Motivace: Poissonova rovnice

Podobné dokumenty
Matematika II Aplikace derivací

Aproximace funkcí. Chceme þvzoreèekÿ. Známe: celý prùbìh funkce

Transportní jevy. J = konst F

Matematika II Limita a spojitost funkce, derivace

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A

Maxwellovo({Boltzmannovo) rozdìlení rychlostí

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Viriálová stavová rovnice 1 + s.1

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci

Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek

U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze

Klasická termodynamika (aneb pøehled FCH I)

Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

Opakování: Standardní stav þ ÿ

Termomechanika 9. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Termochemie { práce. Práce: W = s F nebo W = F ds. Objemová práce (p vn = vnìj¹í tlak): W = p vn dv. Vratný dìj: p = p vn (ze stavové rovnice) W =

VI. Nestacionární vedení tepla

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Lehký úvod do elektrostatiky { vakuum ( ε = ε 0 )

22 Základní vlastnosti distribucí

FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce

Jméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.

24. Parciální diferenciální rovnice

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

FOURIEROVA TRANSFORMACE

Brownovská (stochastická) dynamika, disipativní èásticová dynamika = MD + náhodné síly. i = 1,..., N. r i. U = i<j. u(r ij ) du(r ji ) r ji

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze

Co jsme udělali: Au = f, u D(A)

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Cvičení Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí (

Matematika II Urèitý integrál

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

INTEGRÁLY S PARAMETREM

Pro zředěné roztoky za konstantní teploty T je osmotický tlak úměrný molární koncentraci

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

13. cvičení z Matematické analýzy 2

Maxwellovo({Boltzmannovo) rozdìlení rychlostí

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015

Příloha-výpočet motoru

Stanislav Labík. Ústav fyzikální chemie V CHT Praha budova A, 3. patro u zadního vchodu, místnost

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

2 Odvození pomocí rovnováhy sil

1 Vedení tepla stacionární úloha

Separovatelné diferenciální rovnice

Matematika II Lineární diferenciální rovnice

které charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.

EXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 2. Zpracování měření

TERMOMECHANIKA 15. Základy přenosu tepla

Fourierova transformace

Termomechanika 8. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál

f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

Transportní jevy. F = gradient jistého potenciálu

Komplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

1 Funkce dvou a tří proměnných

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zápočtová písemná práce B Termín pro odevzdání 4. ledna 2019

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky

Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Téma 22. Ondřej Nývlt

Numerická matematika 1

Kapitola 8: Dvojný integrál

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

Stabilizace Galerkin Least Squares pro

Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze

Záření KZ. Význam. Typy netermálního záření. studium zdrojů a vlastností KZ. energetické ztráty KZ. synchrotronní. brzdné.

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY

Parciální diferenciální rovnice

Poznámky k Fourierově transformaci

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

14. cvičení z Matematické analýzy 2

TERMIKA II. Stacionární vedení s dokonalou i nedokonalou izolací; Obecná rovnice vedení tepla; Přestup a prostup tepla;

Funkce zadané implicitně

Autor by chtìl podìkovat všem svým spolupracovníkùm a kolegùm, kteøí mu pomohli s pøípravou textu. K vydání knihy pøispìla firma Newport Electronics s

FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA

Transkript:

Motivace: Poissonova rovnice Zachovává se poèet el. indukèních èar: Q = D d s, S D = ε E Integrál spoèítáme pøes povrch krychlièky dx dy dz: dq = dvρ = D d s = dydz[d x (x + dx) D x (x)] = dxdydz S ( Dx x + D y y + D z z + dxdz[d y (y + dy) D y (y)] + dxdy[d z (z + dz) D z (z)] ) = dvε ( 2 φ x 2 + 2 φ y 2 + 2 φ z 2 kde ρ = dq/dv je hustota náboje a permitivita je konstantní. ) 1/15 aplaceùv operátor: symbol nebudeme ( ) 2 pou¾ívat, aby se nepletl x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 2 s φ = φ vpravo φ vlevo Poissonova rovnice: 2 φ = ρ ε nebo v jedné dimenzi d 2 φ dx 2 = ρ ε

Motivace: aminární proudìní 2/15 Viskozita smyková síla f = ηa dv x dy A v +dv x x A = plocha dv x dy = gradient teèné rychlosti y dy v x η = dynamická viskozita, [η] = Pa s x aminární proudìní v trubici ^z, rozdíl tlakù = p. Síla na hranolek dx dy z je souètem smykových sil zpùsobeným gradienty rychlosti: [ vz (x + dx, y) v z (x, y) f z = η zdy v ] z(x, y) v z (x dx, y) dx dx η zdx [ + v z(x, y + dy) v z (x, y) dy f z η 2 v = zdxdy = p z v ] z(x, y) v z (x, y dy) dy

Motivace: Difuze 3/15 První Fickùv zákon: Tok J i látky i (jednotky: mol m 2 s 1 ) Pro J i = D i c i je úmìrný gradientu koncentrace ( c i = grad c i = x, y, ) c z i = ( ci x, c i y, c ) i z D i = koecient difuze (difuzivita) látky i, jednotky: m 2 s 1 Druhý Fickùv zákon: Nestacionární jev (koncentrace se mìní s èasem) { za dt do objemu dv = dxdydz pøiteèe: [J x (x) J x (x + dx)]dydz = dv J x,y,z J = D c c i t = D i 2 c i hmotnostní koncentraci (v kg m 3 ) vyjde tok v kg m 2 s 1... a stejnì pro teplo, proto se této rovnici øíká rovnice pro vedení tepla Stacionární pøípad: c i / t dáno na okrajích, nezávisí na èase

Motivace: vlnová rovnice Mechanický model: m m m m Výchylka = y i, vzdálenost záva¾í = x. Síla pùsobící na hmotnost m v bodì i: 4/15 F i = (y i+1 y i )K + (y i 1 y i )K = (y i+1 2y i + y i 1 )K x 2 2 y i x 2 K Newtonova pohyb.rov.: F i = m 2 y i t 2 vlnová rovnice y i x2 2 x 2 K = y i m 2 t 2 Dodatek: kolik je tuhost pru¾iny K pro plyn? Odeèteme sílu v klidu ( m m = x) a pøi výchylce ( x+dy) na plochu A: (NB: p(x) je funkce výchylky) kde f i = A[p( x + dy) p( x)] = A p p V dy = A y V y dy =! Kdy pv κ = konst p V = κp V, Dále m = ρv = pm RT xa, dohromady: 2 yκrt x 2 M = 2 y t 2 v zvuk = V V = A( x+dy) y = A κrt M, y = y(x ± v zvukt) K = Aκp x

Motivace: Kvantová teorie 5/15 Èasová Schödingerova rovnice ( i h t ψ = h ) 2 2m 2 + U ψ

Poèáteèní podmínky 6/15 Dirichletovy: hodnoty na hranici oblasti / D-dimensionální nadplo¹e Neumannovy: derivace (v normálovém smìru) Cauchyovy: obojí Pøíklady: f(x, y) x = 1, f(0, y) = sin(y), f(x, y) = sin(y) + x T(x, y, t) t = D 2 T(x, y, t), T(x, y, 0) = { 1 pro x 2 + y 2 < 1 0 pro x 2 + y 2 > 1 T(x, t) t Divný pøíklad: = D 2 T(x, t) x 2, T(x, 0) = { 1 pro x (0, 1) 0 pro x / (0, 1), T(x, t) x=±1 x = 0 2 y(x, t) t 2 = 2 y(x, t) x 2, y = 1 na pøímce x = t

Metoda konvoluce resp. Greenovy funkce 7/15 Druhý Fickùv zákon: Snadno se ovìøí, ¾e øe¹ení je: 1D: c g (x, t) = (4πDt) 1/2 exp 3D: c g ( r, t) = (4πDt) 3/2 exp c t = D 2 c ( ) x2 4Dt ( ) r2 4Dt c(x,t) 0.5 t=0 t=1 0.4 t=2 t=3 0.3 t=4 t=5 0.2 0.1 0.0 3 2 1 0 1 2 3 x Platí c(x, t)dx = 1 (¾ádná èástice se neztratí). Dodenuji δ(x) = c(x, 0) ve smyslu limity (Diracova delta funkce). Interpretace: jednotkový impuls. Alternativní pøístup: teorie distribucí. Platí (pro slu¹nì vychovanou funkci f): δ(x a)f(x)dx = δ(a x)f(x)dx = f(a)

[xmaple../maple/.mw] Metoda konvoluce resp. Greenovy funkce 8/15 c g (x, t) vý¹e øe¹í èasový vývoj jednotkového impulsu, tj. poèáteèní podmínku c g (x, 0) = δ(x). Mám-li na zaèátku c 0 (x) = c(x, 0): c(x, 0) = c g (x x, 0)c 0 (x )dx c(x, t) = c g (x x, t)c 0 (x )dx Cvièení: c 0 (x) = 1 pro x < 1/2, c 0 (x) = 0 jinde; D = 1. 1/2 c(x, t) = c g (x x, t)c 0 (x, 0)dx = c g (x x, t)dx 1/2 Problém: Greenova funkce v jiných okrajových podmínkách

Elektrostatika: Greenova funkce 9/15 Pole náboje Q je (ve 3D) tedy pole hustoty náboje ρ( r) je: Q 4πɛr φ( r) = 1 4πɛ ρ( r ) r r d r Cvièení: uka¾te, ¾e 2 (1/r) = 0 pro r 0 (nejlépe Maple)

Fourierova metoda: difuze 10/15 Coca-Colu ve válci (vý¹ka sloupce 10 cm) opatrnì pøevrstvíme èistou vodou (10 cm). Za jak dlouho bude koncentrace u hladiny rovna polovinì koncentrace u dna? Konvekci neuva¾ujte. D sacharoza (25 C) = 5.2 10 6 cm 2 s 1. c t = D 2 c x 2 c(x, 0) = { c0 x < /2 0 x > /2 c x x=0, = 0 Trknutí: Kdyby platilo c(x, 0) = cos ( π x ), bylo by to jednoduché: ( π ) [ ( ] π 2 c(x, t) = cos x exp Dt ) Obecnì: Nech» c k (x) je vlastním vektorem rovnice 2 c k x 2 c k (x, t) = c k (x) exp[dλ k t] øe¹í pùvodní rovnici. Zde [ ] [ (2k + 1)πx (2k + 1)π c k (x, 0) = cos, λ k = = λ kc k, pak ] 2 4 mìsíce Zbývá najít rozvoj poèáteèní podmínky c(x, 0) do c k { zde Fourierova øada

Fourierova øada 11/15 Mìjme funkci f(x) periodickou s periodou. Platí (ve smyslu, který je¹tì upøesním) f(x) = a 0 2 + [ ( ) ( )] 2πnx 2πnx a n cos + b n sin kde a n = 2 0 n=1 ( ) 2πnx f(x) cos dx, b n = 2 0 ( ) 2πnx f(x) sin dx Je-li f integrovatelná s kvadrátem, konverguje øada (bodovì) skoro v¹ude. Je-li f diferencovatelná, konverguje v¹ude. Norma rozdílu f n f konverguje k 0 (f n = èásteèný souèet) báze {1, cos(2πx/), sin(2πx/),...} je úplná (v prostoru funkcí integrovatelných s kvadrátem na [0, )) a n, b n : znásobte øadu kterýmkoliv prvkem báze s aplikujte 0 dx

Fourierova metoda: difuze II [plot/cukr.sh] 12/15 Pou¾ijeme {1, cos(πx/), cos(3πx/),...}, které vyhovují poèáteèní podmínce a symetrii. { 1 c(x, 0) = c 0 2 + 2 ( πx ) π cos 2 ( ) } 3πx 3π cos + Pro jednotlivé èleny (módy) øe¹íme rovnici a seèteme. c(x, t) = c 0 2 + 2c 0 π 1 ( ) ( ) 3πx 3 cos exp 32 π 2 2 Dt [ cos Pozn. Animace byla øe¹ena numericky. ( ) ( πx ) exp π2 2Dt + 1 ( ) ( 5πx 5 cos exp 52 π 2 2 Dt ) ]

Fourierova metoda: tok trubicí ètvercového prùøezu 13/15 Jaký je prùtok kapaliny o viskozitì η trubicí prùøezu a délce z, je- -li na koncích tlakový rozdíl p? (= stacionární tok tepla rovnomìrnì zahøívanou deskou, která je ukotvena v ledu na okrajích) 2 v = p zη = α v(okraj) = 0 v = u+v 0, u 0 = αx( x)/2 2 u = 0 (ale zmìní se okrajové podmínky) rozvineme okrajové podmínky do Fourierovy øady ( ) π(2k + 1)x u(x, 0) = u(x, ) = u 0 = a k sin ( ) π(2k + 1)x øe¹ení hledáme ve tvaru u = a k sin w k (y) k=0 [ ( ) ( )] π(2k + 1)y π(2k + 1)( y) [ ] w k (y) = exp + exp / e π(2k+1) + 1 prùtok I = 0.0351 A2 p zη, A = 2 ; kruhový prùøez A: I = 0.0398 A2 p zη k=0

Fourierova transformace [xmaple../maple/.mw] 14/15 pøímá: FT[f](k) ^f(k) = f(x)e ikx dx zpìtná: f(x) = 1 2π ^f(k)e ikx dk Dùkaz: staèí pro funkci δ(x) = lim σ 0 exp( x 2 /2σ 2 )/ 2π { viz Maple. U¾iteèné: Gaussova funkce Gaussova funkce ^δ(k) = 1, ve smyslu distribuce: δ(x) = 1 2π e ik(x x ) dx FT pøevádí derivaci na dìlení (pro f(± ) = 0), násobení sin èi cos na posun frekvence: ^f = i k^f, FT[e ik x f(x)](k) = ^f(k + k ) Pozn.: Podobnì se chová aplaceova transformace (s je komplexní èíslo) ~f(s) = f(x)e sx dx lze vyu¾ít pro øe¹ení soustavy lin.dif. rovnic (el. obvody, kinetika)

FT konvoluce resp. Greenovy funkce 15/15 FT konvoluce vede na násobení obrazù c(x, t) = c g (x x, t)c 0 (x )dx ^c(k, t) = ^c g (k, t)^c 0 (k) Cvièení: Opìt rovnice difuze pro c 0 (x) = 1 pro x < 1/2, c 0 (x) = 0 jinde; D = 1 { viz Maple. Numerický výpoèet Pøevádíme na diskrétní FT: X k = N 1 n=0 x n e ±i2πkn/n kterou poèítáme algoritmem þrychlá Fourierova transformaceÿ (FFT), jen¾ je øádu O(N log N), pokud je N souèinem malých prvoèísel (typicky 2 k ).