 0 h0() s =, h0() t = e ( s + 0) s i 0t 0t Michael Šebek Pr-ARI-04-06 5

Příklad: Neřiditelný systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika Systém se schématy a rovnicemi u y u y 0 = +, [ ] 0 0 uy = charakteristický polynom řešení cs ( ) = ( s+ )( s ) () s s s 0 us () (0) () s = + ( s+ )( s ) 0 ( s+ )( s ) 0 s + (0 ) s + = s + us () + 0 (0 ) s (0 ) = 0 (0 ) = 0 (0 ) = 0 (0 ) = 0. Michael Šebek Pr-ARI-04-05 6

Uvažme kaskádu: (mód je odblokován vstupní nulou) přenos je. řádu a stabilní s gs () = = s+ s s+ ale úplný stavový popis je. řádu: pro u Příklad: Neřiditelný systém v = y, = u v = 0 y = u = 0 + y = [ 0] charakteristický polynom je p( s) = det( si A) = ( s + )( s ) Michael Šebek Pr-ARI-04-05 7

Geostacionární satelit Automatické řízení - Kybernetika a robotika geostacionární satelit řízený tangenciální silou (tahem tečně umístěného tryskového motoru) u tang 0 0 0 0 3ω 0 0 ω 0 = + u y 0 0 0 y 0 y 0 ω 0 0 y je řiditelný ale při řízení radiální silou 0 0 0 0 3ω 0 0 ω = + u y 0 0 0 y 0 y 0 ω 0 0 y 0 není řiditelný C tang tang rad,, π π ω = = T 3600 4 u rad 0 0 ω 0 3 0 ω 0 ω =, rank C 4 tang = 0 0 4ω 0 4ω 0 C rad požadovaná poloha 0 0 ω 0 ω 0 =, rank Crad = 3 0 0 ω 0 3 0 ω 0 ω Michael Šebek Pr-ARI-04-05 8

Vozík se dvěma kyvadly řízený horizontální silou Pohybové rovnice (standardní předpoklady) M () t = mgθ() t mgθ() t + F() t m () t + ml θ() t = mgθ() t m () t + ml θ () t = mgθ () t Stavové rovnice = θ = = θ = θ 4 3 = θ 4 = 3 = θ = θ 4 4 0 ( ) 0 + Ml l M lm Pro stejně dlouhá kyvadla je systém neřiditelný, matice řiditelnosti je singulární pro l = l Pro různě dlouhá kyvadla je řiditelný Pro skoro stejně dlouhá kyvadla je řiditelný špatně Dvě kyvadla na jednom vozíku 0 0 0 0 g m mg ( + ) 0 0 l M Ml lm = + Ft () 3 0 0 0 3 0 mg g m Michael Šebek Pr-ARI-04-05 9 M řid m g * ( + ) 0 0 M mg lm l M ll M m g * ( + ) mg 0 M 0 lm l M ll M = m g * ( + ) mg 0 0 M lm l M llm m g * ( + ) mg 0 M 0 lm l M llm det C g ( l l ) řid = 4 4 4 M l l

Příklad neřiditelnosti: špatný stavový model Jednou z možných příčin neřiditelnosti je redundantní stavový model Uvažme systém = A + Bu a dále z nějakého důvodu předpokládejme ještě další stavové veličiny úměrné těm z vektoru, definované vztahem z = F, pro které zřejmě z = F = FA + FBu Pro složený systém s meta-stavem = A 0 B z = A + Bu = + u FA 0 FB a jeho matice řiditelnosti C B A 0 B A 0 B FB FA 0 FB FA 0 FB = B AB A B = B AB A B I 0 B AB A B = = FB FAB FA B F I 0 0 0 je zřejmě singulární. Složený systém tedy není řiditelný (neboť jeho stavy nejsou nezávislé) Michael Šebek Pr-ARI-04-05 0

Příklad neřiditelnosti: jen vnitřní síly Neřiditelným je i systém obsahující pouze vnitřní síly a momenty, protože podle zákona akce a reakce síly uvnitř uzavřeného systému nemohou změnit polohu těžiště Soustava dvou vozíků s pasivní pružinou, f f na každý působí aktivní řídicí síla stejné k velikosti a opačného směru k f k f = v, = v, v = ( ), v = ( ) m m m m 0 0 0 0 0 m 0 c 0 0 0 0 0 m 0 c = A=, B= C = v km km 0 0 m m c 0 0 v km km 0 0 m m c 0 0 0 0 0 0 m 0 c m m 0 0 0 0 0 0 U = UC = rank C = 0 0 0 m c 0 0 c = k m + k mm 0 m m 0 0 0 0 0 c = k m k mm m Vnitřní síla změní vzdálenost vozíků, ale nikoli nezávisle jejich polohu Michael Šebek Pr-ARI-04-05 m

V obvodech s vyváženými můstky či podobných mechanických systémů Metodou uzlových napětí dostaneme rovnice Stavové rovnice v = + v + v + e 0 C R R3 CR 3 CR v = v + v + e 0 CR 3 C R R3 CR Pro rozdílové napětí platí Příliš mnoho symetrie působí neřiditelnost Cv + v e + v v = 0 ( ) ( ) 0 R R3 C v + v e + v v = 0 ( ) ( ) 0 R R3 CR CR v= v v v = + + v + + + v + e 0 C R R3 CR 3 C R R3 CR 3 CCRR Je-li můstek vyvážený, nezávisí rozdílové napětí na vstupu R + R + R 3 CR = CR v= v v v= v CRR 3 Tedy stavy nelze řídit nezávisle systém není řiditelný R R 3 v v Michael Šebek Pr-ARI-04-05 e 0 R C C

Další příklady neřiditelnost Automatické řízení - Kybernetika a robotika Michael Šebek Pr-ARI-04-08 3

Příliš mnoho symetrie působí neřiditelnost Totéž výpočtem matice řiditelnosti pomocí Symbolického Tb + C R R3 CR 3 CR A=, B = + CR CR 3 C R R3 CR = CR >> A=[-/C*(/R+/R3),/C/R3;/R3/C,-/C*(/R+/R3)], B=[/C/R; /C/R] A = [ -(/R + /R3)/C, /(C*R3)] [ /(C*R3), -(/R + /R3)/C] B = /(C*R) /(C*R) >> Con=simple(subs([B A*B],R,R*C/C)) Con = [ /(C*R), -/(C^*R^)] [ /(C*R), -/(C^*R^)] >> rank(con) ans = Michael Šebek Pr-ARI-04-05 4

Neřiditelnost kvůli špatné kompenzaci Jak neřídit obrácené kyvadlo Obrácené kyvadlo linearizované v horní poloze řízené momentem má přenos řídicího momentu na úhlovou odchylku třeba Ps () = ( s+ )( s ) Je zjevně nestabilní Někoho by mohlo napadnout použít kaskádní kompenzátor s Cs () = = s s Ten vykrátí nestabilní pól nulou, což vede na hezký přenos vhodný pro ZV řízení s Gs () = CsPs () () = = ( s+ )( s ) s ( s+ ) s Ale není to dobrý nápad a vede ke katastrofě: výsledný systém je neřiditelný! Michael Šebek Pr-ARI-04-05 5

Stavové rovnice složeného systému soustava + kompenzátor 3 3 = + u = = u Matice řiditelnosti složený systém je neřiditelný Neřiditelnost kvůli špatné kompenzaci 0 0 0 A= 0, B= 0 0 0 0 C =, rank C = 0 0 Charakteristický polynom složeného systému vs. jmenovatel přenosu ( ) det si A = ss ( + )( s ) as ( ) = ss ( + ) tedy neřiditelná (vykrácená) část je nestabilní Žádným řízením už tento složený systém nejde stabilizovat u 3 Michael Šebek Pr-ARI-04-05 6

Příklad stoupání letadla Náklon p a tedy stoupání letadla závisí na úhlu δe výškovek a slabě také na úhlu δa křidélek (ailerons), normálně jsou tam pro zatáčení p Fp ε p Gp 0 δe = + δ r 0 Fr r 0 Gr a kde ε je matice se všemi prvky malými Při řízení křidélky je matice řiditelnosti Špatná řiditelnost něco mezi C r 0 εgr ε( ) = Gr FG r r Čím mají prvky ε menší velikost, tím blíž singularitě je tato matice řiditelnosti Michael Šebek Pr-ARI-04-07 7

Vidění vs. pozorování Automatické řízení - Kybernetika a robotika vidění = přímé měření pozorování = měření + pamatování + výpočty GPS měří polohu tachometr měří rychlost poloha je integrálem rychlosti a rychlost je derivace polohy zrychlení rychlost poloha s+ a s z opakovaných měření polohy vypočteme rychlost = pozorování z měření rychlosti???? Michael Šebek zrychlení rychlost poloha s+ a rychlost s s Pr-ARI-04-08 zrychlení rychlost poloha s+ a s s??? 8

Pozorovatelnost a směrování satelitu Automatické řízení - Kybernetika a robotika ϕ d J ϕ = Fd C, =, u= F ω J c 0 0 = + u 0 0 Je-li výstupem poloha (úhlová výchylka), je systém pozorovatelný y = ω = [ 0] 0 O = 0 Je-li výstupem rychlost (úhlová), není pozorovatelný y = ω = [ 0 ] O 0 = 0 0 Michael Šebek Pr-ARI-04-05 9

Příklad: Nepozorovatelný systém Dva subsystémy v sérii, kde druhý není měřen, tvoří nepozorovatelný systém Například zpětnou vazbou od rychlosti nemůžeme řídit polohu Na těleso o hmotnosti m působíme silou f Pokud měříme jen rychlost a nikoli polohu, je systém nepozorovatelný f a Neboli: Poloha je z rychlosti nepozorovatelná v v = v 0 0 0 A =,, [ 0 ] f 0 0 B = = = m C O = 0 0 m Proto žádný regulátor měřící jen rychlost nedokáže řídit polohu, zpětná vazba od rychlosti k tomu nestačí Michael Šebek Pr-ARI-04-05 30

Příklad: Nepozorovatelný systém Automatické řízení - Kybernetika a robotika Nepomůže ani integrace rychlosti f v = v 0 0 0 0 0 v A 0 0 0, B m f, C [ 0 0 ] 0 0 = = m = = O = 0 0 0 0 0 0 = v Integrace rychlosti je něco jiného, než měření polohy! Ani sebelepší regulace rychlosti nedokáže řídit polohu, počáteční odchylka polohy zůstane v systému navždy, protože ji nic neměří! Michael Šebek Pr-ARI-04-05 3

Uvažme druhou kaskádu: (mód je odblokován výstupní nulou) přenos je. řádu a stabilní s gs () = = s+ s s+ ale úplný stavový popis je. řádu: pro Příklad: Nepozorovatelný systém s = u, s s + s s y = = = = s+ s+ s+, = y 0 = + u 0 y [ ] = Není pozorovatelný ps ( ) = det( si A) = ( s+ )( s ) C rank = rank = CA Michael Šebek Pr-ARI-04-05 3

Příklad úmyslně nepozorovatelného systému Dvoje hodiny (dva double integrátory) s 0 0 i = i + ui, i =, 0 0 Při synchronizaci chceme vynulovat rozdíl jejich výstupů, ale ne výstupy samotné Musíme (úmyslně) vytvořit nepozorovatelný systém a výstupní ZV stabilizovat jeho pozorovatelnou část 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = + 0 0 0 0 0 e= y y = [ 0 0 ] [ u u ] 0 0 0 0 0 O Příklad: Synchronizace hodin C 0 0 0 0 CA = =, rank O = CA 0 0 0 0 3 CA 0 0 0 0 = u s + s s ( ) ( ) e s Michael Šebek Pr-ARI-04-05 33

Příklad: Synchronizace hodin Jeho pozorovatelnou část stabilizujeme výstupní (dynamickou) ZV ( ) ( ) ( ) + [ ] ( ) = ( + ) s p s q s s q s p s 0. +.5s s + 3 = 0. +.5s s + 3 = = ( 0 ), ( 0 ) e Nepozorovatelná část (samotné hodiny) zůstává samozřejmě dál nestabilní Ale to tady právě chceme ( stabilizované hodiny by se zastavily) Michael Šebek Pr-ARI-04-05 34

Pozorování geostacionární družice Automatické řízení - Kybernetika a robotika Rovnice pohybu (Franklin 4ed. s. 63) radiální perturbace y délková perturbace u síla (tah) motoru ve směru zem. délky y měřený výstup u referenční zeměpisná délka požadovaná poloha ωy 3ω = 0 π π y+ ω ω = = = u Stavové rovnice 0 0 0 0 3ω 0 0 ω 0 = + u, y 0 0 0 y 0 y 0 ω 0 0 y [....][ ] y = y y 3600 4 Ze kterého výstupu je pozorovatelná? T T >> syms om >> A= [0 0 0;3*om^ 0 0 *om; 0 0 0 ;0 -*om 0 0];B=[0;0;0;] >> C=[ 0 0 0];C=C; >> OBS=[C;C*A;C*A^;C*A^3],rank(OBS) ans = 3 >> C=[0 0 0];C=C; >> OBS=[C;C*A;C*A^;C*A^3]; rank(obs) ans = >> C3=[0 0 0];C=C3 >> OBS=[C;C*A;C*A^;C*A^3];rank(OBS) ans = 4 >> C4=[0 0 0 ];C=C; >> OBS=[C;C*A;C*A^;C*A^3],rank(OBS) ans = 3 Michael Šebek Pr-ARI-04-05 35

Další příklady nepozorovatelnosti Automatické řízení - Kybernetika a robotika Michael Šebek Pr-ARI-04-08 36

Paralelní spojení Automatické řízení - Kybernetika a robotika u k s p k s p p 0 k = + u 0 p k pro p = p neřiditelné k kp 0 = k kp det 0 = kk p p ( ) k s p k s p y p 0 = + 0 p y = [ ] C = p p det C = p p ( ) pro p = p nepozorovatelné Michael Šebek Pr-ARI-04-05 37

Shrnutí Automatické řízení - Kybernetika a robotika části fyzicky odpojené od výstupu nejsou pozorovatelné části fyzicky odpojené od vstupu nejsou řiditelné s + řiditelná a pozorovatelná řiditelná ale nepozorovatelná s s 3 neřiditelná ale pozorovatelná neřiditelná a nepozorovatelná s 4 Michael Šebek Pr-ARI-04-05 38

Shrnutí Automatické řízení - Kybernetika a robotika 0 0 0 0 0 0 = + u 3 0 0 3 0 3 0 0 0 0 4 0 4 4 y = [ 0 0] ( s )( s 3)( s 4) ys () = us () ( s+ )( s )( s 3)( s 4) ( s )( s 3)( s 4) + 0 ( s+ )( s )( s 4) + 0 + + ( s )( s 3)( s 4)( s+ ) ( s+ )( s )( s 4)( s 3) 0 0 30 40 s + s s 3 s 4 stavy a faktory nepozorovatelných částí vymizí všude: nejsou prostě na výstupu vidět přenos je vnější popis systému ( s 3) ( s 3) 0 ( s+ ) 30 ys () = Us () + + ( s+ )( s 3) ( s 3)( s+ ) ( s+ )( s 3) 0 30 ys () = us () + + ( s+ ) ( s+ ) ( s 3) stav a faktor neřiditelné části vidět je, ale nelze ho vybudit vstupem Michael Šebek Pr-ARI-04-05 39

Přenos s+ s+ = s s+ s + s+ 0 ( ) Řiditelnost není vlastností přenosu [ ] můžeme realizovat kanonickou formou řiditelnosti, která je plně řiditelná, ale není pozorovatelná. 0 = u 0 + 0 y = Můžeme ho realizovat i kanonickou formou pozorovatelnosti, tedy jako pozorovatelný ale neřiditelný systém + s+ s+ = = s s s( s+ ) s + s+ 0 0 s s + + y = [ 0] = + u 0 0 Michael Šebek Pr-ARI-04-05 40