Kapitoa 1 Stabiita přímých prutů 1.1 Úvod Předpokádejme, že tvar stačovaného přímého prizmatického prutu je ideání. To znamená, že předpokádáme jeho přímý tvar, výsedná sía působí v jeho podéné ose a materiá je homogenní. Oba konce jsou uoženy koubově a třecí síy v uožení neuvažujeme. Chování prutu bude závisé na poměru jeho déky a geometrických charakteristik průřezu(obr. 1.1). U krátkého prutu budou vnitřní síy, reprezentované normáovým takovým napětím, s rostoucí siou narůstat. Osa prutu zůstane přímá v ceém procesu zatěžování, prut se nachází ve stabiní rovnováze mezi vnitřními a vnějšími siami. v() v() v v v v Obrázek 1.1: Štíhý prut je na počátku zatěžování rovněž ve stavu stabiní rovnováhy. Přesvědčímeseotomtak,žepřímýprutmírněvybočímepříčnousiou(obr.1.1vpravo) a uvoníme. Prut se vrátí do přímé poohy a obnoví se stabiní rovnováha vnitřních a vnějších si. Při daším zvyšování síy na určitou veikost prut tuto vastnost ztratí. 1
Po vybočeníosy prutuse prutpřitéto veikosti síy dostabiní poohy nevrátí a zůstane v prohnutém stavu, který mu by uděen. Tento stav rovnováhy označujeme jako indiferentní. Sía dosáha kritické hodnoty. Prut je nyní při vybočení namáhánkromětakutakéohybem.dašíminepatrnýmzvýšenímkritickésíy kr nebo narůstáním průhybu nastane zhroucení prutu. Rovnováha je abiní(nestabiní). Anaogii k uvedené definici stabiní, indiferentní a nestabiní rovnováhy uvedeme z mechaniky tuhých těes(obr. 1.2). Těeso kuička je ve stabiní rovnováze jestiže se povychýenívrátízpětdovýchozípoohy(obr.1.2vevo).naobr.1.2vpravojenaznačen abiní stav rovnováhy. Sebemenší impus způsobí samovoný pohyb těesa, který se zastaví až při zaujmutí zcea jiné rovnovážné poohy. Stav mezi stabiní a abiní rovnováhou je znázorněn na obr. 1.2 uprostřed. Přechod mezi oběma stavy je tvořen indiferentní rovnováhou. Kuička zůstává v ibovoné vychýené pooze. Rozhodující Obrázek 1.2: Stabiní rovnováha(vevo), indiferentní rovnováha(uprostřed) a abiní rovnováha(vpravo). proposouzenístabiityštíhýchprutůjestanoveníkritickésíy kr.vzpěrypoužívané v prai mají od ideáního geometrického tvaru odchyky vznikající pode použité technoogie v průběhu výroby a při apikaci výrobku. Mohou se vyskytovat i materiáové nehomogenity. Zde budeme kritickou síu určovat na prutech ideáního tvaru a viv různých odchyek a daších vivů zahrneme do součinitee bezpečnosti. Při sestavování rovnic rovnováhy jsme v předchozích kapitoách zanedbávai změny tvaru těes, které vznikay v důsedku působení vnějších si. Postupovai jsme pode teorie 1. řádu, pode které ze, vzhedem k zanedbatené veikosti deformací vůči rozměrům vyšetřovaných těes, sestavovat rovnice rovnováhy na nedeformovaném těese. Indiferentnímustavurovnováhystačovanéhoprutukritickousiou kr odpovídá prohnutý stav, vyvoaný příčnou siou. Po odstranění příčné síy zůstane prut v prohnutém stavu(obr. 1.1 vevo) jen za působení ohybového momentu M oz () = kr v() (1.1) Při vyšetřování stabiity přímých prutů musíme tudíž vycházet z přetvořené střednicepodeteorie2.řádu.veikostkritickésíy kr jezávisánatuhostistačovaného prutu. To znamená na rozměrech, materiáu, ae také na uožení jeho konců. Pode uožení konců prutu se rozišují čtyři zákadní případy stabiity vzpěru přímých prutů (obr.1.3). V technické prai ze obvyke sedované případy zařadit do jednoho ze čtyř zákadních případů a stanovit minimání veikost kritické síy. Na obrázku 1.3a je uveden prvnípřípadvzpěru.najednomkoncijevzpěravetknutaadruhýkonecjevoný.vdruhém případě vzpěru(obr. 1.3b) jsou oba konce uožené koubově s možností osového 2
posuvu. V třetím případě(obr. 1.3c) je jeden konec vzpěry vetknutý, druhý konec je uožený koubově s možností osového posuvu. Ve čtvrtém případě jsou oba konce prutu (obr. 1.3d) vetknuté s možností osového posuvu jednoho konce stačovaného prutu. Vetknutí předpokádáme nepoddajná. a b c d Obrázek 1.3: 1.2 Euerova kritická sía 1.2.1 První případ vzpěru Přivýpočtukritickésíy kr vycházímezindiferentníhostavurovnováhy.připůsobení této síy může být prut vychýen(obr. 1.4). Veikost průhybu v() je v mezích Hookeova zákona ibovoná, tj. c je ibovoné vychýení konce prutu. Vobecnémřezu ξjeprůhyb v().ohybovýmomentvtémžeřezu M o () = kr (c v()) (1.2) Diferenciání rovnice průhybové čáry, za předpokadu maých výchyek má tvar Zavedeme v () = d2 v() d 2 Po úpravě má rovnice(1.3) tvar = M o() EJ z = + kr EJ z (c v()) (1.3) kr EJ z = α 2 (1.4) v () + α 2 v() = α 2 c (1.5) 3
c kr v() c-v() ξ v Obrázek 1.4: Rov.(1.5) je nehomogenní ineární diferenciání rovnice 2. řádu s konstantními činitei. Její partikuární integrá je zřejmě v p = c a obecný integrá nehomogenní rovnice má tvar kde AaBjsouintegračníkonstanty. v() = Asinα + Bcosα + c, (1.6) Vevetknutípro = je v() =.Pakintegračníkonstanta B = c Ve vetknutí je současně okrajová podmínka pomocí které stanovíme druhou integrační konstantu v () =, (1.7) A = Po dosazení konstant A a B do rov.(1.6) obdržíme rovnici průhybové čáry vzpěry s jedním vetknutým koncem ve tvaru v() = c(1 cosα) = cη(), (1.8) kde cjevastněibovonáampitudakřivky η() = (1 cosα).prokoncovýbod vzpěry je průhyb v() = c = c(1 cosα), odkud stanovíme ccosα = (1.9) 4
Pro spnění rovnice mohou nastat dva případy: a)buďje c = b)nebo cosα = prutjepřímýavzpěrnásía < kr,rovnováhajestabiní; cožznamená,žejemožnáibovonávýchyka cvmezíchhookeovazákona jednáseoindiferentnírovnováhuasía = kr aproargument αpyne α = k π 2, (1.1) kde k = 1,3,5... Pomocí rovnice(1.4) určíme kritickou síu kr = α 2 EJ z = k2 ( π ) 2EJz 2 (1.11) 2 Minimání veikost kritické síy pro první případ vzpěru určíme pro k = 1 ze vztahu I kr = π2 4 EJ zmin 2 (1.12) K případnému prohnutí prutu dochází koem osy, ke které je kvadratický moment průřezu Jminimání.Vpředchozíchvztazíchjsmepředpokádai,že J min = J z. Znovu je vhodné připomenout, že v rov.(1.3) jsme předpokádai patnost Hookeova zákona, tudíž vztah pro kritickou síu(1.12) ze použít pouze v případě, že kritické napětí nepřestoupí mez úměrnosti materiáu vzpěry σ kr = I kr A σ u (1.13) ProbémystabiitypřímýchprutůřešiLeonardEuer.Protosekritickásía kr často označujeanazývájakoeuerova ε. Tvary průhybové čáry vzpěry 1. případu, odpovídající indiferentní rovnováze pro k = 1,3,5...jsouuvedenynaobrázcích1.5Tytodašítvaryjsouabiníaprotovyžadují k dosažení vyšších hodnot kritické síy boční podporu. 1.2.2 Druhý případ vzpěru Dokonae přímý prizmatický prut, zatížený osovou siou působící v těžištti průřezu je uožen oběma konci koubově s možným osovým posuvem jednoho koubu(obr. 1.6). V indiferentním stavu rovnováhy prutu je možný průhyb s deformacemi v mezích Hookeova zákona. V obecném řezu ξ působí ohybový moment Diferenciání rovnice průhybové čáry má tvar M o () = kr v() (1.14) v () = M o() EJ z = kr EJ z v() (1.15) 5
kr1 = π2 4 E J z min 2 kr3 = 9 π2 4 E J z min 2 kr5 = 25 π2 4 E J z min 2 /3 /5 k=1 k=3 k=5 Obrázek 1.5: Poúpravěje kde opět v () + α 2 v() =, (1.16) α 2 = kr EJ z Rovnice(1.16) je homogenní ineární diferenciání rovnice druhého řádu s konstantními činitei. Její integrá je v() = Acosα + Bsinα (1.17) A, B jsou integrační konstanty, které stanovíme z násedujících okrajových podmínek: 1. pro = zrovnice(1.17)pyne Rovnice průhybové čáry je sinusoida o ampitudě B. 2. pro = zrov.(1.19)obdržíme v() = = A (1.18) v() = Bsinα (1.19) v() = = Bsinα (1.2) Podmínka(1.2)jespněnajestiže B = nebo sinα =.Vprvnímpřípaděpode rov.(1.19) nevzniká, pro ibovonou síu, průhyb, což znamená, že se jedná o statickou rovnováhuasía neníkritická.vdruhémpřípaděje sinα =,když α = kπ (1.21) 6
kr v() ξ v Obrázek 1.6: a k = 1,2,3... (1.22) Minimáníhodnotukritickésíydruhéhopřípaduvzpěruurčímepro k = 1aJ zmin II kr = π2ej zmin 2 (1.23) Vyšší hodnoty k poskytují větší kritické síy, ae tvar průhybové čáry v indiferentním stavu rovnováhy vyžaduje opět boční podporu(obr. 1.7). v() = Bsin kπ Vybočení vzpěry nastane v rovině nejmenší ohybové tuhosti. Z toho je patrné, že pruty s rozdínými kvadratickými momenty, např. I nebo U profi, jsou pro apikace jako vzpěryméněvhodné.optimáníjsouprutysprůřezy,kde J 1 = J 2 jakojekruhový průřez, čtvercový průřez nebo trubka. Navrhování vzpěry z více profiů je výhodné sestavittak,abyrozdímezi J ma a J min byconejmenší. 1.2.3 Třetí případ vzpěru Uožení konců vzpěry třetího případu je sožitější. Jeden konec je uožen pode prvního případu, druhý pode druhého případu vzpěru(obr. 1.8). Toznamená,žejedenkonecjevetknutýadruhýjeuoženkoubověsmožnostíposuvu koubu ve směru přímé osy prutu. Při prohnutí vzpěry, odpovídající indiferentnímu stavurovnováhy,vznikávkoubovémuoženípřipůsobeníosovésíy kr horizontání sía H.Ohybovýmomentodtěchtosivobecnémřezu ξjeroven M o () = kr v() H( ) (1.24) 7
kr1 = π 2 E J z min 2 kr2 = 4 π 2 E J z min 2 kr3 = 9 π 2 E J z min 2 /2 /3 /3 /2 /3 k=1 k=2 k=3 Obrázek 1.7: Vzpěra se nachází v indiferentním stavu rovnováhy mezi vnějšími a vnitřními siami a průhyb prutu je v mezích patnosti Hookeova zákona. Diferenciání rovnice průhybové čárymápaktvar Opět zavedeme v () = M o() EJ z = [ kr v() H ] ( ) EJ z kr α 2 = kr EJ z, tj. (1.25) Integrá diferenciání rovnice(1.26) má tvar v () + α 2 v() = α 2 H kr ( ) (1.26) v() = Acosα + Bsinα + v p (1.27) A, Bjsouintegračníkonstantyav p partikuárníintegrá,kterývzávisostinapravé straně rov.(1.26) odhadneme ve tvaru v p = K( ), (1.28) kde K je konstanta, kterou získáme pro dosazení odhadu partikuárního integráu(1.28) do rov.(1.26) + α 2 K( ) = α 2 H kr ( ), odkud K = H kr a v p = H kr ( ) (1.29) 8
kr H v() ξ v Obrázek 1.8: Obecné řešení nehomogenní rov.(1.26) je v() = Acosα + Bsinα + H ( ) (1.3) kr Nyní stanovíme integrační konstanty A, B z okrajové podmínky uožení konce vzpěry: 1. pro = je v() = a 2. pro = je v () = a A = H kr B = 1 α H kr Hodnoty integračních konstant dosadíme do řešení(1.3), takže pro průhyb obecného místa osy vzpěru v indiferentním stavu rovnováhy pyne: v() = H ( ) sinα cosα + (1.31) kr α Průhybvzpěryvmístěkoubu,tj.vmístě = jezavšechpodmíneknuový: v() = = H ( ) sinα cosα (1.32) kr α Ztvarutétorovnicejepatrné,žemohounastatdvaodišnépřípady.Buďje H kr = : (1.33) Toznamená,žejepříčnásía H =,vzpěraneníprohnutá-jednáseostabiní rovnováhuapůsobícíosovátakovásía < kr.pokudjesía H,pakpode rov.(1.32) je sinα cosα = (1.34) α 9
nebo po úpravě tgα = α (1.35) Názorný grafický způsob stanovení kořenů této transcendentní rovnice je uveden na y tg (α) y = α π/4 α = 4,493 α π/2 π/2 π/2 Obrázek 1.9: obr. 1.9. Rovnici(1.35) vyhovuje kořen α =, což je nezatížená vzpěra. Daší kořen je α = 4,493, (1.36) tudíž α 2 2 = 4,493 2 2,19 2π 2, odkud nejmenší kritická sía pro třetí případ vzpěru je nebo přesněji III kr III kr. = 2π 2EJ zmin 2 (1.37). = π 2EJ zmin (,7) 2 (1.38) 1.2.4 Čtvrtý případ vzpěru U čtvrtého případu jsou oba konce vzpěry(obr. 1.1) vetknuté, s možností posuvu ve vetknutí jednoho konce ve směru podéné osy. Jako u předešých případů předpokádáme, že vzpěra je přímá, prizmatická, materiá je homogenní a vetknutí nepoddajné. Je-i vzpěra opět v indiferentním stavu rovnováhy, je možný ibovoný stabiní průhyb s výchykou v mezích patnosti Hookeova zákona. V důsedku průhybu vzpěry působí vkaždémvetknutídvojice M.Výsednýohybovýmomentvobecnémřezu ξjedán vztahem M o () = kr v() M (1.39) 1
kr M v() ξ M v kr Obrázek 1.1: Diferenciání rovnice průhybové čáry má tvar Zavedeme-i opět v () = M o() EJ z = 1 EJ z (M kr v()) α 2 = kr EJ z, má diferenciání rovnice po úpravě tvar v () + α 2 v() = α 2 M kr (1.4) Je to nehomogenní ineární rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty. řešení je opět určeno součtem obecného integráu homogenní rovnice a integráu partikuárního v() = Acosα + Bsinα + v p, kde partikuární integrá je pode tvaru pravé strany diferenciání rovnice(1.4) roven konstantě.podosazení v p =konst.dodiferenciánírovnicestanovíme v p = M kr Konečný tvar obecného integráu nehomogenní rovnice(1.4) je v() = Acosα + Bsinα + M kr (1.41) Integrační konstanty A, B určíme z počátečních podmínek: 1. pro = je v() = = A + M kr A = M kr 11
2. pro = jerovněž v () = = αb.jeikož α = B = ( kr EJ z ) 1/2 je Obecná rovnice průhybu pro dané počáteční podmínky je v() = M kr (1 cosα) (1.42) Ve druhém vetknutí vzpěry pro = je v() = 1 cosα =, tojest cosα = 1 to patí pro všechna α = k2π, (1.43) kde k =,1,2,3,... Z rov.(1.43) po úpravě stanovíme kritickou síu α 2 2 = k 2 4π 2 ; kr EJ z 2 = k 2 4π 2 Pro nejmenší kritickou síu voíme k = 1 min IV kr = 4π 2EJ zmin 2 (1.44) Srovnáme-i výsedné vztahy kritické síy pro uvedené zákadní případy stabiity přímých prutů(1.12)(1.23)(1.37)(1.44) je patrné, že je ze vyjádřit vztahem kde n i projednotivépřípadyvzpěruje i kr = ε = n i π 2EJ min 2, (1.45) n I = 1 4 ; n II = 1; n III = 2; n IV = 4 Někdy se k zápisu jednotného vztahu pro kritické(euerovy) síy zákadních případů vzpěrupožívátakétzv.srovnávacídéka i.vycházísezrovnosti i kr = π2ej min 2 i = n i π 2EJ min 2, (1.46) odkud pro srovnávací déku pyne vztah i = (1.47) 1/2 (n i ) Závisostikoeficientů n i asrovnávacíchdéekprozákadnípřípadyvzpěrujsouuvedeny na obr. 1.11. 12
I kr II kr III kr IV kr H kr = I /2 = II = 1,41. III = 2. IV n I = 1/4 n II = 1 n III = 2 n VI = 4 Obrázek 1.11: 1.3 Podmínka stabiity ve vzpěru v neineární obasti Kritické síy pro jednotivé případy vzpěru, odvozené z diferenciání rovnice průhybové čáry(rovnice 1.3), patí pouze v oboru patnosti Hookeova zákona. Při působení kritické síy kr navzpěrujeprotomaimánínapětírovnomeziúměrnosti σ kr = kr A σ u, (1.48) kde σ kr jekritickénapětí,kterésetéžnazýváeuerovonapětíaoznačujese σ ε.spoužitím vztahu(1.45) je toto napětí Jeikož poměr σ kr = σ ε = ε A = n iπ 2EJ min 2 A (1.49) J min A = i2 min, (1.5) je kvadrát minimáního pooměru kvadratického momentu průřezu, ze vztah(1.49) pro kritické Euerovo napětí vyjádřit násedovně σ kr = σ ε = n i π 2 E ( ) 2 (1.51) Poměr i min = λ se nazývá štíhostní poměr nebo krátce štíhost prutu. Graf závisosti kritického napětínaštíhostnímpoměrujeznázorněnnaobr.1.12. Bod M (σ u,λ M )jeurčen 13 i min
mezníhodnotoukritickéhonapětí maσ kr = σ u a λ M jemezníštíhostvzpěry,v obasti patnosti Hookeova zákona, stanovená z rov.(1.51) ( ) ni E 1/2 λ M = π (1.52) σ u σ kr M (σ u, λ M ) σ u Euerova obast λ M / i = λ Obrázek 1.12: Z grafu na obr. 1.12 je patrné, že podmínku omezující patnost Hookeova zákona, danou rovnicí(1.48), ze též vyjádřit pomocí mezní štíhosti i λ M (1.53) Poznamenejme,žemezníštíhost λ M jezávisápouzenamateriáovýchcharakteristikách a podmínkách uožení konců vzpěry(rov. 1.52). Taknapř.provzpěruskonciuoženýmipode2.případu(n = 1)vyrobenouzocei (E = 2, 1 5 MPa; σ u = 2 1 2 MPa)jemezníštíhostnípoměrpoderov.(1.52) λ M = ( ) i M ( ) E 1/2 = π 1 σ u Má-ivzpěranapř.kruhovýprůřezoprůměru d,je i = d/4apak ( ) i M = ( ) 4 d M = 1 Z uvedeného vztahu ze určit mezní déku vzpěry, pro kterou ze ještě použít rovnici pro kritickou Euerovu síu(rov. 1.45) 25d 14
1.4 Výpočet kritické síy v obasti pastických deformací Pro dimenzování vzpěry v obasti, kde vznikají pastické deformace, kde kritické napětí je vyšší než mez úměrnosti, neze najít jednoznačně patné teoretické řešení, anaogické k Euerovu řešení ve zcea eastické obasti. Pro nízké hodnoty štíhosti(obr. 1.12) přechází vzpěr v prostý tak. Dimenzování je zde zaoženo na podkadech získaných četnými eperimenty, provedenými pro různé tvary průřezů, štíhostní poměry a materiáy. Stanovení kritického napětí v pastické obasti můžeme v podstatě určit třemi zákadními postupy. 1.4.1 Zavedení redukovaného moduu pružnosti Snahou tohoto přístupu je rozšíření Euerových vztahů i za mez úměrnosti zavedením proměnivého moduu pružnosti pro ceý obor štíhostních poměrů(obr. 1.13). Tzv. redukovanýmodupružnosti E red respektujeneineárnízávisostnapětí σnapoměrném prodoužení ε. Vztah σ, E σ P E B P dσ dε σ u U E t ε Obrázek 1.13: dσ dε = tgβ = E t respektujeokamžitoutuhostmateriáuvzpěry. E t jetzv.tečný modu pružnosti vbodě B(obr.1.13).Zavedenímtečnéhomoduu E t místoyoungovamoduu EdoEuerových vztahů pro kritické napětí se ukázao vhodné pouze u tenkostěnných průřezů, jinak vznikají příiš hmotné konstrukce. Engesser později odvodi pro vzpěru obdéníkového průřezu redukovaný modu pružnosti používaný za předpokadu, že pastické deformace vznikají pouze v části průřezu a na vypuké straně dochází v důsedku prohnutí k pokesu napětí 4EE t E red = ( E ) 2 (1.54) + Et Kritická sía se stanoví z upraveného Euerova vztahu i kr = n iπ 2E redj min 2 (1.55) Vztah je možné použít i pro jiné jednoduché pné průřezy zavedením korekčních faktorů. 15
1.4.2 Řešení pode Tetmajera Někteříautořinahrazujívpružnopastickémrozsahu(σ kr > σ u )mezníkřivkustabiity pode Euera(obr. 1.12) body získanými eperimentáně. Eperimentání křivka má obvykeseuerovoupoytropouspoečnýbod (λ M,σ u )nebospoečnoutečnuvtomto bodě. V naší prai se často požívá Tetmajerův vztah, který reprezentuje přímkovou závisost v obasti pastických deformací(obr. 1.14). σ kr Tetmajer σ M Euer σ TET σ u λ λ λ M Obrázek 1.14: KritickénapětíprooceovévzpěrypodeTetmajeraσ TET stanovímezrovnicemezní přímky(obr. 1.14) σ kr = σ TET = σ M (σ M σ u ) λ λ M (1.56) Pro houževnaté materiáy je mezní napětí rovno mezi kuzu v taku t.j. σ M = σ kd, σ TET = σ kd (σ kd σ u ) λ λ M Pro křehké materiáy je mezní napětí rovno mezi pevnosti v taku σ M = σ pd V odborné iteratuře najdeme rovnici(1.56) ve tvaru σ TET = a bλ, (1.57) kde a,b,jakjepatrnozrov.(1.56),jsoumateriáovékonstanty.proitinuadaší křehké materiáy má Tetmajerova rovnice paraboickou závisost(obr. 1.15a) σ TET = a bλ + cλ 2 (1.58) 16
Tak např. pro určitou konstrukční oce se kritické napětí stanoví pode vztahu(1.52): σ kr = σ TET = 36 36 31 λ, a = 36; b =,61 82 Kritická sía určená z Euerova vztahu(1.46) je z hediska materiáových vastností závisápouzenamoduupružnostie,kterýseuoceiisrůznoumezípevnostiprakticky nemění. Na obrázku 1.15b jsou uvedeny tři podmínky určující kritická Tetmajerova napětí ve vzpěrách vyrobených ze tří materiáů o různých mechanických vastnostech. Z obrázku je patrný viv zvýšení mechanických vastností materiáu na stabiitu vzpěry v pastické obasti. σ kr Tetmajer Euer σ TET σ kr 3 2 1 σ TET σ pd3 σ pd2 σ M σ ε σ pd1 σ ε σ u λ M a λ b λ Obrázek 1.15: 1.4.3 Součinite vzpěrnosti Při výrobě vzpěr se často požívá omezený počet druhů materiáů. V takovém případě ze kritické napětí v eastické i pastické obasti tabeovat v závisosti na štíhostním poměru.vtabuce1.1jeuvedentzv. součinitevzpěrnosti c,stanovenýpoměrem c = σ mez σ kr, (1.59) kdezavztažnénapětí σ mez seobvykezavádímezkuzuvtaku σ kd.ztétorovnice určíme kritické napětí σ kr = σ kd c a kritickou síu kr = σ kr A = σ kd A (1.6) c Příkad hodnot součiniteů vzpěrnosti v závisosti na štíhostním poměru λ, pode normy ČSN511,jeuvedenvtabuce.1.1. Příkad 1.1: Postup při dimenzování prutů na vzpěr Máme za úko navrhnout pro oceovou vzpěru kruhového průřezu, koubově uoženou, 17
Součinite vzpěrnosti c štíhost λ Oce137 Oce152 Dřevo 1 1,3 1,3 1,2 2 1,5 1,5 1,1 3 1,8 1,9 1,19 4 1,12 1,14 1,3 5 1,17 1,21 1,43 6 1,24 1,32 1,59 7 1,33 1,47 1,78 8 1,44 1,68 2,3 9 1,59 1,95 2,37 1 1,77 2,26 2,83 11 1,99 2,63 3,43 12 2,23 3,3 4,9 13 2,51 3,48 4,79 14 2,82 3,97 5,56 15 3,15 4,49 6,38 16 3,51 5,5 7,26 17 3,89 5,64-18 4,3 6,28-19 4,73 6,94-2 5,18 7,65 - Tabuka 1.1: Součinitee vzpěrnosti de ČSN 5 11. přípustný průměr d. Vzpěra je stačována siou = 25 kn. Mechanické vastnosti použitéoceijsou: E = 2,1 1 5 MPa; σ kd = 36MPa; σ u = 31MPa.Materiámá stejnémechanickévastnostivtahuitaku.minimánípožadovanábezpečnost k kr = 4 adékavzpěry = 1m. Postup výpočtu: Ze zadaných vstupních dat neze určit štíhostní poměr λ, není známý průměr vzpěry. Neze proto stanovit zda bude úoha řešena pode Euerova nebo Tetmajerova vztahu (obr. 1.14), tj. v obasti eastické nebo pastické. V takovém případě zahájíme výpočet kritické síy pode Euera odkud stanovíme a průměr vzpěry kr = ε = π 2EJ min 2 = k kr, (P-1.a) J = 2 π 2 E k kr = 25 13 1 6 π 2 2,1 1 5 4 = 483 13 mm 4 ( ) 64J 1/4 d 1 = π ( ) 64 483 1 3 1/4 = 56mm (P-1.b) π 18
Nyní můžeme určit štíhostní poměr vzpěry a porovnat ho s mezní štíhostí(1.52) λ = i = 4 = 4 13 d 1 56 = 71, 43 (P-1.c) ( ) E 1/2 ) 2,1 1 5 1/2 λ M = π = π( = 81,77 (P-1.d) σ u 31 Ze srovnání numerických výsedků rovnic(p-1.c) a(p-1.d) vypývá, že výpočet průměru vzpěry d 1 podeeueranevyhovuje, λ < λ M.ÚohujenutnétudížřešitpodeTetmajera, kde patí σ kr = σ TET = σ kd (σ kd σ u ) λ 4 = σ kd (σ kd σ u ) λ M dλ M Zároveň patí (P-1.e) σ kr = kr A = 4k kr πd 2 (P-1.f) Dáme-i do rovnosti rovnice(p-1.e) a(p-1.f), tak po úpravě dostaneme kvadratickou rovnici σ kd d 2 (σ kd σ u ) 4 d 4k kr =, (P-1.g) λ M π odkud d 1,2 = 62,97mm a 56,17mm Průměr vzpěry voíme d = 63mm 1.5 Přibižné řešení kritické síy Sožitější případy řešení stabiity přímých prutů v pružné obasti, tj. stanovení kritické síy, se určuje pomocí přibižných metod. Jedná se o případy, kdy vnější osové síy působí mimo koncové řezy vzpěry nebo o pruty s proměnivými průřezy. Nejčastěji používanou přibižnou metodou je Rayeighova energetická metoda a také metoda postupných aproimací. Přibižnost metod spočívá ve vobě funkce průhybové křivky a spnění okrajových podmínek. 1.5.1 Rayeighova energetická metoda Kritickému zatížení vzpěry odpovídá indiferentní stav rovnováhy, který v rámci eastických deformací umožňuje ibovoné prohnutí prutu(obr. 1.16). Vychýením přímého prutu do prohnutého stavu se změní jeho deformační energie o přírůstek práce vnitřníchsi U avnějšísía vykonápráci W naposuvu u.vdůsedkuindiferentní rovnováhy je pro ibovoné prohnutí přírůstek práce vnitřních a vnějších si stejný U = W (1.61) 19
u d ξ ds v() dv() v Obrázek 1.16: Přírůstek deformační energie U od ohybu určíme pode vztahu U = 1 Mo 2() d (1.62) 2 EJ min a práci vnější síy Ohybovýmoment,vrovnici(1.62),vřezu ξ takže deformační energie () W = kr u (1.63) M o () = kr v(), U = 2 kr 2 [v()] 2 EJ min d (1.64) Pro stanovení posuvu koubu u(rov. 1.63) je nutné určit rektifikaci průhybové křivky v(). Z obrázku 1.16 pyne ds = [d 2 + [dv()] 2] 1/2 = d [ 1 + [ v () ] 2 ] 1/2 (1.65) S ohedem na maou křivost průhybové křivky ze tento vztah upravit pode pravide počítánísmaýmičísy(v () 1)natvar [ ds = d 1 + 1 [ v () ] ] 2 (1.66) 2 a stanovit posuv působiště síy u = (ds d) = [ 1 + 1 [ v () ] ] 2 1 d = 1 2 2 2 [ v () ] 2 d (1.67)
Práce vnější síy(1.63) pak je W = kr 2 Z rovnosti prací(1.64) a(1.68) v rov.(1.61) určíme kritickou síu [ v () ] 2 d (1.68) [ v () ] 2 d kr = [v()] 2 EJ d (1.69) Voená funkce průhybové křivky v() je vyjádřena ve tvaru v() = v η(), kde η()jetvarováfunkceav konstanta ampitudakřivky v(),kterásevrovnici(1.69) vykrátí. Tak napříkad zvoíme-i pro koubové uožení prizmatické vzpěry přesnou funkci průhybové křivky ve tvaru, který jsme odvodii z diferenciání rovnice průhybové čáry(1.19) v() = v sin π, je tvarová funkce η() = sin π a kritickou síu určíme pode rovnice(1.69) kr = EJ min ( π ) 2 a η () = π cos 2 π d sin 2 π d cos π = π 2EJ min 2 K výsedku připomeňme, že stanovená kritická sía pode přibižné energetické Rayeighovy metody je za předpokadu voby eaktní průhybové křivky stejná, jako výsedek získaný z diferenciání rovnice průhybové čáry(1.15) vzpěry, nacházející se rovněž v indiferentním stavu rovnováhy. Stejný výsedek potvrzuje patnost podmínky minima deformační energie rovněž u Rayeighovy metody. Z toho vypývá, že každé zvoené funkci, která se iší od vastní funkce, přísuší v obasti eastického přetvoření větší deformační energie. 1.5.2 Metoda postupných aproimací Metoda postupných aproimací ke stanovení přibižné veikosti kritické síy rovněž apikuje diferenciání rovnici průhybové křivky od ohybových účinků vzpěry, nacházející se v indiferentním stavu rovnováhy vnitřních a vnějších si. K názornosti výkadu použijeme opět vzpěru koubově uoženou. Ohybový moment působící v obecném řezu vzpěry má tvar M o () = v (), (1.7) 21
kde v ()jezvoenávstupnífunkceprůhybovékřivky(1.14)a předpokádanákritická veikost vzpěrné síy. Diferenciání rovnice první aproimace průhybové křivky v 1 ()je v 1() = M () EJ = v () EJ (1.71) řešením této rovnice, s respektováním okrajových podmínek, získáme funkci průhybové křivky v 1 ().Kontrouprvníaproimace,zdajevyhovující,zjistímezpoměru v () v 1 () = ζ 1() (1.72) Není-i tento poměr roven konstantě v ceém rozsahu nezávise proměnné, použijeme vprvnímpřibíženízjištěnoufunkci v 1 (),kestanovenídruhéaproimace v 2() = v 1 () EJ (1.73) Stanovenoudruhouaproimacifunkceprůhybovékřivky v 2 ()opětkontroujemepoměrem dvou po sobě násedujících aproimací v 1 () v 2 () = ζ 2() Naznačený postup se opakuje do stavu, kdy poměr dvou po sobě násedujících aproimací v n 1 () = ζ n () = konst±ε, (1.74) v n () kde εjepředemstanovenáprocentníodchykaav n ()jehedanáfunkceprůhybové křivky, pode požadované přesnosti ε. Posedníaproimaci v n ()jsmestanoviizdiferenciánírovnice v n() v n 1 () = (1.75) EJ Současnězeprozjištěnoufunkci v n ()zapsatdiferenciánírovniciprůhybovéčáryve tvaru v n () = v n () kr EJ, (1.76) kde kr jeskutečná kritická sía. Zrovnosti obou diferenciáních rovnic stanovíme kritickou síu v n 1 () kr = (1.77) v n () Příkad 1.2: Jako příkad uvedeme postup při určování kritické síy koubově uožené vzpěry, abychom mohi posoudit výhodnost apikace metody postupných aproimací. Vstupní průhybovoufunkci v ()(1.71)navrhnemerovnukonstantě v.pakdiferenciánírovniceprůhybové křivky je v 1() v = EJ (P-2.a) 22
řešením diferenciání rovnice a upatněním okrajových podmínek koubově uožené vzpěry v 1 () = a v 1 () =, zjistíme tvar první aproimace průhybové křivky v 1 () = v 2 Poměr navržené a výpočtem stanovené průhybové křivky ( 2 ) (P-2.b) EJ v () v 1 () seišíažo33%.jenutnépokračovatvzískánídašíaproimacestím,žepoužijeme jakovstupnífunkciprůhybovoukřivku v 1 ()vrov.(p-2.b) ( ) v 2() v 1 () 2 = EJ = v ( 2 ) (P-2.c) EJ 2 řešením diferenciání rovnice je druhá aproimace funkce průhybové křivky Zpoměru v 2 () = v 24 v 1 () v 2 () = ( EJ ) 2 ( 4 2 3 + 3 ) (P-2.d) v ( 2 ) 2 EJ ( ) v 2 ( 4 2 3 + 3 ) (P-2.e) 24 EJ napříkadvmístě = 2,určímekritickousíu kr =,9737 π 2EJ 2, (P-2.f) kteráseišíodpřesnéhořešeníccao2,63%.propraktickéúčeyjetopřijatenýrozdí. Dašíaproimace v 2() v 3 () jejižzceavyhovující v 2 () v 3 () = v 72 ( v 24 ( EJ ) 2 ( 4 2 3 + 3 ) EJ ) 3 ( 3 5 5 3 3 6 + 3 5 ) (P-2.g) Uprostředvzpěrypro = 2 jeodchykaodpřesnéhořešeníkritickésíypouze,34%. kr =,9976 π 2EJ 2 Pro zjednodušení jsme určovai kritickou síu z poměru ) (P-2.h) ( v n 1 2 ( ) v n 2 23
Věrohodnější výsedek získáme ze stanovení střední hodnoty poměru pode rov.(1.77) ve více bodech. Rovnici můžeme upravit na sumační tvar n = krn = vn 1 ( i ) vn ( i ) (P-2.i) nebo integrání n = krn = v n 1 ()d v n ()d = A n 1 A n kde A n 1 a A n jsouobsahypochomezenékřivkami v n 1 a v n. (P-2.j) 1.6 Neprizmatické vzpěry 1.6.1 Symetrická vzpěra Předpokádejme, že tyč je neprizmatická a průřez je symetrický ke střednímu řezu = /2 obr. 1.17a. Konce vzpěry jsou uoženy koubově. kr /2 v() ξ /2 a b kr v Obrázek 1.17: Diferenciánírovniceprůhybovékřivkynamáhanékritickousiou kr je v () = M o() EJ() (1.78) 24
Ohybovýmomentvřezu ξ(obr.1.17b) a kvadratický moment průřezu Po dosazení těchto vztahů do rov.(1.78) M o () = kr v() (1.79) J = J() (1.8) v () = kr v(), (1.81) EJ() je patrné, že se jedná o ineární diferenciání rovnici 2. řádu s proměnivým koeficientem J() při v(). Protože její řešení je obtížné i v jednoduchých případech, použijeme řešení přibižné(1.71) nebo opačný postup, kdy voíme v() a z rovnice(1.78) určíme J(). Zvoíme tvar průhybové křivky v() vyhovující okrajovým podmínkám s tím, že křivka musíbýtvintervau vypuká v () < (1.82) Přizatíženíkritickousíou kr sevzpěranacházívindiferentnímstavurovnováhyavypukost zvoené průhybové křivky je v mezích Hookeova zákona ibovoná. Za průhybovou křivku zvoíme např. parabou s okrajovými podmínkami v() = v() =. Její tvar popisuje rovnice v() = c( ), (1.83) kde c je konstanta určující ibovonou vypukost paraboy. Dáe z druhé derivace pyne v () = 2c < (1.84) c > Z rovnice(1.81) stanovíme funkci změny průřezu J() = kr E Pro = /2 je kvadratický moment průřezu maimání Odsud stanovíme podmínku pro kritickou síu v() v () = kr ( ) (1.85) 2E J ( ) kr 2 = 8E 2 = J ma (1.86) kr = 8 EJ ma 2 = k, (1.87) kde k je součinite bezpečnosti určující veikost síy, zajišťující stabiní rovnováhu vzpěry. Proměnivost kvadratického průřezu vzpěry stanovíme z poměru J() J ma = kr ( ) 2E ( ) = 4 kr 2, (1.88) 8E 2 25
odkud je např. pro kruhový průřez změna průměru d() vzpěry určena vztahem ( ) ( ) 1/4 d() = d ma 4 2 (1.89) Koncevzpěry,vzhedemkd() = d() = seupravujízpůsobemnaznačenýmna obr. 1.17a, pode podmínky otačení σ ot A = kr k, (1.9) odkudurčímeupravenouveikostkoncovéhoprůřezuvzpěry A = A()sohedemna předepsanénapětí σ ot A kr kσ ot (1.91) 26
Obsah 1 Stabiita přímých prutů 1 1.1 Úvod...... 1 1.2 Euerovakritickásía.... 3 1.2.1 Prvnípřípadvzpěru... 3 1.2.2 Druhýpřípadvzpěru... 5 1.2.3 Třetípřípadvzpěru... 7 1.2.4 Čtvrtýpřípadvzpěru..... 1 1.3 Podmínkastabiityvevzpěruvneineárníobasti..... 13 1.4 Výpočetkritickésíyvobastipastickýchdeformací... 15 1.4.1 Zavedeníredukovanéhomoduupružnosti..... 15 1.4.2 ŘešenípodeTetmajera.... 16 1.4.3 Součinitevzpěrnosti... 17 1.5 Přibižnéřešeníkritickésíy... 19 1.5.1 Rayeighovaenergetickámetoda... 19 1.5.2 Metodapostupnýchaproimací... 21 1.6 Neprizmatickévzpěry... 24 1.6.1 Symetrickávzpěra.... 24 27