Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme po řadě F ( y) a f ( y) distribuční funkci a hustotu rozdělení veličiny Y Pak Odtud plyne, že y) Y < y) y, < y) < y ) = y y f ( y) = F ( y) = y y, y < y <, < y <, Speciálně je y ˆ = (bod s největší hustotou pravděpodobnosti) a ~ y = (bod, v němž distribuční funkce nabývá hodnoty ) Dále je Podobně a tedy Y ) = yf ( y) d y = y dy = 3 Y 3 ) = y f ( y) d y = y dy =, D ( Y ) = Y ) E ( Y ) = 8 Úloha Nechť a Y jsou dvě čísla vybraná zcela náhodně a nezávisle na sobě z intervalu (, ) Položme Z = ma(, Y) Popište rozdělení pravděpodobností veličiny Z Řešení Označme po řadě F (z) a f (z) distribuční funkci a hustotu rozdělení veličiny Z Pak z) Z < z) = P [( < z) & ( Y < z) ] < z) P( Y < z) = z z, < z <, z Maimum dvou čísel vybraných zcela náhodně a nezávisle na sobě z intervalu (, ) má tedy stejné rozdělení pravděpodobností jako druhá odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Úloha 3 Nechť a Y jsou dvě čísla vybraná zcela náhodně a nezávisle na sobě z intervalu (, ) Položme Z = min(, Y ) Popište rozdělení pravděpodobností veličiny Z a vypočítejte jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Návod: Uvědomte si, že rozdělení minima dvou čísel vybraných zcela náhodně a nezávisle na sobě z intervalu (, ) je zrcadlovým obrazem rozdělení jejich maima
Úloha 4 Určete konstantu c tak, aby funkce f( )= e byla hustotou rozdělení nějaké náhodné veličiny Pro takovou veličinu určete dále P ( 3 < < 3) Výsledek: Konstanta c se určí z podmínky c + e f ( ) d = Vyjde c = π Dále pak P ( 3 < < 3) =, 937,35,3,5,,5,,5-5 -4-3 - - 3 4 5 Ob á k Úloha 5 Nakreslete graf funkce f( )= + a dokažte, že neeistuje konstanta c taková, aby funkce cf ( ) byla hustotou rozdělení nějaké náhodné veličiny Návod: Je f ( ) d = Úloha 6 Dokažte, že funkce definovaná předpisem <, f ( ) = cos π, > π je hustotou rozdělení nějaké náhodné veličiny Určete P ( > π 4) Dále určete distribuční funkci veličiny a vypočítejte její modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Funkce f () je nezáporná, přičemž což bylo dokázat Dále je π π [ sin ] = = f ( ) d = cos d =,
P( > π 4) = P( < π 4) = π 4 f ( ) d = π 4 cos d = Distribuční funkce má vyjádření π 4 [ sin ] = ( ) = =,9 ) = sin <, π > π Konečně je ~ π ˆ =, = π 6, ) =, D( ) = π 3, Tvrzení (o střední hodnotě transformované náhodné veličiny) Jestliže je spojitá náhodná veličina s hustotou rozdělení f () a t () je spojitá reálná funkce, pak střední hodnotu veličiny t ( ) platí E [ t )] ( = t( ) f ( ) d Úloha 7 Nechť je pevně dané reálné číslo a je číslo vybrané zcela náhodně z intervalu (,) Určete medián a střední hodnotu veličiny Řešení Snadno nahlédneme, že medián veličiny Speciálně ) = + d = +, je Dle předchozího tvrzení pak =, + jestliže > jestliže E ( ) = ) = a = E ( ) ) = 3 Úloha 8 Nechť τ je veličina s eponenciálním rozdělením s parametrem λ Jinak řečeno τ je spojitá náhodná veličina s hustotou f (t) definovanou předpisem λe f ( t) = t >, t Určete distribuční funkci, modus, medián, střední hodnotu a rozptyl tohoto rozdělení Řešení Zřejmě je ˆ τ = Pro distribuční funkci obdržíme vyjádření e t) = t >, t Medián ~ τ získáme řešením rovnice F ( ~ τ ) = Vyjde ~ τ = ln λ Dále je
Položme Podobně Položme Tudíž u = t, u = t, v λ t d τ ) = λte t t = λe λ a použijme integraci per partes Dostaneme ( τ ) = te + e t = te e = λ v [ ] [ ] [ ] λ E d ) λ t d τ = λt e t t = λe λ a použijme integraci per partes Dostaneme = [ t e ] + te t = τ ) d λ D ( τ ) = τ ) E ( τ ) = λ Úloha 9 Nechť střední délka života jedince v populaci s konstantní mortalitou je třicet let a) S jakou pravděpodobností se jedinec dožije čtyřiceti let? b) S jakou pravděpodobností se desetiletý jedinec dožije čtyřiceti let? c) S jakou pravděpodobností jedinec zemře mezi deseti a čtyřiceti lety? d) Jakého věku se dožije v průměru polovina jedinců? 4 3 Výsledek: a) e =, 6, b) 4 3 3 = 3 4 3 e e e =, 37, c) e e =, 45, d) 3 ln =, 8 Úloha (Cauchyovo rozdělení) Střelec střílí z kanónu na nekonečně dlouhou stěnu, která se nachází ve vzdálenosti b od kanónu Kanón se otáčí rovnoměrnou rychlostí střídavě doleva a doprava Maimální úhlová odchylka hlavně kanónu od směru kolmého ke stěně je přitom ± 9 Při každé otočce zvolí střelec zcela náhodně právě jediný okamžik, kdy z kanónu vystřelí Označme souřadnici zásahu (nulová hodnota souřadnice odpovídá výstřelu ve směru kolmém ke stěně) Popište rozdělení náhodné veličiny a dokažte, že toto rozdělení nemá střední hodnotu stěna b Φ kanón směr výstřelu Řešení Označme Φ velikost úhlové odchylky směru výstřelu od směru kolmého ke stěně Dle zadání úlohy je Φ náhodná veličina s rozdělením R ( π /, π / ) Předpokládejme nejprve, že b =, tj = tg Φ Označme po řadě ) a f( ) distribuční funkci a hustotu rozdělení veličiny Pak a tedy ) < ) tg Φ < ) Φ < arctg ) = arctg +, π f( ) = F ( ) = π +
,35,3,5,,5,,5-5 -4-3 - - 3 4 5 Hustota Cauchyova rozdělení s parametry a =, b = Pro obecné b je = btg Φ a b f ( ) = π b + Konečně, přiřadíme-li bodu stěny s nejmenší vzdáleností od kanónu souřadnici a (namísto souřadnice nulové), je = a+ btg Φ a b f ( ) = π b + ( a) Výše popsané rozdělení se nazývá Cauchyovo (s parametry a, b ) Pro a =, b = je Cauchyovo rozdělení speciálním případem tzv Studentova t rozdělení Pokusme se nyní vypočítat střední hodnotu Cauchyova rozdělení (pokud by střední hodnota eistovala, musela by být vzhledem k symetrii Cauchyova rozdělení rovna hodnotě parametru a ) Zřejmě se přitom můžeme omezit na případ a =, b = Dle definice střední hodnoty je pak Funkce + ) = d π + je lichá, přičemž její kladná i záporná část mají stejný integrál; totiž + Tento integrál nabývá však hodnoty (stačí vést substituci = y) Výsledkem výpočtu integrálu d je tedy neurčitý (a v daném kontetu nedefinovatelný) výraz + Empirickým důsledkem tohoto faktu je skutečnost, že aritmetický průměr vzájemně nezávislých náhodných veličin,,, n s Cauchyovým rozdělením pravděpodobností s týmiž parametry a, b není stabilní, tj nemá tendenci přibližovat se s rostoucím n k nějaké pevné hodnotě Lze přitom ukázat, že tento průměr má bez ohledu na velikost čísla n opět Cauchyovo rozdělení s parametry a, b Chce-li tedy pozorovatel, který pozoruje zásahy děla na stěně, ale dělo přitom nevidí, odhadnout polohu tohoto děla (tj hodnotu parametru a), nebude mít úspěch, jestliže ze zaznamenaných souřadnic zásahů vypočítá aritmetický průměr Polohu děla lze ovšem poměrně přesně lokalizovat mediánem jednotlivých zásahů Nejlepší odhad této polohy lze zkonstruovat užitím tzv metody maimální věrohodnosti d
Úloha a) Nechť a Y jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny, ~ R(,), Y ~ R(, ) Dokažte, že součet + Y má lichoběžníkové rozdělení a určete pravděpodobnost, že tento součet je větší než jedna Dále určete modus, medián, střední hodnotu a rozptyl veličiny + Y b) Nechť je součet čtyř čísel vybraných zcela náhodně a nezávisle na sobě z intervalu (,) Určete modus, medián, střední hodnotu a rozptyl veličiny