projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu: Poslouposti - obecé vlstosti (včetě jejich důkzu mtemtickou idukcí), ritmetická posloupost: teorie, sd úloh procvičeí s výsledky. Mteriály jsou určey pro bezplté používáí pro potřeby výuky vzděláváí všech typech škol školských zřízeí. Jkékoliv dlší využití podléhá utorskému zákou.
projekt GML Bro Doces Název DUMu: M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvdepodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum: 6..0 Ročík: mturití semiář.a,.b, 8.AV, 6.AF, 6.BF Aotce DUMu: poslouposti defiice, vlstosti,it poslouposti, věty o itách, soubor příkldů s výsledky procvičeí. 9. Poslouposti : obecé vlstosti ( včetě jejich důkzů mtemtickou idukcí), Aritmetická posloupost Fukce, jejímž defiičím oborem je moži N všech přirozeých čísel, se zývá posloupost. Fukčí hodoty poslouposti se zývjí čley poslouposti. Fukčí hodot poslouposti v bodě N se zývá -tý čle poslouposti zčí se místo f ( ) prvidl u, v,, b pod. Fukčí přepis poslouposti ( ) u je zprvidl zdá jedím z těchto dvou způsobů: ) vzorcem pro -tý čle u, př. u, u b) rekuretě zdáím prvího čleu poslouposti ebo ěkolik prvích čleů poslouposti vzorcem, podle ěhož lze určit postupě dlší čley, př. u u + u Grfem poslouposti je vždy moži vzájem izolových bodů. Posloupost ( ) u se zývá hor omezeá posloupost, existuje-li tkové číslo h R, že u h pro kždé N Zdol omezeá posloupost, existuje-li tkové číslo h R, že u h pro kždé N Omezeá posloupost, je-li omezeá shor i zdol Rostoucí posloupost, je-li u + > u pro kždé N. Klesjící posloupost, je-li u + < u pro kždé N Neklesjící posloupost, je li u + u pro kždé N Nerostoucí posloupost, je li u + u pro kždé N Rostoucí, klesjící, eklesjící erostoucí poslouposti zýváme souhrě mootóími posloupostmi. Limit poslouposti Říkáme, že reálé číslo l je it poslouposti ( ) u se čley u R, právě když ke kždému ( jkkoli mlému ) číslu ε > 0 existuje přirozeé číslo 0 tkové, že pro všech je ( l ε l + ε ) 0 u ; čili pltí erovost u l ε. kutečost, že posloupost ( ) u má itu l R, vyjdřuje zápisem l u
Poslouplosti, které mjí vlstí itu (l je koečé číslo) se zývjí kovergetí poslouposti. Poslouposti, jež ejsou kovergetí, se zývjí divergetí poslouposti (divergují k + ebo - ebo jsou oscilující). Věty o itách posloupostí V: Kždá posloupost má ejvýše jedu itu. V: Kždá kovergetí posloupost je omezeá. V: Kždá mootóí omezeá posloupost je kovergetí. b jsou kovergetí c je libovolé reálé číslo. Pk V: Nechť poslouposti ( ) +, ( ) + jsou kovergetí i poslouposti, ( ) + b, ( ) + b, ( ) + kovergetí tké posloupost b ) + b b) c) d c + + pltí: ( ) + b ( b ) b ( b ) b ( c ) c ) ) b b b 0 c, je-li b 0 je Aritmetická posloupost je kždá posloupost určeá rekuretě vzthy, + + d pro všech N,d jsou dá čísl. Číslo d se zývá diferece ritmetické poslouposti. Věty o vlstostech ritmetických posloupostí: Pro kždou ritmetickou posloupost ( ) + pltí: - -tý čle ritmetické poslouposti lze vyjádřit vzorcem + ( ) d - pro libovolé dv čley r, s ritmetické poslouposti pltí s r + ( s r) d - pro součet prvích čleů ritmetické poslouposti pltí ( + ) ( + ( ) d ), kde
Příkldy: )(VŠE) Npišme prvích sedm čleů poslouposti dé rekuretím vzorcem:, 0, / 0,,,, -, -, -0 + ) (VŠE) V poslouposti defiové rekuretím vzorcem vypočtěte 6. +, 5, /, 6 ) V poslouposti ( y) x + je, 8. Určeme čísl x, y. / x, y. 5 + ) (VŠE) Dokžme, že posloupost ( ) je klesjící. 5) (VŠE) Zjistěte, které z čísel 0, 5, 50 je čleem poslouposti ( ). / 5, kde 6) Posloupost je defiová rekuretě pro všech N vzthem u + u, prví čle u. Dokžte mtemtickou idukcí ) u 5 pro kždé N. u je klesjící. b) posloupost ( ) 7) ) Posloupost je defiová rekuretě pro všech N vzthem u u, prví čle u. Dokžte mtemtickou idukcí: u je shor omezeá číslem ) posloupost ( ) b) posloupost ( ) u je rostoucí. + + 8) (VŠE) V ritmetické poslouposti je, d. Určeme všech přirozeá, pro která pltí 0. / 0 9) (VŠE) V ritmetické poslouposti pltí + 5 8, + 6. Npište prvích pět čleů této poslouposti. / -8, -6, -, -, 0 0) (VŠE) Určete d v ritmetické poslouposti, ve které pltí + 7, 88. /. d
) (VŠE) Mezi kořey kvdrtické rovice x x 0 0 vložte deset čísel tk, by spolu s těmito kořey vziklo prvích dváct čleů ritmetické poslouposti. Určete d. 0, d ebo, d ) (VŠE) V ritmetické poslouposti, kde 0, d jděte čle, který se rová jedé čtráctiě součtu všech předcházejících. ebo 0 5 6 ) (MZLU)V ritmetické poslouposti určete prví čle, je-li dáo:.,... 9 7 6, 5 9, 9, 8 5 Výsledky :.... 7 8 ) (MZLU)V ritmetické poslouposti je dáo : ) 8, d / 5, určete 8 e ) 8, 5 7, určete 5 b ) /, d, určete f ) 8, 7 87, určete 7 c ) 9 /, d, určete 9 g ), 0 0, určete d ), d / 8, určete h ), 0 5, určete Výsledky : ) f ) 8 7 5 5 57 b) g) 69 87 c) 9 d) 76 h) 57 7 e) 5 570
5) (MZLU)Je-li dá posloupost ritmetická, určete d 5 : ) + d) 5 + b) 5 + c) e) + f){ } Výsledky : b) d) 5 f ) 5 80 ) 0 5 c) e) 75 5 65 6) (MZLU) Určete součet všech sudých přirozeých čísel meších ež 50. /5550 7) (MZLU) Určete součet všech lichých přirozeých čísel meších ež 50. /565 8) (MZLU) Určete součet všech přirozeých dvojciferých čísel. /905 9) (MZLU) Určete součet všech přirozeých trojciferých čísel. /9550 0) (MZLU) Určete součet všech dvojciferých přirozeých čísel dělitelých pěti. /95 ) (MZLU) V ritmetické poslouposti,,..., 7, je, d. Vypočtěte ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 8... 8 7 7 / 8 ) (MZLU) Vypočtěte, když i je imgiárí jedotk: i 6 i i i...i /
) (MZLU) Délky str prvoúhlého trojúhelíku tvoří tři po sobě jdoucí čley ritmetické poslouposti. Určete délku přepoy, když: ) delší odvěs je cm b) rozdíl délek odvěse je 5 cm c) krtší odvěs je 6 cm Výsledky: ) 5 cm b) 5 cm c) 0 cm )(VUT) Určete prvích 5 čleů poslouposti { } ritmetická.,,7,0, je ritmetická rozhoděte, zd je tto posloupost Litertur: ) bírk příkldů z mtemtiky k přijímcím zkouškám VŠE, utoři: Mrt Rosická Ld Eliášová, IBN 80-869-6-9 ) Mtemtik příkldy pro přijímcí zkoušky, RNDr.Petr Rádl kolektiv, IBN 80-757- 65-5