Brownovská (stochastická) dynamika, disipativní èásticová dynamika = MD + náhodné síly. i = 1,..., N. r i. U = i<j. u(r ij ) du(r ji ) r ji

Transkript

1 Molekulová dynamika Síly: tuhé koule ap. { nárazy þklasickáÿ MD { integrace pohybových rovnic 1/20 Brownovská (stochastická) dynamika, disipativní èásticová dynamika = MD + náhodné síly Pøíklad: f i = U( rn ) r i U = i<j u(r ij ) i = 1,..., N f i = N f ji j=1 j i N j=1 j i du(r ji ) dr ji r ji r i = N j=1 j i du(r ji ) r ji dr ji r ji Znaèení: r ij = r j r i, r ij = r ij

2 Newtonovy rovnice 2/20 d 2 r i dt 2 = ri = f i m i, i = 1,..., N Metoda koneèných diferencí { krok h Poèáteèní úloha (známe r a r _ v èase t0 ) Metody: Runge{Kutta: mnoho výpoètù pravé strany Prediktor-korektor: lep¹í, ale... (viz dále) Symplektické metody \Multiple timestep" metody

3 Verletova metoda 3/20 Taylor : ri (t) = r i(t h) 2 r i (t) + r i (t + h) h 2 + O(h 2 ) Verletova metoda: Poèáteèní podmínky: r i (t + h) = 2 r i (t) r i (t h) + h 2 f i (t) m i r i (t 0 h) = r i (t 0 ) h_ ri (t 0 ) + h2 2 f i (t 0 ) m i + O(h 3 ) èasovì reverzibilní ( vyvoj energie nemá trend); dokonce symplektická nelze pou¾ít pro r = f(r, _r): _r(t) není známo v èase t Toto¾né trajektorie (av¹ak ne v¾dy rychlosti) dávají: leap-frog velocity Verlet Gear (m = 3) (viz dále) Beeman

4 Metoda leap-frog [start pic/leap-frog.mp4] 4/20 rychlost = dráha (zmìna polohy) za jednotku èasu (h), vektor v(t + h/2) = r(t + h) r(t) h zrychlení = zmìna rychlosti za jednotku èasu a(t) = v(t + h/2) r(t + h) v(t + h/2) v(t h/2) h := v(t h/2) + a(t)h := r(t) + v(t + h/2)h t := t + h ekvivalentní Verletovì metodì ale: rychlosti = f m opakujeme credit:

5 Pøíklad: dráha planety [uvodsim/verlet.sh] 5/20 WWW verze:

6 Malý výlet do teoretické mechaniky a okolí 6/20 Eulerovy{Lagrangeovy rovnice Ná¹ svìt: r N = { r 1,..., r N }, _ r N = { _ r1,..., _ r N } Funkce L = L( r N, _ r N ) Akce S = t1 t 0 L dt nabývá stacionárního bodu (extrému) mezi pevnými body r N (t 0 ) a r N (t 1 ) pro d L = L dt _ ri r i To je 3N rovnic. Je-li L = Lagrangián, pak se to zove Hamiltonùv princip, obecnì þprincip nejmen¹í akceÿ apod.

7 Eulerovy{Lagrangeovy rovnice { dùkaz 7/20 S = t1 t 0 L dt Provedeme variaci trajektorie: r N (t) r N (t) + δ r N (t), δ r N (t 0 ) = δ r N (t 1 ) = 0 δs = t1 t 0 i L t1 δ r r i dt + i t 0 i L _ ri δ_ ri dt 2. èlen per partes: =0 δs = i L δ r _ i ri t 1 t 0 + t1 t 0 i [ L δ r i d ] L dt r i dt _ ri (první [] = 0 proto¾e koncové body jsou pevné) δ r i mohou být libovolné druhý [] = 0

8 Matematické osvì¾ení: Legendrova transformace 8/20 Mìjme f(x), nejradìji konvexní. f = f x df dx Matematicky pøesnìji: df þjako funkce p = dx ÿ f (p) = min(f xp) x Diferenciály: df = df dx = p dx dx df = df d(px) = pdx pdx xdp = xdp A zase zpátky: df dp = x, f = f df dp p = f + px = f

9 Men¹í odboèka { entalpie [plot/legendrevdw.sh] 9/20 Vnitøní energie U = U(S, V): du = p dv [ad.] U(V) [ad.] je konvexní, proto¾e p = U V Entalpie H = H(S, p): H = U U V V = U + pv dh = Vdp je klesající funkcí V [ad.] A zase zpátky: U = H Vp = H H p p Podobnì U(S) F(T), F(N) Ω(µ),... Pøíklad. Jak vypadají funkce F(V) a G(V) za konstantní teploty pro van der Waalsovu stavovou rovnici?

10 Od Newtona k Lagrangeovi Nech» L = L( r N i, r _ N i ) = E kin E pot = 1 2 m i r _ 2 i U( r N i ) i pak Lagrangeovy rovnice = Newtonovy rovnice Hmmm... zatím nic nového. Ale kdy¾ pou¾ijeme zobecnìné souøadnice 10/20 projde to taky! q j = q j ( r 1,... r N ), j = N Pøíklad: planeta { polární souøadnice (r, φ) Eulerovy{Lagrangeovy rovnice: L = E kin E pot = 1 2 m( _ r 2 + r 2 _ φ 2 ) + K r mr = mr _ φ 2 K r 2 (Verleta nelze aplikovat) mr 2 φ = 0 mr 2 _ φ = const (moment hybnosti)

11 Od Lagranga k Hamiltonovi 11/20 Hybnost p i = m i _ ri = L _ r i Obecnì (denice) zobecnìné hybnosti: p j = L _q j Legendreova transformace: _ ri p i (a¾ na znaménko) H se nazývá Hamiltonián H = H( r N, p N ) = i Kartézské souøadnice: H = E kin + E pot Z Lagrangeových rovnic: _ pi = L r i p i _ ri L L = E kin E pot d L = L dt _ ri r i

12 Zachování energie Zmìna L se zmìnou poloh a rychlostí (ne èasu: na¹e E pot je konzervativní L dl = i [ L d r r i + L ] d_ ri i _ ri t = 0) = i (_ pi d r i + p i d_ ri ) 12/20 Legendre: dh = i d( p i _ ri ) dl = i Hamiltonovy rovnice: Pak ale taky: dh dt = i [ _ pi d r i + _ ri d p i ]!= _ p i = H r i, _ ri = H p i [ H ri _ + H ] pi _ r i p i i = 0 [ H d r r i + H ] d p i p i i = zákon zachování energie (Hamiltonián je integrál pohybu)

13 Na vrabce staèí prak d dt ( Ekin + E pot ) = d dt i m i 2 _ r 2 i + U( r N ) 13/20 = i [ m i ri _ ri + U ] ri _ r i = i _ r i [m i ri f i ] = 0 þhroznej pták, to rogallo. Vystøílel jsem na nìj celej zásobník, ne¾ toho chlapa pustil!ÿ

14 Dal¹í integrály pohybu: Teorém Noetherové Ka¾dé (diferencovatelné) symetrii (akce) fyzikálního systému odpovídá zachovávající se velièina. Èas zachování energie (pøedpoklad: E pot (t) = E pot (t + δt)) Translace hybnost U( r N + δ r) = U( r N ) 0 = δ r U = δ r d m r i i dt i ri _ i Je¾to δ r je libovolné, zachovává se celková hybnost Rotace moment hybnosti = i 0 = i U( r N + δ α r N ) = U( r N ) (δ α r i ) U r i = i δ α ( r i m i ri ) = δ α d dt (δ α r i ) m i ri = r i m i ri _ i (Amalie) Emmy Noether 14/20 credit: Wikipedia Zachovává se celkový moment hybnosti

15 Poisson a Liouville 15/20 Mìjme f = f( r N, p N ). Hledáme èasový vývoj, f(t + dt) = f(t) + _ fdt. df dt f _ = i [ _ r i f r i + _ pi f p i {,} se zove Poissonova závorka ] = i [ H f H f ] p i r i r i p i {H, f} Platí {A, B} = {B, A} Je-li f = f( r N, p N ) integrál pohybu, platí {f, H} = 0. Je-li f = f( r N, p N, t) integrál pohybu, platí {f, H} + f t = 0 Denujme Liouvilleùv operátor i^l = i [ _ r i pak (pro f t = 0) r i + _ pi p i ] = i [ H p i _ f = {f, H} = i^lf H r i r i p i ] i^lr + i^lp

16 Kvantovací úskok 16/20 Postulát: {, } i h[, ] Napø.: {p, x} = 1 [^p,^x] = i h (x, p = jakýkoliv pár sdru¾ených kanonických promìných) x-reprezentace: ψ = ψ(x), ^x = x, ^p = i h x To znamená, ¾e [ i h x, x]ψ = i hψ (to umíte) Test konzistence formalismu: {p, f} = f x [ i h x, f]ψ = i h x fψ Podobnì pro integrál pohybu f = f( r N, p N, t): {f, H} = f t [^H, f] = i h f t tj. [^H, f]ψ = i h t fψ Vyhovuje ^H = i h t (èasová Schrödingerova rovnice); pí¹eme ale ^Hψ = i h d dt ψ (vývoj vlnové funkce v èase, argumenty x nemohou na èase záviset)

17 Liouville 17/20 _f = i^lf Formální (operátorové) øe¹ení (separace promìnných) Co to znamená? ln f = i^lt, postupnì n opakujeme (pøibli¾nì) Taylor: f(t) = exp(i^lt) = lim n (1 + i^lt/n) n f(0 + t/n) = (1 + i^lt/n)f(0) = f(0) + df dt t=0 t/n exp(i^lt)f(0) = 1 + (i^lf)t + (i^li^lf) t = = 1 + _ f(0)t + f t = f(t)

18 Obì èásti zvlá¹» Stejný trik la Taylor pro i^lr a i^lp : 18/20 exp(i^lr t)f( r N, p N ) = 1 + (i^lr f)t + (i^lr i^lr f) t = = 1 + i _ r i f ri t + j _ r j i _ r i : 2 f r i r j t = f( rn + _ r N t, p N ) exp(i^lp t)f( r N, p N ) = f( r N, p N + _ p N t) Zrada: operátory i^lp a i^lr nekomutují exp(i^l) = exp(i^lp + i^lr ) exp(i^lp ) exp(i^lr )

19 Verlet podruhé To¾ aspoò pøibli¾nì (pro malé h) a ov¹em reverzibilnì: 19/20 Postupnì (vynechávám N ): exp(i^lh) exp(i^lp h/2) exp(i^lr h) exp(i^lp h/2) ( p(0), r(0) ) ( p(0) + _ p(0)h/2, r(0) ) ( p(0) + _ p(0)h/2, r(0) + (1/m)[ p(0) + _ p(0)h/2]h ) ( p(0) + [_ p(0) + _ p(h)]h/2, r(0) + (1/m)[ p(0) + _ p(0)h/2]h ) To je tzv. rychlostní Verlet (velocity Verlet) h 2 r(t + h) = r(t) + v(t)h + f(t) m 2 f(t) + f(t + h) h v(t + h) = v(t) + m Stejná trajektorie, rychlost jako Verlet s v(t) = 2 r(t + h) r(t h) 2h

20 Proè tak slo¾itì? 20/20 exp(i^lp h/2) exp(i^lr h) exp(i^lp h/2) = exp(i^lh + ɛ) chybu ɛ umíme odhadnout ( h 3 ) zpìtnì lze spoèítat poru¹ený Hamiltonián (chyba h 3 na krok neboli h 2 celkem), který Verletova metoda pøesnì zachovává (pouze reverzibilita chyba t 1/2 ) metody vy¹¹ího øádu multiple-timestep metody Chování integrátorù