Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák
Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru regresí fukce : β (,..., m, (, β (,, k kde jsou ezámé parametr a. (,, k Př měřeí může být pro ezávsle proměé aměřeo více hodot. odota odpovídá středí hodotě aměřeých hodot pro pevé,,. ( k (, β E( Y X
Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Př měřeí jsme dostal vektorů o délce (k+ realzací áhodého vektoru: ( X, Y ( X,, X k, Y (, = (,,,,...,,k,, =,,. Pomocí těchto aměřeých hodot se sažíme odhadou parametr β ( m,...,
Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Předpokládejme, že záme tvar regresí fukce ezáme β,...,. ( m (, β a β (...,, K odhadu regresích koefcetů, m vužjeme metodu ejmeších čtverců mmalzujeme tzv. rezduálí součet čtverců: e (, β Teto součet lze brát jako fukc proměých (,, m β ( m,..., A pomocí parcálích dervací hledáme její mmum: 0 Dostaeme m rovc pro m ezámých parametrů j β ( m,...,
Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza leárí regresí fukce. Regresí fukc leárím tvaru: β ( m,..., (, β budeme dále uvažovat v ásledujícím m f j j ( kde jsou ezámé parametr a j jsou zámé (předem zvoleé fukce, které eobsahují. j,..., f m Nechť = (,,,,...,,k jsou aměřeé hodot. Ozačme: Matce F (m : f F se azývá matce pláu. j f j ( j,..., m,..., f f m f f m
Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza leárí regresí fukce. Předpoklad leárího regresího modelu:
Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza leárí regresí fukce. Předpoklad leárího regresího modelu lze ekvvaletě vjádřt ve tvaru: m kde E N(0, Y j f j j ( jsou ekorelovaé áhodé velč. E Ozačme:
Matematka IV Lbor Žák Leárí regresí fukce bodové odhad Př hledáí regresího modelu provedeme ejprve bodové odhad parametrů β...,. Tto odhad ozačíme: (, m, b ( b,..., bm,
Matematka IV Lbor Žák Leárí regresí fukce tervalové odhad Itervalové odhad počítáme jak pro koefcet pro fukčí hodotu. β (,..., m,, tak
Matematka IV Lbor Žák Leárí regresí fukce testováí hpotéz β (,..., m, Test hpotéz provádíme pro koefcet.
Matematka IV Lbor Žák Leárí regresí fukce testováí hpotéz Př testováí celého modelu zkoumáme, zda avržeý model se lší od artmetckého průměru hodot. Pokud model uvažujeme ve tvaru: tak testujeme hpotézu: Ozačme T (celková varablta : Ozačme A (varablta modelu : Testovací krtérum: W f j j ( j : (,, k (0,,0 F T A 0, F Doplěk krtckého oboru:, kde je kvatl Fsherova-edecorova rozděleí s k=m-, k=-m stup volost. m T T e e m A m e m F ( m, m
Matematka IV Lbor Žák Leárí regresí fukce Kvaltu modelu lze také vjádřt pomocí koefcetu víceásobé korelace a koefcetu determace: Koefcetu determace lze s vužtím předcházejícího ozačeí apsat ve tvaru: r e T ebo r A T
Matematka IV Lbor Žák Leárí regresí fukce přímka V leárím regresím modelu: zvolíme: m=, f (=, f (=, Pak regresí fukce má tvar: Matce pláu: Pak ( m j j j f F T FF
Matematka IV Lbor Žák Leárí regresí fukce přímka Dále g F det( det(
Matematka IV Lbor Žák Leárí regresí fukce přímka Bodové odhad regresích koefcetů: Bodový odhad regresí fukce: Bodový odhad rozptlu: kde b b b b b det( b b m ( b b m m s
Matematka IV Lbor Žák Leárí regresí fukce přímka Pro výpočet tervalových odhadů a pro testováí hpotéz dostáváme: h ( ( det( ( h det( h det( h Koefcet víceásobé korelace r je rove koefcetu korelace mez X a Y
Matematka IV Lbor Žák Leárí regresí fukce přímka sdružeá hpotéza Př testováí hpotéz o hodotě parametru: ostatí regresí koefcet abývají hodot, které b odpovídal modelu pro pevě zvoleý koefcet 0. Nejsou to hodot regresího modelu z kterého se vcházelo. Pokud bchom chtěl otestovat více koefcetů současě, jedá se o sdružeou hpotézu. Pro regresí přímku dostáváme: Testovací krtérum: : 0 : (, ( 0, 0 b 0 F ( b 0, b 0 s b 0 F ( b 0 ( 0( 0 ( b b b 0 s W 0, F Doplěk krtckého oboru:, kde je kvatl Fsherova- edecorova rozděleí s k=, k=- stup volost. F (,
Matematka IV Lbor Žák Leárí regresí fukce přímka Příklad: U vbraých studetů FI VUT bl změřea váha a výška. Otestujte hpotézu, že váha je rova výšce -00 počtěte bodové odhad, Na hladě výzamost ověřte hpotéz: : 00 : (, ( 00, : Pokud přšel ový studet s výškou 80 cm, kde b se vsktovala jeho váha se spolehlvostí 95%? výška váha 8,00 96,00 85,00 9,00 86,00 73,00 9,00 8,00 7,00 76,00 6,00 53,00 73,00 60,00 8,00 7,00 85,00 90,00 70,00 55,00