Statika stavebních konstrukcí II.,.ročník kaářského studia Přednáška, modey podoží Úvod Winkerův mode podoží Pasternakův mode podoží Nosník na pružném Winkerově podoží, řešení OD atedra stavební mechaniky Fakuta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Zákadové konstrukce Souží k tomu a zajišťují, y tíha vrchní stavby se přenesa do podoží (půdního těesa) kontaktní napětí v zákadové spáře a v podoží zůstay v přípustných mezích sedání ceého objektu zůstao v přípustných mezích
Zákadové konstrukce Nejběžnější typy zákadových konstrukcí: zákadové patky zákadové pásy zákadové desky zákadové rošty pioty Podoží je těeso s vemi sožitými vastnostmi (probematika mechaniky zemin). Pro statické výpočty se zpravida užívá zjednodušených modeů podoží.
Zákadové konstrukce V kontaktní spáře se často počítá pouze s normáovým napětím, smykové napětí se zanedbává. Vaz mezi zákadovou konstrukcí a podožím je jednostranná, nemůže zde vznikat napětí tahové (konstrukčně neineární úoha). Úohy interakce (spoupůsobení) zákadových konstrukcí s podožím se nazývají také kontaktní úohy.
Interakce nosníku s podožím Nosník není zpravida dostatečně tuhý a kontaktní napětí není ineární. romě rovnovážných podmínek se na kontaktu upatňují také podmínky deformační. Pro řešení interakce konstrukce s podožím se upatňují různé modey podoží, které je vždy do určité míry ideaizují. 5
Winkerův mode podoží Předpokádá, že reakce podoží je přímo úměrná zatačení nosníku (desky, zákadu, konstrukce) do podoží. Patí: p(x, y) Cw(x, y), kde p(x, y)... reakce podoží [knm - ] C součinite stačitenosti podkadu [knm - ] w(x, y)... průhyb nosníku (konstrukce) [m]
Winkerův mode podoží Winkerův mode je jednoparametrický mode. Lze jej znázornit jako soubor pružin samostatně působících na kontaktu zákadu a podoží. Tam, kde kontakt není, tj. mimo zákad, se pružiny simuující podoží nedeformují, což neodpovídá reaitě. Winkerův mode se pro svou jednoduchost přes zjednodušení a nedostatky v praxi často používá. ( x y) q, ( x y) q, ( x y) p,
Hodnoty součinitee stačitenosti podkadu C 8
Pasternakův mode Pasternakův mode odstraňuje některé nedostatky Winkerova modeu. romě normáových si uvažuje v podoží i se smykovými siami. Nespojité zoření objektu de Winkera je u Pasternaka nahrazeno průhybovou kotinou. 9
Pasternakův mode Pasternakův mode je dvojparametrický. Odpovídá épe reaitě. w w p( x, y) C w( x, y) C ( + ) x y Rekce podoží je zde funkcí: parametru C [knm - ] součinite poddajnosti podkadu parametru C [knm - ] součinite přenášení smykových si
Winkerův mode podoží, anaytické řešení nosníku na pružném podoží Diferenciání rovnice ohybové čáry prutu: d w( x) q( x) Pro nosník na pružném podkadě je: d w dx dx ( x) q( x) p ( x) q( x) Cbw( x) q( x) a b x z konst., p p b
Winkerův mode podoží, anaytické řešení nosníku na pružném podoží ( ) q( x) Cbw( x) Rovnici d w x dx ze upravit na tvar d w dx ( x ) Cb q ( x ) + w( x) Uvedená rovnice je ineární, nehomogenní diferenciání rovnice. řádu. Její řešení je známo pro nosníky nekonečné, poonekonečné i pro nosníky konečné déky. Tato řešení jsou použitená pro reativně maou skupinu úoh.
Winkerův mode podoží, jiné metody řešení ( ) ( ) ( x) Rovnici d w x q x Cbw dx ze řešit také metodou sítí. Interakce nosníku a jiných konstrukcí s Winkerovým modeem podoží nebo i s jinými modey podoží je řešitená také: siovou metodou obecnou deformační metodou smíšenou metodou - Žemočkinova metoda metodou konečných prvků
Příkad, nosník na pružném podkadě, zadání F kn m Nosník déky m s moduem pružnosti v tahu a taku E GPa a obdéníkovém průřezu h,5 m a b, m je zatěžován siou F kn v poovině rozpětí. Nosník je uožen na pružném podkadě s moduem stačitenosti podkadu C N/m.
Příkad, nosník na pružném podkadě, výpočtový mode x z ( ) ( ) ( 5 ) ( 8) ( 9 )( )( ) 5 m vodorovných prutů (oboustranně monoiticky připojené) svisých prutů (pravostranně koubově připojené) 5
i i i i b p F b p F Sía F i ve svisých prutech: Příkad, nosník na pružném podkadě, princip řešení OD p p i p i i i i i i i i b A b A E/ C w EA F N b C w F b C w F C w p
Příkad, nosník na pružném podkadě, řešení OD Gobání matice tuhosti vodorovných prutů EA EA EA EA EA EA EA EA k,i
m A b h,5 m I b h E GPa k,i Příkad, nosník na pružném podkadě, řešení OD Gobání matice tuhosti vodorovných prutů, m 5 5 5 5 5 8, 5, 5 5 5 5 5, 5 8, 8
Gobání matice tuhosti svisých prutů Příkad, nosník na pružném podkadě, řešení OD CA CA C C C EA EA 9 i i i i CA CA C C C C C C CA CA EA EA EA EA k,i
Příkad, nosník na pružném podkadě, řešení OD Gobání matice tuhosti svisých prutů A b m (případně A ½ b,5 m ) I není potře (zadáno I m ) E C Pa k,i 8 8 8 8 8 ( 8) ( 8) 8 8 8 8 ( 8) ( 8)
Příkad, nosník na pružném podkadě, řešení OD Ceková matice tuhosti nosníku 58-5 -5-5 -5 8 5-5 5 5-5 -5-5 5-5 5 5-5 -5-5 5-5 5 5-5 -5-5 5-5 5 5-5 -5-5 5-5 5 5-5 -5-5 5-5 5 58 5-5 5 8
Zatěžovací vektor nosníku Vektor deformací Příkad, nosník na pružném podkadě, řešení OD,,9,8, F,8,,,9,8 5,9,,9,8 5,9, F r
Příkad, nosník na pružném podkadě, řešení OD, průhyb nosníku [m], 5,,,,,,,8,8,5,,59,59,,,8
Příkad, nosník na pružném podkadě, řešení OD, natočení nosníku [rad],,,5,,8,,, 5 -, -, -, -,5 -, -,8
Příkad, nosník na pružném podkadě, řešení OD, reakce [kn] (síy ve svisých prutech), 5,,,9 5,5,9 5,,,, 5, 5, 5,, 5 R i C A i w i 5
Příkad, nosník na pružném podkadě, řešení OD, posouvající síy [kn] 5,5, 5, 5-5, - - -, - - -,5-5
Příkad, nosník na pružném podkadě, řešení OD, ohybové momenty [knm], 5, 5, 5,,,, 8,8 8,8,, 5,, 5,5
Statika stavebních konstrukcí II.,.ročník kaářského studia Přednáška OD, řešení rovinných obouků Lokání primární vektor koncových si rovinného zakřiveného prutu Lokání matice tuhosti rovinného zakřiveného prutu atedra stavební mechaniky Fakuta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava 8
Lokání vektor primárních koncových si obouku (rovinného zakřiveného prutu) Lokání primární vektor koncových si ze stejně jako u přímého prutu zapsat ve tvaru: R { } X Z X Z T Jeho veikost ze opět pro dané zatížení odvodit siovou metodou. 9
Lokání primární vektor koncových si rovinného zakřiveného prutu Řešíme siovou metodou (vytvoříme na zákadní staticky určité soustavě zatěžovací stavy). Vnější siové zatížení zakřiveného prutu vyvoá na náhradním prostém nosníku zatěžovací veičiny: výsednici vodorovného zatížení R x její statický moment R x v r k bodu na ose x příčné koncové síy
Lokání primární vektor koncových si rovinného zakřiveného prutu Deformační součinitee kanonických rovnic řešíme s použitím známých vztahů: ik i ik i k dx cosτ i dx cosτ ki + + N N i k dx cosτ N N i dx cosτ
Lokání primární vektor koncových si rovinného zakřiveného prutu anonické rovnice budou: + X + + X X + + + + + +
Jejich řešením je: 5 D X Lokání primární vektor koncových si rovinného zakřiveného prutu 5 D 5 + D
Lokání primární vektor koncových si rovinného zakřiveného prutu Po odvození prvků primárního vektoru X,, ze zbývající odvodit z podmínek rovnováhy: X Z Z X Z Z,, ( + X c R v ) R x + x R
Lokání matice tuhosti zakřiveného prutu Siovou metodou řešíme zatížení prutu při posunu a potočení podpor (u a, w a, ϕ a, u b, w b, ϕ b ). Sestavíme kanonické rovnice ve tvaru: X X X + + + + + + + + + d d d u b ϕ ϕ a b 5
Lokání matice tuhosti zakřiveného prutu ( ) w w c u w c w c u b a a b a a + w w w w w w w w b a b a b a b a + +
Lokání matice tuhosti zakřiveného prutu Po vyřešení koncových si X,, vypočteme zbývající koncové síy: X Z Z Z X + + Z + + X c c ( + X c) X
Lokání matice tuhosti zakřiveného prutu 5 8 8 9 8 D k 8 9 5 9 9 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 8 5 9 5 8 5 + D c c c c
Lokání sekundární koncové síy zakřiveného prutu { } { } T b b b a a a T u X w u w u Z X Z X ϕ ϕ r R 9 9 5 9 9 8 5 8 8 9 8 b b b a a a w u w u D Z X Z X ϕ ϕ r k R
Výsedné okání koncové síy zakřiveného prutu { } { } { } T b b b a a a T T w u w u Z X Z X Z X Z X ϕ ϕ + + r k R r R R R 9 5 9 9 8 5 8 8 9 8 b b b a a a w u w u D Z X Z X Z X Z X Z X Z X Z X Z X ϕ ϕ + + r k R
Příkad, oboukový rám, zadání Řešte oboukový rám zatížený de schématu. Rám je tvořen vetknutými stojkami průřezu I, konzoami I a kruhovými příčemi I. E GPa. q kn/m F kn F kn F W kn h F kn i j 5 F kn 8 d e f g,8, 8,8, 8 a b c 9 kn,5
Příkad, oboukový rám, výpočtový mode h 5 ( 8 9) ( ) 8 ( 5) g ( ) d e f ( 5 ),8, 8,8, 8 i a b c 9 n p 5 ( ) ( ) ( ) j,5
Příkad, oboukový rám, anaýza prutů h 5 d e f g,8, 8,8, 8 i 9 8 a b c j,5
Příkad, oboukový rám, anaýza prutů, gobání matice tuhosti 9 5 8 k k 5 5 5 5 5 5 58 5 5 5 5 5 58 5
Příkad, oboukový rám, anaýza prutů, gobání matice tuhosti 9 5 8 k 5 5 5 5 5 5 8 5 5 5 5 5 8 5 5
Příkad, oboukový rám, anaýza prutů, gobání matice tuhosti 9 5 8 k 5 k 8 8 8 88 8 8 88
Příkad, oboukový rám, anaýza prutů, gobání matice tuhosti Pruty i 9 řešeny numericky, rozděeny na díků. ik n j ij j kj s j + 5 8 9 + n j N ij N EA j kj s j k k 9 88 88 59 88 8 88 88 59
Příkad, oboukový rám, anaýza prutů, primární vektory q kn/m 9 h i j,8, 8,5 Řešeno numericky, pruty i 9 byy rozděeny na díků. ik n n ij kj s j + j j j N ij N EA j kj s j R hi R ij 8,,8,5 8,,8,5 8
Příkad, oboukový rám, matice tuhosti soustavy 9
Příkad, oboukový rám, gobání vektor styčníkového zatížení F kn F kn F W h F kn i j F kn d e f g,8, 8 a b c kn S 8 8 5
Příkad, oboukový rám, zatěžovací vektor soustavy 8 8 5 +,5,8 8,,,5,8 8,,5,8 8,,5,5,8,8 8, 8,,5,8 8, R,5,8 8,,,5,8,89 8,5,8 8,,,5,8 8, 8 R S F
Příkad, oboukový rám, řešení soustavy rovnic, vektor deformací r F 5,89,5,5,5,88,8 55,5,59,,,,8 5,88,58, Deformace rámu (deformace 5x zvětšené) 5
Příkad, oboukový rám, gobání koncové síy na prutech 9 R R R + R R + k r 5 8 5
Příkad, oboukový rám, vnitřní síy na prutech 9 5 8 5
R R R R R R ax az a bx bz cz b cx c Příkad, oboukový rám, reakce ve vazbách, kn, kn ( ), knm,5 kn, kn 9, knm,5 kn 9, kn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8,5 knm F kn F q kn/m kn 9 F kn W h F kn i j 5 F kn 8 d e f g,8, 8,8, 8 a b c 55
Příkad, oboukový rám, kontroa rovnováhy q kn/m F kn F kn 9 F kn W h F kn i j 5 F kn 8 d e f g,8, 8,8, 8 a b c F x : R ax + R bx + R cx W, +,5 +,5 5
Příkad, oboukový rám, kontroa rovnováhy q kn/m F kn F kn 9 F kn W h F kn i j 5 F kn 8 d e f g,8, 8,8, 8 a b c F z : Raz + Rbz + Rcz F F F q,, +, + 9,, 5
Použitá iteratura [] adčák, J., ytýr, J., Statika stavebních konstrukcí II. VUTIU, Brno. [] Tepý, B., Šmiřák, S., Pružnost a pasticita II. Nakadateství VUT Brno, 99. [] Dický, J., Jendžeovský,N., Stavebná mechanika, STU v Bratisavě, Stavebná fakuta. [5] Sobota, J. Statika stavebních konstrukcí. Afa, Bratisava 99. [] Randýsková, L. Dipomová práce, Ostrava 5. 58