Příklady k řednášce. Úvod Michael Šebek Atomatické řízení 08 9-6-8
Kyvadlo řízené momentem Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Pohybová rovnice (. Newtonův zákon ro rotaci) J ϕ M ro moment setrvačnosti J ml M Flsinϕ c M mgl sinϕ c g Nelineární model vst-výst s + ml ϕ mgl sinϕ M c + sin ml y mgl y y ϕ M, c Fg m mg Nelineární stavový model s g sin + l ml y ϕ y, ϕ y, Mc Michael Šebek ARI-Pr-0-07
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Jen ro zajímavost: řesné řešení? Při hledání řešení (Mathieovy) rovnice ml ϕ+ mgl sinϕ rvní integrál ohyb (výočtem rychlosti z kinetické energie) dϕ g ( cosϕ cosϕ0 ) dt Dále bychom ostovali metodo searace roměnných ϕ ϕ d d dt t C g + g ( cosϕ cosϕ0) ( cosϕ cosϕ0) To ale vede na elitický integrál, který atří mezi tzv. neelementární (je dokázáno, že ho nelze sestavit z elementárních fnkcí) Přesné řešení tak jednodché rovnice (v zavřeném tvar) tedy neeistje! Michael Šebek ARI-Pr-0-07 3
Fázový ortrét Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Řešení nelineárních stavových rovnic ve fázovém rostor - ro. řád je D sin ϕ ϕ Složité křivky, nelze je osat elementárními fnkcemi SW: htt://www.bae.ncs.ed/eole/faclty/seaboch/hase/newhase.html Michael Šebek ARI-Pr-0-05 4
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika nelineární stavový model f(,, ) f,, racovní bod Linearizace stavového model ro SISO. řád ( ) (,, ) y h,,,, ozor: msí latit (,, ) (,, ) f,,, f,,, (,, ) y h,, lineární odchylková aroimace f f f + +,,,,, f f f + +,,,,, rotože racovní bod je řešením rovnic!,, h h h + + y,,,,,, Michael Šebek ARI-Pr-0-08 5
Kyvadlo stavová linearizace v obecné oloze Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Nelineární stavový model V obecném racovním bodě + + 0 a lineární odchylková aroimace je g sin + l ml y,,, y,, g cos, 0 ( 0 0) 0 l + + + + + ml y + 0 + 0 ϕ ϕ M g cos, + l ml y c y,, g sin + l ml y,,, Fg m mg Michael Šebek ARI-Pr-0-07 6
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Kyvadlo stavová linearizace v dolní oloze racovní bod v dolní oloze,,,, ϕ M, ϕ je ekvilibrim,,, (lyne z označení stavů a nelineárních rovnic) dále cos cos 0, takže,, ϕ lineární odchylková aroimace je g + l ml y,, g sin + l ml y Michael Šebek ARI-Pr-0-08 7
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Kyvadlo stavová linearizace v horní oloze racovní bod horní oloze π,,,, je také ekvilibrim,,, (lyne z označení stavů a nelineárních rovnic) dále cos cosπ, takže, ϕ π, ϕ M, 0 ϕ ϕ π ϕ lineární odchylková aroimace je g + l ml y, π, 0 g sin + l ml y Michael Šebek ARI-Pr-0-07 8
Kyvadlo stavová linearizace ve vodorovné oloze Atomatické řízení - Kybernetika a robotika racovní bod ve vodorovné oloze dorava π,, mgl,, je také ekvilibrim,,, (lyne z označení stavů a nelineárních rovnic) neboť klidový moment vyrovnává tíhové zrychlení dále cos, cosπ, takže lineární odchylková aroimace je ml y mgl volný ád ro konstantní ϕ ϕ ϕ π g sin + l ml y Michael Šebek ARI-Pr-0-07 9,, π
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Linearizace vnějšího model ro SISO. řád V říadě SISO systém.řád má IO model skalární tvar (,, ) N(,, ) D yyy Lineární odchylková aroimace v racovním bodě je ak y, y, y,,, D D D N N N y+ y + y + + y y y Michael Šebek ARI-Pr-0-07 0
Kyvadlo vnější linearizace v obecné oloze Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Nelineární model + ml y mgl sin y V obecném racovním bodě y, y, y,,,, který slňje ml y + mgl sin y 0 0 0 ml y+ y+ mgl cos y y + + y M ϕ c Fg mg m a lineární odchylková aroimace je ml y + mgl sin y y, y, y,, ml y+ mgl cos y y Michael Šebek ARI-Pr-0-07
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Kyvadlo vnější linearizace v dolní oloze racovní bod dolní oloze y, y, y,,, je ekvilibrim rotože cos y cos 0, takže lineární odchylková aroimace y y y ϕ ϕ ϕ M M M y ϕ ml y+ mgl y ml y + mgl sin y y, y, y,, Michael Šebek ARI-Pr-0-07
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Kyvadlo vnější linearizace v horní oloze racovní bod horní oloze y, y, y π,,, je také ekvilibrim dále cos y cosπ, takže y y y ϕ 0 y ϕ ϕ π π y y M M M 0 0 0 lineární odchylková aroimace je ml y mgl y ml y + mgl sin y y, y, y π,, Michael Šebek ARI-Pr-0-07 3
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Kyvadlo vnější linearizace ve vodorovné oloze racovní bod ve vodorovné oloze dorava y, y, y π,,, mgl ϕ ϕ je také ekvilibrim, neboť klidový moment vyrovnává vliv tíhového zrychlení dále cosϕ, takže cosπ lineární odchylková aroimace je ml y y, y, y π,, mgl ϕ + ml y mgl sin y π volný ád ro konstantní Michael Šebek ARI-Pr-0-07 4
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Kyvadlo ještě jedno totéž maticově ϕ y, ϕ y, Mc f(,, ), g g f f(,, ) sin + sin + l ml l ml y y h, h (,, ) f f f 0 0 f g f A, B (, ) f f cos, 0 (, ) f l ml h h h h h C [ 0], D (, ) (, ) g cos, + t () l ml yt () Michael Šebek ARI-Pr-0-08 5
Kyvadlo - aroimace v obecné oloze Atomatické řízení - Kybernetika a robotika ϕ y, ϕ y, Mc g sin + l ml y g cos, + t () l ml yt () Nelineární Lineární dole nahoře vodorovně y ϕ y ϕ cos 0,, y ϕ π y ϕ cosπ,, y ϕ π y ϕ cosπ,, Michael Šebek ARI-Pr-0-06 6
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Kyvadlo - aroimace IO v obecné oloze + ml y mgl sin y D( yyy,, ) N( ) D D D N y y y mgl cos y,, ml, ml y + mgl cos y y dole nahoře vodorovně y ϕ y ϕ cos 0,, y ϕ π y ϕ cosπ,, y ϕ π y ϕ cosπ,, Michael Šebek ARI-Pr-0-06 7
Geometrická interretace Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Linearizace ve fázovém ortrét ϕ sin, kržnice ϕ hyerboly araboly π, Michael Šebek ARI-Pr-0-05 8 π, ( )
Někdy lineární aroimace neeistje Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Nehladká fnkce: diody, tlmiče f( ) Různé fnkce, řeínání, (event-driven) skákající míč Nesojitá fnkce: relé, Colombovo tření Není to fnkce (v matematickém smysl): hystereze (závislost na dráze) f( ) f( ) elektrická: feroelektrický materiál elastická: gmička termostat, Schmidtův sínač Michael Šebek ARI-Pr-0-05 9
Někdy lineární aroimace eistje, ale neomůže Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Některé nelineární sostavy neomůže lineárně aroimovat f ( ψ ) Příklad: kinematika ata v rovině cos 3 sin 3 3 3 Přibližná linearizace v okolí bod (0,0,0) je 0 0 0 0 0 0 není řiditelná A 3 3, B 0 0 0 0 0 0 0 0 Con 3 0 0 0 0 0 0 Intitivně známý fakt: atem nelze římo ohnot do strany Můžeme oojíždět vřed-vzad s střídavým natáčením kol, ale to ž je nelineární řízení To lyne z tzv. ne-holonomického omezení sin 3 cos 3 které latí, okd kola nekložo do strany Michael Šebek ARI-Pr-0-05 0
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Aroimace ro nelinearity dané grafem Magnetický levitátor s kličko (zjednodšené magnetické ložisko) rovnice ohyb kličky m f (,) m i mg kde síla elektromagnet je teoreticky f (,) m i, ale rakticky složitější eerimentálně změřené křivky (klička d cm, m 8,4.0-3 kg) mg.084mn ekvilibrim magnetická síla vyrší gravitaci Michael Šebek ARI-Pr-0-05
okračování Atomatické řízení - Kybernetika a robotika i f i mg m m 8,4.0-3 3 0, 600mA, 3mm, m(, ) kg, 8, 4.0 kg m fm(,) i mg fm fm m( 0 + ) fm(, i) + + i mg i m f m + i rčíme z graf jako směrnici fm, i Lineární aroimace je 4 N m f i m i i i odhadneme z graf i fm f(, i ) f(, i ) 0 4 0 i i i 3 3 3 3, i 3 (700 500) 0 667 + 47, 6 i 0.4 N A kde signály jso v jednotkách SI [m], ia [ ] Michael Šebek ARI-Pr-0-05
Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Logistické zobrazení Nelineární diskrétní systém k ( + ) rk ( )( k ( )) demografický model - vystihje jevy: ro malé olace otimisms (míra růst roste úměrně s velikostí olace), ro velké olace vyhladovění (míra růst klesá úměrně rozdíl úživnost rostředí mins velikost olace) chování silně závisí na arametr r řešení avčinovým diagramem bifrkace Michael Šebek ARI-Pr-0-08 3